本章研究如何通过（ 0, １）区间上均匀分布的随机数，获得其它各种分布的随机变量的方法。

随机变量是模拟模型的输入变量，而且是以随机变量

的样本输入模型的。模拟模型输入分析： 1. 是否随机变量？ 2. 分布是否已知？

3. 参数是否已知？4. 伪随机数产生

假定随机变量的分布是已知的。 问题：要找出从已知分布中产生随机样本的方法。

逆变换法，函数变换法，组合法，取舍法，近似法

定理： 若 X 是任意分布的随机变量， 其 CDF 为 F(x) =P {X ≤x} ， 则 Y = F (x) 是在（ 0,1 ）区间内的均匀分布的

随机变量，并且它与 X 的分布特征无关。证明：

Fig.

1 确定随机变量 X 的 CDF ， F(x) ；2 产生（ 0,1 ）随机数 u ； 令 u = F(x)3 求反函数 X= F-1(u) 则在任意分布函数中进行模拟采样可以通过（ 0,

1 ）之间均匀分布的模拟采样来达到。

1 1ln(1 ) ln( )x u u

( )1

( )

/ ( ) ( )

0 else

1 ( )0

x v

x v

x ve x v

f x

e x vF xx v

1/[ ln(1 )]x

以正态分布为例

先产生多个 0-1 均匀分布，再利用中心极限定理

有哪些要求？

§6.1 随机数及其产生

1 ）兰德公司：从随机数库中随机抽取（ 50 年代） 美国兰德公司在 1950年曾将 100万个在（ 0 ， 1 ）区间内的实数存入计算机外存储器，以便在仿真过程中进行随机调用。

由于效率太低，并且不能保证均匀分布的性质，这种方法不久即被淘汰。

如何产生随机数

2 ）科学家建议将计算机连接到物理效应设备（如噪声源）上获得随机数流 .

这种方法的随机性和均匀性最好，但产生过程太复杂，也未能得到推广。

3 ）通过数学算法由计算机产生随机数。这种方法具有简单易行，占用内存少，运行速度快的优点，因此得到广泛的应用。

种子 迭代 均匀性？ 独立性？ 范围？

§6.1 随机数及计算机产生伪随机数其产生

§6.1 随机数及其产生– 0~1间隔均匀分布随机数（ 1 ）随机数值是 0 到 1 的范围内的实数，包括 0 ，或

者包括或者不包括 1 。（ 2 ）在所定义的区间内，要具有均匀性。即将区间

[0,1] 分隔为 n 个等长的子区间，则在每一个子区间得到的观察值的个数的期望值应该等于 N / n ，

（ 3 ）在所定义的区间内，要具有独立性。即每个观察值落在某一子区间的概率和前一观察值无关。

（ 1 ）较长的循环周期（ 2 ）再现性（ 3 ）产生伪随机数的算法过程应尽可能简单，以便减少所占用的内存和提高仿真效率。

§6.1 随机数及其产生

1 ） . 平方取中法5.均匀分布随机数生成算法举例

2 ） . 乘法取中法

3 ） . Fibonacci 序列法4 ） . 线性同余法。

由冯 ·纽曼在 40 年代中期提出

利用这个方法产生的伪随机数序列的重复周期通常较短。

对于较长的伪随机数序列，利用这种方法可能无法通过随机性的统计检验。

生成一定数目的随机数之后，往后产生的数可能都为 0 。这种现象的出现称为“退化为零”。

例 利用“平方取中法”产生两位数的随机数序列，种子数取为 x0=44 。

例 设在产生四位数的随机数过程中，得到了一个xi 值为 4500 ，即

X0=7229 X0’=2938

R=21238802 X1=2388

R=17262852 X2=2628

R=06275664 X3=2756

…

例 取 x0 =1 ， x1 =3 ， m=8 ，求由上述递推公式可以得到不同的随机数。

线性同余法在 1951 年由菜默尔首先提出，目前大多数随机数发生器都采用这种方法

初始值 x0 称为种子，常数 a 称为乘子，常数 c 称为增量，而常数 m 称为模数。

1 ( ) modn nx ax c m

/n nR x m

例 设 a=5 ， c=3 ， m=16 ，取 x0=7 ，利用线性同余法产生随机数序列。

一般来讲，存在重复性。合理地选择 a,c,x0 和 m ，可以使重复周期充分长

m ： 取值尽量大，为 (2k-1)最好， k 最大字位数• a 和 c 的选取：当且仅当下列条件满足重复周期为 m （这

是最好的情况）。◦ c 与 m 互质◦ (a-1) 是每个能整除m 的质数的倍数。◦ 如果m 能被 4 整除，则 (a-1)也能被 4 整除。

对于乘同余法，由于 c=0 ，无论怎样选择 m ，都无法满足 c 与 m 互质的条件，因而不可能得到满周期

若选择 m=2k，则所产生的随机数序列的周期p≤m/4=2k-2 ，即在 0 至 m-1 之间的整数

至多只有四分之一可能成为 xn 的值，而且这四分之一的整数在 0 至 m-1 之间是如何分布的尚难确定。这与种子数 x0 的选取有关。