تالس و تشابه
DESCRIPTION
عنوان کلی. سرآغاز. تالس و تشابه. فصل سوم. 1. نسبت و تناسب. تعریف. تناسب. نسبت: حاصل تقسیم دو مقدار بر یک دیگر را نسبت می گویند. b ≠ 0. تناسب: اگر چند نسبت با یکدیگر برابر باشند تشکیل یک تناسب می د ه ند. 2. خواص تناسب. ویژگیها. تناسب. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
تالس و تشابه
فصل سوم
عنوان کلیسرآغاز
1
نسبت و تناسب
حاص�ل تقس�یم دو مق�دار ب�ر ی�ک نس�بت: گویند.دیگر را نسبت می
d
c
b
a
نس�بت ب�ا یک�دیگر چن�د اگ�ر تناس�ب: ند.هبرابر باشند تشکیل یک تناسب می د
b ≠ 0
تعریفتناسب
2
خواص تناسب
در ه�ر تناس�ب حاص�ل ض�رب دو جمل�ه ( 1ر اس�ت ب�ا حاص�ل ض�رب دو ب�می�انی برا
جمله کناری. a,d = کناری یا طرفین b,c =میانی یا وسطین
در تناس�ب می ت�وان ج�ای دو جمل�ه ی ( 2 میانی را عوض کرد.
ویژگیهاتناسب
3
ب در ضرب طرفین تناس
bd
ضرب طرفین تناسب درc
b
در تناس���ب می ت���وان ( 3ج�ای دو جمل�ه کن�اری را
عوض کرد.
در تناس�ب می ت�وان ( 4کس����رها را معک����وس
.کرددر تناسب می توان ( 5
ترکیب در صورت نمود.
ضرب طرفین تناسب درa
d
را اضافه کنید1به طرفین تناسب
ویژگیهاتناسب
4
ضرب طرفین تناسب درac
bd
در تناسب می توان ترکیب در مخرج کرد( 6
در هر تناسب می توان تفضیل در صورت کرد.( 7
معکوس کردن1(ترکیب در صورت2(دوباره معکوس کردن3(
- را اضافه کنید1به طرفین تناسب
ویژگیهاتناسب
5
در هر تناسب می توان تفضیل در مخرج کرد.( 8
، ه�ر نس�بت براب�ر اس�ت تناس�ب ه�ردر( 9 مجم�وع ب�ه ص�ورتها مجم�وع نس�بت ب�ا
.مخرجها.
معکوس کردن1(تفضیل در صورت2(دوباره معکوس کردن3(
ویژگیهاتناسب
6
:قضیه تالس* اگ�ر خطی دو ض�لع از مثل�ثی را قط�ع کن�د
ب�ه ط�وری ک�ه ب�ا ض�لع س�وم م�وازی باش�د نس�بت پ�اره خ�ط ه�ایی ک�ه روی ی�ک ض�لع ایج�اد ک�رده اس�ت ب�ا نس�بت پ�اره خ�ط ه�ای
ایج�اد ش�ده روی ض�لع دیگ�ر براب�ر اس�ت. از قضیه2 و 1نتیجه
:عکس قضیه تالس *اگ���ر در ی���ک مثلث خطی دوض���لع آن را
قط�ع کن�د ب�ه ط�وری ک�ه نس�بت پ�اره خ�ط ه�ای ایج�اد ش�ده روی ی�ک ض�لع ب�ا نس�بت پ�اره خ�ط ه�ای ایج�اد ش�ده روی ض�لع دیگ�ر
آن خ��ط ب��ا ض��لع ،تناس��ب داش��ته باش��دسوم موازی است.
قضایاتالس
7
قض��یه ی ت��الس در خط��وط م��وازی و ک��ه چن��د خ�ط ییپ��اره خ�ط ه��ام��ورب: م�ورب در اث�ر برخ�ورد ب�ا دوخ�ط م�وازی
پدید می آورند، نظیر به نظیر متناسبند. :در ه9ر ذوزنق9ه ه9ر خطی ک9ه از مح9ل قض�یه
تالقی قطره9ا ب9ه م9وازات قاع9ده ه9ا رس9م ش9ود در محل تالقی خود با قطر ها نصف می شود.
قض���یه ت���الس در خط���وط م���وازی وپ�اره خ�ط ه�ایی ک�ه چن�د خ�ط هم�رس:
هم�رس در اث�ر برخ�ورد ب�ا دو خ�ط مت�وازی پدید می آورند نظیر به نظیر متناسبند.
قضایاتالس
8
متوازی در ه�ر ص�فحه خ�ط ه�ای ن�اعکس قض�یه ی ف�وق: ک�ه دو� خ�ط مت�وازی� ر�ا قط�ع کن�ن�د و ب�ر آن �ه�ا پ�ا�ره
همرسن�د.،�ه�ای �متناظ�ر متنا�سب �پدید آ�ور�ندخ�ط�
ض�لع رو ب�ه رو را ب�ه ،نیم س�از ی�ک زاوی�ه مثلثقض�یه: د�و پ�اره� خ�ط� ت�قس�یم� �می ک�ن�د ک�ه� ط�ول �های�ش�ان �ب�ا
ط�ول �های دو �ضلع �مجا�ور م�تناسب ا�ست.
نقط�ه ،در ه�ر ذوزنق�ه وس�ط ه�ای دو قاع�دهقض�یه: ،تالقی دو ق�ط�ر و نقط�ه تالقی امت�د�اد ه�ای س�اق ه�ا
. همخطند
بری9ک استقامتند(=راس9تا هس9تند هم= خطن9د )هم
قضایاتالس
9
قضیه:•خطی ک�ه م�وازی دو قاع�ده ذوزنق�ه رس�م می ش�ود
ه�ا را� در� چه�ار نقط�ه ه�ا و� قطرب�ه ط�و�ری �ک�ه �س�ا�ق ب�ه �س�ه ق�طع�ه �تق�س�یم �می� ش�ود ، کن�د�ق�ط�عمت�م�ایز
ک�ه �هم�و�اره �د�و ق�طع�ه �ای ک�ه مح�دود� بین د�و س�اق و �دو ق�طر است� ب�ا �هم برابر�ند.
قضیه تالس در فضا:• در اث�ر برخ�ورد ازیم�وص�فحه ک�ه چن�د ییه�اخطپاره
پدی�د می آو�رن�د، نظ�یر� ب�ه ن�ظ�یر م�ورب �ب�ا �دوخ�ط � متناسبند.
قضایاتالس
10
دو خ�ط AM' واق�ع ب�ر میان�ه M از نقط�ه ی ABCدر مثلث مس�ئله: را در BC �رس�م� م�ی ک�نیم� ت�ا ض�لع �AC و �ABب�ه �م�وا�ز�ات اض�الع�
' �است. MB' = MC' قطع� کند ث�ابت ک�نید� C' و Bنق�اط
را اختی�ار B و A دو نقط�ه متم�ایز xOy از زاوی�ه Oxب�ر ض�لع مس�ئله: ک�رد�ه� و ا�ز این نق�اط د�و �خ�ط مت�واز�ی رس�م می ک�ن�یم ت�ا �ض�لع
Oy ر�ا ب�ه ت�رتیب� در� نق�ا�ط C� و D قط�ع� کن�د و� از �نقط�ه D خطی� . قط�ع کندE �را در نقطه Ox رس�م م�ی ک�نیم تا� �ضلع �BCم�وازی
اس�ت.OE و OA می�انگین هندس�ی OB ث�ابت کنی�د:
واق�ع ب�ر ض�لع F از نقط�ه ABCدر مثلث مس�ئله: BC خطی م�وازی میان�ه AM رس�م می ک�نیم ت�ا
ی�ا امت�داد آن ه�ا را ب�ه ت�رتیب در AC و ABاض�الع D و E :قطع کند. ثابت کنید
چند مثالقضیه تالس
11
را Oz و Oy و Oxس�ه نیم خ�ط هم�رس مس�ئله: • Ox �واق�ع ب�ر B و �Aدر� نظ�ر گ�رفت�ه و از� دو �نقط�ه
را در� نق�اط Oyد�و �خ�ط �م�وازی� رس�م� م�ی� ک�نی�م ت�ا A و 'B قط���ع� کن���د از� �نق���اط �'A و 'B د�و خ���ط� '
" و� A را� نق�اط Ozک�ن�یم �ت�ا م�وا�زی� د�یگ�ر رس�م میB� :قطع ک�ند، ث�ابت کنید �"AA" II BB”
M نق�اط متم�ایز ABCDدر چه�ار ض�لعی مس�ئله: • BCو AB را ب�ه ت�رتیب ب�ر ض�لع ه�ای� Q و P و Nو و NP II BDچن�ان اختی�ار می ک�نی�م ک�ه AD �و CDو�
PQ II MN II AC :نشان دهید MQ II BD
چند مثالقضیه تالس
12
خطی م�وازی دو قاع�ده ذوزنق�ه رس�م مس�ئله: • را� در چه�ار ن�قط�ه و �قطره�ا کن�ی�د ک�ه� س�ا�ق ه�ا
قط�ع� کن�د� �و س�ه� پ�ار�ه خ�طی� ک�ه� ب�ه �وس�ی�له دو ب�ر� آن �پدی�د� م�ی آی�د �متس�اوی �و دو� ق�ط�ر،س�ا�قد.باش
س��ه خ��ط هم��رس در ی��ک ص��فحه مس��ئله: • واق��ع ب��ر Pمفروض��ند از نقط��ه ی مف��روض
هم�رس ص�فحه� خطی رس�م ک�نی�د ک�ه خ�ط ه�ای � AB = BC قط��ع کن��د� و C و B �و Aرا� در نق��اط
باشد.13
چند مثالقضیه تالس
با توجه به شکل، ثابت کنید: مسئله: •
و قض�یه: • درونی نیمس�ازهای مثلث، ه�ر در ب�ه �آن زاوی�ه و ب�رو�نی ی�ک �زاوی�ه �ض�لع� روب�رو� امت�د�اد آن ض�لع را در� دو نقط�ه قط�ع می�کن�د ب�ه ط�و�ری ک�ه ن�س�بت� فا�ص�له ه�ای ه�ر ی�ک ا�ز این د�و نق�ط�ه �ت�ا دو رأس دیگ�ر �مثل�ث ب�ا هم برابرند.
zyx
111
nm
xz
y??, y
z
x
zراهنمایی:
چند مثالقضیه تالس
143 پلی کپی فصل21راهنمایی: رجوع کنید به سؤال
تشابهدوشرط اساسی تشابه در شکل •
ها: تساوی همه زوایای متناظر-1- تناسب همگی اضالع متناظر2یادآوری:•
درب�رخی ش�کل ه�ا مانن�د مثلث ب�ا بدس�ت آوردن بخش�ی از ش�رایط ف�وق، تش�ابه ب�ر
این مطلب آن اس�ت . دلی�ل گ�رددق�رار می ب��ا در نظ��ر داش��تن ،ک��ه س��ایر ش��رایط
مس�ئله ف�وق خ�ود ب�ه خ�ود ایج�اد گش�ته اند.
مفهومتشابه
14
حالت های تشابه در مثلثاگ��ر دو زاوی��ه از مثل��ثی ب��ا دو - تس��اوی دو زاوی��ه: 1•
زاو�ی��ه ا�ز مث�لث �دی�گ��ر ب��ا ه�م برا�ب��ر ب�اش��ند آن دو مثلث متشابهند.
اگ�ر دو - تناس�ب دو ض�لع و براب�ری زاوی�ه بین آنه�ا:2•ض�لع� از م�ثل�ثی ب�ا دو ض�لع �از م�ثلث دی�گ�ر نظ�یر ب�ه نظ�یر مت�ناس��ب ب�اش��ند� هم� �چ��نین� ز�اوی��ه ی� ب�ین آن ه��ا از �دو مثل�ث ب���ا یک���دی�گر ب�را�ب���ر باش���ن�د آن �گ���اه دو �مثلث
متشابهند.اگ�ر س�ه ض�لع از مثل�ثی ب�ا س�ه - تناس�ب س�ه ض�لع:3•
ض�لع� از �مثل�ث� د�ی�گ�ر �ب�ه ط�ور� متن�اظر�، م�تناس�ب� باش�ند آن دو �مثلث متشاب�هند.
حاص�ل ه�ر ی�ک از نس�بت ه�ای اض�الع در تعری9ف: نس�بت تش�ابه: • اس�ت ک�ه ب�ه آ�ن Kدو� مثل�ث متش�ابه� براب�ر ب�ا م�ق�دار� ث�ابت�ی م�انن�د
گو�یند�.مق�دار ن�سبت تشابه� می
مثلثتشابه
15
در ه�ر مثلث ق�ائم الزاوی�ه ارتف�اع قض�یه: •وارد ب��ر وت��ر، آن مثلث را ب��ه س��ه مثلث
متشابه تقسیم می کند. :در دو مثلث متش�ابه نس�بت ارتف�اع قض�یه
های �متنا�ظر برا�بر است ب�ا نس�بت �تشاب�ه. :در دو مثلث متش��ابه نس��بت میان��ه قض��یه
های متناظر برابر است با نسبت تشابه. :در دو مثلث متش�ابه نس�بت نیم س�از قض�یه
ه�ای م�تناظر �برابر اس�ت با� نس�بت ت�شابه.چه نتیجه ای از سه قضیه باال میگیرید؟•
اجزای مثلثتشابه
16
محیط و مساحت در مثلث های متشابهدر دو مثلث متش�ابه نس�بت محی�ط قض�یه: •
های� دو� مثلث برابر است� با �نسب�ت تشابه.در دو مثلث متش����ابه نس����بت قض����یه: •
م�س�احت ه�ای دو مثل�ث بر�اب�ر� اس�ت ب�ا ت�وان دوم نسبت تشابه.
(: در دو )ت��رکیب دو قض��یه ف��وققض��یه: •مثلث متش��ابه نس��بت مس��احت ه��ای دو مثلث� برا�ب��ر �اس��ت� ب��ا ت��وان د�وم نس��ب�ت
محیط های آنها.
محیط و تشابهمساحت
17