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第六章 定积分及其应用§6.1 定积分的概念§6.2 定积分的性质§6.3 微积分学基本定理§6.4 定积分的计算方法§6.5 广义积分§6.6 定积分的应用

( ) ?b

af x dx

2

第六章 定积分及其应用

4. 如何计算定积分和应用定积分 ?

前一章讨论了已知一个函数的导数 , 如何求原来的函数 ,

这样一个积分学的基本问题——不定积分 .

这一章将讨论积分学的另一个基本问题——定积分 .

1. 什么是定积分 ?

2. 定积分有哪些性质 ?

3. 定积分与不定积分有何关系 ?

本章的主要问题有 :1

0cos ?xdx

3

一 . 引例 ( 曲边梯形的面积 )定义 1. 在直角坐标系中 , 由一条连续曲线y=ƒ(x) 和三条直线 x = a 、 x = b 和 y = 0 (x 轴 )

所围成的图形 , 称为曲边梯形 , 如右图AabBA ( 与直边梯形 AabB 的区别 ) .

o x

y

y=0

y=ƒ(x)

x=a x=b

a b

BA

§6.1 定积分的概念

当 y = ƒ(x) 0 时 , 曲边梯形 AabB 的面积怎么求呢 ? 中学里会求直边多边形 ( 特别是矩形 ) 的面积 , 下面利用矩形的面积来求曲边梯形 AabB 的面积 .

问题 :

4

从而此区间对应的小窄曲边梯形 CEFH

的面积近似等于小窄矩形 DEFH 的面积 . o x

yy=ƒ(x)

a b

BA

x+Δxx

H

CD

E F

{Δy

因而 , 如果把区间 [a, b] 任意地划分为 n 个小区间 , 并在每一个区间上任取一点 , 再以该点的高来近似代替该小区间上窄曲边梯形的高 , 从而每个窄曲边梯形就可近似地

分析 : 问题的难度在于曲边梯形 AabB 的高对整个区间 [a, b]

来说是一个变量 , 其最大值与最小值之差较大 ; 但从区间[a, b] 的一个局部 ( 小区间 ) 来看 , 它也是一个变量 ;

但因 ƒ(x) 连续 , 从而当 Δ x →0 时 , Δy→0,

故可将此区间的高近似看为一个常量 ,

5

视为一个小窄矩形 , 而且全部窄矩形的面积之和也可作为曲边梯形面积的近似值 .

要想得精确值 , 只需区间 [a, b] 的分法无限细密 ( 即每个小区间的长度 Δ x →0) 时 , 全部窄矩形的面积之和的极限一定是曲边梯形面积的精确值 .

从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积 :I. 化整为零 ( 或分割 )—— 任意划分( 如右图 ) 用分点

0 1 2 1n na x x x x x b

o x

yy=ƒ(x)

0a x 1x2x

1ix ixnx b

1nx

ix

将区间 [a,b] 任意地划分为 n 个小区间0 1 1 2 1[ , ],[ , ], ,[ , ],n nx x x x x x

6

o x

y

y=ƒ(x)

0a x 1x2x

1ix ix

nx b

1nx

记第 i 个小区间的长度为 1( 1, 2, , ),i i ix x x i n

ix

过每个分点作垂直于 x 轴的直线 , 将曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形 ( 如上图 ).

若用 S 表示曲边梯形的面积 ,

表示第 i 个窄曲边梯形 ( 阴影部分 ) 的面积 , 则有

iS

1 21

n

n ii

S S S S S

II. 近似代替 ( 或以直代曲 )—— 任意取点在每个小区间 1[ , ]( 1,2, , )i ix x i n 上任取一点 i

1( ),i i ix x 以 为高、以小区间 的长度为底( )if 1[ , ]i ix x

7

( )i if x

iS

( )i i if x S

则该窄矩形的面积

为了从近似过度到精确 , 将所有的窄矩形的面积相加 ,

就得曲边梯形的面积的近似值 , 即1 1

( )n n

i i ii i

S S f x

III. 求和、取极限

作窄矩形 ( 如右图 ).

近似等于 , 即

记各小区间的最大长度为 1 2max{ , , , }nx x x

当分点数 n 无限增大且各小区间的最大长度 1

max{ } 0ii nx

对上述和式取极限就得曲边梯形的面积 , 即0 1

lim ( )n

i ii

S f x

8

二 . 定积分的定义 由引例知 , 把一个求曲边梯形的面积的问题可以归结为一个特殊和式的极限 . 这种和式的极限应用极广 , 可解决数学、物理、工程及经济等众多领域中的不少实际问题 ,

将上述获得这类极限的思想方法加以概括和抽象 ,

定义 1. 设 ƒ(x) 在 [a, b] 上有定义 , 点

0 1 2 1n na x x x x x b

1[ , ]i ix x

1i i ix x x ( 1,2, , ),i n 1[ , ]i ix x

i

在每个小区间上任取一点 1( ),i i ix x

就有定积分的定义 :

将区间 [a, b] 任意地划分为 n 个小区间 ; 每个小区间的长度为

作和式1

( )n

n i ii

S f x

9

0 1

( ) lim ( )nb

i iai

f x dx I f x

i

( )b

af x dx

0 nS若当 时 , 有确定的极限值 I, 且 I 与区间 [a, b]的分法和 的取法无关 ,则称函数 ƒ(x) 在区间 [a, b] 上可积 ,

并称此极限值 I 为 ƒ(x) 在区间 [a, b] 上的定积分 , 记为

称为积分和 .1

( )n

n i ii

S f x

间

其中 ƒ(x) 为被积函数 , ƒ(x)d x称为被积表达式 , x 称为积分变量 , a 称为积分下限 , b 称为积分上限 , [a, b] 称为积分区

即

注 1. 若ƒ(x) 在区间 [a, b] 上可积 ,则定积分的字母无关 , 即

它仅与被积函数 ƒ(x) 和积分区间 [a, b] 有关 , 而与积分变量( )

b

af x dx C 常数 ,

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注 2. 极限过程 , 既保证了分点个数无限增多 ( ),又保证了区间分割无限细密 (即所有小区间的长度都趋于 0).

0 n

因此 , 对于可积函数 ƒ(x), 若要用定义来计算

0 1

lim ( )n

i ii

f x

常数

i

( ) ,b

af x dx

i

( ) ( ) ( )b b b

a a af x dx f u du f t dt

若只有 则不能保证区间分割无限细密 .

注 3. ƒ(x) 在区间 [a, b] 上可积的充要条件是极限

且此极限值与 [a, b] 的分法和 的取法无关 .

n

则可选择较为方便的区间分法和 的取法 , 使得计算简便 .

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三 . 函数可积的条件 由注 3 知 , 每个函数的可积性与积分和的极限的存在性等价 , 但求积分和的极限 , 却非常困难 .

定理 1. 若 ƒ(x) 在区间 [a, b] 上无界 , 则 ƒ(x) 在 [a, b] 上必不可积 .

问题 :

下面给出函数可积的几个定理 :

其等价命题为 “可积函数必有界” ——函数可积的必要条件 . 以下三个定理是函数可积的充分条件 .

定理 2. 若 ƒ(x) 在区间 [a, b] 上连续 , 则 ƒ(x) 在 [a, b] 上可积 .

定理 3. 若 ƒ(x) 在区间 [a, b] 上有界且只有有限个间断点 , 则 ƒ(x) 在 [a, b] 上可积 .

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注 4. 有了函数可积的充分条件 , 就可借助定义 1来

例 1 利用定积分定义计算定积分 4

0(2 3)x dx

可将区间 [0, 4] 特殊划分并特殊取点 .

定理 4. 若 ƒ(x) 在区间 [a, b] 上单调有界 , 则 ƒ(x) 在 [a, b] 上可积 .

解 因 ƒ(x)=2x+3 在 [0, 4] 上连续 ,

②.将某些极限问题转换为一个定积分 .①.计算给定的定积分的值 ;

故它在 [a,b] 上可积 , 从而不妨在区间 [0, 4] 内插入 n 个等分点

分成 n 个小区间 , 取右端点为 4 ( 1,2, , )ix i i nn

,i ,i ix 即 4ix

n 则

1 1

( ) ( )n n

n i i i ii i

S f x f x x

且1

(2 3)n

i ii

x x

1

8 4( 3)n

i

in n

13

22

1

4 [8 3 ]n

i

i nn

21

4 (8 3 )n

i

i nn

22

4 ( 1) 1[8 3 ] 16(1 ) 122

n n nnn

1lim lim[16(1 ) 12] 28nn nS

n

4

0(2 3) 28x dx 故

例 2 将2

2

1lim ( 2 )n

n n nn

22

1 1 1 2 ( 2 ) ( )nn n nn n n n n

解

1

1n

i

in n

表示成定积分

在区间 [0, 1] 上可积 , ( )f x x而

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用等分分点法所得的积分和为

1

01

1lim limn

nn n i

iS xdxn n

1

( )n

n i ii

S f x

1

1n

i

in n

1 , )i i i

ix xn n

(其中

122 0

1 lim ( 2 ) .n

n n n xdxn

则

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习题提示 :P213.4.(2)

1 1 1 2lim ( 1)( 2) (2 ) lim (1 )(1 ) (1 )nn nn n

nn n n nn n n n n

1 1 1 2lim {ln [ln ln(1 ) ln(1 ) ln(1 )]}n

n

nn

n n n n ne

1

1lim ln(1 )n

ni

in ne

1 1 2lim [ln(1 ) ln(1 ) ln(1 )]

n

nn n n ne

1

0ln(1 )x dx

e

2

1ln xdx

e或

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注 5. 前面的讨论中已默认区间 [a, b] 中的 a < b, 那么当 a=b

和 a > b 呢 ?为方便作如下规定 :( ) 0.

b

af x dx ( ) ( ) .

b a

a bf x dx f x dx

且 a<b 时 , 定积分 ( ) 0f x

( )b

af x dx

从而可消除对定积分上下限的大小限制 .

①.若 a=b, 则②. 若 a>b, 则

四 . 定积分的几何意义

表示一个在 x 轴上方的曲边梯形的面积 ;

由定义 1 知 , 当连续函数

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( ) 0,f x ( )b

af x dx且 a < b 时 , 定积

分

当 ƒ(x) 在 [a, b] 上有正有负时 , 定积分( )

b

af x dx

形的面积与 x 轴下方的曲边梯形的面积之差 ( 即面积的代数和 ).

表示一个在 x 轴下方的曲边梯形的面积的相反数 .

的值就是 x 轴上方的曲边梯

当

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例 3 利用定积分的几何意义 , 计算曲线 y = sinx 、直线

表示由曲线 y = sinx 、直线 x=0 、 x=2π

1 2 0S S

1 2S S S 但

及 x 轴所围成的曲边梯形的面积 , 即1 2S S S

2 2

0 0sin ( sin ) sinxdx xdx x dx

解 根据题意 ,所求曲边梯形的面积如右图 .

x=0 、 x=2π及 x 轴所围成的曲边梯形的面积 .

利用定积分的几何意义知2

0sin xdx