第 7 章

第 7 章第 7 章馬可夫鏈與賽局理論

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7.1 馬可夫鏈例題 1 股票的觀察

7.1 馬可夫鏈例題 1 股票的觀察

億平對某一家航空公司的股票很有興趣，持續觀察了一段時間，發現其收盤價 (closing price) 的漲跌僅與前一日的收盤價有關。他於各交易日結束時做記錄，若當天的收盤價比前一個交易日的收盤價高、不變或低，則相對登錄為上漲、持平或下跌。億平的這一連串的觀察，可視為馬可夫鏈。

Tan/ 管理數學第 7 章第 344 頁

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例題 2 股票的觀察例題 2 股票的觀察承例題 1 。據億平觀察所得，若該股票當天的收盤價高於前一天，則次日的收盤價會上漲、持平或下跌的機率分別為 0.2, 0.3 與 0.5 ；若該股票當天的收盤價與前一天相同，則次日的收盤價會上漲、持平或下跌的機率分別為 0.5, 0.2 與 0.3 ；若該股票當天的收盤價低於前一天，則次日的收盤價會上漲、持平或下跌的機率分別為 0.4, 0.4 與 0.2 。請利用樹狀圖敘述狀態間遞移的機率。


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例題 2 股票的觀察（續）例題 2 股票的觀察（續）

解：本例的馬可夫鏈由三種狀態組成：上漲、持平或下跌。若現階段是上漲，則由上漲的狀態遞移到其他狀態之機率，標示於樹狀圖的分枝上，見圖 1 的最左圖。至於現階段是持平或下跌狀態，其對應的樹狀圖亦分別繪於圖 1 。

Tan/ 管理數學第 7 章第 344-345 頁

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遞移機率遞移機率敘述馬可夫過程中由某個狀態到達下一個狀態的機率 ( 如例

題 2 中的機率 ) ，稱為遞移機率 (transition probabilities) 。這些遞移機率可用矩陣式來表達。假設有一馬可夫鏈的試驗，各階段的結果有三種狀態，分別命名為狀態 1 、 2 、 3 ，則由狀態 1 到達試驗的下個階段結果－－狀態 1 、 2 、 3 的遞移機率，即為給定狀態 1 ，而下一個階段進入狀態1 、 2 、 3 的條件機率，可分別寫成 P ( 狀態 1 | 狀態 1) 、 P ( 狀態 2 | 狀態 1) 及 P ( 狀態 3 | 狀態 1) 。若我們使用矩陣的元素符號，可記成


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遞移機率遞移機率這裡元素 a 的第一個下標代表試驗的下一階段到達之狀態，我們稱為次態 (next state) ，而第二個下標則代表現在的狀態，稱為現態。若以樹狀圖表示，則有如下關係：


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遞移機率遞移機率同樣地，由狀態 2 及 3 到達下一階段之狀態的條件機率可寫成


及

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遞移機率遞移機率


若以矩陣表示，其形式如下

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例題 3例題 3

將例題 2 中的遞移機率以矩陣表示。解：例題 2 的馬可夫鏈有三個狀態，我們以狀態 1 、 2 、3 分別代表上漲、持平或下跌的狀態。因此當現態為狀態 1 時，次一階段到達狀態 1 、 2 、 3 的遞移機率分別為


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例題 3 （續）例題 3 （續）

解（續）：以此類推，故用矩陣表示則為


11Tan/ 管理數學

第 7 章第 346-347 頁

遞移矩陣具 n 個狀態的馬可夫鏈可用 n × n 的遞移矩陣 (transition matrix) T 來表示，

其元素為 aij (1 i n; 1 j n) ：

且遞移矩陣 T 有如下性質：1. 對任意的 i 與 j ， aij 0 。2. 矩陣 T 的每一行的總和均等於 1 。

遞移機率遞移機率

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例題 4 都市與郊區間的人口流動


政府預期每年居住在都市的人口會有 3% 遷移到郊區，且居住在郊區的人口會有 6% 遷移到都市。現在已知人口的分布有 65% 住在都市，其餘 35% 住在郊區。假設總人口數維持不變，試問一年後的人口分布情形如何？


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例題 4 都市與郊區間的人口流動（續）


解：我們可以利用樹狀圖及條件機率求解。本例的樹狀圖繪於圖 2 。由條件機率的性質可知，隨機抽取一人，則他 ( 或她 ) 1 年後會住在都市的機率為

(0.65)(0.97) + (0.35)(0.06) = 0.6515

1 年後會住在郊區的機率為(0.65)(0.03) + (0.35)(0.94) = 0.3485

因此， 1 年後的人口分布為 65.15% 居住於都市，而34.85% 的人口居住於郊區。


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解（續）：


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承例題 4 ，試問 2 年後居住於都市的人口比例有多少？ 3 年後呢？

解：令 X2 代表 2 年後人口分布的行向量。若將 X1 視為「初始」人口分布，則 X2 只是下一階段的人口分布，因此，可乘上一個 T 矩陣求得分布


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解（續）：類似的做法可得 X3 如下

亦即 3 年後居住於都市的人口佔 65.41% ，居住於郊區的人口佔 34.59% 。


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分布向量分布向量

由前面的例子可以看出， X0 , X1 , X2 , X3之間存在如下關係式： X1 = TX0 , X2 = TX1 = T2X0 及 X3 = TX2 = T3X0，由此我們可以進行歸納。


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分布向量分布向量假設有一具備 n 個狀態的馬可夫鏈，系統一開始處於狀態 1 、

狀態 2 、…、狀態 n 的機率分別寫成 p1, p2, ... , pn，則其機率分配可表成 n 維向量如下：

稱為分布向量 (distribution vector) 。若 T 是該馬可夫鏈的 n × n 遞移矩陣，則系統經過 m 次的觀察後，新的分布向量為

(1)


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例題 6 計程車的移動區域例題 6 計程車的移動區域吉利計程車行為了方便追蹤所屬計程車的動向，將市鎮劃分成三個區域：區域 1 、區域 2 及區域 3 。吉利計程車行的管理者根據過往的紀錄得知，在區域 1 上車的顧客，有 60% 在同一區域下車， 30% 在區域 2 下車， 10% 在區域 3 下車。在區域 2 上車的顧客，有 40% 在區域 1 下車， 30% 在區域 2 下車， 30% 在區域 3 下車。另外在區域 3 上車的顧客，有 30% 在區域 1 下車， 30% 在區域 2 下車， 40%在區域 3 下車。


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例題 6 計程車的移動區域（續）


又知某一天開始營運時，有 80% 的計程車分布於區域 1 ， 15% 的計程車分布於區域 2 ， 5% 的計程車分布於區域 3 ，又知計程車空車時會固定在原區域內逗留直至招到乘客為止。a. 利用馬可夫鏈敘述計程車的移動區域，寫出其遞移矩陣。b. 在所有計程車載客一回結束後，找出其新的分布情形。c. 在所有計程車載客二回後，找出其新的分布情形。


21



解：今區域 1 、區域 2 及區域 3 分別以馬可夫鏈的狀態1 、狀態 2 及狀態 3 來代表。a. 其遞移矩陣為


22



解（續）：b. 問題中的初始分布向量為


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解 b （續）：令 X1 代表一次觀察之後 ( 即所有計程車載客一回結束後 ) 的分布向量，則

亦即會有 55.5% 的計程車位於區域 1 ， 30% 的計程車位於區域 2 ， 14.5% 的計程車位於區域 3 。


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解（續）：c. 令 X2代表二次觀察之後 ( 即所有計程車載客二回後 ) 的分布向量，則

亦即會有 49.65% 的計程車位於區域 1 ， 30% 的計程車位於區域 2 ， 20.35% 的計程車位於區域 3 。此結果與利用 T2X0 計算出來的一樣。


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7.2 正規馬可夫鏈例題 1 女性的教育狀況

7.2 正規馬可夫鏈例題 1 女性的教育狀況

據調查完成大學教育的母親之中，女兒也完成大學教育的佔 70% ；未完成大學教育的母親之中，女兒完成大學教育的僅佔 20% 。已知現在完成大學教育的女性為 20% ，若照此趨勢發展，最後完成大學教育的女性會有多少比例？


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例題 1 女性的教育狀況（續）


解：本問題屬於馬可夫鏈，令完成大學教育為狀態 1 ，未完成大學教育為狀態 2 ，則遞移矩陣為

初始分布向量為


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解（續）：利用第 7.1節公式 (1) 可找出經過一代、二代、三代之後的女性教育狀況的分布向量 X1 , X2 及 X3 如下：


28Tan/ 管理數學

第 7 章第 356 頁



解（續）：我們亦可繼續計算往後幾代的分布向量：

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解（續）：從這裡已經可以看出長期的趨勢為

上述的向量稱做系統的極限 (limiting) 或穩態分布向量 (steady-state distribution vector) 。


或

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解（續）：由以上的數據可知，本例的初始分布情形，女性當中有 20%完成大學教育， 80%未完成大學教育；經過一代之後，女性當中有 30%完成大學教育， 70%未完成大學教育。若依此趨勢發展，經過許多代以後，女性當中將會有 40%完成大學教育， 60%未完成大學教育。


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正規馬可夫鏈正規馬可夫鏈


正規馬可夫鏈

若隨機矩陣 T 的次冪T, T2, T3, ...

趨近一個穩態矩陣，且符合以下兩個條件者，稱為正規馬可夫鏈 (regular Markov chain) ：

a. 穩態矩陣裡每個元素都是正的。b. 同一列上的元素，其值均相等。

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例題 2例題 2

判斷下列各矩陣是否為正規隨機矩陣：

解：a. 因矩陣中各元素均為正數，故知其為正規隨機矩陣。


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例題 2 （續）例題 2 （續）

解（續）：b. 由於矩陣中有一個元素為 0 ，因此，我們計算它的　次冪：

　在二次冪時，所有元素均已是正數，故知其為正　規隨機矩陣。


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例題 2 （續）例題 2 （續）

解（續）：c. 令矩陣為 A並計算它的次冪：

　由於 A3 = A ，因此知道 A4 = A2, A5 = A, ... ，由此判斷，不管　是 A 的任何次冪，不可能得到所有元素均為正的結果，故知　矩陣 A 不是正規的。


35

正規馬可夫鏈正規馬可夫鏈


求穩態分布向量

令 T 是一個正規隨機矩陣，則其穩態分布向量為下面方程式的解

TX = X並需滿足 X 向量的元素和為 1 的條件。

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例題 3例題 3

下面的遞移矩陣 T屬於正規馬可夫鏈，試求其穩態分布向量：


37

例題 3 （續）例題 3 （續）

解：本例的 T 即為例題 1 之遞移矩陣。令馬可夫鏈的穩態分布向量 X 為

則 TX = X 得

由此列出線性方程組


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例題 3 （續）例題 3 （續）

解（續）：但第一式與第二式各自化簡後，會發現它們與下面的方程式是一樣的：

加上 x + y = 1 的條件後，便得到以下線性方程組：


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例題 3 （續）例題 3 （續）

解（續）：由第一式可得

代入第二式後，得到


40

例題 3 （續）例題 3 （續）

解（續）：因此，解得穩態分布向量為

與例題 1 的結果相符。


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例題 4 計程車的移動區域例題 4 計程車的移動區域在第 7.1節的例題 6 中，我們找出敘述計程車移動區域的遞移矩陣 T ，並知 T 為正規隨機矩陣。試求計程車長時間之後在三個區域的分布情形。


42



解：令穩態分布向量 X 為

則由 TX = X 得


43



解（續）：由此寫出線性方程組：

化簡後的線性方程組為


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解（續）：加上 x + y + z = 1 的條件後，得到以下四個方程式的線性方程組：


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解（續）：利用第 2 章的高斯—喬登消去法，解得

即 x 0.47, y = 0.30 與 z 0.23 。因此，最後大約有 47% 的計程車分布在區域 1 ， 30% 的計程車分布在區域 2 ，以及23% 的計程車分布在區域 3 。


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7.3 吸收馬可夫鏈吸收馬可夫鏈

7.3 吸收馬可夫鏈吸收馬可夫鏈

若一馬可夫鏈的遞移矩陣是吸收隨機矩陣，則稱之為吸收馬可夫鏈 (absorbing Markov chain) 。


吸收隨機矩陣

一個吸收隨機矩陣 (absorbing stochastic matrix)必須符合

下面兩個性質：1. 至少存在一個吸收態。2. 在任一非吸收態的物體，均有機會經由一個或多個階

段來到吸收態。

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例題 1例題 1

判斷下面的矩陣是否為吸收隨機矩陣：


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例題 1 （續）例題 1 （續）

解：a. 由於矩陣的 a22=1 且第二行的其餘元素均為 0 ，因此知狀

態 2 為吸收態。同理可知，狀態 4 亦為吸收態。接下來要問的是，在非吸收態 ( 狀態 1 與狀態 3) 的物體，是否有機會進入吸收態──狀態 2 或狀態 4 ？檢視矩陣的第一行，可知在狀態 1 的物體有 0.3 的機會可到達狀態 3 。再由矩陣的第三行元素可知，在狀態 3 的物體有 0.5 的機率可以進到狀態 2 ，有 0.2 的機率可以進入狀態 4 。我們注意到，雖然在狀態 1 的物體無法經一個階段即到達吸收態，但因有機會進入狀態 3 ，便可由狀態 3再到吸收態，只是中間需要經歷多個階段。綜合上述，本矩陣為一吸收隨機矩陣。


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例題 1 （續）例題 1 （續）

解（續）：b. 狀態 1 與狀態 2 是吸收態，但處在非吸收態

( 狀態 3 與狀態 4) 的物體，都不可能到達狀態 1 或狀態 2 。因此，本矩陣不是吸收隨機矩陣。


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例題 2 賭徒的毀滅例題 2 賭徒的毀滅軍豪決定以本錢 2 元參加賭局。他每次都下 l 元的賭注，每回贏的機率都是 0.4 。軍豪將反覆地賭，直到錢輸光或手上擁有 3 元為止。請寫出此吸收馬可夫鏈的遞移矩陣。

解：本題的馬可夫鏈有 4 個狀態，分別代表軍豪在賭的過程中手上的金額，有 $1 、 $2 及 $3 。由於 $0 的狀態表示錢輸光，不再玩，因此，這兩個狀態都是吸收態。


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例題 2 賭徒的毀滅（續）例題 2 賭徒的毀滅（續）

解（續）：把吸收態排在前面， $3 也表示達到目標不再寫出遞移矩陣如下，並說解 $0 玩明於後：

矩陣的第一、第二行因對應吸收態，故 a11 = a22 = l 且 a21 = a31 = a41 = 0 , a12 = a32 = a42 = 0 。


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解（續）：矩陣的第三行因對應非吸收態， $ l ，因此須考慮玩一把的結果：已知贏的機率是 0.4 ，此時將累積到 $2 ，故有 a43 = 0.4 ；且輸的機率是 0 . 6 ，將剩下 $ 0 ，故有 a13 = 0.6 。矩陣的第四行因對應非吸收態， $2 ，玩下一把的結果，贏的機率是 0.4 , 此時將累積到 $3 ，故有 a24 = 0.4 ；凡輸的機率是 0.6 ，將剩下 $1 ，故有 a34 = 0.6 。


53

吸收馬可夫鏈吸收馬可夫鏈


求吸收馬可夫鏈的穩態矩陣

假設一吸收隨機矩陣 A 已切割成子矩陣如下

則 A 的穩態矩陣為

此處定義 (I – R)–1內的單位矩陣 I 與 R 的維度相同。

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例題 3 賭徒的毀滅例題 3 賭徒的毀滅如同例題 2 的敘述，軍豪將反覆地賭，直到錢輸光了或手上擁有 3 元為止。試問軍豪最後贏錢累積到 $3 的機率為何？

解：例題 2 中，我們已寫出遞移矩陣，予以切割後


55


解（續）：得到子矩陣 R 與 S

因此

且


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解（續）：求其反矩陣（可利用第 2.6節的公式）得

與 S 相乘後


57


解（續）：得到 A 的穩態矩陣為

我們因此知道，軍豪從 $2 開始賭，最後累積到 $3 結束賭局的機率為 0.53 ，亦即贏 $ l 的機率是 53 % 。Tan/ 管理數學

第 7 章第 372 頁

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例題 4 遺傳學例題 4 遺傳學有一特殊的玫瑰品種，若具 AA 基因會開出紅色的花，具 Aa 基因會開出粉紅色的花，具 aa 基因會開出白色的花。這裡的 A 為顯性基因， a 為隱性基囚。此外，兩裸母株交配之後，它們的基因會遺傳到子株身上。今假設所有的後代都只與紅色植株交配，試說明經過無數代之後，最終只會剩下紅色的玫塊花。


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例題 4 遺傳學（續）例題 4 遺傳學（續）

解：本例題的馬可夫鏈共有三種狀態，分別表示三類基因 AA 、 Aa 及 aa 。我們寫出遞移矩陣如下，並說明於後：


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解（續）：因為具 AA 基因的母株與紅色植株（亦為 AA 基因）交配後的子株，只可能遺傳到 AA 基因（由二母株各取得一個 A 的基因），因此，矩陣的第一行為 a11 = 1 , a21 = a31 = 0 。若是具 Aa 基因的母株與紅色植株

交配其子株有的機會得到 A 或 a 的基因，加上來自紅色植株的 A 基因，因此子株為 AA 或 Aa 基因的機率各半，故矩陣的第二行為。


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解（續）：若是具 aa 基因的母株與紅色植株交配，其子株必然得到 a 的基因，加上來自紅色植株的 A 基因，因此子株基因肯定為 Aa ，故矩陣的第三行的 a23 = 1 ，其餘為 0 。


62


解（續）：由遞移矩陣的對角線元素可知狀態 AA 是一個吸收態，且另兩個非吸到達狀態 AA ，因此，本例是一個吸收馬可夫鏈陣求得。其長期的效果，可由 T 的穩態矩陣求得。首先將 T 做個切割。


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解（續）：得到子矩陣 R 與 S

因此


且

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解（續）：求其反矩陣（可利用第 2.6節的公式）得

與 S 相乘後


65


解（續）：得到 T 的穩態矩陣為

由於穩態矩陣第一列的元素均為 l ，因此表示交配到最後，花色將全部變紅。


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7.4 賽局理論與嚴格判定賽局7.4 賽局理論與嚴格判定賽局賽局理論（ game theory ）的發展得歸功於約翰 · 馮 · 紐曼（ John von Neu-mann , 1903-1957），他是 20 世紀位一位偉大的數學家。之後於 1994 年，約翰 · 哈森義（ John Harsanyi ）、約翰 · 納許（ John Nash ）與仁哈德 · 塞頓（ Reinhard Selten ）三人更因在賽局理論上的重大貢獻，而獲得諾貝爾獎。賽局理論結合矩陣方法與機率論，探討在二位或更多對手競爭的情境下，各方可以採取的最佳策略（ optimal strategy ) ，原則上以尋求自身的最人穫利（ gain ) 或最小損失（ loss）為目的。例如，撲克牌的玩家、競爭行號問急欲擴充市場佔有率的管理者、不同黨派的競選總部、或敵我作戰部隊的將領之間），便而臨這類問題的考驗。為簡化起見，我們只討論兩個參賽者（ player ）的賽局（ game），並稱為二人賽局（ two-person game）


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例題 1 錢幣配對例題 1 錢幣配對唐先生和聶小姐，一塊兒玩錢幣配對遊戲。在事先不知對方的選擇下，各自選定十元錢幣的一側（正面或反面），爾後同時打開手掌。若兩人都是正面，則唐先生必須付聶小姐 3 元；若聶小姐是正面，唐先生選反面，則聶小姐需付唐先生 6 元；若頗小姐是反面，唐先生選正面，則唐先生需付頗小姐 2 元；若兩人都是反面，則唐先生必須付聶小姐 1 元。在這個遊戲裡，雙方都想找到一個最佳策略，使自己可以贏最多的錢（或者，使自己可以輸得最少）。


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二人賽局二人賽局例題 l 的錢幣配對遊戲是典型的零和賽局（ zero-

sum game），即一方的收益代表另一方的損失，因此，雙方的付款總和必然為零。例如，當唐先生與聶小姐都出示正面時，若從唐先生（支付）的角度看，因唐先生必須支付 3 元，故記做 +3 而聶小姐因收入 3 元，故她的支付款記做 3 ，二者的和即為 0 。


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二人賽局二人賽局以下將錢幣配對遊戲的支付額情形寫成矩陣形式：


70

二人賽局二人賽局矩陣各行代表唐先生所採取的行動，各列代表聶小姐所採取的行動。炬陣中的元素代表雙方採取的行動之後果，為免混淆，固定以唐先生的支付額登錄。亦即唐先生需付款給聶小姐時（唐先生輸錢的時候），其值為正，而聶小姐需付給唐先生時（唐先生贏錢的時候），其值為負。例如， a22 = 1 表示兩人都出示反面時，唐先生需支付 1 元給聶小姐，而 a12 = 6 則表示聶小姐出示正面，唐先生出示反面時，唐先生將從聶小姐處贏得 6 元。


71

二人賽局二人賽局今假設有 R 與 C兩名參賽者的一個二人賽局，參賽者 R 可採

取的行動為 R1, R2, …, Rm 共 m 個，而參賽者 C 可採取的行動為 C1, C2, …, Cn 共 n 個。我們可利用一個 m × n 大小的矩陣來表示雙方採取的行動組合後果，形式如下


72

二人賽局二人賽局

其中，第 i列第 j 行的元素 aij表示 R 採取 Ri的行動且 C 採取 Cj 的行動時，參賽者 C 的支付額（ payoff ）為 aij ，指 C 應付給 R 的款項。注意當 R 需支付給 C 時，則 aij的值為負。上面的矩陣，我們稱為支付額矩陣（ payoff matrix ）。


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例題 2例題 2

一賽局的支付額矩陣如下：

請解釋矩陣內容。


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例題 2 （續）例題 2 （續）

解：此二人賽局的參賽者 R 有兩種行動，而參賽者 C 有三種行動。假設支付的單位是元。由支付額矩陣可知，若 R 選擇 R1

的行動，則當 C 採取 C1時， R 贏 1 元。當 C 採取 C2時， R 輸 2 元。當 C 採取 C3 時， R 贏 3 元。若 R 選擇 R2的行動，則當 C 採取 C1時， R 贏 4 元。當 C 採取 C2時， R 輸 5 元。當 C 採取 C3 時， R 輸 1 元。Tan/ 管理數學

第 7 章第 380-381 頁

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極小值最大化策略 1. 從支付額矩陣的每一列找出最小元素，稱列極小值。2. 從所有的列極小值中選出最大的，其所在列即參賽者

R 的最佳行動。

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二人賽局二人賽局前述的支付額矩陣運用極小值最大化策略的結果，圈選元素 1 如下：

因此，聶小姐的最佳行動是採用 R2，而圈選的元素1 表示她至少會贏 1 元。


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極大值最小化策略

1. 從支付額矩陣的每一行找出最大元素，稱行極大值。2. 從所有的行極大值中選出最小的，其所在行即參賽者

C 的最住行動。

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二人賽局二人賽局承例提 1 ，唐先生運用極大值最小化策略的結果，圈選元素 1 如下：

因此，唐先生的最佳行動是採用 C2，而圈選的元素1 代表他最多只會輸掉 1 元。


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例題 3例題 3

針對下面的支付額矩陣，找出它的極小值最大化策略與極大值最小化策略：

解：先寫出每一列的極小值與每一行的極大值，再從列極小值中圈選最大者（此處為 1 ，位於第三列），得到極小值最大化策略，表示列參賽者應採取第三列的行動。


80

例題 3 （續）例題 3 （續）

解（續）：

若從行極大值中圈選最小者（此處為 0 ，位於第 2 行），得到極大值最小化策略，表示行參賽者應採取第二行的行動。


81

例題 4例題 4

針對下面的支付額矩陣，找出它的極小值最大化策略與極大值最小化策略：

解：先寫出每一列的極小值與每一行的極大值，再從列極小值中圈選最大者（此處為 3 ，位於第 2列），得到極小值最大化策略，表示列參賽者應採取第二列的行動。


82

例題 4 （續）例題 4 （續）

解（續）：

若從行極大值中圈選最小者（此處為 3 ，位於第 3 行），得到極大值最小化策略，表示行參賽者應採取第三行的行動。


83Tan/ 管理數學

第 7 章第 384 頁


最佳策略

賽局裡所指的最佳策略（ optimal strategy ) ，係對某一名

參賽者最為有利的策略。

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嚴格判定賽局

一個嚴格判定賽局（ strictly determined game ）具備下

面的性質： 1. 在支付額矩陣中，存在一元素，既是所處列的最小值，也是所處行的最大值。該元素稱為此賽局的鞍點（ saddle point ）。

2. 對列參賽者而言，他的最佳策略是極小值最大化策略，選取的即是鞍點的所在列。對行參賽者而言，他的最佳策略是極大值最小化策略，選取的即是鞍點的所在行。


85

例題 5例題 5

一個二人零和賽局的支付額矩陣如下：

a. 證明此賽局是一個嚴格判定賽局，並找出它的鞍點。b. 分別找出兩位參賽者的最佳策略。c. 賽局值為何？試問此賽局對誰較有利？


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例題 5 （續）例題 5 （續）

解：a. 先寫出每一列的極小值與每一行的極大值：

　再圈選出元素 2 ，它同時為所在列的最小值與所在行的最　　大值，故此元素 a23 = 2 為鞍點。此鞍點的存在，證明這是　　一個嚴格判定賽局。Tan/ 管理數學

第 7 章第 385 頁

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例題 5 （續）例題 5 （續）

解（續）：b. 因鞍點位於第二列第三行，對列參賽者而言，他　　的最佳策略是第二列，對行參賽者而言，他的最　佳策略是第三行。c. 我們得到賽局值為 2 ，表示兩位參賽者都採行最　　佳策略時，行參賽者將贏得 2 個單位，亦即此賽局　　對行參賽者較為有利。


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例題 6例題 6

一個二人零和賽局的支付額矩陣如下：

a. 證明此賽局是一個嚴格判定賽局，並找出它的鞍點。b. 分別找出兩位參賽者的最佳策略。c. 試問此賽局是否對誰較為有利？


89

例題 6 （續）例題 6 （續）解：

a. 先寫出每一列的極小值與每一行的極大值：

再圈選出元素 4 ，共有兩個，它們都同時為所在列的最小值與所在行的最大值，故本賽局有兩個鞍點， a11 = 4 及 a31 = 4 。這些鞍點的存在，證明這是一個嚴格判定賽局。另外要注意的是，雖然鞍點可能有多個，但其值應相等。


90Tan/ 管理數學

第 7 章第 386 頁

例題 6 （續）例題 6 （續）

解（續）：b. 由於鞍點有兩個，都落在第一行，分別位於第一　及第三列。因此，對列參賽者而言，他的最佳策　　略是第一及第三列，對行參賽者而言，他的最佳　　策略只有第一行。

c. 我們得到賽局值為 4 ，表示此賽局對列參賽者較為　　有利。

91

7.5 混合策略的賽局混合策略

7.5 混合策略的賽局混合策略


92

賽局的期望值賽局的期望值


賽局的期望值

令

1

21 2 m

n

q

qP p p p Q

q

93


分別代表列參賽者與行參賽者的混合策略，且知其賽局的支付額矩陣 A ( 維度 m × n) 為


11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

94



則此賽局的期望值計算如下：

11 12 1 1

21 22 2 21 2

1 2

n

nm

m m mn n

a a a q

a a a qE PAQ p p p

a a a q

95

例題 1例題 1

唐先生和聶小姐一起玩錢幣配對遊戲，其支付額矩陣如下(唐先生視為行參賽者，聶小姐視為列參賽者 ) ：

以下若聶小姐採用 P 的混合策略，而唐先生採用 Q 的混合策略，試求賽局的期望支付額：


與

與

96

例題 1 （續）例題 1 （續）

解：a. 由公式計算得

　因此，在重複的賽局下，從長期看，雙方並沒有　輸贏。


97

例題 1 （續）例題 1 （續）

解（續）：b. 由公式計算得

　因此，在重複的賽局下，從長期看，對列參賽者　 (聶小姐 ) 而言，每一回比賽平均將輸掉 1.06 元。


98

例題 2例題 2

一賽局的支付額矩陣如下：

a. 如果列參賽者採用極小值最大化策略，且行參賽者採用極大值最小化策略，試問對列參賽者而言，期望支付額為多少？

b. 如果列參賽者採用極小值最大化策略的機會為 50% ，選擇其餘兩列的機會各為 25% ，且行參賽者選擇各行的機會分別為 50% ，試問對列參賽者而言，期望支付額為多少？


99

例題 2 （續）例題 2 （續）

解：a. 我們利用第 7.4節的方法，尋找極小值最大化策略與極大值最小化策略如下：

　


100

例題 2 （續）例題 2 （續）

解 a （續）：列參賽者的最佳單一策略是選擇第二列，而行參賽者的最佳單一策略是選擇第二行。如果兩位參賽者都採用上述的最佳單一策略，則從支付額矩陣的第二列第二行元素可知，賽局的期望支付額為支付給列參賽者 2 元。


101

例題 2 （續）例題 2 （續）

解（續）：b. 根據題意，可寫出列參賽者的混合策略為

　行參賽者的混合策略為


102

例題 2 （續）例題 2 （續）

解 b （續）：由公式計算，支付給列參賽者的期望支付額為


103Tan/ 管理數學

第 7 章第 396-397 頁


2 × 2 非嚴格判定賽局的最佳混合策略令

為一非嚴格判定賽局的支付額矩陣。則對列參賽者而言，其最佳混合策略是

(2a)其中

a b

c d

1 2 P p p

1

2 11

d cp

a d b cp p

104Tan/ 管理數學

第 7 章第 397 頁


對行參賽者而言，其最佳混合策略是

(2b)

其中

1

2

qQ

q

1

2 11

d bq

a d b cq q

105



此外，當 P 與 Q 分別是列與行參賽者的最佳混合策略時，賽局值定義成此賽局的期望值 E = PAQ ，即

(2c)

E PAQ

ad bc

a d c c

106

例題 3 錢幣配對遊戲例題 3 錢幣配對遊戲依照例題 1 的支付額矩陣：

a. 找出唐先生與聶小姐二人的最佳混合策略。b. 計算賽局值，並判斷此賽局是否對誰較為有利？


107

例題 3 錢幣配對遊戲（續）例題 3 錢幣配對遊戲（續）

解：a. 由於此支付額矩陣沒有鞍點，因此這是一個非嚴格判定賽局。將 a = 3, b = 2, c = 2 與 d = 1 代入公式 (2a) ：


108


解 a （續）：

故知聶小姐的最佳混合策略為


109


解 a （續）：利用公式 (2b) ：


110


解 a （續）：得知唐先生的最佳混合策略是


111



解（續）：b. 利用公式 (2c) 可計算出賽局值：

　由於賽局值為負，所以，此賽局對唐先生較為有利。當唐　　先生與聶小姐都採取最佳混合策略，在重複的賽局下，從　　長期看，平均一回唐先生將贏 1/8 元。

112

例題 4 投資策略例題 4 投資策略連家共有 4萬元在股票及貨幣市場進行短期投資，其投資的績效視優惠利率的情況而定。如優惠利率上升，將有利於貨幣市場的投資；如優惠利率下降，則利於股票市場的投資。今將連家視為列參賽者，把不同情形下估算的投資報酬率 (%) 當作支付額，整理出支付額矩陣如下：


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例題 4 投資策略（續）例題 4 投資策略（續）

a. 對於連家這筆 4 萬元的短期投資，其最佳投資策略為何？

b. 連家的這項短期投資，利潤如何？


114


解：a. 由支付額矩陣可知，此為非嚴格判定賽局。令 P = [p1 p2] 代表連家的最佳混合策略，利用公式 (2a) ，解得


115


解 a （續）：

故連家宜投資 (6/7)(40,000) ，即大約 34,300 元於貨幣市場，以及 (1/7)(40,000) ，約 5700 元於股票市場。


116


解（續）：b. 我們求出賽局值

　故知連家這項 4 萬元的短期投資，預期會有 12.14% 的投資　報酬率，即獲得 (0.1214)(40,000) = 4,856 元的利潤。


第 7 章

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