第七講

1

第七講第七講

The Normal Distribution and

Other Continuous Distributions

常態分配及其他連續分配常態分配及其他連續分配

2

學習目標學習目標1. 定義連續型隨機變數2. 均等 (uniform) 、常態 (normal) 以及指

數 (exponential) 分配的介紹3. 連續型隨機變數機率的計算4. 以常態分配機率近似二項分配機率

3

資料的獲得資料的獲得實驗 (experiment)

例如 1 : 丟擲一個骰子

2 : 長度的測量 ( 公分，英吋等 )

調查 (survey)

例如 1 : 某公司新推出的產品在市場上的反應情形

2 : 對某年齡學童身高的測量 ( 150cm, 130cm,

145cm, …)

4

資料類型資料類型 Data TypesData Types

Data

Quantitative Qualitative

Discrete Continuous

Data

Quantitative Qualitative

Discrete Continuous

資料資料

屬量屬質

離散連續

5

Continuous Continuous Random Variables Random Variables

連續型隨機變數連續型隨機變數

6

連續型隨機變數連續型隨機變數 Continuous Random VariablesContinuous Random Variables

1. 隨機變數 (Random variable, r.v.)– 將隨機實驗的結果 (outcomes) 以實數值來表達

例如：學生體重 (65.5 公斤、 51 公斤等等 )

2. 連續型隨機變數 (Continuous r.v.) – 對應實數的數值– 經由量測得來 (obtained by measuring)– 對應於某區間必定為無限多數值(Infinitive number of values in an interval)

無法一一計數列出 (uncountable)

7

連續型隨機變數範例連續型隨機變數範例Continuous Random Variable ExamplesContinuous Random Variable Examples

8

例題例題 : : 連續型隨機變數連續型隨機變數

實驗隨機變數可能數值

9


實驗實驗隨機變數可能數值

重量重量 45.1, 78, ...45.1, 78, ...100 個人的體重

實驗

10



重量重量 45.1, 78, ...45.1, 78, ...

壽命的測量壽命的測量小時小時 900, 875.9, ...900, 875.9, ...

100 個人的體重

11



重量重量 45.1, 78, ...45.1, 78, ...

壽命的測量壽命的測量小時小時 900, 875.9, ...900, 875.9, ...

詢問每次食物的花費詢問每次食物的花費金錢花費金錢花費 54.12, 42, ...54.12, 42, ...

100 個人的體重

12



重量重量 45.1, 78, ...45.1, 78, ...

壽命的測量壽命的測量小時小時 900, 875.9, ...900, 875.9, ...

詢問每次食物的花費詢問每次食物的花費金錢花費金錢花費 54.12, 42, ...54.12, 42, ...

到達時間到達時間間隔時間間隔時間 0, 1.3, 2.78, ...0, 1.3, 2.78, ...

100 個人的體重

13

x 值 ( 小時 )例如例如 :: 燈泡壽命的時間測量燈泡壽命的時間測量

連續型隨機變數連續型隨機變數

14

連續型隨機變數之密度函數連續型隨機變數之密度函數 (d(density function)ensity function)

連續型隨機變數之數值 (x) 變化，為整個實驗之結果，具有不可數且無限多的實數，可以用一條曲線來表示整個實驗結果的分布情形。以座標橫軸表示ｘ值，則該曲線定會在橫軸 (x) 的上方，且該曲線和其 x 值之間所圍繞的區域面積為 1 。此時以一個數學函數 f(x) 來表示該曲線與ｘ值之間的關係，則該函數 f 即為此隨機變數之密度函數。

15

連續型隨機變數之機率與連續型隨機變數之機率與機率密度函數機率密度函數

在任一給定的 x 數值區間，與其對應於密度函數 f(x) 的面積即為機率。此時又稱該密度函數為機率密度函數 (probability density function) 。– f(x) 本身僅代表於 x 值上的一個密度曲線高度，

並非機率 (probability) 。　　

f(x)f(x)

c d x

16

機率密度函數機率密度函數 1. 數學模式。 2. 該函數可清楚的表達出

連續型隨機變數 (X) 之所有實驗結果的機率分配。

3. 當代入數值 x 後，對應到該密度函數的值為密度曲線之高度。 – f(x) 並非機率 probability x x 數值數值

(x, f(x))(x, f(x))

密度函數密度函數

f(x)f(x)

aa bbxx

密度曲線密度曲線

17

機率密度函數機率密度函數基本性質 1. f (x) 0

2. 曲線下總面積為 1,

(( 圖形下圖形下 Area under curveArea under curve 面積為面積為 1)1) x x 數值數值

(x, f(x))(x, f(x))

密度函數值密度函數值

f(x)f(x)

aa bbxx

1dx)x(f

18

連續型隨機變數的機率連續型隨機變數的機率機率為密度曲線下的面積 !

f(x)f(x)

Xc d

dc

dx)x(f)dXc(Pd

c

19

分配函數分配函數Distribution functionDistribution function

dx (x) f)x X P( F(x)

dc,dx)x(f)dXc(P

x

-

d

c

分配函數分配函數分配函數分配函數

機率機率機率機率

20

分配函數性質分配函數性質1. 0 F(x) 1

2. F(- )=0 ， F( )= 1

3. F(x) F(y) ，若　 x y

4. F(x) =P( X ≤ x )= 1 – P( X > x )

5. P( x < X y ) = F(y) - F(x) ，若 x < y

21

連續型隨機變數變數值、密度曲線

機率密度函數、函數分配 x 值 ( 小時 )

例如例如 :: 燈泡壽命的時間測量燈泡壽命的時間測量

22

一些常見連續型機率分配一些常見連續型機率分配

23


連續型機率分配

均勻分配

欲在某經常發生事故路段，設置緊急救護中心。若發生事故的地段距離為 100 公里，試問中心設在離路口 20 公里， 50 公里，或 80 公里處，何者較為適合 ?

24



均勻分配常態分配

身高

25



均勻分配常態分配指數分配

等車時間

26



均勻分配常態分配指數分配其他分配

抽菸者在不同年齡染患肺癌的風險 f(x)=0.03+0.0003(x-35)2 , x 35

27




28

均勻分配均勻分配

Uniform DistributionUniform Distribution 某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的產品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在 20 至 30 公克的範圍內。產品重量落在該區間內任一段區間的頻率或可能性均相同。

29


1d c

1d c

x

f(x)

dc

所有實驗結果發生的頻率或可能性均相同

30


1d c

1d c

x

f(x)

dc

cdxf

1)(

cdxf

1)(

所有實驗結果發生的頻率或可能性均相同

機率密度函數

31

均勻分配均勻分配 1. 所有實驗結果發生的

頻率或可能性均相同。 2. 機率密度函數為

xx

cdxf

1)(

cdxf

1)(

1d c

1d c

x

f(x)

dc

3. 分配函數

dxcd

dxcdxxfxF

x

c

x

c

1

,)()(

dxcd

dxcdxxfxF

x

c

x

c

1

,)()(

32

均勻分配均勻分配4. 4. 平均數平均數 ((μμ) ) 及標準差及標準差 ((σσ))

12

cd

12

cd

2

dc

3

ccdd

3

ccddxd

cd

xxd)x(fx)X(E

)X(E)X(E

2

dcxd

cd

xxd)x(fx

22222

22d

c

d

c

222

2222

d

c

d

c

12

cd

12

cd

2

dc

3

ccdd

3

ccddxd

cd

xxd)x(fx)X(E

)X(E)X(E

2

dcxd

cd

xxd)x(fx

22222

22d

c

d

c

222

2222

d

c

d

c

33


平均數及中位數相同平均數及中位數相同

1d c

1d c

x

f(x)

dc

34

均勻分配範例均勻分配範例某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的

產品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在 20 至 30 公克的範圍內。若公司收到的訂單要求該產品重量必須在 24至 28 公克間，試問該公司有多少產品符合此要求。

35

範例解範例解ff((xx))

xx

某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的產品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在 20 至 30 公克的範圍內。

36

範例解範例解

2020 3030

ff((xx))

xx

某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的產品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在 20 至 30 公克的範圍內。

1 10

37

範例解範例解

2020 3030

ff((xx))

xx24 2824 28

某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的產品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在 20 至 30 公克的範圍內。若公司收到的訂單要求該產品重量必須在 24 至 28 公克間，試問該公司有多少產品符合此要求。

38

範例解範例解

2020 3030

ff((xx))

xx24 2824 28

1/101/10

2030

1

cd

1)x(f

2030

1

cd

1)x(f

P(24 X 28) = ( 底 Base) ( 高 Height)

= (28 - 24) (1/10) = 0.40

39

均勻分配範例均勻分配範例某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的產

品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在 20 至 30 公克的範圍內。若公司收到的訂單要求該產品重量必須在 24 至 28 公克間，試問該公司有多少產品符合此要求。

解 :

P(24 X 28)= 24

f(x) d x = 24

10

d x

=

10 24 = 1 0 = 0.4

28 28

x

1

28 2 8 – 2 4

40

均勻分配範例均勻分配範例某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的

產品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在 20 至 30 公克的範圍內。試問該產品的平均重量與標準差。

解 :

E(X)= = = 25

= 2.89

2

20+30

121/2

30-20

c+d2

41

範例二範例二當您是銘傳飲料公司的生產

經理時，您知道公司將飲料充填量設定為 450 克，但實際飲料充填量為一均勻分配於 430 至 470 克之間。試問某罐飲料充填量在 440 克以下的機率為何 ?

MingChuan

42

範例二解範例二解

430430 470470

ff((xx))

xx

當您是銘傳飲料公司的生產經理時，您知道公司將飲料充填量設定為 450 克，但實際飲料充填量為一均勻分配於 430 至 470克之間。試問某罐飲料充填量在 440 克以下的機率為何 ?

43


430430 470470

ff((xx))

xx440440

當您是銘傳飲料公司的生產經理時，您知道公司將飲料充填量設定為 450 克，但實際飲料充填量為一均勻分配於 430 至 470克之間。試問某罐飲料充填量在 440 克以下的機率為何 ?

44


P(430 X 440) = (底 Base)(高 Height)

= (440- 430)(0.025) = 0.25

430430 470470

ff((xx))

xx440440

1/40

1

470-430

45




46

常態分配常態分配

Normal DistributionNormal Distribution

47

常態分配的重要性常態分配的重要性1. 常態分配數學式為「常態機率密度函數」 2. 可用來描述許多隨機程序或連續現象 3. 離散或連續分配計算機率值時可用它求近似值

– 例如 : 二項分配 (Binomial distribution) ，經驗法則 (Empirical Rule)

4. 傳統的統計推論基礎

48

常態分配的一些性質常態分配的一些性質 1. 鐘型 (bell-shaped) ，且圖形對稱。

49

常態分配的一些性質常態分配的一些性質 1. 鐘型 (bell-shaped) ，且圖形對稱。

Mean Mean Median Median ModeMode

X

f(X)

X

f(X)

50

常態分配的一些性質常態分配的一些性質 1. 鐘型 (bell-shaped) 2. 對稱函數﹔平均數 ( me

an), 中位數 (median), 眾數 (mode) 均相同

3. X 值定義在 (-, )﹔且雙尾漸近水平軸

4. 代入不同的 x 值對應到的 f(x) 高低不同 ; 且曲線下總面積 =1

平均數平均數中位數中位數

眾數眾數

X

f(X)

X

f(X)

51

常態機率密度函數常態機率密度函數

2

2

2

x

e1

f(x) 2

2

2

2

x

e1

f(x) 2

x = 隨機變數值 (- < x < ) f (x) = x 的機率密度函數= 平均數，標準差 (standard deviation) = 3.14159 ﹔ e = 2.71828在 ( 值己知下， (x, f(x)) 可畫出該鐘形曲線

52

不同不同 (( & & ) ) 參數值之曲線參數值之曲線

53


X

f(X)

54


X

f(X)

A

55


X

f(X)

A

B

不同不同 σσ

μμ

56

不同不同 (( ; ; ) ) 參數值之曲線參數值之曲線

X

f(X)

CA

B

A 為常態 ( 1 ; 1

)B 為常態 ( 1 ; 2

) C 為常態 ( 2 ; 1

)

57

常態分配的機率常態分配的機率

58


c dx

f(x)

c dx

f(x)

機率為曲線下對應到機率為曲線下對應到 (c,d) (c,d) 的「面積」的「面積」

59


dx2

1d)XP(c e

2

22

)x(d

c

c dx

f(x)

c dx

f(x)

機率為曲線下對應到機率為曲線下對應到(c,d) (c,d) 的面積的面積

60

求常態分配機率的方法求常態分配機率的方法

c dx

f(x)

c dx

f(x)

機率為曲線下的面積機率為曲線下的面積(( 總面積總面積 =1)=1)

直接積分、直接積分、

查表查表或或使用電腦求解使用電腦求解

61

X

f(X)

X

f(X)

如何使用常態分配表？如何使用常態分配表？

給定不同的平均數與標準差，即有各式不同的給定不同的平均數與標準差，即有各式不同的常態分配。常態分配。因此根據平均數與標準差，可以分辨不同的常態分配。因此根據平均數與標準差，可以分辨不同的常態分配。

62

標準常態分配表標準常態分配表Z Z 表表

平均數為 0 變異數為 1

z .00 .01 .02 .03 .04

.0

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.0000 .0040 .0080 .0120 .0160

.0398 .0438 .0478 .0517 .0557

.0793 .0832 .0871 .0910 .0948

.1179 .1217 .1255 .1293 .1331

.1554 .1591 .1628 .1664 .1700

.1915 .1950 .1985 .2019 .2054

.2257 .2291 .2324 .2357 .2389

.2580 .2611 .2642 .2673 .2703

.2881 .2910 .2939 .2967 .2995

dz2

1)z(f

dz)z(f)zZ0(P

e2

2

z

z

0

63

如何查表獲悉機率如何查表獲悉機率 ??P( 0< Z < 0.21)=?P( 0< Z < 0.21)=?

0 0.21

z .00 .01 .02 .03 .04

.0

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.0000 .0040 .0080 .0120 .0160

.0398 .0438 .0478 .0517 .0557

.0793 .0832 .0871 .0910 .0948

.1179 .1217 .1255 .1293 .1331

.1554 .1591 .1628 .1664 .1700

.1915 .1950 .1985 .2019 .2054

.2257 .2291 .2324 .2357 .2389

.2580 .2611 .2642 .2673 .2703

.2881 .2910 .2939 .2967 .2995

64

如何查表獲悉機率如何查表獲悉機率 ??P( -P( -∞∞< Z < 0.21)=?< Z < 0.21)=?

0 0.21

z .00 .01 .02 .03 .04

.0

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.0000 .0040 .0080 .0120 .0160

.0398 .0438 .0478 .0517 .0557

.0793 .0832 .0871 .0910 .0948

.1179 .1217 .1255 .1293 .1331

.1554 .1591 .1628 .1664 .1700

.1915 .1950 .1985 .2019 .2054

.2257 .2291 .2324 .2357 .2389

.2580 .2611 .2642 .2673 .2703

.2881 .2910 .2939 .2967 .2995

P( -∞< Z < 0.21) P( -∞< Z < 0.21) =P(-∞< Z < 0)+ P(0=P(-∞< Z < 0)+ P(0≤≤ Z < 0.21) Z < 0.21)=0.5+0.0832=0.5+0.0832=0.5832=0.5832

65

如何查表獲悉機率如何查表獲悉機率 ??P( Z P( Z >> 0.21)=? 0.21)=?

000.21

z .00 .01 .02 .03 .04

.0

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.0000 .0040 .0080 .0120 .0160

.0398 .0438 .0478 .0517 .0557

.0793 .0832 .0871 .0910 .0948

.1179 .1217 .1255 .1293 .1331

.1554 .1591 .1628 .1664 .1700

.1915 .1950 .1985 .2019 .2054

.2257 .2291 .2324 .2357 .2389

.2580 .2611 .2642 .2673 .2703

.2881 .2910 .2939 .2967 .2995

P( Z > 0.21) P( Z > 0.21) =0.5=0.5–– P(0 P(0≤≤ Z < 0.21) Z < 0.21)=0.5 –=0.5 – 0.08320.0832=0.4168=0.4168

66

如何查表獲悉機率如何查表獲悉機率 ??P( -0.21< Z < 0.21)=?P( -0.21< Z < 0.21)=?

z .00 .01 .02 .03 .04

.0

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.0000 .0040 .0080 .0120 .0160

.0398 .0438 .0478 .0517 .0557

.0793 .0832 .0871 .0910 .0948

.1179 .1217 .1255 .1293 .1331

.1554 .1591 .1628 .1664 .1700

.1915 .1950 .1985 .2019 .2054

.2257 .2291 .2324 .2357 .2389

.2580 .2611 .2642 .2673 .2703

.2881 .2910 .2939 .2967 .2995

P( -0.21< Z < 0.21) P( -0.21< Z < 0.21) =2 P(0 =2 P(0≤≤ Z < 0.21) Z < 0.21)=2 =2 × × 0.08320.0832=0.1664=0.1664

00 0.21-0.21

67

X

f(X)

X

f(X)

用常態分配表求機率用常態分配表求機率

不同常態分配各有不同的平均數及標準差；若使用表的方法求機率，則每一常態分配將要有個別的表。

是否需要無限多的表？是否需要無限多的表？

68

一般常態分配與標準常態分配一般常態分配與標準常態分配

X

X

一般常態分配一般常態分配

XZ

,2

1)z(f),1,0(N~Z

,2

1)x(f),,(N~X

e

e

2

z

2

)x(2

2

2

2

XZ

,2

1)z(f),1,0(N~Z

,2

1)x(f),,(N~X

e

e

2

z

2

)x(2

2

2

2

標準化標準化

標準常態標準常態分配

69

將常態分配標準化將常態分配標準化

X

X


X

Z

X

Z

標準化標準化

70

常態分配標準化常態分配標準化

X

X


= 0

= 1

Z = 0

= 1

Z

X

Z

XZ

71

一般常態分配標準化一般常態分配標準化

X

X

如此只需要一張表 One table! 如此只需要一張表 One table!


= 0

= 1

Z = 0

= 1

Z

X

Z

XZ

標準常態分配

72

標準化例題標準化例題 XX~N(5,100)~N(5,100) , P( 5< X < 6.2)=? , P( 5< X < 6.2)=?


X = 5

= 10

6.2

2.6

5102

5x

102

5x

dxe210

12.6X5P

e210

1)x(f

2

2

2

2

73

標準化例題標準化例題 : :

P(5 < X < 6.2) =P( 0< Z < .12)P(5 < X < 6.2) =P( 0< Z < .12)

X= 5

= 10

6.2 X= 5

= 10

6.2


12.10

52.6XZ

010

55XZ

up

low

12.10

52.6XZ

010

55XZ

up

low

74

標準化例題標準化例題

P( 0< Z < .12)P( 0< Z < .12)


Z= 0

= 1

.12 Z= 0

= 1

.12

標準常態分配

X= 5

= 10

6.2

75

Z= 0

= 1

.12 Z= 0

= 1

.12

Z .00 .01

0.0 .0000 .0040 .0080

.0398 .0438

0.2 .0793 .0832 .0871

0.3 .1179 .1217 .1255

Z .00 .01

0.0 .0000 .0040 .0080

.0398 .0438

0.2 .0793 .0832 .0871

0.3 .1179 .1217 .1255

查查 Z Z 表表 P(5 < X < 6.2) = P( 0 < Z < .12)P(5 < X < 6.2) = P( 0 < Z < .12)

= .0478 = .0478

.0478.0478.0478.0478

.02.02

0.10.1 .0478

標準常態分配表標準常態分配表 (( 部份部份 ))標準常態分配表標準常態分配表 (( 部份部份 ))

代表機率代表機率代表機率代表機率陰影面積誇大顯示陰影面積誇大顯示

76

例一：例一： P(3.8 P(3.8 XX 5) 5)

X= 5

= 10

3.8 X= 5

= 10

3.8

常態分配

X~N(μ,σ2)

μ= 5, σ= 10

常態分配

X~N(μ,σ2)

μ= 5, σ= 10

77

例一：例一： P(3.8 P(3.8 XX 5) 5)

X= 5

= 10

3.8 X= 5

= 10

3.8


12.10

58.3

X

Z 12.10

58.3

X

Z

Z = 0

= 1

-.12 Z = 0

= 1

-.12

78

例一例一 : P(3.8 : P(3.8 XX 5) 5)

標準化後

P(–.12 ≤ Z ≤ 0)

標準化後

P(–.12 ≤ Z ≤ 0) Z .00 .01

0.0 .0000 .0040 .0080

.0398 .0438

0.2 .0793 .0832 .0871

0.3 .1179 .1217 .1255

Z .00 .01

0.0 .0000 .0040 .0080

.0398 .0438

0.2 .0793 .0832 .0871

0.3 .1179 .1217 .1255

.04780.10.1

.02.02

Z= 0

= 1

–.12

標準常態分配表標準常態分配表 (( 部份部份 ))標準常態分配表標準常態分配表 (( 部份部份 ))

79

例一：例一： P(3.8 P(3.8 XX 5) 5)

X= 5

= 10

3.8 X= 5

= 10

3.8

0478.)0Z12.(P)0Z10

58.3(P

0478.)0Z12.(P)0Z

10

58.3(P

Z = 0

= 1

-.12 Z = 0

= 1

-.12

.0478.0478

陰影面積有誇大 Shaded area exaggeratedShaded area exaggerated陰影面積有誇大 Shaded area exaggeratedShaded area exaggerated

80

例二：例二： P(2.9 P(2.9 XX 7.1) 7.1)

5

= 10

2.9 7.1 X5

= 10

2.9 7.1 X

常態分配 XX~N( 5, 10~N( 5, 102)

常態分配 XX~N( 5, 10~N( 5, 102)

81

例二：例二： P(2.9 P(2.9 XX 7.1) 7.1)

常態分配常態分配 ZX

ZX

2 9 510

21

71 510

21

..

..

ZX

ZX

2 9 510

21

71 510

21

..

..


5

= 10

2.9 7.1 X

標準化

82

z .00 .01 .02 .03 .04

.0

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.0000 .0040 .0080 .0120 .0160

.0398 .0438 .0478 .0517 .0557

.0793 .0832 .0871 .0910 .0948

.1179 .1217 .1255 .1293 .1331

.1554 .1591 .1628 .1664 .1700

.1915 .1950 .1985 .2019 .2054

.2257 .2291 .2324 .2357 .2389

.2580 .2611 .2642 .2673 .2703

.2881 .2910 .2939 .2967 .2995

例二：例二： P(2.9 P(2.9 XX 7.1) 7.1)標準常態分配 ( 部分 )

)21.Z0(P2

)21.Z21.(P

)10

51.7X

10

59.2(P

)1.7X9.2(P

)21.Z0(P2

)21.Z21.(P

)10

51.7X

10

59.2(P

)1.7X9.2(P

83

例二：例二： P(2.9 P(2.9 XX 7.1) 7.1)

5

= 10

2.9 7.1 X5

= 10

2.9 7.1 X

1664.00832.02

)21.Z0(P2)21.Z21.(P

)10

51.7X

10

59.2(P)1.7X9.2(P

1664.00832.02

)21.Z0(P2)21.Z21.(P

)10

51.7X

10

59.2(P)1.7X9.2(P

0

= 1

-.21 Z.210

= 1

-.21 Z.21

.1664.1664.1664.1664

.0832.0832.0832.0832


84

例三：例三： P(P(XX 8) 8)

X = 5

= 10

8 X = 5

= 10

8


ZX

8 510

30.ZX

8 510

30.

標準化後標準化後

85


z .00 .01 .02 .03 .04

.0

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.0000 .0040 .0080 .0120 .0160

.0398 .0438 .0478 .0517 .0557

.0793 .0832 .0871 .0910 .0948

.1179 .1217 .1255 .1293 .1331

.1554 .1591 .1628 .1664 .1700

.1915 .1950 .1985 .2019 .2054

.2257 .2291 .2324 .2357 .2389

.2580 .2611 .2642 .2673 .2703

.2881 .2910 .2939 .2967 .2995


)30.Z0(P5.0)30.Z(P)10

58X(P

)30.Z0(P5.0)30.Z(P)10

58X(P

Z = 0

= 1

0.3

86


X = 5

= 10

8 X = 5

= 10

8

常態分配常態分配標準化後標準化後標準化後標準化後3821.0

1179.05.0)30.Z0(P5.0

)30.Z(P)10

58X(P)8X(P

3821.0

1179.05.0)30.Z0(P5.0

)30.Z(P)10

58X(P)8X(P

Z = 0

= 1

.30 Z = 0

= 1

.30

.1179.1179.1179.1179

.5000.5000 .3821.3821 .3821.3821


87

例四：例四： P(7.1 P(7.1 XX 8) 8)

= 5

= 10

87.1 X = 5

= 10

87.1 X


ZX

ZX

71 510

21

8 510

30

..

.

ZX

ZX

71 510

21

8 510

30

..

.

標準化標準化標準化標準化

88

例四：例四： P(7.1 P(7.1 XX 8) 8)


=0

= 1

.30.21 Z

z .00 .01 .02 .03 .04

.0

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.0000 .0040 .0080 .0120 .0160

.0398 .0438 .0478 .0517 .0557

.0793 .0832 .0871 .0910 .0948

.1179 .1217 .1255 .1293 .1331

.1554 .1591 .1628 .1664 .1700

.1915 .1950 .1985 .2019 .2054

.2257 .2291 .2324 .2357 .2389

.2580 .2611 .2642 .2673 .2703

.2881 .2910 .2939 .2967 .2995

89

例四：例四： P(7.1 P(7.1 XX 8) 8)

= 5

= 10

87.1 X = 5

= 10

87.1 X

0347.

0832.1179.

)21.Z0(P)3.0Z0(P

)30.Z 21.(P)10

58X

10

51.7(P

0347.

0832.1179.

)21.Z0(P)3.0Z0(P

)30.Z 21.(P)10

58X

10

51.7(P

= 0

= 1

.30 Z.21 = 0

= 1

.30 Z.21

.0832.0832

.1179.1179 .0347.0347 .0347.0347


90

例題五：燈泡壽命例題五：燈泡壽命值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值

值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值 a 值值值值值值值值值 b 值值值值值值值值值

91

例題五解例題五解 1. X ~N(μ,σ2 ), μ=2000, σ=200 2. a. 求 P(2000 ≤ X ≤ 2400)=? 3. b. 求 P( X ≤ 1470)=?

z .00 .01 .02 .03 .04 .05

2.0

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

.4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798

.4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842

.4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878

.4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906

.4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929

.4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946

.4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960

.4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970

標準化、查 Z 表Z 表

( 部分 )

92

例題五解例題五解

X = 2000

= 200

2400 X = 2000

= 200

2400

4772002Z0P

200

20002400X0P2400X2000P

.).(

)()(

4772002Z0P

200

20002400X0P2400X2000P

.).(

)()(

Z = 0

= 1

2.0 Z = 0

= 1

2.0

.4772.4772 .4772.4772

查查 Z Z 表表

標準化標準化

93

例題五解例題五解

X = 2000

= 200

1470 X = 2000

= 200

1470

0040.04960.05.0

)0Z65.2(P5.0)65.2Z(P

)200

20001470X(P)1470X(P

0040.04960.05.0

)0Z65.2(P5.0)65.2Z(P

)200

20001470X(P)1470X(P

Z = 0

= 1

-2.65 Z = 0

= 1

-2.65

.4960.4960.4960.4960 .0040.0040 .0040.0040

.5000.5000

94

Z = 0

= 1

? Z = 0

= 1

?

給定機率、求給定機率、求 ZZ 值值

.1217.1217.1217.1217

P ( 0 < Z < Zo ) = .1217P ( 0 < Z < Zo ) = .1217

ZoZo 為何值為何值 ??

P ( 0 < Z < Zo ) = .1217P ( 0 < Z < Zo ) = .1217


陰影面積有誇大

Shaded area exaggeratedShaded area exaggerated



95

Z .00 0.2

0.0 .0000 .0040 .0080

0.1 .0398 .0438 .0478

0.2 .0793 .0832 .0871

.1179 .1255

Z .00 0.2

0.0 .0000 .0040 .0080

0.1 .0398 .0438 .0478

0.2 .0793 .0832 .0871

.1179 .1255

Z = 0

= 1

? Z = 0

= 1

?


.1217.1217.1217.1217.01

0.3 .1217

查標準常態分配表查標準常態分配表 (( 部分部分 ))查標準常態分配表查標準常態分配表 (( 部分部分 ))





P ( 0 < Z < Zo ) = .1217P ( 0 < Z < Zo ) = .1217


P ( 0 < Z < Zo ) = .1217P ( 0 < Z < Zo ) = .1217


96

Z .00 0.2

0.0 .0000 .0040 .0080

0.1 .0398 .0438 .0478

0.2 .0793 .0832 .0871

.1179 .1255

Z .00 0.2

0.0 .0000 .0040 .0080

0.1 .0398 .0438 .0478

0.2 .0793 .0832 .0871

.1179 .1255

Z = 0

= 1

.31 Z = 0

= 1

.31


.1217.1217.1217.1217.01.01

0.30.3 .1217陰影面積有誇大




P ( 0 < Z < Zo ) = .1217P ( 0 < Z < Zo ) = .1217

ZoZo 為何值為何值 ? ? Zo = 0.31Zo = 0.31

P ( 0 < Z < Zo ) = .1217P ( 0 < Z < Zo ) = .1217

ZoZo 為何值為何值 ? ? Zo = 0.31Zo = 0.31

查標準常態分配表查標準常態分配表 (( 部分部分 ))查標準常態分配表查標準常態分配表 (( 部分部分 ))

97

給定機率、求出給定機率、求出 XX 值值

X= 5

= 10

? X= 5

= 10

?

某隨機變數 X~ N ( 5, 100 )X~ N ( 5, 100 )某隨機變數 X~ N ( 5, 100 )X~ N ( 5, 100 )

.1217.1217 .1217.1217


Shaded areas exaggeratedShaded areas exaggerated


Shaded areas exaggeratedShaded areas exaggerated

12170

xX5P o

.

)(

98

給定機率、求出給定機率、求出 XX 值值

12170

zZ0P

xX5P

o

o

.

)(

)(

X= 5

= 10

? X= 5

= 10

? Z = 0

= 1

.31 Z = 0

= 1

.31

標準化後標準化後標準化後標準化後

.1217.1217 .1217.1217

陰影面積有誇大陰影面積有誇大

12170

xX5P o

.

)(

99

給定機率、求出給定機率、求出 xx 值值

X= 5

= 10

? X= 5

= 10

?

1217.)1.85 P( 1.8

1031.5

105

,

X

zx

ZXX

Z

oo

1217.)1.85 P( 1.8

1031.5

105

,

X

zx

ZXX

Z

oo

Z = 0

= 1

.31 Z = 0

= 1

.31

.1217.1217 .1217.1217 .1217.1217 .1217.1217

陰影面積有誇大陰影面積有誇大標準化標準化標準化標準化

100


對任一符合常態分配之隨機變數A. 給定 x 值、求出機率B. 給定機率、求出 x 值

標準化查表

101

例題六：垃圾袋強度例題六：垃圾袋強度假設你和台北市政府簽約生產垃圾袋。一般塑膠袋可承受

垃圾之強度呈常態分配。若契約上規定某一尺寸垃圾袋之承受力的平均數值 20 斤，且標準差 7 斤。試問從市面銷售貨架上，隨機抽出一個袋子測其強度可承受

a. 25 斤以上之機率為何 ? b. 介於 13 斤和 25 斤之機率為何 ? c. 有 1% 的垃圾袋少於某承受力，欲知其承受力有多少 ?

102

例題六：垃圾袋強度例題六：垃圾袋強度

垃圾袋承受強度呈常態分配

X ~ N = 20= 49 ) a. 25 斤以上之機率為何 ?

P(X>25) = ?

P(Z>(25-20)/7)=P(Z>0.7143)

P(Z > 0.71)

= 0.5 - 0.2611 = 0.2389

z .00 .01 .02 .03 .04

.0

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.0000 .0040 .0080 .0120 .0160

.0398 .0438 .0478 .0517 .0557

.0793 .0832 .0871 .0910 .0948

.1179 .1217 .1255 .1293 .1331

.1554 .1591 .1628 .1664 .1700

.1915 .1950 .1985 .2019 .2054

.2257 .2291 .2324 .2357 .2389

.2580 .2611 .2642 .2673 .2703

.2881 .2910 .2939 .2967 .2995

103

例題六：垃圾袋強度例題六：垃圾袋強度垃圾袋承受強度呈常態

分配 X ~ N = 20= 49 ) b. 介於 13 斤和 25 斤之

機率為何 ?

P(13<X<25) = ?

P((13-20)/7 <Z < (25-20)/7)

= P(-1 < Z < 0.71) = 0.3413 + 0.2611 = 0.6024

z .00 .01 .02 .03 .04

.0

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.9

1.0

.0000 .0040 .0080 .0120 .0160

.0398 .0438 .0478 .0517 .0557

.0793 .0832 .0871 .0910 .0948

.1179 .1217 .1255 .1293 .1331

.1554 .1591 .1628 .1664 .1700

.1915 .1950 .1985 .2019 .2054

.2257 .2291 .2324 .2357 .2389

.2580 .2611 .2642 .2673 .2703

.2881 .2910 .2939 .2967 .2995

.3159 .3186 .3212 .3238 .3264

.3413 .3438 .3461 .3485 .3508

104

例題六：垃圾袋強度例題六：垃圾袋強度垃圾袋承受強度呈常態分配 X ~ N = 20= 49 ) c. 機率為 .01 之承受強度 ?

P(X<x) =.01 x=?

X = 20

= 7

X=?

.01.01.01.01

105

例題六：垃圾袋強度例題六：垃圾袋強度垃圾袋承受強度呈常態分配 X ~ N = 20= 49 ) c. 機率為 .01 之承受強度 ?

P(X<x) =.01 x=?

X = 20

= 7

X=?

.01.01

Z = 0

= 1

Z=?

0.490.49

0.50.50.50.5

106

例題六：垃圾袋強度例題六：垃圾袋強度 X ~ N = 20= 49 ) P(X<x) =.01 x=?

P(Z < (μ-20)/7) =0.01

= 0.5-P(z < Z < 0)

P(z < Z < 0)=.49, z -2.33,

x = 20+(-2.33)7

=20-16.31=3.69( 斤 )

z .00 .01 .02 .03 .04 .05

2.0

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

.4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798

.4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842

.4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878

.4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906

.4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929

.4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946

.4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960

.4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970

107

例題七：通訊費用例題七：通訊費用在某地區通訊業者，由以往資料獲悉每月客戶

通訊費用符合常態分配，且具有平均費用 400 元，標準差 80 元。試問

a. 有多少用戶的通訊費用，介於 360 至 480 元之間 ? 若該地區該業者的用戶共有一萬戶。 b. 欲知 70.54% 的客戶之每月通訊費用是在多

少元以下 ?

108

例題七：通訊費用例題七：通訊費用

客戶通訊費用呈常態分配 X ~ N = 400=6400 ) a. 介於 360 至 480 為何 ?

P(360<X<480) = ?

P((360-400)/80<Z<(480-400)/80)

=P(-0.5<Z<1)

=0.1915+0.3413=0.5328

10000 × 0.5328 = 5328 (戶 )

z .00 .01 .02 .03 .04

.0

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.9

1.0

.0000 .0040 .0080 .0120 .0160

.0398 .0438 .0478 .0517 .0557

.0793 .0832 .0871 .0910 .0948

.1179 .1217 .1255 .1293 .1331

.1554 .1591 .1628 .1664 .1700

.1915 .1950 .1985 .2019 .2054

.2257 .2291 .2324 .2357 .2389

.2580 .2611 .2642 .2673 .2703

.2881 .2910 .2939 .2967 .2995

.3159 .3186 .3212 .3238 .3264

.3413 .3438 .3461 .3485 .3508

109

例題七：通訊費用例題七：通訊費用客戶通訊費用呈常態分配 X ~ N = 400=6400 ) b. 求 70.54% 的用戶費用 P(X<x) =.7054, x=?

XXμ x =?ZZ

0 ?

標準化標準化

110

例題七：通訊費用例題七：通訊費用

客戶通訊費用呈常態分配 X ~ N = 400=6400 ) b. 求 70.54% 的用戶費用 P(X<x) =.7054, x=?

P(Z<(x-400)/80)=0.7054 =0.5+P(0<Z<z)

P(0<Z<z)=0.2054查表 z = .54 標準化 x = 400+.5480= 443.2 (元 )

z .00 .01 .02 .03 .04

.0

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.9

1.0

.0000 .0040 .0080 .0120 .0160

.0398 .0438 .0478 .0517 .0557

.0793 .0832 .0871 .0910 .0948

.1179 .1217 .1255 .1293 .1331

.1554 .1591 .1628 .1664 .1700

.1915 .1950 .1985 .2019 .2054

.2257 .2291 .2324 .2357 .2389

.2580 .2611 .2642 .2673 .2703

.2881 .2910 .2939 .2967 .2995

.3159 .3186 .3212 .3238 .3264

.3413 .3438 .3461 .3485 .3508

111

二項分配機率以常態近似求解二項分配機率以常態近似求解

Normal Approximation of BinNormal Approximation of Binomial Distributionomial Distribution

112

.0.0

.1.1

.2.2

.3.3

00 22 44 66 88 1010yy

考慮考慮 YY 是二項隨機變數是二項隨機變數 ; p(; p(yy)=P()=P(YY==yy))

二項分配機率二項分配機率

113

二項分配機率表二項分配機率表 1. 課本附錄之二項分配機率表並不完備通常只給實驗次數 (n) 小於 20 或 25 以下的

機率且表示出的實驗成功機率 p 值有限，大多為 0.1, 0.2, … , 0.9

114

二項分配近似常態分配二項分配近似常態分配1. 課本附錄之二項分配機率表並不完

備2. 一些二項分配常近似常態分配曲線例如 : 實驗成功機率為 0.5 (p=0.5) 的二項分配

或實驗數很大的一些二項分配

.0.0

.1.1

.2.2

.3.3

00 22 44 66 88 1010XX

P(P(XX))

115

二項分配以常態分配近似二項分配以常態分配近似 1. 課本附錄之二項分配機率表並不完備– 當 p 未列在表上且 n 太大計算累計費

時 2. 二項式分配以常態分配曲線近似

– 實驗成功機率為 0.5 (p=0.5) 的二項分配或實驗數很大的一些二項分配 3. 需使用「連續校正」，以使近似

值更精準

Y ~ B( Y ~ B( nn=10=10, , pp = 0.50) = 0.50)

.0.0

.1.1

.2.2

.3.3

00 22 44 66 88 1010XX

P(P(XX))

XX ~ ~ N ( N ( , , 22))

116

近似機率的觀念近似機率的觀念

應用連續型隨機變數的分配

近似不連續值隨機變數的分配

進而將欲找出之不連續值隨機變數的機率

以連續值隨機變數求出其近似的機率值

應用連續型隨機變數的分配

近似不連續值隨機變數的分配

進而將欲找出之不連續值隨機變數的機率

以連續值隨機變數求出其近似的機率值

117

.0.0

.1.1

.2.2

.3.3

如何求得其近似機率如何求得其近似機率 ??

00 22 44 66 88 1010yy

P(P(yy)) Y ~ B( Y ~ B( n n =10=10, , pp = 0.50) = 0.50)

118

.0.0

.1.1

.2.2

.3.3

00 22 44 66 88 1010yy

P(P(yy))


119

.0.0

.1.1

.2.2

.3.3

00 22 44 66 88 1010yy

P(P(yy))


P(P(YY=4) ==4) = 長方形的長度長方形的長度

120

.0.0

.1.1

.2.2

.3.3

00 22 44 66 88 1010xx

P(P(xx))


長方形面積長方形面積 PP(( 3.5 < X < 4.53.5 < X < 4.5 ))

121

.0.0

.1.1

.2.2

.3.3

00 22 44 66 88 1010xx

P(x)P(x)


常態機率為常態機率為 xx 從從 3.53.5 至至 4.54.5 間之間之面積面積

122

.0.0

.1.1

.2.2

.3.3

00 22 44 66 88 1010xx

P(x)P(x)


PP(( 3.5 < X < 4.53.5 < X < 4.5 ))

123

.0.0

.1.1

.2.2

.3.3

00 22 44 66 88 1010xx

P(x)P(x)


常態分配曲線面積增加部份常態分配曲線面積增加部份

124

.0.0

.1.1

.2.2

.3.3

00 22 44 66 88 1010xx

P(x)P(x)

如何求得其近似機率如何求得其近似機率 ??曲線下面積曲線下面積增加部份部份

曲線面積曲線面積未計部份部份

125

連續校正連續校正Correction for Continuity Correction for Continuity

1. 欲計算 P( X = a ) 機率時，需以 P(a-0.5 < X < a+0.5) 來計算。

2. 當離散型分配機率以連續型機率分配近似求機率時，就須考慮在其端點做 ±0.5 的校正。

3. 可增加精確度。

4.54.5(4 + (4 + .5.5) )

3.53.5

(4 - (4 - .5.5) ) 44

126

二項隨機變數實驗二項隨機變數實驗以常態近似的方法求其機率的以常態近似的方法求其機率的

先決條件先決條件在實驗數 (n) 很大，或當計算累計很費時之時，

若其平均數 (np) 加減 3 倍標準差 ( ) 介於 0 到 n 之間，就能以常態近似的方法求機率。

n p1np3np30 n p1np3np30

)p1(np

127

二項隨機變數實驗二項隨機變數實驗以常態近似的方法求其機率的以常態近似的方法求其機率的

先決條件先決條件

或以 np5 ，且 n(1-p) 5 來判斷，亦能以常態近似的方法求機率。

128

常態近似的求解步驟常態近似的求解步驟 1. 判斷二項分配是否近似常態分配。 a.

b. np5 ，且 n(1-p) 5

2. 將欲求之二項隨機變數的區域，改以常態隨機變數表達。注意選擇適當的「連續校正」數值。

例 :

3. 以一般常態分配方法，求出適當的近似機率值。– 標準化 , 查表。

n p1np3np30 n p1np3np30

))p1(pn,pn(N~X),p,n(B~Y

)),5.0a(X(P )aY(P

))p1(pn,pn(N~X),p,n(B~Y

)),5.0a(X(P )aY(P

129

.0.0

.1.1

.2.2

.3.3

00 22 44 66 88 1010

xx

P(P(xx))

常態近似例題常態近似例題

3.53.5 4.54.5

假設隨機變數假設隨機變數 YY 為符合為符合 nn = 10, = 10, pp = 0.5 = 0.5 之之二項分配。試求二項分配。試求 PP((YY = = 44)) 的常態近似的常態近似解解 ??

130

常態近似例題解常態近似例題解 1. 判斷是否近似常態分配 ?

– 落在 0 到 10 之間 , 所以適用。 2. 二項隨機變數的區域，改以常態隨機變數表

達。

.749 ,26.074.45

5.015.01035.010p1np3np

.749 ,26.074.45

5.015.01035.010p1np3np

)5.4X5.3(P

5.3XP5.4XP

)3Y(P)4Y(P4YP

)5.4X5.3(P

5.3XP5.4XP

)3Y(P)4Y(P4YP

131

常態近似例題解常態近似例題解3.3. 計算標準化計算標準化 ΖΖ 值值 : :

32.05.2

55.4

)p1(np

np5.0bZ

95.05.2

55.3

)p1(np

np5.0aZ

4Y

3Y

132

= 0= 0

常態近似例題解常態近似例題解

= 1= 1

-.32-.32 ZZ-.-.9595

.1255.1255

.3289.3289- - .1255.1255

.2034.2034

.3289.3289

4.4. 查查 ZZ 表，並以標準常態分配圖適切表達表，並以標準常態分配圖適切表達 ::

2034.01255.03289.0

)95.0Z(P)32.0Z(P

5.3XP5.4XP4YP

2034.01255.03289.0

)95.0Z(P)32.0Z(P

5.3XP5.4XP4YP

133

常態近似例題解常態近似例題解

.0.0

.1.1

.2.2

.3.3

5.5. 以原二項分配解以原二項分配解 P(Y=4)=10!/(4!6!)P(Y=4)=10!/(4!6!)××0.50.544××0.50.56 6 = 0.2000= 0.2000

( ( 比較近似解比較近似解 0.2034)0.2034)

00 22 44 66 88 1010yy

P(P(yy))

134




135

指數分配指數分配

Exponential DistributionExponential Distribution

136


1. 描述事件彼此發生的間隔時間或距離– 排隊等待時間 (queues)

例 : 買票、搭車、看病候診… 汽車行駛哩程數

137


1. 描述事件彼此發生的間隔時間或距離– 排隊等待時間 (queues)

例 : 買票、搭車、看病候診… 汽車行駛哩程數

2. 機率密度函數為

平均數為 1/ ，標準差為 1/ 。

0x,0

0x,e)x(f

x

0x,0

0x,e)x(f

x

138

指數分配指數分配以等待時間為例，其指數機率密度函數為

f (x)= e , x 0

為單位 / 時間

X

f(X)

X

f(X)

= 0.5= 0.5

= 2.0= 2.0

xx

值值值值值值值值值值值值值值值值值值 // 單位單位

值值值值值值值值值值值值值值值值值值 // 單位單位

139

指數分配機率指數分配機率

x

f(x)

a

A P x a e a ( ) A P x a e a ( )

0x,e)x(f,1

)(E~X

x

140

指數分配指數分配例一例一 : : 等車等車

某公車站平均每 15 分鐘來一班車，已知等車時間符合指數分配。試問前輛車開走後，下輛車等候少於30 分鐘的機率為何？

141

例一解例一解 : : 等車等車

230

15

1

x15

1

a

e1e1)30X(P1)30X(P

e15

1)x(f,

15

1,

1

e)aX(P

15),(E~X

值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值 2e1

142

例一另解例一另解 : : 等車等車

)1(e)aX(P

1,15),(E~X

a

值值值值值值值值值值值值值值值值值值值

P (第 i 輛車等候時間超過 a 分鐘 )

=P (第 i 輛車與下輛車等候間隔時間超過 a 分鐘 )

=P ( a 分鐘內沒有車來 )

值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值

值值值值值值值值值值值值值值值值值值值

P (第 i 輛車等候時間超過 a 分鐘 )

=P (第 i 輛車與下輛車等候間隔時間超過 a 分鐘 )

=P ( a 分鐘內沒有車來 )

值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值

143

例一另解例一另解 : : 等車等車

)1(e)aX(P

1,15),(E~X

a

2

2

e1)30X(P

e1)0Y(P1)0Y(P

值值值值值值值值值值值值

值值值值值值值

值值值值值值值值值值值值

值值值值值值值

202

e!0

2e)0Y(P

2),(P~Y

值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值

值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值

144

指數分配指數分配例二例二 : : 註冊註冊

某大學的註冊櫃台僅有一位辦事員。學生前來辦理事務，平均服務一位學生的時間為 5 分鐘，已知服務時間是符合指數分配。試問學生接受服務的時間超過 15 分鐘的機率為何？

145

例二解例二解 : : 註冊註冊

303

e!0

3e)0Y(P

3),(P~Y

%5

049787.0

e)15X(P

e)aX(P

1551

a

%5

049787.0

e)15X(P

e)aX(P

1551

a

註：平均五分鐘來一名，即註：平均五分鐘來一名，即 == 5 5或或 ==1/ 51/ 5 。也可以得到。也可以得到 1515 分分鐘平均來鐘平均來 33 位。位。

146

總結總結1. 定義連續型隨機變數2. 均勻 (uniform) 、常態 (normal) 以及

指數 (exponential) 分配的介紹3. 相關連續型隨機變數機率的計算4. 以常態分配機率近似二項分配機率5. 指數分配與卜瓦松 (poisson) 分配

147

關於本講程關於本講程 ......

1. 你學到哪些 ?

2. 想想在您日常生活中，是否有某些事物或現象符合我們以上所提的各種分配 ? 您是否能找出其可能發生的機率。

3. 是否還有相關問題與疑問 ?

請你靜下來想一想請你靜下來想一想 ::

第 七 講

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第七講