专题提升 ( 十二 ) 与圆的切线有关的证明与计算

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专题提升 ( 十二 ) 与圆的切线有关的证明与计算

一　与圆的切线的性质有关的计算或证明

如图1 ， A ， P ， B ， C 是⊙ O 上的四点，∠ APC＝∠ CPB＝ 60

° ，判断△ ABC的形状并证明你的结论．( 人教版九上 P88第 12题 )

图 1


【解析】利用圆周角定理可得∠ BAC＝∠ CPB，∠ ABC＝

∠ APC，而∠ APC＝∠ CPB＝ 60°，所以∠ BAC＝∠ ABC＝ 60

° ，从而可判断△ ABC的形状．

解：△ ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中，

∵ ∠ BAC 与∠CPB 是BC︵所对的圆周角，∠ ABC 与

∠APC是AC︵所对的圆周角， ∴ ∠ BAC＝∠CPB，∠ ABC＝∠APC. 又∵ ∠APC＝∠CPB＝60° ， ∴ ∠ ABC＝∠BAC＝60° ， ∴ △ ABC为等边三角形．


【思想方法】圆周角定理是重要定理之一，它沟通了弧、圆

周角与圆心角之间的关系，是中考中重要的考点．


[2013·天津 ] 已知直线 l 与⊙ O ， AB是⊙ O 的直

径， AD⊥ l 于点 D.

(1)如图 2①，当直线 l 与⊙ O 相切于点 C 时，若∠ DAC＝

30°，求∠ BAC的大小；

(2)如图 2②，当直线 l 与⊙ O 相交于点 E ， F 时，若∠ DAE

＝ 18°，求∠ BAF的大小．

图 2


解： (1)如答图 (1)，连接 OC.

∵直线 l 与⊙ O 相切于点 C ，∴ OC⊥ l ，∴∠ OCD＝ 90°.

由 AD⊥l ，得∠ ADC＝ 90°，

∴∠OCD＋∠ ADC＝ 180°，

∴ AD∥ OC，∴∠ ACO＝∠ DAC.

在⊙ O 中，由 OA＝ OC，

得∠ BAC＝∠ ACO，

∴∠BAC＝∠ DAC＝ 30°.

变形答图 (1)


(2)如图 (2)，连接 BF.

∵∠AEF为 Rt△ ADE的一个外角，∠ DAE＝ 18°，

∴∠AEF＝∠ ADE＋∠ DAE＝ 90°＋ 18°＝ 108°.

在⊙ O 中，四边形 ABFE是圆内接四边形，

∴∠AEF＋∠ B ＝ 180°，

∴∠B ＝ 180°－∠ AEF＝ 180°－ 108°＝ 72°.

由 AB是⊙ O 的直径，得∠ AFB＝ 90°，

∴∠BAF＝ 90°－∠ B ＝ 90°－ 72°＝ 18°. 变形答图 (2)


如图 3 ，在△ ABC中， AB＝ AC，∠ BAC＝ 54°，以 AB为

直径的⊙ O 分别交 AC， BC于点 D ， E ，过点 B 作⊙ O 的切线，

交 AC的延长线于点 F.

图 3


解： (1)连接 AE，

∵ AB是⊙ O 的直径，∴∠AEB＝ 90°，即 AE⊥BC.

又∵ AB＝ AC，∴ BE＝ CE.

(1)求证：BE＝CE； (2)求∠CBF的度数；

(3)若 AB＝6，求AD︵的长．


(2)∵ ∠BAC＝54° ，AB＝AC，

∴ ∠ ABC＝12(180° －∠BAC)＝63° .

又∵ BF是⊙O的切线，∴ ∠ ABF＝90° . ∴ ∠ CBF＝∠ABF－∠ABC＝27° . (3)连接 OD，∵ OA＝OD，∠ BAC＝54° ， ∴ ∠ BAC＝∠ODA＝54° ， ∴ ∠ AOD＝180° －∠BAC－∠ODA＝72° .

又∵ AB＝6，∴ OA＝12AB＝3.∴ AD

︵＝

72π × 3180 ＝

6π5 .


二　与圆的切线的判定有关的计算或证明

如图 4 ，直线 AB经过

⊙ O 上的点 C ，并且 OA＝ OB， CA＝ CB. 求证直

线 AB是⊙ O 的切线． ( 人教版九上 P95例 1)

图 4证明：连接 OC.

∵ OA＝ OB， CA＝ CB，

∴△OAB是等腰三角形， OC是底边 AB上的中线．

∴ OC⊥ AB.

∴ AB是⊙ O 的切线．【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”

或者“作垂直，证半径”．


1 ． [2013·防城港 ] 如图 5 ，以△ ABC的 BC边上一点 O 为

圆心的圆，经过 A ， B 两点，且与 BC边交于点 E ， D 为 BE的下

半圆弧的中点，连接 AD交 BC于 F ，若 AC＝ FC.

(1)求证： AC是⊙ O 的切线；

(2)若 BF＝8，DF＝ 40，求⊙O的半径 r.

图 5


解： (1)连接 OA， OD，则 OA＝ OD，

∴∠OAD＝∠ ODA.

∵ D 为 BE的下半圆弧的中点，∴ OD⊥ BE，

∴∠ODA＋∠ OFD＝ 90°，

∴∠OAD＋∠ OFD＝ 90°.

∵∠OFD＝∠ AFC，∴∠ OAD＋∠ AFC＝ 90°.

∵ AC＝ FC，∴∠ FAC＝∠ AFC，

∴∠OAD＋∠ FAC＝ 90°，即 OA⊥AC，

∴ AC是⊙ O 的切线．


(2)∵ BF＝8，DF＝ 40，⊙ O的半径为 r，

∴ OF＝BF－OB＝8－r. ∵ 在直角三角形 OFD中，OD2＋OF2＝DF2，

∴ r2＋(8－r)2＝( 40)2，

解得 r＝6或 r＝2(不合题意，舍去)， ∴ ⊙ O的半径 r＝6.


2 ． [2013·德州 ] 如图 6 ，已知⊙ O 的

半径为 1 ， DE是⊙ O 的直径，过 D 作⊙ O 的切

线， C 是 AD的中点， AE交⊙ O 于 B 点，四边

形 BCOE是平行四边形．

(1)求 AD的长；图 6

(2)BC是⊙ O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．

解： (1)连接 BD，则∠ DBE＝ 90°.

∵四边形 BCOE是平行四边形，

∴ BC∥ OE， BC＝ OE＝ 1.

在 Rt△ ABD中， C 为 AD的中点，


∴ BC＝12AD.∴ AD＝2BC＝2.

(2)连接 OB，由(1)得 BC∥ OD，且 BC＝OD， ∴ 四边形 BCDO是平行四边形．又∵ AD是⊙O的切线， ∴ OD⊥ AD. ∴ 四边形 BCDO是矩形． ∴ OB⊥ BC.∴ BC是⊙O的切线．


如图 7 ， AB是⊙ O 的直径， D 为⊙ O 上一点， AT平分∠ BAD

交⊙ O 于点 T ，过点 T 作 TC⊥AD交 AD的延长线于点 C.

(1)求证： CT为⊙ O 的切线；

(2)若⊙O的半径为 2，CT＝ 3，求 AD的长．

图 7


中考预测答图


解：(1)证明：如答图，连接 OT.∵ OA＝OT， ∴ ∠ OAT＝∠OTA.又∵ AT平分∠BAD， ∴ ∠ DAT＝∠OAT，∴ ∠ DAT＝∠ OTA，∴ OT∥ AC. 又∵ CT⊥AC，∴ CT⊥ OT，∴ CT为⊙O的切线． (2)如答图，过点 O作 OE⊥AD于点 E，则点 E为 AD中点．又∵ CT⊥AC，∴ OE∥ CT. 又∵ OT∥ AC，∴ 四边形 OTCE为矩形．

∵ CT＝ 3，∴ OE＝ 3.又∵ OA＝2，

∴ 在 Rt△ OAE中，AE＝ OA2－OE2＝ 22－（ 3）2＝1， ∴ AD＝2AE＝2.

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