第七章二阶电路

7-1 二阶电路的零输入响应 7-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应

7-3 二阶电路的冲激响应

重点：1. 用经典法分析二阶电路2. 二阶电路的零输入响应有几种表现

形式？特点？难点：不同特征根的响应讨论

知识复习

1 、二阶齐次微分方程的通解形式

0''' cbyay

02 cbpap

a

acb

a

bp

4

4

2

2

2,1

ptAey

特征根：

特征方程为：

通解 :

当特征方程有不同的实根 p1、 p2 时 :

当特征方程有相同的实根 p 时 :

当特征方程有共轭的复根 :

tptp eAeAy 2121

ptetAAy )( 21 jp 2,1

)sincos( 21)( tAtAeey ttj

a

acb

a

bp

4

4

2

2

2,1

ptAey

2 、欧拉公式 sincos je j

sincos je j

2sin

j

ee jj

2cos

jj ee

7-1 二阶电路的零输入响应

一阶电路是单纯的吸收或释放能量的响应二阶电将将出现动态元件之间的能量交换RLC 串联电路的简单物理过程分析

一、问题的提出

S（t=0） R iL( t ) + + uR (t) - + uC(t) uL(t) _ _ i

R、L、C串联的二阶电路

二阶电路中的能量振荡

+ iU0

C L C L _ (a) (b) -

_ C L C L U0

i + (c) ( d)

图 8-1 LC电路中的能量振荡

即 R=0 ，无阻尼情况

U0 I0

2

O 2 t

振荡放电过程的响应曲线

uC(t )

iL(t )

00 cL u

dt

dii :max

00 Lc

c idt

duu :max

U0

uC(t ) I0

iL(t ) O tm t

非振荡放电过程的响应曲线

U0

I0 uC(t )

iL(t )

O 1/ t

临界阻尼情况的响应曲线

U 0

O - 2 t


u C ( t )

i L ( t )

teU

00

U0 I0

2

O 2 t


uC(t )

iL(t )



二、二阶电路的方程与解

000 Uuu CC )()(

000 )()( LL ii



电路如图，零输入设初始条件为∶

说明 : 0 LRC uuudt

duCi C

dt

duRCRiu C

R 2

2

dt

udLC

dt

diLu C

L

电路方程为：

因此：

02

2

CCC u

dt

duRC

dt

udLC

00 UuC )( 00 )(Li0t

二阶电路微分方程的求解 02

2

CCC u

dt

duRC

dt

udLC

LCL

R

L

Rp

1

22

2

特征根为：

012 RCpLCp特征方程为 :

ptc Aeu 解为 :

其中：LCL

R

L

Rp

1

22

2

1

LCL

R

L

Rp

1

22

2

2

得∶ tptpc eAeAu 21

21

代入初始条件∶ 210 AAU 00 UuC )(

00 )(Li 00

2211 ApApC

iL )(

有∶ 012

21 U

pp

pA

0

12

12 U

pp

pA

•据电路的初始条件即可得出通解中的待定系数。•由特征根的性质（不等的实数、相等的实数或共轭的复数）确定通解的具体形式。

结论∶

tptpc eU

pp

peU

pp

pu 21

012

10

12

2

00 UuC )( 00 )(Li



LCL

R

L

Rp

1

22

2

21

.

三、关于二阶电路响应的讨论

LCL

R 1

2

2

C

LR 2

将出现三种典型情况

尤其受根号项制约响应受制约21.p 为元件值定21.p

LCL

R 1

2

2

LCL

R 1

2

2

C

LR 2

C

LR 2

当时， p1、 p2 为不相等的负实数 ( 其为固有频率 ) 。

C

LR 2

)()( tptpC epep

pp

Utu 21

1212

0

解出

tptpc eU

pp

peU

pp

pu 21

012

10

12

2

00 UuC )(

00 )(Li


R、L、C串联的二阶电路 LCL

R

L

Rp

1

22

2

21

.

)()( tptpL epep

pp

Utu 21

2112

0

)()(

)( tptpL ee

ppL

Uti 21

12

0

dt

duCi C dt

diLuL

一、过阻尼情况——非振荡放电过程过阻尼的条件

02121 tptpL epep

dt

di1

2

21

1

p

p

pptm ln

)()( tptpC epep

pp

Utu 21

1212

0

)()(

)( tptpL ee

ppL

Uti 21

12

0

LCL

R

L

Rp

1

22

2

21

.

对响应的进一步分析∶

定性分析∶

波形∶

12 pp

tptp ee 21 0)(tuC

0t

t

max)( CC uUtu 0

0)(tuC

0Li

0Li

maxLL ii

U0

uC(t ) I0

iL(t ) O tm t

非振荡放电过程的响应曲线

02,1 p

过阻尼时的响应曲线

U0

uC(t ) I0

iL(t ) O tm t



能量分析

LCL

R 1

2

2

二、临界阻尼情况

临界阻尼的条件当时， p1、 p2 为两相等的负实数 ( 其为固有频率 ) 。

C

LR 2

00 UuC )(

00 )(Li


R、L、C串联的二阶电路 LCL

R

L

Rp

1

22

2

21

.

L

Rpp

212 型0

0cu 罗必塔法则

)()(

)(

)(

lim)(

teUtepeU

dpppd

dpepepd

Utu

ttptp

tptp

ppC

1010

2

12

2

21

0

11

12

12

)()( teUtu tC 10

tL te

L

Ui 0 )()( teUtu t

L 10

)()( tptpC epep

pp

Utu 21

1212

0

临界阻尼时的响应曲线

U0

I0 uC(t )

iL(t )

O 1 t

临界阻尼情况的响应曲线

1

mt0dt

diLmaxLL ii

)()( teUtu tC 10

tL te

L

Ui 0

当时， p1、 p2 为一对共轭复数，其实部为负数。

C

LR 2

LCL

R 1

2

2

三、欠阻尼情况 00 UuC )( 00 )(Li



LCL

R

L

Rp

1

22

2

21

.

欠阻尼的条件 0

220

arctg

cos0

sin0L

R

2 22

02 令： LC

10

三角形关系

jp 1 jp 2有：

)()( tptpC epep

pp

Utu 21

1212

0

jep 01

jep 02

jp 21.

有：

同理：

根据欧拉公式：

0

220

arctg

cos0

sin0

)sin(cos

sincos

0

001

j

jp

)()( tptpC epep

pp

Utu 21

1212

0

tjjtjj

tptpC

eeeej

U

epeppp

Utu

)()(

)()(

000

1212

0

2

21

)sin( te

Uu t

c00

)sin(

)()(

teU

j

eee

U

t

tjtjt

00

00

2

teL

Uti t

L

sin)( 0 )sin( te

Uu t

L00

因此：

2)cos(

2)sin(

)()(

)()(

tjtj

tjtj

eet

j

eet

sincos

sincos

je

jej

j

有：

dt

tduCtiti c

CL

)()()(

)sin( te

Uu t

c00 te

L

Uti t

L

sin)( 0 )sin( te

Uu t

L00

波形分析∶ 0sin K ),,,( 3210K

欠阻尼时的响应曲线

U 0

O - 2 t


u C ( t )

i L ( t )

teU

00

0t 0Uuc 0Li

t 0cu 0Li

Kt 0cu

Kt 0Li maxcc uu

Kt 0Lu maxLL ii

0

欠阻尼时的响应曲线

U 0

O - 2 t


u C ( t )

i L ( t )

teU

00

)sin()(200

tUtuC

tL

CUt

L

UtiL 000

0

0

sinsin)(

四、无阻尼的情况无阻尼情况是欠阻尼的一种特殊情况。

此时的响应为：

)sin( te

Uu t

c00

teL

Uti t

L

sin)( 0

02

LC

10

0R 当时， p1、 p2 仍为一对共轭复数，其实部为零。

0R

LCL

R

L

Rp

1

22

2

21

.

021 jp .

cL uu )sin( te

Uu t

L00

LC

10

L

R

2

220

2

LC

10

jp 2,1

0

R=0

U0 I0

2

O 2 t


uC(t )

iL(t )

)sin()(200

tUtuC

tL

UtiL 0

0

0

sin)(

cL uu

无阻尼时的响应曲线

由此可见， u(t) 、 i(t) 均为正弦函数，电路的响应为等幅振荡响应，称为系统的固有频率；0

当二阶电路的激励为同频率的正弦函数时，称此时电路发生了谐振，其物理意义类似于机械系统的共振。

1 . 解繁。即或是对于零输入的情况，解也是很繁的。

2 . 同样性质的电路，因元件的参数值差异，响应将出现不同情况。

3 . 其它初值情况。改变常数，将导致波形改变，但基本特征不变。

4 . RLC 并联电路 ---- 对偶关系。

四、几点说明



7-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应

二阶电路的初始储能为零 ( 即电容两端的电压和电感中的电流都为零 ) ，仅由外施激励引起的响应称为二阶电路的零状态响应。

图示为 GCL 并联电路

S（t=0） iS iG iC iL + + G C uc(t) L uL(t) - -

它的解答由特解和对应的齐次方程的通解组成 , 即取稳态解 i’ 为特解，而通解 i” 与零输人响应形式相同，再根据初始条件确定积分常数，从而得到全解。

有二阶线性非齐次方程，根据 KVL

二阶电路的零状态响应 :

SLGC iiii

SLLL ii

dt

diGL

dt

idLC

2

2

00 )(Cu 00 )(Li0t LLL iii

二阶电路在阶跃激励下的零状态响应称为二阶电路的阶跃响应，其求解方法与零状态响应的求解方法相同。如果二阶电路具有初始储能，又接入外施激励，则电路的响应称为全响应。全响应是零输入响应和零状态响应的叠加，可以通过求解二阶非齐次方程方法求得全响应。

7-3 二阶电路的冲激响应

R C + + uc(t) - + )(t L uL(t) _ _ i

如图为一零状态的 RLC 串联电路，在 t＝ 0 时与冲激电压接通。若以 uc为变量，根据 KVL 可得电路方程∶

零状态的二阶电路在冲激函数激励下的响应就是二阶电路的冲激响应。

二阶电路的冲激响应

在 t=0 时，电路受冲激电压激励而获得了一定能量，在 t＞ 0+ 时放电

即在 t＞ 0+ 时，有∶ 02

2

CCC u

dt

duRC

dt

udLC

00 UuC )( 00 IiL )()( 0t

零输入响应

)(tudt

duRC

dt

udLC C

CC 2

2

00 )(Cu 00 )(Li ot

0

000

100 dtuuuRCdt

du

dt

duLC ccc

t

c

t

c )()(

0)0()0(,00

CCt

c uudt

du1

0

t

c

dt

duLC

LCdt

du

t

c 1

0

0)0(,1

)0(0

Ct

cL u

Ldt

duCi

)()(

)( tptpC ee

ppLCtu 21

12

1

)sin()( te

LCtu t

C

1

由于 uc不可能是阶跃函数或冲激函数，否则上式不能成立，就是说 uc不可能跃变；仅 duc/dt 可能发生跃变。这样根据初始状态条件有∶

把方程在 t=0- 到 0+区间积分，得 :

00 UuC )( 00 IiL )( )( 0t

问题的关键：

故∶

)(tudt

duRC

dt

udLC C

CC 2

2

00 )(Cu 00 )(Li

C

LR 2

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