第三章 来自东方的继承者与传播者

——印度与阿拉伯的数学

在古希腊数学文明衰微、欧洲处于长达 1000 年的中世纪黑暗时期之际，“西方不亮东方亮”，在世界的东方，希腊残留的火花得到了保存与传播，这就是印度与阿拉伯的数学。

3.1 印度的数学 地处恒河流域的印度与古巴比伦、埃及和中国一样，也是人类文明的发样地之

一。印度文明最早可以上溯到公元前 3500 年左右居住在印度河流域的达罗毗荼人的哈拉帕青铜文化。 大约在 5000 年前印度人就兴建起了具有相当规模的城市与宫殿，并且有了书写、计算和度量衡的体系。

由于印度以农业为经济来源，很早就开始观察星象，编造历书，因而带动了数学研究。另外，印度是一个宗教盛行的国家，释迎牟尼创建的佛教曾流传到中国等地，这一教派的“绳法经”在科学文化方面有较高的水平，也是在数学史上有意义的为数不多的宗教作品之一。

印度远古时期的文字是书写在棕搁树叶和白桦树皮等天然材料上的。由于印度长期多雨，这些材料很快就腐烂了，故这个国家远古时期的文化没有能像古巴比伦、埃及和中国那样保存下来 .

公元 3 世纪至 12 世纪是印度数学的繁荣时期，而其繁荣的标志表现为出现了一些著名的天文学家兼数学家。他们主要是：

阿耶波多 婆罗门笈多 摩诃毗罗 婆什迦罗

阿耶波多 写了一部关于天文学的著作《阿耶波多文集》，其中有一章专讲数学，

介绍了比例、开方、二次方程、一次不定方程、算术级数等问题，他得出了圆周率为 3.1416 的较精确的近似值。

婆罗门笈多 30岁时写成一部重要著作《婆罗门修正体系》，包括“算术讲义”、

“不定方程讲义”等章，其中有算术、勾股定理、面积、体积等内容，并讨论了二次方程，线性方程组及一次和二次不定方程的解法。他还利用内插公式造了一张正弦表，其著作曾译成阿拉伯文，对伊斯兰教国家的数学和天文学都产生过重大影响。

摩诃毗罗 著有《数学九章》一书，其内容主要是算术运算、开平方和开立方、二

次方程及组合问题，也讲到解二次不定方程等。 婆什迦罗 著有《丽罗娃提》和《算法本原》。这两部著作除了整理前人的成果之

外还论述了有理数的四则运算、线性方程组和不定方程。他指出二次方程有两个根，并对形如 的二次不定方程提出解法。他的著作还被译成波斯文，影响很大。

2 21Cx y

3.1.1 印度的算术 在印度数学中最值得称道的是印度数码和 10进位值制记数法。人们所说

的“阿拉伯数码”实际上最早是由印度人发明的，这是他们对数学乃至整个人类文化的重要贡献．印度数码的完善是经历了漫长的发展过程．

印度古代数码字的演变

印度人也很早就引进了负数．婆罗门笈多在 628 年左右系统地给出了负数四则运算的正确法则．婆什伽罗在《根的计算》中又进一步讨论了负数，他把负数叫做“负债”或“损 失”，并用在数码上加一点表示负数，在数码的右下方加一点表示减号，例如 ( 用现代数码表示 ) 即－ 3 － 2＝ 5 ； 即 3 － (－ 2) ＝ 5 ．不过，当一个问题得出正负两个解的时候，他会解释说：“负数解不合适，因为人们不赞成负数，故应舍弃．”

印度人分数的概念也是较早的，除了在天文学中的分数仍沿用巴比伦的 60进制记号外，他们在其他场合都用整数之比表示分数．他们会对分数进行四则运算，在分数相加减时取分母的乘积为公分母而不求它们的最小公倍数．在著名的巴克沙里手稿中，印度人将分子记在分母之上，无分数线分隔．在带分数的情形，则把整数部分写在分子之上．例如：

3 2 5

3 2 5,

开平方和开立方的方法最早见于阿耶波多的著作．当开方不尽时，他们用近似值表示，如巴克沙里手稿中取

他们还给出了

相当于 婆什伽罗“按照整数那样”对无理数进行运算，并给出具体的运算法则．例如无理数相加，用现代记号表示即

2 2 ,2rA a r aa

1 1 12 1 ,3 3 4 3 4 34

2 1.414215 685,

2( 1) .aba b b ( 0)a b

在阿耶波多的著作中还给出了一些级数求和公式， 例如

遗憾的是，我们还不能搞清楚他们是如何得到这些计算公式的。 11 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 ) ( 1)( 2).2

n n n n

2 2 2 2 11 2 3 ( 1)(2 1);6

n n n n

3 3 3 3 2 2 211 2 3 (1 2 3 ) ( 1) ;4

n n n n

3.1.2 印度的代数 印度数学家使用缩写文字和记号来记述代数方程，有时也用于其他场合．他们使用符号的程度大体上要比丢番图的简写代数稍有进步，不过两者使用的符号是完全不同的．

例如婆什伽罗使用“ yavat-tavat”( 那么多 )的前两个字母“ ya”表示未知数，在含有多个未知数的场合，再使用表示颜色的词，如用calaca(黑 )， nilaca(蓝 )， pitaca(黄 )， lohitaca(红 )， haritaca(绿 )等的前两个字母表示其他未知数．不过，不同数学家使用的符号也不尽相同．

印度数学家常用假设法作为解方程或方程组的工具． 婆什伽罗提供了这样一个例子：两数立方之和为一平方数，两数平方之和为一立方数，求

这两个数．用现代记号即求解方程组

( 为自然数． )婆什伽罗先假设 满足 (3.1)但不满足 (3.2) ，为此必须在 的两端同乘上 5 的乘幂，使右端变成立方数同时满足方程 (3.1) 和 (3.2)．他用试验法，在 (3.2) 的两边同乘以 获得成功，结果得

3 3 2

2 2 3

, (3.1). (3.2)

x y mx y m

, , ,x y m n 1, 2,x y 2 21 2 5

85

625, 1250.x y

二次方程是印度数学家最感兴趣的课题之一，他们允许方程的某些系数是负数，从而可以把二次方程归结为标准类型

婆罗门笈多求得这个方程的一个根为

这与现代的求根公式完全相同． 不定方程的研究可能是使印度数学家自己最值得自豪的．阿耶波多在他的文集中最先提出

方程 （ 是正整数， 互素）的正整数解的求法．此外婆罗门笈多和婆什伽罗还研究过二次不定方程，特别是后者研究了这样一个问题，其可归结为

所得的解为

24 .2

ac b bxa

ax by c ,a b, ,a b c

2 21 61 ,x y

1776319049x 22615390y

2 .ax bx c

印度数学家在公元 11 世纪给出了所谓金字塔图，这就是由二项式展开式系数所构成的三角形，从中他们发现组合数公式

11

r r rn n nC C C

3.1.3 印度的几何与三角 在印度数学中，几何相对于代数来说，显得有些平淡无奇，主要是一些常见的几何体的体积公式，远远不如希腊人所达到的水平．

印度的三角学研究继承并发展了希腊人的工作．他们虽然沿用古希腊数学家托勒密的方法，把圆分成 360 度或 21600分，但不像托勒密那样把直径分为 120 等分，而是把半径分为 120 等分．他们计算的是半弦的长而不是全弦，这样，他们的“正弦”就相当于现在的正弦线，与今天的正弦仅相差 r(r 为半径 ) 倍．此外，婆罗门笈多还首次利用内插法编制了一张正弦表，所用的内插公式在计算效能上与牛顿—斯特林公式是等价的．

3.2 阿拉伯的数学 公元 7 世纪前期，在穆罕默德的领导下，阿拉伯半岛上分散的部落在强烈的伊斯兰宗教热情的感召下统一起来，并迅速崛起．在强悍的武力扩张下，他们建立了一个东起印度西部，西至西班牙，北抵中亚，南达北非的庞大帝国． 8 世纪中期，阿拉伯帝国—分为三．

阿拉伯人对数学的研究始于 8 世纪中叶或 9 世纪初．开始时，阿拉伯人以翻译和学习印度、希腊的数学经典为主．随后在消化、吸收这些著作的基础上进行独立的数学研究．关心并倡导科学和艺术，邀请印度和希腊的科学家到巴格达从事译述和研究，使巴格达成为一个文化中心，促进了阿拉伯世界科学文化的繁荣，这种繁荣时期经历了 600 年，直到1258 年，巴格达被蒙古军队攻陷后才开始走向衰落．

3.2.1 阿拉伯数学的分期与杰出的数学家 (1) 早期： 8 世纪中叶一 9 世纪 阿尔·花拉子米 这一时期最重要的数学家 ,他写过很多书，内容涉及天文、历法、算术

、代数等多个领域，其中最著名的是《代数学》，这部著作曾被译成拉丁文，在欧洲被用作代数学标准教科书达数世纪之久。另一本著作《算术》介绍印度数码的计算方法，后由英国人译成拉丁文，通过这本书，欧洲人才了解到印度的数码和记数系统，花拉子米的著作在中世纪流传极广 .

(2) 中期： 10 世纪—— 12 世纪 阿拉伯数学发展的高峰期，出现的著名数学家有巴塔尼、阿布 ·瓦法和奥马 ·海雅姆 .

巴塔尼 主要研究天文学 , 积 40 年的实测经验，写成《星的科学》这部很有价值的著作，后来哥白

尼在巨著《天体运行论》中多次引用巴塔尼的实测数据就说明了这一点 . 由于天文学研究的需要，巴塔尼 致力于三角学的研究，并取得重要的成果 .

阿布 ·瓦法 曾翻译过丢番图的著作，本人对三角学和算术都有重要贡献 .

奥马 ·海雅姆 既是一位有名的数学家和天文学家，也是一位著名的诗人和思想家，他与别人合作编写的

中世纪最精密的哲拉里历，每隔 5000 年才相差一天，其精密程度由此可见一斑 . 他的《代数学》比花拉子米的《代数学》有明显的进步 . 在这部著作中，他详尽地研究了三次方程的根的几何作 图法，提出了利用圆锥曲线图形求根的理论，这是阿拉伯数学最大的成就之一 .

（ 3 ）后期： 13 世纪—— 15 世纪上半叶 这一时期阿拉伯帝国走向崩溃 . 在 1258 年哈里发王朝覆灭后，阿拉伯语言在很长一段时间内仍然是这一地区的科学用语，故一直到 15 世纪，这一地区的学者的著作仍被归入阿拉

伯科学．这一时期的重要数学家有纳西尔丁 ·图西和卡西 .

纳西尔丁 ·图西 (1201 一 1274) 学识渊博的学者，其著作涉及天文、三角、几何、星盘等多个方

面。 1259 年，他在罗腊格建造了一所大天文台，领导一批有才华的科学家，汇集来自不同地区的珍贵科学手稿，并根据在天文台积累的大量观测资料，编制《伊尔汉历》，对科学发展有很大的影响．他对三角学的重要贡献是编写了一本脱离天文学的著作《论四边形》 .

卡西 (? 一 1429) 著名天文学家和数学家 . 著有《算术之钥》．此书内容广泛，特别在二项式展开、高次方程的数值解法等方面都有引人注目的贡献．有人认为，他的高次方程的解法可能是从中国传入的 . 他精于计算，算得的 值精确到小数点后 16位．

3.2.2 阿拉伯的算术与代数 阿拉伯的算术成就最杰出者首推花拉子米，但他的原著已经失传，今天看到的

是 14 世纪中叶的拉丁文译本，此书是用阿拉伯文介绍印度数码、十进位值数制和计算方法的最早的著作。花拉子米在书中给出了符号“ 0” ，以及 0 在十进位值数制中的作用及其运算规则，书中除整数运算外，还包括分数及其运算。在叙述主要用于天文学的 60进制分数运算法则的同时，也给出了普通分数的运算。

花拉子米的《代数学》首先把代数学作为一门有别于其他学科的、独立的数学分支来处理。此书内容分三大部分：第一部分讲述现代意义下的初等代数；第二部分论及各种实用算术问题；第三部分列举了有关继承遗产的各种类型的问题。

第一部分是全书最有价值的部分，花拉子米系统地讨论了 6 种类型的一次或二次方程的解法，并介绍了配平方法．花拉子米的著作完全用文字叙述，下面用现代符号表示他的 6 种类型的方程：

平方等于根 ( 根即未知数 ) 平方等于数 根等于数 平方加根等于数 平方加数等于根 根加数等于平方 其中系数 都是正数。 花拉子米知道二次方程有两个根，但是他只取正根，放弃负根和零根．

2 ;ax c;ax c

2 ;ax bx c

2 ;ax c bx

2 ;ax bx

, ,a b c

2.bx c ax

花拉子米采取演算与论证并举的方式来阐述解方程的过程．他对形如

一类方程的解法尤为令人注目。 第一种证法是在边长为 的正方形的四条边上向外作边长为 和 的矩形

，再在这个图形的四角作边长为 的四个小正方形，使全图成为边长为 的大正方形，由此推知

由于 ，所以 则

2x px q

x4p

4p

22 2 2 2( ) 4( ) 4( )

2 4 4 4p p p px x x x px

( 2)x p

x

2x px q 2

2( ) ,2 4p px q

2

.4 2p px q

第二种证法如图所示，可得

花拉子米在分别讨论了 6 种类型的方程之后指出：通过“复原”与“对消”两种变换，可将其他形式的一次、二次方程化成这 6 种标推方程，这里所谓的“复原”与“对消”，相当于今天的移项和合并同类项，他将这两种变换看作是解方程的两种最基本的变换．事实上，他的《代数学》这本书的原名就是由“复原”和“对消”两词组合而成的即 al-jibrW′a1—muqabala ，在传抄过程中逐渐演化成今日的 algebra (代数 )，由此可见这本书在代数学发展史上的地位 .

2 2 22( ) ( ) ( )2 2 2p p px x q

奥马·海雅姆在他的《代数学》中用圆锥曲线来解代数方程，是阿拉伯数学中最有创见的成就之一．

例如，他用几何方法给出形如 的三次方程的解，其中 都被看作是线段的长度．

3 2 3 2x b x a cx

, , ,a b c x

他首先应用求第四比例项的其本作图法，由已知线段 a,b,c 作出线段 再作 AB ＝m及 BC ＝ c，以 AC 为直径作一半圆，并过点 B作 BD⊥AC交半圆于 D ．在 BD 上截取 BE ＝ b，过点 E作 EF∥AC ，在 BC 上作点 G ，

使 AB:BG ＝ ED:BE ，并作矩形DBGH ，过点 H作一条以 EF 和 ED 为渐近线的等轴双曲线．设该双曲线和半圆相交于 J, 过 J作 JL∥DB ，交 AC 于 L，则 BL即为所给三次方程的一个根．

3

2 ,amb

3.2.3 阿拉伯的几何与三角 阿拉伯数学家在翻译和注释《几何原本》等希腊著作的基础

上，也展开了对几何的研究。在阿拉伯几何中，最精彩的篇章是卡西关于圆周率的计算．

他在半径为 r的圆中定义弦的序列 的值，它们所对的弧依次是：

1 2 3, , , , na a a a

1 2 36030 , 15 , 7.5 , ,2n n

如图， AB 为直径， D 是弧 BC 的中点，卡西在计算中引用了下面的公式 设 则此公式即 根据这一公式，卡西计算了一系列具有确定的 值的圆内接正 边形的

周长， 其每一条边长 可据勾股定理得

取 r＝ 1 ，卡西依次计算到当 时，

,nAD b 1(2 ).n nb r r b

n 3 2n

na2 2(2 ) ,n na r b

28n

2 1 ( )2

AD AB AB AC

28 2 2 2 2 3 .a

用同样的方法，卡西求出圆的外切正 边形的周长，然后取二者的算术平均数作为圆的近似周长．通过这样的计算程序，卡西最后求得圆周率的近似值为

精确到小数点后 16位，这也使卡西成为中国境外第一个应用十进小数的人．

3 2n

3.1415926535897932

阿拉伯人的三角融会了希腊和印度的长处，特别的是，他们像印度人一样，计算半弦之长而不是全弦之长．巴塔尼从三角线出发，用代数方法得到下列关系 (用现代记号表示 ) ：

由此可见，巴塔尼掌握了 6 种三角线的概念和相互关系，他还研究了三角形的解法，其基本方法是作出某一条边上的高，把问题转化为直角三角形来解．

阿布·瓦法对三角学的贡献在于把所有三角线都定在同一个圆中，而三角学的系统化则应归功于纳西尔丁·图西，他存《论四边形》中指出，由球面三角形的三个角可以求出三条边，反之由三条边可求出三个角，并且从基本概念和比例开始，直到给出各种类型问题的解法，较完整地建立起三角学的系统．这部著作在15 世纪时即传入欧洲，对欧洲三角学的发展产生了重要的影响。

cot cos tan sin sin 1 cos 1, , ,sin cos csc secr r r r

从 8 世纪到 14 世纪期间，在欧洲的数学发展处于低潮时期，阿拉伯人在数学方面取得了显著成绩，虽然其创造性和深刻性比不上希腊数学，但是相对于当时的欧洲和地中海地域来说，他们算得上是最有学问的人了．

他们担负起精神财富的保存者和传输者的使命，把印度和希腊的数学传播到欧洲，对欧洲和整个世界数学的发展作出了巨大的贡献．