　第十五章　选考部分几何证明选讲

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　第十五章　选考部分几何证明选讲

相似三角形的判定及其有关性质相似三角形的判定及其有关性质


考纲要求1.了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理．

方法归纳：方法归纳：能作平行作平行，没有平行能作平行作平行，没有平行

找直角三角形。找直角三角形。


引例 1： (2010 年广东卷 ) 如下图，在直角梯形 ABCD中， DC∥AB， CB⊥AB， AB＝ AD＝ a，

CD＝ a/2 ，点 E， F分别为线段 AB， AD的中点，则 EF＝ ________.2

a


引例 2： (2011 年广东卷 ) 在梯形 ABCD

中， AB CD∥ ， AB=4， CD=2.E,F分别为AD， BC上点，且 EF=3， EF AB∥ ，则梯形ABCD与梯形 EFCD的面积比为。

D C

A B

E F

12

5


1.平行线等分线段定理及推论 .

2.平行线分线段成比例定理及推论 .

3.相似三角形的概念和相似比的概念 .

4.相似三角形的判定判定定理 1： .判定定理 2： .判定定理 3： .

两角对应相等的两个三角形相似

三边对应成比例的两个三角形相似两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似


5.相似三角形的性质定理

性质定理 1：

.

性质定理 2：

.

结论：

.

射影定理：

相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比

相似三角形的面积比等于相似比的平方

直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方


如下图所示，已知△ ABC中， AD是 BC边上的中线， E

是 AD的中点， BE的延长线交 AC于点 F，则＝________.

AFAC

解析：过点 D作 DG∥BF交 AC于点 G，∵ D是 BC中点，

∴ DG是△ CBF的中位线．

∴ FG＝ CG，同理可证 AF＝ FG，

∴ AF＝ AC.

答案： .13

13

G


在 Rt△ABC中，∠ ACB＝ 90° ， CD⊥AB于点 D， CD＝ 2 ， BD＝ 3 ，则 AC＝ ________.

解析： CD2 ＝ AD×BD⇒AD＝，43

AC2＝AD2＋CD2＝529 ⇒ AC＝

2 133 .

答案：2 133

A

B

C

D


如下图所示，在△ ABC中，∠ C＝ 90° ， AC＝ 3 ， D为BC上一点，过点 D作 DE⊥BC交 AB于 E，若 ED＝ 1 ， BD

＝ 2 ，则 DC的长为 ________ ．4


1 ．在四边形 ABCD中， AD∥BC， E为 AB的中点，△ DEC的面积为 S，则四边形 ABCD的面积为 ____ ．

答案： 2S

2 ．如下图所示，已知 D是△ ABC中 AB边上一点， DE∥BC且交 AC于点 E， EF∥AB且交 BC于 F，且S△ADE ＝ 1 ， S△EFC ＝ 4 ，则四边形 BFED的面积等于 _____ ．

答案： 4

A B

D C

E


3 ． (2010 年江门模拟 ) 如右图，在四边形 ABCD

中， EF∥BC， FG∥AD，则＝ ______________. EFBC＋

FGAD 1


在几何证明中，如果题目给的条件较为分散，可以通过添加辅助线，使分散的条件适当集中．如果能熟练掌握几个基本图形，把所要证明的图形转化为基本图形，可使证明思路更明确，更快捷．

作业：课时作业 P92（第一课时）


祝您

第十五章 选考部分 几何证明选讲

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