全等性質作圖進階整合版

交大網路專班李政憲

97.04.26.

　　　 1.作一直線 L，並在 L上作 　，使得

　　　 2.分別以 E、 F為圓心， 　和　 長為半徑，　　　　　　　　　 在 L的同側畫兩弧，設兩弧相交於 D點

　　　 3.連接　 與 　，則△ DEF即為所求。

作法：

SSS 作圖整合版1. 2.

3.

AB

EF BC

AC

EF

DE DF

　　　 1.作∠ E= B∠

　　　 2.在∠ E的一邊上取一點 D，使

　　　 3.在∠ E的另一邊上取一點 F，使

　　　 4.連接　 ，則△ DEF即為所求。

作法：

SAS 作圖整合版1.

4.

2.

3.

ED BA

EF BC

DF

作法： 1.作∠ A=∠1　　　 2. 在∠ A的一邊上取一點 C，使　　　 3.以 C點為圓心， a 為半徑畫弧，　　　　則弧和∠ A的另一邊，得到兩個交點 B和 D點。　　　 4.連接　 ，得△ ADC ；連結　　，得另外一個△ ABC 。

作法：

SSA 作圖整合版1.

4.

2.

3.

AC b

CD CB

SSA 性質說明• ∵　　　　，• ∴△CDB 為等腰△ ∠CBD=∠CDB• 又∠ CDA+∠CDB=180O，• ∴∠CDA+∠CBD=180O

• 即在△ ADC 與△ ABC 中，• ∠CDA 與∠ CBD 會互補。

CD CB

a

b

1

A

C

D B

　　　 1.做一直線 L，在 L上取一點 B　　　 2.過 B點做直線 M⊥L　　　 3. 在 M上做　　　 4.以 A為圓心， a 為半徑畫弧交 L於 C點　　　 5.連接　，則△ ABC 即為所求

已知：兩線段長 a 、 b ，且 a ＞ b 。求作：以 a 為斜邊， b 為一股的直角三角形。作法：

RHS 作圖整合版

AB b

AC

RHS 全等性質說明• 已知：在△ ABC 和△ DEF 中，　　，　　，∠ B=∠E=90O，• 求作：利用已知的 SSS 條件，求證△ ABC 　△ DEF• 說明：根據商高定理可得知• 　　　所以• 　　　同理• 　　　因為　　　，• 　　　所以• 　　　又因為　、　都是正數，• 　　　所以• 　　　因此△ ABC 和△ DEF 的三邊對應相等，• 　　　再根據 SSS 全等性質，我們可得△ ABC 　△ DEF

AC DF

AB

BC EF

2 2 2AB BC AC

2 2 2AB AC BC

2 2 2DE DF EF

2 2AC DF

2 2BC EF

2 2AB DE

DE

AB DE

A

BC

D

EF

　　　 1.作一直線 L，並在 L上作 　，使得

　　　 2.分別以 E、 F為頂點， 　為一邊，　　　　　　　　　　　　　　在 L的同側各畫出∠ E=∠B，∠ F=∠C

　　　 3.∠E和∠ F的另一邊會相交於 D點，　　　　　　　　　　　　　所畫出的△ DEF 即為所求。

作法：

ASA 作圖整合版1. 2.

3.

EF EF BC

EF

　　　 1.作∠ 3＝ 180° －∠ 1－∠ 2　　　 2. 作 　＝ a

　　　 3.以 　為一邊向上作∠ BAP ＝∠ 2，∠ ABQ ＝∠ 3　　　 4. 設 　、　 相交於 C點，則△ ABC 即為所求

已知：∠ 1、∠ 2 及∠ 1的對邊長 a 。求作：滿足條件的三角形。作法：

AAS 作圖整合版1.

4.

2.

3.

AB

AB

PA QB

AAS 全等性質說明• 已知：△ ABC 、△ DEF ，且∠ A=∠D，∠ B=∠E，• 求作：利用已知的 ASA 全等性質說明△ ABC △DEF• 說明：根據三角形的三內角和為 180O，得知• 　　　∠ A+∠B+∠C=180O，• 　　　所以∠ C=180O-∠A-∠B• 　　　同理∠ F=180O-∠D-∠E• 　　　又∠ A=∠D，∠ B=∠E，• 　　　所以△ ABC 、△ DEF 滿足：• 　　　∠ B=∠E，　　　　，∠ C=∠F• 　　　根據 ASA 全等性質得知△ ABC 　△ DEF

BC EF

BC EF

A

B C

Ａ ＡＳ

D

E F

Ａ ＡＳ

全等作圖進階應用• 例１：如圖，以 a 為底邊， b 為兩腰，作一等腰三角形。

a

b

全等作圖進階應用• 例１：如圖，以 a 為底邊， b 為兩腰，作一等腰三角形。• 《解》 1.做一直線 L ，在 L 上做 　　 2. 分別以 A 、 B 為圓心， b 為半徑畫弧，設兩弧交於 C

點　　　　 3. 連接　　　　，則△ ABC 即為所求。

AB a

AC BC 、

a

b A B

C

全等作圖進階應用• 例２：甲、乙、丙、丁四位同學分別想依下列的條件，作出一個與△

ABC 全等的三角形，如右圖所示。已知四人所用的條件如下：

　 甲：　　　公分，　　　公分，∠ B =30O

　 乙：　　　公分，　　　公分，∠ B =30O

　 丙：　　　公分，　　　公分，　　　公分

　 丁：　　　公分，　　　公分，∠ A =90O

　 若發現其中一人作出的三角形沒有與右圖的全等，則此人是誰？• 　 (A) 甲　 (B) 乙　 (C) 丙　 (D) 丁

《解》 (A)

3AB

3AB

3AB

3AB

1AC

1AC

2BC

2BC

2BC 30O 60O

3 公分

2 公分

1 公分

A

B C

ＳＳＳ ＳＡＳ ＡＳＡ ＡＡＳ ＲＨＳＳＳＳ ＳＡＳ ＡＳＡ ＡＡＳ ＲＨＳ

1

全等作圖進階應用• 例３：利用尺規作圖作頂角等於∠ 1，兩腰長為 a

　　　　（如右圖）的等腰三角形，則須運用下列　　　　 哪一個方法方可完成作圖？• 　　　 (A)SSS 作圖　 (B)SAS 作圖　 (C)ASA 作圖　 (D)AAS 作圖• 《解》

a

1

全等作圖進階應用• 例３：利用尺規作圖作頂角等於∠ 1，兩腰長為 a

　　　　（如右圖）的等腰三角形，則須運用下列　　　　 哪一個方法方可完成作圖？• 　　　 (A)SSS 作圖　 (B)SAS 作圖　 (C)ASA 作圖　 (D)AAS 作圖• 《解》

a

a a

全等作圖進階應用• 例４：△ ABC 與△ PQR 中，已知　　 ，∠ C=∠R，試依序回答

下列　　　　 問題：　　　　 (1) 再加上＿＿＿＿＿＿條件，則依據 ASA 全等性質，可得　　　　　 △ ABC 　△ PQR 。　　　　 (2) 再加上＿＿＿＿＿＿條件，則依據 SAS 全等性質，可得　　　　　 △ ABC 　△ PQR 。　　　　 (3) 再加上　　 、∠ C=90o條件，則依據＿＿＿＿＿＿全

等　　　　　 性質，可得△ ABC 　△ PQR 。

BC QR

AB PQ

全等作圖進階應用• 例４：△ ABC 與△ PQR 中，已知　　 ，∠ C=∠R，試依序回答

下列　　　　 問題：　　　　 (1) 再加上＿＿＿＿＿＿條件，則依據 ASA 全等性質，可得　　　　　 △ ABC 　△ PQR 。　　　　 (2) 再加上＿＿＿＿＿＿條件，則依據 SAS 全等性質，可得　　　　　 △ ABC 　△ PQR 。　　　　 (3) 再加上　　 、∠ C=90o條件，則依據＿＿＿＿＿＿全

等　　　　　 性質，可得△ ABC 　△ PQR 。

BC QR

AB PQ

∠B= Q∠

AC PR

ＲＨＳ

A

B C

P

Q R

全等作圖進階應用• 例５：如圖，已知兩線段 a 和 b ，請作出以 a 、 b 為夾邊， 60o為

夾角的　　　　 三角形。

a

b60O

全等作圖進階應用• 例５：如圖，已知兩線段 a 和 b ，請作出以 a 、 b 為夾邊， 60o為

夾角的　　　　 三角形。

a

b

• 例５：如圖，已知兩線段 a 和 b ，請作出以 a 、 b 為夾邊， 60o為夾角的

　　　　 三角形。• 《解》 1.作　　　。 　　 2. 分別以 B 、 C 為圓心，　 b 　 長為半徑畫弧相交於 A

點。　　　　 3. 連接　　。　　　　 4. 以 B 為圓心，　 a 　長為半徑畫弧交　　於 D 點。　　　　 5. 連接　　，則 △ DBC 即為所求。

全等作圖進階應用

BC b

AB

a

b B C

ADC

AB

D

• 例５：如圖，已知兩線段 a 和 b ，請作出以 a 、 b 為夾邊， 60o為夾角的

　　　　 三角形。• 《解》 1.作　　　。 　　 2. 分別以 B 、 C 為圓心，　 b 　 長為半徑畫弧相交於 A

點。　　　　 3. 連接　　。　　　　 4. 以 B 為圓心，　 a 　長為半徑畫弧交　　於 D 點。　　　　 5. 連接　　，則 △ DBC 即為所求。

全等作圖進階應用

BC b

AB

a

b B C

ADC

AB

D