1

第一章 流体力学基础——流体的性质及流体运动的描述方法

西安建筑科技大学

粉体工程研究所

2

1.1 流体力学概述

EXIT

• 流体的性质• 描述流体运动的方法• 流线与迹线• 系统与控制体• 雷诺输运定理

3

EXIT

•流体的性质

流体的基本物理性质

流体质点和流体微元的概念

流体的连续性——连续介质模型

流体的可压缩性与热膨胀性

流体的传递性质

流体的运动

4

EXIT

流体的基本物理性质

密度 某空间点附近单位体积内流体质量的平均值。

V

m

0VV Δ

Δlim

ΔΔ

比容

dV

dm

VΔ

mΔlim)z,y,ρ(x,

0VΔ

VρdVm

密度的倒数，即单位质量流体所占有的体积。

ρ

1

kg/m3

m3/kg

5

EXIT

流体的基本物理性质（多组分流体的浓度）

质量浓度 在单位体积中所含某组分 i 的质量，通常用 i 表示。

dV

dmzyx A

A VΔ

mΔlim),,,( A

0VΔ

摩尔浓度

dV

dm

VΔ

mΔlim)z,y,(x, BB

0VΔB

ρ

单位体积中所含某组分 i 的物质的量，用符号 ci 表示。

kg/m3

BA 混合流体密度

质量分数

B

BA

A ww ,

mol/m3 dV

dn

ΔV

Δn)(x,y,z,c

dV

dn

ΔV

Δn

AB

ΔVB

AA

ΔVA

0

0

lim

lim)z,y,(x,c

6

EXIT

流体质点和流体微元的概念

流体质点

流体微元

为了满足数学分析的需要，引入流体质点模型：(1) 流体质点无线尺度，无热运动，只在外力作用下作宏观平移运动 ;

(2) 将周围临界体积范围内的分子平均特性赋于质点。

为了描述流体微团的旋转和变形引入流体微元（流体质元、流体元）模型： (1) 流体微元为由大量流体质点构成的微小单元（ δx ， δy ， δz ） ;

(2) 由流体质点的相对运动形成流体微元的旋转和变形。

7

EXIT

流体的连续性——连续介质模型

连续介质模型 假设流体是由连续分布的流体质点组成的介质。

(1) 可用连续性函数 B (x, y, z, t) 描述流体质点物理量随空间分布和时间变化；

(2) 可利用物理学基本定律建立流体运动微分或积分方程，并用连续函数理论求解方程。

连续介质假设是对物质分子结构的宏观数学抽象。除了稀薄气体、激波外的绝大多数流动问题，均可用连续介质 假设作理论分析。

说明

8

EXIT

流体的可压缩性与热膨胀性

也可以用体积弹性模量来度量，简称为体积模量，用 E 表示。

在等温条件下，压强的变化引起流体体积和密度变化的性质。

在 SI 制中体积模量的单位是帕 (Pa)

水

9 22 10 /E N m

空气 5 51.4 10 /E N m 体积模量越大，说明流体越不容易被压缩。液体的可压缩性通常可以忽略。

通常用等温压缩系数来度量，用 T 表示。

流体的可压缩性

T T

1 ργ ( )

ρ P

dρ

dpρ

γ

1E

T

9

＝常数

EXIT

流体的可压缩性与热膨胀性

在等温条件下，压强的变化引起流体体积和密度变化的性质。

通常用热膨胀系数来度量，用 表示。

流体的可压缩性

在温度改变时，流体的体积或密度可以改变的性质。

流体的热膨胀性

1( )Pd

dT

可压缩流体与不可压缩流体

10

牛顿粘性定律

EXIT

流体的传递性质（动量、能量、质量）

动量传递——流体的粘性

流体粘性首先表现在相邻两层流体作相对运动时有内摩擦作用。流体内摩擦的概念最早由牛顿（ I.Newton,1687 ）在《自然哲学的数学原理》一书中提出。

“流体的两部分由于缺乏润滑而引起的阻力（若其他情况一样），同流体两部分彼此分开的速度成正比” ;

“不过，流体的阻力正比于速度，与其说是物理实际，不如说是数学假设”。

11

牛 顿 内 摩 擦 假 设 在 过 了 近 一 百 年 后 ， 由库仑（ C.A.Coulomb,1784 ）用实验得到证实。

库仑把一块薄圆板用细金属丝平吊在液体中，将圆板绕中心转过一角度后放开，靠金属丝的扭转作用，圆板开始往返摆动，由于液体的粘性作用，圆板摆动幅度逐渐衰减，直至静止。库仑分别测量了

三种圆板的衰减时间

普通板涂腊板细砂板

动量传递——流体的粘滞现象（粘性）

12

动量传递——流体的粘性

三种圆板的衰减时间均相等。库仑得出结论 :

衰减的原因，不是圆板与液体之间的相互摩擦 ，而是液体内部的摩擦 。

13

EXIT

动量传递——流体的粘性

牛顿粘性定律

Ay

uF

Δ

Δ

负号：若 0 yu /则 y=c平面下方流体施加给该面上方流体粘性力的方向与 x 轴的负方向相同。

— 流体的动力学粘性系数，简称粘度， Pas 。

dy

ud

yxu

yx

—流体的运动粘性系数， m2/s 。

v

14

EXIT

动量传递——流体的粘性

牛顿流体

非牛顿流体

遵循牛顿粘性定律的流体 。

所有气体和大多数低分子量的液体均属牛顿型流体。

某些高分子溶液、油漆、血液

理想流体 粘性系数等于零的流体。 当流体的粘性较小（如水、空气等），或各层流体运动的相对速度也不大时，所产生的粘性应力较之其他的作用力（如惯性力等）可忽略不计

粘性流体 实际流体

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能量传递——流体的导热现象（导热性）

傅立叶定律

流体的导热现象：当静止流体中的温度分布不均匀时，流体分子会从温度高的地方向温度低的地方迁移，同时流体的热能也伴随着分子热运动从高温区域向低温区域传递的现象。

dy

dtkq y

热流密度（单位时间单位面积上所传递的热量）， w/m2 。

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质量传递——流体的扩散现象

菲克定律

流体的扩散现象：当流体的密度分布不均匀时，流体的分子会从高密度处向低密度处迁移的现象。

自扩散 指在单组分流体中，因流体自身密度差所引起的扩散 ；

互扩散 多组分的混合流体中，因各组分各自的浓度差而在其他组分中所引起的扩散；

dy

dρDj y

流体沿 y 轴方向的质量扩散通量（单位时间通过单位面积 的 物 质 质 量 ） ， kg/(m2s)

17

三种传递现象的相似性

dy

dρDj y

du

dy

dy

dtkq y

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流体的状态参数与状态方程

一定质量流体容积、压强与绝对温度的状态方程： ( , )p f T V

理想气体： m

pV RT nRTM

单位质量单组分气体： p RT cRTM

A 、 B 两组分混合气体：

AA A

A

BB B

B

A B

p RT c RTM

p RT c RTM

p p p

高温压缩气体： 2

( )( )p V RTV

19

EXIT

流体的运动

流体分子微观运动 自身热运动流体团宏观运动 外力引起 统计平均值

流体团分子速度的统计平均值曲线

临界体积

u

u

u

20

•描述流体运动的方法

拉格朗日法 对象为流体质点，描述每个流体质点自始至终的运动过程，即流体质点的位置随时间的变化规律。研究质点的运动轨迹

用数学语言来描述流体的运动（方程，数学模型），把真实的物理问题转变为数学问题。

欧拉法 对象为空间点，描述空间每一点上的流体运动随时间的变化。研究物理量在空间的分布

21

用拉格朗日法描述流体的运动

• 拉格朗日坐标运动初始时刻流体质点的位置坐标。说明： ① = 0 时刻，流体质点的坐标为 (a,b,c), (a,b,c) 即为拉

格朗日坐标。不同的流体质点， (a,b,c) 的值不同，所以(a,b,c)应是针对不同质点的一组数。②在直角坐标系中，拉格朗日坐标可以用 = 0 时流体质点的初始位置坐标 (x0,y0,z0) 表示。

• 拉格朗日描述 f=f (a,b,c,)说明： f 为流体质点的某一物理量，上式表示在运动初始时刻

坐标为 (a,b,c) 的流体质点在时刻该物理量的值或表达式。

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用拉格朗日法描述流体的运动

将流体质点的物理量具体为流体质点的位置、速度、加速度。

位 置 ),,,( cbarr

或),,,(

),,,(

),,,(

cbazz

cbayy

cbaxx

速 度 ),,,( cbauu

或

t

cbazcbau

t

cbaycbau

t

cbaxcbau

z

y

x

),,,(),,,(

),,,(),,,(

),,,(),,,(

质点速度为质点矢径随时间的变化率

rΔ

)(a,b,c,r)Δ(a,b,c,r)(a,b,c,u

Δt

0lim

23

用拉格朗日法描述流体的运动

),,,( cbaaa

加速度

质点加速度为质点在时刻的速度随时间的变化率

2

2

0

),,,(

),,,(

),,,(),,,(lim),,,(

cbar

cbau

cbaucbaucbaa

t

2

2 ),,,(

),,,(),,,(

cbax

cbaucbaa x

x

2

2 ),,,(

),,,(),,,(

cbay

cbaucbaa y

y

2

2 ),,,(

),,,(),,,(

cbaz

t

cbaucbaa z

z

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用欧拉法描述流体的运动

• 欧拉坐标

固定于空间的坐标系的一组坐标。说明： ①用其表示流体质点在不同时刻运动到空间某一点的位置

②在直角坐标系中，欧拉坐标可以可以直接用直角坐标(x,y,z) 表示。

• 欧拉描述

)),(),(),(( zyxFf

25

用欧拉法描述流体的运动

位 置 )),(),(),(( zyxrr

或)(

)(

)(

zz

yy

xx

速 度)),(),(),((

),(

zyxu

rud

rdu

或

d

dzzyxuu

d

dyzyxuu

d

dxzyxuu

zz

yy

xx

),,,(

),,,(

),,,(

26

用欧拉法描述流体的运动

d

dz

z

u

d

dy

y

u

d

dx

x

uu

d

udzyxa

),,,(加速度

d

dzu

d

dyu

d

dxu zyx ,,

uuu

z

uu

y

uu

x

uu

uzyx

)(

zu

yu

xu

zk

yj

xikujuiuu

zyx

zyx

)()(

——哈密顿算子； zk

yj

xi

威廉 . 哈密顿

x x x x xx y z

y y y y yx y z

z z z z zx y z

du u u u uu u u

d x y z

du u u u uu u u

d x y z

du u u u uu u u

d x y z

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用欧拉法描述流体的运动

使用欧拉描述涉及到场的概念。

场：如果在全部空间或部分空间里的某一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在 这个空间里确定了该物理量的一个场。

使用欧拉法所描述的各物理量均为空间点坐标和时间 的函数——速度场，加速度场，压力场，温度场……

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欧拉描述与拉格朗日描述的比较

拉格朗日描述 欧拉描述

分别描述有限质点的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布不能描述流体元的运动变形特性 适合描述流体元的运动变形特性拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析方法

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欧拉描述与拉格朗日描述的互换

拉格朗日描述 欧拉描述

求解 ),,,( cbarr

得到 a, b, c 作为 x() ， y() ， z() 的函数，将之代入f ＝ f （ a ， b ， c ， ），便可得到 f 的欧拉描述。

例 1.1 已知流体运动的拉格朗日描述

c

c

x ae ,

y be ,

求速度与加速度的欧拉描述。

30

欧拉描述与拉格朗日描述的互换

解：利用已知的拉格朗日运动描述和速度与加速度的定义，可得速度与加速度的拉格朗日描述为

2 2.

c cx y

_yx c cx y

x a y bu e ,u e ,

c cuu a b

a e ,a ec c

已知 c ca xe ,b ye

（ 1 ）

（ 2 ）

速度与加速度的欧拉描述： a, b 关于（ x,y,) 的表达式 （ 1 ）、（ 2 ）式

2 2 2 2

c cx y

_c c

x y

a x b yu e ,u e ,

c c c c

a x b ya e ,a e .

c c c c

31

②利用 = 0时 代入求得 c1 ， c2, ， c3依赖于 a,b,c的表达式 ；

欧拉描述与拉格朗日描述的互换

欧拉描述 拉格朗日描述

①利用速度的定义将速度表达式积分求得矢径的表达式

或空间位置坐标表达式：),,,( 321 cccrr

),,(

),,(

),,,(

32,1

3,21

321

ccczz

cccyy

cccxx

),,,( cbaAr

③将 c1 ， c2, ， c3的表达式代入矢径和物理量的欧拉描述，即得拉格朗日描述。

32

将 积分

欧拉描述与拉格朗日描述的互换

解：求速度和加速度的拉格朗日描述。

例 1.2 已知流体运动的欧拉描述 x y

x yu ,u

c c

和初始条件 ＝ 0 时 byax ,

,x y

dx x dy yu u

d c d c

得到： 1 2

_c cx c e , y c e

代入初始条件，得： ba,cc 21

所以 _c c,x ae y be

,_

c cx y

x a y bu e ,u e

c c c c

2 2

_yx c cx y

uu a ba e ,a e

c c

33

•流线与迹线

迹线 流体质点运动的轨迹，即流体质点在空间运动时所描绘出来的曲线。

迹线的参数方程

),,,( cbarr

x ＝ x （ a ， b ， c ， ）y ＝ y （ a ， b ， c ， ）z ＝ z （ a ， b ， c ， ）

c

c

x ae ,

y be ,

以前面例 1.1 为例 消去xy ＝ ab

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流线与迹线

迹线的微分方程 ),,,(),,,(),,,( zyxu

dz

zyxu

dy

zyxu

dx

zyx

解释：在已知流体运动的欧拉描述的前提下，可利用速度的定义将速度表达式积分求得矢径的表达式，所以可将速度的定义式变形获得。

d

dzzyxu

d

dyzyxu

d

dxzyxu

z

y

x

),,,(

),,,(

),,,(

35

•流线与迹线流线 用来描述流场中各点流动方向的曲线。

切线与速度方向一致的假想曲线。

流线的微分方程

说明：流线的微分方程 虽然与迹线的微分方程具有相同的形式。但这里时间为常数。即流线描述的是某一时刻空间各点的速度分布情况。这是一种欧拉描述。

( , , , ) ( , , , ) ( , , , )x y z

dx dy dz

u x y z u x y z u x y z

36

小结——流线与迹线的比较

),,,( cbarr

)(x,y,z,u

dz

)(x,y,z,u

dy

)(x,y,z,u

dx

zyx

流 线迹 线定义

参数方程

微分方程

为自变量， x,y,z 为的函数

质点的运动轨迹 切线与速度方向一致的假想曲线

x, y, z 为自变量，为常数

( , , , ) ( , , , ) ( , , , )x y z

dx dy dz

u x y z u x y z u x y z

定义 质点的运动轨迹 切线与速度方向一致的假想曲线

欧拉法拉格朗日法

r()

37

利用迹线的微分方程

如何求迹线和流线方程

解：

例 1.3 给定速度场 ux ＝ x＋ ， uy＝－ y－ ，求① ＝ 1 时过（ 1 ， 1 ）点的质点的迹线；② 过（ 1 ， 1 ）点的流线。

yx ud

dyu

d

dx

,

得：

对上述两个微分方程求解，得：

已知 ＝ 1 时 ,该迹线方程过（ 1 ， 1 ）点，代入得：

yd

dyx

d

dx,

1ecy1,ecx 21 迹线方程

①

ecec 21 ,/3将 c1 和 c2 值代回上述迹线方程得：

113 11 e,yex

38

不一样！

将 看作常数，对流线微分方程积分

如何求迹线和流线方程

2))(( cyx

解：

得：

已知该流线过（ 1 ， 1 ）点，代入得：

②

将 c2 值代回流线方程得：

y

dy

x

dx

22 1 )(c

21 )())(y(x

当 =1 时，流线方程为： 4 ))(y(x 1 13 1 1x e , y e

例 1.3 给定速度场 ux ＝ x＋ ， uy＝－ y－ ，求① ＝ 1 时过（ 1 ， 1 ）点的质点的迹线；② 过（ 1 ， 1 ）点的流线。

迹线方程为：

39

•流线与迹线

什么情况下流线与迹线重合

定常流动！

40

•系统与控制体

系统一团确定的流体质点的集合，是用拉格朗日法研究流体运动的研究对象 。

始终包含确定的流体质点 ;

有确定的质量 ;

系统的表面（边界的形状和所围空间的大小）常常随质点的运动不断变化 ;

说明：

与外界无质量的交换，但可以有力的相互作用及能量的（热和功）交换 ;

41

•系统与控制体

控制体在流体所在的空间中，被假想或真实的流体边界包围，既可静止不动也可以运动的某一区域是用欧拉法研究流体运动的研究对象 。

控制体的周界称为控制面 ;

一旦选定后，其形状和大小就固定不变，但其中的流体质点组成可以随时间改变 ;

控制既可通过控制面与外界交换质量和能量，也可与环境有力的相互作用 ;

说明：

42

•系统与控制体

x

y

z

II

o

II '

z

x

y

n v

n

v

o

III

I

时刻 + 时刻系统 控制体

43

•雷诺输运定理将用拉格朗日法描述的系统内物理量随时间变化率转换为按欧拉法计算的方法。

推

导

过

程

①说明：

X— 某一流体性质物理量（矢量或标量，质量、动量或能量）

系统 S 的边界

控制体 CV 的边界，

44

•雷诺输运定理

推

导

过

程

②推导：•在时刻 )(X)(X CVS •经时间后， 进入控制体，同时有 离开控制体。随着流体的迁移，物理量 X （以质量为例）也发生相应的迁移，分别以 进入控制体， 离开控制体，有：

inCVΔV out

CVΔV

inCVΔX out

CVΔX

inCV

outCVΔCVΔS ΔXΔX)(X)(X

(1)

(2)

•(2)-(1), 得： inCV

outCVτCVΔττCVτSΔττS ΔXΔX)(X)(X)(X)(X

或 inCV

outCVCVS ΔXΔXΔXΔX

•将上式两端除以 并使 0Δ

45

•雷诺输运定理

d

dX

d

dX

d

dX

d

dX inCV

outCVCVS

控制容积内物理量的变

化率系统内物理量的变化率

物理量通过控制面的净

流出速率

系统和控制容积内物理量变化速率的差等于物理量通过控制容积的净流出速率

46

EXIT

小结

流体的性质描述流体运动的方法流线与迹线系统与控制体雷诺输运定理