ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ

Годунов С.К.

12 октября 2011 года

Для того, чтобы надежно определялось решение системы Ax f

линейных уравнений с квадратной N N матрицей Aнужно, чтобы число 1|| || || || ( ) 1A A A было не очень большим.

( ) A число обусловленности A

Справедливо неравенство2 ( ) || ||

| ( ) ( ) ||| || || ||1 ( )|| ||

AA A

AAA

Число обусловленности ( )A возмущенной матрицы A

близко к ( )A если|| ||

( ) 1|| ||

AA

Решая систему Ax f с хорошо обусловленной матрицей A

можно не опасаться ошибок округления из-за которых вместо , A fбудет использованы возмущенные , A f с малыми ,

2

В основу вычислительной линейной алгебры естественно положить

Постулат:Только такие числовые функции ( )f A от N N матрицы Aможно вычислять, для которых справедливо неравенство

|| ( ) ( ) || || ||f A f A

в котором (|| ||, ( ))A f A - известная функция

При этом условии, зная || ||A и точность || ||можно дать гарантированную оценку точности для вычисленной ( )f A

Пример вычислимой функции - ( )A

число обусловленности матрицы A2 ( ) || ||

| ( ) ( ) | || |||| || || ||1 ( )|| ||

AA A

AAA

где 4 ( ) || ||A A если1

|| || ( ) || ||2

A A

( )A

Хорошо известны алгоритмы решения системы линейных уравнений, привыполнении которых одновременно с решением вычисляется ( )A

3

Решение систем линейных уравнений

289 2044 336 128 80 32 16

1152 30 1312 512 288 128 32

-29

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

-1980 756 384 1008 224 48

512 128 640 1 640

1

1

1

1

1

1

1

512 128

1

0 0 0 0

0

053 2136 -604 -384 -856 800 108

-287 4 1712 -128

0 0 0 0 0

A

1968 -30 2032

-2176 -185 -1463 -512 -439 -1152 -187

Решение систем линейных уравнений с матрицей (1 )A I C

1

1

1

1

1

1

1

xA A f

0.05 0.1

1( ) ?A

x

0.997070312500000 1.001052856445313 1.004882812500000 0.999641142785549 0.996093750000000 1.001953125000000 0.999984741210938

0.000000000000000 0.969726562500000 1.750000000000000 1.004194498062134 0.250000000000000 1.500000000000000 0.997070312500000

MA

TL

AB

SC

ILA

B

0.9990234 1.0000153 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000

1.2500000 1.0019531 1. 0000000 1.0000002 0.7500000 1.2500000 1.0000000

x

1 16( ) 1.2 10A

1 14( ) 3 10A 1 16( ) 1.1 10A

xРешения получены с

помощью коммерческогоMATLAB и свободнораспростроняемого

SCILAB (НГУ, ИМ СО РАН)

Изложение понятия о решении системы уравненийОбычно начинается с введения определителя

Ax fdet A

Реальное вычисление определителя приводит к серьёзным проблемам:

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 101 10

1

1 101

A

ПРИМЕР:

1det 1 10N NA

25

24

det , 0, 25

det , 10

1 1.2

, 5

10

0 2

2A A N

A A N

6

25 222.6 18 010 При

7

В теории дифференциальных уравнений (также механике, физике) широко используется критерий устойчивости решения ( ) 0x t

2510 2 2 10 1

1 cos sin , 18 25 25 8 4

0jj j

i

( ) 0x t (0)x Re ( ) 0j A Чтобы для всех надо, чтобы

Не устойчиво

Пример исследования устойчивости

задано

, 0

(0)

dxAx t

dtx

При 1 2 25 1 0 устойчиво

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 101 10

1

1 101

A

С необычайной чувствительностью определителя к возмущениям (например, кпогрешностям округлений) связана чувствительность и собственных значений

( ); det( ) 0j jA A I

t

|| ( ) ||x t

|| (0) ||x

|| (0) ||M x

|| ( ) || || (0) ||

t

Lx t e xM

M - оценка амплитудыL - характерное время (декремент затухания)

Типичное поведение затухающих решений

задано

, 0

(0)

dxAx t

dtx

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 101 10

1

1 101

A

22|| ( ) || || (0) ||, 10 , 1L

t

M Mx Lx t e

При в оценке решения

Можно ли это считать устойчивостью?

( )x t222.6 10

Если 0Re j A

A – NxN матрица

то

1

2

NttA A

e N e

И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов, 1958 г.

8

Теорема Островского (о непрерывной зависимости )

Если все элементы матрицы и матрицыподчинены неравенствам

то для каждого найдется

такое что

В нашем случае

Пример теореме Островского не противоречит.

( )j A

kla 0A Bklb

| | 10, | | 1,kl kla b

0( )j A 0( )j A B 2

20 0| ( ) ( ) | 20( 1)

10N

j jN

A B A N

225

026

| ( ) ( 1) | 20 6258

2186j A B

Формальная непрерывность имеет место.

9

251

4

Определение -спектра

( )A

( )A

принадлежит -спектру, если

1 1|| ( ) ||

|| ||I A

A

Спектральный портрет матрицы A

2 25

3 10 3 3 3

2 15 3 3

0 15 3

3 10

2 2

0 0 0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

5

3

A

510 10

0 0

0 0 0

0 0

3 3 15 5 2 1

4 2 10 2 8 3

0.1 1 3 20

3 4 0

3 2 0

15 10 0.1

0

0 0 0

H

2 25

3 10 3 3 3

2 15 3 3

0 15 3

3 10

2 2

0 0 0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

5

3

A

11

Спектральные портреты симплектических матриц

Рассмотрим симплектическую матрицу вида:

2 2

0

C S I PQ C S I

S C I

Матрицы С, S, P имеют следующую структуру:

2 0 0 02

20 0 02

20 0 02

20 0 0 2

C

2 0 0 02

20 0 02

20 0 02

20 0 0 2

S

1 0 0

2 0 0

0 0 3

0 0 4

t

t

tP

t

12

Изучим поведение спектральных портретовпри изменении параметра t

Спектральные портреты симплектических матриц

13

289 2044 336 128 80 32 16

1152 30 1312 512 288 128 32

-29 -1980 756 384 1008 224 48

512 128 640 0 640 512 128

1053 2136 -604 -384 -856 800 108

-287 4 1712 -128 1968 -30 2032

-2176 -187 -1465 -512 -441 -1152 -189

C

Еще один поучительный пример(к вопросу о расчёте собственных значений матриц)

14

ЭкспериментЭксперимент:: Собственные числа матрицы С найденные с использованием пакетов MATLAB, MAPLE, SCILAB и библиотеки IMSL (стандартная двойная точность)

15

• В действительности

= ; =

1 2028 256 128 64 32 16 1

-2 1024 512 256 128 32 1

4 512 1024 256 64 1 1

512 512 128 1

-4 1024

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

156 1 1

2 2048 1 1

-1 1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

R L

Точные значения:

ВСЕ предыдущие примеры были вычислены с машинным представлением чисел с точностью . Если использовать машинное представление с точностью ,

то вычисленные будут отличаться от точных не более чем на

1C L RL

1 2 3 4

5 6 7

0, 1, 1, 2,

2, 4, 4,

1610

1610 | | 7.5 16

j

ε-спектр покрывает круг

2210

310

При вычислениях с точностью , пакетом MAPLE были получены следующие собственные значения.

2210

1

2

3

4

5

6

7

( ) 4.01

( ) 3.98

( ) 1.97

( ) 2.01

( ) 1.02

( ) 0.18

( ) 0.98

C

C

C

C

C

C

C

1

2

3

4

5

6

7

( ) 4.01

( ) 1.99

( ) 1.02

( ) 0.02

( ) 0.97

( ) 2.01

( ) 3.99

T

T

T

T

T

T

T

C

C

C

C

C

C

C

Резюме проведенного обсужденияРезюме проведенного обсуждения

Стоит ли заниматься расчетом ( )j A ???

Нет гарантии, что их можно вычислить с приемлемой точностью.(речь идет о несимметричных матрицах )TA A

ВОПРОС: Зачем в приложениях интересуются ( )j A ???

ОТВЕТ: Часто требуется убедится, что или, что на прямой нет

| ( ) | 1j A a it ( )j A

Предлагается решать более общий вопрос:

i

Re( ) const

Есть ли на той или иной кривой

( )j A

?

Если кривая не проходит черезто всюду на этой кривой

1|| ( ) ||A I

1 2| |·|| ( ) ||d A I

Для гладкой кривой конечной длины при этом

( )j A

18

Удобно критерий отсутствия на кривой формулировать как( )j A

|| ( ) ||H A 2

1 1|| ||( ) ( ) | |·( ) ( )T TA

H A H A d I A I Al

Для кривых конечной длины предполагается, что

l|| ||·l L A

Важное неравенство

1max || ( ) ||m A I

2 2|| || || || 4 || || || ||2

LH m H H L H

|| ( ) ||H A Критерий дихотомии спектра кривой

A

Дихотомия спектраДихотомия спектра

19

a

lg

* 1 11[( ) ] [( ) ]

2H dt a i t I A a i t I A

Спектральные зоны Re ,jj ja a – полосысодержащие точки спектра ( )j A

Одномерныйспектральный портрет

20

2 || || || ||A aI H - числовая функция от матрицы A aI

критерий дихотомии спектра прямой A a it

Одномерный радиальныйспектральный портрет

критерий дихотомии спектра окружностьюA r H

21

1 12*

0

1

2

i ie eH d I A I A

r r

lg H

Алгоритм анализа радиальной дихотомии спектра 0 0 0(0)1 2

10n A A X I X I H I

r

1,2,...,n N

1 112 1

1 11 2 1

10

0

n

n

n nn n

n nn n

X K AX Lr

X K X L

находим n nK L из систем:

после чего вычисляем

1

1 11 1 2 2n n

n n n nn nX X K X X L

1 1T T

n n n n n n nH K H K L H L

Если1 1

2 2

0

0 0 0

N N T

N N

I R B I RA U U

I C I

, ,T

j jUU I B r C r

то

1 12*

0

12

20

1

2

1

2n

i in

n

in

rn

e eH d I A I A H

r r

eX d I A

r

22

Если1 1

2 2

0

0 0 0

N N T

N N

I R B I RA U U

I C I

, ,T

j jUU I B r C r

то

1 12*

0

12

20

1

2

1

2n

i in

n

in

rn

e eH d I A I A H

r r

eX d I A

r

23

H - критерий дихотомии спектра A окружностью r

Дискретное уравнение Ляпунова(обобщение):

2, ,

T T Tr r r r

T Tr r r r r r

H A HA I I

A A H H

Оценки:

R H21

1

k

k kC r HH

21 11

k

kk

HB

r H

1) исследование «устойчивости» решений дифференциальных уравнений dxAx

dt

Вопрос: для всех ли решений справедливо утверждение2 2 21 2|| ( ) || ( ) ( ) . . . ( ) 0N

t

x t x t x t x t

Критерий устойчивости:

?Универсальная оценка ( )A

|| ||

( )|| ( ) || ( ) || (0) ||t A

Ax t A e x

( ) 2 || || || ||A A H

Н -- матрица Ляпунова – решенияматричного уравнения

* 0HA A H I

Исследование устойчивости (по Ляпунову)

24

Дихотомия спектра A прямой a it имеет место, если существует

матрица Грина G x dG xA aI G x x a I

dx

0G x при x

11lim

2

Ri x

RR

G x e d i a I A

Дихотомия прямой Re a

25

Дихотомия спектра A прямой a it имеет место, если существует

матрица Грина G x dG xA aI G x x a I

dx

0G x при x

11lim

2

Ri x

RR

G x e d i a I A

Критерий дихотомии

1 1* *1

2H dxG x G x dt it a I A it a I A

2 A aI H

1 1* *1

2H dxG x G x dt it a I A it a I A

Эта матрица удовлетворяет матричным уравнениям

2 ( )( )T T THA A H aI P P I P I P

2,

, T T

A A

H H H H

Для убывающих при решений векторного уравнения t ( ) ( )

dyA aI

tfy t

d

t -a-T

f M

a - t-T-f M

e , t ay( t )

e , t a-

Справедливы оценки

( ) ( )max minM || P || h / h

(-) (-)- max minM || I - P || h / h

2 2( ) (-)max maxT h T h

0 0

T T

( ) ( )

T TPx Px

P HPx P HPxh sup h inf

P Px P Px

26

Сходится ли итерационный процесс

к решению системы

( ) ( 1) ( 1)

( ) 1

n n n

n

x x Ax f

x A f x

?

Критерий сходимости:

Ax f

2( ) (0) 1

|| || || || || || 1|| ||

n

nx x x x HH

Н -- матрица решения дискретного матричного уравнения Ляпунова

*H A HA I

27

В основу вычислительной линейной алгебры естественно положить

Постулат:

Только такие числовые функции ( )f A от N N матрицы Aможно вычислять, для которых справедливо неравенство

|| ( ) ( ) || || ||f A f A

в котором (|| ||, ( ))A f A - известная функция

При этом условии, зная || ||A и точность || ||можно дать гарантированную оценку точности для вычисленной ( )f A

Критерий дихотомии удовлетворяет этому постулату( )H A

28

Одномерный радиальныйспектральный портрет

1 12*

0

1

2

i ie eH d I A I A

r r

lg H

Мы показали как рассчитать и следовательно какнарисовать этот спектральный портрет

H

Портреты дихотомии прямымирассчитываются аналогично

Re a

* 1 11[( ) ] [( ) ]

2H dt a i t I A a i t I A

2 || || || ||A aI H

APPLICATION OF NEW MATHEMATICAL TOOL “ONE-DIMENTIONAL SPECTRAL

PORTRAITS OF MATRIX”TO THE PROBLEM OF AEROELASTICITY

VIBRATION

• Godunov S.K Novosibirsk• Kurzin V.B. Novosibirsk• Bunkov V.G. Jukovskii• Sadkane M. Brest (France)

Из доклада, прочитанного на конференции по аэроупругости (Москва, октябрь 2006)

30

The simple flatter modelThe simple flatter model

• Without the aerodynamic

effect:

• Modeling of aerodynamic effects

(v is the flow velocity)

2

20

d xGx

dt

37.7

169

899

1792

O

G

O

dxGy

dtdy

xdt

2v vdx

Dx G F ydtdy

xdt

2

3 2 32

3

3

10 0,197 10 0 0

10,12 10 0 0,419 10 0,171 100.73 10

10 0,176 10 0 0

10 0,154 10 0 0

F D

2v v,

0

D G Fx xdA A

y ydt I

31

, aa a

kk HA aI

32

2

0T T T

T

HA A H I I

A A H H

33

The same exampleThe same example 2v v

0

D G Fx x xdA

y y ydt I

VV

34

Упорядоченная последовательность букв

Рассмотрим 6 букв алфавита: а б и п р т

Рассмотрим большую (периодическую) последовательность букв:

…ритатипбратарбатпиратритатипбратарбат…

В этой последовательности: за буквой а следует 1 раз за период буква р и 4 раза буква т, за буквой б 1 раз следует буква а и 1 раз буква р…

1 40 0 0 0 5 51 10 0 0 02 2

1 1 10 0 0 3 3 31 10 0 0 02 2

1 1 1 0 0 02 4 42 1 1 10 05 5 5 5

а б и п р т

а

б

и

п

р

т

0 0 0 0 1 4

1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 1 1

0 1 1 0 0 0

2 1 1 0 0 0

2 0 1 1 1 0

а б и п р т

а

б

и

п

р

т

Таблица вероятностей следования букв

Этой последовательности соответствует матрица:

1 40 0 0 0 5 51 10 0 0 02 2

1 1 10 0 0 3 3 31 10 0 0 02 2

1 1 1 0 0 02 4 42 1 1 10 05 5 5 5

а б и п р т

а

б

и

п

р

т

Можно рассмотреть 32 буквы алфавита и любые длинные тексты, написанные с их помощью. Например, произведения разных писателей. Каждому произведению

аналогичным способом сопоставляется 32х32 матрица.

Можно ли идентифицировать писателя по спектральному портрету такой матрицы?

Упорядоченная последовательность букв

Характерные двумерные спектральные портреты писателей

Характерные двумерные спектральные портреты писателей

Граница хаусдорфова множества

38

Л. Толстой А. Чехов

Литература

Спасибо за внимание !