第一章 质点运动学第一章 质点运动学

§1-1 参考系和坐标系 质点§1-1 参考系和坐标系 质点§1-2 位置矢量 位移 §1-2 位置矢量 位移 §1-3 速度 加速度§1-3 速度 加速度

§1-4 运动迭加原理 抛体运动§1-4 运动迭加原理 抛体运动

§1-5 圆周运动 §1-5 圆周运动

§1-1 参考系和坐标系 质点§1-1 参考系和坐标系 质点

1. 质点1. 质点物体：具有大小、形状、质量和内部结构的物 质形态。 一般情况下，物体各部分的运动不相同，在运动的过程中大小、形状可能改变，这使得运动问题变得复杂。 某些情况下，物体的大小、形状不起作用，或者起次要作用而可以忽略其影响——简化为质点模型。

质点：具有一定质量没有大小或形状的理想物体。

可以作为质点处理的物体的条件：大小和形状对运动没有影响或影响可以忽略。研究地球公转

3

8

104.6

105.1

E

ES

RR

1104.2 4

地球上各点的公转速度相差很小，忽略地球自身尺寸的影响，作为质点处理。

质 点

研究地球自转Rv

地球上各点的速度相差很大，因此，地球自身的大小和形状不能忽略，这时不能作质点处理。

质 点质 点

除车轮外，汽车各部分运动情况完全相同，车轮的运动是次要的，此时可把汽车作为质点处理。

研究汽车在平直道路上运动

涉及转动问题，汽车各部分运动情况不同，各个车轮受力差异很大，不能把汽车做质点处理。

研究汽车突然刹车“前倾”或转弯

质点是从实际中抽象出的理想模型，研究质点的运动是为了抓住事物的主要矛盾进行研究分析。

2. 参考系和坐标系2. 参考系和坐标系 静止是相对的，运动是绝对的，地心学说被日心说取代，让人们明白，判断物体运动与否，首先要选择统一的物体作参考。即使是太阳，在银河系中其它恒星系统观察，仍然运动着的。

参考系和坐标系参考系和坐标系

银河系 指南针

参考系：描述物体运动时，被选作参考的物体，称为参考系。 要定量描述物体的位置与运动情况，就要运用数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。 常用的坐标系有直角坐标系 (x,y,z) ，极坐标系 (,) ，球坐标系 (R,, ) ，柱坐标系 (R, ,z ) 。

xy

z

o

z

R 参考方向

z

o

R

xy

参考系和坐标系参考系和坐标系

3. 空间和时间3. 空间和时间 空间反映了物质的广延性，与物体的体积和位置的变化联系在一起。

时间反映物理事件的顺序性和持续性，与物理事件的变化发展过程联系在一起。各个时代有代表性的时空观：

墨子：空间是一切不同位置的概括和抽象；时间是一切不同时刻的概括和抽象。

空间和时间空间和时间

墨 子

莱布尼兹：空间和时间是物质上下左右的排列形式和先后久暂的持续形式，没有具体的物质和物质的运动就没有时空间和时间，强调时间空间的客观性而忽略与运动的联系。

牛顿：空间和时间是不依赖于物质的独立的客观存在，强调与运动的联系忽略客观性。

莱布尼兹

牛 顿

爱因斯坦：相对论时空观，时间与空间客观存在，与运动密不可分。

目前的时空观范围：宇宙的尺度 1026m(20亿光年 )到微观粒子尺度 10-15m ，从宇宙的年龄 1018s

(20亿年，宇宙年龄 )到微观粒子的最短寿命 10-24s 。

物理理论指出 ,空间和时间都有下限：分别为普朗克长度 10-35m 和普朗克时间 10-43s 。

空间和时间空间和时间

爱因斯坦

i

k

j

在坐标系中，用来确定质点所在位置的矢量，叫做位置矢量，简称位矢。位置矢量是从坐标原点指向质点所在位置的有向线段。

r222 zyxr r

kjirzyx

P(x,y,z)

rx /cos ry /cos rz /cos

1coscoscos 222

§1-2 位置矢量 位移 §1-2 位置矢量 位移 1. 位矢1. 位矢

2. 运动方程2. 运动方程 在一定的坐标系中，质点的位置随时间按一定规律变化，位置用坐标表示为时间的函数，叫做运动方程。

)(txx )(tyy )(tzz 例如：

vtxx 02

00 21attvxx

0),,( zyxf

将运动方程中的时间消去，得到质点运动的轨迹方程。一般情况轨迹方程是空间曲线。

0),,( zyxf

o

x

y

z

P(x,y,z)

ik

j

运动方程运动方程

3. 位移3. 位移

)(Br

BΔS A

)(Ar

o

x

y

z

r

Δ位移反映质点位置变化的物理量，从初始位置指向末位置的有向线段。

AB

r

Δ

路程是质点经过实际路径的长度。路程是标量。

注意区分 、r

Δ r rΔ

o

Ar

Br

r

ΔAB rr

位移位移

1. 速度1. 速度速度 是描述质点位置随时间变化的快慢和方向的物理量。平均速度

tΔ

Δ rv

平均速率t

vs

Δ

Δ

平均速度是矢量，其方向与位移的方向相同。平均速率是标量。平均速度的大小并不等于平均速率。例如质点沿闭合路径运动。

§1-3 速度 加速度§1-3 速度 加速度

瞬时速度

o

)(tr

P1

tttt

t Δ

Δ

0Δ

)()(lim

rrv

当 t0时， P2点向 P1点无限靠近。

P2

P2P2P2

P2P2

P2P2

)( tt r

)0( tr

)0( tr

P2

)( tt r

)0( tr

tdd r

tt ΔΔ

0Δlim r

速度速度

方向 : 当 时位移 的极限方向，该位置的切线方向，指向质点前进的一侧。

0t r

瞬时速度是矢量，直角坐标系中分量形式：

tx

vxdd

t

yvy

d

d

tz

vzdd

大小 :

v v 2 2 2z y xv v v

速度速度

4. 加速度4. 加速度加速度是描述质点速度的大小和方向随时间变化快慢的物理量。

x

y

z

P2

P1

o

)( ttr

)(tv

)( ttv

)(tr )(tv

)( ttv

v

)(tv

)( ttv

v

v

加速度加速度

x

y

z

P2

P1

o

)( ttr

)(tv

)( ttv

)(tr

注意区分 、vv

v

v

o

)(tv

)Δ( tt v

平均加速度tΔ

Δ va

平均加速度是矢量，方向与速度增量的方向相同。

加速度加速度

瞬时加速度 与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速速度是一个极限值t tΔ

Δ

0 Δlimv a

tddv

tv

a xx d

d

瞬时加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐标系中用分量表示 :

2

2

ddtr

2

2

ddtx

tv

a yy d

d

2

2

d

d

t

y

tv

a zz d

d2

2

ddtz

加速度加速度

222zyx aaaa

加速度的方向就是时间 t趋近于零时，速度增量的极限方向。加速度与速度的方向一般不同。

大小

加速度与速度的夹角为 0 或 180 ，质点做直线运动。

加速度与速度的夹角等于 90，质点做圆周运动。

av

v

a

v

a

加速度加速度

加速度与速度的夹角大于 90，速率减小。加速度与速度的夹角等于 90，速率不变。

v

g g

v

v

远日点 近日点

v

v

v

v

v v

v

g

g

g

gg

g g

g

加速度加速度

质点作曲线运动，判断下列说法的正误。

rr

r r

rs

r

s r

s质点的运动学方程为 x=6+3t-5t3(SI), 判断正误 :

质点作匀加速直线运动，加速度为正。

质点作匀加速直线运动，加速度为负。质点作变加速直线运动，加速度为正。质点作变加速直线运动，加速度为负。

思考题思考题思考题

例 1-1 已知质点作匀加速直线运动，加速度为 a ，求该质点的运动方程。解：已知速度或加速度求运动方程，采用积分法：

tddva tdd av

对于作直线运动的质点，采用标量形式

tav dd

tv

vtav

0dd

0

atvv 0

两端积分可得到速度

vtx

dd

atv 0

tatvxtx

xd)(d

0 00

2

00 21attvxx

)(20

2

0

2 xxavv

根据速度的定义式：

两端积分得到运动方程

消去时间，得到

1. 运动迭加原理1. 运动迭加原理 在直角坐标系中，作一般曲线运动的质点的 坐标 x 、 y 、 z 为时间 t函数：

这就是运动方程的分量形式，写成矢量形式为

),,( zyxrr )(tr

运动的叠加原理：一个运动可以看成几个各自独立进行的运动的叠加。

),(txx ),(tyy )(tzz

§1-4 运动迭加原理 抛体运动§1-4 运动迭加原理 抛体运动

以 xy 平面内圆周运动为例：

,sin tRx ,cos tRy 0z

在第一组方程中消去时间参数 t ，得到运动的轨迹方程

,222 Ryx 0z

运动迭加原理运动迭加原理

因此，一个复杂的运动可以分解为几个简单运动，满足运动的迭加原理。

这显然是 z=0 的平面内以原点为圆心、半径为 R 的圆。

)cos(sin jtitRr 和

两种形式的运动方程可分别写 出为：

2. 抛体运动2. 抛体运动 抛体运动： 从地面上某点向空中抛出的物体在空中所做的运动称抛体运动。 以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为 x轴，竖直方向为 y轴。设抛出时刻 t=0 的速率为v0 ，抛射角为 ，

,cos00 vv x sin00 vv y

而加速度恒定 ga j

g

故任意时刻的速度为：jiv

)sin()cos( 00 gtvv

则初速度分量分别为：

抛体运动抛体运动

O

y

x

0v

xv0

yv0

v

g

将上式积分，得到运动方程的矢量形式为

t

tgtvtv0 00 d)sin(d)cos( jir

ji

)21

sin()cos( 200 gttvtv

抛体运动抛体运动

消去此方程中的时间参数 t ，得到抛体运动的轨迹方程为

22

0

2

cos21

tgvgx

xy

此为一抛物线方程，故抛体运动也叫抛物线运动。

令 y = 0 ，得到抛物线与 x 轴的另一个交点坐标 H ，它就是射程：

gv

H2sin2

0

根据轨迹方程的极值条件，求得最大射高为：

gv

h2sin22

0

抛体运动抛体运动

O

y

x

0v

xv0

yv0

v

g

H

h

运动的分解可有多种形式。例如，抛体运动也可以分解为沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的叠加：

jjir 2

00 21

)sincos( gttvv

jv 2

0 21gtt

知，抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成。这种分析方法称为运动的分解。

ji

)21

sin()cos( 200 gttvtvr 由方程

抛体运动抛体运动

抛体运动抛体运动

O

y

x

t0v tg

r

这种分解方法可用 下图说明

1. 切向加速度和法向加速度1. 切向加速度和法向加速度 在一般圆周运动中，质点速度的大小和方向都在改变，即存在加速度。采用自然坐标系，可以更好地理解加速度的物理意义。

在运动轨道上任一点建立正交坐标系 , 其一根坐标轴沿轨道切线方向 ,正方向为运动的前进方向；一根沿轨道法线方向，正方向指向轨道内凹的一侧。 t

e

ne t

e

ne

切向单位矢量t

e 法向单位矢量

ne

1.1 自然坐标系

§1-5 圆周运动 §1-5 圆周运动

ttv ev

由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此，自然坐标系中可将速度表示为：

tve

tts e

dd

由加速度的定义有

tv

dda

ttv e

dd

tv t

dde

切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度

1.2 自然坐标系下的加速度

te

odds

ne

te

P

te

P

te

te

dd

ntee dd

n

t

tte

e

dd

dd

ne

nRv

e

切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度

以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义： 如图，质点在 dt 时间内经历弧长 ds ，对应于角位移 d ，切线的方向改变 d角度。作出 dt始末时刻的切向单位矢，由矢量三角形法则可求出极限情况下切向单位矢的增量为

te

d即 与 P 点的切向正交。因此

te

on

e

te

P

a

na

ta

于是前面的加速度表达式可写为：

a

ttv e

dd

nRv e2

tva

t dd

Rva

n

2

即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量：

at 称切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢；an 称法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的 快慢。

切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度

上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，但式中半径 R 要用曲率半径 代替。

at 等于 0, an等于 0, 质点做什么运动？at 等于 0, an 不等于 0 , 质点做什么运动？at 不等于 0, an等于 0 , 质点做什么运动？at 不等于 0, an 不等于 0 , 质点做什么运动？

例题 讨论下列情况时，质点各作什么运动：

切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度

n

ta

aa 1tan 的夹角给出为的方向由它与法线方向

a

ttv e

dd

nRv e2

由

22

ntaaa

222

dd

Rv

tv

a的大小为

2. 圆周运动的角量描述2. 圆周运动的角量描述

o x

y 前述用位矢、速度、加速度描写圆周运动的方法，称线量描述法；由于做圆周运动的质点与圆心的距离不变，因此可用一个角度来确定其位置，称为角量描述法。

A ： t

B ： t+t

设质点在 oxy 平面内绕 o 点、沿半径为 R的轨道作圆周运动，如图。以 ox轴为参考方向，则质点的角位置为

角位移为 规定反时针为正平均角速度为 t

圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述

角速度为tt

0

limtd

d

角加速度为2

2

dd

dd

tt

角 速 度 的 单位： 弧度 /秒 (rads-1) ；角加速度的单位： 弧度 / 平方秒 (rad s-2) 。

讨论： (1) 角加速度对运动的影响： 等于零，质点作匀速圆周运动； 不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。

圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述

)(2

2/

0

2

0

2

2

00

0

tt

t

(2) 质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、角位移与角加速度的关系式为

)(2

2/

020

2

200

0

xxavv

attvxx

atvv与匀变速直线运动的几个关系式

比较知：两者数学形式完全相同 , 说明用角量描述 , 可把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。

圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述

R

O x

3. 线量与角量之间的关系3. 线量与角量之间的关系 圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。

+

0

0+t+t

B

tA

图示 一质点作圆周运动：在 t 时间内，质点的角位移为，则 A 、 B 间的有向线段与弧将满足下面的关系

ABABtt 00

limlim

两边同除以 t ，得到速度与角速度之间的关系：Rv

线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系

线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系

将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度之间的关系：

Rat

将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：

Rv

an

2

2R

例 1 例2

思考题法向加速度也叫向心加速度。

例题 1 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。

解：地球自转周期 T=246060 s ，角速度大小为：

T 2

6060242

151027.7 s

如图，地面上纬度为的 P 点，在与赤道平行的平面内作圆周运动 ,

cosRr

线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系

R

赤道

r

p 其轨道的半径为

rv cosRcos1073.61027.7 65

)/(cos1065.4 2 sm

ran

2 cos2Rcos1073.6)1027.7( 625

P 点速度的大小为

P 点只有运动平面上的向心加速度，其大小为P 点速度的方向与过 P 点运动平面上半径为 R 的圆相切。

线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系

)/(cos1037.3 22 smP 点加速度的方向在运动平面上由 P指向地轴。

例如 :已知北京、上海和广州三地的纬度分别是北纬 3957 、 3112 和 2300 ，则三地的 v 和 an 分别为：

北京： ),/(356 smv )/(1058.2 22 sman

上海： ),/(398 smv )/(1089.2 22 sman

广州： ),/(428 smv )/(1010.3 22 sman

线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系

R

o

在 t 时刻，质点运动到位置 s 处。

ss

解：先作图如右， t = 0 时，质点位于 s = 0 的 p 点处。

n

τ

线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系

P

（ 1） t 时刻质点的总加速度的大小； （ 2） t 为何值时，总加速度的大小为 b

； （ 3）当总加速度大小为 b 时，质点沿圆周运行了多少圈。

例题 2 一质点沿半径为 R 的圆周按规律 运动， v0 、 b都是正的常量。求：

2/20 bttvs

n

τ

a

a

22nτ aaa

（ 2）令 a = b ，即

bR

bRbtva

220 )()( R

o

s

（ 1） t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小 :

t

v

d

d

R

v2

2

2

d

d

t

s b

Rbtv 2

0)(

R

bRbtv 220 )()(

n

τ

线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系

（ 3 ）当 a = b 时， t = v0/b ，由此可求得质点历经 的弧长为 /22

0 bttvs

它与圆周长之比即为圈数：

R

sn

2

R

o

s

bvt /0

bv /220

Rb

v

4

20

n

τ

线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系

得

1. 质点作匀变速圆周运动，则切向加速度的大小和方向都在变化法向加速度的大小和方向都在变化切向加速度的方向变化，大小不变切向加速度的方向不变，大小变化

质点作匀变速圆周运动，速度的大小方向都在变化；切向加速度和法向加速度的大小方向都在变化。

R

o

思考题思考题思考题

2.判断下列说法的正、误：a. 加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。b. 平均速率等于平均速度的大小。

d. 运动物体的速率不变时，速度可以变化。 例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方向改变。

c. 不论加速度如何，平均速率的表达式总可以写成2/)( 21 vvv , 其中 v1 是初速度， v2 是末速度。

tsv /依据 平均速率 t /rv

平均速度的大小

思考题思考题

思考题