2.1 随机过程的基本概念和统计特性

2.2 平稳随机过程

2.3 高斯随机过程

2.4 随机过程通过线性系统

2.5窄带随机过程

2.6信道与噪声

第 2 章随机过程

2.1 随机过程的基本概念和统计特性

图 2- 1 样本函数的总体

一、随机过程的定义

设 Sk(k=1, 2, …) 是随机试验。 每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作 xi(t) ，所有可能出现的结果的总体 {x1(t), x2(t) ， … , xn(t) ， … } 就构成一随机过程，记作 X(t) 。简言之， 无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。

它兼有随机变量和时间函数的特点。

二、随机过程的统计特性

随机过程的两重性使我们可以用与描述随机变量相似的方法， 来描述它的统计特性。

分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性 , 但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。

随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。

注意，这里 t1 是任取的，所以可以把 t1 直接写为 t, x1 改为 x, 这时上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作 a(t) ， 于是

dxtxpxtXEta ),()]([)( 1

a(t) 是时间 t 的函数，它表示随机过程的 n 个样本函数曲线的摆动中心。

111111 ),()]([ dxtxpxtXE

1. 数学期望 设随机过程 X(t) 在任意给定时刻 t1 的取值 X(t1) 是一个随机变量，其概率密度函数为 p1(x1, t1) ，则 X(t1) 的数学期望为

2. 方差

dxtxptax

tatXEtXDt

)()]([

)]()([)]([)(

12

22

；

D[X(t)] 常记为 σ2(t) 。它表示随机过程在时刻 t 对于均值 a(t) 的偏离程度。均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系， 还需利用二维概率密度引入新的数字特征。

3. 相关函数

衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数 C(t1, t2) 和相关函数 R(t1, t2) 来表示。

21212122211

221121

),;,()]()][([

)]()()][()([),(

dxdxttxxptaxtax

tatXtatXEttC

212121221

1121

),;,(

)]()([),(

dxdxttxxpxx

tXtXEttRX

本书主要采用自相关函数。

2.2 平稳随机过程

一、定义 统计特性不随时间的推移而变化。

设随机过程 {X(t) ， t T},∈ 若对于任意 n 和任意选定 t1 ＜ t2

＜…＜ tn, tk T∈ ， k=1, 2, …, n ，以及 n 为任意值，且 x1, x2, …,

xn R∈ ，有

pn(x1, x2, …, xn; t1, t2, …, tn)=pn(x1, x2, …, xn; t1+τ, t2+ τ, …, tn+ τ)

则称 X(t) 是平稳随机过程。 该定义说明，当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的， 具体到它的一维分布 , 则与时间 t 无关，而二维分布只与时间间隔 τ 有关，即有

p1(x1, t1)=p1(x1)

p2(x1, x2; t1, t2)=p2(x1, x2; τ)

adxtxpxtXE

),()]([ 1

这表示平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏。同样，可以证明平稳随机过程的方差 σ2(t)=σ2= 常数，表示它的起伏偏离数学期望的程度也是常数。而平稳随机过程 X(t)

的自相关函数尽与时间间隔有关。

）（

Rdxdxxxpxx

tXtXEttR

2121221

1121

);,(

)]()([),(

设有一个随机过程 X(t) ，它的均值为常数，自相关函数仅是 τ 的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。相应地，由严格的 n 维概率密度函数定义的过程为严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。因为广义平稳随机过程的定义只涉及与一维、 二维概率密度有关的数字特征，所以一个严平稳随机过程只要它的均方值 E ［ X2(t) ］有界，则它必定是广义平稳随机过程，但反过来一般不成立。

通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的， 且均指广义平稳随机过程， 简称平稳过程。

二、平稳随机过程自相关函数的性质

对于平稳随机过程而言， 它的自相关函数是特别重要的一个函数。其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。

设 X(t) 为实平稳随机过程， 则它的自相关函数 R(τ)=E[X(t)X(t+τ)]

（ 2 ） R(∞)=E2[X(t)] (X(t) 的直流功率 )

具有下列主要性质：

（ 1 ） R(0)=E[X2(t)]=S (X(t) 的平均功率 )

（ 3 ） |R(τ)|≤R(0) (R(τ) 的上界 )

三、各态历经性

2/

2/)(

1)( lim

T

TT

dttxT

txa

2/

2/)()(

1)()()( lim

T

TT

dttxtxT

txtxR

假设 x(t) 是平稳随机过程 X(t) 的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为

如果平稳随机过程依概率 1 使下式成立： aa

)()( RR

“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。

则称该平稳随机过程具有各态历经性。

注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声， 一般均能满足各态历经条件。

四、平稳随机过程的功率谱密度

随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。

T

wXwP T

Tx

2)(

)( lim

随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对于任意的确定功率信号 x(t) ，它的功率谱密度为

图 2-2 功率信号 x(t) 及其截短函数

T

WXEPEwP T

TxX

])([lim)]([)(

2

d

T

XEdpP T

T

2)(

2

1)(

2

1lim

deRP jwX )()(

随机过程的功率谱密度应该是每一样本的统计平均值

为方便求功率谱密度函数可利用维纳 --辛钦关系

例 2 - 1某随机相位余弦波 X(t)=Acos(ωct+θ) ，其中 A 和ωc 均为常数， θ 是在 (0,2π) 内均匀分布的随机变量。

（ 1 ） 求 X(t) 的自相关函数与功率谱密度；

（ 2 ） 讨论 X(t) 是否具有各态历经性。

解 (1) 先考察 X(t) 是否广义平稳。

X(t) 的数学期望为

dtwAtXEta c 2

1)cos()]([)(

2

0

dtwtw

Acc )sinsincos(cos

2

2

0

常数）(0])sinsin(cos[cos2

2

0

2

0

dtwdtwA

cc

X(t) 的自相关函数为)]()([),( 2121 tXtXEttR

)]cos()cos([ 21 twAtwAE cc

]}2)(cos[)({cos2 1212

2

ttwttwEA

cc

dttwA

ttwA

cc 2

1]2)(cos[

2)(cos

2 12

2

0

2

12

2

0)(cos2 12

2

ttwA

c

由此可见 X(t) 的数学期望为常数， 而自相关函数只与时间间隔 τ 有关， 所以 X(t) 为广义平稳随机过程。

所以，功率谱密度为

(2) 现在来求 X(t) 的时间平均：

0)cos(1 2/

2/lim dttwA

Ta

T

T cT

根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即 R(τ)↔PX(ω) ，则

)]()([cos ccc

)]()([2

)(2

ccX

AP

dtttwAtwAT

R c

T

T cT

])(cos()cos(1

)(2/

2/lim

])22cos(cos[2

lim2/

2/

2/

2/

2

dtwtwdtwT

Ac

T

T c

T

T cT

cwA

cos2

2

比较 统 计 平 均 与 时 间 平 均 ， 得 a= , R(τ)=

， 因此，随机相位余弦波是各态历经的。 a )(R

2.3 高斯随机过程

一、定义

若随机过程 X(t) 的任意 n 维（ n=1, 2, … ）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。

]2

)(exp[

2

1)(

2

2

ax

xp

式中， a 为高斯随机变量的数学期望， σ2 为方差。

图 2-3 正态分布的概率

二、重要性质

（ 1 ） 高斯过程的 n 维分布完全由 n 个随机变量的数学期望、 方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。

（ 2 ） 如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由性质（ 1 ）知，它的 n 维分布与时间起点无关。 所以，广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。

（ 3 ） 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的， 那么它们也是统计独立的

（ 4 ） 高斯过程通过线性系统其输出仍是一高斯过程。

)

2

)(exp(

2

1)(

2

2

ax

xp

p(x) 具有如下特性：

(1) p(x) 对称于 x=a 这条直线。

(2)

2

1)()(

a

adxxpdxxp

1)(

dxxp

且有

三、一维高斯分布

3 ） a 表示分布中心， σ 表示集中程度， p(x) 图形将随着 σ 的减小而变高和变窄。当 a=0 ， σ=1 时，称 p(x) 为标准正态分布的密度函数。

dxax

CXpxFC

]2

)(exp[

2

1)()(

2

2

这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用以下几种特殊函数：

4 ）正态分布函数。正态分布函数是概率密度函数的积分，即

（ 1 ） 误差函数和互补误差函数。 误差函数的定义式为

x t dtexerf

0

22)(

它是自变量的递增函数， erf(0)=0,erf(∞)=1 ，且 erf(-x)=-erf(x) 。我们称 1-erf(x) 为互补误差函数，记为 erfc(x), 即

dtexerfxerfcx

t

22)(1)(

它是自变量的递减函数， erfc(0)=1 ， erfc(∞)=0 ，且 erf

c(-x)=2-erfc(x) 。当 x ＞ 2 时（实际应用中只要 x＞ 2) 即可近似有

21)( xe

xxerfc

（ 2 ） 概率积分函数和 Q 函数。 概率积分函数定义为

0,

2

1)( 2/2

xdtexQx

t

aXQCXF )(

)2

(2

1)(

xerfcxQ

)2(2)( xQxerfc

四、高斯白噪声

信号在信道中传输时， 常会遇到这样一类噪声， 它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即

这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。 式中 n0 为一常数，单位是瓦 /赫。显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即

2)( 0n

pn

)(2

)( 0 nR

2.4 随机过程通过线性系统 通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？

这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。

线性系统的响应 r(t) 等于输入信号 e(t) 与系统的单位冲激响应 h(t) 的卷积，即

dthethtetr )()()(*)()(

若 r(t)↔R(ω), e(t)↔E(ω), h(t)↔H(ω) ，则有

R(ω)=H(ω)E(ω)

若线性系统是物理可实现的，则

r(t)= dthrt

)()( 如果把 e(t)看作是输入随机过程的一个样本，则 r(t) 可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过程 X(t) 的每个样本与输出过程 Y(t) 的相应样本之间都满足上述关系。这样，就整个过程而言，便有

dtXhthtXtY )()()(*)()(0

Y(t)=

假定输入 X(t) 是平稳随机过程， 现在来分析系统的输出过程 Y(t) 的统计特性。我们先确定输出过程的数学期望、自相关函数及功率谱密度，然后讨论输出过程的概率分布问题。

dtXh )()(0

00

)()]([)()]([ dhadtXEhtYE

式中利用了平稳性假设 E[X(t-τ)]=E[X(t)]=a( 常数 ) 。

1. 输出过程 Y(t) 的数学期望

由此可见 , 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数 H(0) 的乘积，且 E[Y(t)] 与 t 无关。

2. 输出过程 Y(t) 的自相关函数

)]()([),( 1111 tYtYEttRY

])()()()([ 1010 ddtXhdaatXahE ii

])]()([)()( 1100 ddtXatXEhah ii

根据平稳性

E ［ Xi(t1-α)Xi(t1+τ-β) ］ =RX(τ+α-β)

有 RY(t1, t1+τ)= h(α)h(β)RX(τ+α-β) dαdβ=RY(τ)

00

可见 , Y(t) 的自相关函数只依赖时间间隔 τ 而与时间起点 t1 无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。

3. 输出过程 Y(t) 的功率谱密度

deRwp jwYY

)()(

dedadRhah jwX

])()()([

0 0

令

则有

deRdehdeahP rjw

Xjwjwa

Y )()()()(00

即 )()()()()()(2 XXY PHPHHP

例 2 带限白噪声。试求功率谱密度为 n0/2 的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为

H(ω)= K0e-jwt

0 其他

Hww

解 由上式得 |H(ω)|2= ， |ω|≤ωH 。输出功率谱密度为

PY(ω)=|H(ω)|2PX(ω)= · ， |ω|≤ωH

可见， 输出噪声的功率谱密度在 |ω|≤ωH 内是均匀的， 在此范围外则为零，如图 2 - 5 （ a ）所示，通常把这样的噪声称为带限白噪声。其自相关函数为

20K

20K 2

n

dwewPR jwXY

)(

2

1)(

dfen

K fjfH

fH

2020 2

H

HH w

wfnk

sin0

20

图 2-5 带限白噪声的功率谱和自相关函数

fO

P o ()

O

R o ()

fH£ f H

n 02 K 0

2

12 fH

£ 1

2 fH

K0

n0

fH

2

如图 2 - 5 （ b ）所示，带限白噪声的自相关函数 Ro (τ) 在 τ=

0 处有最大值，这就是带限白噪声的平均功率 :

Ro(0)= n0fH

20k

2.5窄带随机过程

随机过程通过以 fc 为中心频率的窄带系统的输出，即是窄

带过程。 窄带系统，是指其通带宽度 Δf<<fc ，且 fc远离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。

如用示波器观察一个实现的波形，它是一个频率近似为fc ，包络和相位随机缓变的正弦波。

窄带过程的频谱和波形示意

一、窄带随机过程的数学表示

)](cos[)()( tttAtX XcX

)(sin)()(

)(cos)()(

ttAtX

ttAtX

XXQ

XXI

ttXttAtX cQcI sin)(cos)()(

若

则 同相分量

正交分量

设窄带过程 X(t) 是平稳高斯窄带过程，且均值为零，

方差为 σX2 。

二、同相和正交分量的统计特性

1. 数学期望

0]sin)(cos)([)]([ ttXttXEtXE cQcI

0)]([

0)]([

tXE

tXE

Q

I

则有：

2. 自相关函数

)]()([),( tXtXEttRX

)]}(sin)()(cos)([

]sin)(cos)({[),(

ttXttX

ttXttXEttR

cQcI

cQcIX

)(),( XX RttR

其中：

如果窄带过程 X(t) 是平稳的，则 XI(t) 与 XQ(t) 也必将

是平稳的。

若 t=0

RI(t, t+τ)=RI(τ) RIQ(t, t+τ)=RIQ (τ)

若 t=Π/2wc

RQ(t, t+τ)=RQ(τ) RQI(t, t+τ)=RQI(τ)

这表明 X(t) 、 XQ(t) 和 XI(t) 具有相同的平均功率或方差

（因为均值为 0 ）。

RI(0)=RQ(0)=RX(0) 即 σX

2=σI2=σQ

2

3. 平均功率

取 t=t1=0 时， X(t1)=XI(t1)

取 t=t2=π/2ωc 时， X(t2)=XQ(t2)

所以 XI(t1) ， XQ(t2) 也是高斯随机变量，从而 XI(t) 、 X

Q(t) 也是高斯随机过程。

因为 X(t) 在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量， 故有

4. 分布情况

重要结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程 X(t) ，它的同相分量 XI(t) 和正交分量 XQ(t) 也是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同。

5. 功率谱密度

other

WWPPPP cXcX

QI ,0

),()()()(

2.6 信道与噪声

一、信道定义、分类、模型二、恒参信道特性及其对所传信号的影响三、随参信道特性及其对所传信号的影响四、信道的容量

一、信道定义、分类、模型

2. 分类：

随参信道恒参信道

调制信道

编码信道

媒质设备广义

无线有线

仅指传输媒质狭义

1. 定义：以传输媒质为基础的信号的通路。

二、信道的数学模型1〉调制信道模型：

调制器

发转换器 信道

解调器

收转换器

时变线性网络

e0(t)=f[ei(t)]+n(t)=K(t)ei(t)+n(t)

其中， K(t) 为乘性干扰， n(t) 为加性干扰

ei(t) eo(t)

编码器输出

译码器输入

时变线性网络

1. 信道内噪声 人为噪声 单频噪声 自然噪声 脉冲噪声 内部噪声 起伏噪声2. 随机信号分析 （ 1）随机过程的一般表述 随机信号和噪声统称随机过程

信道的加性噪声

信号来源

信号性质

信道噪声按噪声的性质，可将噪声分为：

（ 1 ）单频噪声

（ 2 ）脉冲噪声

（ 3 ）起伏噪声

（ 1 ）单频噪声

单频噪声是一种连续波的干扰，主要是指无线电噪声，还有电源的交流声、信道内设备的自激震荡、高频电炉干扰等也在此类之列。这种噪声的主要特点是其频谱集中在某个频率附近较窄的范围之内，干扰的频率可以通过实测来确定。因此，单频噪声并不是在所有通信系统中都存在，且只要采取适当的措施便可能防止或削弱其对通信的影响。

（ 2 ）脉冲噪声 脉冲噪声是在时间上无规则地突发的短促噪声，如工业上的点火辐射、闪电及偶然的碰撞和电气开关通断等产生的噪声。这种噪声的特点是其突发的脉冲幅度大，但持续时间短，且相邻突发脉冲之间有较长的平静期。从频谱上看，脉冲噪声通常有较宽的频谱（从甚低频到高频）。脉冲噪声主要影响数字信道（编码信道），而对模拟信道（调制信道）的影响比较小。

（ 3 ）起伏噪声 起伏噪声是最基本的噪声来源，是普遍存在和

不可避免的，其波形随时间作不规律的随机变化，且具有很宽的频谱，主要包括信道内元器件所产生的热噪声、散弹噪声和宇宙噪声。从它的统计特性来看，可认为起伏噪声是一种高斯噪声，且在相当宽的频率范围内且有平坦的功率密度谱，可称其为白噪声，故而起伏噪声又可表述为高斯白噪声。热噪声散弹噪声宇宙噪声

起伏噪声 --热噪声

热噪声是由于导体中组成传导电流的自由电子无规则的热运动而引起的。在任何时刻通过导体每个截面的电子数目的代数和是不等于零的，即由自由电子的随机热骚动带来一个大小和方向都不确定（随机）的电流——起伏电流（噪声电流），它们流过导体就产生一个与其电阻成正比的随时间而变化的电压——起伏电压（噪声电压）。

起伏噪声 --散弹噪声

散弹噪声又称散粒噪声或颗粒噪声，是 1918年肖特基研究此类噪声时，根据打在靶子上的子弹的噪声而命名的。

散弹噪声出现在电子管和半导体器件中，电子管中的散弹噪声是由阴极表面发射电子的不均匀性引起的。

起伏噪声 --宇宙噪声 宇宙噪声是指天体辐射波对接收机形成的噪

声，它在整个空间的分布是不均匀的，最强的来自银河系的中部，其强度与季节、频率等因素有关。

实测表明，在 20~300MHz 的频率范围内，它的强度与频率的三次方成反比。

实践证明，宇宙噪声也是服从高斯分布的。在一般的工作频率范围内，它也具有平坦的功率谱密度。

2〉编码信道模型：转移概率描述 P(1/1) 1 1 P(0/0)=1-P(1/0) P(1/0 ) P(0/1) P(1/1)=1-P(0/1) 0 0 P(0/0)

三、恒参信道特性及其对所传信号的影响1.恒参信道特性 K(t) 〜 t 不变或变化缓慢 可等效为一个线性非时变网络用传递函数 H(w)描

述

不失真条件： H(w) 〜w 成一水平线 〜w 成线性关系

〜w 成一水平线2. 对信号传输的影响：线性畸变 ( 幅度、相位 )

)()()( jeHH

)(

)(

w

w

四、 随参信道特性及其对所传信号的影响

1. 随参信道特性： K(t) 〜 t 变化快2. 随参信道的传输媒质的三个特点： （ 1）对信号的衰耗随时间而变； （ 2 ）传输的时延随时间而变； （ 3）多径传播。3. 对信号的影响：衰落与扩散4. 改进措施：分集接收

四、信道容量—信道可能传输的最大信息速率

)/)(1(log2 sbitN

SBC

作业： 2.5 2.8 2.10 2.13