1. 概念

.,),,( 000 的增量称为自变量在点 xxxxxUx

.)(),()( 0 的增量相应于称为函数 xxfxfxfy

一、函数的连续性

x

y

0 0x xx 0

)(xfy

xy

x

y

0 0x xx 0

x

y

)(xfy

曲线不断 曲线断开

.),()( 0 内有定义在设函数 xUxf

函数 f(x) 随 x 的改变而逐渐改变 有突变现象

第九节 函数的连续性与间断点

2. 连续的定义定义 1 设函数 )( xf 在 )( 0xU 内有定义,如

果当自变量的增量 x 趋向于零时,对应的函

数的增量 y 也趋向于零,即 0lim0

yx

或

0)]()([lim 000

xfxxfx

,那末就称函数

)( xf 在点 x0连续,x0称为 )( xf 的连续点.

,0 xxx 设 ),()( 0xfxfy

,0 0xxx 就是 ).()(0 0xfxfy 就是

注： 1) 函数 f(x) 在 x0 连续的等价写法 ( 满足定义 1 的条件 ):

.)()(lim 000

xfxxfx

.)()(lim 00

xfxfxx

2) 若 y = f (x) 在 x0 处不连续，则称 y = f(x) 在 x0 处间断。

.)()(

,,0,0:

0

0

xfxf

xx

恒有

时使当即

3) 极限与连续的关系 : 极限 连续

连续函数必有极限 , 有极限不一定是连续函数 . 例如.0/sin,1/sinlim

0处不连续在但函数

xxxxx

x

;)(lim0

Axfxx

.)()(lim 00

xfxfxx

例 1

.

0,0,0

,0,1

sin)(

处连续

在试证函数

xx

xx

xxf

证 ,01

sinlim0

x

xx

,0)0( f又

.0)( 处连续在函数 xxf

),0()(lim0

fxfx

3. 单侧连续

;)(

),()0(,],()(

0

000

处左连续在点则称且内有定义在若函数

xxf

xfxfxaxf

定理.

)()( 00

处既左连续又右连续在是函数处连续在函数 xxfxxf

.)(

),()0(,),[)(

0

000

处右连续在点则称且内有定义在若函数

xxf

xfxfbxxf

例 2

.0,0,0

,0,)(

/1

处的连续性在讨论函数

xx

xexf

x

解 0lim)(lim /1

00

x

xxexf ),0(f

),0(f

右连续但不左连续 ,

.0)( 处不连续在点故函数 xxf

x

xxexf /1

00lim)(lim

4. 连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数 , 叫做在该区间上的连续函数 , 或者说函数在该区间上连续 .

.],[)(

,,

,),(

上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续

并且在左端点内连续如果函数在开区间

baxf

bxax

ba

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 .

例如 , 基本初等函数在其定义域上连续 , 初等函数在其定义区间上连续 .

例 3 .),(sin 内连续在区间函数证明 xy

证 ),,( x任取

xxxy sin)sin( )2

cos(2

sin2x

xx

,1)2

cos(

x

x .2

sin2x

y

则

,0, 时当对任意的 ,sin 有

,2

sin2 xx

y

故 .0,0 yx 时当

.),(sin 都是连续的对任意函数即 xxy

例 4. 设

0,sin

0,)(

2

xxbx

xbxaxf

bxbx

x

sinlim

0abxa

x

)(lim 2

0解：

.ba

在 x=0 处连续，求常数 a 与 b 应满足的关系。

:)( 0 条件处连续必须满足的三个在点函数 xxf

;)()1( 0处有定义在点xxf

;)(lim)2(0

存在xfxx

).()(lim)3( 00

xfxfxx

).()(

),()(

,

00

或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数

则称要有一个不满足如果上述三个条件中只

xf

xxxf

二、函数的间断点

1. 跳跃间断点

.)(

),0()0(,

,)(

000

0

的跳跃间断点为函数则称点但存在右极限都处左在点如果

xf

xxfxf

xxf

例 4 .0,0,1

,0,)( 处的连续性在讨论函数

xxx

xxxf

解 ,0)00( f ,1)00( f

),00()00( ff

.0为函数的跳跃间断点 x o x

y

2. 可去间断点

.)(

)(),()(lim

,)(

0

00

0

0

的可去间断点为函数义则称点

处无定在点或但处的极限存在在点如果

xfx

xxfxfAxf

xxf

xx

例 5

.1

,1,11

,10

,1

,2)(

处的连续性在

讨论函数

x

xxx

xxxf

o x

y

1

1

2

xy 1

xy 2

解 ,1)1( f ,2)01( f ,2)01( f

2)(lim1

xfx

),1(f .0为函数的可去间断点 x

如例 5 中 , ,2)1( f令

.1

,1,1

,10,2)(

处连续在

则

x

xx

xxxf

跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点 .

特点 .0处的左、右极限都存在函数在点 x

o x

y

1

1

2

注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义 , 则可使其变为连续点 .

3. 第二类间断点

.)(

,

)(

0

0

的第二类间断点

为函数则称点在右极限至少有一个不存

处的左、在点如果

xf

x

xxf

例 6 .0,0,

,0,1

)( 处的连续性在讨论函数

xxx

xxxf

解

o x

y

,0)00( f ,)00( f

.1为函数的第二类间断点 x

.断点这种情况称为无穷间

例 7 .01

sin)( 处的连续性在讨论函数 xx

xf

解

xy

1sin

,0处没有定义在 x

.1

sinlim0

不存在且xx

.0为第二类间断点 x

.断点这种情况称为的振荡间

注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点 .

,,0

,,1)(

是无理数时当是有理数时当

x

xxDy

狄利克雷函数

在定义域 R 内每一点处都间断 , 且都是第二类间断点 .

,,

,,)(

是无理数时当是有理数时当

xx

xxxf

★

★

仅在 x=0 处连续 , 在定义域 R 内其余各点处处间断 . 但其绝对值处处连续 .

例 8 研究下列函数在 x=0 的连续性，若是间断的，指出间断点类型。

.0,1

0,sin

)()1

x

xx

xxf

（ a 为任意实数）

.

0,1

0,sin

)()2

x

xx

x

xf

.0,

0,1

sin)()3

xa

xxxf .

0,

0,1

sin)()4

xa

xx

xxf

1sin

lim)(lim00

x

xxf

xx

.0),0()(lim0

是连续点

xfxfx

解： 1)

1||

sinlim)(lim

0000

x

xxf

xxx=0 为第一类间断点。

xx

1sinlim

0 不存在，∴ x=0 为第二类间断点。

4 ） 01

sinlim0

x

xx

∴ 当 a=0 时 f4(x) 在 x=0 处连续。

a≠0 时 x=0 为 f(x) 的可去间断点。

1sin

lim||

sinlim)(lim

000000

x

x

x

xxf

xxx2)

3 ）

小结

1. 函数在一点连续必须满足的三个条件 ;

3. 间断点的分类与判别 ;

2. 区间上的连续函数 ;

第一类间断点 : 可去型 , 跳跃型 .

第二类间断点 : 无穷型 , 振荡型 .

间断点

( 见下图 )

可去型第一类间断

点

o

y

x

跳跃型

无穷型 振荡型

第二类间断

点

o

y

x0x

o

y

x0x

o

y

x0x

思考题

2、若)(xf在0x连续，则|)(|xf、)(2xf在0x是否连续？又若|)(|xf、)(2xf在0x连续，)(xf在0x是否连续？

1、 指出)1( 2

2

xx

xxy 在 0x 是第__类间断点；在

1x 是第__类间断点；在 1x 是第__类间断点 .

思考题解答

)(xf在0x连续， )()(lim 00

xfxfxx

)()()()(0 00 xfxfxfxf 且

)()(lim 00

xfxfxx

)(lim)(lim)(lim

000

2 xfxfxfxxxxxx

)( 02 xf

故|)(|xf、)(2xf在0x都连续.

1 、一类；一类；二类。

2 、

但反之不成立 .

例

0,1

0,1)(

x

xxf 在00x 不连续

但 |)(| xf、)(2xf在00x连续