下面我们普遍地分析此问题

量子力学教程 ( 第二版 )

3.3 共同本征函数

引入

下面我们普遍地分析此问题 .

当体系处于力学量的本征态时 , 对其测量 , 可得一个确定值 , 而不会出现涨落 . 但在其本征态下去测量另一个力学量时 , 却不一定得到一个确定值 .

A

B

分析下列积分不等式

其中 , 为体系的任意一个波函数 , 为任意实参数 .

2ˆ ˆi d 0I A B

3.3.1 不确定度关系的严格证明

A ˆ,B设有两个任意的力学量和



ˆ ˆ ˆˆ, / iC A B C 引进厄米算符

2 2 2I A C B

22 2 2 2 2/ 2 / 4 0A C A B C A

则

因为　与　为厄米算符，所以　　　

A B

ˆ ˆˆ ˆi , iI A B A B

2 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, i , i , ,A A A B B A B B

2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ, i , , ,A A B B

2 2 2/ 4 0B C A

2/ 2C A , 则得C　为实，不妨取



2 2 21,

4A B C 或表成

2 2 1 1 ˆ ˆ,2 2

A B C A B

即

1

与为厄米算符 , 与又均为实数 , 与也是厄米的 .

A B A Bˆ ˆA A A ˆ ˆB B B

在上式中，

让 ˆ ˆ,A A ˆ ˆ,B B 则 (1) 式仍成立 .

再考虑到就可得出ˆ ˆˆ ˆ, , ,A B A B

2 2 1ˆ ˆˆ ˆ,2

A B A B



1ˆ ˆˆ ˆ,2

A B A B

或简记为

(2)

上式就是任意两个力学量与在任意量子

态下的涨落必须满足的关系式 , 即 Heisenberg 的不确定

度关系 (uncertainty relation) 的普遍表达式 .

A B



能是例外 ), 或者说他们不能有共同本征态 .

以找出它们的共同本征态 .

由 (2) 式可以看出 , 若两个力学量与不A B

对易 , 则一般说来与不能同时为零 , 即A B 与不能同时测定 . ( 但的特殊态可BA ˆ ˆ, 0A B

反之 , 若两个厄米算符与对易 , 则可以A B

找出这样的态 , 使与同时满足 , 即可0B 0A



坐标的共同本征态 , 即函数 , ,x y zr δ

0 0 0 0δx y z r r r

0 0 0δ δ δx x y y z z

0 0 0 0 0 0, , , , ,x y z x y z 实0r

相应本征值为

例如



采用球坐标 , 角动量的平方算符表示为2

2 22 2

1 1sin

sin sin

l

22

2

1sin

sin sin zl

3.3.2 的共同本征态 , 球谐函数 2 , zll

由于角动量的三个分量不对易 , 一般无共同本征态 .

分量 ( 例如 ) 的共同本征态 .zl

2 , 0( , , )l x y z l 2l, 可以找出

但由于与任何一个



考虑到的本征函数可以同时也取为的本征态

2 , 0,zl l 2l zl

i1e ,

2m

m

0, 1, 2,m

2 2Y , Y , l

其中 , 是的本征值 ( 无量纲 ), 待定 .2 2l

并代入本征方程

Y m,

的本征函数已分离变量 , 即令

2l此时 ,



化简本征方程 , 得2

2

1 d dsin 0,

sin d d sin

m

0

cos ( 1), 令则

2

22

d d1 0

d d 1

m

2 2

22 2

d d1 2 0

d d 1

m

或

这就是连带 Legendre 方程 .



在区域中 , 微分方程有两个正则奇点 ,其余各点均为常点 .

1 1,

时 , 方程有一个多项式解 ( 另一解为无穷级数 ), 即连带Legendre 多项式

0,1,2, ,l 1 ,l l

可以证明 , 只当

,Pm

l m l

1 它在区域中是有界的 , 是物理上可接受的解 .



利用正交归一性公式

1

1

!2d δ

2 1 !P Pm m

lll l

l m

l l m

2 1 !

1 cos2 !P

m m

lm l

l l m

l m

, 1, , 1,m l l l l

0

sin d δlm l m ll

满足

定义一个归一化的部分的波函数 ( 实 )



0,1,2, ,l , 1, , 1,m l l l l

2 *

,0 0d sin d Y , Y , δ δlm l m ll mm

i!2 1

Y , 1 cos e4 !P

m m mlm l

l ml

l m

所以 , 的正交归一的共同本征函数表示为

2 , zll

Y Y ,z lm lml m

2 2Y 1 Y ,lm lml l l

Ylm 为球谐函数 , 它们满足



在上面的式子中 , 和的本征值都是量子化的 .

2l zl

对于给定 , 的本征函数是不确定的 , 因为

共有个简并态 . 就

是用的本征值来确定这些简并态 .

, 1, , 1, ,m l l l l

l

2 1l Ylm

2l

zl

轨道角动量量子数磁量子数m

l



3.3.3 对易力学量完全集 (CSCO)

它们的共同本征态记为 , 设有一组彼此独立而且互相对易的厄米算符 1 2

ˆ ˆ ˆ( , , ),A A A

表示一组完备的量子数 .

设给定一组量子数之后 , 就能够完全确定体系的唯一

一个可能状态 , 则我们称1 2

ˆ ˆ( , , )A A 构成体系的一组对易可

观测量完全集 (complete set of commuting Observables, 简记为 CSCO), 在中文教材中 , 习惯称为对易力学量完全集 ,

或简称为力学量完全集 . 对易力学量完全集的概念与体系的一个量子态的制备密切相关 .



按照态叠加原理 , 体系的任何一个状态均可用来展开

a

利用的正交归一性 , 上式中的展开系数 ( , )a

可确切定出 .2

a 表示在态下 , 测量力学量A 得到

A值的概率 . 这是波函数的统计诠释的最一般的表述 .

( 这里假定量子数 , 或力学量 ,A 不连续变化 . 若

连续变化 , 则 ,d

而相应的展开系数的模方代表概率密度 . 例如 , 坐标表象和动量表象的展开 , 即属此情况 .)



如体系的 Hamilton 量不显含时间 ( / 0),t H t 则H 为守恒量 . 在此情况下 , 如对易力学量完全集中包含有体系的 Hamilton 量 , 则完全集中各力学量都是守恒量 ,

这种完全集又称为对易守恒量完全集 ( a complete set of

commuting conserved observables, 简记为 CSCCO.)

包括 H 在内的守恒量完全集的共同本征态 , 当然是定态 , 所相应的量子数都称为好量子数 . 在这种展开中 ,

( 无论 ψ 是什么态 , 定态或非定态 ), 2a 是不随时间

改变的 .



关于 CSCO, 再做几点说明 :

(1) CSCO 是限于最小集合 , 即从集合中抽出任何一个可观测量后 , 就不再构成体系的 CSCO. 所以要求 CSCO

中各观测量是函数独立的 .

(2) 一个给定体系的 CSCO 中 , 可观测量的数目一般等于

体系自由度的数目 , 但也可以大于体系自由度的数目 .

(3) 一个给定体系往往可以找到多个 CSCO, 或 CSCCO.

在处理具体问题时 , 应视其侧重点来进行选择 . 一个

CSCCO 的成员的选择 , 涉及体系的对称性 .



体系的量子态用一组彼此对易的力学量完全集的共同本征函数来展开 , 在数学上涉及完备性问题 . 这是一个颇为复杂的问题 .李政道曾经给出关于本征态的完备性的如下重要的定理 .

定理 : 设H 为体系的一个厄米算符 , 对于体系的任一态ˆ, ( , ) /( , )H 有下界 ( 即总是大于某一个固定的数 c),

但无上界 , 则 H 的本征态的集合 , 构成体系的态空间中

的一个完备集 , 即体系的任何一个量子态都可以用这一组本征态完全集来展开 .



这里有两点值得提到 :

(a) 自然界中真实存在的物理体系的 Hamilton 算符H都应为厄米算符 (保证所有能量本征值为实 ), 并且应有下界 ( 能量无下界是不合理的 , 在自然界中未发现这种情况 ). 因此 , 体系的任一量子态总可以放心地用包含H在内的一个 CSCCO 的共同本征态完全集来展开 .

(b) 在 H本征值有简并的情况下 , 对于给定能量本征值 ,

本征态尚未完全确定 , 此时需要用包含 Hamilton 量在内的一个 CSCCO, 根据他们的本征值把本征态完全确定下

来 , 以便于对任何量子态进行确切的展开 .



3.3.4 量子力学中力学量用厄米算符表达

与 Schrödinger方程是量子力学的一个基本假定一样 ,

量子体系的可观测量 ( 力学量 ) 用一个线性厄米算符来

描述 , 也是量子力学的一个基本假定 , 它们的正确性应该由实验来判定 .

“量子力学中力学量用相应的线性厄米算符来表达” ,

其含义是多方面的 :



(1) 在给定状态 ψ 之下 , 力学量 A 的平均值A 由下式确定 : ˆ( , ) /( , )A A

(2) 在实验上观测某力学量 A, 它的可能取值A 就是算符

A的某一个本征值 . 由于力学量观测值总是实数 , 所以要求相应的算符必为厄米算符 .

(3) 力学量之间关系也通过相应的算符之间的关系反映出来 . 例如 , 两个力学量 A 与 B, 在一般情况下 , 可以同时具有确定的观测值的必要条件为 ˆ ˆ, 0.A B



ˆ ˆ[ , ] 0,A B 反之 , 若则一般说来 , 力学量 A 与 B 不能同时具有确定的观测值．

特别是对于 H 不显含 t 的体系 , 一个力学量 A 是否

是守恒量 , 可以根据A 与 H 是否对易来判断 .

下面我们普遍地分析此问题

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