דידקטיקה של מודלים חישוביים

מיכל ארמוני

המחלקה להוראת המדעים

מכון ויצמן למדע

2Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

חלק ראשון

האוטומט הסופי

3Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

– מילים ושפות 3פרק פורמליות

פרק תיאורטיהמעבר קשה, המוטיבציה עלולה לרדתהתמודדות אפשרית: ספירה גבוהה יותר

מפתח שפות תכנות וחוקר את מתכנת ♦תכונותיהן

חקר אוטומטים בניית אוטומטים ♦

4Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

– מבנה הפרק3פרק

הגדרות ודוגמאות3.1

שפה רגולרית ואוטומט סופי דטרמיניסטי3.2

תכונות של משפחת השפות הרגולריות3.3

5Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

– רשימת הגדרות3.1סעיף א"במילהאורך מילהמילה ריקהפעולות על מילים

שרשור♦ חזקה♦ היפוך♦

שפה פורמליתשפה ריקהפעולות על שפות

שרשור♦חזקה♦היפוך♦

תחום מתמטי חייב להיות מוגדר היטב,

בצורה מדויקת.

אחרת ניתן למשל להוכיח דברים

שאינם נכונים

6Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

– הגדרות )המשך(3.1סעיף

ההגדרות ניתנות באופן מילולי, רך יחסית, ולאסימבולי קשיח, אבל מדויקות

עם מרביתן אין לתלמידים בעיה להתמודד :הגדרות קשות יותר להטמעה

מילה ריקה♦

שפה ריקה♦

7Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

– הגדרות )המשך(3.1סעיף

:דוגמאות

כפי שראינו בפרק הקודם, מילים בשפה מורכבות מסימנים, ולסימנים אלה

, הוא קבוצה סופית של אותיות, המכילה א"ב, או אלפבית. אותיותקוראים

רושמים הבא: באופן קבוצות, לגבי כנהוג מסמנים, א"ב אחת. אות לפחות

את אותיות הא"ב בין צומדיים כשפסיקים מפרידים בין האותיות. למשל, הא"ב

3 ו-2, 1, והא"ב שמכיל את האותיות {a, b} סימונו b ו-aשמכיל את האותיות

{. 1 ,2 ,3סימונו }

היא סדרה של אותיות מא"ב נתון, הרשומות משמאל לימין. למשל, מילה

אז {a. b}כשהא"ב הוא ,aa, abbaa-ו aba הן מילים המורכבות מאותיות א"ב

א"ב זה.מעלזה. נהוג לומר שאלו מילים

8Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

– הגדרות )המשך(3.1סעיף

:דוגמאות

מילה האורך של w-ב מסומן והוא בה, האותיות מספר הוא |w| .

. | =baab|4 ו- = |aba|3למשל,

באורך גם סדרה זוהי0 מילה. היא אותיות . המילה המילה הריקה

הריקה אינה המצאה מתמטית גרידא. היא עונה על צרכים מסוימים ויש

סיבות להגדרתה. במידה מסוימת, תפקידה מקביל לתפקידו של המספר

למילה 0 זקוקים אנו הבאות בדוגמאות למשל, הטבעיים. במספרים

כזאת.

9Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

המילה הריקה

0הקבלה למספר הטבעי ריבוי דוגמאות לשפות המכילות את המילה

הריקה

מספר הופעות זוגי♦

קניות בקיוסק♦

סוגריים מאוזנים♦קישור למחשב הפרימיטיבי)קישור לאוטומט )מצב התחלתי מקבל

10Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

מילה ריקה מול שפה ריקה1דוגמה

.{a, b}הא"ב

b ואינן מכילות a שפת כל המילים שאינן מכילות ♦

ואינן a, שאינן מכילות 1 שפת כל המילים באורך ♦bמכילות

2דוגמה

.{a, b}הא"ב

4 שפת כל המילים שאורכן מתחלק ב-♦

2, אך לא ב-4 שפת כל המילים שאורכן מתחלק ב-♦

11Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

– נקודות תורפה 3.1סעיף נוספות

עדיפות סדר פעולות על מילים ועל שפותהקבלות מוטעות מאלגברה

♦ anbn ≠ )ab(n שרשור אינו כפלL0 = }{{an n 0 } }bn n 0{ ≠ }anbn n 0{

12Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

– שפה רגולרית 3.2סעיף ואוטומט סופי דטרמיניסטי

מבנה הסעיףהגדרת שפה רגולריתדוגמאות לשפות רגולריות

שפה בת מילה אחת♦ שפה ריקה♦ שפה סופית♦ שפת כל המילים♦

קיום שפות לא רגולריות{anbn n 0} דוגמה מרכזית: ♦

13Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

הוכחות אי-רגולריות

:הסעיף הקשה ביותר ביחידה כולה

הוכחה פורמלית♦

בדרך השלילה♦

שבתוכה חבויה שוב דרך השלילה...♦ :מוטיבציה

הגדרנו מודל חישובי – האם אפשר ♦בעזרתו לעשות הכל? )ציר השאלות

התיאורטיות(

14Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

הוכחות אי-רגולריות )המשך(

איננו משתמשים בלמת הניפוח

סימבולית מאוד♦

הבנת הלמה והוכחתה דורשת רמת ♦הפשטה גבוהה מאוד

ניתן להשתמש בלמה להוכחות ♦אי-רגולריות בצורה טכנית, בלי להבין מה

בשפה גורם לה להיות אי-רגולרית

15Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

למת הניפוח - תזכורת

: למת הניפוח לשפות רגולריות4.1משפט

כך שכל n שפה רגולרית. אז קיים מספר טבעי Lתהי

, ניתנת לפירוק n, שאורכה לפחות L ב-zמילה

באופן שמתקיימים התנאים האלה:z=uvwבצורה

1 .uv n

2 .1 v3 .uviw L 0 לכל i

16Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

{anbn n 0} אינה שפה רגולרית הוכחה על ידי למת

הניפוח: שהשפה רגולרית.נניח

שמקיים את תנאי הלמה.nלכן, מלמת הניפוח, קיים מספר טבעי .z=anbnנבחר את המילה

כך ש:z=anbn=uvwעל פי הלמה קיים פירוק u=as

v=at, t ≥ 1w=an-s-tbn

.i ≥ 0: uviw Lומתקיים, לכל : i = 0בפרט, עבור

uv0w = uw = asan-s-tbn = an-tbn

an-tbn Lכלומר, an-tbn L ולכן n-t nאבל,

סתירה!

17Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

מסגרת הוכחת אי-רגולריות בספר לתלמיד

רגולרית.L שהשפה נניח

.L שמקבל את Aלכן קיים אוטומט סופי

ונראה:Wנבחר קבוצת מילים אינסופית

מגיע למצב A, האוטומט Wעל כל מילה בקבוצה שונה.

-לAלהיותו אוטומט סתירה אינסוף מצבים, ב סופי.

18Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

מסגרת הוכחת אי-רגולריות בספר לתלמיד - המשך

הוכחת טענת העזר מגיע למצב שונה.A, האוטומט Wעל כל מילה בקבוצה

– שעליהן w2 ו-w1 שתי מילים – Wשיש בקבוצה נניח :q לאותו מצב Aמגיע האוטומט המקיימת:wכעת נמצא מילה

w1wLw2wL

ש- אז w1wLמאחר A את מקבל w1wL ,כלומר ,למצב מקבל. אך w המילה qמהמצב אותו מובילה

. w2w מקבל גם את Aאז בהכרח .L להיותו אוטומט המקבל את סתירה

19Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

הוכחות אי-רגולריות - המשך

לא עבור כל שפה לא רגולרית שיטת ההוכחה אם לא מצליחים להוכיח זה הזאת עובדת

עוד לא אומר שהשפה לא רגולרית למרות שההוכחות דומות אחת לשניה נדרשת

חשוב מיומנות ביישום מסגרת ההוכחה לתרגל

רק הוכחה מלאה נחשבת הוכחה

20Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

הוכחות אי-רגולריות - המשך

הלקח החשוב:

השפה מחייבת זיכרון אינסופי ולאוטומט זיכרון סופי

אבל גם למחשב יש זיכרון ...סופי

21Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

הוכחות אי-רגולריות – קשיים אופייניים

הוכחות לא מלאות, המשתמשות בנימוקיםאינטואיטיביים )"השפה מחייבת זיכרון

אינסופי"( היצמדות לתבנית בלי בחינת הפרטים

מצליחים ל"הוכיח" ששפות רגולריות הן לא רגולריות

22Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

– תכונות של משפחת 3.3סעיף השפות הרגולריות

מטרות היכרות עם שאלות תיאורטיות ועם אופי הדיון

בהןששפות נתונות הן רגולריותהוכחהכלי ל אוטומט עבור שפה רגולרית בנייתכלי ל

נתונה

23Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

– תכונות הסגירות 3.3סעיף הנדונות

דוגמה נגדיתסגירות לחלקיות הוכחה קונסטרוקטיביתסגירות למשליםהוכחה קונסטרוקטיביתסגירות לחיתוךהוכחה קונסטרוקטיביתסגירות לאיחוד

24Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

הוכחת תכונות סגירות - המשך

כל אחת מההוכחות מתחילה או מלווהבדוגמה

ההוכחות הקונסטרוקטיביות אינן פורמליותלחלוטין )אין הוכחת שוויון קבוצות של השפה

שמתקבלת על ידי האוטומט והשפה הדרושה(

סימבוליקה רכה )אין שימוש בסימן המכפלההקרטזית(

25Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

שימושים לתכונות סגירות - דוגמאות

גם שאלות בנייה וגם שאלות הוכחה שאלות הוכחה שאינן מחייבות בניה הן שאלות

תיאורטיות, ברמת הפשטה גבוהה יותר

הוכחה קיומית ולא קונסטרוקטיבית♦

יש בהן מרכיב טכני, ניתוח והסקה♦

אין הרבה עבודה טכנית♦

מוודאות הבנה משמעותית של החומר♦

שאלות טובות לבחינות♦)ליבון סוגיית השפה הריקה מכיוון החיתוך )נורית רייך

26Michal Armoni – Department of Science Teaching, Weizmann Institute of Science

הוכחת תכונות סגירות – בעיות אופייניות

"התעלמות מהטכניקות המוצעות ובניית אוטומט "ישירחינוך לחשיבה רדוקטיבית

להדגיש יתרונות: ♦ בניית אוטומטים פשוטים מאוד ואחר כך הליך טכני, ■

הפעלת אלגוריתם במקרים מסוימים – שימוש בקיים■פחות מאמץ ■סיכוי קטן יותר לטעויות ■

להקביל לתכנות – מודולריות ♦ המצאת "תכונות" חדשות )שפת החיתוך של שפה רגולרית עם

שפה לא רגולרית היא רגולרית(