دانلود قسمتی از کتاب مك
TRANSCRIPT
1 كالسيكمكانيك
فصل اول » سينماتيك نيوتني«
به طور كلي . آن حركاتمربوط به مطالعه حركت اجسام و علل بوجود آمدن علمي است . دهيم مي تعريفي از علم مكانيك ارائه، ابتدا پيش از شروع مطالب .شود ديناميك و استاتيك تقسيم مي به سه بخش سينماتيك،مكانيك
.شود شود؛ عامل حركت، نيرو ناميده مي بدون در نظر گرفتن عامل حركت پرداخته مي،مكانيك به بررسي حركت اجسام در اين بخش از :سينماتيك .گيرند در اين بخش، حركت اجسام با توجه به نيروهاي وارد بر جسم مورد مطالعه قرار مي:ديناميك .پردازد ها مي آن ي وارد بروها و گشتاورهاي نيروها اين شاخه از مكانيك، به وضعيت تعادل اجسام تحت تأثير نير:استاتيك
:تعريف . در مكانيك با دو دسته از آنها سر و كار داريم.شوند به چند دسته تقسيم ميها كميت. شود گيري باشد كميت گفته مي در فيزيك به هرآنچه قابل اندازه:كميت
اي خوانده يا نرده كميت اسكالر،ندهدتي در فضا به خود اختصاص جهد مشخص شود و هر كميتي كه تنها با يك عد:)اي نرده (رهاي اسكال ـ كميت1 . ها كامال تعريف شوند را تعيين كنيم تا اين كميت ها آن، تنها كافيست كه اندازهها اين نوع كميت ديگر براي تعيين به عبارت .شود مي
.نام برد انرژي، دما وتوان از جرم ميري اسكالها تبراي كمي مثال چندبه عنوان يعني جهت در فضا ،براي آنها هستيمنيز دهيم نيازمند تعيين جهت كه به آنها نسبت ميمقداري براي تعيين اين كميتها عالوه بر :هاي برداري ـ كميت2
كميتهاي برداري در .ندنك ميپيروي برداري هاي برداري اين است كه از قاعده جمع نكته ديگر در مورد كميت. بخشد به آن كميت برداري هويت مي .بدون تغيير خواهد ماند )شان بزرگي(دستگاههاي مختصات مختلف داراي نمايشهاي مختلفي هستند اما طولشان
.اي و گشتاور نيرونيرو، سرعت، شتاب، تكانه خطي، تكانه زاويه: ري عبارتند از از كميتهاي بردانمونهچند . كميتهاي اصلي و كميتهاي فرعي گروه به دوها آنبندي بندي كرد و آن عبارت است از دسته ديگري نيز دسته طريق بهتوان كميتها را مي
بتوان آنها را بالفاصله و بي واسطه يعني. شوند كه مقدارشان مستقل از كميتهاي ديگر باشد اي تعريف مي به گونه معموال كميتهاي اصلي:كميتهاي اصليهايي از كرد؛ نمونهدركتوان مفهوم آنها را بر اين اساس بيان كرد اما نمير آنها را برحسب كميتهاي فرعي نيزتوان مقدا ميجود با اين و.تعريف كرد
.جرم، طول، زمان :كميتهاي اصلي عبارتند ازكميتي كه و ميتي كه اصلي نباشد، فرعي است به طور كلي هر ك .نمود و بيان كردهتوان براساس كميتهاي اصلي تعريف اين كميتها را مي: كميتهاي فرعي
.اي و همچنين نيرو اشاره كرد توان به اندازه حركت خطي و زاويه ميملهاز آن ج. هويتي دوگانه داشته باشد وجود ندارد :شوند اين سه كميت با روابط زير تعريف مي
)طول(p mv )زه حركت خطياندا) = (جرم(× ) سرعت) = (جرم(× )زمان(
)طول(L I
)اي اندازه حركت زاويه) = (طول( × ) جرم(× ) سرعت) = (طول(× ) جرم(× )زمان(
F ma
) =نيرو( يعني اصطالحا ابعاد .ادله برحسب كميتهاي يكساني بيان شوند طرف معدوبايد اي از فيزيك اين است كه نكته اصلي در هر معادله فيزيكي در هر شاخه
. معادله يكسان باشندجمالت دوطرف .كنيم را بيان مي آنهابري روابط هندسي حاكم برخاختصار با توجه به اهميت بردارها به
)جرم(× ) طول(
)زمان(× ) زمان(
سينماتيك نيوتني: فصل اول 2
ع ـجم
aاگر دو بردار وb
c مانند توان برداري ميآنگاه شند با داده شده
آنو استهر دو بردار با هم همزمان يا وجود آن همانند اثر يا وجودحاصل اثركه ، يافت aدو برداربرداري را حاصل جمع
و b
c .دهيم ان مي نشمقابلناميم و با روابط مي a b
a ميان دو بردار اگر زاويهو b
cنشان دهيم آنگاه طول بردار حاصل جمع را با
آيد با رابطه زير به دست مي.
| c | | a | | b | | a || b | cos 2 2 2
cتوان زاويه ميان بردار حاصل جمع مي با بردارa
بردار با و يا b
:به اين صورت كهبه دست آورد را | a | | c | | b |
| b | | a | | c | | a || c | cos cos ( )| a || c |
2 2 22 2 2 122
:با توجه به شكل داريم | c | | b | | a |
| a | | b | | c | | b || c | cos cos ( )| b || c |
2 2 22 2 2 122
aاگر بردارهايو b
cبردار برآيندهر مؤلفه داده شده باشند آنگاه در دستگاه مختصات دكارتيهايشان با مؤلفه
ردار بدوهاي متناظر از حاصل جمع مولفه : به عنوان مثال در دستگاه مختصات دكارتي داريم.آيد به دست مي
x y zˆ ˆ ˆb b i b j b k
xو y z
ˆ ˆ ˆa a i a j a k
x x y y z z| c | (a b ) (a b ) (a b ) 2 2 2 x x y y z z
ˆ ˆ ˆc a b (a b )i (a b ) j (a b )k
دو بردار :1مثالa و b
هاي در يك صفحه با مولفهa ( , )
b ( , )
2 21 اندازه بردار برآينـد و .شوند تعريف مي 4
bهمچنين زاويه اين بردار را با برداربيابيد .
1 (cos ( ),1 56 4765
2 (cos ( ),1 54 452 765
3 (cos ( ),1 6 7232 4(cos ( ),1 5 92
2 721
با توجه به شكل براي به دست آوردن زاويه »2«گزينه :پاسخ ابتدا اندازه بردار cرا محاسبه كنيم :
ˆ ˆ ˆ ˆc ( )i ( ) j i j
| c |
2 1 2 4 3 69 36 45
پاسخ ها توان با بررسي گزينه ميپاسخ قسمت دوم اول را يافتيم پيش از پيدا كردن قسمت صحيحدر اينجا چون پاسخ تست داراي دو بخش است اگر پاسخ
| .باشد مي ) 2(را پيدا كرد كه در اين تست گزينه صحيح b | | c | | a |cos ( )
| b || c |
2 2 21
2
| a | ( ) ( ) ( )cos ( ) cos ( )
( )( )| b |
1 14 4 8 17 45 8 542 17 45 2 7651 16 17
ق ـتفري
با اين تفـاوت اما .كنيم آوريم عمل مي دو بردار را به دست جمع برداري به همان روشي كه در اينجا نيز a تفاضل دو بردار كه
و b
c به صورت a b شود كـه شود و به اين صورت تعريف مي نشان داده مي
aبردار بردار قرينهرا با b
bاش بـا يعني برداري كه اندازه (
bش عكـس جهـت ت ولـي جهـ بـوده يكـي
يك نقطه رسـم كنـيم بـرداري را ازتوان گفت اگر دو بردار از لحاظ ترسيمي مي. كنيم جمع مي باشد مي(b) كه انتهاي بردار دوم
(a) را به انتهاي بردار اول
در ايـن .شود وصل كند همان تفاضل دو بردار مي
b انتهايمورد جهت بردار از
a انتهايبه سوياست .
b
a
c
b
a
c
c
a
b
b
a ( b)
3 كالسيكمكانيك
bهاي با تبديل مولفه حاصل جمع به دست آورديمردارشود كه همان روابطي كه براي اندازه ب در اينجا كامال روشن مي
هايي با عالمت منفي براي مولفهبه
x : يعني. برقرارندزردار تفاضل نيباندازه به دست آوردن x y y z z| c | (a b ) (a b ) (a b ) 2 2 2 b با استفاده از روابط a c
، a b c ، c a b
زاويه ميانبه ترتيب و با توجه به اينكهb
c و،را با ،زاويه ميان a
و b
زاويه و را با aميان و c
را با توان با داشتن طولهاي ميدهيم نشان مي| a |،| b |
| و c |
آنها را به دست آورد.
| a | | b | | c | | c || b | cos , | c | | a | | b | | a || b | cos , | b | | a | | c | | a || c | cos
2 2 2 2 2 22 2 2
ضرب دو بردار
:شود كه عبارتند از سه نوع ضرب تعريف ميهابراي بردار ضرب عدد در يك بردار
نيزكند و سوي آن تغيير مياست كه اندازه آن اينكند بلكه تغيير نميضا بردار در فشود راستاي ضرب مي برداردر اين ضرب چون يك عدد در يك .غيير كندد تتوان مي
به . استروي اين خط راست دهنده جهت حركت سو نشان مربوط به چگونگي قرار گرفتن يك خط راست در فضا است اما الزم به يادآوري است كه راستا :توان چنين نوشت زبان رياضي مي
A cB A || B c
| A | | c || B | A || ( B) c
: دو بردار) ايعددي يا نقطه(يضرب داخلaبراي دو بردارو b
: حاصل آن يك عدد باشدكهيف كرد تعري به صورت راضرب داخلي توان مشخص باشد ميها آن هر كدام و زاويه ميان كه طول
c a b | a || b | cos 0
a : يعني اين حاصلضرب خاصيت جابجايي دارد. تأثيري ندارد ضرب داخلييب دو بردار در نتيجهترت. باشد زاويه ميان دو بردار ميكه در آن b b a0 0
| دست كم يكي از سه حالت آن هنگامي صفر است كهي تعريف كنندهابطهحاصلضرب داخلي دو بردار با توجه به ر a | يا| b |
يا cos روي
.يعني يا طول يكي از بردارها صفر باشد و يا اينكه آن دو بردار بر هم عمود باشند. دهد مختصات دكارتي، كروي و ي يعني در يك لحظه در همه دستگاهها،بايد توجه داشت كه حاصل ضرب داخلي دو بردار، مستقل از دستگاه مختصات است
x :هايشان نشان دهيم آنگاه خواهيم داشت مولفهبااگر بردارها را . داراي يك مقدار استايوانهاست x y y z zc a b a b a b a b 0
قدار هر متوانند نميديگر بر اين اساس شش مولفه مربوط به دو بردار.هايشان برقرار است اگر دو بردار بر هم عمود باشند آنگاه يك معادله قيدي ميان مولفه .اي در نظر گيريم كه معادله قيدي را برقرار كند مولفه ششم را به گونهيم ناچار آنگاهانتخاب كنيمند، بلكه چنانچه پنج مولفه را آزادانه دلخواهي داشته باش
را بر حسب ه، يكي از مختصات ميان تعدادي از مختصات دستگايك معادله قيدي خواهيم، با كمك كه مياين ويژگي معادله قيدي هنگامي سودمند است x .اشاره شده استدر معادله قيدي به اين مختصه به طور تلويحي يعني . باقي بيان كنيم x y y z za b a b a b
هايي كه به صورت حاصلضرب داخلي دو بردار با مولفه :2مثال
ˆ ˆ ˆA e e e
ˆ ˆ ˆB e e e
1 2 31 2 3
2 3 44 6
ها بردارهاي ie (؟شود داده ميگزينه با كدام اند داده شده
)اند در يك دستگاه مختصات متعامد دلخواهواحد 1 (14 2( 15 3 (16 4 (17
با توجه به تعريف ضرب داخلي داريم»1«گزينه :پاسخ : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆC A B ( e e e ) (e e e ) 1 2 3 1 2 30 2 3 4 0 4 6
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( e ) (e e e ) ( e ) (e e e ) ( e ) (e e e ) 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 32 0 4 6 3 0 4 6 4 0 4 6 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )( )(e e ) ( )( )(e e ) ( )( )(e e ) ( )( )(e e ) ( )( )(e e ) ( )( )(e e ) 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 32 1 0 2 4 0 2 6 0 3 1 0 3 4 0 3 6 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )( )(e e ) ( )( )(e e ) ( )( )(e e ) 3 1 3 2 3 34 1 0 4 4 0 4 6 0
.دنمان تنها سه جمله باقي ميديگر عمود است، واحد ر بردار ببردار واحد يعني هر متعامد است،چون دستگاه ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆC ( )( )(e e ) ( )( )(e e ) ( )( )(e e ) 1 1 2 2 3 32 1 0 3 4 0 4 6 0 2 12 24 14
نتايج دام را در هم ضرب كرده و هاي متناظر هر ك بردار در آن كافي است مؤلفه 2ضرب داخلي آوردن حاصل براي به دست دبنابراين اگر دستگاه متعامد باش .كنيم با هم جمع ميرا
سينماتيك نيوتني: فصل اول 4
دو بردار )برداري (ضرب خارجيa دو برداربراياين نوع ضرب
و b
c :شود تعريف مي مشخص است به صورت روبروا ميان آنه و زاويه هر كدام كه طول a b
| c | | a || b |sin كه در آن همانند قبل اي كه از دو بردار اوليه به دست است عمود بر صفحهي بردار،حاصل اين ضربباشد زاويه ميان دو بردار مي
كه چهارانگشت دست راست صورت به اين .شود تعيين ميدست راست عده قا جهت آن از طريق.)گيرد را در بر مي برداراي كه آن دو يعني صفحه(آيد ميدست شست انگشت آنگاه جهت .كنيم در جهتي كه زاويه كوچكتر ميان دو بردار را جاروب كند به سوي بردار دوم خم مي،را در سوي بردار اول قرار داده
در حاصلضرب برداري جابجا كنيم بردار را دو بردار ترتيبشود كه اگر روشن ميجا از اين.هدد راست جهت بردار حاصلضرب برداري آن دو بردار را ميa : به زبان رياضي داريم.شود حاصل در جهت عكس حالت به دست آمده قبلي مي b (b a)
cشود كه اندازه بردار با توجه به شكل مشخص مياالضالعي است كه متوازي مساحته برابر با انداز
aتوسط دو بردارو b
aروشن است كه اگر دو بردار. شود تعريف مي
و b
بر هم عمود باشند اين : باال خواهيم داشت از با ديد. مقدار خود را داردترينمساحت بيش
| c | | a || b | sin (| a | sin ) | b | (| b | sin ) | a |
18 ياآنها زاويه ميان اينكهيا وصفر باشد) دويا هر( كه طول يكي استحاصلضرب برداري دو بردار هنگامي صفر درجه باشد . aاگر دو بردارو b
ضرب برداري آن دو را از به دست آمدههاي بردار شده باشند آنگاه مولفههايشان در هر دستگاه مختصات متعامدي داده برحسب مولفه
:در دستگاه دكارتي داريمس پ. به دست آورد) ات غير دكارتيهاي مختص دستگاه در رايب الزم ضاما با در نظر گرفتن (توان از طريق دترمينان مي
x y zx y z y z z y z x x z x y y x
x y zx y z
ˆ ˆ ˆi j kˆ ˆ ˆa a i a j a kˆ ˆ ˆc a a a i(a b a b ) j(a b a b ) k(a b a b )
ˆ ˆ ˆb b i b j b kb b b
يعنـي (است كه از نظر هندسي بيان شد ويژگي شود كه همان جا شود حاصل در يك منفي ضرب مي هجابآن با توجه به خواص دترمينان اگر جاي دو سطر ا اينكـه يـك سـطر يـ آن با هـم برابـر باشـند اين است كه اگر دو سطر همچنين يكي ديگر از ويژگيهاي دترمينان . )شود جهت بردار عوض مي در اين حالت
:به عبارت ديگر. باشد درجه مي180 يا 0 بردار 2 زاويه بين اين است كه اين حالت متناظر با .شود مضربي از ديگري باشد حاصل آن صفر ميyx z
x y z
aa aa b
b b b
اگر دو بردار :3مثالA وBهاي لفه با مو
ˆ ˆ ˆA i j k
ˆ ˆB j k
22
A آنگاه حاصل داده شده باشند B ؟يابيدآنها را ب و همچنين سينوس زاويه ميان
1 (ˆ ˆ, ( i j) 2 25 2 (ˆ ˆ, ( i j k)
15 37 3 (ˆ ˆ ˆ, ( i j k) 7 3 215 4 (ˆ ˆ ˆ, ( i j k) 6 3 2
كنيم هاي بردار حاصلضرب از دترمينان استفاده مي براي به دست آوردن مولفه »3«گزينه :پاسخ. ˆ ˆ ˆi j k
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆC i( ) j( ) k( ) i j k 1 1 2 1 4 1 2 3 22 1
| :آيد به دست ميمقابلرابطه از سينوس زاويه ميان آن دو C |sin
| A || B |
| A |
| B | sin
| C |
1 1 4 614 14 74 1 5 3 156 5
9 1 4 14
گراديـان، : دارد و عبارتنـد از سـروكار داريـم كـه هـر كـدام نـامي خـاص گيـري بـا سـه نـوع مـشتق اي هاي برداري و نـرده در مبحث ميدان : مشتق گيري .ديورژانس و كرل
| b | sin
a
b | a | sin
bc
a
5 كالسيكمكانيك
انـگرادي
تـوان مـي )اي كميتهاي برداري و نردهيا(اي ع برداري و نرده عالوه بر بردارها كه داراي ويژگيهاي برداري هستند عملگر مهمي وجود دارد كه از اثر آن بر تواب و با نماد شده ناميده »دل «عملگر اين .آورد پديد اي جديد نرده و يبردارهاي كميت
هاي اين بردار در دستگاههاي مختـصات مولفه. شود نشان داده مي
ˆ :باشد يش آن در دستگاه دكارتي به صورت روبرو مي به عنوان مثال نما .مختلف متفاوت است ˆ ˆi j kx y z
اي ديگـر بـه نحـو مناسـبي يك كميت برداري يا نـرده بهكند كه ا هنگامي معني پيدا مي نهعملگري گرسنه است و ت ، عملگر شود كه اين اصطالحا گفته مي هـا دو و سه مولفه خواهد داشت كه بـه هـر كـدام از ايـن مولفـه ي يك، دو و سه بعدي به ترتيب يك، ها اين بردار در دستگاه .)در آن ضرب شود (حمله كند
.كند ميبر توابع ديگر اثراين عملگر به چند طريق . شود مشتق جهتي گفته مي
ˆ . باشد مياي آن تابع نرده»گراديان« حاصل يك بردار خواهد بود و نامش نداي اثر ك اگر بر يك تابع نرده ˆ ˆi i kx y z
.دهـد در آن جهـت روي مـي كنـد كـه بيـشترين تغييـر جهتـي را مـشخص مـي كند گراديان بر حسب مختصات تغيير مي ضادر ف اي چون تابع نرده يعني
.كند را در فضا مشخص مياي جهت بيشينه تغييرات تابع نرده
بيشينه تغييرات تابعبردار معرف :4مثالxy z ) به مختصات rي در نقطه22 , , )1 2 را بيابيد؟1
1(ˆ ˆ ˆ(i j k)
3 2(
ˆ ˆ ˆ(i j k) 3
3( ˆ ˆ ˆ(i j k)
2 4(
ˆ ˆ ˆ(i j k) 3
بردار گراديان »2«گزينه :پاسخ در نقطهrآيد به صورت زير به دست مي: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( i j k)( xy z) i ( xy z) j ( xy z) k ( xy z) i( y z) j( xyz) k( xy )
x y z x y z
2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 4 2
rˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi( ( ) ( )) j( ( )( )( )) k( ( )( ) ) i j k (i j k)
2 22 2 1 4 1 2 1 2 1 2 8 8 8 8
. كنيم م بر طول بردار ميتقسيرا حاصل ضاو براي به دست آوردن راستاي آن در ف r
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(i j k) (i j k)
| |
8
3 64 3
ديورژانس
عملگر كه ديگر نوعي
حاصلـضرب داخلـي همـان بـه عبـارت ديگـر .شود و حاصل آن يـك عـدد اسـت كند به صورت زير تعريف مي مي بر يك بردار اثر
عملگر
yx : كه كميتي اسكالر است باشد مي در يك بردار zx y z
AA Aˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA ( i j k) (A i A j A k)x y z x y z
0 0
از مـستقل شـود كـه ايـن نتيجـه آيد روشن مي از آنجا كه حاصل اين عمليات ديفرانسيلي از طريق ضرب داخلي يك بردار و يك عملگر برداري به دست مي V0ها در مكانيك شاره به عنوان مثال . بديهي است كه به آن يك مفهوم فيزيكي نسبت دهيم بنابراينباشد انتخاب دستگاه مختصات مي
قـدرت را همـان
.كند بيشتر است كه ميدان برداري را ايجاد مياي يعني هر چه اين كميت داراي مقدار بزرگتري باشد قدرت چشمه.گيرند در نظر ميچشمه مولد شاره
بايد از نمايش گراديان در آن دستگاه استفاده كردغير دكارتيهاي مختصات براي به دست آوردن ديورژانس يك تابع برداري در دستگاه :1نكته .
اگر يك ميدان برداري به صورت :5مثال ˆ ˆ ˆA (xi ycj czk) 2 ايـن ميـدان داراي چـشمه يـا چـاه c ازاء چه مقاديري از داده شده باشد به 3
؟خواهد بودن
1(c
1
5 2( c 3( c 15 4( c
25
خـواهيم چـاه بود اگر عالمت مثبت بود چشمه داريم و اگر منفي . رددابستگي داشتن يا نداشتن چشمه يا چاه به عالمت ديورژانس »1«گزينه :پاسخAبنابراين. داشت
0به معني عدم وجود چشمه يا چاه است .
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA ( i j k) (xi ycj czk) (x) ( yc) ( zc) c c cx y z x y z
10 0 2 3 2 3 1 2 3 5
سينماتيك نيوتني: فصل اول 6
رلـك
. باشـد و كـرل نـام دارد به صورت زير مي در مختصات دكارتي رد آو برداري ديگر به دست ،بر يك بردار كردن توان از اثر كه با آن مي عملگر دل ديگر كاربرددر آينده خواهيم ديد كـه در . بستگي دارد ،دهيم هاي كرل يك بردار به انتخاب دستگاه مختصات خاصي كه بررسي را در آن انجام مي روشن است كه مولفه
الخـط بايـد از مختـصات منحنـي هـاي دستگاه براي به دست آوردن كرل در گربه عبارت دي . استهاي مختصات ديگر، نمايش كرل يك بردار چگونه اهدستگ .ها استفاده كرد ضرايب تبديل مناسب در آن دستگاه
y yz x z x
x y z
ˆ ˆ ˆi j kA AA A A Aˆ ˆ ˆA ( )i ( ) j ( )k
x y z y z z x x y
A A A
Aبردار توان گفت ري فيزيكي از كرل يك بردار مي عبيبراي ارائه ت
روي يك مـسير بـسته دور در فضا،ن ميدان برداريايرساند كه آيا اين مطلب را مي Aبه بيان ديگر آيا آنچه كه موجب پيدايش بردار . زند يا خير مي
آبي كـه ،به عنوان مثال . آورد كه دور بزند يا خير اي پديد مي شود اين ميدان را به گونه مي
.باشد شود نشان دهنده وجود يك چاه مي و تخليه ميخورد از طريق يك حفره به صورت چرخشي پيچ مي :شود كه داشته باشيم ، هنگامي حاصل صفر مي در دستگاه مختصات دكارتيبا توجه به رابطه معرف كرل
y xA A
x y
، z xA A
x z
، yz AA
y z
اي سـه گانـه اسـكالر ورژانس و كـرل و همـين طـور ضـرب نـرده با توجه بـه تعريـف ديـ B (B A)
چـون دو سـطر . بينيم كه ديورژانس كرل يك بردار صـفر اسـت ، مي
.شود دترمينان با هم برابر شده است، پس حاصل صفر مي
x y z
x y z
( A)x y z
A A A
0
در اينجا الزم به ذكر است كه عملگر :نكته
) به عنوان مثال حاصل.كند نمياثر هر نوعي و از به هر نوع كميتي A) 0
تعريـف نـشده اسـت ) كرل چون عملگر )
نـشده اسـت تعريـف اي كميـت نـرده يـك رگيرد و حاصل اثر آن ب هاي يك بردار مشتق مي كند و از مولفه مي بر يك بردار اثر تنها
).گرلاي تعريف نشده است يعني عم همچنين ديورژانس يك كميت نرده )اي اثر كند تواند بر يك ميدان نرده نمي.
مقابل غير چرخشي است؟ تحت چه شرايطي ميدان :6مثال ˆ ˆ ˆA cyi xj czk 3 2 2
1(c 23 2( c
32 3( c
14 4( c
15
داريمدر اين صورت شد خواهد كرل آن صفرچرخشي باشد آنگاهميدان غيراگر يك »1«گزينه :پاسخ: ˆ ˆ ˆi j k
ˆ ˆ ˆ ˆA i( ( cz) ( x)) j( ( cy) ( cz)) k( ( x) ( cy)) ( c)kx y z y z z x x y
cy x cz
2 2 3 2 2 3 2 3
3 2 2
c بايدبراي صفر شدن حاصل آن 2 3 ؛ در نتيجهشودc 23 .
سرعت و شتاب
در بررسي غير دكارتي سه دستگاه مختصات معموال .پردازيم مختصات غير دكارتي ميهاي دستگاهب در اكنون به بررسي روابط مربوط به سرعت و شتااي دستگاه مختصات قطبي كروي و دستگاه مختصات استوانه اي، صفحهدستگاه مختصات قطبي گيرند كه عبارتند از مسائل مكانيك مورد استفاده قرار مي
.توضيح خواهيم داد به اختصار راها تگاهدسهاي اصلي اين كه ويژگيr(t) اگر.در آغاز بهتر است كه سرعت و شتاب را در دستگاه مختصات دكارتي بيان كنيم
فضا يا يك جسم متحرك در از اي قعيت نقطه مو معرف بردارrهاي بردار بينيم كه مولفه ميفضا باشد آنگاه با تغيير اين نقطه در t زمان
هاي در همان جهتهشوند اما بردارهاي يك در دستگاه دكارتي دچار تغيير ميˆ :مانند و داريم باقي مياوليه ˆ ˆr(t) x(t)i y(t) j z(t)k
7 كالسيكمكانيك
ˆ ˆ ˆdr(t) dx(t) di dy(t) dj dz(t) dk dx(t) dy(t) dz(t)ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆV(t) ( i x(t) ) ( j y(t) ) ( k z(t) ) i j kdt dt dt dt dt dt dt dt dt dt
x y zˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆxi yj zk V i V j V k
:رسيم مي به عبارت زيركنيم و عمل ميشتاب به همين ترتيب براي .در اينجا نقطه باالي حروف نشانگر مشتق آن مولفه نسبت به زمان است
x y zdV(t) dx dy dzˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆa i j k xi yj zk a i a j a k
dt dt dt dt
داشت كه آن روابـط تنهـا بـراي توجه اما بايد .بكار برد نيز ن را كه از فيزيك مقدماتي به ياد داريم در اينجا روابط آشناي ميان سرعت، شتاب و مكا توان مي در حركتـي شـتاب ثابـت ممكـن اسـت شـوند تري بيان مي تر و پيشرفته در اينجا چون مباحث كلي ولي .وندر به كار مي اشدثابت ب حركت حالتي كه شتاب
. استفاده كردها توان از آني بنابراين هميشه نم.نباشد
دكارتي به صورت در دستگاهاي اگر بردار مكان ذره :7مثال ˆ ˆ ˆr ( t )i ( t t)j ( t )k 2 62 2 3 5 ؟ داده شده باشد، بردار شتاب آنرا بيابيد21 (ˆ ˆj t k 32 6 2 (ˆ ˆi j8 4 3 (ˆ ˆj t k 46 5 4 (ˆ ˆj t k 46 6 هاي بردار مشتق گرفتن از مولفه ، دهيم تنها كاري كه بايد انجام »4«گزينه :پاسخr
ˆ .باشد مي ˆ ˆv r(t) i ( t ) j t k 52 6 5 12
ˆ ˆa r(t) j t k 46 6
اي دستگاه مختصات قطبي صفحه
موقعيـت ،بنـابراين . شـوند داده مي نشان e و re با شده و بردارهاي واحد آن يف اين دستگاه مختصات در دو بعد تعر rˆrو به صورت و rتوان با دو مختصه يك نقطه در صفحه را مي re
سوال پيش آيـد كـه اين شايد .شخص كرد م
rچرا تنها برحسب rˆr re
و همانند دستگاه مختـصات دكـارتي در شود مييعني تنها بر حسب يك بردار واحد بيان بـرخالف دسـتگاه ر دكـارتي غيـ مختـصات هاي در دستگاه علت اين است كه . شودميصفحه از دو بردار واحد استفاده ن
كننـد يعنـي در اينجـا بـردار تغييـر مـي ضا در فـ موردنظردكارتي، بردارهاي واحد در فضا ثابت نيستند و با تغيير نقطه ، دو جهت مختلف را نـشان خواهـد داد تلف دو زاويه مخ براي در راستاي شعاعي است كه برداري به طول يك reواحدrبهتر است بردارپس
را به صورت rˆr re ( ) نشان دهيم كه كاملتر است .
.ر استتگيري از آن كمي پيچيدهمشتق) كند تغيير مي با زمانبه اين دليل كه(كند در فضا تغيير ميreاكنون چونr r r
r r r rˆ ˆ ˆde ( ) de dedr dr d
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆV ( )e ( ) r( ) re r re r re r edt dt dt d dt d
rˆde رابطهدر اينجا از e
d
مولفه سرعت در راسـتاي عمـود بـر راسـتاي r از بردار سرعت است وe شروع ظاهر شدنبه اين ترتيب . ايم استفاده كرده
rرا با در نظر گرفتن تاب توان ش مي. استشعاعيˆde
ed
:به دست آورد
rr r r r
ˆˆ dededV d(r) dˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆa e r( ) (r )e r re r e r e r e (r r )e ( r r )e
dt dt dt dt dt
2 22 2
.شود دچار تغيير مي وr،r،r، و با تغييرنيست ثابت شتاب ديگر همانند فيزيك مقدماتي، شود كه مشاهده مي
به صورت بر حسب زمان اي اي مربوط به ذره ه اگر مختصات قطبي صفح :8لمثاr ( t ) R
t
2
32
2ـ ،دنداده شده باش شـعاعي شـتاب اه مؤلفـه آنگ
؟را بيابيد1 (R t t 24 12 2(R ( t ) 22 1 6 3 (R ( t ) 64 72 4(R ( t ) 66 5 تر ايـن اسـت كـه ايـن روابـط را بـه راه ساده.كنيم ب به دست آورديم عمل ميشتاهاي سرعت و با توجه به روابطي كه براي مولفه »3«گزينه :پاسخ
اي ب در مختـصات قطبـي كـروي و اسـتوانه شـتا سرعت و روابط تصات بهتر است اين كار را انجام دهيم چون البته فقط در اين دستگاه مخ (خاطر بسپاريم .)هستندتر پيچيدهra :بنابراين r r R ( t R )( t ) ( t )R 2 2 2 2 64 2 6 4 72
ere
r
سينماتيك نيوتني: فصل اول 8
دستگاه مختصات قطبي كروي
بردار موقعيت ذره در اين دستگاه به صورت . ه حساب آورداي در سه بعد ب دستگاه مختصات قطبي صفحه تعميم يافته توان شكل اين دستگاه مختصات را مي rˆr re ( , )
شود نمايش داده مي. .ان خواهد داد در هر نقطه از فضا يك جهت مشخص را نشبرداروابسته است يعني اين وتوجه كنيد كه بردار واحد شعاعي به متغيرهاي
بر هم عمودند و تشكيل يـك دسـتگاه e و re ،e سه بردار واحد بينيم كه با توجه به شكل مي قرار گرفته و به re اگر چهار انگشت دست راست در راستاي به عنوان مثال يعني .دهند راستگرد مي
.را نشان خواهد دادe جهت بردار واحد،ت دست راست خميده شود آنگاه انگشت شسeسويrهاي بردار شعاعي اگر مولفه
را در راستاي سه محور دكارتي بنويسيم داريم .
r x y zx r sin cos
x yy rsin sin tan ( )
zz r cos y
tan ( )x
2 2 2
2 21
1
در شان در هر نقطه از فضا بـا جهتـ ت آنها جههمچنين .اند قرار گرفته وr ، ي افزايش ها به ترتيب در راستا e و re،eدر اين دستگاه بردارهاي واحد
مختصات ثابت بيان كرد آنها را در دستگاه دكارتي به اي ازمجموعه پس براي آنكه بتوان جهت آنها را در هر نقطه از فضا برحسب .اي ديگر متمايز است نقطه :نويسيم صورت زير مي
rˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆe sin cos i sin sin j cos k , e cos cos i cos sin j sin k , e sin i cos j
(t)شود كه اگـر از اين روابط مشخص مي. توان آنها را با كمي دقت به دست آورد ميضرورتبلكه برحسب ،نيازي به حفظ كردن اين روابط نيست و(t) يعني(د كرد و اين مطلب مستقل از فاصله نقطه تا مبداء نباشند بردارهاي يكه دستگاه مختصات كروي با زمان تغيير خواهr (تغييـر يعنـي .است r
توان به صورت تركيبي خطي از دوتاي ديگر نوشت؛ نتـايج بنابراين با گذشت زمان يكي از اين بردارها را مي . شود ظاهر مي صورت جداگانه نسبت به زمان به rˆrگيري نسبت به زمان از حاصل از مشتق r(t)e ( (t) , (t))
دنآي به صورت زير به دست مي:
rˆdeكه در آنˆ ˆe sin e
dt
.
r r rdr
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆV re r e r sin e V e rV e rsin V edt
rdV
ˆ ˆ ˆa (r r r sin )e (r r r sin cos )e (r sin r sin r cos )edt 2 2 2 22 2 2
است كه اگر آشكار تنهـا در اينجـا بهتـر اسـت كـه .شوند اي تبديل مي هايشان در دستگاه مختصات قطبي صفحه آنگاه سرعت و شتاب به مولفه .ر بسپاريمهاي سرعت را به خاط مولفه قطبي كروي به صورت اي در دستگاه مختصات نرده اگر تابعي :9مثالr sin e 3 ربوط به گراديـان مبرداري آنگاه ميدان داده شده باشد، 24
شود؟ اين تابع با كدام گزينه داده مي1 (rˆ ˆ ˆr sin e e r cos e e r e e
2 2 2 2 2 212 4 8 2 (rˆ ˆ ˆr sin e e r cos e r e 2 2 2 21 6 8
3 (rˆ ˆ ˆr cose r cos e e r e e 2 2 2 212 1 2 4 (rˆ ˆ ˆr cos e e r sin e r e e
2 28 6 2
قطبي كروي بـه صـورت عملگر گراديان در دستگاه مختصات »1«گزينه :پاسخrˆ ˆ ˆe e er r r sin
1 1 .دشـو نمـايش داده مـي
براي محاسبه بنابراين
:خواهيم داشت
r rˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(e e e )( r sin e ) r sin e e r cos e e r e er r r sin
3 2 2 2 2 2 2 21 1 4 12 4 8
.باشد به صورت تابعي از مختصات مياي اي، بردار گراديان آن تابع نرده گراديان يك تابع نردهمنظور از ميدان برداري الزم به ذكر است كه
e
e
re
y
oV
x
9 كالسيكمكانيك
اي در دستگاه مختصات قطبي كروي به صورت سه مختصه ذره :10لثامr r ( t )
t
t
2
2 132
در اي عت زاويـه سـر مولفـه مربـوط بـه . انـد داده شـده
؟ را بيابيدeراستاي1(t 2( tr cos2 3( tr sin4 4( t4 كـه از صـورت روابـط گونـه همـان . اي لزوما ايـن چنـين نيـست توجه شود كه بردار سرعت داراي بعد سرعت است اما سرعت زاويه »4«گزينه :پاسخ
(V)ˆمشخص است r sin V e
V در نتيجه . برحسب زمان استاي مربوط به تغيير پارامتر سرعت زاويهVدر اينجا. t 4
ورژانس تابع برداري دي :11مثالrˆ ˆV (r e r e sin e )
2 2 ؟را در دستگاه مختصات قطبي كروي بيان كنيد 3
1 (r re sin 32 2 2 (r re cos 33 3 3 (r re sin 33 3 4 (r re 34 3 غير دكارتي به صورت زير استهاي مختصات س در دستگاهديورژانشكل كلي عملگر »4«گزينه :پاسخ:
V [ (V h h ) (V h h ) (V h h )]h h h q q q
1 2 3 2 1 3 3 1 21 2 3 1 2 3
1
مختصات، دستگاه هاي مقياس ها عامل ihكه در آن i
q ها مختصات دستگاه وiV با توجه به اينكـه در . اند مربوطه تدر دستگاه مختصا بردار هاي ها مؤلفه
دستگاه مختصات قطبي كروي داريم h
h r
h r sin
123
1 .آوريم براي بردار ديورژانس به دست مي
V [ (r sin ) (r e sin )] r rerr sin
4 3 3 3
21 4 3
كرل ميدان برداري :12مثالrˆ ˆA (r e r e e )
3 3 ؟قطبي كروي بيان كنيدرا در دستگاه مختصات 23
1 (rˆ ˆr e (tan e e ) 3 23 6 2 (ˆ ˆr e (tan e e )
2 24 2 3 (rˆ ˆre (cot e e ) 23 3 4 (rˆ ˆre (cot e e )
23 3
شـود كـه در آن، زير بيان مي با دترمينان غير دكارتي در دستگاه مختصات كرل يك بردار صورت كلي »3«گزينه :پاسخih هـاي مقيـاس عامـل هـا .باشند خواسته شده ميدستگاه مختصات هاي بردار در ها مؤلفه iVمختصات مربوطه و iqدستگاه مختصات،
ˆ ˆ ˆe h e h e h
Vh h h q q q
h V h V h V
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 31 1 2 2 3 3
1
رتهاي مقياس به صو عاملبا توجه به اينكه در دستگاه مختصات قطبي كروي h
h r
h rsin
123
1 :پسباشند مي
r
r
ˆ ˆ ˆe re r sin e
ˆ ˆA [e ( ( r e sin )) re ( ( r e sin ))]r rr sin r sin
r r e sin
3 2 3 22 2
3 3 2
1 1 3 3
3
r rˆ ˆ ˆ ˆ[ r e cos e r e sin e ] re cot e re er sin
3 2 3 2 2 2
21 3 9 3 9
.غلط استeوجود به دليل 4 دقت داشت اما گزينه 4 و 3هاي زياد گزينهدر اين تست بايد به شباهت
سينماتيك نيوتني: فصل اول 10
اي دستگاه مختصات استوانه
پيـشرفته شكلآن را توان همچنين مي . شود تاحدودي شبيه به دستگاه قطبي كروي است اما با روابط تبديل مختصات متفاوتي مشخص مي اين دستگاه نيز .اي در سه بعد دانست دستگاه مختصات قطبي صفحه
.افتد حذف شود چنين اتفاقي ميzبعد اگر رسيم اما در اينجا اي مي شود به دستگاه قطبي صفحهحذف در دستگاه مختصات قطبي كروي اگر پارامترنـد ده تشكيل يك دسـتگاه مختـصات راسـتگرد مـي ze و e،eدر اين دستگاه مختصات نيز سه بردار واحد
د آنگـاه ن خـم شـو e و بـه سـوي قرار گرفته eدر راستاي گشت دست راست اگر چهار ان به عنوان مثال يعني و ، افزايشبه ترتيب در راستاهايze و e،e . را نشان خواهد دادzeت دست راست، جهتسانگشت ش
z بردار مكان يك ذره در اين دستگاه مختصات بـه صـورت . هستندzˆ ˆr e ze ايـن . شـود مـشخص مـي
rدستگاه برخالف دستگاه قطبي كروي به جاي اينكه را برحسب يك بردار بيان كند برحسب دو بردار واحـدze
ˆ با توجه به اينكه .كند بيان مي eو ˆe e ( ) اگر با گذشت زمان تغيير كنـدe يـر خواهـد كـرد نيـز تغياگـر . مانـد اينكه به زمان بستگي ندارد همواره بدون تغيير و در همان راستاي هميشگي باقي مـي به دليل zeاما
:خواهيم داشت در دستگاه دكارتي بنويسيم يشها اي برحسب مولفه در دستگاه استوانهرا هاي بردار مكان مولفه
x yx cos
y y xy sin tan ( ) sin ( ) cos ( )
x x y x yz zz z
2 2
1 1 12 2 2 2
:اي را برحسب بردارهاي واحد دستگاه دكارتي بنويسيم داريم همچنين اگر بردارهاي واحد دستگاه مختصات استوانه
z
ˆ ˆe cos i sin j
ˆ ˆe sin i cos j
ˆe k
نخواهد داشت و فاصله از اين تغيير تأثيري بر فاصله از مبداء يعني .كنند تغيير مي zeبر خالف e وe با زمان تغيير كندكامال روشن است كه اگر r(t)ˆˆ : بنابراين.دهد نشان مي مستقلمبداء نيز تأثيرش را برحسب زمان به صورت (t)e ( (t)) z(t)k
: نماييم در اينجا ذكر مي آنها را بدون اثبات .رسيم پس با مشتق گرفتن از اين رابطه برحسب زمان به روابط مربوط به شتاب و سرعت مي
z z zdr
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆV e e ze V e V e V edt
zdV
ˆ ˆ ˆa ( )e ( )e zedt 2 2
zاگر z شوند اي تبديل مي ر دستگاه مختصات قطبي صفحههايشان د هاي سرعت و شتاب به مولفه مولفهاه آنگ.
اي به صورت تي مربوط به مكان ذره راگر مختصات دكا :13مثالx A(t )
y A( t )
z A(t )
2
22 دسـتگاه ايـن بـردار را در هاي مربوط بـه داده شده باشند، مولفه 1
Aثابت ( ؟اي برحسب زمان بيابيد استوانه (
1(z At ، ، t t 2 3 t
z At ، tan ( ) ، A t tt
2 1 22 1 5 8 52 2(
3( tz At ، tan ( ) ، A t
t
1 2 22 1 5 5 4( z At ، tan (t) ، A t t 3 1 22 8 2
اي داريم دستگاه دكارتي و استوانهتفاده از روابط تبديل مختصات ميانبا اس »2«گزينه :پاسخ: y t
x y A (t ) ( t ) A t t , tan ( ) tan ( )x t
2 2 2 2 2 1 1 2 12 2 1 5 8 5 2
z At 2
e
ze
e
y
x
z
11 كالسيكمكانيك
حركت يك بعدي
اي شوند و همه معادالت بـرداري بـه معـادالت نـرده تبديل مي متناظر اي هاي نرده كميتدر يك بعد، همه بردارها به مؤثر بر آن در بررسي حركت و عوامل .لرها بيان شود برحسب اسكايعني در يك بعد نادرست است كه نيمي از معادله بر حسب بردارها و نيم ديگر. يابند تغيير شكل ميمتناظر
. كلي مربوط به سرعت و شتاب را بيان كنيم كه در فهم مطالب مفيدندتعدادي تعريفدر ابتدا بهتر است rكند و به صورت تابعي از زمان به شكل مبداء دستگاه مختصات را به محل ذره وصل مي،برداري است كه در هر لحظه: بردار مكان r(t)
شود بيان مي. عريـف تغيير بردار مكان ميان دو لحظه متفاوت را بردار جابجايي گويند كـه بـا توجـه بـه ت : بردار جابجايي
:تفاضل دو بردار خواهيم داشت(t t ) r r(t) r(t )
گرايد كه مياي شوند اين جابجايي به جابجايي لحظه هرچه اين دو زمان به هم نزديك .ت اس tو t جابجايي كلي ميان دو لحظه دهنده نشانيعني اين بردار dr باآن را
به طور كلي.دهند نشان مي drبر مسير ذره مماس است.
ه در يك بازه زماني به مدت زمـان ين صورت كه نسبت جابجايي كل ذر به ا.شود سرعت متوسط ذره در يك بازه زماني مشخص تعريف مي : سرعت متوسط
V و با نماده شد سرعت متوسط آن ذره ناميده انجام آن الزم براي
r . دشو مينشان داده r(t) r(t )V
t t t
tهمـانطور كـه گفتـيم اگـر . اي خـواهيم داشـت ود و سرعت لحظهاگر اين دو لحظه به هم نزديك شوند ديگر سرعت متوسط در كار نخواهد ب t آنگـاه r dr . در اينجا نيز اگرt t آنگاهV V(t)
drپس V(t)
ر مسير ذره مماس استاي نيز ب سرعت لحظه؛ به عبارت ديگر.
t t
r (t) r(t ) drV(t) lim V lim
t t dt
drپس V(t)
dt
ناسبت ضريب و dt
.باشد مي 1
زمان به صورت برحسباي بردار مكان ذره :14مثال r ( t t) 22 اي ذره را در زمان سرعت لحظه . شود بيان ميt s و سرعت متوسط آنرا ميان 2tلحظات s t و2 s ؟ بيابيد5
1(،46 83 2( ،45 13 3( ،45 93 4( ،5 93
اي داريم سرعت لحظه ه به تعاريف سرعت متوسط و با توج »3«گزينه :پاسخ: tdr m
V ( t ) V | ( )dt s 24 1 4 2 1 9
r( ) r( ) [ ( ) ] [ ( ) ] mV
s
2 25 2 2 5 5 2 2 2 455 2 3 3
يعنـي . كند بيان مي t وtشتاب متوسط عبارت است از برداري كه تغيير سرعت ذره را ميان دو لحظه زماني : شتاب متوسط
V(t):به صورت t وtيير شتاب را ميان دو لحظهاين بردار وضعيت كلي تغ V(t )a
t t
tاگـر .دهد ميبدست t
a يعني گردد مييعني بازه زماني بينهايت كوچك شود آنگاه سرعت به سرعت لحظه اي تبديل dv تـوان اما در اينجا نمـي
Vنتيجه گرفت كه چون dr و a dv
پس a dr
. اي يكنواخت بردار به عنوان مثال در حركت دايرهdr
ممـاس بـر تغييـر مكـان در يـك راسـتا و يعني شتاب لزوما با سـرعت .باشد به طرف مركز مي ر راستاي شعاعي و د شتاباما است مسير .با تغيير مكان موازي خواهد بود اما سرعت حتما ،نيست
توان سـرعت آنـرا مشخص نميي زماندر بنابراين تنها با داشتن سرعت يك ذره . بيروني بر جسم استنيروهايتوان گفت شتاب جسم مشخص كننده اثر مي يمتـوان اي خـاص بـدانيم مـي سـرعت يـك ذره را در لحظـه چنانچـه اما .حظات آينده يا گذشته به دست آورد بلكه بايد شتاب جسم مشخص باشد همه ل ر د
. به دست آوريم از آناي قبل يا بعد لحظهموقعيت آنرا درt t t t
V(t) V(t ) dVa lim a lim
t t dt
aپسمتناسب با dV
Vنهاست
.
dr
r
r(t )
r(t)
V(t)
V(t )
dr
V(t)
a
سينماتيك نيوتني: فصل اول 12
اي برحسب زمان به صورت بردار سرعت ذره :15مثالˆ ˆV ( t )i ( t )j 22 2 3 ن لحظـات شتاب متوسـط آن بـي . شود بيان ميt s t و 1 s و 3tدر اي آن همچنين شتاب لحظه s : به ترتيب عبارتنداز2
1 (ˆ ˆ ˆ ˆi j ، i j 2 12 2 12 2( ˆ ˆ ˆ ˆi j ، i j 5 6 3 3( ˆ ˆ ˆj ، i j6 4( ˆ ˆi ، j4 2 از روابط تعريف كننده شتاب متوسط داريم »1«گزينه :پاسخ:
ˆ ˆa i j 2 12
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ[( ( ) )i ( ( ) ) j] [( ( ) )i ( ( ) ) j] ( i j) ( i j)
2 22 3 2 3 3 2 1 2 3 1 8 27 4 3
2 2 V( ) V( )a
3 13 1
t : آيد اي از مشتق زماني سرعت به دست مي شتاب لحظهdV ˆ ˆ ˆ ˆa i tj a | i jdt
22 6 2 12
a خاصدر اين لحظهالزم به ذكر است كه تنها a گيرد ابت انجام نمي چون اين حركت باشتاب ث.چنين نيست اينها براي همه حركت ولي.
محاسـبه نمـاييم را نقطـه از مسير ميان دو بخشي طولو در نظر بگيريم ، شده ب توجه به دستگاه مختصات خاص انتخا اگر جابجايي ذره را بدون : مسافت .شود حاصل همواره عددي مثبت است و به آن مسافت گفته مي
.پيمايد و بنابراين مستقل از دستگاه مختصات انتخابي است ذره طي يك بازه زماني مي كه يعني مسافتي، مربوط به همين مطلب استذرهاصطالح تندي مـسير ممكـن اسـت از آنجا كه . دارد كه بردار جابجايي ميان دو نقطه را نسبت به آن دستگاه محاسبه كنيم ي دستگاه مختصات ما جابجايي ذره لزوما نياز به ا
متفاوت در يك نقطه نسبت به مبداء واقع خواهند شد و بنابراين جابجايي ذره صـفر زمان لذا دو بردار در دو طع كندذره پس از مدتي همان نقطه شروع را ق .د نه مسافتنشو اي به جابجايي مربوط مي سرعت لحظهو اصطالح سرعت متوسط . خواهد بود
اي يكنواخت كه با معادالت در يك حركت دايره :16مثالx rcos( t)
y rsin( t)
2ترتيـب بـه s1 طـي شود، تنـدي ذره و سـرعت متوسـط آن بيان مي 2
:عبارتنداز1 (، r1 4 2( ، r2 3( ، r4 4( ، r1 2 ه برابر با ذر ايسرعت زاويه »2«گزينه :پاسخ 2 است تندي ذره با رابطهV r شود و داريم تعيين ميV r 2 سـه ثانيه 3 در اما ذره
T چون زند دور كامل مي
2 2 )r :شود و بنابراين بردار جابجايي صفر مي12 ) r( ) r r
V
1
1 1
حركت با سرعت ثابت
a: يعنـي . دستگاه از اثرات بيروني به دور باشد سرعت آن تغيير نخواهد كردچنانچهكند پس كه شتاب اثر عوامل بيروني بر ذره را مشخص ميآنجا از و
r V t
صورت مقابل نوشتدالت حركت را به توان معا ميآنگاه: x
y
z
x x V t
y y V t
z z V t
.اي با سرعت متوسط برابر است سرعت لحظه حالت در اينبه عبارت ديگر
حركت با سرعت متغير
mافتد مانند حركت سـقوط آزاد كـه در آن در هـر ثانيـه با آهنگ ثابتي اتفاق مي در برخي موارد . دو گونه است زمان، تغييرات سرعت نسبت به /
s9 بـر 8
كنـد ماننـد آهنگ تغيير سرعت با زمان نيز تغيير ميدر موارد ديگر .شود و جهت آن نيز همواره به سمت پايين است سرعت جسم در حال سقوط افزوده مي از لحاظ جهت همواره جود ثابت بودن از نظر بزرگي ذره با و شتاب و بنابر آن اي كه در آن بردار تغيير سرعت همواره به سوي مركز دوران است حركت دايره
V تغييرات سرعت، چون. كند تغيير مي
بـه . بـردار خواهـد شـد تغيير در جهت آن نيز همانند تغيير در اندازه آن موجب تغييـر ،، يك كميت برداري است .شود است حركت با شتاب ثابت و به حركت نوع دوم، حركت با شتاب متغير گفته ميكه در آن آهنگ تغيير سرعت با زمان يكنواخت حركت نوع اول
tبا فرض (اي با شتاب متوسط برابر است در حركت با شتاب ثابت، شتاب لحظه ( V(t) V(t ) V(t) V( )
a V(t) at V( )t t t
:آيد مي به شكل مقابل در ايلفهكه به صورت موx x x y y y z z zV (t) a t V ( ) , V (t) a t V ( ) , V (t) a t V ( )
13 كالسيكمكانيك
a تنهـا هنگاميكـه اي با سرعت متوسط برابـر نيـست در اينجا بهتر است توجه شود كه در حركت با شتاب ثابت، سرعت لحظه باشـد ايـن حالـت روي
را بر حسب زمان به دسـت xاي آن به كار برد و گيري را بر توان فرايند عكس مشتق مي است گيري مشتقاي، وابسته به چون تعريف سرعت لحظه .دهد مي :در نتيجه ؛آورد
x x x xx x x x x
x x
V (t) V ( ) V (t) V ( )x(t) x V ( )( ) a ( ) V (t) V ( ) a (x(t) x )
a a
2 2 21 22
: توانيم همانند زير عمل نماييم ميايي حركت پيدا كنيم ته ابتدايي وان در لحظاتاي اي ميان سرعت متوسط با سرعت لحظه اگر بخواهيم رابطه
x xx x x x
x x x
( a t V t)(x x ) V V V VV a t V ( )t V
t t t
211 122 2 2
:توان نوشت مي با شتاب ثابت، سرعت ميانگين ذره ميان دو لحظه عبارت است از ميانگين سرعتهاي ذره در آن دو لحظه و با استفاده از اين رابطهيعني در حركت
x xx
V Vx x V t x ( )t
2
. را به راحتي به دست آوردميتوان چهار مشخص باشد ميكميت سه x وV، V، a اگر از چهار كميت يك بعدي پس به طور كلي در هر مسئله اي برحسب زمان به صورت اي ذره اگر سرعت لحظه:17مثالV(t) t 26 ؟شود ميه آن با كدام گزينه دادمتوسطآنگاه سرعت داده شده باشد، 3
1 (V t 6 3 2( V t 6 3 3( V t 23 3 4( V t 23 3
از اين رابطه با قرار دادن »4«گزينه :پاسخt سرعت اوليه برابرmV ( )
s 3ميانگين برابر است بااما سرعت . آيد به دست مي :
V(t) V tV t
2 26 3 3 3 32 2
هاي تند شونده و كند شونده حركت
Vاگر بردارهاي
aو اگر و در يك راستا و در يك سو باشند حركت تند شونده است V
aو در يك راستا و در دو سوي مخالف باشـند حركـت كنـد شـونده
به سوي پـايين شتابكنيم در نيمه اول مسير تا نقطه اوج، سرعت به سوي باال و به عنوان مثال وقتي جسمي را به صورت قائم به باال پرتاب مي .خواهد بود .است حركت تند شونده ،المت هستند حركت كند شونده است و در نيمه دوم مسير چون سرعت و شتاب هم عو
.كند پيدا ميفهوممقايسه با عالمت سرعت است كه مبه طور كلي عالمت شتاب به تنهايي داراي معني خاصي نيست بلكه در نمودارها
.كنيم شتاب و مكان را برحسب زمان بر روي نمودار ترسيم مي ،اكنون وضعيتهاي نسبي سرعتـ مكان (x-tجسمي ثابت باشد نمودار اگر سرعت حركت : سرعت ثابت يـك خـط ت به صـور آن) زمان
نـشان دهنـده شـيب ،شود ق مكان نسبت به زمان بيان مي سرعت برحسب مشت چون .راست خواهد بود سرعت اشد، و اگر منفي ب بوده سرعت مثبت باشد آنگاه پس اگر شيب مثبت .استt بر حسب xنمودار .ستمنفي ا
xx x V t xV بنابراين tan .
و در جهـات داشـته اند كه در ابتدا در فواصل مشخصي از مبـداء قـرار معرف حركات ذراتي هااين نمودار . اند نموده ثابت شروع به حركت سرعتها با xمثبت يا منفي محور
طي راست به صورت خآنزمان ـ ثابت باشد آنگاه نمودار سرعت اگر در حركتي شتاب ذره: شتاب ثابتمثبت يا منفي اند كه با سرعتهاي اوليه متفاوت و با شتابهاي اين نمودارها معرف حركات ذراتي . دباش مي
نمودار سرعت برحـسب شيب ،دباش شتاب مشتق زماني سرعت مي از آنجا كه .اند كردهشروع به حركت .دهد دست مي شتاب را به ،زمان
x xV V at xa tan
xVبينيم كه در ابتدا در نظر گيريم مي را مشخص شده است 1اگر نموداري كه با شماره در جهـت منفـي محـور ره در آغاز در حال حركـت ذ وx در ). سرعت منفي بـه مكـان ذره بـستگي نـدارد ، يكي گرفت هاي منفي استx كه ذره در حال دور شدن از مبداء در جهت ب را نبايد با اين اين مطل (است
0xV 0
0xV 0
0xV 0
1t
xa 0
xa 0
t
xV
1
2
0x 0
0x 0
0x 0
xV 0
xV 0
t
x
سينماتيك نيوتني: فصل اول 14
tزمان t tباشد تا اينكه در لحظـه كم شدن مي بت و سرعت منفي است يعني حركت كند شونده است و سرعت در حال شتاب مث 1 t سـرعت صـفر 1tپس از . شود شود يعني جسم متوقف مي مي t بـه . حركت تند شونده اسـت عالمتند هم xV و xaكند و چون جسم با سرعت مثبت شروع به حركت مي 1
. داده است ادامهافزايش يابنده حركتش را با سرعت مثبت هاي x سپس متوقف شده و به سوي ،كرده هاي منفي حركت ميxي ذره در آغاز به سوعبارت ديگرt مشخص شده است در زمان 2در نموداري كه با شماره به سـوي كترح در حال و ، ذره داراي سرعت مثبت است x در بـازه .باشـد مـي هـاي مثبـت
tمانيز t 1 ، xa و xV ، شود تـا اينكـه در يعني به تدريج سرعت ذره كم مي . حركت كند شونده استt t پـس از .شـود متوقـف مـي 1tزمان t .كند هاي منفي شروع به افزايش ميx و سرعت به سوي بودهند حركت تند شونده هم عالمتxV و xaچون1
ـ نمودار مكان زمان در هر ـ مكان شيب نمودار .باشد ميمقابل يك حركت شتابدار به صورت زمان براي
tپس در لحظه ؛دهد دست مي لحظه سرعت را به عبارتxV tan اي براي سـرعت لحظـه . باشد برقرار مي
x در لحظات بعديهمچنين xV V (t) و xV tan .ل افزايش چون شيب همواره در حا
.باشد است حركت تند شونده ميxV بزرگتر از صفر است چون مقابلجسم در نمودارسرعت اوليه tan .
.سدبرتا به صفر يابد مي شيب نمودار كاهش به تدريجxV (t ) tan 1 1
.پس اين نمودار مربوط به يك حركت كند شونده است
tan چون سرعت اوليه كوچكتر از صفراست مقابل نمودار در مورد . شـود به تدريج زاويه كم ميxVتا جاييكه tan 1 سرعت به طور يكنواخت در حال كاهش است و چون به عبارت ديگر
xVشيب همواره منفي است پس در اينجا xa باشد مي پس حركت كندشونده .
xV نيز در ابتدا در اين حركت tan بـا عالمـت امـا به تدريج زاويه در حال افزايش اسـت و
به تا سرانجام ،منفيشود يعني سرعت بتدريج در حال افزايش و حركت تند شونده است مي نزديك؛ 2
.نيز بايد منفي باشدxa همواره منفي است پسxVو چون شتاب برابر است با مشتق دوم مكان نسبت از آنجا كه ؛توان با توجه به تقعر منحني شتاب آنرا پيدا كرد زمان مي ـ ه طور كلي با نگاه كردن به نمودار مكانب
xa است پس xبه سمت در نمودارهاي اول و سوم تقعر نمودار ، به زمان بـه سـمت در نمودارهاي دوم و چهارم تقعر نمـودار x وبـودهxa : كرد و داريمكند بايد انتگرالگيري اب با زمان تغيير ميبراي به دست آوردن سرعت و مكان در حالتي كه شت. است
: راي يك بعد داريم بt
xx x V (t)dt ; t
x x x x xa a (t) V (t) V a (t)dt
اي بر حسب زمان به صورت اگر معادله شتاب ذره :18مثالa t 2 مكان آنرا بر از حالت سكون و از مبداء شروع به حركت كرده باشد باشد و ذره1 ؟حسب زمان به دست آوريد
1 (tt
3
2 2 (tt
3
2 3 (t t
3 2
3 2 4 (t t
3 2
2 2
كنيممي در ابتدا سرعت را بر حسب زمان بدست آورده و سپس از روي آن مكان ذره را محاسبه »3«گزينه :پاسخ. t t t t
t t tV(t) V a(t)dt ( t )dt (t t) | t t x(t) x V(t)dt (t t)dt
3 22 2 22 1 3 2
0
1tt
1 0
x
0 1t
t
x
0 t
x
1t
و
0 0 1t t
1
x
1 0
15 كالسيكمكانيك
سقوط آزاد
معادالت سرعت و شـتاب بـه صـورت را به سوي باال بگيريم y پس اگر جهت مثبت محور . است يندر حركت سقوط آزاد شتاب ثابت و همواره به سوي پاي
y :دنآي در ميروبرو y yy y V t gt V V g(y y ) 2 2 21 22
:در راستاي عمودي در حال حركت است عبارت است ازVبا سرعت عمودي ارتفاع اوج و زمان اوج جسمي كه V
g ؛ زمان اوج V
g
2
2ارتفاع اوج
جسم را به صورت قائم به باال پرتاب كنيمرگاهدر اينجا الزم به ذكر است كه ه y
V سـقوط ينكنيم تا بـه سـوي پـاي ، هنگاميكه جسم را از باال رها مي yVكند اندازيمپايين مي و هنگامي كه جسم را به سويyV است .
2نكته: تواننـد دهـيم امـا مـي هر دو را با يك عدد نشان مي موقعيتدر آن لحظه نكه با وجود آرسند هم مييا بهكنند كه دو متحرك به هم برخورد مي هنگاميـ 1
.داراي سرعتهاي متفاوتي باشدx :باشد ميام به صورت روبروnجابجايي در ثانيه ) بدون مقاومت هوا( در حركت با شتاب ثابت ـ 2 xa a , V V , t n
x(n) V a( n ) 1 2 12
.شي از چند مسير با مشخصات متفاوت باشد آنگاه شرايط انتهايي هر مسير به عنوان شرايط ابتدايي مسير بعد است هرگاه حركت ناـ3 . استر حركت رفت و برگشت كامال يكسان طي شده در پيمودن فاصله بين دو نقطه يكسان دزمان) هوابدون مقاومت( در حركت سقوط آزاد ـ 4 .آيد ، سرعت جسم در لحظه برخورد به زمين از رابطه زير به دست ميhاع براي سقوط آزاد جسم از ارتفـ 5
V V gy V gh V gh 2 2 22 2 2
سنگي كه از يك ارتفاع بلند با سرعت اوليه :19مثال m
s را طي كند؟m37تواند مسافت شود در ثانيه چندم حركت خود مي به سوي زمين پرتاب مي2
پنجم) 4 چهارم) 3 سوم) 2 دوم) 1
ــخ ــه :پاس ــسافت »3«گزين ــه م ــده در ثاني ــوده ش ــه nپيم ــا توج ــه ام ب ــه اينك ــت ب ــن حال mدر ايV
s 2 وma
s 21 ــه اســت از رابط
x(n) ( n ) 2 5 2 ) :بنابراين: آيد مي بدست 1 n ) n 37 2 5 2 1 4
)اي حركت پرتابه= حركت در صفحه (حركت دو بعدي
x حركت در راستاي زمين مستقل از هم باشند در حضور جاذبه ثابت كامالy وxكرد كه حركات در راستاهاي جدااي توان به گونه حركت در دو بعد را مي : براي شرايط اوليه حركت پرتابي داريمباشد شتابدار ميyدر راستاي بدون شتاب است در حالي كه
x
y
V V cosxr V
V V siny
x x
y y
x x V cos ta V V cosa V r
a g V V sin gt y y V sin t gt
21
2
gx :شود از دو معادله مربوط به مكان حذف t را پيدا كرد بايد هبراي اينكه بتوان معادله مسير پرتاب y y x tan
V cos
22 22
tt
y
x0
0
0
x
y
برد
سينماتيك نيوتني: فصل اول 16
ي با سرعت اوليه ا ذره :20مثالmV
s 2 زاويه تحت 45 افقي آن از نقطه پرتـاب اي كه فاصله شود ارتفاع آنرا در نقطه پرتاب مي نسبت به افق
؟ است پيدا كنيدm2برابر با 1 (/1 9 2( /2 1 3( 4 4( 5
كنيم اين مسئله را با كمك معادله مسير حل مي »1«گزينه :پاسخ: ( )( )y tan ( ) / m
( ) cos ( )
2
2 21 2 4 3992 2 1 94 4 22 2 4
:كنيمبراي بدست آوردن ارتفاع اوج و زمان رسيدن به نقطه اوج به صورت مقابل عمل ميV sin
g
اوجyV V sin gt t
V sinV sin V sin V siny V sin ( ) g( ) h
g g g g
2 22 221
2 2 2
V sin V sinV cos ( )
g g
2 22
اوجx مولفهxنصف برد پرتابه است همان نقطه اوج ،.
V sin
g
2 Rاوج 2 x )هبرد پرتاب( 2
هاي باال برد پرتابه زماني ماكزيمم است كه طبق رابطه 4 از طرفي سطح زير نمودار y برحسب xزماني ماكزيمم است كه
. باشد6
؟نيداي برابر با نصف برد آن باشد زاويه اوليه پرتاب را پيدا ك اگر ارتفاع اوج پرتابه :21مثال
1 (sin ( ) 1 12 2( sin ( ) 1 2
2 3( sin ( ) 1 25 4( sin ( ) 1 3
5
روابط مربوط به برد پرتابه و ارتفاع اوج عبارتند از »3«گزينه :پاسخ : v sin
g 2 2
y vاوج 2 sinR
g
2 2
v sin v sin( ) sin cos sin
g g
2 2 2 22 Rاوج 2 y 2
cos sin sin cos sin 2 2 22 15
3نكته: .گذرد متقارن است ها كه از نقطه اوج ميyمسير حركت پرتابه نسبت به خطي موازي محور ـ 1
t :با توجه به شكل داريم t t t 2 1 4 3 V(t ) V(t )1 4
V(t ) V(t )2 3
بـا آن دو را برابـر yبرخورد پرتابه با يك مسير خاص ديگر مثال يك سطح شيبدار را بيابيم كافي است و بخواهيم محل بدانيم را اگر معادله مسير پرتابه ـ 2
.هم قرار دهيم
كه به فاصله توپي شليك شده از دو وله توپ گلدو :22مثالkm1 هـا اند به سوي همديگر در حال حركتند اگر براي يكـي از گلولـه از هم قرار گرفته
داشته باشيم
mv
s
1
6 زاويهتحت گلوله دوم
رسند؟ود تا در ميانه مسير به هم باي پرتاب ش با چه سرعت اوليه3
1 (( )
25 12 2 3
2( ( )
216 51 2 3
3(
21 2
4( ( )
6 5 21 2 3
1t
2t 3t
4tt t
: توضيح
17 كالسيكمكانيك
عبارت است ازمسئلهشكل مربوط به اين »4«گزينه :پاسخ :
) . بايد معادله مسير دو پرتابه را مساوي هم قرار دهيم )( ) ( )( )tan( ) tan( )
( ) cos ( ) (V ) cos ( )
2 2
2 2 2 21 5 1 55 56 32 1 26 3
m1ها رسند و فاصله آن جسم در ميانه مسير به هم مي2از آنجا كه است بنابراين x x 1 2 5 متر است . ( ) ( )
VV ( )
23 1 5 5 6 53 13 3 1 2 3
4
r(t) بـردار مكـان : مي تـوان گفـت ي در مورد بردار مكان، سرعت و شتاب در حركت پرتاب ـ3
كند بـردار سـرعت در هـر جسم وصل مي مكان جسم در هر لحظه برداري است كه مبداء را به در نقطه اوج، سرعت پرتابه تنهـا داراي مولفـه افقـي اسـت و . لحظه بر مسير پرتابه مماس است
.مولفه عمودي ندارد :توان گفت مي، ، عالمت مربوط به زاويه ميان سرعت پرتابه و راستاي افقايبر
پيش از نقطه اوج و بعد از آن < .براي زاويه ميان بردار مكان با خط افق ، بردار سرعتو مكان ، و زاويه ميان بردار ،توان نوشت مي
| |
| |
, :و در نقطه اوج داريم به اين دليل كه خاص پرتاب كنيم،در صورتيكه پرتابه را در راستاي افق و از ارتفاعيـ 4 شود پس مولفه عمودي سرعت اوليه صفر مي .
hy h V sin t gt t
g 21 2
2
hV cos t V t V
g
2 بردX
هواپيمايي با سرعت :23مثال m
s در ارتفاع 2 m2 اي پرتـاب خواهيم دو بـسته را در يـك آن بـه گونـه از سطح زمين در حال پرواز است مي
كنيم كه به فاصله m8 هـا را رهـا كنـيم بـسته دوم را بايـد بـا چـه سـرعتي در راسـتاي مخـالف آن اگر يكـي از بـسته . زمين برخورد كنند به از هم پرتاب كنيم؟
1 (1 2( 2 3( 3 4( 4 كند شود به اندازه فاصله زير تا نقطه پرتاب حركت مي اي كه رها مي بسته »4«گزينه :پاسخ.
hمترx V
g
2 42 2 4 41
براي اينكه بخواهيم بسته دوم به اندازه 4 تر بيافتد بايد آنرا با سرعت متر عقبV V 2 عني يm
s 4 يدر مجمـوع سـرعت . به سوي عقب پرتاب كنـيم
2حين پرتاب خواهد داشت كه بسته البته اين مسئله تا حدودي به مسئله حركت نسبي هم ارتباط دارد. متر بر ثانيه در راستاي خالف جهت پرواز است.
يحركت دوران
ناشـي از كـه دايره عمود است و بنـابراين شـتابي شعاع سرعت بر در اين حركت.گيرد حركت دوراني نام دارد انجام مي اي شكل يري دايره مسحركتي كه بر اگر انـدازه . باشد مي يشتاب مماس ) درصورت وجود ( شتابي كه ناشي از تغيير اندازه سرعت است .تغيير جهت سرعت است شتاب شعاعي يا مركزگرا نام دارد
. غير يكنواخت نام دارد،سرعت در حركت دوراني تغيير نكند آنرا حركت دوراني يكنواخت گويند در غير اينصورت حركت دوراني
x
y
r(t)
t
****
*
برد
از اوجبعد قبل از اوج
V
x
y
V
V
x
h
برد
y
O
oV
سينماتيك نيوتني: فصل اول 18
r r r rV
ˆ ˆa a e er
2 بـردار واحـد در راسـتاي افـزايش شـعاع re همان طور كه گفته شد . نام دارد شتاب شعاعي مركزگرا
:ر اندازه سرعت نيز تغيير كند خواهيم داشتاست اگ
tdv
a vdt
مماسي شتاب rv
ar
2
شتاب شعاعيaاي است همان شتاب كل در حركت دايره.
tra :شتاب مماسي و شعاعي بر هم عمودند خواهيم داشت دو توجه به آنكهبا a a 2 2
: آيد به دست ميمقابلبا توجه به شكلهاي باال به صورت ، ، زاويه ميان بردار شتاب كل با شتاب شعاعيr t
t r
r
a atan cos ( )
a a a
1 12 2
. استta در خالف جهتVهم جهت است و در حركت كند شونده ta باVه باشد اگر حركت تند شوند
حركت نسبي
چوب ديگري در حال حركت اسـت اگر بخواهيم حركت ذره را نسبت به چارچوبي بررسي كنيم كه نسبت به چار .تفاوت خواهند داشتد نشو ميگيري زهدو چارچوب اندادر سرعتها و شتابهايي كه
r r ' r
r و .كند كه مبداء دو دستگاه را به هم وصل مي است ي بردار V
سرعت دستگاه پرايم دار نـسبت بـه ديگـري
.در حالت يك بعدي داريم .استp p
p p
p p
x x V t
v v V
a a
بـه دو دسـتگاه نـسبت ) سـرعت (در دستگاه متحرك به اضافه مكـان ) سرعت(در دستگاه ثابت برابر است با مكان ) سرعت(توان گفت كه مكان ابراين مي بن .شود هايي كه نسبت به هم شتاب دارند به فصل پنجم موكول مي بررسي دستگاه.يكديگر
بالني كه در ارتفاع :24مثال 4تواند با سرعت متري سطح زمين قرار گرفته است ميm
sـ بالن بـا مدن اگر در حين فرود آ. ارتفاع كم كند4 ادي ب
mسرعت
s به سوي باال بوزد بالن پس از چند ثانيه به زمين خواهد نشست؟ 2
1 ( 12)2 ثانيه 3)3 ثانيه به زمين نخواهد نشست ) 4 ثانيه
در اينجا با حركت نسبي روبرو هستيم كه در آن سرعت بالن نسبت به جريان هوا »2«گزينه :پاسخ (V) برابر باm
sوا نسبت بـه و سرعت جريان ه 4
mناظر زميني(u)
sV است؛ اما سرعت بالن نسبت به ناظر زميني عبارت است از 2 V u
V'V u V
u
.ايم الن را ثابت فرض كرده سقوط بكنيم چون سرعت استفاده نميآزادمسئله قابل توجه اين است كه در اين مسئله از روابط مربوط به سقوط
m h mV t s
ms Vs
44 2 2 22
Vra
r
ta
ra
v
a
حركت تندشونده
r
r
Py
xv
0r
x
y
y
px
V
xx
px
y
ta
rav
a
ندشوندهكحركت
19 كالسيكمكانيك
بندي شده فصل اولهاي طبقهتست
1 راننده ترني كه با سرعت ـ V1 اي در مقابل خود ترني باري را ديد كه با سرعت ثابت كند، در لحظه حركت مي(V V )V2 1 از ترن d و در فاصله 2 متوجه شد كه در هر صورت با ترن باري تصادف خواهد كـرد، زمـان بنابراين. ترن برخورد نكند ترمز نمايد تا با aكند و تصميم گرفت با شتاب حركت مي
)76سراسري ( الزم براي برخورد دو ترن برابر كدام است؟
1(V V (V V ) ad
a
21 2 1 2 2 2(
V V
a
1 2 3((V V ) ad
a
21 2 2
4(V V (V V ) ad
a
21 2 1 2 2
277سراسري ( آن است، تانژانت زاويه پرتاب آن كدام است؟اوج اي دو برابر ارتفاع ـ برد پرتابه(
1(13
2(1 3(3 4( 2
3 چنانچه. ايم پرتاب كرده اي را مطابق شكل ـ پرتابهAT و BT از دو نقطه مفروض بر خطوط افقي باشند، مقدار شتاب گرانشي، ه زمان عبور پرتاب g )77سراسري ( كدام است؟
1(A B
h
T T2 28 2(
A B
h
T T2 28
3(A B
h
T T2 22 4(
A B
h
T T2 22
4 با فرض ناچيز بودن مقاومت هوا زاويه پرتـاب ايـن . پرتابه در نقطه اوجش يك چهارم انرژي جنبشي آن در نقطه پرتاب است ـ انرژي جنبشي يك )78سراسري ( پرتابه كدام است؟
1(3 6)3 درجه45 )2 درجه 4 درجه(tg14 5 اي با تندي ثابت رهـ ذV در صفحه xy هـاي سـرعت آن در دسـتگاه مختـصات بـه صـورت كنـد كـه مؤلفـه طوري حركت ميrV Vsin
2
Vو Vcos
)79سراسري ( معادله مسير ذره در اين دستگاه مختصات كدام است؟. است2
r ثابت)1 cos2
rابت ث)2 2 cos2 3(ثابت r sin
2
r ثابت)4 2 sin2
6 ـ از روي واگني كه با تندي ثابتV
نسبت بـه نـاظر سـاكن در واگـن و زاويهVاي با سرعت اوليه گلوله. درجاده مستقيمي در حركت است 2 )80سراسري ( .)سرعت واگن همواره ثابت است( چقدر باشد تا از ديد ناظر ساكن بر روي زمين، برد گلوله بيشينه باشد؟ زاويه. شود پرتاب مي
1( 45 2(tg 12
3(sin cos 12 4(cos sin
12
7 اي در صفحه ـ ذرهxy در حركت است و معادالت حركت آن x ay و y bx c است كه a و b وc اگـر در لحظـه . اعداد ثابت مثبتندt t در مبدأ مختصات در حال سكون باشد كداميك از روابط زير در هر لحظه دلخواه ذره 80سراسري ( برقرار است؟(
1(b ab( x) y
c c 2 2
21 1 2 (bb x y c
a 2 2 2 2 3 (ab ab
( y) xc c
32 2
21 1 4(cabx a y
b
22 2 22
8 د ناظر ساكن روي زمين، باران به طور منظم و يكنواخت در راستاي قائم با شار ـ از ديB سـرعت . بـارد كيلوگرم در واحد زمان از واحد سـطح مـيهاي باران نسبت به اين ناظر مقدار ثابت قطره
V واگن سربازي به مساحت . استA اي افقي با سرعت ثابت در جاده
u نيروي افقـي الزم . در حركت است )80سراسري ( براي ثابت نگهداشتن سرعت واگن چقدر است؟
1(BA u V2 2 2 (BAu
3 (BAV u
| u V |2 2
4(BAV u
u V2 2
AT
BTB
A
t
ارتفاع
V
V
2
u
V
سينماتيك نيوتني: فصل اول 20
9 ي به عرض ا ـ آب در رودخانهD با تندي u راني با تندي قايق. جريان داردV زند كه ران از يك ساحل رودخانه چنان پارو مي قايق. تواند پارو بزند ميV)زمان اين حركت رفت و برگشتي كدام است؟. گردد درست به نقطه روبروي نقطه شروع در ساحل مقابل برسد و دوباره به نقطه اوليه باز مي u)
)81سراسري (
1(D
V
2 2(D
V u2 22 3(Du
V r2 22 4(D( )
V u V u
2 2 2 21 1
10 ذره اي روي صفحة ـ xy كند كه همواره مختصات آن توسط دو معادلـه طوري حركت ميx(t) R( t sin t)
y(t) R( cos t)
مقـاديري و R كـه در آن 1
t بين بردار سرعت و شتاب در لحظه شود، زاوية ثابت هستند بيان مي s )82سراسري ( كدام است؟4
1(3 2(
2 3( 4( 2
11 دو بردارـˆ ˆ ˆA i j k 2 و3 ˆ ˆB j k 3 )83سراسري ( بر صفحه مشترك اين دو بردار كدام است؟ مفروض است، بردار عمود2
1(ˆ ˆ ˆi j k 3 4 6 2(ˆ ˆ ˆi j k 2 3 5 3(ˆ ˆ ˆi j k 3 4 6 4(ˆ ˆ ˆ(i j k) 3 4 2
12 ـ معادالت حركت ذره اي در صفحه در مختصات قطبي به شكلatr ke وbt به ازاي چه نسبتي از . استb
a زاويه بين سرعت و شتاب ذره
6همواره است؟ )a و b و k83سراسري ( .)هاي مثبت هستند ثابت(
1(12 2(3 3(k3 4(k2
13 اي در صفحه كه تحت تأثير يك نيروي مركزي قرار دارد، در مختصات قطبي به شكل ـ معادله مسير ذرهr A است كه A بـا . عدد ثابتي اسـت
dتوجه به رابطة u mu F( )
ud L u
22 2 2
)83سراسري ( .اي مداري ذره است ممنتوم زاويهL است؟ rيل ذره چه تابعي از انرژي پتانس1
1(r31 2(
r21 3(r3 4(r4
14 معادله مسير حركت زنبور عسلي در مختصات قطبي به شكل ـct و ktr be است كه c،b و k در لحظـه . اعداد ثابت مثبتي هـستندt )84سراسري ( اي كدام است؟ زاويه بردار مكان و سرعت لحظه
1( kcos [ ]
(k c )
212 2 2(
ktkecos [ ]
(k c )
11
2 2 2
3( kcos [ ]
(k c )
11
2 2 2
4( ktke
cos [ ](k c )
1
2 2
15 دو متحرك ـA و B حـرك تتنـدي م . اند روي يك خط مستقيم به سمت يكديگر در حركتA ،m
sB ،mحـرك ت و تنـدي م 16
s. اسـت 8
mت با شتاب ثابAمتحرك . كنند است هر دو ترمز مي m45اي كه فاصله دو متحرك از هم لحظه
s22 و متحرك B با شتاب m
s24 كنند پـس از ميترمز
)86سراسري ( در لحظه برخورد تقريبا كدام است؟Bحرك تكنند و تندي م چند ثانيه از شروع به ترمز، دو متحرك به يكديگر برخورد مي1 (s 8/22 و صفر (s2/13و صفر
3( s 3 و m
s4 4( s5 و m
s12
16 اندازه سرعت اوليه . بر سطح تپه پرتاب شده است عمود طابق شكل، اي م اي از باالي تپه پرتابهـV چند m
sپوشي از مقاومت هوا چشم ( است؟
mشود و g , AB m , sin
s 2
31 75 )86سراسري ( )5
1 (5 52
2 (1 3 (15 4 (2
A B
A
B
V
21 كالسيكمكانيك
17 ـn1 و n2اند كه با هم زاويه دو بردار يكه87سراسري ( كند؟ كدام گزينه يك مجموعه بردارهاي يكه و دو به دو متعامد را مشخص مي. سازند مي(
1 (ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆn (n .n ) n n nˆ, , n
sin sin
1 1 2 2 1 2 1 2( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆn (n .n ) n n nˆ, , n
sinsin
1 1 2 2 1 2 12
3( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆn (n .n ) n n nˆ, , n
sin sin
1 1 2 2 2 12 4( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆn (n .n ) n n n
ˆ, , nsinsin
1 1 2 2 2 122
18 اي با سرعت گلولهـvاي كه شيب آن نسبت به افق با زاويه قائم نسبت به سطح تپه از روي تپه6برد پرتابه، . شود است شليك ميR برابر ، )87سراسري ( :است با
1 (v
g
24 2( v
g
24 3
3( v
g
22 3 4( v
g
24 33
19 ده در شكل زير، جابجايي در دستگاه نشان داده شـm2 بر حسب زمان به صورت y at 21 : برابر است باm1شتاب رو به پايين. است2
)87سراسري (1 (a2 2 (a4 3 (a6 4 (a8 20 هرگاه بردار ـ ˆ ˆ ˆV (x y az)i (bx y z)j ( x cy z)k 2 3 4 توان آن را به صـورت گراديـان يـك تـابع غير چرخشي باشد، مي 2 نوشت اي مانند نرده
V ، 87سراسري ( :از عبارتست(
1 (x yz xy yz xz
2 2 23 2 42 2 2( x y z xy xz yz 2 2 23 2 4
3( x yz xy xy yz
2 2 23 2 22 2 4( x yz xy xz yz
2 2 23 2 42 2
21 87آزاد ( . انرژي پتانسيل را براي نيروي كنسرواتيو زير معين كنيدـ( 1( V 2( ˆˆV cos a sin k 3 23 . توان تابع پتانسيل تعريف كرد نمي)34( ˆv a sin k 3 z
F a cos
F a sin
F az
2
2
22
22 اي كه دو بردار در صفحهـˆ ˆi j و ˆ ˆj kاي بيابيد كه بر بردار در آن قرار دارند، بردار يكهˆ ˆ ˆi j k 88سراسري ( عمود باشد؟(
1 (ˆ ˆ(i k)12
2( ˆ ˆ( j k)12
3( ˆ ˆ ˆ(i j k) 1 26
4( ˆ ˆ ˆ(i j k) 1 26
23 اي بر روي يك مسير مستقيم نصف مسيري را با سرعت ذرهـvكند، باقيمانده مسير را در نصف زمان باقيمانده با سرعت طي ميv1 و در نصف )88سراسري ( سرعت متوسط ذره در كل مسير كدامست؟. كند طي ميv2زماني ديگر با سرعت
1 (v v v 1 23
2( v (v v )
v v v
1 21 2
3( v (v v )
v v v
1 21 2
22
4( v (v v v )
v v v
1 21 2
22
24 اي با تندي ذرهـv ي در صفحهxy اي به شعاع روي يك مسير دايرهR هاي زيـر در يك از گزينه كدام. كند و به مركز مبدأ مختصات حركت ميx( مورد حركت اين ذره صحيح است؟ y(a , a ) ،x y(v , v x)و ( , y)ي دلخواه هاي شتاب، سرعت و مكان ذره در لحظه به ترتيب مؤلفهtهستند (.
)88سراسري (
1 (x y y x
y
v a v av x[ ]
v
2 2( x y y x
y
v a v av x[ ]
v
2 3( x y y x
x
v a v av y[ ]
v
2 4( x y y x
x
v a v av y[ ]
v
2
1n 2n
60R
y 1m2m
سينماتيك نيوتني: فصل اول 22
بندي شده فصل اولهاي طبقهتستپاسخنامه
در لحظه برخورد مكـان . دهيم قرار مي،ي ترمز در لحظه ) V1با سرعت (محور مختصات را در جهت حركت ترن و مبدأ آن را بر روي ترن اول »4«ـ گزينه 1Vشود و سرعت نسبي قبل از برخورد دو ترن يكي مي V1 . است aها نيز و بعد از برخورد صفر است چون متحرك دومي شتاب ندارد لذا شتاب نسبي آن 2
.را حساب كرد بپيمايد d مسافت a و شتاب Vت توان زمان الزم براي اينكه يك متحرك با سرع پس مي
y at V t d at Vt at (V V )t 2 2 21 2
1 1 12 2 2
. عالمت منفي است. استشتاب كندشونده
(V V ) (V V ) adat (V V )t d t
a
21 2 1 22
1 221
2 dاگر باشد برخورد در t دهد يعني عالمت منفي فقط قابل قبول است مي رخ .
. با توجه به رابطه ارتفاع اوج و برد پرتابه مسئله به راحتي قابل حل است »4«ـ گزينه 2
:هبزاويه اوليه پرتا V sin V sin V sinh R h
g g g
2 2 2 2 22 222 2 و ارتفاع اوج V sin
Rg
2 2برد پرتابه
sin sin sin cos sin tg 2 22 2 2
. آيد با نوشتن معادالت حركت جواب مسئله بدست مي »2«ه ـ گزين3
A A A A A Ay gt V sin t y V sin t gt 2 21 12 2
: آيد دو جواب بدست ميكنيم حل ميtنسبت به معادله درجه دوم باال را
B BT V sin gyg 2 22 2 ;
AA
A A A A
AA
V sin V sin gyt
gT t t V sin gy
gV sin V sin gyt
g
2 21
2 21 22 2
2
22 2
2
:انيم همين مسير حل را تكرار كنيم در نتيجهتو نيز ميBTبرايh
A B A B B A A BA B
h hT T [V sin gy V sin gy ] ( g)(y y ) T T g
gg g T T
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 24 4 8 82 2 2
. مؤلفه افقي داردفقط چون سرعت پرتابه هميشه مماس به مسير حركت آن است در نقطه اوج كه ماكزيمم ارتفاع مسير است سرعت پرتابه »3«ـ گزينه 4
ˆ ˆV V cos i V cos i 1
در نقطه اوج ˆ ˆV V cos i V sin j 2
در نقطه پرتاب
T :برابر است با) T1و نقطه اوجT2نقطه پرتاب (همچنين مقادير انرژي جنبشي در اين دو نقطه mV 22 2
12 ; T mV 2
1 112
V VTT [ mV ] mV cos [ mV ] mV cos cos
2 222 2 2 2 2 2 221 2
1 1 1 1 1 1 14 4 2 2 4 2 2 4 3
:شود هاي سرعت به صورت زير نوشته مي مؤلفهدانيم در مختصات قطبي مي »1«ـ گزينه 5
)1 ( r
r vsinr V , r V
r vcos
2
2
( )dr d dr dr drr rr r rvsin (vcos )
d dt d d d
12 2
t برحسب 2حل معادله درجه
By
Ay h BT
AT
طبق صورت سؤال
.كنيم ميrرفين را ضربدر ط
23 كالسيكمكانيك
cosrdr dr rrtg tg d ln cos ln r (ln ) ln
rd r rcos
22 22 2 22
lnمقدار ثابت x ln xcos cos cosr r
ln( ) ln ln r cos r cosr rcos coscos
22 2 2
2 1 2 22 22
2 2 22 2
2 22
tgانتگرالمحاسبه توضيح در مورد d
2 : cos u
sin du
sin dud ln u ln cos
ucos
2
12 2
2 2 2 2 22
چون واگن فقط سرعت افقي دارد لذا تنها مؤلفـة افقـي سـرعت (آيند هاي سرعت اوليه پرتاب نسبت به زمين از رابطه زير به دست مي مؤلفه »3«ـ گزينه 6
yx ) .ماند باقي ميگيرد و مؤلفه قائم دست نخورده تحت تأثير قرار ميهپرتاب
xy
VVV V cos sin
tgV cosV V sin
2 12
.ي پرتاب، پرتابه از ديد ناظر ساكن زمين است زاويه
Vبرد پرتابه sinR
g
2 2
sin وقتي بيشينه است كه 2 2 يعني 1 پس در رابطه باال به جاي . باشد4
.دهيم ر مي قرا4
sintg sin cos
cos
111 4 22
محاسبات رياضي است در صـورت سـؤال سـرعت و مكـان فقط اتي است بدين معني كه عمليات حل اين مسئله ياين سؤال صرفا سؤال رياض »1«ـ گزينه 7
tاوليه صفر ذكر شده است يعني به ازاي داريم : x y x y x dy
x ay dx a ydt x adt
y
dt ay x ay (I)
x dxy ( bx c) dy ( bx c)dt b
dt dt
x t
c dt y bx ct (II)
abu aby cy u
(I),(II) y b(ay) c y bay c u abu
ي و معادالت اصل
u ab c
y u cos( abt )ab
uu u cos( t )
y abu sin( abt ) , y( ) abu sin
c cy( ) u u
ab ab
(I)c c bxy ( cos abt) x ( cos abt) cos abt ( )
ab b c
2 21 1 1
c c abyy sin abt y sin abt sin abt
abab c
2 22 2 2
2
bx abycos abt sin abt ( )
c c
22 2 221 1 1
سينماتيك نيوتني: فصل اول 24
) در راستاي افقي (نويسيم رابطه قانون دوم نيوتن براي جرم متغير را مي »2«ـ گزينه 8x
x xx(Ext) rel V
dv dvdmF m V u
dt dt dt
dmB.A BAcos
dt
تعريف شار
Acos مي بيند سطحي است كه ناظر داخل واگن.
relu u
cos , V u Vx V u
2 22 2
x(Ext)dm Au BAu
B F V u BAudt V u V u
2 22 2 2 2
»2«ـ گزينه 9 uسرعت آب نسبت به زمين Vسرعت قايقران نسبت به زمين
Vسرعت قايقران نسبت به آب . شود و بتواند به نقطه مقابل خودش برسدV برابر)رعت جريان آبس (u آن با برآينداند تا ر قايق را بVقايقران بايد در جهت
V u V V V u V V u 2 2 2 2 2 2
D
V u
2 2كل رفت و برگشت 2
D Dt t
V V u
2 2 از يك نقطه به ساحل مقابلش در رودخانهن زمان رفت
»4«ـ گزينه 10
x x x
y y
x(t) R( t sin t) V x(t) R ( cos t) a V R sin t
y(t) R( cos t) V y(t) R sin t a V R cos t
2
21
1
y
x
t t tsin cos cosV R sin t t t
tg cot tg( )t tV R ( cos t) sin sin
1 2
2 2 2 21 2 2 22 2 2
زاويه بردار سرعت با محور افقي
y
x
a R cos ttg cot t tg( t)
a R sin t
22 2 زاويه بردار شتاب با محور افقي2
t st tt
41 2 22 2 2 زاويه بين بردار سرعت و شتاب2
.ر صفحه مشترك دو بردار استدانيم كه بردار حاصلضرب خارجي دو بردار، عمود ب مي »3«ـ گزينه 11
Bتواند عمود بر اين بردار يا هر ضريب از اين بردار مي
A و
. باشدi j k
ˆ ˆ ˆA B i j k
2 3 1 3 4 63 2
ˆ ˆ ˆB A (A B) i j k 3 4 6
:تگاه قطبي مسطح به صورت زير استشود كه سرعت و شتاب در دس به راحتي ثابت مي »2«ـ گزينه 12at at atr ke r kae r ka e 2 ; r rˆ ˆ ˆV re r e ,a (r r )e (r r )e
2 2 at at at at
r rˆ ˆ ˆ ˆV (kae )e kbe e , a ke (a b )e ( kae b)e 2 2 2 , bt b
at atV acos , | V | ke (a b ) , | a | ke [(a b ) a b ]
| V || a |
1 12 2 2 2 2 2 22 24
cos 16 6 2
, at atV.a k ae (a b ) k ab e 2 2 2 2 2 2 22
u
V
قطره باران
x
V
u
v
25 كالسيكمكانيك
k
212
ata e2 ((a b ) b )
k
2 2 2
2
2
ate2
a(a b )
(a b ) ((a b ) a b ) (a b ) (a b a b a b )
2 21 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 22 2 2 24 2 4
a(a b ) a a ba a b a b
aa b((a b ) ) (a b )
12 2 22 2 2 2 2 2
1 1 2 22 2 2 2 22 2
1 4 3 34
:نماييم از فرمول معادله مسير در حضور نيروي مركزي استفاده مي» 2«ـ گزينه 13
d u m du d uu F( ) , u , ,
u r A d Ad L u d
2 22 2 2 2
1 1 1
mA L L L LF( ) F V F(r)dr V dr
A uL mA mr mr mr
2 2 2 2 232 2 3 3 3 2
1
. باشد مي» مكانيك تحليلي فالز«فصل كتاب اين مسئله شبيه به يكي از مسائل انتهاي »3«ـ گزينه 14
ktrˆr be e
kt kt kt
r rˆ ˆ ˆ ˆV re r e c r bke V bke e cbe e
Vبراي يافتن زاويه بين دو بردار
r وكنيم از مفهوم ضرب داخلي استفاده مي :
kt
kt
r.V b ke k kcos cos ( )
| r || V | b e k c k c(k c )
2 2 112 2 2 2 2 2
2 2 2
:حل سرعت و شتاب نسبي دو جسم استفاده كرد زيرا اگر زمان توقف هر كدام از قطارها را حساب كنيم داريم توان از راه براي حل مسئله نمي »1«ينه ـ گز15
A BA B
A B
V Vt S ; t S
a a
16 88 22 4
t در Aكنيم متحرك مشاهده مي t در Bشود اما متحرك ثانيه متوقف مي 8 همچنـان در حـال A متوقف شده در حالي كـه متحـرك B ثانيه؛ متحرك 2 . رساند مي3در صورت استفاده ما را به جواب نادرست . توان از شتاب و سرعت نسبي استفاده كرد پس در اين حالت تغيير در فاز سرعت داريم پس نمي. حركت است
:كند ه مسافتي را طي مي در دو ثانيه چAبايد ببينيم متحرك
Ax at V t m 2 21 1 2 2 16 2 4 32 282 2 m : برابر است باBمانده بعد از توقف پس مسافت باقي 45 28 17 پـس از طـي راAVكه با جايگذاري در مسئله و توجه به اين كه بايـد . برسدBشود تا به متحرك در چه مدتي طي مي A متر توسط 17بايد ببينيم اين
: با استفاده از متر28پس از طي متر 28
AV V a x V ( a x V ) ( ) V 1 1
2 2 2 2 22 2 2 2 28 16 12
t در معادله روبروm17با جايگذاري مقدار / S 2 :آيد به دست مي8A
at V t 2117 2
.كند لذا بايد بتوانيم حركت را تصوير كنيمحركت ميدر اصل چون پرتابه روي يك سطح شيبدار »4«ـ گزينه 16
gxy xtg
v cos
x ABcos
y ABsin
22 22
توان دو
yv
x
سينماتيك نيوتني: فصل اول 26
g(ABcos ) gABsin (ABcos )tg( ) sin cos cot g ABcot g
vv cos ( )
2 222 22 22 2
m( ) v v ( )
sv
2 22
3 4 4 1 475 25 16 25 5 3 32
. اين شرط را ندارد4 و3ه گزين)ولي( اما اي آنها به صورت جفت جفت صفر باشد بايست ضرب نقطه چون براي هر مجموعه بردار يكه و متعامد مي »1«ـ گزينه 17
ˆ ر بn2بايست مي: 3گزينه ˆ ˆn (n .n ) n
sin
1 1 2 :عمود باشد ولي 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆn (n .n ) n (n .n ) cosn
sin sin sin
2 21 1 2 2 2 1
21 1
: نيز وضع به همين صورت است يعني4و براي گزينه ˆ ˆ ˆ ˆ ˆn (n .n ) n (n .n ) cos
nsin sin sin
2 21 1 2 2 2 1
2 2 2 21 1
ˆبايست ميnباشد يعني براي يك برداريكه ) واحد(ت كه بايد داراي اندازه يك هاي بردار يكه اين اس يكي ديگر از خاصيت ˆn.n 1 را 2 و 1نـه شود كـه گزي . كنيم همين طور چك مي
:آيد بردار سوم چنين بر مي2گزينهˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆn (n .n ) n n (n .n ) n (n .n ) (n .n ) (n .n ) cos sin
sin sin sin sin sin sin
2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 2 4 4 4 21 1 1
دهيم كه چون در سؤال مطـرح شـده كـه كـدام باشد از طرفي توضيح مي مي 1نيز غلط است و تنها گزينه صحيح گزينه 2كه مخالف واحداست پس گزينه .ها بررسي شوند دهد بهترين راه اين است كه گزينه بردار يكه متعامد را نشان ميسه گزينه
از معادله اصلي پرتابه y,xكنيم كافي است كه به جاي طح شيبدار پرتاب مي هايي كه پرتابه را روي يك س معموال براي حل اينگونه سؤال »2«ـ گزينه 18
y,xاي روي سطح شيبدار را قرار دهيم نقطه.
gx :طبق شكلy xtag
v cos
222
2 3 6
vR
g
24 3 x R cos
y R sin
66
gR cosR sin R cos tan
v cos
2 22 2
66 6 32 3
4قرقره ثابت است در اينجـا دو برابر مسافت كند طي مي مسافتي كه قرقره متحرك ،متحركقرقره اگر يك قرقره ثابت داشته باشيم و يك »4«ـ گزينه 19
A)ها متحرك است تاي آن3قرقره داريم كه ,A ,A) قرقره(ها چون شتاب جرم متصل به يكي از آنA (aبه ازاي جابجاييyباشد مي . رود و اين باعث مي باال ميy2به اندازه Aقرقره .پايين بيايدy به اندازه m2فت كه اگر جرم توان گ طبق شكل مي
y2 به اندازه Aشود كه قرقره جـايي جايي خـودش دو برابـر جابـه باال رود و چون براي يك قرقره متحرك جابه 2m1،yجايي جرم جرم متصل به آن است پس جابه 2 2 جـايي و شـتاب از آنجا كه بـين جابـه y8باشد يعني مي2
yطبق رابطه at 21 .باشد ميa8 نيز m1توان گفت كه شتاب جرم رابطه مستقيم وجود دارد مي2
معادله نقطه روي سطح شيبدار .دهيم را منفي قرار ميyكند چون پرتابه به سمت پايين حركت مي
A
2m 1m
A
A
A
60
60
R60
27 كالسيكمكانيك
.كند ها در شرايط مفروض مسأله صدق مي ها براي حل اين سؤال اين است كه چك كنيم ببينيم كدام يك از گزينه حل يكي از بهترين راه »4«ـ گزينه 20V
x y zˆ ˆ ˆV i j k V , V , V
x y z x y z
z y xV ,V ,Vكنند شرايط باال را برآورده مييك كنيم كه كدام گزينه دقت مي4 در هر .را نيز از صورت سؤال داريم.
x : 4در گزينه y zx y z V ; y x z V ; z y x Vx y z
2 4 3 2 2 4
تـوان بـا در نظـر گـرفتن آينـد الزم بـه ذكـر اسـت كـه قبـل از نوشـتن ايـن مـورد هـم مـي بـه دسـت مـي -1و2و4 به ترتيب c,b,aكه به طور ضمني V
ضرايبc,b,aگير است را يافت كه اين كار كمي وقت.
i با توجه به آنكه »3«ـ گزينه 21i
vF
x
i پس iv r Fdx 1 چون نيرو پايستار است حتمـا داراي انـرژي پتانـسيل خواهـد بـود بنـابراين گزينـه
. باشد صحيح مي» 3« نادرستند و گزينه 4و2هاي بدين ترتيب گزينه. اي باشد اما اين انرژي لزوما بايد به صورت تابعي نرده. نادرست است
ˆاي حل اين سؤال ابتدا بايد بتوانيم معادله صفحه گذرنده از دو بردار بر »1«ـ گزينه 22 ˆ ˆ ˆi j , j k بنويسيمرا . چون بردار ضـرب خـارجي . آيد براي نوشتن معادله صفحه يك نقطه مورد نياز است و يك بردار نرمال، بردار نرمال از ضرب خارجي دو بردار باال به دست مي
.ار استعمود بر دو بردˆ ˆ ˆi j k
ˆ ˆ ˆn i j k n , n , n
1 2 31 1 1 1 11 1
n (x x ) n (y y ) n (z z ) 1 2 معادله صفحه3
مختصات يكي از بردارهاي داده شده را به عنوان نقطه x
y
z
گيريم مثال بردار دوم را در نظر مي
11
x .باشد پس معادله صفحه به فرم روبرو مي y z
ˆمعادله باال كه معادله صفحه گذرنده از ˆi j، ˆ ˆj kدر صفحه وجود ندارد يعنـي داده شده به ضرورت سؤال دهنده اين است كه بردار است به راحتي نشان)كند در معادله صدق نمي ) ( ) ( ) 1 1 1 .
ˆاي جواب است كه اوال در صفحه باشد ثانيا به بردار ها تنها گزينه بين گزينه در ˆ ˆi j k هـا صـفر باشـد كـه در بـين عمود باشد يعني ضـرب داخلـي آن . واجد چنين شرايطي است1ها تنها گزينه گزينه
xنشان دهيم نصف مسير xاگر كل مسير را با »3«ـ گزينه 23
xشود يعني مي 2V t نصف ديگر مسير را متحرك با دو سـرعت پـيش رفتـه اسـت . 2
t) گيريم را زمان نيمه دوم مسير حركت در نظر ميt(نصف زمان يعني t و نصف ديگرش يعنيV1 با سرعت را2
.طي كرده استV2را نيز با سرعت 2
xتوضيح اينكه سرعت متوسط از رابطه xV
t t
1 2
x وآيد به دست مي t tV V
1 22 2 2 .
x xV V V
V (V V )x x xt , t V
V V V V V V
1 2
1 21 2 1 22
22 2
)xyدرصفحه : (دانيم كه در مختصات دكارتي بردار مكان و سرعت و شتاب به شكل مقابل است مي »2«ـ گزينه 24
x y
x y
ˆ ˆr xi yj
ˆ ˆV V i V j
ˆ ˆa a i a j
rVاگر , Vتتوان گف هاي سرعت در دستگاه قطبي در نظر بگيريم مي را مؤلفه: r r
ˆ ˆ ˆ ˆr R cos i R sin j V (V cos RV sin )i (V sin RV cos ) j
سينماتيك نيوتني: فصل اول 28
rتوان گفت كه كند يعني شعاع ثابت است مي از طرفي چون ذره روي يك دايره حركت مي rV ,V تنها سرعت ( نيز صفرند پسVيعني سرعت مماسي وجود دارد( ˆ ˆV ( RV sin i (RV cos ) j
V:دانيم كه مي . ˆ ˆa [( R)(V sin V cos i R(V cos V sin ) j] 2 2 شتاب
ˆ ˆa [ RV sin RV cos i [RV cos RV sin ]j 2 2 : مثال،اي گرفته شود بايست از جمالت حاصلضرب مشتق زنجيره كند مي نيز با زمان تغيير ميگيري زماني از عبارات باال چون توضيح اينكه در مشتق
dVd dsin d dsin(V sin ) ( )sin V V sin V V sin V cos
dt dt dt dt d
2
a,V در صورت كسر عبارتي مطرح شده كه نشان از حاصلضرب خارجي بردار 4 و 2حل اين سؤال نياز به خالقيت دارد در گزينه است ما نيز همين كار را
.دهيم انجام ميV پس از محاسبات جبري a R V (I) , V R V 2 3 2 2 2
x :همچنين y x yV a V a a V (II)
ˆ )با شعاع ثابت (از طرفي طبق معادله سرعت مختصات قطبي ˆV RV sin i RV cos j
Rو چون cos همانx است وRV cos همانyVاست لذا: yV V x (III)
y x y y xx y x y
y
V V V a V a(I),(II), (III) V a V a a V V x( )
x V
22
29 كالسيكمكانيك
زمون فصل اولآ
1 اي در فضا است؟ تغييرات جهتي يك تابع نردهين كدام گزينه نشان دهنده بيشترـ گراديان)4 كرل)3 ديورژانس)2 ديفرانسيل)1
2 در دستگاه قطبي كروي بردار ـ eدر نقطه ديگري از فضا عمود است......... از فضا بر بردار در هر نقطه. 1( e 2( re 3( e 4(هيچكدام
3 دآن را در لحظات بعد محاسبه كر......... توان اي خاص مي با دانش مكان و سرعت ذره در لحظهـ. انرژي جنبشي)4 شتاب)3 سرعت)2 مكان)1
4 باشيمآن در حال مي........ براي دانستن سرعت ذره در آينده نيازمند دانستنـ. هيچكدام)4 شتاب)3 سرعت)2 مكان )1
5 اي به صورت اگر معادله حركت ذره ـdvm bv
dt ه داراي سرعت اوليـه سرعت يك جسم بسيار سنگين ك آنگاه باشدv باشـد بـه ازاي مـي
شود؟زمانهاي طوالني با كدام گزينه داده مي
1( V 2( V
2 3(
tb
mV e
4( bt
mV e
2
6 يه عمودي اي با سرعت اول گلوله ـV كنـد بـا اگر نيروي مقاومي كه آب بر گلوله وارد مي . كند مي سقوط بر سطح يك درياچه
bV داده شـود
V از چه زماني به سرعت پسگلوله
b رسد؟ مي2( )
m
1( VLn
V
11 2
2( VLn
V
111 2
3( V
dLn
V
11 21
4(
V
LnV
1 21
7 اي تحت تأثير پتانسيل اگر ذرهـx xV(x) e e 2 ؟شوند قرار گرفته باشد آنگاه نقطه تعادل و نوع تعادل با كدام گزينه داده مي21( x x )2 ، پايدار2 x )3 ناپايدار2 14 ، ناپايدار( x 1پايدار ،
8 اي صفر باشد آنگاه براي اين نقطه كدام گزينه صحيح خواهد بود؟ اگر مشتق دوم تابع پتانسيل در نقطهـ . تعادل ناپايدار خواهد داشت)2 .تعادل پايدار خواهد داشت )1 .توان اظهار نظر كرد نمي)4 .تفاوت خواهد داشت تعادل بي)3
9 به ازاي چه مقاديري از ثابتهاي ـ a و b نيروي ،
ˆ ˆF (a ) e (b )e 2 پايستار است؟2
1( ba 2 2( a
b 2 3( a b 4( b a
10 باشدلغزد ميهاي زير نشان دهنده نيروي وارد از طرف سطح شيبدار بر يك جسم كه با سرعت ثابت به پايين سطح مي كداميك از شكلـ.
1( 2( 3( 4(
11 ي بر حسب زمان با تدكاراي در دستگاه اگر بردار مكان ذره ـ ˆ ˆr ( t )i (t t)k 22 1 داده شده باشد زاويه ميان بردار سرعت و مكان اين ذره 2tدر s كدام است؟2
1( 2(6 3(sin ( )1 3
5 2 4(cos ( )1 3
5 2
RR
R
R
سينماتيك نيوتني: فصل اول 30
12 اي به جرم بردار سرعت ذره ـkg2 بر حسب زمان با ˆ ˆV (t )i t j 22 3 شتاب متوسـط آن بـين لحظـات . داده شده استt s t و 1 s و 3tهمچنين نيروي وارد بر آن در s :ه ترتيب عبارتند از ب2
1(ˆ ˆ/ , i j 24 8 12 2(ˆ ˆ/ , i j24 8 12 3(ˆ ˆ, i j2 4 12 4(ˆ ˆ, i j2 3 3
13 هواپيمايي با سرعت ـ m
sm2 در ارتفاع 3 اي پرتاب كنيم كه خواهيم دو بسته را در يك آن به گونه ت مي از سطح زمين در حال پرواز اس
m12به فاصله ها را رها كنيم بسته دوم را بايد با چه سرعتي و در كدام سو پرتاب كنيم؟ اگر يكي از بسته. از هم به زمين برخورد كنند
1(m
s 9 2 ، عقب( m
s 93 ، پايين( m
s6 4 ، عقب( m
s6 جلو ،
14 كه فاصله شعاعي آن با آهنگ ثابت كند، چنان يك زنبور عسل در مسير مارپيچ به كندوي خود مراجعت مي ـr b ct كه كاهش يابد در حالي آن با آهنگ اي سرعت زاويه kt گيرد، بزرگي سرعت آن را به صورت از زمان بدست آوريد فزوني مي .k,c,b)اند ثابت(
1( v (c k ) 1
2 2 2 2( v (c k t ) 1
2 2 2 2
3( v (c k(b ct ) 1
2 2 2 4( v (c k t (b ct) ) 1
2 2 2 2 2
15 اي كه مختصات آن با شتاب شعاعي و شتاب مماسي ذرهـtz t , y , x t
2
ترتيب كدام است ؟ داده مي شود، به2
1( t 2 2 2( t t,
t t( t )
212 42 2
22 2 4
3( t, t
t
22
22
4( t,
t t 2 22
2 2