Вейвлеты и банки фильтров

ВейвлетыВейвлетыи банки фильтрови банки фильтров

Занятие Занятие 44

ПланПлан

Вейвлеты и их связь с банками фильтровВейвлеты и их связь с банками фильтров– Дискретное вейвлет-преобразованиеДискретное вейвлет-преобразование– Квадратурные зеркальные фильтрыКвадратурные зеркальные фильтры– Пирамидальное представление данныхПирамидальное представление данных– Банки фильтров: Банки фильтров: DFT, MDCTDFT, MDCT

Применения банков фильтровПрименения банков фильтров– АудиоэффектыАудиоэффекты– ШумоподавлениеШумоподавление– Компрессия звука и изображенийКомпрессия звука и изображений

Преобразование Хаара Преобразование Хаара

Простейший случай вейвлет-Простейший случай вейвлет-преобразованияпреобразованияДан входной сигнал Дан входной сигнал x[n].x[n].

Образуем от него последовательности полусумм и Образуем от него последовательности полусумм и полуразностей:полуразностей:

Легко видеть, что сигнал Легко видеть, что сигнал x[n] x[n] можно восстановить:можно восстановить:

Такое кодирование избыточно: из одной Такое кодирование избыточно: из одной последовательности получаем две.последовательности получаем две.

2

]1[][][*1

nxnxnx

2

]1[][][*2

nxnxnx

][][][ *2

*1 nxnxnx

Преобразование Хаара Преобразование Хаара

Устранение избыточностиУстранение избыточностиПроредим полученные последовательности в 2 Проредим полученные последовательности в 2

разараза::

Легко видеть, что справедлив алгоритм Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:восстановления:

]2[][ *11 nxnx ]2[][ *

22 nxnx

2,1,0

,2][

iнечетноеn

четноеnn

xny i

i (интерполяция нулями)

]1[][][ 11**1 nynynx ]1[][][ 22

**2 nynynx (фильтрация)

][][][ **2

**1 nxnxnx (суммирование)

Дискретное вейвлет-Дискретное вейвлет-преобразование преобразование

Обобщение преобразования ХаараОбобщение преобразования Хаара

Свойство точного восстановления (Свойство точного восстановления (PR):PR):

Количество информации не изменяется.Количество информации не изменяется.

Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное восстановление.точное восстановление.

H2

H1

↓2

↓2Коэффициенты

↑2

↑2

G2

G1

+x[n] x’[n]

Декомпозиция Реконструкция

][][ nxnx


ПрореживаниеПрореживание

ИнтерполяцияИнтерполяция

↑2

↓2


Квадратурные зеркальные фильтры (Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)QMF)

частотныехарактеристики

импульсныехарактеристики


QMF: QMF: базис Хаарабазис Хаара

Плохое частотное разделение, но хорошая

временная (пространственная)

локализация


Условия точного восстановления:Условия точного восстановления:– Рассмотрим случайРассмотрим случай

hh11[m] – [m] – симметричный, четной длинысимметричный, четной длины

– В этом случаеВ этом случае требуется, чтобы требуется, чтобы Построение Построение PR-PR-вейвлетоввейвлетов::

– Нужна хорошая пространственная локализация Нужна хорошая пространственная локализация – берем стандартные вейвлеты (например, – берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты Добеши).вейвлеты Добеши).

– Нужна хорошая частотная локализация – Нужна хорошая частотная локализация – свойству свойству PR PR удовлетворить трудно. Поэтому удовлетворить трудно. Поэтому строим строим QMF QMF со свойством «почти со свойством «почти PRPR».».

нечетноеmmh

четноеmmhmh

],[

],[][

1

12

],[][ 11 mhmg ],[][ 22 mhmg

2][][2

2

2

1 HH


Построение «почти Построение «почти PRPR»»--фильтров большого фильтров большого размера с хорошим частотным разделениемразмера с хорошим частотным разделением::1.1. Строим симметричный НЧ-фильтр Строим симметричный НЧ-фильтр hh11[m] [m] методом методом

оконного взвешивания.оконного взвешивания.

2.2. Нормируем его коэффициенты:Нормируем его коэффициенты:

3.3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр Строим дополняющий его ВЧ-фильтр hh22[m]:[m]:

4.4. Проверяем величину искажений по суммарной Проверяем величину искажений по суммарной частотной характеристикечастотной характеристике и пробуем изменить и пробуем изменить частоту среза НЧ-фильтра для уменьшения частоту среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.искажений.

2][1 m

mh

нечетноеmmh

четноеmmhmh

],[

],[][

1

12

Пирамидальное Пирамидальное представление представление

Продолжаем вейвлет-разложение для НЧ-Продолжаем вейвлет-разложение для НЧ-коэффициентовкоэффициентов

H2

H1

↓2

↓2 Коэффициенты

x[n]

H2

H1

↓2

↓2

Двумерное вейвлет-преобразование

на каждом шаге получаем4 набора коэффициентов:

НЧ («основные»)и ВЧ («детализирующие»)

Частотный диапазон

делится на октавы

Определение вейвлета Определение вейвлета

Дискретный вейвлетДискретный вейвлет1.1. Последовательность чиселПоследовательность чисел

2.2. Ортогональна своим сдвигам на четное число Ортогональна своим сдвигам на четное число точек:точек:

3.3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр), Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр), ортогональная вейвлету:ортогональная вейвлету:

Непрерывный вейвлетНепрерывный вейвлет1.1. Функция Функция

2.2. Равенство нулю интегралаРавенство нулю интеграла

ba

ttba )(,

0)(

dtt

][2 mh

0,,0]2[][ 22

kZkkmhmhm

0][][ 21

m

mhmh

Непрерывный вейвлет-Непрерывный вейвлет-анализ анализ

Скалярные произведения исследуемой Скалярные произведения исследуемой функции функции f(t) f(t) с непрерывными вейвлетами с непрерывными вейвлетами ψψa,ba,b(t)(t)

0)(),(

dtba

ttfbaWf

Банки фильтров Банки фильтров

Банки фильтров – преобразования, Банки фильтров – преобразования, разбивающие сигнал на несколько разбивающие сигнал на несколько частотных полос.частотных полос.– С точным восстановлением?С точным восстановлением?– С увеличением количества информации?С увеличением количества информации?– С перекрытием между временными окнами?С перекрытием между временными окнами?

ПримерПример:: дискретные вейвлеты дискретные вейвлеты Еще примерЕще пример:: кратковременное кратковременное

преобразование Фурьепреобразование Фурье (STFT – Short Time (STFT – Short Time Fourier Transform)Fourier Transform)

Банки фильтров Банки фильтров

Как банки фильтров разбивают частотно-Как банки фильтров разбивают частотно-временную плоскость?временную плоскость?

f

tОконное ДПФ

f

tВейвлеты

Банки фильтров: Банки фильтров: STFTSTFT

Без окон, без перекрытияБез окон, без перекрытия– Плохое разделение по частотамПлохое разделение по частотам– Временной алиасингВременной алиасинг– Нет избыточностиНет избыточности

С окнами, с перекрытиемС окнами, с перекрытием– Хорошее разделение по частотамХорошее разделение по частотам– Нет временного алиасинга (при двукратном Нет временного алиасинга (при двукратном

применении окон)применении окон)– ИзбыточностьИзбыточность

Банки фильтров: Банки фильтров: MDCTMDCT

Хорошее разделение по частотамХорошее разделение по частотам С перекрытием и уничтожением С перекрытием и уничтожением

временного алиасингавременного алиасинга Без избыточности!Без избыточности!

Каждое окно длины Каждое окно длины 2N 2N захватывает захватывает NN новых новых отсчетов и выдает отсчетов и выдает N N коэффициентовкоэффициентов

Требование к окнам:Требование к окнам:

Подходящие окна – Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)Kaiser-Bessel derived (KBD)

constNnwnw 22 ][][

Банки фильтров:Банки фильтров:достоинства и достоинства и недостаткинедостатки STFTSTFT

DWTDWT

+Очень быстрая реализация для большого числа полос.

–Слишком различающееся число осцилляцийбазисных функций, эффект Гиббса.

+Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

–Малое число частотных полос.Плохое частотное разделение между полосами.

Вейвлеты и банки фильтров

Documents