跳转到第一页1

第 4章 矩阵的特征值 和特征向量

§4.2 相似矩阵与矩阵对角化

跳转到第一页2

A,B n , n P ,

P AP B,

B A , A B .

A ~ B

1

1

定义 设 都是 阶矩阵 若有 阶可逆矩阵 使

则称 是 的相似矩阵 或说矩阵 与 相似记作

一、相似矩阵的定义

跳转到第一页3

,

,

A B

P P

-1

3 -4 1 0例如 设 =

1 -1 1 1

1 2 1 -2存在可逆矩阵 = , 使得

0 1 0 1

~

P AP

B

A B

-1

1 -2 3 -4 1 2

0 1 1 -1 0 1

1 -2 1 2

1 -1 0 1

1 0=

1 1

则

跳转到第一页4二、相似矩阵的性质1. 相似关系具有反身性、对称性及传递性 , 是一种等价关系 .

E AE A E

A A

,

~

-1

(1) 反身性

由 = 其中 是单位矩阵.

A B P

P AP B

A PBP

Q P Q P Q BQ A

B A

1 1

~ ,

, ,

~

-1

-1

-1

(2) 对称性巳知 存在可逆矩阵 使得

=

=

令 于是

跳转到第一页5

A B P

P AP B

B C Q

Q BQ C

(3)

~ ,

,

~ ,

,

-1

-1

传递性巳知 存在可逆矩阵 使得

=

存在可逆矩阵 使得

=

Q P APQ C

PQ APQ C

PQ

A C

1( )

~

-1 -1 =

=

因 是可逆矩阵,

跳转到第一页6

~ , ~A B k kA kB2.若 为任意非零常数,则

A B P

P AP B

kP AP kB

P kA P kB

kA kB

~ ,

( )

~

-1

-1

-1

证 巳知 存在可逆矩阵 使得

=

=

=

跳转到第一页7

A B R A R B~ , ( ) ( )3.若 则

A B P

P AP B

P P

R B R P AP R AP R A

~ ,

,

( ) ( ) ( ) ( )

-1

-1

-1

证 巳知 存在可逆矩阵 使得

=

因 是可逆矩阵,

跳转到第一页8

A B A B~ , 4.若 则

A B P

P AP B

P AP B

P A P B

A B

~ ,

-1

-1

-1

证 巳知 存在可逆矩阵 使得

=

跳转到第一页9

A B A A B1 1~ , ~ 5.若 且 是可逆矩阵,则

A B P

P AP B

P AP B

P A P B

A B

1 1

1 1

1 1

~ ,

( )

~

-1

-1

-1

证 巳知 存在可逆矩阵 使得

=

=

跳转到第一页10m mA B A B~ , ~6.若 则

m m

m

m m

m m

A B P

P AP B

P AP B

P AP P AP P AP B

P A P B

A B

~ ,

( )

( )( ) ( )

~

-1

-1

-1 -1 -1

-1

证 巳知 存在可逆矩阵 使得

=

=

=

跳转到第一页11

证明 若 与 相似,A B

1 1 E B P E P P AP

1 P E A P1 P E A P

. E A

1,P P AP B 有可逆矩阵 使得

n A B A B

A B

1 ,

, .

定理 若 阶矩阵 与 相似 则 与 的特征多项式相同从而 与 的特征值亦相同

A B

A B

,

.

则 与 的特征多项式相同从而 与 的特征值亦相同

跳转到第一页12

n

n

n A

A n

1

2

1 2, , , , .

推论:若 阶矩阵 与对角矩阵

相似 则 即是 的 个特征值

1 2

1 2

( )( ) ( )

, , ,

n

n

E

n

A n

证

则 是 的 个特征值,

即是 的 个特征值.

注 两矩阵相似有相同的特征值,

但未必有相同的特征向量.

跳转到第一页13

,

~ .

A B

P P AP B A B

-1

3 -4 1 0例如 设 =

1 -1 1 1

1 2存在可逆矩阵 = ,使得

0 1

2

1 2

3 4,

1 1

3 4( 3)( 1) 4 ( 1)

1 1

0 1

A A

E A

E A

求 的特征向量

解

由 .

跳转到第一页14

2

1 2

1 0,

1 1

1 0( 1)

1 1

0 1

B B

E B

E B

求 的特征向量

解

由 .

2,

1

,

得基础解系为

其对应的特征向量为c 其中c为任意非零常数

1 2 2 2

) 0

2 4 1 2

1 2 0 0

2 0, 1,

E A x

E A

x x x x

解方程组 (

由 -

得同解方程组 设 为自由未知量,取

跳转到第一页15) 0

0 0 1 0

1 0 0 0

E B x

E B

解方程组 (

由 -

1 2 20, 1,

0,

1

x x x

得同解方程组 设 为自由未知量,取

得基础解系为

,

A B

其对应的特征向量为c 其中c为任意非零常数因 和 是线性无关的, 和 虽有相同的特征值,

但属于相同特征值的特征向量不同.

跳转到第一页16

1

n A , P ,

P AP ( , A .

对 阶矩阵 若可找到可逆矩阵 使

为对角矩阵)这就称矩阵 可对角化

n

P P AP

P P p p p

1

1 2

, ( ,

, , , .

证 证条件是必要的,

假设存在可逆矩阵 使 为对角矩阵)

把 用其列向量表示为

三、矩阵对角化

n A n A

A n

1 ( )

.

定理 阶矩阵 与 阶对角矩阵相似即 可对角化的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量

跳转到第一页17

1

21 2 1 2

1 2 1 1 2 2

, , , , , ,

, , , , , , (1)

n n

n

n n n

A p p p p p p

A p p p p p p

即

1 2 1 2

1 2 1 1 2 2

, , , , , , (2)

, , , , , ,

n n

n n n

A p p p Ap Ap Ap

Ap Ap Ap p p p

又

则

1,2, , .i i iAp p i n 于是有

,,1 PAPAPP 得由

跳转到第一页18

.

,

的特征向量的对应于特征值

就是的列向量而的特征值是可见

i

ii

A

pPA

1 2, , , , .nP p p p又由于 可逆 所以 线性无关

-1

, A n

n , n

P ,P

AP P , P AP .

A ~

反之 证条件是充分的.由于 有 个线性无关的特征向量,可对应地求得 个特征值 这 个线性无关特征向量可构成矩阵 是可逆的,

使 则

推论 : 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等，则 A有 n 个线性无关特征向量 , 于是 A 与对角矩阵相似．

跳转到第一页19注 :n

n

P p p p1 2

1 2

(1) , , ,

, , , .

中的列向量 的排列顺序要与

中的顺序一致

( ) 0 ,

,i i

i

P E A x

P P

(2)因 是 的基础解系中解向量

的取法不唯一 所以 也不唯一.

(3) 0E A

n

i

i

i

的全部根 (i=1,2 ,n)

有 个(重根按重数计算),若不计 排列顺序,

则全部根 (i=1,2 ,n)是唯一的.

跳转到第一页20

0

0

2

.

n A k

A k

定理 设 是 阶矩阵 的一个 重特征值,

则 的属于 的线性无关特征向量最大个数

*

0

0

1 1 0

,

1 ,

, , , , ( 1, , 1)k k i i

A k

A k

A i k

证 采用反证法,

设 的属于 的线性无关特征向量个数

不妨设 的属于 的线性无关特征向量有 个如下并且

跳转到第一页21

0

2

1 1

( 1)

, , ,

, , , , , .k n

k k n

n n k

在 维向量组中,总可以选择 个向量,

不要求是 的特征向量,记为

使得 是线性无关

1 1

1 1

1 1

, , , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

k k n

k k n

k k n

P

AP A

AP A A A A

设

跳转到第一页22

k k k n

k n

k k n k k k n

k k k n

n k n n

AP A A

b b

AP b b

b b

b b

0 1 0 0 1 2

0 1, 2 1,

0

1 1 0 1, 2 1,

2, 2 2,

, 2 ,

, , , , , ,

, , , , ,

0 0

0 0

跳转到第一页23

k n

k k k n

k k k n

n k n n

b b

P AP b b

b b

b b

E A P E A P

E P AP

0 1, 2 1,

0

10 1, 2 1,

2, 2 2,

, 2 ,

1

1

0 0

0 0

( )

由

跳转到第一页24

k n

k k k n

k k k n

n k n n

b b

E P AP b b

b b

b b

0 1, 2 1,

0

10 1, 2 1,

2, 2 2,

, 2 ,

0 0

0 0

因

k k k n

k

n k n n

b b

E A

b b

2, 2 2,

10

, 2 ,

( )

跳转到第一页25

0

0

0, ,

.

E A k

k

则由 得出 的重数

与已知 的重数=矛盾

0

0

0 0

1, ,

A

k k

k A

k

反证法也适用于假设 的属于 的线性无关

特征向量个数 得出 的重数

与已知 的重数=矛盾,则 的属于 的

线性无关特征向量最大个数

跳转到第一页26

( ) 0

- ( ),

- ( )

E A x

A

A

n R E A

n R E A k

注 齐次线性方程组 的一个基础解系就是 的属于 的一个极大线性无关特征向量组.

的属于 的线性无关特征向量最大个数 就是基础解系中解向量个数=

则

跳转到第一页27

- ( - )

n A n

A n R E A 推论 阶矩阵 与 阶对角矩阵相似的充分必要条件 是 的每个特征值 的重数=

s

ii

n R E A

t n R E A

A i s k

k n1

- ( - )

- ( - )

( 1,2, , ), ,

i i

证 因为 就是属于特征值 的 极大线性无关组中向量个数,记为t

特征值 的重数设 的全部特征值为 其重数为

跳转到第一页28

s s

i i i ii i

t k n t k i s1 1

,

, ( 1, , )

i i属于特征值 的极大线性无关组中向量个数记为t

其中

1 1

( 1, , ) ,

,

- ( - )

i i

s s

i ii i

t k i s

t k n n

n A n

A n R E A

当且仅当 时

即有 个线性无关特征向量,

则 阶矩阵 与 阶对角矩阵相似的充要条件是 的每个特征值 的重数=

跳转到第一页29例 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？

242

422

221

)1( A

E A 由

2

2 7

1 2 2

2 2 4

2 4 2

E A 1 2 32, 7. 令 =0,得

3 1 1

(2) A 2 0 1

1 1 2A(1) 解: 第一步,求矩阵 的特征值

跳转到第一页30

1 1E A X 0 E A

第二步 求线性无关特征向量的最大个数

对 的系数矩阵 施行

初等行变换,

则与 2 对应的基础解系中所含解向量个数为 2, 并且与 -7 对应的基础解系中所含解向量个数为 1,则 A 有三个线性无关特征向量 ,A 能化为对角阵 .

1

1 2 2

E A 2 4 4

2 4 4

1 2 2

0 0 0

0 0 0

1E A 的秩为1.

跳转到第一页31

2

2 ( 1)

3 1 1

(2) A 2 0 1

1 1 2

1 2 3E A 2, 1. 令 =0,得

E A由

3 1 1

2 1

1 1 2

A(2) 解: 第一步,求矩阵 的特征值

1 1E A X 0 E A

第二步 求线性无关特征向量的最大个数

对 的系数矩阵 施行

初等行变换,

跳转到第一页32

1

1 1 1

E A 2 2 1

1 1 0

1 1 1

0 0 1

0 0 1

1 1 0

0 0 1

0 0 0

1E A 因 的秩为2

则与 2 对应的基础解系中所含解向量个数为 1, 小于特征值 2 的重数 ,A 不能化为对角矩阵 .

跳转到第一页33

22

4 6 0

E A 3 5 0 ( 1)[( 4)( 5) 18]

3 6 1

( 1)( 2) 1 2

.2,1 321 的全部特征值为所以A

A A

P P AP1

4 6 0

2 3 5 0

3 6 1

, , .

例 设 试问 可否对角化?

若可对角化 则求出可逆矩阵 使 为对角阵

A 解: 第一步,求矩阵 的特征值

跳转到第一页34

E A

E A

A

3 6 0 1 2 0

3 6 0 0 0 0

3 6 0 0 0 0

1, 2,

因 的秩为 则对应的线性无关的特征向量个数为连同与-2对应的线性无关的特征向量个数为1,总共有3个线性无关的特征向量,矩阵 可对角化.

1 1E A X 0 E A

第二步 求线性无关特征向量的最大个数

对 的系数矩阵 施行

初等行变换,

跳转到第一页35

x x x x

x x1 2 1 2

2 3

2 0 2 ,

设 , 为自由未知量

1 2 第三步 求特征向量求对应于 =1的特征向量

由同解方程组

2 3 1 2 3 11, 0, 2 0, 1, 0x x x x x x 令 则 令 则

得基础解系

1

2

1 ,

0

2

0

0 .

1

跳转到第一页36

3 3E A X 0 E A 对 的系数矩阵 施行

初等行变换,

1

2

1 2

3 0,

3 0

3 3 1, 1, 1

x x

x x

x x x x

设 为自由未知量,令 得

E A

6 6 0 1 1 0 1 0 1

2 3 3 0 1 2 1 0 1 1

3 6 3 0 0 0 0 0 0

3 .1,1,1T

得基础解系

由同解方程组

3 2 求对应于 的特征向量

跳转到第一页37

1 2 3

2 0 1

, , 1 0 1

0 1 1

P

令

.

200

010

001

1

APP则有

P P AP1, 第四步 求出可逆矩阵 使 为对角阵

跳转到第一页38

注意

3 1 2

-1 -2 0

, , 1 1 0 ,

1 0 1

P

若令

.

1

APP则有

0

0

0

0

0

021

1

　　即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．

跳转到第一页39

A1 3

3 1

例4 设

.1 为对角阵使 APP

2 21 3( 1) 9 2 8 ( 2)( 4)

3 1E A

1 22, 4.A 所以 的全部特征值为

A 解: 第一步,求矩阵 的特征值

(1) 求矩阵 A 的特征值和特征向量 (2) 试问 A 能否对角化？若能对角化，则求可逆矩阵 P

跳转到第一页40第二步 求特征向量 1 1E A X 0 E A对 的系数矩阵 施行初等行变换,

1

3 3 1 1E A

3 3 0 0

1E A 的秩为1

则与 -2 对应的基础解系中所含解向量个数为 2-1=1.

x x

x x x1 2

2 2 1

0,

1, 1.

设 为自由未知量,令 则

由同解方程组

得基础解系 T

1 1 1

1 1 1c c 1属于 =-2的特征向量为 ,其中 为任意非零常数。

跳转到第一页41

2 2E A X 0 E A 对 的系数矩阵 施行初等行变换,

2

3 3 1 1E A

3 3 0 0

2E A 的秩为1

则与 4 对应的基础解系中所含解向量个数为 1.

由同解方程组x x

x x x1 2

2 2 1

0,

1, 1.

设 为自由未知量,令 得

得基础解系 T

2 1 1

2 2 2c c 2属于 =4的特征向量为 ,其中 为任意非常实数。

跳转到第一页42

1 2, P 以 作为列，构成可逆矩阵 ，

1

1 1,

1 1

2

4

P

P AP

于是

因二阶矩阵有2个不同的特征值,有2个线性无关特征向量,矩阵可对角化.

P P AP1, 第三步 求出可逆矩阵 使 为对角阵