高次元ブラックホールの安定性解析

京都大学天体核研究室 D3村田佳樹 ( ムラタケイジュ )

They can have same masses and angular momenta.

Myers-Perry BH black ring

The uniqueness theorem does not hold in higher dimension.

What is the final state of the gravitational collapse?

What kind of BH is formed in LHC?

variety of BH solutions

Motivation1

d=5: Emparan & Reall (2001)

d>5(thin ring limit) : Emparan et al (2007)

Stability analysis of higher dimensional BHs

Gauge/Gravity correspondence

Instability of AdS BHs is regarded as a phase transition in dual thoery.

Gauge/Gravity correspondence

Understanding of phase structure of dual theory.

Motivation2

Most of the formalism of stability analysis of higher dimensional BH can be applied to asymptotically AdS spacetime.

4 次元ブラックホールの安定性

Schwarzschild ブラックホール

安定性解析 Regge-Wheeler,1957

の偏微分方程式

モード展開によって、常微分方程式に落とすことができる。

even モードの解析

ゲージ条件

マスター変数

シュレーディンガータイプのマスター方程式

は S^2 のmetric

scalar spherical harmonics で展開できるモード

odd モードの解析

ゲージ条件

マスター変数

シュレーディンガータイプのマスター方程式

vector spherical harmonics で展開できるモード

4 次元では explicit にと書ける。

不安定性の存在 のモードの存在

しかし今は、 V > 0 なので　　　　　　　　の束縛状態は存在しない。

4 次元 Schwarzschild ブラックホールは安定

Kerr の場合も安定性が示されている。

4 次元の真空におけるブラックホールは安定である。

赤 : odd青 : even

唯一性定理と安定性

4 次元真空では、 Kerr ブラックホールしかないのだから、直観的には Kerr ブラックホールは安定である気がする。この直観は mathematical にもある程度正しい。

Kerr ブラックホールに stationary perturbation が存在しない。唯一性

の解はない。

ω^2 は実数である。軸対称摂動を考える。

Kerr の安定性を唯一性定理から理解してみる。

もし、軸対称摂動に対し、 Kerr BH が不安定だとしたら、

a : Kerr parameter

ω^2 stationary perturbation

Schwarzschild BH は安定だから、a の小さい領域では、 ω^2 < 0 のモードはない。

stationary perturbation の存在 唯一性に反する。

軸対称摂動は安定

注 ) この議論では、非軸対称摂動の安定性は分からない。

We define the operator as

If there are operators which satisfy

The perturbation equation can be separated and reduces ODEs.

Sch BH の安定性解析では、摂動方程式が変数分離可能であることが重要だった。では、どういう場合に変数分離が可能なのか？

対称性と変数分離可能性

4-dimensional Schwarzschild BH

Killing vectors of this spacetime are

time translation symmetry

spherical symmetry

We define operators

are simultaneously diagonalizable.

Eingen functions are and

We also find

Modes with different do not couple each other in perturbation equation.

separable

example

stability analysis of rotating black holes

Killing vectors of general D-dimensional Myers-Perry are

(n+1) Killing vectors

n+1 < D-1 (for D >= 4)

So, in general, the symmetry is not enough to separate the perturbation equation.

However, in some cases, the symmetry is enhanced and the perturbation equation of the Myers-Perry spacetime becomes separable.

Myers-Perry BH 安定性解析の歩み

Kunduri, Lucietti & Reall, (2006)

KM & Soda (2008)

dimensionangular momenta

mode

D=7,9,11,...

D=5

tenor modes of (D-3)-dimensional base space

some lower modes and superradiant modes

any すべてゼロつまり Sch BH

all modes

stability

stable

Λ=0 : stable

Λ<0 : unstable

Λ=0 : stable

Λ<0 : unstable

D>=7other = 0

tenor modes of (D-4)-dimensional base space

Λ=0 : stable

Λ<0 : unstable

Ishibashi & Kodama (2003)

Kodama, Konoplya & Zhidenko (2009)

D>=7 で三つ以上の角運動量が等しい場合、tensor mode の変数分離性が示されている。 Oota & Yasui (2008)

いずれの研究も摂動方程式の変数分離性を用いている。

Myers-Perry BH with single rotation parameter

part is homogeneous. t, φ directions are also homogeneous.

r, θ directions are inhomogeneous.

This spacetime is cohomogineity – 2.

≒ 4D Kerr

The perturbation equation is given by PDE of (r, θ).

large angular momentum

Myers-Perry BH

pancake like BH

(Emparan & Myers, 2003)

Gregory-Laflamme instability?

Myers-Perry BH with a large angular momentum may be unstable.

≒ 　 black brane

Myers-Perry BH の不安定性( 定性的理解 )

5 次元 MPBH の軸対称摂動は安定

5D 、定常、二つの可換な回転対称性、ホライズンが球形

森澤、井田 (2004)Myres-Perry BH

5 次元の Myres-Perry に定常軸対称摂動は存在しない。

軸対称摂動に対して、 MPBH は安定

D>=6 を考える。

Teokolsky formalism は高次元 Kerr に使えないのか ?

この球面部分の s-mode のみ考える。

EOM

4D Kerr ではこのターム達はなかった

Ricci tensor からの寄与

上の式だけでは方程式が閉じない。

式の数が膨大に。 変数分離性はよく分らない ...

我々のアプローチ

変数分離は諦めて、摂動方程式を数値的に解いてしまおう。

O.Dias et al. (2009) 　で d=7,8,9 の計算はやられている。

with 棚橋典大 , 田中貴浩

small angular momentum large angular momentum

stableunstable

At a critical value of the angular momentum,

there must be a stationary perturbation.

The existence of deformed Myers-Perry BHs

The existence of instability of Myers-Perry BHs

deformed Myers-Perry BH

ブラック赤血球

We would like to find such a deformed Myers-Perry BH by the perturbation.

stationary perturbation

background metric

perturb

perturbation variables They are functions of (r, θ).

This perturbation retains the symmetry of the background solution.

perturbation equation

Variables with tilde are perturbed variable.

where

constraint equations

These constrants satisfy Cauchy-Riemann equations

If we impose constrants at boundaries,constrants are satisfied in whole region.

We rewrite the perturbation equation abstractly as

derivative operator

How to solve perturbation equations

To solve this elliptic equation, we modify the equation as

set of perturbation variables

solution initial function

the largest eigen value of eigen function

We solve the ‘‘time evolution” numerically and trace the eigen value with various angular momenta.

If the eigen value crosses the zero, it means the onset of the instability.

Result in d=7onset of instability不安定性を意味しな

い

a = 1.41

a = 3.09

ゼロモード

a=1.41 のゼロモードは不安定性を意味しない

我々の数値計算では、自明に存在する mass perturbation と angular momentum perturbationを取り除くために、摂動でホライズンの温度 T と角速度 Ω が変わらないという条件を課している。

しかし、 Jacobian を計算すると、

では、 (T,Ω) を固定しても (M,J) は固定されない。

よって、 a/r_+ = 1.41 (d=7) では、自明な定常摂動が見つかってしまう。

a/r_+ = 3.09 が不安定性の onset

O.Dias et al. (2009) と同じ結果

結果

a/r_+ = 3.09 (d=7)

a/r_+ = 4.06 (d=6)

Myers-Perry BH の軸対称不安定性の onset は、

O.Dias et al. (2009) では得られていない結果

New black hole phase

We found the stationary perturbation. instability of Myers-Perry BHs

existence of new BH phase

If is a stationary perturbation,

is also a stationary perturbation.

Phase structure

?

?

Area ofthe horizon

Angular momentum

Myers-Perry BH phase

Future problem: We must construct new BH solutions and reveal the phase structure of higher dimensional BHs.

Mass is fixed

この formalism は black ring にも適用できるか ?

5D 、定常、二つの可換な回転対称性、ホライズンが S^2 × S^1

森澤、富沢、安井 (2007)Pomeransky-Sen’kov black ring

black ring には、定常軸対称摂動はない。

我々の手法はそのままでは使えない。

Ring 半径

ω^2 ω^2

or

black ring の軸対称摂動は角運動量に依らず常に安定、もしくは不安定。

摂動の時間依存性を入れた解析が必要。

Ring 半径

安定か不安定かを調べるだけなら、ある limit で安定性解析をすれば良い。

もしくは、

問題が簡単化する可能性

Summary and Future work

Myres-Perry black hole に関してはだんだんと ( 不 ) 安定性が分かってきた。Myers-Perry BH の不安定性から、 D>=6 では多くのブラックホール解が存在することが示唆される。

...

D>=6 での厳密解の構成法の確立

数値計算での解の構成

black ring の安定性は、ほとんど何も分かっていない。 Myers-Perry で用いた手法の応

用頭を使って問題を簡単化

Numerical Relativity

高次元ブラックホールはやれることがなくなったか？

難しさ

面白さ

問題が解かれるたびに新たな問題が浮上するという状況。

問題は難しいが、努力すればそれなりに面白い結果が得られる。

?

まだ、それほど悲観する状況ではない。

Summary and Future work

We studied the dynamical instability of Myers-Perry BHs with single rotation parameter.

We found the onset of the instability in d=6, 7 dimesnions.

d=6 : d=7 :

Our results also suggest the existence of the new BH phase.

other dimensions

Kerr-AdS BH AdS/CFTfuture work

future workconstruction of the BH solution in nonlinear regime

高次元ブラックホールの ( 不 ) 安定性

回転のないブラックホール

高次元 Schwarzschild ブラックホール

安定

ブラックストリング解

Schwarzschild 時空 余剰次元

(Ishibashi & Kodama, 2003)

摂動

even モードの　　　　　　モード

シュレーディンガータイプのマスター方程式

4 次元 Schwarzschild との違いは余剰次元の存在だけ。

でモード展開すれば良い。

k=0.2

k=0.4

k=0.6

負エネルギー束縛状態の存在

のモードが存在

ブラックストリングは不安定 (Gregory-Laflamme 不安定性 )

高次元ブラックホールは安定であるとは限らない。

Results2

D = 7

onset of instability

d=8 , 9, 10 ...

work in progress

Results1

D = 6 The is the Kerr parameter defined by

onset of instability