d

C

第九章 结构在移动荷载作用下的计算第一节 影响线的概念

一、移动荷载对结构的作用

1 、移动荷载对结构的动力作用 : 启动、刹车、机械振动等 .

2 、由于荷载位置变化，而引起的结构各处的反力、内力、位移等各量值的变化及产生最大量值时的荷载位置。

二、解决移动荷载作用的途径

1 、利用以前的方法解决移动荷载对结构的作用时，难度较大。例如吊车在吊车梁上移动时， RB 、 MC 的求解（下图）。

BA

P2P1

C

三、影响线的概念

　　当方向不变的单位荷载沿结构移动时，表示结构某指定处的某一量值（反力、内力、挠度等）变化规律的图形，称为该量值的影响线。

　　例如：当Ｐ＝１在ＡＢ梁上移动时，ＲＡ、ＲＢ、ＭＣ、ＱＣ的变化规律就分别称为反力ＲＡ、ＲＢ、弯矩ＭＣ、 剪力ＱＣ影响线。　　

BA

P1=1

2 、影响线是研究移动荷载作用问题的工具。

根据叠加原理，首先研究一系列荷载中的一个，而且该荷载取为方向不变的单位荷载。

C

一、静力法

　　把荷载Ｐ＝１放在结构的任意位置，以 x 表示该荷载至所选坐标原点的距离，由静力平衡方程求出所研究的量值与 x 之间的关系（影响线方程）。根据该关系作出影响线。

BA

P1=1

第二节 静力法作简支梁、伸臂梁的影响线

二、简支梁的影响线

　１、反力影响线

x

ＲＡ＝ (l-x)/l Ｒ B ＝ x/l

l

1

1

RA 影响线

R Ｂ影响线

0BM

0AM

0 ）（ xlPlRA

l

xlRA

lx

x 0

lx

x 0

0

1

A

A

R

R

0 xPlRB

l

xRB

1

0

B

B

R

R

　 2 、弯矩影响线

0CM

0cM

0 bRM BC

bl

xbRM BC

lx

x 0

lx

x 0

l

abM

M

C

c

0

0 aRM AC

al

xlMC

0

C

C

Ml

abM

BA

C C

RBQC QCMC MC

RA

（ 1 ）当 P=1 作用在 AC 段时，研究 CB ：

（ 2 ）当 P=1 作用在 CB 段时，研究 CB ：

弯矩响线也可根据反力影响线绘制。

　 3 、剪力影响线

0Y

0Y

0 BC RQ

l

xRQ BC

ax

x 0

lx

ax

l

aQ

Q

C

c

0

0 AC RQ

l

xlRQ AC

0

C

C

Ql

bQ

BA

C C

RBQC QCMC MC

RA

（ 1 ）当 P=1 作用在 AC 段时，研究 CB ：

（ 2 ）当 P=1 作用在 CB 段时，研究 CB ：

剪力影响线也可根据反力影响线绘制。

三、影响线与量布图的关系

1 、影响线：表示当单位荷载沿结构移动时，结构某指定截面某一量值的变化情况。

2 、量布图（内力图或位移图）：表示当荷载位置固定时，某量值在结构所有截面的分布情况。

CB

A

P=1

l/2 /2

l

ED CB

A

P

l/2 /2

l

ED

MC 影响线 M 图

yD yE

yC

yE

yC

yD

分析以上两种情况，竖标相同，物理意义不同。

四、伸臂梁的影响线

试绘制图示伸臂梁的反力影响线，以及 C 和 D 的弯矩、剪力影响线。

C

BA

D

x1x

a bl

cd

1

d/l

(l+d)/l

ad/l

d/l

c

l

ab/l

a/l

b/l

1

作 RA 、 RB 、 MC 、 QC 影响线时，可取 A 点为坐标原点，方法同简支梁；作 QD 、 MD 影响线时，可取 D 为坐标原点。

RA 影响线

RB 影响线

MC 影响线

QC 影响线

MD 影响线

QD 影响线

一、间接荷载对结构的作用

　　间接荷载对结构的作用可以视为结点荷载作用，只不过该荷载的大小随 P=1 的位置改变而变化。

第三节 间接荷载作用下的影响线

主梁

横梁

纵梁

二、间接荷载作用下影响线的作法

DDF yd

xy

d

xdM

Cyd

xd

Dyd

x

Mc 影响线

Qc 影响线

主梁

横梁纵梁

DDF yd

xy

d

xdM

主梁

横梁

纵梁

DDF yd

xy

d

xdM

Cyd

xd Dyd

x

Mc 影响线

Qc 影响线

二、间接荷载作用下影响线的作法

１、先作出直接荷载作用下的影响线；

2 、将所有相邻两个结点之间影响线竖标的顶点用直线相连，即得该量值在结点荷载作用下的影响线，即间接荷载作用下的影响线。

3 、依据：

（ 1 ）影响线定义；

（ 2 ）叠加原理。

三、练习：

练习：试绘制图示结构 ME 、 QE 影响线。

ME 影响线

QE 影响线

15/8

5/8

3/8

1/2

1/4

1/4

1/4

3/25/4

5/4 3/4

一、基本原理

　　机动法是以虚位移原理为依据把作影响线的问题转化为作位移图的几何问题。

第四节 用机动法作单跨超静定梁的影响线

二、优点

不需要计算就能绘出影响线的轮廓。

P=1

A B

X

X P

P=1

1

RA 影响线

以 X 代替 A 支座作用，结构仍能维持平衡。使其发生虚位移，依虚位移原理：

X·X+P · P=0

X= － PP/X= － P/X

令 X=1 ， 则 X= － P

结论：为作某量值的影响线，只需将与该量值相应的联系去掉，并以未知量 X 代替；而后令所得的机构沿 X 的正方向发生单位位移，则由此所得的虚位移图即为所求量值的影响线。

三、举例 试作图示外伸梁 C 截面的弯矩、剪力影响线。

A B

P=1

C

b ead

A +=1

MC

QC

QC 影响线

MC 影响线

ab/l

ae/lbd/l

1

1a/l

b/le/l

d/lC

C1

C2

（ 1 ）令 +=1 ，则虚位移图即为所求之 MC 影响线图。

由 +=h/a+h/b=1

求得 h=ab/l

（ 2 ）令 C1C+CC2=1 ，则虚位移图即为所求之 QC 影响线图。

由比例关系可求得

C1C=b/l ; C2=a/l

一、桁架上的荷载可视为间接荷载（结点荷载）

　　桁架上的荷载一般也是通过横梁和纵梁而作用于桁架的结点上，故可按“间接荷载作用下的影响”线对待。

第五节 桁架的影响线

二、桁架影响线的绘制方法

1 、将 P=1 依次放在它移动过程中所经过的各结点上，分别求出各量值，即各结点处影响线竖标。

2 、用直线将各结点竖标逐一相连，即得所求量值的影响线。

三、桁架影响线的绘制举例（ P276 例题）

例题；试绘制图示桁架 NFG 、 NCD 、 NFD 影响线。

（一） NFG 影响线：

1 、作 1-1 截面，令 P=1 在截面左 侧移动，研究其右半部：

0DM 02 1 rNdR FGB

DBFG Mr

Rr

dN

11

12

2 、作 1-1 截面，令 P=1 在截面右 侧移动，研究其左半部：

0DM 02 1 rNdR FGA

DAFG Mr

Rr

dN

11

12

NFG 影响线

（二） NCD 影响线：

1 、作 1-1 截面，令 P=1 在截面左 侧移动，研究其右半部：

0FM 03 1 hNdR CDB

FBCD Mh

Rh

dN

11

13

2 、作 1-1 截面，令 P=1 在截面右 侧移动，研究其左半部：

0FM 01 hNdR CDA

FACD Mh

Rh

dN

11

1

NCD 影响线

（三） NFD 影响线：

1 、作 1-1 截面，令 P=1 在截面左 侧移动，研究其右半部：

0KM 0)( 2 rNalR FDB

BFD Rr

alN

2

2 、作 1-1 截面，令 P=1 在截面右 侧移动，研究其左半部：

0KM 02 rNaR FDA

AFD Rr

aN

2NFD 影响线

（分析例题 9-3 ，讨论书后思考题）

一、当荷载位置固定时，求某量值的大小

　　 1 、集中荷载位置固定时，求某量值的大小

第六节 影响线的应用

A Bp2

C

b

l

a

a/l

y1

b/l

y1y1

p1 p3

QC=P1Y1+ P2Y2+ P3Y3

QC 影响线

S=p1y1+ p2y2++ pnyn= piyi

（ 1）

　　 2 、分布荷载位置固定时，求某量值的大小

S=∫q ydx ＝ qω

x

y

x

dx

q(x)

ab/(a+b)

x1

x2

ad b e

CA

B

x1

x2

（ 2）

综合以上两种情况，当荷载位置固定时，求某量值的大小按下式计算：

S= piyi+qω

MC 影响线

y

　　 3 、举例 试利用影响线求 C 截面的弯矩和剪力。

S= piyi+qω

15kn8kn/m

2m 2m 4m 2m

A BC

21

1

0.5

0.5

0.25 0.25

依据公式：

MC=15×1+8×(0.5 ×4 ×2

－ 0.5 ×2 ×1)

=39.0 kn.m

QC= -15×0.25+8×(0.5×4 ×0.5

－ 0.5 ×2 ×0.25)

=2.25 kN

二、判别最不利荷载位置

1 、确定最不利荷载位置是结构设计的依据

2 、移动均布荷载最不利位置的确定

（ 1 ）当均布荷载布满对应影响线正号面积时，有 SMAX 。

（ 2 ）当均布荷载布满对应影响线负号面积时，有 SMIN 。CA B

CA B

MC 影响线 QC 影响线

MCMAX

MCMIN

QCMIN

QCMAX

3 、一组集中荷载作用下最不利位置的确定（影响线为三角形情况）（ 1 ）基本原理

分析式 S= piyi ，可知：当影响线顶点附近有较大和较密集的荷载时，有可能是最不利荷载位置。当荷载个数不多时，可以逐一计算集中荷载位于影响线顶点时的 S 值，并将计算结果加以比较，对应 S 值最大的情况，即为最不利荷载位置。（ 2 ）一般情况下临界荷载的判定（荷载、影响线如图示）

P1 P2 Pi-1 PnPn-1Pi

a b

h

当荷载位于某一位置时

S1= p1y1+ p2y2+ + piyi + + pnyn

当荷载向右移动 x 时

S2= p1(y1+ y1)+ p2(y2+ y2)+

+ pi(yi+ yi)+ + pn(yn+ yn)

S 的增量 S=S2-S1= p1 y1+ p2 y2+ + piyi+ + pn yn

= （ p1+ p2+ + pi)X·h/a–(pi+1+Pi+2+ + pn)X ·h/b

y1 y2Yi-1

yiYn-1

yn

根据高等数学，当 S 为 x 的二次或二次以上函数时，函数的极值

发生在 ds/dx=0 处，现在 S= piyi 为 x 的一次函数，故极值发生在斜率

ds/dx 变号的尖角处。这一极值条件可用 S 是否改变符号来判断。

要使 S 变号，必须有某一个荷载由影响线的一边过渡到另一边。即：只有当某一集中荷载位于影响线顶点时，才有可能使 S 变号，使 S 取得极值。这是必要条件，但不是充分条件。

通过影响线顶点，使 S 变号的荷载称为“临界荷载”。通常用PK 表示。

根据以上分析，由前式可知求极大值的条件为：（ p1+ p2+ + pk)X·h/a–(pk+1+Pk+2+ + pn)X ·h/b≥0

（ p1+ p2+ + pk-1)X·h/a–(Pk+pk+1+ + pn)X ·h/b≤0

也可以简写为

b

pp

a

p

b

p

a

pp

k

k

右左

右左

例题 求图示简支梁在吊车荷载作用下， B 支座的最大反力。

P1= P2 =478.5KN, P3= P4 =324.5KN

5.25m 4.8m1.25mP1 P2 P3 P4

AB

C

6m 6m

P1 P2 P3 P4

（一）

解： (1)考虑 P2 在 B 点的情况 ( 图一 ) ：

83.1336

5.3245.47875.79

6

5.478

08.546

5.3245.159

6

5.4785.478

b

pp

a

p

b

p

a

pp

k

k

右左

右左

经检验 , P2 为临界荷载 :

(2)考虑 P3 在 B 点的情况 ( 图二 ) ：

17.1086

5.3245.32475.79

6

5.478

08.546

5.32483.133

6

5.3245.478

b

pp

a

p

b

p

a

pp

k

k

右左

右左

经检验 , P2 为临界荷载 :

结论 : 比较 (1) 、 (2), P2 在 B 点最不利。 RBMAX=784.28 KN

RB 影响线

0.125 10.875

0.758

1 0.2

RB=478.5×(1+0.125)+324.5×0.875=784.28 KN

RB=478.5×0.758+324.5×(1+0.2)=752.10 KN

（二）

P1 P2 P3 P4

一、简支梁的绝对最大弯矩

　 1 、定义 :

发生在简支梁的某一截面 , 而比其它任意截面的最大弯矩都大的弯矩 . 。

第七节 简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩

2 、如何确定绝对最大弯矩 :

（ 1 ）绝对最大弯矩必是该截面的最大弯矩。

（ 2 ）绝对最大弯矩必然发生在某一荷载之下。

（ 3 ）集中荷载是有限的。

取某一集中荷载作为产生绝对最大弯矩的临界荷载，计算该荷载移动过程中的最大弯矩；类似地，求出其它荷载下的最大弯矩并加以比较，其中最大者即为绝对最大弯矩。

3 、 PK 位置的确定

P1 Pk R Pn

A B

P2 P

l/2 l/2

x a l-x-a

k

PK 所在截面的弯矩：

Mk(x)= RA · x-M 左 ----------- （ 1 ）

式中 M 左为 PK 以左所有荷载 k 截面的弯矩。

MB=0: RA·l-R(l-x-a)=0

RA=R(l-x-a)/l ----------(2)

代 (2)入 (1): Mk(x)= R(l-x-a)x/l- M 左

求 MK(X) 的极值 :

dMk(x)/dx= R(l-2x-a)/l=0

∴ x=(l-a)/2 或 x=l-x-aPK 位置为 : PK 与梁上所有荷载的合力对称与中截面。

RA

3 、计算步骤

（ 1 ）先找出可能使跨中产生最大弯矩的临界荷载。

（ 2 ）使上述荷载与梁上所有荷载的合力对称于中截面，计算此时临界荷载所在截面的最大弯矩。

（ 3 ）类似地，计算出其它截面的最大弯矩并加以比较，其中最大者即为绝对最大弯矩。

例题 求图示简支梁在吊车荷载作用下的绝对最大弯矩。

已知： P1= P2 = P3= P4 =280KN4 。 8m 4.8m1.44m

P1 P2 P3 P4

A B

6m 6m

解： 1 、考虑 P2 为临界荷载的情况

(1) 梁上有 4 个荷载（图一）

R=280×4=1120kn

a=1.44/2=0.72m

MB=0

RA ×12-1120 ×(6-0.36)=0

RA =526.4kn

MX=5.64= RA×5.64 － 280× 4.8

=1624.9kn.m

RP1 P2 P3 P4

（图一）A B

6m 6m

0.36m0.36m

a

RA =526.4kn

4 。 8m 4.8m1.44mP1 P2 P3 P4

A B

6m 6m

(2) 梁上有 3 个荷载 ( 图二 ) ： R=280×3=840kn

依合力矩定理： R×a=P1×4.8-P3×1.44

a=280×(4.8-1.44)/840=1.12 m

MB=0 RA ×12-840×(6+0.56)=0

RA =439.2kn

MX=6.56= RA×6.56-280×4.8=1668.4kn.m

比较 (1) 、 (2) ，绝对最大弯矩

MX=6.56= 1668.4kn.m `

2 、考虑 P3 为临界荷载的情况：

通过与前面类似地分析，可知另一绝对最大弯矩：

MX=5.44= 1668.4kn.m

R

AB

6m 6m

（图二）

P1 P2 P3 P4

0.56m0.56m

a

RA =459.2kn

例题 求图示简支梁在吊车荷载作用下的绝对最大弯矩。

已知： P1= P2 = P3= P4 =280KN

二、简支梁的内力包络图

1 、定义

把梁上各截面内力的最大值和最小值按同一比例标在图上，连成

曲线。这一曲线即为内力包络图。

2 、绘制方法

一般将梁分为十等份，先求出各截面的最大弯矩值，再求出绝对

最大弯矩值；最后，将这些值按比例以竖标标出并连成光滑曲线。

3 、吊车梁内力包络图绘制举例

一、用静力法绘制超静定梁影响线的工作十分繁杂 第八节 用机动法作超静定梁影响线的概念

AB

lx

l-x

P=1

AB

x1=MA P=1

基本体系

AB

M1 图

x1=1

A

MP 图

B

1(1-x)/l

x(1-x)/l

l-x

x

l-xx

P=1

01111 px

EI

l

311

l

xlxlx

EIp

)2)((

6

11

21 2

)2)((

l

xlxlxxM A

例题 试绘制图示超静定梁 MA 影响线。

由上式可知： MA 是 x 的三次函数。依上式绘出

影响线如下：

AB

P=1

MA 影响线

二、用机动法绘制超静定梁影响线

基本体系

P=1

0 kpkkk x

kk

P=1

kp

1kk

Xk=1

Xk

pk

P=1

由基本体系：

（外荷载是单位力）kpkp

（位移互等定理）pkkp 又

pkkk

kx 1

k

结论：

为作某量值 Xk 的影响线，

只要去掉与 Xk 相应的约束，并

使所得的基本结构沿 XK 的正方

向发生单位位移，则由此而得

的位移图即为 XK 影响线。

三、影响线的绘制及最不利荷载位置的确定

Mk 影响线Mk

k

A B C D E

1

1

1Mk

Qk

RD

1

Qk 影响线

RD 影响线

MB 影响线

MkMAX

MkMIN

例题 试绘制图示连续梁 MK 、 QK 、 RD 、 MB 影响线并求 MKMAX 、 MKMIN 。

一、内力包络图的概念

将各截面在恒载和活载共同作用下的最大内力和最小内力，按一定比例，用竖标表示出来，并分别连成两条光滑曲线。这个图形称为连续梁的内力包络图。

第九节 连续梁的内力包络图

二、内力包络图的绘制

试绘制图示三跨连续梁的弯矩、剪力包络图。 梁上承受恒栽

q=20kn/m, 活载 p=37.5 kn/m.

0 4 8 121 5 92 6 103 117

4m 4m 4m

弯矩包络图（ kn.m) 剪力包络图 (kn)

24

55

15

5

84

9

32

65

-7.5

2.5

99.524.5