医学に活かす確率・統計

• A4用紙の配布–縦に使います–学生番号　氏名

避けて通れない確率・統計

• 不確実だから– 研究はわからないことを対象にする

• 未知が対象

– 臨床は不十分な情報に基づいて行動する• 既知のリストから選び出す

• 研究も　臨床も、論理的・科学的であることが必要だから– 他人を説得する– 自分が納得する

• 論理・科学の (唯一の )共通言語だから

手法は不要　考え方は必要

• 過去問になっている問題• 過去問の類似問題• 新しい問題

計算機は不要 (かも )　勘は必要

• 確率的思考をしているときに、電卓をたたいている暇はない

• そこそこ、はずれない「勘」を持っていることが大事

• その「勘」のよさが、臨床のセンス、研究のセンスのよさ・・・のような気がします

• この辺りのことに、なにがしかのイメージを持つことが 3コマの目標です

計算機が欲しいなら

• フリーソフトをどうぞ– R

http://www.r-project.org/http://www.okada.jp.org/RWiki/index.php

確率・統計的な考え方のこつ

• 自分なりにわかること–覚えることは何もない–自分で考えを進められれば、よし–疑う

• 情報を鵜呑みにしない• 理由を見つける• こだわらない・こだわっている自分に気づく

–「絶対」はない• 場合にわける• 条件をつける

推定 *

推定 *　：　斜字体の言葉はこの講義で理解するべき概念(「学問的」部分 )

合格したい試験がある

• 自分が合格する確率は？

合格したい試験がある

• 自分が合格する確率は？• 「当てる」ために必要な情報は？

合格したい試験がある

• 自分が合格する確率は？• 「当てる」ために有用な情報は？

–合格率は？

合格したい試験がある

• 自分が合格する確率は？• 「当てる」ために有用な情報は？

–合格率は？• どうしてそれを知ることが有用？

合格したい試験がある

• 自分が合格する確率は？• 「当てる」ために必要な情報は？

–合格率は？–何の試験？

• どうしてそれを知ることが有用？

【医師国家試験・医学部のある大学別合格率と合格者数】（ 2008年度医師国家試験のデータ）

大学名　　　　　　　　　新卒　　　　　　　　　　　　　　　既卒　　　　　（受験者数・合格者数・合格率）　＜受験者数・合格者数・合格率＞国立大学医学部（ 42校）（ 4,016 3,819 95.1％）＜ 434  257   59.2％＞北海道大学       （ 106 　 104 　 98.1％）　　　 ＜ 17 　 10 　 58.8％＞ 旭川医科大学     （  96　　 89 　 92.7％）　　　 ＜  8　   3   37.5％＞ 

弘前大学           （ 102   101   99.0％）       ＜  9    5   55.6％＞ 東北大学           （   88    84   95.5％）        ＜ 16    4   25.0％＞ 秋田大学           （ 103    94   91.3％）        ＜  8    6   75.0％＞ 山形大学           （  99    97   98.0％）         ＜  3    3  100.0％＞ 筑波大学           （ 108   105   97.2％）       ＜  8    8  100.0％＞ 群馬大学           （ 103    94   91.3％）        ＜  7    6   85.7％＞ 千葉大学           （ 103    99   96.1％）        ＜  7    4   57.1％＞ 東京大学           （  95    88   92.6％）         ＜  2    0    0.0％＞ 東京医科歯科大学 （  86    82   95.3％）      ＜  7    6   85.7％＞ 新潟大学           （  94    86   91.5％）         ＜  6    2   33.3％＞ 富山大学           （  91    88   96.7％）         ＜  7    5   71.4％＞ 金沢大学           （ 101    97   96.0％）        ＜ 11    4   36.4％＞ 福井大学           （ 107    97   90.7％）        ＜ 12    5   41.7％＞ 山梨大学           （  97    90   92.8％）        ＜ 14   11   78.6％＞ 信州大学           （  98    93   94.9％）        ＜  8    2   25.0％＞ 岐阜大学           （  80    78   97.5％）        ＜  8    5   62.5％＞ 浜松医科大学     （ 112   109   97.3％）      ＜  6    4   66.7％＞ 名古屋大学        （ 100    96   96.0％）       ＜  5    2   40.0％＞三重大学           （  97    95   97.9％）        ＜  7    5   71.4％＞  

滋賀医科大学     （ 100    95   95.0％）       ＜  3    2   66.7％＞ 京都大学           （  97    95   97.9％）        ＜ 16    9   56.3％＞ 大阪大学           （  98    92   93.9％）        ＜ 11    6   54.5％＞ 神戸大学           （ 100    98   98.0％）       ＜ 11    7   63.6％＞ 鳥取大学           （  78    76   97.4％）　      ＜ 11    8   72.7％＞ 島根大学           （  89    82   92.1％）        ＜  7    4   57.1％＞ 岡山大学           （  92    87   94.6％）        ＜  8    5   62.5％＞ 広島大学           （  95    89   93.7％）        ＜ 10    5   50.0％＞ 山口大学           （  96    83   86.5％）        ＜ 10    9   90.0％＞ 徳島大学           （  89    85   95.5％）        ＜ 15    7   46.7％＞ 香川大学           （  89    87   97.8％）        ＜  8    7   87.5％＞ 愛媛大学           （  92    91   98.9％）        ＜ 10    7   70.0％＞ 高知大学           （  88    81   92.0％）        ＜ 13    5   38.5％＞ 九州大学           （ 100    98   98.0％）       ＜ 15   10   66.7％＞ 佐賀大学           （  91    88   96.7％）　      ＜  7    3   42.9％＞ 長崎大学           （  77    72   93.5％）        ＜ 18   11   61.1％＞ 熊本大学           （  94    93   98.9％）        ＜ 18    8   44.4％＞ 大分大学           （  84    80   95.2％）        ＜ 11    9   81.8％＞ 宮崎大学           （  96    90   93.8％）        ＜ 15   12   80.0％＞ 鹿児島大学        （  93    89   95.7％）        ＜ 24   16   66.7％＞ 琉球大学           （ 112   102   91.1％）      ＜ 17    7   41.2％＞

【医師国家試験・医学部のある大学別合格率と合格者数】（ 2008年度医師国家試験のデータ）

大学名　　　　　　　　　新卒　　　　　　　　　　　　　　　既卒　　　　　（受験者数・合格者数・合格率）　＜受験者数・合格者数・合格率＞国立大学医学部（ 42校）（ 4,016 3,819 95.1％）＜ 434  257   59.2％＞北海道大学       （ 106 　 104 　 98.1％）　　　 ＜ 17 　 10 　 58.8％＞ 旭川医科大学     （  96　　 89 　 92.7％）　　　 ＜  8　   3   37.5％＞ 

弘前大学           （ 102   101   99.0％）       ＜  9    5   55.6％＞ 東北大学           （   88    84   95.5％）        ＜ 16    4   25.0％＞ 秋田大学           （ 103    94   91.3％）        ＜  8    6   75.0％＞ 山形大学           （  99    97   98.0％）         ＜  3    3  100.0％＞ 筑波大学           （ 108   105   97.2％）       ＜  8    8  100.0％＞ 群馬大学           （ 103    94   91.3％）        ＜  7    6   85.7％＞ 千葉大学           （ 103    99   96.1％）        ＜  7    4   57.1％＞ 東京大学           （  95    88   92.6％）         ＜  2    0    0.0％＞ 東京医科歯科大学 （  86    82   95.3％）      ＜  7    6   85.7％＞ 新潟大学           （  94    86   91.5％）         ＜  6    2   33.3％＞ 富山大学           （  91    88   96.7％）         ＜  7    5   71.4％＞ 金沢大学           （ 101    97   96.0％）        ＜ 11    4   36.4％＞ 福井大学           （ 107    97   90.7％）        ＜ 12    5   41.7％＞ 山梨大学           （  97    90   92.8％）        ＜ 14   11   78.6％＞ 信州大学           （  98    93   94.9％）        ＜  8    2   25.0％＞ 岐阜大学           （  80    78   97.5％）        ＜  8    5   62.5％＞ 浜松医科大学     （ 112   109   97.3％）      ＜  6    4   66.7％＞ 名古屋大学        （ 100    96   96.0％）       ＜  5    2   40.0％＞三重大学           （  97    95   97.9％）        ＜  7    5   71.4％＞  

滋賀医科大学     （ 100    95   95.0％）       ＜  3    2   66.7％＞ 京都大学           （  97    95   97.9％）        ＜ 16    9   56.3％＞ 大阪大学           （  98    92   93.9％）        ＜ 11    6   54.5％＞ 神戸大学           （ 100    98   98.0％）       ＜ 11    7   63.6％＞ 鳥取大学           （  78    76   97.4％）　      ＜ 11    8   72.7％＞ 島根大学           （  89    82   92.1％）        ＜  7    4   57.1％＞ 岡山大学           （  92    87   94.6％）        ＜  8    5   62.5％＞ 広島大学           （  95    89   93.7％）        ＜ 10    5   50.0％＞ 山口大学           （  96    83   86.5％）        ＜ 10    9   90.0％＞ 徳島大学           （  89    85   95.5％）        ＜ 15    7   46.7％＞ 香川大学           （  89    87   97.8％）        ＜  8    7   87.5％＞ 愛媛大学           （  92    91   98.9％）        ＜ 10    7   70.0％＞ 高知大学           （  88    81   92.0％）        ＜ 13    5   38.5％＞ 九州大学           （ 100    98   98.0％）       ＜ 15   10   66.7％＞ 佐賀大学           （  91    88   96.7％）　      ＜  7    3   42.9％＞ 長崎大学           （  77    72   93.5％）        ＜ 18   11   61.1％＞ 熊本大学           （  94    93   98.9％）        ＜ 18    8   44.4％＞ 大分大学           （  84    80   95.2％）        ＜ 11    9   81.8％＞ 宮崎大学           （  96    90   93.8％）        ＜ 15   12   80.0％＞ 鹿児島大学        （  93    89   95.7％）        ＜ 24   16   66.7％＞ 琉球大学           （ 112   102   91.1％）      ＜ 17    7   41.2％＞

•場合分け•どうしてそれを知ることが有用？

合格したい試験がある

• 自分が合格する確率は？

• 模試とは？

共用試験ナビ-年度一覧　 >　第６版　共用試験ナビ　 >　医学系 CBT－第３回正式実施全国成績 

模試から得る情報

• 自分の得点• 自分の順位

• 知りたいことは？

全体　 vs. 個

模試から得る情報

• 知りたいことは？–自分の得点→自分の「真の」正答力–自分の順位→自分の「真の」順位

模試から得る情報

• 知りたいことは？–自分の得点→自分の「真の」正答力–自分の順位→自分の「真の」順位

• さらに知りたいことは？–「真の」正答力→自分が本番でとる得点–「真の」順位→自分が本番でとる順位

模試から得る情報• 知りたいことは？

–自分の得点→自分の「真の」正答力–自分の順位→自分の「真の」順位

• さらに、知りたいことは？–「真の」正答力→自分が本番でとる得点–「真の」順位→自分が本番でとる順位

• さらに、さらに、知りたいことは？–「真の」正答力と「ありたい正答力」との差–その差の詰め方

模試から得る情報• 知りたいことは？

–自分の得点→自分の「真の」正答力–自分の順位→自分の「真の」順位

• 試験実施者が本当に知りたいことは–「正答力」ではなくて「実力」なんだけれど・・・

• 「知りたいこと」は観察できない (ことが多い )–テスト (検査 )で代用する–実験で代用する

模試から得る情報

• 「真の正答力」を推定する– 10問中 8問の正解–模試の点数→「真の正当力」

• どうやって？

模試から得る情報

• 「真の正答力」を推定する–模試の点数→「真の正当力」

• どうやって？

模試から得る情報

• 「真の正答力」を推定する–模試の点数→「真の正当力」

• どうやって？– 仮説からスタートする– 仮説を立てよう

模試から得る情報• 「真の正答力」を推定する

– 模試の点数→「真の正当力」• どうやって？

– 仮説からスタートする

–「真の正答力は、『正答する確率』が 80%である」という仮説

• 仮説には「確率」がある

模試から得る情報

• 「真の正答力は、『正答する確率』が80%である」という仮説

• この場合の模試の点数は？ ->RGUI 　 (編集→ GUIpreference→フォント (20))

– p<-0.8;nq<-10

– rs<-rbinom(nq,1,p);mean(rs)*nq

– rs<-rbinom(nq,1,p);mean(rs)*nq

– …

模試から得る情報

• 「真の正答力は、『正答する確率』が80%である」という仮説– 「テストのたびに値が変わる・・・」

• p<-0.8• nq<-10• nt<-10• rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt)• obs<-apply(rs,1,sum)• table(obs)

模試から得る情報

• 「真の正答力は、『正答する確率』が80%である」という仮説– 「テストのたびに値が変わる・・・」

• テストを繰り返せば• p<-0.8• nq<-10

• nt<-10• rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt)• obs<-apply(rs,1,sum)• table(obs)

p<-0.8nq<-10

nt<-100rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt)obs<-apply(rs,1,sum)table(obs)h<-hist(obs,xlim=c(0,nq),breaks=-1:nq) plot(0:nq,h$counts,type="b")

模試から得る情報

• 「真の正答力は、『正答する確率』が80%である」という仮説– 「テストのたびに値が変わる・・・」

• p<-0.8• nq<-10• nt<-10• rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt)• obs<-apply(rs,1,sum)• table(obs)

p<-0.8nq<-10nt<-100rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt)obs<-apply(rs,1,sum)table(obs)h<-hist(obs,xlim=c(0,nq),breaks=-1:nq) plot(0:nq,h$counts,type="b")

模試から得る情報

• 「真の正答力は、『正答する確率』が80%である」という仮説– 「テストのたびに値が変わる・・・」

• 100回　模試を受けても・・・• p<-0.8• nq<-10• nt<-10• rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt)• obs<-apply(rs,1,sum)• table(obs)

p<-0.8nq<-10nt<-100rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt)obs<-apply(rs,1,sum)table(obs)h<-hist(obs,xlim=c(0,nq),breaks=-1:nq) plot(0:nq,h$counts,type="b")

模試から得る情報

• 「真の正答力は、『正答する確率』が80%である」という仮説– 「テストのたびに値が変わる・・・」

• 100回　模試を受けても・・・• p<-0.8• nq<-10• nt<-10• rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt)• obs<-apply(rs,1,sum)• table(obs)

p<-0.8nq<-10nt<-100rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt)obs<-apply(rs,1,sum)table(obs)h<-hist(obs,xlim=c(0,nq),breaks=-1:nq) plot(0:nq,h$counts,type="b")

100回　模試を受けても

模試から得る情報

• 「真の正答力は、『正答する確率』が80%である」という仮説– 「テストのたびに値が変わる・・・」→無限回　受ければ

• p<-0.8• nq<-10• nt<-10• rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt)• obs<-apply(rs,1,sum)• table(obs)

• plot(0:nq,h$counts,type="b")• ds<-dbinom(0:nq,nq,p)• par(new=TRUE)• plot(0:nq,ds,type="b",col="red")

模試から得る情報

• 「真の正答力は、『正答する確率』が80%である」という仮説– 「テストのたびに値が変わる・・・」

• p<-0.8• nq<-10• nt<-10• rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt)• obs<-apply(rs,1,sum)• table(obs)

• plot(0:nq,h$counts,type="b")• ds<-dbinom(0:nq,nq,p)• par(new=TRUE)• plot(0:nq,ds,type="b",col="red")

みんなが使うものだから

• 正答確率　 0.8の場合の得点分布の確率分布は

• 「知られている」

みんなが使うものならば• 正答確率　 0.8の場合の得点分布の確率分布は• 「知られている」

• 「知られてい」れば、「知れ」ばよし– 情報収集・調査・勉強

• 「知られていないけれど、知りた」ければ、「知れ」ばよし– 研究 

模試から得る情報

• 「真の正答力」を推定する– 「真の正答力は、『正答する確率』が 80%である」という仮説– どうして、「 80%」と思った？？？– 50%,10%,90%だったら？

• p<-c(0.8,0.5,0.1,0.9)• ds<-dbinom(0:nq,nq,p[1])• ylim<-c(0,1)• plot(0:nq,ds,type="b",col="red",ylim=ylim)

• par(new=T)• ds<-dbinom(0:nq,nq,p[2])• plot(0:nq,ds,type="b",ylim=ylim)

• par(new=T)• ds<-dbinom(0:nq,nq,p[3])• plot(0:nq,ds,type="b",ylim=ylim)

• par(new=T)• ds<-dbinom(0:nq,nq,p[4])• plot(0:nq,ds,type="b",ylim=ylim)

0.8 0.5

0.1 0.9

0.8 0.5

0.1 0.9

0.8 0.5

0.1 0.9

0.8 0.5

0.1 0.9

0.8 0.5

0.1 0.9

今、気になるのは、８点を取った場合

• 仮説→事象が起きる　確率　 (起きそうなやすさ )

• 事象が起きる→仮説　尤度　 (ありそうな程度 )真の正答確率が  p　のときに 8点を取る確率は

8点を取ったときに、真の正答確率が pである尤度

「真の正答力は、『正答する確率』が pである」という仮説の下で、 10問中 8問を正答する確率

10問中 8問を正答したときに、真の正答力が pである尤度

point<-8p<-seq(from=0,to=1,by=0.01)ds<-dbinom(point,nq,p)plot(p,ds,type="l")abline(h=ds[81])

par(new=T)v<-dbeta(p,point+1,nq-point+1)plot(p,v)

模試から得る情報

• 「真の正答力」を推定する• 何点を取ろうとも。

p<-seq(from=0,to=1,by=0.01)obss<-matrix(0,length(p),nq+1)for(i in 1:length(p)){ obss[i,]<-ds<-dbinom(0:nq,nq,p[i])}persp(obss,xlab="p",ylab="points",theta=90,phi=30) persp(obss,xlab="p",ylab="points",theta=0,phi=30)

仮説の下での確率密度分布

テストの点

実力

観察の下での尤度分布

実力

テストの点

実力テストの点

実力が 0.8の場合

尤度

１回目の模試が 8点の場合

実力

• p=0.8のときに最も大きい–最大の尤度を持つ仮説は「 p=0.8」

– pの最尤推定値

「真の正答力は、『正答する確率』が pである」という仮説の下で、 10問中 8問を

正答する確率

10問中 8問正答のときの真の正答力の尤度

実力

１回目の模試が 80%正解の場合

模試の結果から、実力を推定した。

正答率 80％を最高に（最尤推定値 )　：　点推定

幅がある (信頼区間 )　：　区間推定

実力

実力はどこまで推定できた？信頼区間をどう決めたい？

実力

信頼区間をどう決めたい？

下限と上限に挟まれた範囲が 95%

上限・下限それぞれに 2.5%ずつ

上限・下限の尤度を同じにして合わせて 5%

上限・下限を中心から等距離とするとして、合わせて5％

下限だけ？

真の力より、次回は何点取るか？

• 真の正答確率は  0 <= p <=1

• p=P のときに  t 点 (t=0,1,2,...,10)を取る確率は　 Pr(t|p=P)

• p=Pの確率は  Pr(p=P)

• 全部の pについて、 Pr(t|p=P) x Pr(p=P)を足し合わせれば、 t点を取る確率がわかる

point<-8p<-seq(from=0,to=1,by=0.01)#ds<-dbinom(point,nq,p)#plot(p,ds,type="l")#abline(h=ds[81])

#par(new=T)v<-dbeta(p,point+1,nq-point+1)plot(p,v,type="l",col="red")

newpoints<-0:nq

cp<-choose(nq,newpoints)

out<-matrix(0,length(newpoints),length(p))for(i in 1:length(newpoints)){

out[i,]<-cp[i]*p^newpoints[i]*(1-p)^(nq-newpoints[i])*v

}

out2<-apply(out,1,sum)par(new=T)plot(newpoints,out2,type="b")

真の力より、次回は何点取るか？

次回は何点取るの？

推定

• 推定 (の代表 )値• 推定値の範囲（信頼区間）• 推定結果「の全部」を使って、さらなる推定

実力

テストの点

実力が 0.8の場合

１回目の模試が 80%正解の場合

確率

尤度

確率と尤度

テストの点

実力

確率

１回目の模試が 80%正解の場合に、次回の試験の点数の予想

問題

• 確率と尤度について自分の言葉で説明しなさい (A4の紙に記入 )

臨床における推定• 診断という推定

–診断Ａという仮説–診断Ｂという仮説– …

• 予後の推定–予後Ｘという予想–予後Ｙという予想

• 推定 (診断 )には–最尤推定がある–信頼区間がある

Aのときの確率

A,B,...の尤度

臨床情報問診・検査

予後推定 (A,Bが決まらなくても・・・ )

予想の調整

• 「真の正当力が 80%」と思っていた• 75/100点を取った

–「ま、そんなものか」–「真の正当力」の予想は（ほぼ）変わらない

• 50/100点を取った–「え・・・」–「真の正当力は 60%くらいかな・・・」–「真の正当力」の予想が変わる

予想の調整

• 「真の正当力が 50%」と思っていた• 75/100点を取った

–「え・・・」–「真の正当力は 60％くらいかな」

• 50/100点を取った–「ま、そんなものか」–「真の正当力」の予想は（ほぼ）変わらない

• 「真の正当力が 50%」と思っていた• 75/100点を取った

–「え・・・」–「真の正当力は 60％くらいかな」

• 50/100点を取った–「ま、そんなものか」–「真の正当力」の予想は（ほぼ）変わらない

事前予想

事後予想

観察

研究における推定

• 値を計測（実験）したら、必ず推定

• 模試：全 10問の模試–たくさんの実験（ 10問）を実施していた

• 実験も繰り返しが必要

• 推定には繰り返しが必要