计 算 流 体 力 学

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计 计 计 计 计 Computational fluid dynamics

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计 算 流 体 力 学. Computational fluid dynamics. 课时 : 40 小时 40 hours 教材: 王新月, 杨青真 .《 计算流体力学基础 》, 西北工业大学讲义,西北工业大学出版社 Textbook : Wang.X.Y , Yang.Q.Z “Foundation of Computational fluid dynamics” , Lecture of NPU. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: 计 算 流 体 力 学

计 算 流 体 力 学

Computational fluid dynamics

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课时: 40 小时 40 hours教材:王新月, 杨青真 . 《计算流体力学基础》 , 西北工业大学讲义,西北工业大学出版社Textbook : Wang.X.Y , Yang.Q.Z “Foundation of Computational fluid dynamics” , Lecture of NPU.课程性质: 专业课 Specialty course适用对象:硕士研究生 for Master Degree

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基础要求: Requirements :

学过流体力学、粘性流体力学等专业课基础Fluid Dynamics, Foundation Dynamics of Viscous

Flow have been studied 学过数值分析、计算方法等数学基础课Learn Numerical Analysis, Computational Method

Page 4: 计 算 流 体 力 学

主要内容:

1. 计算流体力学的基础知识,差分形式逼近流体力学基本方程,包括差分逼近基础,流体力学基本方程的解,差分格式的构造。 Includes foundation knowledge of Computational fluid dynamics, FD approach to FD basic Eq, solution of the FD Eqs, constitution of FD. 2. 定常不可压势流的数值解法,包括不可压势流基本方程,源汇流动,旋成体绕流,及椭圆型微分方程数值解。Numerical solution of steady incompressable potential flow, includes the basic Eqs of steady incompressable potential flow, source and sink flow, flow arround a rotational body.

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3. 特征线方法的概念和应用 Concept and application of characteristic line method

4. 跨音速定常小扰动势流混合差分法及隐式近似因式分解 Small perturbation method for steady transonic flow and Approximate Factorization(AF)

5. 时间推进法:包括守恒的非定常欧拉方程组等Time march methods, includes conservational

unsteady Euler Eqs.

Page 6: 计 算 流 体 力 学

6.Navier –Stokes 方程的数值解法,包括湍流模型理论, N-S 方程的有限体积法,涡流函数解法。 Numerical methods for Navier-Stokes Eqs, include turbulence models, finite volume method for N-S Eqs.

7. 网格设计:包括集合生成方法,保角变换法,微分方程法,混合方法,动网格设计 Mesh design includes geometric meshing method, angle conservation method, TTM method, Vortex –streamline method,moving grids

8. 流场计算中的新方法,包括 TVD 方法, ENO 方法, NND 格式谱方法,自适应网格,并行计算与向量计算,非机构网格及其应用 Some new methods computing the flow fields ,self adapt grids, parallel methods and vector computing, unstructured grid and its applications.

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主要参考资料References

1. 书中各章所列 The references of every chapter.

2. 张涵信 沈孟育《计算流体力学:差分方法的原理和应用 》 国防工业出版社, 2003 年 1 月

Zhang han kin etc Computational Fluid Dynamics –Fundamentals and Applications of Finite Difference Minitry Industry Press. 2003 BeiJing

4.John D. Anderson, JR. Computational fluid dynamics,the basics with application. MCGraw-Hill Apr.2002

计算流体力学入门,清华大学出版社, 2003 年 4 月

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第一章 差分逼近基础及流体力学基本方程的解

Chapter 1, Finite Differential Approach and the solution of the Basic Equation of Fluid

Dynamics

1-1 差分逼近基础 Element of Finite Differential Approach

一 . 流体力学问题的解 ( The solution of Fluid Dynamics question )

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泛定方程 描述流动现象的一组封闭方程 The closed equations

to describe fluid phenomenon, 描述运动的一般规律,不能确定物体形状和边界条

件(初始条件) To describe the normal regulation, not define to a certain geometry and BC / IC

定解条件: 初始条件 过多则出现无解(不存

在) confirm condition : initial condition : too more, BC / IC takes no solution

边界条件过少则出现很多解,即不唯一Boundary condition too less BC / IC load unique solution

解的连续性问题,定解条件的微小变化引起域内解的微小变化 Continuity of solution , a little change of BC may lead to little change of solution

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差分方程:微分方程的近似逼近、近似 FDE approach the PDE

数值解必须条件 Condition needed for Numerical solution

① 适定性问题(有解) Confirmed solution

① (问题)解的性质 the feature of solution

① 实用的近似方案 be of a practical approach solution

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①4. 近似方程适定,变量数目与方程数目相同Number of equations equal to number of variables

②5. 可行的求解代数方程组的方法:迭代方法(iterative method) ,直接求解 ( directive solving method)Possible / valid method to solve linear equations.

③6. 具备计算条件(内存,速度等) computation facility

④7. 稳定性,收敛性和精度( h0 ,得到精确解) Stability, convergence, accuracy

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二 . 微分方程解的存在性和唯一性Existence and uniqueness of the PDE solution

1. 物理过程:适定性 Physic phenomena ; fixed

2. 数学方程:可解不适定 Math equation ; possibility not fixed

3. 原因:近似的数学方程忽略了一些次要影响因素Reason; approximate math equation usually neglect some unimportant influence

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4. 数学上适定性问题:只能近似的反应物理现象A fixed question in math ;can approximately reflect the physic phenomena

5. 偏微分方程解的唯一性:数理方程重有详尽叙述Uniqueness of a PDE, has been descript detailedly in Math

6. 适定问题 + 定解条件 差分方程数值唯一性Fixed question +confirmed BC/IC the uniqueness of the related FDE

7. 若微分方程的精确解是唯一的 稳定收敛解也是唯一的If the solution of PDE is unique then the solution of FDE is unique

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三 . 差分方程数值解收敛性 相容性和稳定性Convergence consistency and stability

1. 收敛性 (convergence) 当时间步长和空间步长()趋于零,若差分方程的问题趋于偏微分方程(相同的适定条件,定解条件) When time step and space step tend to zero ,the solution of FDE tend to the solution of PDE

Lax 等价定理Lax equipollence theorem

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2. 相容性 (consistency)差分方程对微分方程的近似程序 How approximate is the FDE to PDE

3. 稳定性 (stability)描述差分解在计算过程中的发展 To indicate the development of the error of FDE误差对后续计算的形象问题(影响小时或者有界)It reflects the influence of error of the following computation

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稳定:计算过程重误差逐渐消失或者有界Stable ,the error disappear graduately or keep limited

稳定性分析方法Methods for analysing stability

直观法(或称离散摄动法):观察计算引入的误差的发展过程 In discrete perturbation (direct) method, to investigation the development procedure of computational error

Page 17: 计 算 流 体 力 学

矩阵法( Matrix method ) 较严格的方法,考虑了边界条件的影响

Strict method, the BC influence is considered 解得到最完整的稳定性估计 Can gain the

most integrating (completed) estimation of stabling

用很多矩阵代数知识,使用困难 Refer to a lot knowledge about maxtix analysis

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Von Nenmann 方法 Von Nenmann method(Fourrie series)

优点:最常用,方便,可靠 Advantage: most common,convenience,reliable

缺点:只能用在常数系数的线性初值问题Disadvatage:Only can be used for linear initial value equation with constant coefficient

变系数非线性及各种不同边界条件问题中的应用受限Limited usage for non-linear BC problem with different coefficient

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线性化:局部线性化方程后可以使用Linearized: usable for linearized equation

在网格点式边界点上可以用它得到有用信息To get useful message at grids and BC它不仅提供误差影响的发展信息,而且还展现差分格式对解相位变化的作用It provides the message development of the errorVon Neumann 方法揭示了误差发展的内部机理Von Neumann method discovered the mechanism of the numerical error development

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d.Hirt 方法( 1968)Hirt method (1968) 改型:将差分方程各项用 Taylor级数展开 Reformed type Eq: Reform the FDE using Taylor series expansion 分析改型方程的稳定性 To analyse the stability of the reformed Eq 优点:简单,对简单问题可以得到与其他方法相同结果Advantage: simple, can gain the same results as other methods for a simple eq

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缺点: 不如矩阵方法和傅里叶方法严谨和完整Disadvantage: not so strict as Matix method and Fourrie series方法的某些假定的定义不清楚 Meaning of some assumer is not clear对复杂问题的实用性尚待研究The applicability for complex question is still to be investigated.四. Lax 定理 Lax Therem

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1-2 流体力学基本方程的解The solution of the Basic Equation of Fluid

Dynamics

Euler 方程组的解Euler Eqs solution

1. 定常不可压流 Euler 方程Euler Eqs solution for steady incompressible flow无粘、定常Inviscous, steady flow

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•2 维 Euler 方程2D Euler Eqs•拟线性方程组Quasilinear•特征根Character root

•既不是双曲型,也不是椭圆型Neither hyperbolic , nor elliptic

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•类型不确定Type of the equation is uncertain•不能按某确定的方法给出适定性条件Could not determine the fit condition using specified method在无旋流中,可以引入势函数 ФIn irrotational flow, the potential function can be introduced

Where the denotes total pressure0p

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这时的方程为 Laplace 方程,为椭圆型The equation becomes a Laplace Eqs, it is elliptic给定边界条件即可求出 Ф, 微分后可得到速度分量The solution can be gained when the BC is specified, and the components of the velocity can be calculated.

定常不可压 Euler 方程只有在无旋条件下才有解Therefore , the solution of Euler Eqs exist only in irrotional flow.

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由连续方程和无旋条件Here with the continuity equation and irrotional flow , the equation for :

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•用流函数表示有旋流动方程The equation for rotational flow using stream function

双曲型方程 Cauchy 边界问题有解Hyperbolic Eqs with the Cauchy boundary value problem is solvable.双曲型方程 Dirichlet 边界问题无解Hyperbolic Eqs with the Dirichlet boundary value problem is unsolvable.

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2. 非定常不可压 Euler 方程Euler equation for unsteady incompressible flow

•三个自变量 t 、 x 、 yThree variables are t,x,y

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•特征方程Eigenvalue

速度矢量 特征值矢量Velocityvector Eigenvalue

类型不确定(不可压非定常流 Euler 方程) ,但下列情况有解:The type of the equation is uncertain and unsolvable, but in following cases

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无旋情况存在速度势 Ф ,则有解If is irrotational flow , there exist the velocity potential

function and the equation is solvable.

其解代表有重力作用下的 U 形管中流体的振动问题

The solution deputy is the vibrancy of the flow in a U-shape tube in the gravity field.

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非定常有旋流动(引入流函数)Unsteady rotational flow(introduce the stream function)

流函数方程(椭圆型elliptic type ) Stream function equation

涡量方程(混合型 hybrid type ) Vortex equation

初边值混合问题有解Initial and boundary value problems are solvable两方程有解Two equations are solvable

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3. 定常可压流 Euler 方程Euler equation for steady compressible flow•多了变量 ρAdditional variable is ρ

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•能量方程The energy equation

为当地音速 a is the speed of sound

•特征值Eigenvalue

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超音速: 当 M>1 时( supersonic )全部特征值为实数Supersonic : when M>1 , all eigenvalue are real number方程是双曲型方程组 equations are hyperbolic 初值问题有解 the solution exist for initial problem亚音速: M<1 时Subsonic when M<1 为虚数 imaginary number

为实数 real number

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不能确定类型 the type is uncertain不能给出适当的定解条件 the solution boundary is not possible需要补充说明流线垂直方向上的熵分布The complement of the entropy distribution is needed

跨声速: 只要正确处理求解域边界上属于超音区边界和亚音区边界的边界条件Transonic : The correct BC in each region for sub 、 supersonic flow无旋流动有解(无激波或弱激波)It is solvable for irrotional flow

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4. 非定常可压缩流的 Euler 方程组Euler equation for unsteady compressible flow

•特征根全部是实数,方程组为双曲型Eigenvalues are all the real number , the equation is hyperbolic•初边界混合问题有解The solution exist for mixed BC problem

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•超音速问题:指定上游边界条件 For supersonic problem: to specify upstream BC.•亚音速问题:指定边界上的 Dirichlel 条件 . (Neumamn)For subsonic problem : to specify the Dirichlel BC.•跨音速时:先分出亚音速、超音速,分别给出 cauchy 和 Neumamn 条件For transonic : specify the cauchy and Neumamn BC for sub and super sonic respectively•非定常 Euler 方程是无粘流的理想方程,可以用来求解亚、跨、超音速流The unsteady Euler Eq. is a full equation for inviscous flow, and can be used for solving the sub tran and supersonic flow.•一般采用时间推进方法:Time match method is generally used

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二、 Navier——Stokes 方程1 、定常不可压 N-S 方程(二维) Steady incompressible flow N-S equations

•无需能量方程 the energy equation is unnecessary

Page 39: 计 算 流 体 力 学

•流线数解(涡—流量数法)The stream function equation

•椭圆型方程The stream function equation is elliptical•边值问题可解(有解)Boundary value crotale is solvable•当 γ下降 , Re 上升( Re=400 )时变为无粘流,求解困难。When γ↓ ,Re↑ , the flow becomes inviscous and to solve is becomes difficulty

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2.非定常 NS 方程组Unsteady NS equations

•压力一定后可以求出速度场,但连续方程不能修正压力项After specify the pressure, the velocity field can be gained , but the continuously equation can not be used to get pressure corretion

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•解决方法:将 NS 方程变为涡量方程Solving method : to translate the NS equation into vortex equation

•涡流函数方程Vortex –stream function equation•高 Re 数时,它退化为时间的双曲方程,初值问题可解。At the high Re number ,it degenerates to a hyperbola form in corresponding to time ,which is solvable for a initial value problem.

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•对三维问题,需求解原参数的非定常不可压 NS 方程以解决满足连续方程的问题For 3D problem, to solve the original parameter NS equation is needed.

•Chorin (1968) 和 Amsdon , Harhov ( 1969 )提出求解原函数 NS 方程。Chorin , Amsdon and Harhov developed the method to-solve the original NS equation.把动量方程分裂为两个方程:First, the moment equation is separated into two finlte reference equation

a) ( 求 V)

b) (求出 P )

Page 43: 计 算 流 体 力 学

c )

d )

求解采用迭代方法步骤The procedure for solving the equation with iterative method 用 a )式求 ,代表 中间量, 初值Using a) to get ,it denotes middle variable , denotes the initial value

用 d )式求与 对应的 中间量Using a) to get corresponding to the 用 b )式求 代表( n+1 )步的 值,检查 是否满足连续方程Using b) to get ,which denotes the at time step n+1, validate if satisfythe continuity Eqs

= 0 ?

VV

)1(p)1(p

1nV

1nV V

1nV V

1nV

Page 44: 计 算 流 体 力 学

如果不满足,将 带入 c )求 再代入 b )求 ,直到 =0 ( <ε )If not satisfy the continuity Eqs, get using c), after that using b) to get again, till =0.

流程图如下:

1nV

)2(p 1nV

)2(p 1nV

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Page 46: 计 算 流 体 力 学

3. 定常可压 N-S 方程组N-S Eqs for steady compressible flow

对于可压流 ρ≠const ,应增加一个能量方程For compressible flow, ρ≠const, the energy Eq. is necessary.

Page 47: 计 算 流 体 力 学

此方程不可用于求解低速气流These equations can not use for low speed flow

对高速气流 Re 很大时,粘性项可忽略,退化为 Euler方程For high speed flow Reynolds number becomes large , the viscous term in equations can be neglect it degenerate to Euler equation.

适应于高亚音速流动(层流问题),方程式椭圆型方程It is suitable for high speed subsonic flow, and is elliptic

对于高亚音速湍流问题,粘性系数 μ 应当包括分子粘性与涡粘性两部,因此应当用 (有效粘性系数)。For turbulent higher speed subsonic flow, both the molecular viscous and vertex viscous should be consider . There fore μ should be ( effect viscosity ) .

超音速流情况下,方程退化为前面的 Euler 方程For supersonic flow ,the equations all degenerates to Euler equation.

eff

eff

Page 48: 计 算 流 体 力 学

4 . 非定常可压流的 N-S 方程组N-S equations of unsteady compressible flow

在低速气流中此方程是对时间是抛物型方程,对空间是椭圆型 ( 时间固定 )Low speed flow, these equations are parabolic for time ,and elliptic for space.

Page 49: 计 算 流 体 力 学

在高速时,对于时间是双曲型方程At high speed ,it is Hyperbolic with respect to time.

已知初边值条件下,方程组是适定的The equations are solved when initial conditions are known.

可以用来求解亚、跨、超声速层流问题和湍流问题It can be used to solve subsonic , transonic and supersonic flow.

是求解流场的最完整形式的 N-S 方程It is also the fullest form of the N-S Equations.

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1.3 差分格式的构造 To construct the finite difference schemes 多种方法: There are many method to construct a finite difference scheme

一、系数待定法 The Method with coefficient to be determined

利用 Taylor级数展开可以构造不同阶的差分格式 To construct a finite difference scheme using Taylor series.

向前差分格式:将 、 在 j点展开 (forward finite difference scheme) To expand 、 at point j

1ju 2ju

1ju 2ju

Page 51: 计 算 流 体 力 学

由 (1)+(2), 得:( ) ( ) ( ) ( )

1 2

2

( ) 3

b +a ( 2 ) ( ) ( 2 )

4( ) ( )

2!

8( ) ( ) ...]

3!

n n n nj j j x j

nxx j

nxxx j

u u a b u u b a x

b au x

b au x

忽略 项 、 、 可以构成 2阶精度差分格式 .3)( x 1ju 2juju

Page 52: 计 算 流 体 力 学

令 的系数为 0 ,且 系数为 1

由此构成二阶精度差分近似:

2)( x )( x

( ) ( ) ( )2 1( ) ( ) 24 3

( ) ( / )2

n n nj j jn n

x j j

u u uu u x O x

x

( )

Page 53: 计 算 流 体 力 学

同样的,用 可以构成三阶向前差分

用 可以构成二阶向后差分

用 可以构成三阶中心差分

用 可以构成二阶向后差分

二、多项式方法 对 Laplace 方程可以是三个网格点(如图)

3ju 2ju ju

1ju 2juju

1ju 2juju 3ju

1ju ju 1ju

0xx yyT T

Page 54: 计 算 流 体 力 学

代表 y 不变的情况下对 x 的二阶导数。可令:

其中 a, b, c 是待定系数

取( i-1 , j ) ,( i , j),(i+1, j)三点,假定:

xxT

2T a bx cx

xT b 2xxT c

1, 0i jx

Page 55: 计 算 流 体 力 学

,

21,

21,

( )

( )

i j

i j

i j

T a

T a b x c x

T a b x c x

两式相加即得:

!此差分格式近似具有 阶精度(二阶),同样用此方法可以构造其他高阶格式。

1, , 1,

2

22

2( )i j i j i jT T T

cx

2( )x

网格间距相等则

Page 56: 计 算 流 体 力 学

三、积分方法

2

2

T Ta

t x

2

2

u ua

t x

对时间导数应用一阶差分:

则对 和 x 分别积分形式的方程可写为:

0 0( , ) ( , )t

u t t x u t xu

t

2

0 02

( , / 2) ( , / 2)u t x x u t x xu

x x x

0t

例如一维热传导方程或波动方程:

0 0

0 0

/ 2

0 0 1/ 2 i-1/2/ 2[ ( , ) ( , )] [( ) ( ]

x x t t

x i xx x tu t t x u t x dx a u u dt

Page 57: 计 算 流 体 力 学

应用积分中值定理,得:Using the centre valume law

tuuauux n

ix

n

ix

ni

ni

])()[()( )1(

2

1)1(

2

1)()1(

其中, 代表 i点在 之后的值,即Where denotes the value of at the time

代表 i点在 t 时间的值,即 denotes the value of at the time

代表 i 和 i+1之中点的导数 denotes theat the center between point i and i+1

代表 i-1 和 i之中点的导数 denotes the at the center between point i-1 and i

)1( niu t ),( 00 xttu

)1( niu

iu tt 0

)(niu ),( 0xtu

iu)(n

iu0t

)1(

2

1)(

n

ixu

)1(

2

1)(

n

ixu xu

)1(

2

1)(

n

ixu

xu

)1(

2

1)(

n

ixu xu

Page 58: 计 算 流 体 力 学

利用一阶差分格式得Using first order finite difference scheme

代入( 1-3-5 )得Substitute into ( 1-3-5 )

其上标 n+1 代表 时刻, n 代表 时刻The subscript (n+1) denotes the time , n denotes the time t

i-1 、 i 、 i+1 代表 X轴方向相邻的三点i-1 、 i 、 i+1 denote the three neighbor points on x axis

)1()1(100

)1(

2

1 )2

,()(

ni

ni

n

ix uux

txtt

x

uux

)1(1

)1(00

)1(

2

1 )2

,()(

ni

ni

n

ix uux

txtt

x

uux

]2[)(

)1(1

)1()1(12

)()1(

n

ini

ni

ni

ni uuu

x

a

t

uu

tt 0 0ttt 0

Page 59: 计 算 流 体 力 学

四、有限体积方法 (finite volume method)

方程推导来自微元体,求解时再回到微元体。将描述某一个区域的方程离散到有限个微元体积内,使每个有限体积内流动满足运动方程(守恒律)The deriver of the equations is base on finite volume ,and will back to the similar concept, to discrete the space into the finite volumes ,and discrete the equation to the finite volume.

例如无源热传导问题(当 k=const 时)For a non-source heat conduct problem

将求解域划分成若干体积(如图) To discrete the flow field into serial small volume

0 yyxx TT 0 T

Page 60: 计 算 流 体 力 学

形状相同的微小体积(如图),内网格点取在有限体积的中心 For the similar volume ,the node is located on the center

边界点则取在有限体积的边界上 Boundary located on the boundary of finite volume

将方程 应用于有限体积 A 上,则其表面的净热流量为 0.Using the equation onto a finite volume ,then the heat flux on surface is zero

应用傅里叶热传导公式: According to the fourier law for heat transfer

对于 k ~ k(T)情况,热传导方程为 For the case of variable k, the transfer equation become

T2T2

Tkq

0)( Tkq

Page 61: 计 算 流 体 力 学

对于二维问题,面积可写成,For 2D problem ,the surface integration can be written as

E :

W:

S:

N:

iydsn E )()( iydsn w )(-)(

yx

Tk

y

Tky

x

Tk

jiEE

,2

1)(0)()(

yx

Tk

y

Tky

x

Tk

jiww

,2

1)(0)()()(

xy

Tkx

y

Tk

x

Tk

jiWS

2

1,

)()(0)(

xy

Tkx

y

Tk

x

Tk

jiNN

2

1,

)()(0)(

对其在有限体积上积分,并应用高斯定理得 Apply the gauss integration law on the finite volume

sv

dsnTkdvTk 0)()(

jxdsn s )(-)( jxdsn N )()(

Page 62: 计 算 流 体 力 学

故有( k 与 T 无关时) Therefore (k=const)

表示为中心差分格式,并整理得: can be express using center finite difference scheme and then it becomes

0)()()()(2

1,

2

1,,

2

1,

2

1 xTkxTkyTkyTk

jiy

jiy

jiJIX

yx TT ,yx TT ,

0,1,,1,,,1,,1

y

TTxk

y

TTxk

x

TTyk

x

TTyk jijijijijijijiji

Page 63: 计 算 流 体 力 学

1, , 1, , 1 , , 1

2 2

2 20

( ) ( )i j i j i j i j i j i jT T T T T T

x y

有限体积方法与 Taylor级数法的差别:有限体积方法构造成差分格式总是满足离散化的散度定理的,因此总是守恒的

The difference between the finite volume and Taylor series expansion

is that finite difference scheme construct using finite volume method

always satisfies the Divergence Low this it is constructional scheme.