第十八章 数学物理方程综述第十八章 数学物理方程综述

18.1 线性偏微分方程解法综述

对于二阶线性偏微分方程定解问题，前面我们介绍了几种主要解法，并详细阐述了其解题思路．为了理解方便，对它们综述如下：

1. 行波法：先求出满足定解问题的通解，再根据定解条件

确定其定解问题的解 . 行波法是通解法中的一种特殊情形 ,

行波法又称达朗贝尔 (d’Alembert) 解法 . 它不仅可以求解无

界区域的线性偏微分方程，而且能求解某些非线性偏微

分方程．

2. 分离变量法：先求出满足一定条件（如边界条件）的特

解族，然后再用线性组合的办法组合成级数或含参数的积分 ,

最后构成适合定解条件的特解；

这是求解线性偏微分方程定解问题的最主要方法．从理

论上说，分离变量法的依据是 Sturm–Liouville 型方程的本

征值问题．从解题步骤上看，要求本征值问题所对应的定解

条件必须是齐次的 ( 若为非齐次，则需先齐次化 ) ．从而使

得这种解法对于定解问题中微分方程的具体形式有一定的

限制，同时对所讨论问题的空间区域形状也有明显限制．并且

还涉及到正交曲面坐标系的选取．

在具体求解时，当然还必须求解相应的常微分方程

的本征值问题．除了本书中介绍过的几个本征值问题外，

也可能会出现其他的特殊函数．

3 幂级数解法：就是在某个任选点的邻域上，把待求的解

表示为系数待定的级数，代入方程以逐个确定系数．勒让

德多项式、贝塞尔函数即用幂级数解法求解得出．这种解

法普遍，但计算量大，较为繁琐．必要时可借助于计算机

迭代计算．

4 格林函数法：这种方法具有极大的理论意义．它给出了

定解问题的解和方程的非齐次项以及定解条件之间的关系，

因而便于讨论当方程的非齐次项或定解条件发生变化时，解

是如何相应地发生变化的 . Green 函数法，已经成为理论物

理研究中的常用方法之一．

5. 积分变换方法：这种方法的优点是减少方程自变量的

数目．从原则上说，无论对于时间变量，还是空间变量；

无论是无界空间，还是有界空间；都可以采用积分变换

的方法求解线性偏微分方程的定解问题．但从实际计算上

看，还需要根据方程和定解条件的类型，选择最合适的积

分变换．反演问题，是关系到拟采用的积分变换是否实际

可行的关键问题．反演时涉及的积分很简单，甚至有现成

的结果 ( 如查积分变换表，专用工具书等 ) 可供引用，采用

积分变换的确可以带来极大的便利．但若涉及的积分比较

复杂，而且没有现成的积分变换结果可供引用，那么反演

问题就成为了积分变换的难点．

积分变换法和分离变量法存在密切的联系．例如，

当本征值过渡到连续谱时，分离变量法就变为相应的积分

变换法．

另外，从实用的角度来看，如果空间是有界的，一般

说来，积分变换和分离变量法没有什么差别，故仍不妨采用

分离变量法．

积分变换方法也具有分离变量法所没有的优点：它还可以

应用于求解某些非线性偏微分方程．

6. 保角变换法．这种方法的理论基础是解析函数所代表

的变换具有保角性．这种解法主要用于二维 Laplace 方程

或 Poisson 方程的边值问题，因为在保角变换下，前者的

形式不变，后者也只是非齐次项作相应的改变．粗略地说，

运用保角变换，可以把“不规则”的边界形状化为规则的边

界形状．例如，可以把多边形化为上半平面或单位圆内．再

结合上半平面或圆内的 Poisson公式，就能直接求出二维 L

aplace 方程的解．

运用保角变换，可以解决一些典型的物理问题或工程问题．

例如，有限大小的平行板电容器的边缘效应问题，空气动力学

中的机翼问题，以及其他一些流体力学问题．又如，应用保角

变换法，可以把偏心圆化为同心圆．

7. 变分法．这个方法具有理论价值和实用价值．在理论上，

它可以把不同类型的偏微分方程的定解问题用相同的泛函语言

表达出来 ( 当然不同问题中出现的泛函是不同的 ) ，或者说，

把

不同的物理问题用相同的泛函语言表达出来．正是由于这个

原因，变分或泛函语言已经成为表述物理规律的常用工具之

一．在实用上，变分法又提供了一种近似计算的好办法．有

效地利用物理知识，灵活巧妙地选取试探函数，可以使计算

大为简化．在物理学中，无论过去或现在，变分法都是常用

的一种近似计算方法．

例如，在原子和分子光谱的计算中就广泛地采用了变分法．

8. 计算机仿真解法：利用数学工具软件（ Matlab,Mathematic,

Mathcad ）和常用计算机语言（ Visual C++ ）等实现对数学物理

方程的求解，参考计算机仿真部分对三类典型的数学物理方程的

求解及其解的动态演示．

9. 数值计算法 : 对于边界条件复杂，几何形状不规则的数学

物理定解问题，精确求解很困难，甚至不可能的情形，拟采用

数值求解的方法．其中主要的数值解法包括：有限差分法、蒙

特－卡洛（ Monte-Carlo ）法等．

18.2 18.2 非线性偏微分方程非线性偏微分方程

前面我们讨论了线性偏微分方程定解问题的解法 , 而现实中

的许多物理现象都是非线性地依赖于一些物理参量变化的 , 从而

描述这些现象的数学物理方程就是非线性偏微分方程 . 非线性偏

微分方程有许多不同于线性偏微分方程的特征 , 比如线性偏微分

方程的叠加原理对非线性偏微分方程就不再成立 , 从而基于叠加

原理的求解方法对非线性偏微分方程就不再适用 . 另外 , 解的性

质也有许多本质的变化 .

自 20世纪 60年代以来，非线性方程在物理、化学、生物等各

个学科领域中不断出现，其研究内容日趋丰富．与线性方程的

定解问题一样，非线性方程同样存在定解问题的适定性，但后

者要复杂得多．限于篇幅，我们主要介绍物理现象中典型的非

线性方程及其求解方法，它们在非线性光学、量子场论和现代

通信技术等领域具有广泛的应用前景．

典型非线性方程及其行波解

在无限空间，线性或非线性偏微分方程

（ 18.2.1 ）

其中 为包括时间 和空间 偏导数的微分算子。形如

的解，称为上式的行波解，其中

为常数．对线性偏微分方程，比如波动方程，则

为满足一定条件的任意函数．但对

非线性偏微分方程，由于叠加原理已不成立， 只能取

特定的形式才有可能满足 (18.2.1) ．事实上，满足式（ 18.2.

1 ）的特定形式 是方程的非线性本征模式．由行波解可以

分析非线性偏微分方程解的重要性质．我们特别感兴趣的是非线

性偏微分方程的所谓“孤立波”形式的解．

18.2 ． 1 孤立波

1834 年 ,英国科学家 S.Russel沿河边骑马时发现一个有趣的

现象 [14],由于船的推动 ,河中涌起一个孤立的波 , 以几乎不变的速

度和不变的波形向前推进（如图 18.1 所示） , 很久以后才遇障碍而

消失 . Russel 后来发表了观察报告 ,首先提出“孤立波”的名词概念 .

1895年 ,荷兰数学家（ D.J. Korteweg ）和他的学生 (G. de Vries) 在研

究浅水波时 ,导出了如下形式的方程

(18.2.1)

其中 是常数，该方程以两位科学家命名而称为 KdV 方程 . 由

于方程左边第二项关于 是非线性的， 所以 (18.2.1) 是一非

线性偏微分方程 .

现在来寻求方程 (18.2.1) 的平面前进波 ( 简称行波 ) 解 ,令

(18.2.2)

其中 是常数，将 (18.2.2) 式代入 (18.2.1), 得

对 积分一次得

（ 为任意常数） (18.2.3)

用 乘 (18.2.3) 式两边 , 并对 积分 , 得

( 18.2.4)

其中 为任意常数．由于孤立波是一个局部波 , 当

及其各阶导数都趋于零． 于是 ,由 (18.2.3),(18.2.4) 式知 ,

时，有 , 从而 (18.2.4) 式变成

(18.2.5)

从方程 (18.2.5) 可看出 ,只有当 时 ,KdV 方

程才可能有实的行波解 . 当 时 , , 可知当

由 变到 时 , 由零上升到极大值 , 然后又

下降到零 , 其图形大致形如图 18.1 所示 , 这种形状的波称为孤立波 .

下面我们来求 的具体表达式 , 为此把方程 (18.2.5)写成变量

分离的形式

(18.2.6)

查积分表 , 可解得

(18.2.7)

其中 A 为积分常数 . 不妨设 A=0 ( 否则对 作平移 ), 则 (18.2.7)

可化简为

(18.2.8)

这个函数的图形如图 18.1 所示 , 它表示 KdV 方程 (18.2.1) 有任意

波速 c 的孤立波解 , 其峰高为 . 由 (18.2.8) 式及图 18.1 可得出结论

(1) 波峰高与波速成正比 ;

(2)由 (18.2.7) 式知 , 当 固定时 , 相应的 的绝

对值与 近似地成反比 . 因此 , 速率 大的孤立

波 , 其波宽反而小 .

是钟形的正割双曲函数，其图形与浅水槽中观察到的

孤立波的形状相同．上述 KdV 方程的行波解 (18.2.8) 称为孤立波解，

从而在数学上证实了孤立波的存在． 20世纪 70年代两位美国科学家

(Zabusky 和 Kruskal) 用数值模拟证实了：两个相对运动的孤立

波在碰撞之后仍为两个稳定的，形状与碰撞前相同的孤立波，仅

仅相位发生了变化，也就是说两个孤立波的碰撞类似于粒子之

间的碰撞．这种孤立波具有类似粒子的性能，因而这两位科学

家将孤立波命名为“孤立子”（ Solition ）．

20世纪中 ,人们不仅在浅水波中发现孤立波 , 在光纤通信 ,

金属相变 ,神经传播等许多领域中都有”孤立波”现象 , 即某种

现象或信息脉冲以几乎恒定的形态进行传播 .

非线性偏微分方程存在孤立波解，除 KdV 方程之外，还有

很多，如

1 ）非线性薛定谔方程

(18.2.9)

2 ）正弦——戈登方程

(18.2.10)

此外，还有 Klein-Gordon 方程， Toda 非线性晶格

方程等，这些非线性偏微分方程在等离子体物理、非线性光

学、量子场论和通信技术等领域都有着重要的地位和作用．

18.2.2 冲击波

本节研究另一类非线性偏微分方程

（ 18.2.11 ）

式（ 18.2.11 ）称为 Burgers 方程．其中

Burgers 方程

为常数，

是非线性耗散方程．

下面我们以之为例来分析其冲击波解．我们不妨设上式

有行波解，并具有下列形式

（ 18.2.12 ）

将其代入 Burgers 方程得到

（ 18.2.13 ）

对 积分得到

（ 18.2.14 ）

其中 为积分常数．上式改写成

（ 18.2.15 ）

设方程右边有两个实根

（ 18.2.16 ）

由于 和 都是待定常数，取

于是式（ 18.2.15 ）为

（ 18.2.17 ）

上式积分可得到

（ 18.2.18 ）

其中

（ 18.2.11 ）的行波解式（ 18.2.18 ），波的振幅和波速为

为积分常数．因此，我们得到了 Burgers 方程

（ 18.2.19 ）

容易得到下列关系

式（ 18.2.18 ）称为 Burgers 方程的冲击波解．

下面分析平衡点 和

此把二阶方程（ 18.2.13 ）写成一阶方程组

的稳定性．为

（ 18.2.20 ）

在平衡点 处，上述方程的系数矩阵的特征值

满足

（ 18.2.21 ）

容易求得二个特征值为

因此

是不稳定平衡点．对平衡点

可求得

可见

为稳定的平衡点．从不稳定平衡点

向稳定平衡点 的过渡速度由宽度量

描述，且决定于 ．式（ 18.2.18 ）

对 微分可得到

（ 18.2.22 ）

显然，当 时，

．回到

变量，上式表示向 方向传播的“孤立”波．值得

指出的是，从式（ 18.2.19 ）可见，“孤立”波传播的速度与

振幅有关，这也是非线性本征模式的典型特性．