第三章连续时间信号与系统的频域分析 · 浙江大学控制科学与工程学系...
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浙江大学控制科学与工程学系
信号与系统 Signals and Systems
第三章连续时间信号与系统的频域分析
Chapter 3 The Frequency Domain Analysis of
Continuous Signal and System
控制系网络课程平台：http://www.cse.zju.edu.cn/eclass/signal_system/
本章主要内容
LTI系统k kk
输入函数输出
k ––特征函数
k––特征值或系统函数(传递函数）
(1) 连续时间LTI系统的特征函数
(2) 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
(3) 非周期信号的表示：连续时间信号的傅里叶变换
(4) 周期信号的傅里叶变换
stLTIst esHe )(
00
2
T
k
tjkkeatx ,)( 0
0
0)(1
0T
tjkk dtetx
Ta
dtetxjX tj)()(
dejXtx tj)(2
1)(
FT变换对
kk kajX )(2)( 0 ––周期信号的FT公式
kk
k
tjkk kaea )(2 0
0 F
(频域为冲激函数的线性组合)
本章主要内容
(1) 连续时间LTI系统的特征函数
(2) 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
(3) 非周期信号的表示：连续时间信号的傅里叶变换
(4) 周期信号的傅里叶变换
(5) 傅里叶变换的性质
(6) 连续时间LTI系统的频域分析
)()()()( 22112211 jXajXatxatxa F（1）线性性质：
（2）时移特性： 00 )(
0 )()()(tjtjF ejXjXettx
（3）频移特性 ))(()( 00
jXtxe Ftj
)()( jXtxF
4
傅里叶变换的性质（5-1）
5
(1) 若x(t)为实信号, 即x(t)=x(t) )()( jXjX)()( jXjX
)()()( jXjejXjX 若：
)](Im[)](Re[)( jXjjXjX 若：
)()( jXjX
)()( jXjX
幅度谱偶对称
相位谱奇对称
(2) 若x(t)为实偶信号, 即x(t)=x(t)且x(-t)=x(t) )()( jXtxF
x(t)=x(t)
x(-t)=x(t)
实
偶
)](Re[)](Re[ jXjX
)](Im[)](Im[ jXjX
实部偶对称
虚部奇对称
(3) 若x(t)为实奇信号, 即x(t)=x(t)且x(-t)=-x(t)
)()( jXjX
)()( jXjX
实
偶
x(t)=x(t)
x(-t)=-x(t)
实
奇
)()( jXjX 虚
奇)()( jXjX
(4) )()()( txtxtx oe )}(Im{)}(Re{)( jXjjXjX
)}(Re{)( jXtxeF
)}(Im{)( jXjtxoF
傅里叶变换的性质（5-2）
（4）共轭性质：
（5）微分与积分
微分： )()(
jXjdt
tdx F 推广 )(
)( jXj
dt
txd nF
n
n
积分： )()0()(1
)(
XjXj
dx Ft
频域上分析微分方程表
示的系统
)()( jXtxF
由积分产生的
直流分量
傅里叶变换的性质（5-3）
6
（6）时间与频率的尺度变换 )(1
)(a
jX
aatx F
)()(1
jaXa
tx
a
F
)()( jXtx F 时域反褶频域反褶
说明：时域压缩频域扩展
时域扩展频域压缩时域和频域存在互反关系
)()()( XjXtxF
)(2)( xtXF
重要对偶关系式
)()( 00
jXettx
tjF))(()( 0
0
jXtxetj F
)()0()(1
)(
XjXj
dx Ft
djXtxtxjt
F )()()0()(1
)()(
jXjdt
tdx F
d
jdXtjtx F )()(
1)( Ft )(21 F
cc
Fc TcT
else
Tttx sin2
0
1)(
else
tc
cFcc
0
1sin
熟悉常用信号的变换对，利用对偶关系往往可简化F变换。7
（7）对偶性
傅里叶变换的性质（5-4）
8
傅里叶变换的性质（5-5）
（8）帕斯瓦尔定理（Parseval’s Relation ） ––能量守恒
)()( jXtx F
djXdttx
22)(
2
1)(
信号在时域拥有的总能量 = 频谱在单位频率内能量 的总和)2/)((2
jX
对于周期信号：
k
kT
adttxT
22
00
)(1
周期信号平均功率 = 各谐波频率分量平均功率之和
0
0 0
2 2 2
0 0
1 1jk t
k k kT T
a e dt a dt aT T
例3-19 已知X1(jω)和X2(jω).
ω-1 -0.5 0.5
X1(jω)
1
2求
dttxE
2
1 )(
解:
8
54/
2
1)(
2
1)(
1
5.0
5.0
5.0
5.0
1
2
1
2
1
ddddjXdttxE
9
傅里叶变换的性质（5-6）
（9）时域卷积性质
)()( jXtx F
)()( jHth F )()()(*)( jHjXthtx F
频域系统分析
时域卷积 频域相乘
（10）调制性质（频域卷积）
)()( 11 jXtx F
)()( 22 jXtx F
一个信号被另一个信号相乘, 可以理解为用一个信号去调制另一个信号的振幅––调制性质
)(*)(2
1)()( 2121
jXjXtxtx F
傅里叶变换的性质（5-7）
例
t
tWtx i
sin)( ?)()()( thtxty
t
tWth c
sin)(
0
X(j)
Wi-Wi
1
0
H(j)
Wc-Wc
1 =
0
Y(j)
Wo-Wo
1
Wo=min(Wi, Wc)
t
tWty o
sin)(
FT-1
10
注意到：在此应用时域卷积性
质会使问题的求解变得容易。
本章主要内容
(1) 连续时间LTI系统的特征函数
(2) 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
(3) 非周期信号的表示：连续时间信号的傅里叶变换
(4) 周期信号的傅里叶变换
(5) 傅里叶变换的性质
(6) 连续时间LTI系统的频域分析
连续时间LTI系统的频域分析
——基本内容
12
连续时间LTI系统的频率响应
连续时间LTI系统的零状态响应的频率求解
用线性常系数微分方程表征的LTI系统
周期信号激励下的系统响应
电路系统的频域求解
信号的不失真传输
信号的滤波与理想滤波器
连续时间LTI系统的频率响应（1）
13
定义：对于一个冲激响应为h(t)的LTI系统，其Fourier变换H(jω)称为
LTI系统的频率响应（简称频响），是特征函数ejωt的特征值。
H(jω)X(jω) Y(jω) 系统对某一频率为ω的信号的响应特性由其频率
响应H(jω)的特性来决定。
)()( jHth F定义1： 定义2：
)(
)()(
jX
jYjH zs
*1. 频域相乘是无顺序的级联系统总的频率响应等于各单个子
系统频率响应的乘积
*2. LTI系统的频域分析法适用于稳定系统。
)()()( jejHjH
幅频特性（放大特性）
相频特性（延时特性）
)()()( jXjHjY )()()( jjj XHY
连续时间LTI系统的频率响应（2）
14
例3-25 (P117) 求微分器的频率响应H(jω)。
解：微分器可以表示为：
dt
tdxty
)()( Fourier 变换 )()( jXjjY
j
jX
jYjH
)(
)()(
例3-26 (P117) 求积分器的频率响应H(jω)。
解：积分器可以表示为：
)(*)()()( tutxdxtyt
)()( tuth )(
1)(
jjH
例3-27 (P118) 求延时系统的频率响应H(jω)。
解：延时系统可以表示为：
)()( 0ttxty Fourier 变换 )()( 0 jXejY
tj
0
)(
)()(
tje
jX
jYjH
)633( )()( tth
)()( 0ttth
连续时间LTI系统的零状态响应频率求解（1）
15
时域上：卷积积分
LTI系统的零状态响应
频域上： 卷积性质输出信号y(t)的频谱
反变换
h(t)
H(jω)频域：X(jω) Y(jω)= X(jω)H (jω)
时域：x(t) y(t)=x(t)*h(t)
y(t)=Y-1(jω)
连续时间LTI系统的零状态响应频率求解（2）
16
例3-28 (P119) 因果LTI系统输入信号 的零状态响应为
,求频率响应H(jω)和 h(t)。
)()( 2 tuetx t
)(2
1)( 3 tueety tt
解：分别求输入x(t)和输出y(t)的傅里叶变换
jjXtuetx Ft
2
1)()()( 2
jjjj
jYtueety Ftt
31
1
3
1
1
1
2
1)()(
2
1)( 3
jjjj
j
jX
jYjH
3
21
1
21
31
2
)(
)()(
)(2
1)( 3 tueeth tt
用线性常系数微分方程表征的LTI系统（1）
17
线性常系数微分方程：
M
kk
k
k
N
kk
k
kdt
txdb
dt
tyda
00
)()(
微分方程频率响应？方程频域求解？假定系统是稳定因果的。
对微分方程两边取Fourier变换，注意到如下性质：
线性性质
微分性质
)()()()( 2121 jbXjaXtbxtax F
)()()(
jXjdt
txd kF
k
k
)()()()(00
jXjbjYjaM
k
k
k
N
k
k
k
N
k
k
k
M
k
k
k
ja
jb
jX
jYjH
0
0
)(
)(
)(
)()(
用线性常系数微分方程表征的LTI系统（2）
18
例3-29 (P120) 因果LTI系统 ,求该系
统的频率响应和单位冲激响应。
)()(
)()()(
txdt
tdxty
dt
tdy
dt
tyd 223
2
2
解：系统的频率响应2)(3)(
1)(2
)(
)()(
2
jj
j
jX
jYjH
单位冲激响应h(t)可以用H(jω)的Fourier反变换获得
jjjj
j
jX
jYjH
2
3
1
1
2)(3)(
1)(2
)(
)()(
2
jatue
Fat
1
)(
)(3)( tueeth tt
用线性常系数微分方程表征的LTI系统（3）
19
例3-30 (P120) 因果LTI系统 ，当输入信号
且系统初始静止，求系统输出y(t)。
)(2)(
)(3)(
4)(
2
2
txdt
tdxty
dt
tdy
dt
tyd
)()( tuetx t
解题思路：H(jω), X(jω) Y(jω) y(t)
3)(4)(
2)(
)(
)()(
2
jj
j
jX
jYjH
jjXtuetx
Ft
1
1)()()(
)3()1(
2)()()(
2
jj
jjXjHjY
311)(
2
j
C
j
B
j
AjY
2
1)1)((
1
2
j
jjYB
3
1( )( 3)
4jC Y j j
A＝？
将已求得的B和C代入上述方程, 并令j=0得
12
1
2
1
3
2 A
4
1A
)(4
1
2
1
4
1)( 3 tueteety ttt
周期信号激励下的系统响应（1）
20
LTI系统
h(t)
stestesH )(
tje tjejH )(
思路：
周期信号输入 傅里叶级数
系统输出响应特征函数性质
线性性质
k
tjk
k
k
tjk
k
LTI
k
tjk
k ebejkHatyeatx 000 )()()( 0
)( 0jkHab kk 周期信号{ak} LTI 周期信号{akH(jkω0)}
?)sincos()(
1
000
LTI
k
kk tkCtkBBtx
周期信号的三角函数表示的响应：
方法：先求取cosω0t和sinω0t的响应特性，然后按照线性性质，即可求
出三角函数形式的周期信号的响应。
周期信号激励下的系统响应（2）
21
假设：LTI系统的冲激响应为实函数
)()()( jejHjH )()( jHjH
)()( jj
)()()(
)()()(
)()()()(
)()()()(
0
)(
0
)(
0
0
)(
0
)(
0
0000
00
00
00
jj
jj
eejH
eejH
jHjH
jHjY
)()()cos( 000 jjF eet
)()()cos( 000 Ft (3-66)
例3-4
幅度谱为偶
相位谱为奇
))(cos()()()cos()( 000)(
0 tjHtyttxthLTI
周期信号激励下的系统响应（3）
22
))(cos()()()cos()( 000)(
0 tjHtyttxthLTI
同理可证
))(sin()()()sin()( 000)(
0 tjHtyttxthLTI
推广：
))(cos()()()cos()( 0000
)(
00 tjHtyttx thLTI
))(sin()()()sin()( 0000
)(
00 tjHtyttx thLTI
0 0 0
1
0 0 0 0 0 0 0
1
( ) ( cos sin )
( ) (0) ( ( ) cos ( ) ( ) sin ( ) )
LTI
k k
k
k k
k
x t B B k t C k t
y t B H B H jk k t k C H jk k t k
对于LTIS而言，系统对正弦输入的响应为同频率正弦信号，但幅值与相位与
H相关。
周期信号激励下的系统响应（4）
23
例3-32 有一周期信号x(t)，其基波频率为2π，
a0=1, a1=a-1=1/4, a2=a-2=1/2, a3=a-3=1/3, 该周期信号x(t)通过一单位脉冲响
应为 的LTI系统，计算系统的输出。
3
3
2
k
tjk
keatx )(
)()( tueth t
解：方法一
jjHtueth Ft
1
1)()()(
3
3
23
3
2 )()(k
tjk
k
LTI
k
tjk
k ebtyeatx
)( 0jkHab kk
1)0( 000 ajHab
21
1
4
1)2(11
jjHab
41
1
2
1)22(22
jjHab
61
1
3
1)23(33
jjHab
3
3
2)(
k
tjk
kebty
周期信号激励下的系统响应（5）
))(cos()()()cos()( 000)(
0 tjHtyttxthLTI
24
方法二：ttteatx
k
tjk
k 6cos3
24cos2cos
2
11)(
3
3
2
1)0(11 HLTI
jjH
1
1)(
))2(2cos()2(12
1))2(2cos()2(
2
12cos
2
1
2
arctgttjHt LTI
))4(4cos()4(1
1))4(4cos()4(4cos
2
arctgttjHt LTI
))6(6cos()6(13
2))6(6cos()6(
3
26cos
3
2
2
arctgttjHt LTI
3
3
2)(k
tjkkebty
𝐻 𝑗𝜔 =1
1 + 𝜔2𝜃 𝜔 = −arctan(𝜔)
电路系统的频域求解（1）
25
电路系统的组成：放大器、加法器、电阻、电容、电感等
频域上定义复阻抗:
)(
)()(
jI
jUjR
阻抗两端电压的Fourier变换
阻抗两端电流的Fourier变换
假定初始静止:
电阻： RjI
jUjRtiRtu
R
RR
F
RR )(
)()()()(
电容：CjjI
jUjR
dt
tduCti
c
cc
Fcc
1
)(
)()(
)()(
电感： LjjI
jUjR
dt
tdiLtu
L
LL
FLL
)(
)()(
)()(
通过复阻抗，可将电路中的基尔霍夫定律直接用于频域中。
电路系统的频域求解（2）
26
例3-33 (P123) RC低通网络，输入端信号为单位阶跃v(t)=u(t)，用傅里叶
方法分析该电路的输出信号，RC=1/2。
v(t) vc(t)解：电阻R的复阻抗 RjRR )(
电容C的复阻抗Cj
jRc
1
)(
)(1
1
)()()(
)()(
jV
CjR
CjjV
jRjR
jRjV
cR
cc
jRCjjV
jVjH c
2
2
1
1
)(
)()(
输入： )(1
)()()(
j
jVtutv F
输出：
)()()(
)(2
11)(
1
2
2)()()(
21
tuetutv
jjjjjVjHjV
t
c
F
c
信号的不失真传输
27
信号传输过程的失真：系统响应的波形与激励的波形不一致。
)()()( jXjHjY
幅度失真——系统幅频特性|H(jω)|引起的失真，即对信号幅度的
放大/缩小。
相位失真——系统相频特性θ(ω)引起的失真，使响应的各频率分量
在时间轴上相对位置产生变化。
无失真传输定义：输出信号与输入信号相比，只是大小与相对时间轴
的位置不同，并没有波形上的变化，即：
)()( 0ttKxty )()( 0 jXKejY
tj
无失真的频率响应： 0)(tj
KejH
KjH )(
0)( t
与频率无关
呈线性关系
无失真的单位冲激响应： )()( 0ttKth
参见P125，图3-28
信号的滤波与理想滤波器（1）
28
信号的滤波——目的是改变一个信号中各频率分量的大小，或者全部
消除某些频率成份
滤波器——用于完成滤波功能的系统
LTI系统
h(t)tje tjejH )(
实现——适当地设计系统的频率响应
（1）理想低通滤波器的频域特性和冲激响应
理想低通：|ω|<ωc的信号无失真地通过
|ω|>ωc的信号完全衰减ωωc-ωc
|H(jω)|
1
ω
φ(ω)
k=-t0ω
频域特性
else
ejH
c
tj
0
)(
0
截止频率
通带
阻带
对不同频率不同加权: 滤波作用
信号的滤波与理想滤波器（2）
29
0
H(j)
c-c
1
理想低通滤波器 理想高通滤波器
0
H(j)
c-c
1
理想带通滤波器
H(j)
-c1-c2
1
0c2c1
信号的滤波与理想滤波器（3）
30
else
ejH
c
tj
0
)(
0
低通滤波器
)(
)(sin)(
0
0
tt
ttth
c
cc
t
t
)sin(
)10(
))10(sin(
t
t
t<0时，h(t)≠0 理想低通滤波器是非因果系统，物理上不可实现
t
ttx
elsejX
c
ccFc
sin)(
0
1)(
1
抽样函数频谱 时移特性
ωωc-ωc
|H(jω)|
1
ω
φ(ω)
k=-t0ω
31
Cj
CjR
jXjY
1
1
)()(
jRC
RC
Cj
CjR
jH
1
1
1
1
1)(
C
R
+
–
y(t)=Vc(t)x(t)=Vs(t)
H(j)
)()()( jHjXjY
00
1
h(t)
t
RC
1
例3-34 求一个实际一阶低通滤波器的H(jω)与h(t).
解：
)(1
)(
1
tueRC
tht
RC
––因果系统
+
–
信号的滤波与理想滤波器（4）
32
R
CjR
jXjY
1
)()(
RCj
RCjR
CjR
jH
11
1)(
)()()( jHjXjY
例3-35 求一个实际一阶高通滤波器的H(jω)与h(t).
解：C
R+
–
y(t)=VR(t)
x(t)=Vs(t)
H(j)
+ –
00
1
h(t)
t
1
( ) ( )t
RCh t e u t
––因果系统
RC
1/e
信号的滤波与理想滤波器（5）
33
（2）理想低通滤波器的阶跃响应s(t)
else
ejH
c
tj
0
)(
0
低通滤波器
阶跃输入： )(1
)(
jtu F
)(1
2
1)( 0ttSits c
x
dtt
txSi
0
sin)(
1
1 1( ) ( 10)
2s t Si t
1
1 1( ) 0.3 ( 10)
2s t Si t
ωc越大，上升越快
cc
rf
t12
fc——滤波器的带宽tr
输出存在吉布斯现象
0))(1
()(tj
ej
jS
信号的滤波与理想滤波器（6）
信号的滤波与理想滤波器（7）
34
（2）理想低通滤波器对矩形脉冲的响应y(t)
else
ejH
c
tj
0
)(
0
低通滤波器
矩形脉冲输入： )()()( tututx
)()(1
)(1
2
1)(
1
2
1)(
00
00
ttSittSi
ttSittSits
cc
cc
ωc越大，输出越接近矩形脉冲
ωc越小，输出越失真
)1020()10(1
)( tSitSits
)1020(1.0)10(1.01
)( tSitSits
连续时间LTI系统的频率响应：小结_1
频率响应定义：一个冲激响应为h(t)的LTI系统的Fourier变换H(jω)
)()( jHth F定义1：
定义2：)(
)()(
jX
jYjH zs
h(t)
H(jω)频域：X(jω) Y(jω)= X(jω)H (jω)
时域：x(t) y(t)=x(t)*h(t)
yzs(t)=Y-1(jω)
周期信号激励下的系统响应:
tje tjejH )(
k
tjk
k
LTI
k
tjk
k ejkHatyeatx 00 )()()( 0
电路系统的频域求解：通过复阻抗可将基尔霍夫定律直接用于频域中。
))(cos()()()cos()( 0000
)(
00 tjHtyttx thLTI
))(sin()()()sin()( 0000
)(
00 tjHtyttx thLTI
35
连续时间LTI系统的频率响应：小结_2
理想低通滤波器
0
H(j)
c-c
1
|ω|<ωc的信号无失真地通过
|ω|>ωc的信号完全衰减
理想低通滤波器是一种理想化的模型，它是研究与设计各种实际滤波器
的理论基础。
理想化模型虽然与真实情况有一定距离，然而借助于它们往往可以简
化问题，有助于建立统一的宏观概念，并认清事物的本质。如我们已经碰
到过的δ函数。
无失真传输定义： )()( 0ttKxty )()( 0 jXKejY
tj
理想低通滤波器的频域、时域特性？
36
回顾本章主要内容
(1) 连续时间LTI系统的特征函数、特征值：概念与应用
(2) 周期信号的傅里叶级数表示
(3) 非周期信号的傅里叶变换
(4) 周期信号的傅里叶变换
(5) 傅里叶变换的性质－－10条性质：掌握并灵活应用
(6) 连续时间LTI系统的频域分析－－系统响应求解
常见信号的FT对
需要记忆并掌握
控制科学与工程学系
2017/3/23 第三章 38
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海棠－－摄于紫金港西区