本章主要内容

7.1 双口元件 7.2 双口网络的网络参数 7.3 网络函数与特性阻抗

第七章 双口网络分析

7.1 双口元件一、耦合电感

两个相距很近的线圈（电感），当线圈 1中通入电流 i1 时，在线圈 1中就会产生自感磁通Φ11 ，而其中一部分磁通Φ21 ，它不仅穿过线圈 1，同时也穿过线圈 2，且Φ21≤Φ11 。同样，若在线圈 2中通入电流 i2 ，它产生的自感磁通Φ22 ，其中也有一部分磁通Φ12 不仅穿过线圈 2，同时也穿过线圈 1，且Φ12 ≤Φ22 。像这种一个线圈的磁通与另一个线圈相交链的现象，称为磁耦合，即互感。Φ21 和 Φ12 称为耦合磁通或互感磁通。假定穿过线圈每一匝的磁通都相等，则交链线圈 1的自感磁链与互感磁链分别为ψ11 =N1Φ11 ， ψ12=N1Φ12 ；交链线圈 2的自感磁链与互感磁链分别为ψ22=N2Φ22 ， ψ21=N2Φ21 。（如下页图）

类似于自感系数的定义，互感系数的定义为：

1

2121 i

M

2

1212 i

M

上面一式表明线圈 1对线圈 2的互感系数 M21 ，等于穿越线圈 2的互感磁链与激发该磁链的线圈 1中的电流之比。二式表明线圈 2对线圈 1的互感系数 M12 ，等于穿越线圈 1的互感磁链与激发该磁链的线圈 2中的电流之比。 M21=M12=M耦合系数

2211

2112

2211

2112

21

2112

1

212

1

2121

2

21

2

1212

2

222

2

222

1

111

1

111

,

,

LL

MMk

i

N

iM

i

N

iM

i

N

iL

i

N

iL

21LL

Mk

耦合系数 k<1 ，其大小取决于两个线圈的相对位置及磁介质的性质。如果两个线圈紧密地缠绕在一起，则 k值就接近于 1；若两线圈相距较远，或线圈的轴线相互垂直放置，则 k值就很小， 甚至接近于零。

0≤K≤1 ， K 值越大，说明两个线圈之间耦合越紧，当 K=1 时，称全耦合，当K=0 时，说明两线圈没有耦合。

耦合电感元件的电压、电流关系（端口的 VCR ）

21112111 MiiL

12221222 MiiL

1 、自感磁通与互感磁通方向一致，即磁通相助时：

dt

diM

dt

diL

dt

du 12

22

2

dt

diM

dt

diL

dt

du 21

11

1

2 、自感磁通与互感磁通的方向相反，即磁通相消时：

dt

diM

dt

diL

dt

du 21

11

1

dt

diM

dt

diL

dt

du 12

22

2

当两线圈电流均从同名端流入（或流出）时，线圈中磁通相助，互感电压与该线圈中的自感电压同号。当两线圈电流从异名端流入（或流出）时，由于线圈中磁通相消，故互感电压与自感电压异号。

如图，当 i1 、 i2 分别由端纽 a和 d流入（或流出）时，它们各自产生的磁通相助，因此 a端和 d端是同名端（当然 b端和 c端也是同名端）； a端与 c端（或 b端与 d端）称异名端。

同名端：

(b) (d) 磁通相助； (c) (e) 磁通相消

对于已标定同名端的耦合电感，可根据 u 、 i 的参考方向以及同名端的位置写出其 u-i 关系方程。 也可以将耦合电感的特性用电感元件和受控电压源来模拟，例如图 5-5 (b) 、 (c) 电路可分别用 (d) 、 (e) 电路来代替。可以看出：受控电压源（互感电压）的极性与产生它的变化电流的参考方向对同名端是一致的。 这样，将互感电压模拟成受控电压源后，可直接由图 5-5(d) 、 (e) 写出两线圈上的电压，使用这种方法，在列写互感线圈 u—i关系方程时，会感到非常方便。

耦合电感的串联和并联

一、互感线圈的串联 互感的线圈串联时有两种接法——顺向串联（异名端相连）和反向串联（同名端相连）。

1. 1. 顺向串联顺向串联 L 1*M L 2

U 1

£®

I£®

U 2

£®

U£®

*

MLLL

ILjIMLLjUU

IMjILjUUU

IMjILjUUU

f

f

2

)2(

21

2121

221222

112111

互感电压看作受控电压源：

2. 2. 反向串联反向串联 L 1*M L 2

U 1

£®

I£®

U 2

£®

U£®

*

MLLL

ILjIMLLjUUU

IMjILjUUU

IMjILjUUU

s

s

2

)2(

21

2121

221222

112111

4fs LL

M

二、互感线圈的并联 互感线圈的并联有两种接法，一种是两个线圈的同名端相连，称为同侧并联；另一种是两个线圈的异名端相连，称为异侧并联。

L 1

*

M

(a )

L 2

*

I£®

U£®

I2

£®I1

£®L 1

*

M

(b )

L 2

*

I£®

U£®

I2

£®I1

£®

122

211

21

IMjILjU

IMjILjU

II

MLL

MLLL

LjMLL

MLLj

I

UZ

2

2

)(

21

221

21

221

线圈并联电感量分析：

同侧并联时的等效电感：同侧并联时的等效电感：

异侧并联时的等效电感：异侧并联时的等效电感：

21 2

1 2 2

L L ML

L L M

2

1 2

1 2 2

L L ML

L L M

VU oab 0/10

.

例 如图所示互感电路中， ab 端加 10V 的正弦电压，已知电路的参数为 R1=R2=3Ω ， ωL1=ωL2=4

Ω,ωM=2Ω 。 求： cd 端的开路电压。

解 当 cd 端开路时，线圈 2 中无电流，因此，在线圈 1 中没有互感电压。以 ab 端电压为参考，电压：

aI

1

．

＋R2

c

b d－

Uab．

L2

L1

R1

M

Ucd．

＋

－

A

jLjR

UI

o

oab

1.53/2

43

0/10

1

.

1

.

V

jUIMjU

oo

oabcd

3.10/4.13109.36/4

101.53/2.

1

..

由于线圈 2 中没有电流，因而 L2 上无自感电压。但 L1 上有电流，因此线圈 2 中有互感电压，根据电流对同名端的方向知 cd 端的电压：

例 如图 aa所示具有互感的正弦电路中，已知 XL1=10Ω ， XL2=20Ω ， XC=5

Ω ，耦合线圈互感抗 XM=10Ω ，电源电压，RL=30Ω 。求电流 İ2 。

020SU

M

(a)

L1 L2

I1

．

C

I2

．

RL

＋

－US

．

(b)

L1＋MI1

．

C

I2

．

RL

＋

－US

． －M

L2＋M

(c)

I1

．

I2

．

30

＋

－US

． － j10

j20 j30

－ j5

解 利用互感消去法，得去耦等效电路图 bb，其相量模型图 cc。

oI

jjj

jjI 452

)3030()510(

5101

.

2

.

应用阻抗并联分流关系求得电流

利用阻抗串、并联等效变换，求得电流：

j

j

jjj

jjjj

UI

S

1

24

)3030()510(

)3030()510(20

.

1

.

二、空芯变压器电路的分析变压器是利用电磁感应原理传输电能或电信号的器件。通常有一个初级线圈和一个次级线圈，初级线圈接电源，次级线圈接负载，能量可以通过磁场的耦合，由电源传递给负载。

常用的实际变压器有空芯变压器和铁芯变压器两种类型。所谓空芯变压器是由两个绕在非铁磁材料制成的芯子上并且具有互感的线圈组成的，其耦合系数较小，属于松耦合。

可列出回路方程为 SUIMjILjR

2111

02221

IRLjRIMj L

SUIZIZ

212111

0222121

IZIZ

或写为

耦合电感的初级、次级电流相量分别为 ： 2 2

12 2

1 1 2 2( ) ( )

LS

L

R j L RI U

R j L R j L R M

S

L

UMRLjRLjR

MjI

222211

2

)()(

Z11= R1 +jωL1 称为初级回路自阻抗；Z22=R2 +jωL2 +RL 称为次级回路自阻抗；Z12=Z21=jωM 称为初次级回路互阻抗。

是由次级中的感应电压产生的 .

2

I

refL

Si ZZ

RLjR

MLjR

I

UZ

1122

22

11

1

由电源端看进去的输入阻抗为

输入阻抗由两部分组成： Z11=R1+jωL1 ，即初级回路的自阻抗； Zref即次级回路在初级回路的反映阻抗。次级回路对初级回路的影响可以用反映阻抗来计及。因此，由电源端看进去的等效电路，也就是初级等效电路应如图所示。当我们只需要求解初级电流时，可利用这一等效电路迅速求得结果。 反映阻抗的概念不能用于次级含有独立源的耦合电感电路。

LRLjR

Mj

I

I

221

2

22

1

22

12

Z

IMj

RLjR

IMjI

L

三、理想变压器 1 、理想变压器是铁芯变压器的理想化模型，它的唯一参数只是一个称之为变比的常数 n，而不是 L1 、 L2 、 M 等参数，理想变压器满足以下 3个理想条件：(1) 耦合系数 K=1 ，即为全耦合；(2) 自感系数 L1 、 L2 为无穷大，但 L1/L2 为常数。(3) 无任何损耗，这意味着绕线圈的金属导线无 任何电阻，做芯的铁磁材料的磁导率μ无穷大 .

£«

£

u 2

£«

£

u 1

i1 i2

n ¡Ã1

dt

dNu

dt

dNu

22

11

所以得理想变压器的变压关系式为：

£«

£

u 1 N 1 N 2

i2£«

£

u 2

i1

n 称为变比，是一个常数。

2 、理想变压器的变压作用 理想铁芯变压器的初、次级线圈 1 和 2 的匝数分别为 N1 、 N2 ，磁通为 Φ ，根据电磁感应定律，有：

nN

N

u

u

2

1

2

1

理想变压器的变压关系适用于一切变动的电压、电流情况 .

3 、理想变压器的变流作用理想变压器可以看成是一种极限情况下的互感线圈，它既不储能，也不耗能，仅起到一个变换参数的作用。理想铁芯变压器的初、次级线圈 1和 2 的匝数分别为 N1 、 N2 ，磁通为 Φ ，根据电磁感应定律，有：

nL

L

I

I

IL

L

Lj

UI

nL

L

U

U

1

1

2

2

.

1

.

2

.

1

2

1

.

11

.

2

1.

2

.

1

4、理想变压器的阻抗变换作用理想变压器的次级接一负载 ZL ，从初级看进去的输入阻抗为：

Li ZnI

Un

In

Un

I

UZ 2

.

2

22

.

2

.

2.

1

.

1

1

强调：（ 1）对于变压关系 式取“ +”还是取“ -”，仅取决于电压参考方向与同名端的位置。当 u1、 u2 参考方向在同名端极性相同时，则该式冠以“ +”号；反之，若 u1、 u2 参考方向一个在同名端为“ +”，一个在异名端为“ +”，该式冠以“ -”号。（ 2）对于变流关系式取“ +”还是取“ -”，仅取决于电流参考方向与同名端的位置。当初、次级电流 i1 、 i2 分别从同名端同时流入（或同时流出）时，该式冠以“ -”号，若 i1、 i2 一个从同名端流入，一个从异名端流入，冠以“ +”号。 （ 3）任意时刻，理想变压器吸收的功率恒等于零。例如对图所示的理想变压器，其瞬时功率为

理想变压器不消耗能量也不储存能量，从初级线圈输入的功率全部都能从次级线圈输出到负载。理想变压器不存储能量，是一种无记忆元件。

0)1

()( 22222211 iuin

nuiuiutp

n∶1

(a )

＋

－

U1

．＋

－

US

．

900 ＋

－

U2

．100

(b )

＋

－

U1

．＋

－

US

．

900

n 2 ×100

例 电路如图 aa所示。如果要使 100Ω 电阻能获得最大功率，试确定理想变压器的变比 n 。

解 已知负载 R=100Ω ，故次级对初级的折合阻抗：

ZL=n2×100Ω

电路可等效为图 bb。由最大功率传输条件可知，当 n2×100 等于电压源的串联电阻（或电源内阻）时 , 负载可获得最大功率。所以： n2×100=900

变比 n 为： n=3

一个由线性元件组成的双口网络，不论其内部元件参数和结构如何，总可以用一组方程描述其外部特性，双口网络可以看作是一个黑箱。

7.2 双口网络的参数方程

口是这样的一对端子，当电流从其中一个端子流入时，一定又从其中另一个端子流出。

i1

1

1'

2

2'

i1i2

i2

具有两个口的网络，称为双口网络 (二端口网络 )本章双口网络均满足：

（ 1）网络内不含独立源；（ 2）元件是线性时不变的。

IZI ZU

IZIZU

2222212

2121111

1 、二端口网络的 Z方程和 Z参数 Z方程是一组以二端口网络的电流 İ1 和 İ2 表征电压 和 的方程。

1

U 2

U

2

1

2

1

2221

1211

2

1

I

I

I

I

U

U

Z

ZZ

ZZ

参数矩阵称为其中 Z 2221

1211

ZZ

ZZZ

如果二端口网络中的电流 İ2 和 İ1 相等，所产生的开路电压 和 也相等时， Z12 = Z21 ，该网络具有互易性。如果该网络还具有 Z11 = Z22 的特点，则网络称为对称的二端口网络。

1U 2

U

双口网络的方程与参数：

Z参数的确定可通过输入端口、输出端口开路测量或计算确定：

Z11 =U1

İ1 İ2 = 0

Z21 =U2

İ1 İ2 = 0

Z12=U1

İ2 İ1 = 0

Z22 =U2

İ2 İ1 = 0

Z11 是输出端开路时，输入端的入端阻抗； Z21 是输出端开路时，输出端对输入端的转

移阻抗；Z12 是输入端开路时，输入端对输出端的转移阻抗；Z22 是输入端开路时，输出端的入端阻抗。

例：求图 所示二端口网络的开路阻抗矩阵 Z。

解：首先求二端口网络的开路阻抗参数（ Z参数）。令二端口网络的输出端口开路，则 İ2 = 0 ，由图可得

111

32

1

1

11 U

7

26

31

41

U

21U

RR

U

R

UI

11

332

12 U

7

4

3

1

31

41

UR

RR

UU

Ω13

2 Ω

4

26

7

7

4

Ω

221

26IU

26

7

IUZ

10I

1

1

0I

11

2

2

Z

令二端口网络的输入端口开路，则 İ1 = 0 ，由图可知

3

2

2

1

21

RRR

UU

3

13

2

1

3R

221

21

21

23

21

2

3

22

U

41

U

U

4

1U

1U

R

U

R

UI

1

13

3

13

2

13

2

26

7

Z

Ω

Ω13

2

13

3

3

2

2

12

1

13

3

IUZ

IUZ

2

2

0I

22

0I

1

1

故二端口网络的开路阻抗矩阵 Z为

2 、二端口网络的 Y方程和 Y参数 Y方程是一组以二端口网络的电压 和 表征电流 İ1 和 İ2 的方程 。

1

U 2

U

2221212

2121111

UYUYI

UYUYI

参数矩阵称为其中 Y 2221

1211

YY

YYY

2

1

2

1

2221

1211

2

1

U

UY

U

U

YY

YY

I

I

Y参数的确定可通过输入端口、输出端口短路测量或计算确定。

Y11 =

İ1

U1 U2 =0

0

Y21 =

İ2

U1 U2 =0

0

Y11 是输出端短路时，输入端的入端导纳；

Y21 是输出端短路时，输出端对输入端的转移导纳；

Y12 =

İ1

U2 U1 =0

0

Y12 是输入端短路时，输入端对输出端的转移导纳；

Y22 =

İ2

U2 U1 =0

0

Y22 是输入端短路时，输出端的入端导纳。

Y参数也可由其它参数转换而定。例如当 Z参数已知时，由 Z参数方程可知

2

1

2221

1211

2

1

I

I

U

U

ZZ

ZZ

对以上方程求逆，即可得 Y参数方程

2

1

2221

1211

2

11

2221

1211

2

1

U

U

YY

YY

U

U

I

I

ZZ

ZZ

z

Z Z

zZ

YY

YY1121

12221

2221

1211

2221

1211

z

zZ

ZZ

ZZ

z

ZY

z

ZY

z

ZY

z

ZY

1122

2121

1212

2211

由此可知：212 2211

2221

1211Z ZZZz

ZZ

ZZ其中

当 Y21=Y12 时，二端口网络具有互易性；如果该网络还具有 Y11 = Y22 的特点，则二端口网络是对称的。3 、二端口网络的 T方程和 T参数T方程是一组以二端口网络的输出端口电压 和电流 表征入口电压 和电流 İ1 的方程 ，二端口网络以 和 İ2 作为独立变量， 、 İ1 为待求量。由 Y参数方程可知 :

2

U 2

I

1

U1

U2

U

2221212

2121111

UYUYI

UYUYI

221

112

21

21122211

212221

221

22111

22121

221

IY

YU

Y

UYIY

1U

Y

YYI

IY

1YU

YYYY

UY

2

）（

则

B

A

21

11

2121

2112 2211

21

21

22

Y

YD

Y

y

Y

YYYY

Y

1

Y

Y

C

则

221

221

)( D

) (B

IUC I

IUAU

上式称为二端口网络的 T参数方程 。 A、 B、 C、 D称为二端口网络的 T参数，其中 A、 D 无量纲； B具有阻抗性质，量纲为欧姆； C 具有导纳的性质，量纲为西门子。

令

对于互易二端口网络， A D – B C = 1 ；如果二端口网络是对称的，则 A = D。

由于 、 İ2 是二端口网络出口一侧的物理量， 、 İ1 是二端口网络入口一侧的物理量，所以又称为传输参数方程，也叫一般传输方程。 T参数方程的矩阵形式为 :

2

2

2

2

1

1

I

U T

I

U

DC

BA

I

U

参数矩阵称为其中 T

DC

BA

T

2

U 1

U

T参数可以通过两个端口的开路和短路两种状态分析计算或测量获得：

A =

U1

U2 I2 = 0

C=

İ1

U2 I2 = 0

B =

U1

- İ 2 U2 =0

0

D =

I1

- İ

2 U2 =0

0

A 是输出端开路时，输入电压与输出电压的比值；

C是输出端开路时，输入端对输出端的转移导纳；

B是输出端短路时，输入端对输出端的转移阻抗；

D是输出端短路时，输入电流与输出电流的比值。

4 、二端口网络的 H方程和 H参数 H方程是一组以二端口网络的电流 İ1 和电压 表征电压 和电流 İ2 的方程。

2

U 1

U

2

1

2

1

2221

1211

2

1

U

IH

U

I

HH

HH

I

U

由于 H参数的量纲不完全相同，物理量具有混合之意，故也称为混合参数方程。

H11 =

U1

I1 U2 = 0

H12=

U1

U2 I1 = 0

H21=

I2

I1 U2 = 0

H22=

I2

U2 I1 = 0

H11 是输出端短路时，输入端的入端阻抗。在晶体管电路中称为晶体管的输入电阻；

H12 是 输入端开路时，输入与输出端的电压之比。在晶体管电路中称为晶体管的内部电压反馈系数或反向电压传输比；

H21 是输出端短路时，输出端与输入端电流之比。在晶体管电路中称为晶体管的电流放大倍数或电流增益。

H22 输入端开路时，输出端的入端导纳。在晶体管电路中称为晶体管的输出电导。

7.3 网络函数与特性阻抗

1. 二端口网络的策动点函数 二端口网络的内部不含独立电源、也没有附加电源，网络的激励

和响应在同一端口，则它的网络函数称为策动点函数。

两个较重要的策动点函数是：

输入阻抗 Zin=

输出阻抗 Zo=

其中，输入阻抗与网络参数和负载有关：输出阻抗与网络参数和信号源的内阻有关。

2. 二端口网络的转移函数 响应与输入不在同一端口，有 4种：

1) 转移阻抗 ZT

2) 转移导纳 YT1

2T I

UZ

1

2T U

IY

3) 电压转移函数 Au

4) 电流转移函数 Ai 1

2u U

UA

1

2i I

IA

3. 特性阻抗

在一般情况下，二端口网络的输入阻抗 Zi 是不等于负载阻抗 ZL的。但对于对称的二端口网络，如果适当选择一阻抗 ZC，如图

LCLC ZZZZZZ i i 使

DD Z C

BZ A

Z C

BZ AZi

C

C

L

L则有

A

C

C

Z C

BZ AZi

由于网络对称 A = D

则有A

C

CC

Z C

BZ AZ

C

BZ C

令

由上式可见， ZC仅由二端口网络的参数决定，而与外接阻抗无关，为网络本身所固有的，称为二端口网络的特性阻抗。在有端接的二端口网络中，当 ZL = ZC时，则称此时的负载为匹配负载，网络工作在匹配状态。由于在对称二端口网络的一个端口接上 ZC时，从另一个端口看进去的输入阻抗正好等于该阻抗，故又称 ZC为重复阻抗 .