２次元ハバード模型の変分ＭＣ計算による高温超伝導の研究

山地 邦彦、　柳澤 孝産総研・エレクトロニクス研究部門・凝縮物性グループ

1. イントロダクション

2. LSCO 型バンドの場合の計算結果

3. Bi2212 型バンドの場合 の計算結果

4. まとめと今後の課題

高温超伝導体のモデル

酸素p 軌道

銅 d 軌道

CuO2面

Ud

２次元ハバード模型に簡単化

ttt't't"t"UřŴ

背景と経緯

1) P. W. Anderson が最初に２次元ハバード模型で銅酸化物の高温超伝導が説明できる筈（ミニマル・モデル）と予想した。 U ~ 8t ?

2) U << 8t の弱結合の極限では、 ２次元ハバード模型では d 波超伝導が支配的である ( 近藤淳）。弱結合の FLEX 理論などが超伝導出現を示唆。

3) U >> 8t の強結合の極限では、模型は t-J 模型に変換、超伝導出現が導出される。直接的にも導出された。

4) しかし比熱 と臨界磁場から決まる超伝導凝縮エネルギー の実験値、例えば、 YBCO の 0.26 meV/Cu 、に比べて２桁程大き過ぎる。

5) U ~ 8t の場合、変分モンテカルロ（ VMC ）計算によると、 d 波超伝導が局所ミニマム・エネルギー状態にはなる。しかし競合する SDW に勝つバンドパラメーター領域が狭い。

5) 中性子線散乱でスピン波を測った実験から、 U ~ 6t というモデレートな値の U が示唆された。

背景と経緯 2 6) U ~ 6t の場合、超伝導凝縮エネルギーの計算値は実験値のオーダーに

なり、超伝導が SDW に勝つパラメーター領域が十分にありそうである。

7) U ~ 6t でも解析的な理論は困難。変分モンテカルロ（ VMC ）計算では可能で、大きなサイズの格子が取り扱え、バルク極限が検討できる。

8) 超伝導か SDW かはバンドパラメーターに強く依存。 VMC 計算で取り扱える。

9) 最適ホールドープ量 16 ％、電子密度 、の場合に計算。超伝

導凝縮エネルギー Econd(SC) が の関数としてほぼ最大であり、磁気

相の共存などがない簡単な状況である。

10) La214 系と Bi2212 系という大きく異なる２種の典型的なバンドで VM

C 計算により超伝導出現を示唆する結果が得られた。

11) 現在は Bi2212 系バンドの場合の格子サイズ依存性からバルク極限の決定を研究中。

2D Hubbard Model

H =−t jσ†c lσc +H.c.( )

<jl>,σ∑ −t' jσ

†c lσc +H.c.( )<<jl>>,σ

∑

−t" jσ†c lσc +H.c.( )

<<<jl>>>,σ∑ +U

j↑†c j↑c

j∑

j↓†c j↓c

Variational Monte Carlo Method

sΨ = eNP •j

Π 1−(1−g) j↑n j↓n( )•kΠ ku + kv k↑

†ck↓†c( ) 0 ,

ku kv = kΔ kξ + k2ξ + k

2Δ⎛ ⎝

⎞ ⎠ , kΔ =Δ(cos xk −cos yk ),

kξ =−2t cos xk +cos yk( )−4t' cos xk cos yk −2t" cos x2k +cos2 yk( )−μ

Total energy: gE = H ≡ sΨ H sΨ sΨ sΨ

Condensation energy: condE = gE (normal)− gE (SC)( ) siteN

凝縮エネルギー Econd の決め方

-0.738

-0.737

-0.736

-0.735

-0.734

-0.733

-0.732

-0.731

0 0.05 0.1 0.15

d(opt)

s*(opt)

s(opt)

normal

Eg

/Ns

Δ

....................................................↑

↓E

cond

フェルミ面の２典型

T. Tohyama and S. Maekawa, Supercond. Sci. Technol. 13, R17 (2000) (Broken curve for half-filling; solid curve for 30 % hole doping)T. Tanamoto et al., J. Phys. Soc. Jpn. 61, 1886 (1992)

LSCOt’/t = 0.12t”/t = 0.08

Bi2212 ( および NCCO)t’/t = 0.34t”/t = 0.23

LSCO型バンドの場合の計算結果

　 t’~.10　 t” =0

　 T. Tohyama and S. Maekawa, Supercond. Sci. Technol. 13, R17 (2000)

(Broken curve for half-filling; solid curve for 30 % hole doping)

SC & SDW Econd vs t’ t”=0, .84, U=6, 10, p. & antip. b.c.

0.10 ≦ t’ ≦ 0.05

の狭い領域で一様な超伝導

.45 < t’< .1 の時 (, 0) と (0,) ( van Hove特異点の間の「ネスティング」による SDWが支配的

t’>0 の時、 ( /2, /2) 及び (- /2, - /2) 周辺のフェルミ面のネスティングなどによる SDW が支配的

0

0.004

0.008

0.012

0.016

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2

SC

SDW

Econd

t'

YBCO →

U=5、 =.84 の場合の超伝導・ SDW凝縮エネルギー (2)

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

SC Econd

vs 1/Ns (=.84, =5,U t' =−.5)

Econd

Econd

1/Ns

=1L12

14

16

182

=22L

Å©YBCO

１電子準位の分布

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0

22x22.da

t'

E

εk as a function of t'

Å©εF

１電子準位の分布が特異的

クラスターのサイズ、形、境界条件の影響

まだサイズ効果が残る

サイズ効果克服は今後の課題

Bi2212 型バンドの場合の計算結果

• Bi2212, YBCO, NCCO• t’/t ~ 0.34• t”/t ~ 0.23

T. Tohyama and S. Maekawa, Supercond. Sci. Technol. 13, R17 (2000) (Broken curve for half-filling; solid curve for 30 % hole doping)

Jastrow型の再近接サイト間の相関因子

sΨ = eNP<ij>Π in jnh GP BCS

ψi, jサイトは再近接サイトh は変分パラメター

全系のエネルギーは大きく改善 (~0.02/site) 。

SC Econd は増大し、 SDW Econd は減少する。

U ~ 6 の時、数割の改善。

U ~ 12 の時は定性的変化。

Econd(SC) と Econd(SDW) の格子サイズ依存性

• Bi2212 型のバンドの場合、 Econd(SC) と Econd(SDW) が 格子サイズ LLに敏感

0.22 t’ 0では Pavarini らに倣って t’= 2t”を仮定

0.45 < t’ .22 では t’+0.34= 1.5(t” 0.23)

• L=10 ~ 20の格子の Econd(SC) と Econd(SDW) を計算

Econd(SDW) の強い格子サイズ依存性

0

0.005

0.01

0.015

0.02

-0.4 -0.32 -0.24 -0.16 -0.08 0

L=10

L=12

L=14

L=16

L=18

L=20

Econd

(SDW)

t'

L=10

L=12

L=14

L=16

18

L=20

Econd(SC) & Econd(SDW) versus t’ at 〜0.84

　 Econd(SDW) は

L = 16 以上でほぼ収束。 L=20 の結果はバルク極限と見なせる。

　 .18 < t’ < 6

で Econd(SDW)

が有限で、 Econ

d(SC) より圧倒

的に大きい。。

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0

Econd

(SC,L=18,t"=-t'/2)

Econd

(SC,L=18,t"≅-2 /3)t'

Econd

( , =2, "=- /2))SDW L t t'

Econd

t'

®YBCO Å

Bi2212-type band 2 (vertical scale expanded)

　 Bi2212 型のバンドでは t’= 0.34, t”=0.23

　 SC Econd は t’ ~

.30 の時 YBCO の実験値に近い。

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0

Econd

(SC,L=18,t"=-t'/2)

Econd

(SC,L=18,t"≅-2 /3)t'

Econd

( , =2, "=- /2)SDW L t t'

Econd

t'

®YBCO Å

™Å2212Bi

™ÅLSCO

Econd(SC, t’=.34, t”=.23 84, U=6) vs 1/L2

Jastrow型の試行関

数の与える Econd

は L~20では L 増大と共に 増大する傾向を見せるので、有限なバルク極限を与えると予想される。

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

0.0035

0.004

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

Econd

(long-range Jastrow)

Econd

(Jastrow)

Econd

(Gutzwiller)

Econd

1/L**2

L=12

141618

20

L=10

t'=-.34 t"=.23 U=6

Econd(SC, t’=.31, t”=.21, 84, U=6)

　 両方向とも周期境界条件の場合の SC Econd は L~20において強い L 依存性を示している。

　 両方向とも周期境界条件（赤●）と両方向とも反周期境界条件（青■）のSC Econd の平均値（緑◆）の L 依存性ははるかに緩やかで、 ~0.0007 のバルク極限の存在を示唆する。その値は YBCOの実験値に近い。

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

U=6 t'=-.31 t"=21p.b.c.

a.p.b.c.

average

Econd

1/L**2

L=10

12

14

161820

YBCO Å®

強いＬ依存性の原因： (0, ) 近傍の Ek のグループ化

Ek in k-space (periodic & periodic b.c.’s )

.

Econd のＬ依存性（ pbc & pbc の場合）

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

5 10 15 20 25 30

Econd

=E0+E

1/L^a*cos(2 ( -L L

)/1))( & )pbc pbc

Econd

L

Econd のＬ依存性（ apbc & apbc の場合）

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.0012

0.0014

5 10 15 20 25 30

Econd

=E0+E

1/L^a*cos(2 ( -L L

)/12))( & )apbc apbc

Econd

L

[ ± _Ç ÇÃì ÇæÇØâºíËÇÃílÅv

アンダードープ領域ではどんな現象が起こっているのか？広い範囲で、磁性現象（帯磁率の増大） ==> 超伝導

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0

SC Econd

SDW Econd

SDW Econd

(underdope)?

Econd

t'

Å©Å@Å®stripes

Å©Å@ pseudogap Å®

まとめと今後の課題• 変分モンテカルロ法でモデレートな U=6t の２次元ハバードの超伝導凝

縮エネルギー Econd を計算して、 LSCO型と Bi2212 型のバンドの場合に

実験値に近い値を得た。

• 格子の辺Ｌが 20 位の大きな格子でも Econd は強い L依存性を示した。 L依存性が裸のバンド・エネルギーのサイズ依存性（グループ化）に起因し、 L依存性を除いてバルク極限が推測できそうである。

• このために計算時間とメモリーの制約を克服して L 〜 28 位まで計算したい。

• Bi2212 型バンドの場合、 2 GFLOPS の CPU〜 24個（ Blue Gene 12 nodes, or SR11000 2 nodes) を 1〜 2日位走らせる必要がある。　　　　　　　　　　　 (SC, normal)×(pbc, apbc)×(L=24, 26, 28) ==> 20 days

• 同様にして、 LSCO型バンドと電子ドープ系の場合の Econd のバルク極限

を研究したい。

• 将来的には、アンダードープ領域のストライプ状態と擬ギャプ状態を取り扱い、光電子分光の実験の解明に寄与できる。

U ~ 6t in undoped La2CuO4?

(1) Neutron diffraction experiment revealed that the spin wave energy at (, 0) of La2CuO4

is larger that that at ( /2, /2). The order of the spin wave energies were well reproduced by the 2D Hubbard model with U ~ 6 (energy unit in t ) but not by the t-J, or Heisenberg, model. 　　　 R. Coldea et al., Phys. Rev. Lett. 86, 5377 (2001)

P. Sengupta et al., Phys. Rev. B 66, 144420 (2002)　 N. M. Peres et al., Phys. Rev. B 65, 132404 (2002)

(2) U ~ 4.5 gives a good fitting to ARPES data of SrCuO2. N. Tomita et al., private commun; M. Yamazaki et al., J. Phys.

Soc. Jpn. 72, 611 (2003)

(3) Metallicity in non-doped T’-La2-xRExCuO4 suggests moderate U.

Nearest-neighbor correlation factor(Jastrow-type trial wave function)

€

sΨ = eNP<ij>Π in jnh GP BCS

ψSites i, j are nearest neighborh is a variational parameter

Total energies are much improved (~0.02/site);SDW Econd decreases and SC Econd is improved slightly when U ~ 6 and largely when U ~ 12.Yamaji, Yanagisawa & Koike: J. Phys. Chem. Sol. 62 (’01) 237

H. Yokoyama et al.: similar trial wave function Ｑ JPSJ 73 (’04)1119 More detailed correlation factors up to third neighbor were examined but did not much improve the SC Econd. Jastrow-type gives a slightly better SC Econd among all so we use it

here.

Lattice Size Dependence (t’=-2t’=-0.05)

0

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.0005

0.0006

0.0007

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

U=6, t'=-2t"=-0.05

Esc

Econd

(sc)

1/L**2

L=10

12

14

1618

L=20

比較：Gutzwiller vs Jastrow (No. 2)

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.0012

0.0014

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

Econd

(SC) for Gutzwiller- & Jastrow-Type FunctionsÅ@(t'=-.05)

SC(Gutzwiller)

SC(Jastrow)

Econd

(SC)

1/L**2

Breakdown of spin density wave (SDW)

4(t’-t”)

4t”

upper band

lower band

criterion for vanishing of SDW

When SDW is formed with (, )and gap parameter M0

When t’ is taken into acount, t’-2t” gives the degree of breakdown of Fermi surface nesting

kε = − 2 t (cos

xk + cosyk ) − 4 t ' cos

xk cosyk − 2 t " (cos 2

xk + cos 2yk )

k

ε = 4 t ' − 4 t " when k =(π, 0).

k

ε = 4 t " when k =(π/2, π/2).

When 4 | t' − 2t" | > 2M0

(M0 is SDW gap amplitude at T=0 K),SDW is destabilized so that SDW tends to vanish.

Role of t’ is played by t’ − 2t” when t” comes in.

Δ(SC, av, t’=-.31, t”=.21 84, U=6)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

U=6 t'=-.31 t"=.21Dpbc

Dapbc

Dav

Δ

1/ **2L

=1L

12

14

16182