אלגוריתמים נבחרים בתורת הגרפים

עצים סדורים – מספרי קטלן

מספרי קטלן 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786,

208012, 742900, 2674440, 9694845, …

1

2

n

n

n

מספרי קטלן

:להוכיח כי מספר העצים הבינאריים המצביים המטרה

.Cnקודקודים שווה למספר קטלן nעם

.בעצם מדברים על קונפיגורציות שונות של עצים בינאריים

:תזכורת

עץ מכוון בעל התכונות הבאות: עץ מצבי:•

.Σ = {0, 1, 2, ….., σ-1} נתון לכל קשת בעץ משויכת אחת מאותיות א"ב•

לקשתות שונות היוצאות מאותו קודקוד משוייכות אותיות שונות. •

. σמספר הקשתות המקסימלי היוצא מקודקוד הוא לכל היותר •

. למשל, לעלה אין בנים(. σ)יכול להיות קטן מ-

מספרי קטלן

:המצביים עם להוכיח כי מספר העצים הבינאריים המטרהn קודקודים

.Cnשווה למספר קטלן

:השלבים

נגדיר את המושג "סדרה סדורה היטב של סוגריים". נראה כי מספר הסדרות הסדורות •

. Cn סוגרים ימניים שווה למספר קטלן -n סוגרים שמאליים ו nהיטב עם

נגדיר את המושגים "עץ סדור" ו"יער סדור". •

n סוגרים שמאליים ו- nנראה התאמה חח"ע בין קבוצת הסדרות הסדורות היטב עם •

קודקודים. nסוגרים ימניים לבין קבוצת היערות הסדורים עם

קודקודים וקבוצת העצים nנראה התאמה חח"ע בין קבוצת היערות הסדורים עם •

קודקודים.nהמצביים עם

מספרי קטלן

:המצביים עם להוכיח כי מספר העצים הבינאריים המטרהn קודקודים

.Cnשווה למספר קטלן

:השלבים

נגדיר את המושג "סדרה סדורה היטב של סוגריים". •

)הגדרה רקורסיבית( סדרה סדורה היטב של סוגריים":"•

הסדרה הריקה סדורה היטב. •

)שרשור הסדרות( היא סדרה AB הן סדרות סדורות היטב של סוגריים אזי גם B ו- A אם •

סדורה היטב.

( סדורה היטב. A סדורה היטב אזי גם )Aאם •

לא קיימות סדרות סדורות היטב אחרות. •

מספרי קטלן

:להוכיח כי מספר העצים הבינאריים המצביים עם המטרהn

.Cnקודקודים שווה למספר קטלן

:השלבים

נגדיר את המושג "סדרה סדורה היטב של סוגריים". נראה כי מספר הסדרות •

. Cn סוגרים ימניים שווה למספר קטלן -n סוגרים שמאליים ו nהסדורות היטב עם

סדרת סוגריים היא סדרת סוגריים סדורה משפט )לא נוכיח. נשתמש בו מיד(:•

היטב אם ורק אם היא מכילה מספר זוגי של סוגרים, מחציתם שמאליים ומחציתם

ימניים, ובתהליך קריאת הסדרה משמאל לימין מספר הסוגרים הימניים קטן או שווה

ממספר הסוגרים השמאליים שנקראו.

מספרי קטלן

:להוכיח כי מספר העצים הבינאריים המצביים המטרה

.Cnקודקודים שווה למספר קטלן nעם

:השלבים

נגדיר את המושג "סדרה סדורה היטב של סוגריים". נראה כי מספר •

סוגרים ימניים -n סוגריים שמאליים ו nהסדרות הסדורות היטב עם

. Cnשווה למספר קטלן

סדורות היטב בעלות שאינןנראה כי קיימת התאמה חח"ע בין הסדרות •

nסוגרים שמאליים ו n- סוגרים ימניים וכל הסדרות עם n-1 סוגרים

סוגרים ימניים. n+1שמאליים ו-

מספרי קטלן

סדורות היטב בעלות שאינןנראה כי קיימת התאמה חח"ע בין הסדרות nסוגרים שמאליים ו n- סוגרים

סוגרים ימניים. n+1 סוגרים שמאליים ו-n-1ימניים וכל הסדרות עם

:ההתאמה

-n סוגרים שמאליים ו n סדרת סוגריים עם בעלות p1p2…p2nתהי :1כוון •

סוגרים ימניים שאינה סדורה היטב. על-פי המשפט לעיל, בתהליך קריאת

הסדרה משמאל לימין מספר הסוגרים הימניים גדול ממספר הסוגרים

השלם הקטן ביותר שעבורו מספר הסוגרים jהשמאליים שנקראו. יהי

בסדרה זו . p1p2…pjהימניים גדול ממספר הסוגרים השמאליים בסדרה

i>j ממספר הסוגרים השמאליים. עבור כל 1מספר הסוגרים הימני גדול ב-

נהפוך את הסוגרים השמאליים לימניים ואת הימניים לשמאליים. בסדרה

סוגרים ימניים. n+1 סוגריים שמאליים ו-n-1החדשה קיימים

מספרי קטלן

סדורות היטב בעלות שאינןנראה כי קיימת התאמה חח"ע בין הסדרות n סוגריים

סוגרים n+1 סוגריים שמאליים ו-n-1 סוגרים ימניים וכל הסדרות עם -nשמאליים ו

ימניים.

:ההתאמה

סוגריים שמאליים n-1 סדרת סוגריים עם p1p2…p2nתהי :2כוון •

האינדקס הקטן ביותר שעבורו מספר j סוגרים ימניים. יהי n+1ו-

ממספר הסוגרים השמאליים בסדרה 1הסוגרים הימניים גדול ב-

p1p2…pj . עבור כלi>j נהפוך את הסוגרים השמאליים לימניים ואת

-n סוגרים שמאליים וnהימניים לשמאליים. בסדרה החדשה

סוגרים ימניים. ברור כי היא אינה סדורה היטב.

מספרי קטלן

:להוכיח כי מספר העצים הבינאריים המצביים עם המטרהn

.Cnקודקודים שווה למספר קטלן

:השלבים

סוגרים ימניים הוא . -n+1 סוגרים שמאליים וn-1מספר הסדרות עם •

n+1 סוגרים שמאליים וn-1היות וקיימת התאמה חח"ע בין מספר הסדרות עם •

סוגריים שמאליים n סוגרים ימניים לבין הסדרות שאינן סדורות היטב בעלות -

שווה הסדורות היטב סוגרים ימניים, מספרם שווה. לכן, מספר הסדרות -nו

:Cnלמספר קטלן

12

n

n

n

n

nn

n

n

n 2

1

1

1

22

מספרי קטלן

:להוכיח כי מספר העצים הבינאריים המצביים עם המטרהn קודקודים

.Cnשווה למספר קטלן

:השלבים

נגדיר את המושגים "עץ סדור" ו"יער סדור" )סדרה של עצים סדורים(. •

עץ מכוון שבו עבור כל קודקוד פנימי קיים סדר מוגדר בין בניו. עץ סדור:•

כל עץ מצבי הוא סדור; •

בעץ סדור אין הגבלה על מספר הבנים. לא כל עץ סדור הוא מצבי:•

סדרה של עצים סדורים. יער סדור: •

נהוג לצייר יער סדור כאשר השורשים מוצגים באותה שורה אופקית.•

מספרי קטלן

דוגמא ליער סדור המורכב משלושה עצים סדורים ששורשיהם: C ו- A, Bהם

A B C

מספרי קטלן

:להוכיח כי מספר העצים הבינאריים המצביים עם המטרהn קודקודים שווה למספר קטלןCn.

:השלבים

n סוגרים שמאליים ו-nנראה התאמה חח"ע בין קבוצת הסדרות הסדורות היטב עם •

קודקודים. nסוגרים ימניים לבין קבוצת היערות הסדורים עם

ההתאמה:•

יסומן w1, w2, … , wsכל עלה נסמן ב- )(. כל צומת שבניו מסומנים ב- :1כיוון •

( על-פי סדר הבנים. נבצע תהליך זה עבור כל עץ ביער. w1, w2, … , wsב- )

. הסדרה שתתאים ליער x1, x2, …, xrנניח שהשורשים יסומנו בתהליך זה ע"י

. x1x2 …xrהיא השרשור

קל לראות. :2כיוון •

מספרי קטלן

:דוגמא: התאמת סדרת סוגריים ליער סדור

צמתים13 סוגרים שמאליים; 13 סוגרים ימניים ו- 13

A B C

)( )(

)( )( )( )(

)( )(

))()((

) )( ))()(( ( ) )( )( )( (

))()((

) ))()(( (

) ))()(( )( ( ) )( )( )( ( ) ))()(( (

מספרי קטלן

:להוכיח כי מספר העצים הבינאריים המצביים עם המטרהn קודקודים שווה

.Cnלמספר קטלן

:השלבים

קודקודים וקבוצת nנראה התאמה חח"ע בין קבוצת היערות הסדורים עם •

קודקודים.nהעצים הבינאריים המצביים עם

נתון יער, נבנה עץ בינארי מצבי: •

השורש השמאלי ביותר ביער הוא השורש של העץ הבינארי. •

הבן השמאלי ביותר של קודקוד ביער הוא בנו השמאלי של קודקוד בעץ.•

הבן הבא מימין ביער, או במקרה של שורש – השורש הבא מימין, הוא •

הבן הימני בעץ הבינארי.

מספרי קטלן

קודקודים: 13התאמת עץ בינארי מצבי ליער סדור עם

:העץ הבינארי המצבי המתאים

A

D

EJ

K

B

F

G

H

A B

D E

J K

F G H I

L M

C

C

I

L

M

מספרי קטלן

:להוכיח כי מספר העצים הבינאריים המצביים עם המטרהn קודקודים

.Cnשווה למספר קטלן

:השלבים

סוגרים -n סוגרים שמאליים וnהראינו כי מספר הסדרות הסדורות היטב עם •

. Cnימניים שווה למספר קטלן

סוגרים nהראינו התאמה חח"ע בין קבוצת הסדרות הסדורות היטב עם •

קודקודים. n סוגרים ימניים לבין קבוצת היערות הסדורים עם nשמאליים ו-

קודקודים וקבוצת nהראינו התאמה חח"ע בין קבוצת היערות הסדורים עם •

קודקודים.nהעצים הבינאריים המצביים עם

השגנו את המטרה.•

מספרי קטלן תופעות נוספות שבהן מופיעים מספרי קטלן

מוצגות בדף העבודה המצורף )לא להגשה(.