第 6 章

第六章 平面电磁波 1 、 无限大理想介质中的平面电磁波

2 、 导电媒质中的平面电磁波

3 、 电磁波的极化

4 、 电磁波的色散和群速

5 、 均匀平面电磁波向平面分界面的垂直入射

6 、 均匀平面电磁波向多层媒质分界面的垂直入射

7* 、均匀平面电磁波向平面分界面的斜入射

8* 、均匀平面电磁波的全透射和全反射

第 6 章

电磁波的波段划分及其应用

名 称 频率范围 波长范围 典型业务

甚低频 VLF[ 超长波 ] 3~30KHz 100~10km 导航，声纳

低频 LF[ 长波， LW] 30~300KHz 10~1km 导航，频标

中频 MF[ 中波 , MW] 300~3000KHz 1km~100m AM, 海上通信

高频 HF[ 短波 , SW] 3~30MHz 100m~10m AM, 通信

甚高频 VHF[ 超短波 ] 30~300MHz 10~1m TV, FM, MC

特高频 UHF[ 微波 ] 300~3000MHz 100~10cm TV, MC, GPS

超高频 SHF[ 微波 ] 3~30GHz 10~1cm SDTV, 通信 , 雷达

极高频 EHF[ 微波 ] 30~300GHz 10~1mm 通信 , 雷达

光频 [ 光波 ] 1~50THz 300~0.006m 光纤通信

第 6 章

中波调幅广播（ AM ）： 550KHz~1650KHz

短波调幅广播（ AM ）： 2MHz~30MHz

调频广播（ FM ）： 88MHz~108MHz

电视频道（ TV ）： 50MHz~100MHz ; 170MHz~220MHz

470MHz~870MHz

无绳电话 (Cordless Phone) ： 50MHz; 900MHz; 2.4GHz

蜂窝电话 (Cellular Phone) ： 900MHz; 1.8GHz; 1.9GHz

卫星 TV直播（ SDTV ）： 4GHz~6GHz; 12GHz~14GHz

全球卫星定位系统（ GPS ）： L1 =1575.42MHz

L2 =1227.60MHz, L3 =1176.45MHz

光纤通信： 1.55m ， 1.33m ， 0.85m

ISM 波段： 902~928MHz ， 2.4~2.4835GHz ， 5.725~5.850GH

z

第 6 章

引言 隐身飞机是怎么隐身的？

隐身大体可以分为三种：1. 视觉隐身（或光学隐身） 光线弯曲，透视等。2. 红外隐身 红外辐射屏蔽。3. 电磁隐身（或雷达隐身） 外形整体设计，涂敷吸波材料，面阻抗加

载等。

第 6 章

第 6 章

第 6 章

第 6 章

第 6 章

第 6 章

第 6 章

F22 隐身战斗机

第 6 章

第 6 章

1. 等相位面： 在某一时刻，空间具有相同相位的点构成的面称为等相位面。 等相位面又称为波阵面。

2. 球面波：等相位面是球面的电磁波称为球面波。

3. 平面波：等相位面是平面的电磁波称为平面电磁波。

4. 均匀平面波： 任意时刻，如果在平面等相位面上，每一点的电场强度均相同，这种电磁波称为均匀平面波。

一、平面电磁波的概念

第 6 章

二、均匀平面波的特性1. 均匀平面波满足一维波动方程从麦克斯韦方程出发：

c

v

0

DH J

t

BE

t

D

B

在自由空间：

HB

ED

0

0

H

Et

HE

t

EH

c v0, 0 J

对第一方程两边取旋度，)( E

tH

根据矢量运算：2( )H H H

2 ( )H

Ht t

则：2

22

t

HH

—— 磁场的波动方程

由此得：得 ：

第 6 章

x

y

zO

对均匀平面波而言，选直角坐标系，假设电磁波沿 z 方向传播，等相位面平面平行于 xOy 平面。如图所示：

0,0

yx

所以：

2

2

2

2

2

2

2

2

t

E

z

E

t

H

z

H

可见： 均匀平面波满足一维波动方程。

同理可得：2

22

t

EE

—— 电场的波动方程

第 6 章

2. 均匀平面波是横电磁波（ TEM 波）根据麦克斯韦第一方程 :

t

EH

,

,

0

y x

yx

z

H E

z tEH

z tE

t

结论：电场只有 Ex 和 Ey 分量，说明电场矢量位于 xOy 平面上。

可见： EZ 与时间 t 无关，说明电场中没有 EZ 分量 。 0zE

ˆ ˆ ˆ( )yx zx y z

EE EEa a a

t t t t

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ0 0

x y z

y xx y

x y z

a a aH H

H a az z z

H H H

电场强度可表示为： ˆ ˆx x y yE a E a E

第 6 章

结论： 对传播方向而言，电场和磁场只有横向分量，没有纵向分量，这种电磁波称为横电磁波，简写为 TEM 波。

根据麦克斯韦尔第二方程 :t

HE

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ0 0

0

ˆ ˆ ˆ( )

x y z

y xx y

x y

yx zx y z

a a aE E

E a az z z

E E

HH Ha a a

t t t

y x

E H

z t

yxHE

z t

0zH

t

ˆ ˆx x y yH a H a H

可见： HZ 与时间 t 无关，不属于时变场部分。 0zH

磁场强度可表示为：

第 6 章

第 6 章

§ 6.1 无限大理想介质中的平面电磁波

理想介质，即描述媒质电磁特性的电磁参数满足： σ =0, ε 、μ 为实常数。无源，即无外加场源： ρ=0 ， J=0 。 1 、理想介质中对均匀平面波传播的一般分析

2 22 2

2 2 2 2

1 10 0

E HE H

v t v t

式中 1/v

电磁波满足以下波方程：

第 6 章

均匀平面波：波阵面为平面；在同一波阵面上的各点振幅相等。

x x y y z zE e E e E e E

x x y y z zH e H e H e H

设波沿 z 方向传播 ( , ) ( , )E z t H z t

( , )( , ) ( , )0, 0yx z

E z tE z t E z tE

x y z

即

( , )( , ) ( , )0 0 0 ( , ) ( )yx z

z

E z tE z t E z tE z t C t

x y z

即

设 t=0 时，不存在电磁波， C = 0 ，即 Ez =0

第 6 章

( , ) x x y yE z t e E e E

( , ) x x y yH z t e H e H

同理分析得：

结论（ 1 ）：电场强度与磁场强度均与波传播方向垂直，是横波 .

若电场强度仅有 x 分量，即 ( , ) x xE z t e E

( , )( , )

0 0

x y z

xy y y

x

e e e

E z tHE e H z t e H

t x y z z

E

结论（ 2 ）：电场强度与磁场强度相互垂直，且与传播方向满

足右手关系。

第 6 章

若电场强度仅有 x 分量，由波动方程 2

22 2

10x

x

EE

v t

通解形式为 1 2( , ) ( / ) ( / )xE z t f t z v f t z v

波沿 z 方向传播， 代表入射波； 代表反射波。对于无界空间， 不存在，即

1f 2f

2f 1( , ) ( / )xE z t f t z v

同理得：1( , ) ( / )yH z t g t z v

结论（ 3 ）：在波传播方向上电磁波振动状态在相位（或时间）

上是滞后的。

第 6 章

图：均匀平面电磁波的传播

第 6 章

图：在波传播方向上波状态的滞后出现

第 6 章

设谐波沿 +z 方向传播，电场强度仅具有 x 分量

( , ) ( ) j tx xE z t e E z e

22

2

( )( ) 0 ( )x

x

d E zk E z k

dz

2 、均匀平面谐变电磁波的传播特性

电场强度复数形式 满足的方程是( )xE z

0 0( ) jkz jkzxE z E e E e 通解为：

0jkzE e 代表反射波，对于无限大空间不存在，故

0( ) jkzxE z E e

第 6 章

0

1

( ) 0 0

x y z

jkzxy y

x

e e e

Ej j jH E e e E e

x y z z

E z

将上式代入麦克斯韦方程 ，得到磁场强度： E j H

0( ) jkzxE z E e

0 0

1( )jkz jkz

yH E e H e

第 6 章

0 0

0 0 0

( , ) cos( )

( , ) cos( ) ( / )

jkz j tx x

y

E z t e E e e e E t kz

H z t e H t kz H E

电、磁场强度的瞬时形式

0 0( ) ( )jkz jkzx yE z e E e H z e H e

电、磁场强度的复数形式

传播特性：（ 1 ）、电场强度、磁场强度与波传播方向两两相互垂直，满足右手关系，是 TEM 波。

（ 2 ）、电场强度、磁场强度同相变化。

第 6 章

0

0

E

H

（ 3 ）、媒质的波阻抗 ( 或本征阻抗 )

η 具有阻抗的量纲，单位为欧姆 ( Ω ) ，它的值与媒质参数有关，因此它被称为媒质的波阻抗 ( 或本征阻抗 ) 。 对于真空

0 0 0/ 120 377

对于无耗的理想介质， η 为实数，表现为纯电阻

0 /r r

第 6 章

0( , ) cos( )xE z t e E t kz

（ 4 ）、波速（相速）pv

谐变均匀平面电磁波的等相位面方程为

（常数）.constkzt

1

kdt

dzp上式两端对时间求导，相速为

空间相位 kz 变化 2π 所经过的距离称为波长，以 λ 表示。按此定义有 kλ=2π ，所以

2 / , 2 /k k

第 6 章

* 2* 0 0

0

1 1Re[ ] Re[ ]

2 2 2jkz jkz

av x y z

E ES E H e E e e e e

2 2, 0 , 0

2, , 0

1 1, ,

4 41

2

av e av m

av av e av m

w E w H

w w w E

电磁场能量的平均值为

任一时刻电场能量密度和磁场能量密度相等，各为总电磁能量的一半。

（ 4 ）、平均坡印廷矢量 avS

第 6 章

均匀平面电磁波的能量传播速度

20

20

/ 2 1

/ 2

av

e pav

S Ev v

w E

ev

第 6 章

理想介质中的平面电磁波示意图

第 6 章

在直角坐标系中，假设无界媒质中，均匀平面波沿 +z方向传播，电场强度只有 x 方向的坐标分量，即

0jkz

xE e E e

3 、 沿任意方向传播的均匀平面波

由矢量恒等式 ( )A A A

( )A A A

麦克斯韦方程 和 得 E j H

0E

0 0 0

0

( ) ( )

1

jkz jkz jkzx x x

jkzz x z

j jH e E e e e E e e E

jjk e e E e e E

（ ）

第 6 章

0 0 0

0

0

( )

( )

0

jkz jkz jkzx x x

jkzz x

z

E

e E e e e E e e E

jk e e E e

e E

即有 0

1,

0

jkzx

z

z

E e E e

H e E

e E

第 6 章

考虑沿任意方向传播的均匀平面电磁波

设 传 播 方 向 的 单 位矢量为 ，定义波矢 为

ne

k

n nk e k e

和 在同一波阵面上，即它们的相位相同， 点的场强为p 0p p

00 0

1, , 0njk op jr e k

n nE E e E e H e E e E

第 6 章

2 2 2 2 2x y zk k k k

cos , cos , cosx y zk k k k k k

(cos , cos , cos )

的方向余弦为ne

x x y y z zk e k e k e k

波矢 k

相位因子 cosn x y zr e k rk xk yk zk

第 6 章

( )

0 0

1, 0

x y zj k x k y k zjk r

n n

E E e E e

H e E e E

沿任意方向传播的均匀平面电磁波

第 6 章

例 1 已知无界理想媒质 (ε=9ε0, μ=μ0 ， σ=0) 中谐变

均匀平面电磁波的频率 f =108 Hz ， 电场强度

34 3 /jkz jjkz

x yE e e e e V m

求： (1) 均匀平面电磁波的相速度 vp 、波长 λ 、相移常数 k

和

波阻抗 η ；

(2) 电场强度和磁场强度的瞬时表达式；

(3) 与波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。

第 6 章

解： (1) 8

8

0

1 3 1010 ( / )

9

1 ( )

2 ( / )

1120 40 ( )

9

p

r r

p

p

r

r

cv m s

vm

f

k rad mv

第 6 章

(2)

31( 4 3 )

jkz jjkzy x

jH E e e e e

8

8

( ) Re[ ] 4cos(2 10 2 )

3cos 2 10 2 ( / )3

j tx

y

E t Ee e t z

e t z V m

8

8

3( ) Re[ ] cos(2 10 2 )

40 31

cos 2 10 2 ( / )10

j tx

y

H t He e t z

e t z V m

第 6 章

（ 3 ）平均坡印廷矢量：

*

3 3

2

1Re[ ]

2

1 3 14 3

2 40 10

5( / )

16

av

j kz j kzjkz jkz

x y x y

z

S E H

e e e e e e e e

e W m

25| | ( ) ( 1 )

16av avp S W m

第 6 章

§ 6.2 导电媒质中的平面电磁波

1 、导电媒质中平面电磁波 等效介电常数 平面电磁波方程

2 、导电媒质中电磁波传播特性 传播常数 波阻抗 色散效应

3 、良导体媒质中的电磁波 集肤效应 表面阻抗

第 6 章

1 、导电媒质中的平面电磁波

无源、无界均匀导电媒质中的麦克斯韦方程组为

(1)

(2)

0 (3)

0 (4)

H E j E

E j H

H

E

导电媒质是有损耗的媒质

第 6 章

(1)cH j j E j E

1c j j

1 ）导电媒质等效介电常数 c

与理想介质的表达式 比较H j E

导电媒质的等效介电常数 是复数 c

第 6 章

1 1

1

良导体 ； 不良导体

电介质（低损耗介质）

在时变电磁场中利用 的大小对媒质种类的划分

1c j j

| |D

J

J

表示传导电流密度与位移电流密度的大

小之比

第 6 章

对于一般的媒质是否视为良导体、还是电介质，与频率有关。以海水为例：

对于金属导体，在相当大的频率范围内表现出电导率 与频率无关；

1c j j

0

6

1

81 4 /

100 /( ) 8.89 10 1

1 /( ) 8.89 10

S m

f Hz

f GHz

第 6 章

2 ）导电媒质中的平面电磁波方程

比较电场与磁场量在两种媒质中满足的方程

2 2

2 2

0

0

( )c

E E

H H

是复数

导电媒质中理想媒质中

2 2

2 2

0

0

( )

E k E

H k H

k

是实数k

cH j E

H j E

波动方程

第 6 章

在理想介质中，对于沿 + z 方向传播的均匀平面电磁波，若电场强度只有 x 分量，其电场强度与磁场强度的解表达式为：

0j k z

x

jE e E e H E

c 传播常数

由以上比较知：在导电媒质中其电场强度与磁场强度的解表达式应仍为：

0j z

x

jE e E e H E

第 6 章

2 、导电媒质中电磁波传播特性

1 ）传播常数

c j （ 和 均为 > 0的实数）

0j z

x

jE e E e H E

关于 和 的计算 2 2

c 2 2( )ja j

第 6 章

2 2 2 2 由以上两方程可解得 和

21/ 2 1/ 2

21/ 2 1/ 2

( ) [ 1 1]2

( ) [ 1 1]2

对上式展开并比较实部和虚部，可得

和 与介质的电磁特性有关，与频率有关，且与频率是非线性的关系 。

第 6 章

2 ）导电媒质中平面电磁波表达式

0j z

x

jE e E e H E

j 由 、 及

00

z j z z j zx y

c

EE e E e e H e e e

得导电媒质中平面电磁波的复数表达式为

第 6 章

0( , ) cos( )zxE z t e E e t z

电场强度的瞬时式表示为

表示电磁波振幅每单位距离衰减程度的常数，称为衰减常数；

表示每单位距离落后的相位，称为相位常数。

导电媒质中平面电磁波的振幅随传播距离增加按指数衰减。

第 6 章

在导电媒质中沿 + z 方向传播的平面电磁波为

3 ）传播特性

00

z j z z j zx y

c

EE e E e e H e e e

导电媒质的本征阻抗 c

| | | |jc c c

c

e

导电媒质的本征阻抗是一个复数，其模小于理想介质的本征阻抗，具有感性的幅角 在 0 ~ π/4 之间变化。

第 6 章

电场强度和磁场强度在空间上仍互相垂直，但在时间上有相位差，二者不再同相，电场强度相位超前磁场强度相位。

00

z j z az j z jx y

c

EE e E e e H e e e e

TEM 波，电场与磁场不再同相变化

其瞬时式为 0

0

( , ) cos( )

( , ) cos( )| |

a zx

azy

c

E z t e E e t z

EH z t e e t z

第 6 章

理想介质中的平面电磁波示意图

第 6 章

导电媒质中的平面电磁波示意图

第 6 章

导电媒质中均匀平面电磁波的相速为 2

1/ 22 1[ 1 1]p

dzv

dt

波长 fp

2

相速 色散效应

由于相位常数 与频率的非线性关系，相速与频率有关，存在因媒质的导电特性引起的色散效应；有损耗媒质是色散介质。

第 6 章

导电媒质中的平均坡印廷矢量为 2

* 2 | |01 1Re[ ] cos

2 2z

av zc

ES E H e e

导电媒质中电磁波能量传播

导电媒质中平均电能密度和平均磁能密度分别如下

2 2 2 | |, 0

2 2 1/ 2, , ,

1 1

4 41

[1 ( ) ]4

zav e

av m av e av e

w E E e

w H w w

第 6 章

在导电媒质中，描述电磁波能量传播的坡印廷矢量、场能量密度均随波传播距离的增加而按指数衰减。

导电媒质中磁场能量密度大于电场能量密度，因此用天线接受电磁波信号时，应选用对于磁场敏感的天线，以最大地获取电磁波信号能量。

第 6 章

3 、低损耗介质（电介质）中的电磁波 ( 1)

, ,2

相位常数 和波阻抗 与理想介质近于相同，衰减常数 与频率无关。均匀平面电磁波在低损耗介质中的传播特性，除了振幅的微弱衰减外，其它与理想介质中的传播几乎近于相同。

第 6 章

4 、良导体中的电磁波

1 ）集肤效应 趋肤深度

4(1 )2 2

2 22

j

c

p

j e

/( ) 1 对于良导体 ，对传播特性参数近似简化，可表达为

第 6 章

0( , ) cos( )

/ 2

zxE z t e E e t z

定义： 当电磁波入射进导电媒质中，若电场强度振幅衰减到表面处的 所经过的距离，称为趋肤深度 δ(穿透深度 ) 。1/ e

0 0 / 1/E e E e

2 /( ) 1/( ) ( )f m

导电性能越好 ( 电导率越大 ) ，工作频率越高，趋肤深度越小。

第 6 章

如：银的电导率 σ =6.15 ×107 S/m，磁导率 μ0 =4π×10-7 H

/m 22 6.42 10

2 4 6.15m

f f

4

4 5 6

10 1 100

( ) 6.42 10 6.42 10 6.42 10

f Hz MHz MHz

m

高频率电磁波传入良导体后，由于良导体的电导率一般在 107 S/m 量级，电磁波在良导体中衰减极快。电磁波往往在微米量级的距离内就衰减得近于零了。因此高频电磁场只能存在于良导体表面的一个薄层内， 这种现象称为集肤效应。

第 6 章

三种频率时铜的集肤深度43 10f

(MHz)0.05 1

(mm) 29.8 0.066 0.00038

可见，随着频率升高，集肤深度急剧地减小。

因此，具有一定厚度的金属板即可屏蔽高频时变电磁场。

对应于比值 的频率称为界限频率，它是划分媒质属于低耗介质或导体的界限。比值的大小实际上反映了传导电流与位移电流的幅度之比。可见，非理想介质中以位移电流为主，良导体中以传导电流为主。

1

第 6 章

2 ）表面阻抗 ZS

良导体中均匀平面电磁波的电磁场分量和电流密度为

(1 )0

4

(1 )0

/2

j zx

j

y x c c

j zx x

E E e

H E e

J E E e

定义：导体表面处切向电场强度 Ex 与切向磁场强

度 Hy 之比定义为导体的表面阻抗 ZS 。

第 6 章

0

(1 )2

xS c S S

y z

EZ j R jX

H

1

1

2 ( )S

l w

lR

w

导体的表面阻抗 ZS 等于波的阻抗， RS 、 XS 分别为表面电阻、表面电抗。

表面电阻 RS 相当于导体表面单位长度、单位宽度而厚度为 的导体块的电阻（率），是直流或低频电阻的 倍。

1/

第 6 章

表面电阻集中于导体表面的趋肤深度内，随频率增高而增大。这是由于集肤效应，使导体中的高频电流集中在表面，导体内部的电流随深度的增加而迅速地减小，尽管导体的截面积很大，但高频电流传输的有效面积很小，导致导体的高频电阻远远大于低频或直流时的电阻，使导体表面的热效应明显。

1 2

2 2S

fR f

第 6 章

小结：导电媒质中的平面电磁波是：• 电场与磁场不再同相变化的 TEM 波；• 波振幅随传播距离按指数性地衰减；• 相速与频率有关，存在因媒质而存在的色散现象，在导电媒质中传输信号将出现信号失真的问题；• 在良导体中电磁波的传播表现出集肤效应，随频率增大而迅速衰减，使高频电磁波无法在在良导体中传播。

第 6 章

例、海水的电磁参数是 εr=81 、 μr=1 、 σ=4 S/m，频率

为 3 kHz 和 30 MHz 的电磁波在紧切海平面下侧处的电场强

度为 1V/m， 求：电场强度衰减为 1μV/m 处的深度，应选

择哪个频率进行潜水艇的水下通信；

解： (1) f =3kHz 9

3

4 36 101

2 3 10 81

海水对以该频率传播的电磁波表现为良导体

0/ 2 0.218 z j zE E e e

第 6 章

213.8

1 1 21.4 0.6452

z m

由此知，选高频 30MHz 的电磁波衰减较大，应采用低频 3kHz 的电磁波。在具体的工程应用中，具体低频电磁波频率的选择还要全面考虑其它因素。

01 13.8ln | | 63.3

Ez m

E

(2) f = 30 MHz 9

7

4 36 1030

2 3 10 81

海水对以该频率传播的电磁波表现为不良导体

第 6 章

§ 6.3 电磁波的极化1 、 “极化”概念的提出

在无界的空间中电磁波表现为 TEM 波，各点处的电场强度矢量和磁场强度矢量在位于垂直传播方向的平面内振动，有必要了解电场强度矢量在该平面上的空间取向随时间变化的方式，即电场强度矢量的矢端轨迹，如：在雷达目标探测的技术和无线电技术中，了解电场强度矢量的矢端轨迹，有利于利用天线对电磁波的发射和接收，实现最佳无线电信号的发射和接收等。

电磁波的极化指电磁波中的电场强度矢量；

第 6 章

设 TEM 波电场强度合矢量的表达式为

0 0( )yxjj jkz

x x y yE e E e E e e

电场强度矢量的两个分量的瞬时式为

0

0

cos( )

cos( )x x x

y y y

E E t kz

E E t kz

因为是平面电磁波，不失一般性可取 z = 0 平面，考虑电场强度矢量矢端在该平面上的轨迹。

2 、 平面电磁波的极化形式

第 6 章

0

0

cos( )

cos( )x x x

y y y

E E t

E E t

0

0

cos( )tan

cos( )y y y

x x x

E E t

E E t

定义：合成电磁波的电场强度矢量与 x轴正向夹角 的正切为

注意 角随时间的变化规律

第 6 章

01

0

tan y y

x x

E Ec

E E

即 与时间无关，电场强度矢量始终沿一确定方向，随时间变化，其矢端的轨迹在一直线上，称为线极化。

电场强度矢量的矢端轨迹是位于一、三象限的一条直线。

1 ） . 线极化。设 Ex 和 Ey 同相，即 φx=φy=φ0

0 0

0 0

cos( )

cos( )x x

y y

E E t

E E t

第 6 章

同理可证明， φx =φy +π 时，合成电磁波的电场强度

矢量与 x轴正向的夹角 α 的正切为

02

0

tan y y

x x

E Ec

E E

电场强度矢量 E 的矢端轨迹是位于二、 四象限的一条直线。

即 与时间无关，电场强度矢量始终沿一确定方向，其随时间变化的轨迹是直线，也是线极化。

第 6 章

2 ） . 圆极化

（ 1 ）设 0 0 0 , / 2x y y x xE E E

0

0 0

cos( )

cos( ) sin( )2

x x

y x x

E E t

E E t E t

消去 t 得 2 2 20x yE E E

其矢端的轨迹方程是半径为 的圆周0E

第 6 章

sin( )tan tan( )

cos( )y x

xx x

E tt

E t

合成电磁波的电场强度矢量与 x 轴正向夹角 的正切为

即 与时间有关。随时间增大， 沿顺时针变化。若四指沿 的增大的方向，大拇指指向波的传播方向，该情况符合左手关系，即电场强度矢量随时间变化的轨迹是左旋的圆周，称为左旋圆极化。

第 6 章

左旋圆极化

第 6 章

（ 2 ）设 0 0 0 ,2x y y x xE E E

0

0 0

cos( )

cos( ) sin( )2

x x

y x x

E E t

E E t E t

sin( )tan tan( )

cos( )y x

xx x

E tt

E t

合成电磁波的电场强度矢量与 x轴正向夹角 的正切为

消去 t 后的轨迹方程仍是圆方程 .

第 6 章

即 与时间有关，电场强度矢量随时间变化的轨迹是右旋的圆周，称为右旋圆极化。

右旋圆极化

sin( )tan tan( )

cos( )y x

xx x

E tt

E t

第 6 章

3 ） . 椭圆极化

一般的情况是 Ex 和 Ey及 φx 和 φy 之间为任意关系

22

2

0 0 0 0

2 cos siny yx x

x x y y

E EE E

E E E E

消去上式中的 t 得

0

0

cos( )

cos( )x x x

y y y

E E t

E E t

一般情况下，这是一个椭圆方程。

0 0( 0, )y x y xE E

第 6 章

0

0

cos( )arctan

cos( )y y

x x

E t

E t

0 0

2 2 2 20 0

sin( )

cos ( ) cos ( )x y x y

x x y y

E Ed

dt E t E t

合成电磁波的电场强度矢量与 x轴正向夹角 的正切为

当 时， ，即 随时间增大而增大，为右旋椭

圆极化；反之，为左旋椭圆极化。

x y 0d

dt

第 6 章

第 6 章

前述的线极化波、圆极化波均可看作为椭圆极化波的特殊情况。由于各种极化波可以分解为线极化波的合成，因此，仅讨论线极化平面波的传播特性。

第 6 章

电磁波的极化在许多领域中获得了广泛应用。 如在光学工程中利用材料对于不同极化波的传播特性设计光学偏振片。在分析化学中利用某些物质对于传播其中的电磁波具有改变极化方向的特性来实现物质结构的分析。在雷达目标探测的技术中，利用目标对电磁波散射过程中改变极化的特性实现目标的识别。无线电技术中，利用天线发射和接收电磁波的极化特性，实现最佳无线电信号的发射和接收等等。

3 、电磁波极化特性的工程应用

第 6 章

例如：由于圆极化波穿过雨区时受到的吸收衰减较小，全天候雷达宜用圆极化波。

在微波设备中，有些器件的功能就是利用了电磁波的极化特性获得的，例如，铁氧体环行器及隔离器等。

在无线通信中，为了有效地接收电磁波的能量，接收天线的极化特性必须与被接收电磁波的极化特性一致。

在移动卫星通信和卫星导航定位系统中，由于卫星姿态随时变更，应该使用圆极化电磁波。

第 6 章

光波也是电磁波。但是光波不具有固定的极化特

性，即其极化特性是随机的 , 因此，光波通常是无

偏振的。要获得偏振光必须采取特殊方法。光学中

将光波的极化称为偏振。

立体电影是利用两个相互垂直的偏振镜头从不同的角度拍

摄的。因此，观众必须佩带一副左右相互垂直的偏振镜片，才

能看到立体效果。

第 6 章

例 1 、 判断下列平面电磁波的极化形式：

0

0

0

(8 6 )0

(1) ( )

(2) ( 2 )

(3) ( 3 )

(4) (3 4 5 )

jkzx y

jkzx y

jkyx z

jk x yx y z

E E e je e

E E je je e

E E e je e

E E e e je e

第 6 章

0

/ 20

( )

( )

jkzx y

j j jkzx y

E E e je e

E e e e e e

0(1) ( ) jkzx yE E e je e

Ex 和 Ey 振幅相等，且 Ex 相位

超

前 Ey 相位 π/2 ，电磁波沿 +z方向

传播，故为右旋圆极化波。

解：

第 6 章

0(2) ( 2 ) jkzx yE E je je e

解：0

/ 2 / 20

( 2 )

( 2 )

jkzx y

j j jkzx y

E E je je e

E e e e e e

Ex 和 Ey 相位差为 π ，故为

在二、四象限的线极化波。

第 6 章

0(3) ( 3 ) jkyx zE E e je e

0

/ 20

( 3 )

( 3 )

jkyx z

j jkyx z

E E e je e

E e e e e

解：

Ez0≠Ex0 ， Ez 相位超前 Ex 相位

π/2 ，电磁波沿 +y 方向传播，

故为右旋椭圆极化波。

第 6 章

4 310

5 50

100

3 45

5 5

5 ( )

x y

n

j k e e r

x y z

j ke rxy z

E E e e je e

E e je e

在垂直于 en 的平面内将 E 分解为

exy 和 ez 两个方向的分量，则这

两个分量互相垂直，振幅相

等，且 exy 相位超前 ez 相位 π/2 ，

exy×ez=en ，故为右旋圆极化波。

(8 6 )0(4) (3 4 5 ) jk x y

x y zE E e e je e

第 6 章

例 2 、电磁波在真空中传播，其电场强度矢量的

复数表达式为 4 20( )10 ( / )j z

x yE e je e V m

试求：

(1) 工作频率 f;

(2) 磁场强度矢量的复数表达式；

(3) 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值；

(4) 此电磁波是何种极化，旋向如何。

第 6 章

解： (1) 真空中传播的均匀平面电磁波的电场强度矢量的复数表达式为

4 20( )10 ( / )j zx yE e je e V m

有 8

0 0

9

120 , 3 10 ( / )

2, , 3 10 ( )

k v m s

k f v f Hz

电场的瞬时式为

410 [ cos( ) cos( / 2)]x yE e t kz e t kz

第 6 章

(2) 磁场强度复矢量为

4 20

0 0

00

0

1 1( )10

120 ( )

j zz y xH e E e je e

磁场强度的瞬时式为

4

0

( , ) Re[ ( ) ]

10[ cos( ) cos( / 2)]

j t

y x

H z t H z e

e t kz e t kz

第 6 章

(3) 平均坡印廷矢量为

8 82

0 0

1Re ( ) *( )

2

1 10 10(1 1) ( / )

2

av

z z

S E z H z

e e W m

(4) 此均匀平面电磁波的电场强度矢量在 x 方向和 y方向

的分量振幅相等，且 x 方向的分量比 y方向的分量相位超前 π

/2 ，故为右旋圆极化波。

第 6 章

例 3 、 证明任一线极化波总可以分解为两个振幅

相等旋向相反的圆极化波的叠加。

解： 假设线极化波沿 +z 方向传播。不失一般性，取 x轴平行于电场强度矢量 E ，则

0 0 0 0

0 0

1 1( )

2 2

( ) ( )2 2

jkz jkz jkz jkzx x y y

jkz jkzx y x y

E z e E e e E e je E e je E e

E Ee je e e je e

上式右边第一项为一左旋圆极化波，第二项为一右旋圆极化波， 而且两者振幅相等，均为 E0/2 。

第 6 章

§ 6.4 电磁波的色散和群速

1 、问题的提出• 单频的谐变信号是不携带任何信息的；

• 具有一定信息的信号可由一群不同频率的谐变信号组

成，形成包络，包络上一点的传播速度（群速）；

• 在色散介质中，某一频率的谐变电磁波的相速是与频

率有关的；

• 群速与相速的关系。

第 6 章

1 0 1 0

2 0 2 0

假定色散媒质中同时存在着两个电场强度方向相同、 振幅相同、频率不同，向 z 方向传播的线极化谐变平面波， 它们的角频率和相位常数分别为

2 、 群速 gv

且有 0 0,

第 6 章

电场强度表达式为

])()cos[(

])()cos[(

0002

0001

ztEE

ztEE

合成电磁波的场强表达式为

1 2

0 0 0

0 0 0

0 0 0

( )

cos[( ) ( ) ]

cos[( ) ( ) ]

2 cos( )cos[( )

E t E E

E t z

E t z

E t z t z

第 6 章

1 2 0 0 0( ) 2 cos( )cos( )E t E E E t z t z

下图表示了某一时刻的波形图，由图知：

0 0, cos( )t z 描述了包络线

0 0cos( )t z 描述了包络线内快速震荡变化的曲线

第 6 章

.t z const

g

dz

dt

当 Δω →0 时，上式可写为

( / )g

dm s

d

群速 的定义：包络波上某一恒定相位点推进的速度，即 gv

第 6 章

3 、 群速与相速的关系

( )

g p

p p pg p p g

p

dv v

d

d v dv dvv v v v

d d v d

d

dv

v

vv

p

p

pg

1

由于在色散介质中，电磁波的相速与频率有关，有必要研究群速与相速的关系

第 6 章

(1) ，则 vg < vp ，这类色散称为正常色散； (2)

，则 vg> vp ，这类色散称为非正常色散。

0d

dvp

0d

dvp

d

dv

v

vv

p

p

pg

1

第 6 章

§ 6.5 均匀平面电磁波向平面分界面的垂直入射

1 、 平面电磁波向理想导体的垂直入射

设 z = 0为分界面，设入射电场强度只具有 x 分量，沿 z 正向垂直入射到理想导体表面上（如图示）。

设入射电磁波的电场和磁场为 1

1

0

01

1

jk zi x i

jk zi y i

E e E e

H e E e

第 6 章

设反射电磁波的电场和磁场为

k1 和 η1 为媒质 1 的相位常数和波阻抗，有

11 1 1 1

1

,k

1

1

0

01

1

jk zr x r

jk zr y r

E e E e

H e E e

理想导体内透射电磁波不存在

第 6 章

媒质 1 中总的合成电磁场为

1 1

1 1

1 0 0

1 0 01

( )

1( )

jk z jk zi r x i r

jk z jk zi r y i r

E E E e E e E e

H H H e E e E e

分界面 z=0 两侧，电场强度的切向分量连续

1 2 1 0 0 2

1 0 0

( ) 0

0

x i r

r i

E E E e E E E

E E E

定义：反射系数 0

0

r

i

E

E

第 6 章

10

0 i

r

E

E

1 1

1 1

1 0 0 1

01 0 1

1 1

( ) 2 sin

1( ) 2 cos

jk z jk zx i x i

jk z jk z iy i y

E e E e e e jE k z

EH e E e e e k z

1区的合成电场和磁场：

平面电磁波向理想导体的垂直入射时，反射系数

相应的瞬时式为

1 1 0 1

01 1 1

1

( , ) Re[ ) 2 sin sin

( , ) Re[ ) 2 cos cos

j tx i

j t iy

E z t E e e E k z t

EH z t H e e k z t

第 6 章

11

1 max

( , ) 0,

( , ) 2

( 0,1,2...)

E z tk z n z n

H z t

n

任意时刻 t, 1区的合成电场和磁场都在距理想导体表

面的某些固定位置处存在零值（波节）和最大值（波

腹）

1 max1

1

( , )(2 1) (2 1) ( 0,1,2...)

( , ) 0 2 4

E z tk z n z n n

H z t

,

1 0 1

01 1

1

( , ) 2 sin sin

( , ) 2 cos cos

x i

iy

E z t e E k z t

EH z t e k z t

第 6 章

不同瞬间的驻波电场图

在反射点（ z=0 ）处是电场的波节，磁场的波腹；相邻波节（或波腹）相距半个波长；相邻波节与波腹相距 1/4 波长。

第 6 章

驻波不传输能量，其坡印廷矢量的时间平均值为

2* 0

1 1 1 1 11

41Re Re sin cos 0

2i

av z

ES E H e j k z k z

可见没有单向流动的实功率，而只有虚功率。能量仅在两个波节间进行电场与磁场能量的交换。

由于 2区中无电磁场，在理想导体表面两侧的磁场切向分量不连续，所以分界面上存在面电流，面电流密度为

0 01 1 0

1 1

22 cosi i

S z x xz

E EJ e H e k z e

第 6 章

2 、 平面电磁波向理想介质的垂直入射 设 z = 0为分界面，设入射电场强度只具有 x 分量，沿 z 正向垂直入射到理想介质分界面（如图示）。

设入射与反射电磁波分别为 1

1

0

01

1

jk zi x i

jk zi y i

E e E e

H e E e

1

1

0

01

1

jk zr x r

jk zr y r

E e E e

H e E e

第 6 章

区域 2 中只有透射波，其电场和磁场分别为 2

2

2 0

2 02

1

jk zt x t

jk zt y t

E E e E e

H H e E e

k2 和 η2 为媒质 2 的相位常数和波阻抗 22 2 2 2

2

k

区域 1 中的电场和磁场为 1 1

1 1

1 0 0

1 0 01

( )

1( )

jk z jk zi r x i r

jk z jk zi r y i r

E E E e E e E e

H H H e E e E e

第 6 章

z=0处分界面磁场强度切向分量连续的边界条件 H1t=H2t ，有

z=0处分界面电场强度切向分量连续的边界条件 E1t=E2t ，有

000 tri EEE

0 0 01 2

1 1( )i r tE E E

2 10 2 1

2 10 2 1

0 2

0 2 1

, 0

, 0

20

r

i

t

i

E

E

ET

E

反射系数

折射系数

1 、反射系数与透射系数

第 6 章

反射系数和透射系数的关系为

T1

1 ）反射波 1 10 0

1

1jk z jk zr x i r y iE e E e H e E e

若 ，在界面反射处，反射电波与入射电波反相0

2 20 0

2

1jk z jk zt x i t y iE e TE e H e TE e

2 ）透射波

因为 ，在界面入射处，透射电波与入射电波同相。0T

第 6 章

区域 1(z < 0) 中任意点的合成电场强度和磁场强度为1 1

1 1 1

1

1

1 0

0

0 1

0 1

( )

[(1 ) ( )]

[(

sin

1 ) 2 sin ]

( 2 )

jk z jk zi r x i

jk z jk z jk zx i

jk zx

j zx

k

i

i

E E E e E e e

e E e e e

e E e j k z

e E Te kj z

上式右边第一项为沿 + z 方向的行波，第二项为驻波。这种既有行波又有驻波的电磁波叫行驻波（混合波）。在传播方向上的一些固定位置处存在有行驻波的振幅最大和最小之分。

3 ）行驻波

第 6 章

1 1

1

1 01

0 11

1( )

1[ 1 2 cos ]

jk z jk zi r y i

jk zy i

H H H e E e e

e E e k z

（ ）

上式右边第一项为沿 + z 方向的行波，第二项为驻波，也是既有行波又有驻波的行驻波。在传播方向上的电场强度振幅的最大位置处恰为磁场强度振幅的最小位置处；电场强度振幅的最小位置处恰为磁场强度振幅的最大位置处。

第 6 章

2 1/ 21 1 0 1

2 1/ 21 1 0 1 1

(1 2 cos 2 )

(1 2 cos 2 ) /

E E E k z

H H E k z

4 ）驻波比

区域 1 中电场强度和磁场强度的模为 ( 设 Ei0=E0 为实数 ) (1) Γ> 0 (η2>η1)

1 max 0 1 min 0 1(1 ) (1 ) /E E E H H E

与分界面相距四分之一波长处为电场的波节和磁场的波腹。

1 min 0 1 max 0 1(1 ) (1 ) /E E E H H E

在分界面处为电场的波腹和磁场的波节。

第 6 章

2 1/ 21 1 0 1

2 1/ 21 1 0 1

1

(1 2 cos 2 )

1(1 2 cos 2 )

E E E k z

H H E k z

(2) Γ< 0 (η2<η1)

区域 1 中电场强度和磁场强度的模为 ( 设 Ei0=E0 为实数 )

电场、磁场的波腹、波节位置与（ 1 ）相反。分界面处为电场的波节、磁场的波腹。

第 6 章

1

1

min

max

E

E定义：驻波比

[ 1,1] [1, )

当 时，为行波状态，区域 1 中无反射波，入射波功率都全部透入区域 2 ；当 时为驻波；当 时为混合波。

| | 0, 1

| | 1,

| | 0 1, 1 、

第 6 章

区域 1 中，入射波向 z 方向传输的平均功率密度矢量为 2

* 0,

1

1 1Re

2 2i

av i i i z

ES E H e

反射波向 -z 方向传输的平均功率密度矢量为 2 2

20*, ,

1

1 1Re

2 2i

av r r r z av i

ES E H e S

5 ）入射波、反射波与折射波间的平均功率密度关系

区域 1 中合成场向 z 方向传输的平均功率密度矢量为

2*1 1 1 , , ,

1Re (1 )

2av av i av r av iS E H S S S

第 6 章

区域 2 中，透射波向 +z 方向传输的平均功率密度矢量为 2 2

* 20 12 , ,

2 2

1 1Re

2 2i

av av t t t z av i

T ES S E H e T S

2 21

2

1 T

, , ,| | | | | |av i av r av tS S S

入射波功率 = 反射波功率 + 透射波功率

第 6 章

例 1 、一极化波由空气向一理想导体平面 (z=0) 垂直入射。试求：（ 1 ）反射波的电场强度；（ 2 ）入射与反射波各是何种极化波？

已知入射波电场强度矢量为

10 1 0 0

1( ) ( )

2jk z

i x yE e je E e k

解：（ 1 ）反射系数 ， 1 反射波电场强度矢量为

10

1( )

2jk z

r x yE e je E e

（ 2 ）入射波是左旋圆极化，反射波是右旋圆极化。

第 6 章

例 2 、一右旋圆极化波由空气向一理想介质平面 (z=0) 垂直入射，媒质的电磁参数为 ε2= 9ε0 ， ε1=ε0 ， μ1=

μ2=μ0 。试求：（ 1 ）反射波、透射波的电场强度；（ 2 ）相对平均功率密度；（ 3 ）它们各是何种极化波？

10

1 0 0

1( )

2

( )

jk zi x yE e je E e

k

已知入射波电场强度矢量为

第 6 章

则反射波和透射波的电场强度矢量为

10( )

2jk z

r x yE e je E e

20 2 2 2 0 0( ) , 3

2jk z

t x y

TE e je E e k

解：（ 1 ）因为入射波电场强度矢量为

10 1 0 0

1( ) ,

2jk z

i x yE e je E e k

反射系数和透射系数为

2 1 2

2 1 2 1

20.5, 0.5T

第 6 章

2, 2

,

0.5 25%av r

av i

S

S

（ 2 ）相对平均功率密度

2,

,

1 1 0.25 75%av t

av i

S

S

第 6 章

（ 3 ）极化方式

10

2( )

4jk z

r x yE e je E e

反射波

左旋圆极化波

透射波

20

2( )

4jk z

t x yE e je E e 右旋圆极化波

第 6 章

例 3 、均匀平面波从空气垂直入射到一介质平面时，在空气中形成驻波，设驻波比为 2.7，介质平面处为驻波最小点，求介质的相对介电常数 εr 。（设介质的 μ=μ

0 ）。

解：驻波比1

2.71

1| | 0.46

1

因为介质平面处为驻波最小点 0.46

2 11 2

2 1

120120

7.3r

r

第 6 章

例 4 、频率为 f=300MHz 的线极化均匀平面电磁波，其电

场强度振幅值为 2V/m ，从空气垂直入射到 εr=4 、 μr=1 的理想

介质平面上，求：

(1) 反射系数、透射系数、驻波比；

(2) 入射功率、反射功率和透射功率。

解： (1) 波阻抗为

0 0 01 2

0 0

120 , 604

第 6 章

反射系数、透射系数和驻波比为

2 1

2 1

2

2 1

1

3

2 2

3

12

1

T

第 6 章

(2) 入射波、 反射波、 透射波的平均功率密度为

220

,1

22 20

, ,1

22 2 20 1

, , ,2 2

1/

2 60

1| | /

2 540

2(1 | | ) /

2 135

iav i z z

rav r z azv i z

tav t z av i av i z

ES e e W m

ES e S e W m

ES e T S S e W m

第 6 章

§ 6.6 均匀平面电磁波向多层媒质分界面的垂直入射 1 、 多层媒质中的电磁波及其边界条件

垂直入射到三层媒质中的均匀平面电磁波

区域 1 （ z<0) 中的入射电磁场为

1

1

1 1 0

1 01

1

jk zi x i

jk zii y

E e E e

EH e e

第 6 章

区域 1 (z≤0) 中的合成电磁波： 1 1

1 1

1 1 1 1 0 1 0

1 1 1 1 0 1 01

( )

1( )

jk z jk zi r x i r

jk z jk zi r y i r

E E E e E e E e

H H H e E e E e

区域 2 (0≤z≤d) 中的合成电磁波： 2 2

2 2

( ) ( )2 2 2 2 0 2 0

( ) ( )2 2 2 2 0 2 0

2

[ ]

1[ ]

jk z d jk z di r x i r

jk z d jk z di r y i r

E E E e E e E e

H H H e E e E e

1 11 01 1 0 1

1

jk z jk zir x r r y

EE e E e H e e

区域 1 中的反射波：

第 6 章

区域 3 (z≥d) 中仅有入射波 ,为

3

3

( )3 3 0

( )3 3 0

3

1

jk z dx i

jk z dy i

E e E e

H e E e

1 2 1 2

2 3 2 3

, ( 0)

, ( )t t t t

t t t t

E E H H z

E E H H z d

为了求得 这四个未知量，利用 z=0和 z=d处媒质分界面上电场和磁场的切向分量都必须连续的边界条件：

1 0 2 0 2 0 3 0, , ,r i r iE E E E

第 6 章

定义 : 媒质中平行于分界面的任一平面上的总电场与总磁场之比，定义为该处的等效波阻抗 Z (z )

( )( )

( )

E zZ z

H z

( 以上设 x 方向极化的均匀平面电磁波沿 z 方向传播 )

2 、 等效波阻抗 Z

第 6 章

1 ） . 无界同一媒质中的等效波阻抗

假设无界媒质中， x 方向极化的均匀平面电磁波沿 +z 方向传播，则媒质中任意位置处的等效波阻抗为

/)(

)()(

0

0jkz

jkz

y

x

eE

eE

zH

zEzZ

x 方向极化的均匀平面电磁波沿 -z 方向传播时，等效波阻抗为

/)(

)()(

0

0jkz

jkz

y

x

eE

eE

zH

zEzZ

在同一无界媒质中的等效波阻抗在数值上等于媒质的本征阻抗

第 6 章

2 ） . 半无界媒质中的等效波阻抗

媒质 1 中离平面分界面为 z处的等效波阻抗为

zjkzjk

zjkzjk

y

x

ee

ee

zH

zEzZ

11

11

11

11 )(

)()(

ljkljk

ljkljk

y

x

ee

ee

lH

lElZ

11

11

11

11 )(

)()(

媒质 1 中 z 为负值，离开平面分界面 (z=0) 的距离为 的某一位置 处的等效波阻抗为

l z l

第 6 章

lkj

lkj

lkjlk

lkjlklZ

121

1122

1211

111211 tan

tan

sincos

sincos)(

lkjlZ 111 tan)(

如果区域 2 中的媒质是理想导体，即 η2=0, Γ = -1 ，上式为

如果 η2=η1 ，由上式知： Z1(- l )=η1 ，表明空间仅存在同

一种媒质，因此没有反射波，等效波阻抗等于媒质的波阻抗。

第 6 章

3 ） . 有界媒质中的等效波阻抗

求 z = 0 、 z = d处的反射系数和透射系数

第 6 章

区域 1 (z≤0) 中的电磁波： 1 1

1 1

1 1 0 1 0

1 1 0 1 01

( )

1( )

jk z jk zx i r

jk z jk zy i r

E e E e E e

H e E e E e

区域 2 (0≤z≤d) 中的电磁波：

2 2

2 2

( ) ( )2 2 0 2 0

( ) ( )2 2 0 2 0

2

[ ]

1[ ]

jk z d jk z dx i r

jk z d jk z dy i r

E e E e E e

H e E e E e

第 6 章

区域 3 ( z≥d ) 中的合成电磁波：

3

3

( )3 3 0

( )3 3 0

3

1

jk z dx i

jk z dy i

E e E e

H e E e

为了求得 这四个未知量，利用 z=0和 z=d处媒质分界面上电场和磁场的切向分量都必须连续的边界条件：

1 0 2 0 2 0 3 0, , ,r i r iE E E E

1 2 1 2

2 3 2 3

, ( 0)

, ( )t t t t

t t t t

E E H H z

E E H H z d

第 6 章

2 2

2 2

1 2 1 2

1 0 1 0 2 0 2 0

1 0 1 0 2 0 2 01 2

0 ,

(3)

1 1( ) ( ) (4)

t t t t

jk d jk di r i r

jk d jk di r i r

z E E H H

E E E e E e

E E E e E e

2 3 2 3

2 0 2 0 3 0 2 0 2 0 3 02 3

,

1 1(1), ( ) (2)

t t t t

i r i i r i

z d E E H H

E E E E E E

利用 z=0 和 z=d处媒质分界面上电场和磁场的切向分量都必须连续的边界条件：

第 6 章

2 0 3 2

2 0 3 2

(5)rd

i

E

E

1 0 2 10

1 0 2 1

(0)(6)

(0)r

i

E Z

E Z

上式中的 Z2(0) 表示区域 2 中 z = 0 处的等效波阻抗：

3 2 2 2 3 2 22 2 2

2 2 3 2 2 3 2

cos sin tan(0)

cos sin tan

k d j k d j k dZ

k d j k d j k d

解方程（ 1 ）、（ 2 ）得 z= d 分界面处的反射系数

解方程（ 3 ）、（ 4 ）得 z= 0 分界面处的反射系数

第 6 章

2

2

02 0 1 02

1

1jk d

i ij k dd

E E ee

0223

303

2ii EE

引入等效波阻抗 Z2(0) 后，对于表示区域 1 中的电磁波，区域 2 和区域 3 的存在相当于在 z = 0 处接一个阻抗为 Z2(0) 的媒质。

区域 2 和区域 3 中的入射波电场振幅为

第 6 章

dkjdk

dkjdkZ

2322

2223212 sincos

sincos)0(

)sincos()coscos( 2223223221 dkjdkdkjdk 使上式中实部、虚部分别相等，有

1 2 3 2

21 3 2 2 2

cos cos

sin sin

k d k d

k d k d

1 0 2 10

1 0 2 1

(0)(6)

(0)r

i

E Z

E Z

3 、 讨论媒质 1 中无反射的条件，即 0 0

第 6 章

(1) 如果 η1=η3≠η2 ，则要使上两式同时满足，则要求

0sin 2 dk

即 2 ( 1,2,...)2

d n n

所以，对于给定的工作频率，媒质 2 的夹层厚度 d为媒质2 中半波长的整数倍时，媒质 1 中无反射。最短夹层厚度 d应为媒质 2 中的半波长。

21 2 3 2 1 3 2 2 2cos cos , sin sink d k d k d k d

第 6 章

(2) 如果 η1≠η3 ， 要求

0cos 2 dk

即 2(2 1) ( 0,1,2,...)4

d n n

且 312 所以当媒质 1 和媒质 3 的波阻抗不相等时，若媒质 2 的波阻抗等于媒质 1 和媒质 3 的波阻抗的几何平均值，且媒质 2 的夹层厚度 d为媒质 2 中四分之一波长的奇数倍，则媒质 1 中无反射波。

21 2 3 2 1 3 2 2 2cos cos , sin sink d k d k d k d

第 6 章

例、 为了保护天线，在天线的外面用一理想介质材料制作一天线罩。天线辐射的电磁波频率为 4 GHz ，近似地看作均匀平面电磁波，此电磁波垂直入射到天线罩理想介

质板上。天线罩的电磁参数为 εr=2.25, μr=1 ，求天线罩理想介质板厚度为多少时介质板上无反射。

解：8

90 9

3 104 10 , 0.075

4 10

cf Hz m

f

理想介质板中的电磁波波长 mr

05.025.2

075.00

天线罩两侧为空气， 故天线罩的最小厚度应为 cmd 5.22

第 6 章

§ 6.7 均匀平面电磁波向平面分界面的斜入射

1 、 均匀平面电磁波向理想介质分界面的斜入射

1 ） . 相位匹配条件和斯奈尔定律

入射波、 反射波、 透射波为

0

0

0

i

r

t

jk ri i

jk rr r

jk rt t

E E e

E E e

E E e

第 6 章

1 1

1 1

2 2

( cos cos cos )

( cos cos cos )

( cos cos cos )

i i x i y i z i

x ix y iy z iz

r r x r y r z r

x rx y ry z rz

t t x t y t z t

x tx y ty z tz

k e k k e e e

e k e k e k

k e k k e e e

e k e k e k

k e k k e e e

e k e k e k

入射波、 反射波、 透射波的波矢为

第 6 章

因为 z=0 分界面上两侧任意处电场强度的切向分量应连续

( ) ( ) ( )

0 0 0ix iy rx ry tx tyj k x k y j k x k y j k x k yt t t

i r tE e E e E e

0 0 0t t ti r t

ix iy ry ry tx ty

E E E

k x k y k x k y k x k y

,ix rx tx iy ry tyk k k k k k

上式表明入射波、 反射波、 透射波的波矢的切向分量相等，称为相位匹配条件。

第 6 章

1 1 2

1 2

cos cos cos

0 cos cosi r t

r t

k k k

k k

2r t

, ,2 2 2i i r r t t

若取 y=0 为入射面，即入射线位于 x0z 平面，由相位匹配条件

反射线、折射线位于入射面（ x0z 平面）

1 1 2sin sin sini r tk k k

ri 反射定律

22

11

2

1

sin

sin

k

k

i

t折射定律

第 6 章

对于非磁性媒质， μ1=μ2=μ0 ， 上式简化为

2

1

2

1

sin

sin

n

n

i

t

折射

定律

斜入射的均匀平面电磁波，不论何种极化方式，都可以分解为两个正交的线极化波：一个极化方向与入射面垂直，称为垂直极化波；另一个极化方向在入射面内，称为平行极化波。 即

E E E

只要分别求得这两个分量的反射波和透射波，通过叠加，就可以获得电场强度矢量任意取向的入射波的反射波和透射波。

第 6 章

（ 1) 垂直极化波

由反射定律、折射定律和 z=0 分界面的边界条件，可得垂直极化入射时的反射系数和折射系数为

2 ） . 反射系数和透射系数

iE

rE

iH

rH

tH

第 6 章

0 2 1

0 2 1

0 2

0 2 1

cos cos(1)

cos cos

2 cos(2)

cos cos

r i t

i i t

t i

i i t

E

E

ET

E

以及 1 (3)T

对于非磁性媒质， μ1=μ2=μ0 ，式 (1) 、（ 2 ）分别简化为

22

11 2

21 2 2

1

cos sincos cos

(4)cos cos

cos sin

i i

i t

i ti i

n n

n n

第 6 章

1

21 2 2

1

2 cos 2cos(5)

cos coscos sin

i i

i ti i

nT

n n

上述反射系数和透射系数公式称为垂直极化波的菲涅耳 ( A.

J.Fresnel ) 公式。透射系数总是正值。当 ε1>ε2 时，由折射定

律知， θi<θt ，反射系数是正值；反之，当 ε1<ε2 时，反射系数是负值。

第 6 章

（ 2) 平行极化波

图、平行极化的入射波、 反射波和透射波

由反射定律、折射定律和 z=0 分界面的边界条件，可得平行极化入射时的反射系数和折射系数为 iE

rE

tE

iH

rHtH

第 6 章

解之得反射系数、 透射系数：

0 1 2

0 1 2

0 2

0 1 2

cos cos(6)

cos cos

2 cos(7)

cos cos

r i t

i i t

t i

i i t

E

E

ET

E

1|| ||

2

1 (8)T

如果 θi=0，那么 θr=θt=0， 故 12

12||

第 6 章

对于非磁性媒质， μ1=μ2=μ0 ，式 (6) 、（ 7）简化为

22 2

1 11 1||

22 1 2 2

1 1

cos sincos cos

(9)cos cos

cos sin

i i

i t

i ti i

n n

n n

2

11||

22 1 2 2

1 1

2 cos2 cos

(10)cos cos

cos sin

i

i

i ti i

nT

n n

透射系数 T‖ 总是正值，反射系数 Γ‖则可正可负。

第 6 章

3 ） . 媒质 1 中的合成电磁波

1 1 1

1

cos cos ( sin )0[ ]i i i

i r

jk z jk z j k xy i

E E E

e E e e e

1 1

1

1 1

cos cos( sin )

1 0 cos cos1

cos ( )1

sin ( )

i i

i

i i

jk z jk zx i j k x

i jk z jk zx i

e e eH E e

e e e

（ 1) 垂直极化波

电场 是与传播方向 x 相垂直，而磁场的分量 与传播方向 x 相平行，所以是沿 x 传播的 TE 波。

1E

1H

第 6 章

ix kk sin1

相速为 ix

px kk sin1

11 1

2cos , ,

cos cosz i pz zz i i

k k vk k k

由传播因子 知：在 x 方向上表现为行波，其相位常数为

1( sin )ij k xe

在 z 方向，电磁场的每一分量都是由传播方向相反、幅度不相等的两个行波之和，电磁场沿 z 方向的分布表现为行驻波。它们的相移常数、 相速和相应的波长为

第 6 章

（ 2) 平行极化波

分析方法同垂直极化波；

沿 x 、 z 方向的相移常数、 相速和相应的波长同上；

但，是沿 x 方向传播的 TM 波。

第 6 章

2 、 均匀平面电磁波向理想导体的斜入射

垂直极化的反射系数和透射系数： 1, 0T

平行极化的反射系数和透射系数： || ||1, 0T

由此知：同垂直入射时一样，斜入射电磁波也不能透入理想导体。

将上述中的媒质 2换为理想导体，即可讨论当电磁波分别以平行和垂直两种方式斜入射时的反射和透射等。

1 ）反射系数和透射系数

第 6 章

2 ） . 垂直极化时 ,经区域 2 的理想导体表面反射后媒质 1(z <0) 中的合成电磁波：

1( sin )1 0 12 sin[( cos ) ] ij k x

y i iE e jE k z e

1

1 0 11

( sin )1

12 { cos cos[( cos ) ]

sin sin[( cos ) ]} i

i x i i

j k xz i i

H E e k z

e j k z e

第 6 章

媒质 1 中的合成电磁波具有下列性质： (1) 合成电磁波是沿 x 方向传播的 TE 波，相速为

iipx k

sin

1

sin 111

(2) 合成电磁波的振幅与 z 有关，所以为非均匀平面电磁波，即合成电磁波沿 z 方向的分布是驻波。电场强度的波节点

位置离分界面 (z=0) 的距离，

,...)2,1,0(cos2

1 nn

zi

第 6 章

(3) 坡印廷矢量有 x 、 z 两个分量，它们的时间平均值为

*,

1Re 0 0

2av z y y x x zS e E e H e

*,

2 20 1

1

1Re

2

12 sin sin [( cos ) ]

av x y y z av

x i i i

S e E e H

e E k z

第 6 章

2 ） . 平行极化

若 Ei 平行入射面斜入射到理想导体表面，类似于上面垂

直极化的分析，我们获知媒质 1 中的合成电磁波是沿 x 方向传

播的 TM 波，垂直理想导体表面的 z 方向合成电磁波仍然是驻

波。

第 6 章

§ 6.8 均匀平面电磁波的全透射和全反射

1 、全透射

平行极化斜入射，由（ 9 ）式

22 2

1 1||

22 2

1 1

cos sin

cos sin

i i

i i

ii

2

1

2

1

2 sincos 要 ，解上式得 || 0

2

2 1

sin i

得 此角度称为布儒斯特角 (Brewster Angle) ，记为 θB

第 6 章

2

2 1

sin B

/ 2B t 由折射定律可得此时入射角与折射角的关系为

2 1

2 1

2 2 2

1 1 1

cos 1 sin

sintan

cos

B B

B rB

B r

n

n

2

1

tan B

n

n 布儒斯特定律

第 6 章

对于垂直极化的斜入射，其反射系数公式表明要 Γ⊥=0，必有下式成立

ii 2

1

2 sincos

要上式成立，除非 ，即对于垂直极化的斜入射，不会发生全透射的情况

2 1

第 6 章

综上可见，对于非磁性媒质，产生全透射的条件是：① 均匀平面电磁波平行极化斜入射； ② 入射角等于布儒斯特角，即 θi = θB 。

所以，任意极化的电磁波以布儒斯特角斜入射到两非磁性媒质的分界面时，入射波中 Ei 平行于入射面的部分将全部透入媒质2 ，仅垂直入射面的另一部分入射波被分界面反射， 故反射波是 Er 垂直入射面的线极化波。显然，如果圆极化波以布儒斯特角斜入射时，其反射波和透射波均为线极化波。光学中通常利用这种原理来实现极化滤波。

第 6 章

2 、 全反射

均匀平面电磁波斜入射时的反射系数、透射系数不仅与媒质特性有关， 而且依赖于入射波的极化形式和入射角。在一定条件下会产生全反射现象。当反射系数的模 |Γ|=1 时，功率反射

系数 Γp=|Γ|2=1 ，此时垂直于分界面的平均功率全部被反射回媒

质 1 ，这种现象称为全反射。

22 2

1 1

sin , arcsini i c

即

第 6 章

由折射定律 2 1sin / sin /i t n n

要发生全反射应有 ，即sin 1t / 2t

2 1sin sin /i c n n

对于非磁性媒质 2 2

1 1

sin rc

r

n

n

1 2 1 2

| sin | 1

/ 2 , ( )c

i c r rn n

发生全反射的条件：

第 6 章

对于非磁性媒质，斜入射的均匀平面电磁波产生全反射的条件是：

① 入射波自媒质 1 向媒质 2 斜入射，且 ε 2< ε 1 ；

② 入射角等于或大于临界角，即 θc≤θi≤90° 。

当 θi >θc 时，由折射定律知，

1 1

2 2

sin sin sin 1t i c

发生全反射时，分界面处的表面波

第 6 章

不存在 θt 的实数解，有 2

2 2 1

2

cos 1 sin sin 1 sin 1t t t ij

为虚数。令 cosθt= - jα ，则发生全反射时的反射系数与透射系数

公式可写为

1 2 1

1 2 1 2

2 1 1|| ||

2 1 2 1

cos 2 cos

cos cos

cos 2 cos

cos cos

i i

i i

i i

i i

n jn nT

n jn n jn

n jn nT

n jn n jn

第 6 章

发生全反射后，媒质 2 中的透射波电场强度为

22

2

12 sin

2 0 0

0

it

njk x

njk rt

k z

k z

t t

jt

x

E E E e e

e

E

e

e

E

z 为向媒质 2深入的方向， x 是分界面的切向。由此知：发生全

反射后，媒质 2 中的透射波电场强度沿 z 向是衰减波，媒质 2 中的透射波表现为分界面处的表面波。

第 6 章

第 6 章

表面波的相速为

0 0 1 1sin sinpx

r i r i

c

第 6 章

全反射时的透射波等相位面及等振幅面

第 6 章

例、真空中波长为 1.5 μm的远红外电磁波以 75° 的入射角从 εr=1.5、 μr=1 的媒质斜入射到空气中，求空气界面上的电场强度与距离空气界面一个波长处的电场强度之比。

解： 74.545.1

1arcsinarcsin

1

2

c

0188.0)0(

)(

633.02

633.0

633.01sincos

633.022

222

2

1

2

22

eeE

E

kak

jj

k

it

第 6 章

例、下图表示光纤 (Optical Fiber) 的剖面，其中光纤芯线的折射率为 n1 ，包层的折射率为 n2 ，且 n1>n2 。这里采用平面波的反、折射理论来分析光纤传输光通信信号的基本原理。设光束从折射率为 n0 的媒质斜入射进入光纤，若在芯线与包层的分界面上发生全反射，则可使光束按图所示的方式沿光纤轴向传播。现给定 n1 和 n2 ，试确定能在光纤中产生全反射的进入角 φ 。

第 6 章

解：

由折射定律知，

1

2arcsin2 n

ncti

ct 2

2/12

1

2

0

1

0

1

0

1

0

1

1cos

2sinsinsin

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

c

ct

第 6 章

若 n0=1 ，即光束从空气进入光纤，则有

假设 n1=1.5, n2=1.48，则有

在上述条件下，只要光束进入角小于 14.13° ，光束即可

被光纤“俘获”， 由多重全反射而在其中传播。

22

21sin nn

13.14

第 6 章

第六章 平面电磁波 小 结 1 、 无限大理想介质中的平面电磁波

（ 1 ）、电场强度与磁场强度均与波传播方向垂直，是 TEM 波；

（ 2 ）、在波传播方向上电磁波振动状态在相位上是滞后的；

（ 3 ）、电场强度、磁场强度同相变化

( )

0 0

1, 0

x y zj k x k y k zjk r

n n

E E e E e

H e E e E

第 6 章

0

0

E

H

（ 4 ）、媒质的波阻抗 ( 或本征阻抗 )

（ 5）、波速（相速）、波长

相位常数 k

1 2p k k

第 6 章

2 、 无限大导电媒质中的平面电磁波

1 ）导电媒质等效介电常数 c

1c j j

c j 2) 传播特性传播常数

导电媒质的本征阻抗

| | | |jc c c

c

e

第 6 章

3 ）导电媒质中平面电磁波表达式

相速 色散效应 2

1/ 22 1[ 1 1]pv

波长 fp

2

0

0

( , ) cos( )

( , ) cos( )| |

a zx

azy

c

E z t e E e t z

EH z t e e t z

第 6 章

4 ）、良导体中的电磁波

4(1 )2 2

2 22

j

c

p

j e

趋肤深度 δ 1/ 集肤效应 表面阻抗 ZS

第 6 章

3 、 电磁波的极化

1 ） . 线极化

2 ） . 圆极化

3 ） . 椭圆极化

0,x y

0

0

cos( )

cos( )x x x

y y y

E E t

E E t

0 0

/ 2,

/ 2x y x yE E

左旋

右旋

0 0

0,

0x y x yE E

左旋

右旋

第 6 章

4 、 均匀平面电磁波向平面分界面的垂直入射

2 10 2 1

2 10 2 1

0 2

0 2 1

, 0

, 0

20

r

i

t

i

E

E

ET

E

反射系数

折射系数

1 ）、 平面电磁波向理想导体的垂直入射 2( 0)

任意时刻 t, 入射介质中电场和磁场表现为驻波；在理想导体

表面处为电场的波节、磁场的波腹。

1, 0T

T1

第 6 章

2 ）、 平面电磁波向理想介质的垂直入射

• 入射介质中的行驻波（混合波）

反射波 1 10 0

1

1jk z jk zr x i r y iE e E e H e E e

2 20 0

2

1jk z jk zt x i t y iE e TE e H e TE e

透射波

1

1

min

max

E

E• 驻波比

• 入射波、反射波与折射波间的平均功率密度关系

第 6 章

5 、 均匀平面电磁波向多层媒质分界面的垂直入射

1 ）、 等效波阻抗 ( )( )

( )

E zZ z

H z

2 ） . 半无界媒质中的等效波阻抗

lkj

lkj

lkjlk

lkjlklZ

121

1122

1211

111211 tan

tan

sincos

sincos)(

3 ） . 有界媒质中的等效波阻抗

2 0 3 2

2 0 3 2

rd

i

E

E

1 0 2 1

01 0 2 1

(0)

(0)r

i

E Z

E Z

第 6 章

区域 2 中 z = 0处的等效波阻抗

3 2 2 2 3 2 22 2 2

2 2 3 2 2 3 2

cos sin tan(0)

cos sin tan

k d j k d j k dZ

k d j k d j k d

讨论媒质 1 中无反射的条件，即 0 0

(1) 如果 η1=η3≠η2 ，则要求 2 ( 1,2,...)

2d n n

(2) 如果 η1 η3 ， 要求 2(2 1) ( 0,1,2,...)4

d n n

312

第 6 章

1 ）对于非磁性媒质，产生全透射的条件是：① 均匀平面电磁波平行极化斜入射； ② 入射角等于布儒斯特角，即 θi = θB 。

6 、 均匀平面电磁波向分界面的斜入射

2 ）对于非磁性媒质，产生全反射的条件是：① 入射波自媒质 1 向媒质 2 斜入射，且 ε 2<ε1 ； ② 入射角等于或大于临界角，即 θc≤θi≤90° 。

2 2

1 1

arctan arctanrB

r

n

n

2 1 2 1sin / /c n n

第 6 章

7 、 群速与相速

8 、本章的基本计算要求