第七章特徵值與特徵向量

7.1 特徵值與特徵向量7.2 對角化7.3 對稱矩陣與正交對角化

7 - 2

7.1 特徵值與特徵向量 特徵值問題 (eigenvalue problem)

若 A 為一 nn 矩陣，在 Rn 中是否存在著非零向量 x，使得 Ax與 x之間存在著倍數關係？

特徵值 (eigenvalue) 與特徵向量 (eigenvector)

A ： nn 矩陣：純量x： Rn 中的非零向量

xAx

特徵值

特徵向量

幾何表示

7 - 3

範例 1 ： 證明特徵值與特徵向量

10

02A

01

1x

11 20120

201

1002 xAx

特徵值

22 )1(1011

010

1002 xAx

特徵值

特徵向量

特徵向量

10

2x

7 - 4

定理 7.1 ： 特徵空間 (eigenspace)

若 A 為一 nn 矩陣，且為 A 的一個特徵值，則對應於的所有特徵向量與零向量可構成一個Rn 的子空間，稱為特徵空間 證明：

x1 與 x2 為特徵值所對應的特徵向量) , ..( 2211 xAxxAxei

) ..( )()( )1(

21

21212121

的特徵向量為對應於λxxeixxxxAxAxxxA

) ..( )()()()( )2(

1

1111

的特徵向量為對應於

cxeicxxcAxccxA

7 - 5

範例 3 ：平面中的特徵空間 求下列矩陣的特徵值及所對應的特徵空間

1001

A

yx

yx

A 1001

v

假設 ) ,(v yx

0

100

1001 xxx

位於 x 軸的向量 特徵值為 11

解：

7 - 6

位於 y 軸的向量

yyy0

100

1001

特徵值為 12

就幾何上來說，矩陣 A 與在 R2中的向量的乘積為對稱於 y 軸的映射對應於 的特徵空間為 x 軸 對應於 的特徵空間為 y 軸

11

12

7 - 7

定理 7.2 ：求矩陣 AMnn的特徵值與特徵向量當 時有非零解，若且唯若 0)I( xA 0)Idet( A

0)I( xAxAx

0)Idet( A(1) 為 A 的一個特徵值，使得(2) A 對應於的特徵向量為 的非零解0)Idet( A

AMnn的特徵多項式 (characteristic polynomial)

011

1)I()Idet( cccAA nn

n

A 的特徵方程式 (characteristic equation)

0)Idet( A

)(齊次系統

7 - 8

範例 4 ：求特徵值與特徵向量

51

122A

解：特徵方程式：

0)2)(1(23

51122

)I(

2

A

特徵值為： 2 ,1 21

2 ,1

7 - 9

2)2( 2

0 ,133

00

31124

)I(

2

1

2

12

tttt

xx

xx

xA

1)1( 1

0 ,144

00

41123

)I(

2

1

2

11

tttt

xx

xx

xA

7 - 10

200020012

A

解：特徵方程式：0)2(

200020012

I 3

A

特徵值為： 2

範例 5 ：求特徵值、特徵向量與每個特徵值所對應特徵空間的維度

7 - 11

對應於 的特徵向量為：2

000

000000010

)I(3

2

1

xxx

xA

0, ,100

001

03

2

1

tsts

t

s

xxx

的特徵空間為對應於 2,100

001

Rtsts

故特徵空間的維度為 2

7 - 12

注意：(1) 若特徵值 1為特徵多項式的 k個重根， 則 1的重數 (multiplicity)為 k

(2) 特徵值的重數往往會大於或等於其特徵空間的維度

7 - 13

範例 6 ：求 A 之特徵值與其對應特徵空間的一組基底

30010201105100001

A

解：特徵方程式：

0)3)(2()1(

30010201

105100001

I

2

A

特徵值為： 3 ,2 ,1 321

7 - 14

1)1( 1

0000

20010101

105000000

)I(

4

3

2

1

1

xxxx

xA

0, ,

1202

0010

2

2

4

3

2

1

tsts

tt

st

xxxx

1202

,

0010

為 時所對應特徵空間的一組基底 1

7 - 15

2)2( 2

0000

10010001

105100001

)I(

4

3

2

1

2

xxxx

xA

0 ,

0150

0

50

4

3

2

1

tttt

xxxx

0150

為 時所對應特徵空間的一組基底 2

7 - 16

3)3( 3

0000

00010101

105200002

)I(

4

3

2

1

3

xxxx

xA

0 ,

105

0

050

4

3

2

1

tt

t

t

xxxx

105

0

為 時所對應特徵空間的一組基底 3

7 - 17

定理 7.3 ：三角矩陣的特徵值若 A 為一個 nn 的三角矩陣，則其特徵值為其主對角線上的元素

範例 7 ：求對角矩陣及三角矩陣的特徵值

335011002

)( Aa

3000004000000000002000001

)( Ab

解：)3)(1)(2(

335011002

I )(

Aa

3 ,1 ,2 321

3 ,4 ,0 ,2 ,1 )( 54321 b

7 - 18

線性轉換的特徵值與特徵向量

稱為特徵空間包含零向量的特徵向量集合量，而所有的一個特徵向對應於稱為的特徵值，向量稱為線性轉換，則，使得若存在一非零向量

)( :

)(

TVVTTx

xxx

7 - 19

範例 8 ：線性轉換的特徵值與特徵空間

求其特徵值與特徵空間

的矩陣為相對的標準基底線性轉換

200013031

: 33

A

BRRT

)}1 ,0 ,0(),0 ,1 ,0(),0 ,0 ,1{(B標準基底：

解：

200

013031

AI

)4()2()82)(2(]9)1)[(2(

22

2

2 ,4 21 特徵值為

7 - 20

的基底的基底

分別為兩個特徵值的特徵空間

2 )}1 ,0 ,0(),0 ,1 ,1{(4 )}0 ,1 ,1{(

22

11

BB

注意：

)}1 ,0 ,0(),0 ,1 ,1(),0 ,1 ,1{('

33

B

AA'B'TA'RT:RB'

特徵值的主對角線的元素為的矩陣，且相對於基底為

對角矩陣的一組非標準基底，則 為令

200020004

'A的特徵向量A

的特徵值A

7 - 21

摘要與復習 (7.1 節之關鍵詞 )

eigenvalue problem: 特徵值問題 eigenvalue: 特徵值 eigenvector: 特徵向量 characteristic polynomial: 特徵多項式 characteristic equation: 特徵方程式 eigenspace: 特徵空間 multiplicity: 重數

7 - 22

7.2 對角化 對角化問題 (diagonalization problem)

對一方陣 A ，是否存在一可逆矩陣 P 使得 P-1AP 為對角矩陣 可對角化矩陣 (diagonalizable matrix)

一方陣 A 稱為可對角化矩陣，若存在一可逆矩陣 P 使得 P-1AP為對角矩陣 (P 對角化 A)

注意：(1) 若存在一可逆矩 P 使得 ，則 A 與 B 兩

方陣稱為相似矩陣 (similar matrix)APPB 1

(2) 特徵值問題與對角化問題兩者關係密切

7 - 23

定理 7.4 ：相似矩陣具有相同的特徵值若 A 與 B 為 nn 相似矩陣，則他們具有相同的特徵值

證明：APPBBA 1為相似矩陣與

A

APPAPPPAP

PAPAPPPPAPPB

I

III

)I(III111

1111

故 A 與 B 具有相同的特徵值

7 - 24

範例 1 ：可對角化矩陣

200013031

A

解：特徵方程式：0)2)(4(

200013031

I 2

A

2 ,2 ,4 321 特徵值為：

特徵向量為4)1(

011

1p

7 - 25

特徵向量為 2)2(

100

,01

132 pp

200020004

100011011

][

1

321

APP

pppP

使得

，

200040002

100011011

][

1

312

APP

pppP 注意：當

7 - 26

定理 7.5 ：可對角化的條件一 nn 的矩陣 A 為可對角化，若且唯若它有 n 個線性獨立的特徵向量

證明：可對角化A)(

),,,(][ 2121

1

nn diagDpppPAPPDP

及令為對角矩陣使得存在一可逆矩陣

][

00

0000

][

2211

2

1

21

nn

n

n

ppp

pppPD

7 - 27

PDAPApApApAP n

][ 21

) ..( ,,2 ,1 ,的特徵向量為的行向量 ApPei

nipAp

i

iii

線性獨立為可逆矩陣 npppP ,,, 11

個線性獨立的特徵向量具有故 nA

n

npppnA

,,

,,)(

21

21

分別對應於特徵值個線性獨立的特徵向量具有

nipAp iii ,,2 ,1 ,

][ 21 npppP 令

7 - 28

PDppp

pppApApAppppAAP

n

n

nn

nn

00

0000

][

][][][

2

1

21

2211

2121

可對角化

為可逆矩陣線性獨立

ADAPP

Pppp n

1

11 ,,,

7 - 29

範例 2 ：不可對角化為不可對角化矩陣證明

200013031

A

解：特徵方程式：0)1(10

21I 2

A

11 特徵值為：

0

10010~00

20I 1pAIA 特徵向量為

A 沒有兩個線性獨立的特徵向量故 A 不可對角化

7 - 30

nn 方陣對角化步驟

步驟二：令 ][ 21 npppP

步驟一：找出 n 個線性獨立的特徵向量 nppp ,, 21

步驟三：

n

DAPP

00

0000

2

1

1

nipAp iii ,,2 ,1 , 其中，

7 - 31

範例 5 ：矩陣對角化

為對角矩陣使得求矩陣 APPP

A

1

113131111

解：特徵方程式：0)3)(2)(2(

113131

111I

A

3 ,2 ,2 321 特徵值為：

7 - 32

21

000010101

~313111

111I1 A

101

0 1

3

2

1

pt

t

xxx

特徵向量

22

0001001

~113151

113I 4

141

2 A

41

1 24

141

3

2

1

pt

tt

xxx

特徵向量

7 - 33

33

000110

101~

413101

112I3 A

111

3

3

2

1

pttt

xxx

特徵向量

300020002

141110111

][

1

321

APP

pppP

使得

，

7 - 34

注意：

kn

k

k

k

n d

dd

D

d

dd

D

00

0000

00

0000

)1( 2

1

2

1

1

11

)2(

PPDA

PAPDAPPDkk

kk

7 - 35

定理 7.6 ：可對角化的充份條件若 nn 矩陣 A 有 n 個不同的特徵值，則對應的特徵向量為線性獨立且 A 為可對角化矩陣

範例 7 ：判斷 A 是否可對角化

300100121

A

解：因為 A 為三角矩陣，其特徵值為3 ,2 ,2 321

因為三個特徵值均不同故 A 為可對角化矩陣

7 - 36

範例 8 ：求線性轉換的對角矩陣

解：的矩陣為一對角矩陣相對於使得中的基底求

為線性轉換

BTBR

xxxxxxxxxxxxTRRT

3

321321321321

33

)3 ,3 ,(),,(:

113131111

A

T的標準矩陣為

BA

組基底立的特徵向量來形成一中三個線性獨可對角化，因此以範例可知由範例 5 5

7 - 37

)}1 ,1 ,1(),4 ,1 ,1(),1 ,0 ,1{( B

300020002

D

D為一對角矩陣陣則對應於這組基底的矩

7 - 38

摘要與復習 (7.2 節之關鍵詞 )

diagonalization problem: 對角化問題 diagonalization: 對角化 diagonalizable matrix: 可對角化矩陣

7 - 39

7.3 對稱矩陣與正交對角化 對稱矩陣 (symmetric matrix)

方陣 A 若相等於自己的轉置矩陣，則稱 A 為對稱矩陣TAA 即

範例 1 ：對稱矩陣

502031210

A

13

34B

501041123

C

為對稱矩陣A

為對稱矩陣B

為不對稱矩陣C

7 - 40

對稱矩陣的特徵值若 A 為一 nn 的對稱矩陣，則以下的性質為真 (1) A 可對角化 (2) A 的所有特徵值均為實數 (3) 若 A 的特徵值具有重數 k ，則具有 k 個線性獨

立 的特徵向量。亦即的特徵空間的維度為 k

7 - 41

範例 2 ：證明對稱矩陣為可對角化

bc

caA

證明：特徵方程式：0)( 22

cabbabc

caAI

22

222

22222

4)(

42

442)(4)(

cba

cbaba

cabbabacabba

二項式的判斷式：

0

7 - 42

04)( )1( 22 cba

0 , cba

為對角矩陣 00

aaA

04)( )2( 22 cba

會有兩個實數根二項式 0)( 22 cabba

有兩個實數特徵值A

為可對角化矩陣A

7 - 43

正交矩陣 (orthogonal matrix)

一方陣 P 為正交若 P 為可逆且 TPP 1

定理 7.8 ： 正交矩陣的性質 一nn矩陣P為正交若且唯若它的行向量可形成一單 範正交集

定理 7.9 ： 對稱矩陣的性質 令 A 為一 nn 的對稱矩陣。若 1及 2為 A 的不同特徵值， 則其相對的特徵向量 x1與 x2為正交

7 - 44

範例 5 ： 證明 P 為正交矩陣

535

534

532

51

52

32

32

31

0P

解：若 P 為正交矩陣，則 I 1 TT PPPP

I100010001

00

535

32

534

51

32

532

52

31

535

534

532

51

52

32

32

31

TPP

535

32

3

5345

132

2

53252

31

1 0 , , ppp令

7 - 45

1 0

321

323121

ppppppppp則

為單範正交集} , ,{ 321 ppp

7 - 46

定理 7.10 ： 對稱矩陣的基本定理令 A 為一 nn 的矩陣，則 A 為正交可對角化矩陣且具有實數的特徵值若且唯若 A 為對稱矩陣

對稱矩陣的正交對角化 (orthogonal diagonalization)令 A 為一 nn 的矩陣。(1) 找出 A 的特徵值並找出每個特徵值的重數 (2) 對於每個重數為 1 的特徵值，選出一個單位特徵向量 (3) 對於每個重數為 k2 的特徵值，找出一組有 k 個線性獨立的特徵向量集。若這個向量集並非單範正交，利用 Gram-Schmidt 單範正交過程將之單範正交化 (4) 由 (2) 與 (3) 的結果產生一組有 n 個特徵向量的單範正交集。利用這些特徵向量來做為矩陣 P的行向量

7 - 47

範例 7 ：可正交對角化

111101111

1A

081812125

2A

102

0233A

2000

4A

可正交對角化對稱矩陣

7 - 48

範例 9 ： 正交對角化

對角化將求正交矩陣 AP

A

142412222

解：0)6()3( )1( 2 AI

)2( 3 ,6 21 具重數

) , ,( )2 ,2 ,1( ,6 )2( 32

32

31

1

1111

vvuv

)1 ,0 ,2( ),0 ,1 ,2( ,3 )3( 322 vv

線性獨立

7 - 49

Gram-Schmidt 過程 )1 , ,( ),0 ,1 ,2( 5

452

222

233322

wwwwvvwvw

) , ,( ),0 , ,(53

553

453

2

3

335

15

2

2

22

wwu

wwu

535

32

534

51

32

532

52

31

0P

300030006

1APP

7 - 50

摘要與復習 (7.3 節之關鍵詞 )

symmetric matrix: 對稱矩陣 orthogonal matrix: 正交矩陣 orthonormal set: 單範正交集 orthogonal diagonalization: 正交對角化