关于教学设计的一些思考

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一．几点基本认识：● 基本认识一，教学设计是一项综合反映教师专业化水平的工作，是教师教学能力的集中体现。● 基本认识二，高水平、高质量的教学设计是建立在如下的三个方面基础之上的：

1 ．基础一，对学科内容有深刻的把握。主要体现在对数学知识的结构与关联的全面、深刻的理解，对数学思想、方法及其精髓的理解，以及对数学知识中所凝结的数学思维活动方式和其价值观意义的理解——这是保证教学实现数学知识、能力培养、价值观提升的第一要素。

2 ．基础二，理解学生。主要体现在对学生学习规律，特别是数学思维规律的理解——这是组织好教学过程中学生思维活动的主要依据。3 ．基础三，理解数学教学。数学是思维的科学，数学教学必须遵循和突出这一特点和规律。

二．从“数学知识、学生学习、思维规律”作教学设计的例说：● 例说一，“解直角三角形”1 ．关于内容的研究⑴ 知识链清单：知识知识名称名称

教材教材中的中的位置位置 前 继前 继 后 继后 继

解直解直角三角三角形角形

九年九年级上级上册册 PP1111

99 ～～ PP124124

ⅰⅰ ．锐角三角函数；．锐角三角函数；ⅱⅱ ．勾股定理；．勾股定理；ⅲⅲ ．直角三角形中两锐角互余；．直角三角形中两锐角互余；ⅣⅣ ．直角三角形全等的判定定理。．直角三角形全等的判定定理。

ⅰⅰ ．可模型化为可．可模型化为可解直角三角形的实解直角三角形的实际问题；际问题；ⅱⅱ ．一些可解的一．一些可解的一般三角形。般三角形。

⑵ 知识结构与关联的研究：① 在直角三角形中，知道角的大小和知道该角的三角函数值是等价的；② 在什么样的条件下直角三角形是可解的？与直角三角形全等的判定条件是完全一致的：

已已知知条条件件两条边两条边 一条边和一个锐角一条边和一个锐角

两条直角边两条直角边 斜边和一条斜边和一条直角边直角边 斜边和一个斜边和一个锐角锐角 一条直角边一条直角边和一个锐角和一个锐角

相相应应图图形形

解解法法

A

BC

c

a

b

A

BC

c

a

b

A

BC

c

a

b

A

BC

c

a

b

2 2

tan ,

90 ,

,sin

.

aA

bB A

ac

A

c a b

或2 2

sin ,

90 ,sin ,

.

bB

cA Ba c A

a c b或

90 ,sin ,cos .

B Aa c Ab c A

tan90 ,

,

.sin

B Aa b A

bc

B

条条件件 已知两已知两边夹角边夹角 已知两已知两

角夹边角夹边 已知三边已知三边

转转化化的的方方法法作作 BDBD⊥⊥ACAC 于于DD ，， Rt△Rt△ABDABD和和 Rt△Rt△BCDBCD 可可解．解．

作作 CECE⊥⊥ABAB 于于 EE ，，在在 Rt△Rt△ACEACE 和和Rt△Rt△BCEBCE 中，构中，构造造 ADAD 的方程，的方程，则两直角三角形则两直角三角形都可解．都可解．

作作 AHAH⊥⊥BCBC 于于 HH ，通，通过构造过构造 BHBH 的方程：的方程：cc22 －－ BHBH22==bb22 －－ ((aa －－ BBHH))2 2 求得求得 BHBH ，从而，从而 RtRt△△ABHABH 和和 Rt△Rt△ACHACH 都都是可解．是可解．

A

B Ca

bcD

A

B Ca

bc

E

A

B Ca

bc

H

③ 在什么条件下一般三角形可借助于直角三角形来求解？与三角形全等的判定条件是完全一致的：

⑶ 相关应用题的研究：题 1 ．水平地面上甲、乙两楼的距离为 30 米，从甲楼顶部测得乙楼顶部的仰角为 30° ，测得乙楼底部的仰角为 45° ．⑴ 请你画出测量示意图（大楼的长、宽忽略不计）；⑵ 求甲、乙两楼的高度．

A C

E

D

B30°

45°

模型化为解 Rt△BAC 和 Rt△DBE ．

题 2 ．如图，山顶建有一座铁塔，塔高 CD=30m ，某人在点 A处测得塔底 C 的仰角为20° ，塔顶 D 的仰角为 23° ，求此人距 CD的水平距离 AB ．（参考数据： sin20°≈0.342 ，cos20° ≈0.364 ，sin23° ≈0.391 ，cos23° ≈0.921 ，tan23° ≈0.424)

A B

CD

题 3 ．又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为 60° ；乙：我站在此处看塔顶仰角为 30° ；甲：我们的身高都是 1.5m ；乙：我们相距 20m.请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度（精确到 1米）．

题 4 ．如图，在一个坡角为 15 ° 的斜坡上有一棵树，高为 AB ．当太阳光与水平线成 50° 的角时．测得该树在斜坡上的树影BC 的长为 7m ，求树高． ( 精确到 0.1m)

C

A

B

50°

15°

7m

C

A

B

50°

7m

先解 Rt△CBH ，再解 Rt△CAH ．

题 5 ．我市准备在相距 2千米的 A 、 B 两工厂间修一条笔直的公路，但在 B 地北偏东 60°方向、 A 地北偏西 45° 方向的 C处，有一个半径为 0.6千米的住宅小区（见下图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据： ， ） 41.12 73.13

30°B A

45°H

C

2000km

作 CH⊥AB 于 H ，构造关于 CH 的方程：2000.

tan30 tan45CH CH

题 6 ．我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示， BC∥AD ，斜坡 AB=40 米，坡角∠ BAD=600 ，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过 450时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚 A 不动，从坡顶 B 沿 BC削进到 E 处，问 BE

至少是多少米 ( 结果保留根号 ) ？ D

A

BC E

D A

BC E

H G

通过解 Rt△ABG和 Rt△AEH ．

D A

BC E H

G

通过解 Rt△ABH和 Rt△AEH ．

或：

题 7 ．某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过 60 km/h （即 m/s ）．交通管理部门在离该公路 100 m处设置了一速度监测点 A ，在如图所示的坐标系中，点 A 位于 y 轴上，测速路段 BC 在 x 轴上，点 B 在点 A 的北偏西 60° 方向上，点 C 在点 A 的北偏东 45° 方向上．

503

y/m

x/m

A （ 0, － 100 ）

BO

60°

东北

⑴ 请在图中画出表示北偏东 45° 方向的射线 AC ，并标出点 C 的位置；⑵ 点 B坐标为 ，点 C坐标为 ；⑶ 一辆汽车从点 B行驶到点 C 所用的时间为 15 s ，请通过计算，判断该汽车在限速公路上是否超速行驶？（本小问中 取 1.7 ）3

y/m

x/m

A （ 0, － 100 ）

BO

60°

东北

y/m

x/m

A

BO

60° 45°

C100

Rt△ABO 和△ ACO 都是可解的．

题 8 ．如图，小岛 A 在港口 P 的南偏西 45° 方向，距离港口 81海里处．甲船从 A 出发，沿 AP 方向以9海里／时的速度驶向港口，乙船从港口 P 出发，沿南偏东 60° 方向，以 18海里／时的速度驶离港口．现两船同时出发．⑴ 出发后几小时两船与港口 P 的距离相等？⑵ 出发后几小时乙船在甲船的正东方向？（结果精确到 0.1 小时）（参考数据： ， ） 2 1.41

3 1.73

P

北东

A

45° 60°

P

A

45° 60°C

PB=PC ，即81 － 9t=18t ．

P

A

45°60°

EHD

此时， PH⊥DE 于H ，由 Rt△PDH和 Rt△PEH 得方程：

81 918 sin30sin45

tt

题 9 ．如图所示， A 、 B 两地之间有一条河，原来从 A地到 B 地需要经过 DC ，沿折线 A→D→C→B到达，现在新建了桥 EF ，可直接沿直线 AB 从 A 地到达 B 地．已知 BC=11km ，∠ A=45° ，∠ B=37° ．桥 DC 和 AB平行，则现在从 A 地到达 B 地可比原来少走多少路程？结果精确到 0.1km ．参考数据： 2 1.41 sin 37 0.60 cos 37 0.80

，，

F

E

D

C

B

A

45°

37°

37°

45°

A

D(C)

B

H

先解 Rt△BCH ，再解 Rt△ACH ．

⑷解直角三角形在数学问题中的应用题 1 ．设 A 为锐角， ，如何通过构造直角三角形来求 的值．

3sin5

A

sin2A

A B

C

A B

C

D

题 2 ．如图，在 Rt△ABC 中，∠ ACB=90° ， AC=BC=1 ．将△ ABC绕点 C逆时针旋转 30° 得到△ A1B1C ， CB1 与 AB 相交于点 D ．求 BD 的长． A

BC

A1

B1

D

A

BC

A1

B1

D

H

通过 Rt△DCH 和△ DBH 构造关于 DH 的方程，进而再求出 BD ．

题 3 ．如图，在等腰梯形 ABCD 中， AB∥CD ，AD=BC ，延长 AB到 E ，使 BE=DC ，连结 CE ，若 AF⊥CE 于点 F ，且 AF 平分∠ DAE ， ，求 的值．

25

CDAE

sin CAF

A B E

FD C

G

A B E

FD C

G

①CA=DB=CE ；1 1 ;2 2

BG BD CE ②

Rt RtABG AEF ∽③ ，

2 31 1 ,5 5

BG AB AE BE CDEF AE AE AE

5 5 5 .3 6 6

1sin .6

EF BG BA AC

CAF

得

可知

题 4 ．如图， AB 是半圆 O 的直径，四边形 CDEF 是内接正方形．在正方形 CDEF 的右侧有一正方形 FGHK ，点 G 在 AB 上， H 在半圆上， K在 EF 上．已知正方形 CDEF 的面积为 16 ，请计算出正方形 FGHK 的面积．

A C O F G B

H

ED

K

A C O F G B

H

ED

K

由 Rt△EOF ，得 R2 =20 ，由 Rt△HOG ，得 HG2+(2+HG)2=20 ．

题 5 ．如图，在直角坐标系中放入一个边长 OC 为 9的矩形纸片 ABCO ．将纸片翻折后，点 B恰好落在x轴上，记为 B′ ，折痕为 CE ，已知tan∠OB′C＝ ．⑴ 求 B′ 点的坐标；⑵ 求 E 点的坐标．

34

OB C

B′ A

BC

E

O x

y

★解直角三角形在几何代数综合 题中的应用（略）

2 ．内容所体现的数学思想和方法⑴ 模型化思想：符合全等判定条件的直角三角形是可解的直角三角形的基本模型。所有的解直角三角形的实际型的问题，都是通过抽象为以上模型来获得解决的．⑵ 转化思想：所有符合全等判定条件的一般三角形，都可通过转为可解的直角三角形来解决。⑶ 方程思想：①解三角形较复杂的情况通过构造方程来解决；②解直角三角形原本就是解特殊形式的方程．

3 ．教学设计的可能选择⑴照教材安排走① 优点： a ．由实际问题情境出发； b ．是归纳式的； c ．易设计成探究式的教学过程。②但应注意： a ．应当将实例上升到模型化认识；b ．应当帮助学生探索与整理出概括化与转化的途径和规律。

★培养数学思维能力是数学教学的和心，而概括能力是数学思维能力的基础。

⑵ 从可解的直角三角形的模型出发，到可解的一般三角形；实际问题是如何抽象概括到基本模型的；图形中的相关计算是如何化归成可解的直角三角形来实现的．①优点：a ．从学生已有的数学知识现实出发；b ．模型清晰；c ．转化思想明显。②但应注意：a ．避免先硬传授；b ．避免衍生的过宽、过深。

● 例说二，关于“图形与变换”1 ．关于内容的研究在几何图形的基础上引入“变换”以后，导致出了怎样的问题？引发出研究图形的方法的哪些变化呢？

题 1 ．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，△ ABC 的点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．⑴ 画出△ ABC向下平移 4 个单位后的△ A1B1C

1 ；⑵ 画出△ ABC绕点 O顺时针旋转 90° 后的△ A2B2C2 ，并求点 A旋转到 A2 所经过的路线长．

A

B C O

⑴变换引出的画图问题 :

题 2 ．如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 和△A1B1C1 关于点 E成中心对称 .⑴ 画出对称中心 E ，并写出点 E 、 A 、 C 的坐标；⑵P(a,b) 是△ ABC 的边 AC 上一点，△ ABC经平移后点 P 的对应点为 P2(a+6, b+2) ，请画出上述平移后的△A2B2C2 ，并写出点A2 、 C2 的坐标；⑶ 判断△ A2B2C2 和△A1B1C1 的位置关系（直接写出结果） .

O

y

x

PB

C

B1A1

C1

1

1

⑵由“变换”引出的图形计算问题题 3 ．如图，已知△ ABC 的面积为 3 ，且 AB=AC ，现将△ ABC沿 CA 方向平移 CA 长度得到△EFA ．⑴ 求△ ABC 所扫过的图形的面积；⑵ 试判断 AF 与 BE 的位置关系，并说明理由；⑶ 若∠ BEC=15° ，求 AC 的长．

A(C) E

FB

C

题 4 ．如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，M 、 N分别为 AD 、 BC 的中点，将点 C折至MN 上落在点 P 的位置，折痕为 BQ ，连结 PQ ．⑴ 求 MP 的长；⑵ 求 PQ 的长．

A M D

B CN

PQ

题 5 ．将两个含有 30° 锐角的全等直角三角板 ABC 和A′B′C 如图摆放，两个直角顶点 C重合， AC 和 B′C 在同一条直线上．将三角板 ABC 以点 C 为旋转中心，沿顺时针方向分别旋转 30° 、 45° 、 60° ，到达 A1B1C 、A2B2C 、 A3B3C 的位置． CB1 、 CB2 、 CB3分别和 A′

B′ 相交于点 P1 、 P2 、 P3 ．求 ， ， 的值．1

1

CPB P

2

2

CPB P

3

3

CPB P

A C

B

A1

B1

A2

B2A3 B3

B′

A′P1 P2 P3

C

A1

B1

B′

A′

30°30°

图①′

P1

C

A2

B2

B′

A′P2

M图②′45°

30°

C

A3

B′

A′

P3

B3

图③′60°

30°

⑶由“变换”深化对基本图形的认识仅以等腰直角三角形为例：● 等腰直角三角形的轴对称性；● 等腰直角三角形绕斜边中点的 90°旋转重合性；● 等腰直角三角形两直角边绕直角顶点的 90°旋转重合性．

题 6 ．如图，在△ ABC 中，∠ BAC=90° ， AB=AC ， D 是△ ABC 内一点，且∠ DAC=∠DCA=15° ．求证： BD=BA ．

A

B C

D

A

B C

DE

题 7 ．如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90° ，CA=CB ， D 为斜边 AB 上任意一点， AE⊥CD 于点 E ， BF⊥CD ，交 CD延长线于点F ， CH 为斜边 AB 上的高线，交 AE 于点 G ．在不再添其他辅助线的情况下，请写出图中所有的全等三角形，并就其中一对（△ ACH≌△BCH除外）进行证明． A

C

BF

DH

G E

题 8 ．如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90° ， AC=BC ，直线MN经过点 C ，且 AD⊥MN 于点 D ， BE⊥MN于点 E ．⑴ 当直线MN绕点 C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD﹢BE ；⑵ 当直线MN绕点 C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD﹣BE ；⑶ 当直线MN绕点 C旋转到图③的位置时，试问：DE 、 AD 、 BE 有怎样的等量关系？请写出等量关系，并加以证明．

A B

CDE

M

N

图① AB

C

D

E

M

N图② A B

C

D

E

M

N图③

A B

C

D

E

M

N图③′P

A B

CD

E

M

N

图①′PA B

C

D

E

M

NP

图②′

题 9 ．两个全等的含 30° 、 60° 角的三角板 ADE 和 ABC 如图放置， E 、 A 、 C 三点在一条直线上，连结 BD ，取 BD 的中点 M ，连结 ME 、MC ，试判断△MEC 的形状，并说明理由．

A C

BM

D

E A C

BM

D

E

题 10 ．如图，在△ ABC 中，已知∠ ACB=90° ， CA=CB ， D 、 E为 AB 上的两点，且∠ DCE=45° ．求证： AD2+BE2=DE2 ．

B

C

A D E

C

A BD E

D′

题 11 ．如图①，一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF绕斜边 EF 的中点 O （点 O也是 BD 中点）按顺时针方向旋转．

DN

B

E

A(G) B(E)

CD(F)

①

O

②

C

BA

G

D F

EM

ON

③

C

AG M

OF

⑷以“变换”视角识图

⑴ 如图②，当 EF 与 AB 相交于点 M ， GF 与 BD 相交于点 N时，通过观察或测量 BM ， FN 的长度，猜想 BM ， FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

②

C

BA

G

D F

EM

ON

′②

P

BA

G

DF

EM

ON

DN

B

E

③

C

AG M

OF

′③

NF

AG B

E

M

D

O

P

⑵ 若三角尺 GEF旋转到如图③所示的位置时，线段 FE 的延长线与 AB 的延长线相交于点 M ，线段 BD 的延长线与 GF 的延长线相交于点 N ，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

题 12 ． 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结 DC ．请找出图②中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；

图① 图②

D

C E

A

B

题 13 ．用两个全等的等边三角形△ ABC 和△ ACD拼成菱形 ABCD ．把一个含 60° 角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的 60° 角的顶点与点 A重合，两边分别与 AB ， AC重合 .将三角尺绕点 A按逆时针方向旋转．⑴ 当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC ， CD 相交于点 E ， F时，（如图①），通过观察或测量 BE ，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；A

B C

D

EF

图①

A

B C

D

图（※）

A

B C

D

图（※）

A

BC

D

E

F

图②

⑵ 当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC ， CD 的延长线相交于点 E ， F时（如图②），你在⑴中得到的结论还成立吗？简要说明理由．

题 14 ．如图①，△ ABC 和△ CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C ，连结 AF 和 BE ．⑴ 线段 AF 和 BE 有怎样的大小关系？证明你的结论；⑵ 将图①中的△ CEF绕点 C旋转一定的角度，得到图②，⑴中的结论还成立吗？作出判断并说明理由；⑶ 将图①中的△ ABC绕点 C旋转一定的角度，画出变换后的图形，⑴中的结论是否还成立？⑷ 根据以上的活动，归纳你的发现．

A

B C

E

F

图①

A

B C

E

F

图②

AB

C

E

F

图③

⑸以“变换”视角构图题 15 ．如图，把一张长方形纸片对折，折痕为 AB ，再以 AB 的中点 O 为顶点把平角∠ AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以 O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（ ）

A BA BO O

A

B O

A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形

O

N M

O

N MOMNOM

沿轴对称

OMNOM

沿轴对称

OMNON

沿轴对称

O

N M

A BO

N M

A BAB 再沿

作轴对称

A BA BO O

A

B O

所以选 D ．

题 16 ．如图，已知多边形 ABDEC 是由边长为 2的等边三角形 ABC 和正方形 BDEC 组成，一圆过 A 、 D 、 E 三点，求该圆半径的长．

A

B C

D E

2

2

A

B C

D E

2

2O

题 17 ．如图，已知△ ABC ．⑴ 请你在 BC 边上分别取两点 D ， E （ BC 的中点除外），连结 AD ， AE ，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；⑵ 请你根据使⑴成立的相应条件，证明 AD+AC＞AD+AE ．

A

B C

A

B CD E

A

B CD E

F

G

2 ．体现的思想和方法：⑴ 图形变换是研究图形的图形关系的新方法和新视觉；⑵“变换”视觉是一种“概括思维”的具体表现。3 ．如何渗透教学过程之中是一个极具研究意义的新课题。