Прогресії. 9 клас. Алгебра. • Анотація: Пропонований матеріал призначений для вчителів, які

працюють у 9 класі за новою програмою «Математика 5-12 класи. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Київ. Ірпінь. 2005». Робота містить презентацію, яка може бути використана при вивченні теми «Числові послідовності».Тип ресурсу: ПрезентаціїАвтор(и): Ткаченко Н.М.Галузь освіти: Загальна освіта -> МатематикаАудиторія: Учителі, учніРік видання ресурсу: 2011Кількість сторінок: 29Джерело: НВК «Загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №3-

колегіум» м. Сміла Мова ресурсу: українська

Цінність ресурсу: 5

Прогресії навколо нас 9 клас

Алгебра

Розробила вчитель математики

НВК “ЗОШ №3 - колегіум” м. Смілa

Ткаченко Надія Миколаївна

Означення і властивості

• (аn)-арифм. прогресія

аn+1 = аn + d;• (аn)-n-й член арифметичної

прогресії є середнім арифметич-ним двох сусідніх з ним членів.

аn =

• Якщо (аn)- скінченна арифметич- на прогресія, то

• Будь-яка арифм. прогресія (аn) може бути записана формулою

аn = kn+b, де k i b – числа.

• (вn)-геометр.прогресія

вn+1 = вn . q

• (вn)- n-й член геометричної

прогресії є середнім геометрич-ним двох сусідніх з ним членів.

вn =

• Якщо (вn)- скінченна геометрична прогресія, то

211 nn aa

11 nn bb

constbbbbbb nnn 23121constaaaaaa nnn 23121

Формула Формула nn-го члена -го члена арифметичної та геометричної прогресії арифметичної та геометричної прогресії

та їх сумита їх суми

(аn)-арифм. прогресія

аn = а1 + d (n – 1).

(аn)- арифм. прогресія

1) Sn = n;

2) Sn =

(вn) - геометр.прогресія

bn = b1 . qn-1;

(вn) - геометр.прогресія

1)

2)

3)

21 паа

n

ndа

2

12 1

)1(,1

1

q

q

qbbS nn

)1(,1

)1(1

qq

qbS

n

n

)1(,1

1

qq

bS

Усні вправи

1. Відгадати число:

55 59 63 ?

Обчислити:Обчислити:

• 33 – 7 =• (22 + 6) . 22 =• 24 . 5 =• 23 . 20 = • 25 . 10 = • (20 + 210) – 404 =

Яку залежність ви побачили?Яку залежність ви побачили?

Усні вправи

Знайди помилку.Знайди помилку.

1) аn = 2n + 1; 6) Sn = . n;

2) хn= n2 – 8n; 7) xn+1 = xn + d;

3) bn = b1 + d . (n – 1); 8) Sn = ;

4) an = a1 + 8d; 9) yn = 2n;

5) cn = c1 . qn-1; 10) zn = n2.

Назвати номер неправильної формули, якщоНазвати номер неправильної формули, якщо

така є.така є.

21 паа

n

ndа

2

11

Усні вправи

Чи будуть всі написані Чи будуть всі написані послідовності арифметичними послідовності арифметичними

прогресіями?прогресіями?

• 5, 7, 9, 11, …5, 7, 9, 11, …

• 20, 10, 0 , -10, …20, 10, 0 , -10, …

• 2, 4, 6, 8, …2, 4, 6, 8, …

• 1, 2, 6, 8, …1, 2, 6, 8, …

• 15, 3, -9, …15, 3, -9, …

Вказати номер послідовності, яка не є Вказати номер послідовності, яка не є арифметичною прогресією.арифметичною прогресією.

Усні вправиУсні вправи

Чи будуть всі написані Чи будуть всі написані послідовності геометричними послідовності геометричними

прогресіями?прогресіями?

– 2, 4, 8, 16, …2, 4, 8, 16, …– 200, 20, 2, …200, 20, 2, … – 3, -6, 12, …3, -6, 12, …– 1, 4, 16, 64, …1, 4, 16, 64, …– 8, 4, 0, -4, …8, 4, 0, -4, …

Вказати номер послідовності, яка не є Вказати номер послідовності, яка не є геометричною прогресією.геометричною прогресією.

Усні вправиУсні вправи

Знайти невідомі елементи в даній прогресії:

(аn) - арифметична прогресія,

а1 = 3, а2 = 10.

1) d - ?; 2) a4 - ? (аn) - арифметична прогресія,

а1 = 3, d = 2.

3) а7 - ?, 4) а9 -?, 5) а12 - ?. (вn) - геометрична прогресія,

в1 = 40, q = .

6) в2 -?, 7) в3 - ?, 8) в4 -?.2

1

bn = b

1. q n – 1

naa n

2

1Sn =

аn = 2n + 1

Шахову гру винайшли в Індії. Ознайомившись з нею, індійський принц Сирам, захоплений дотепністю і різноманітністю можливих ситуацій, покликав до себе її винахідника, ученого Сету, і сказав йому: “Я хочу гідно нагородити тебе, Сета, за прекрасну гру, яку ти придумав. Я досить багатий, і можу виконати будь – яке твоє бажання”.

“Володарю,- відповів Сета,- накажи видати мені за першу клітинку шахівниці одну пшеничну зернину, за другу – дві, за третю – чотири і далі за кожну клітинку вдвічі більше, ніж за попередню .”

Принц здивувався, що винахідник так мало запросив. Але обіцянку не зміг виконати. Після ретельних підрахунків вияснилося, що кількість зерен, що бажає одержати Сета, така велика, що її не знайдеться на всьому просторі Землі. Для того, щоб видати нагороду, треба перетворити всі царства в поля, висушити всі річки, озера, розтопити кригу і сніги. Увесь цей простір засіяти пшеницею й усе, що виросте на ньому за 5 років, віддати Сеті. Зі здивуванням слухав принц слова вчених. “Напишіть же мені це дивовижне число,”- сказав він.

Задача 1. (Легенда про винахід шахів)

Розв’язання.

Маємо геометричну прогресію (вn), в якій в1=1, в2=2, в3= 4…. q = 2. В шахівниці 64 клітинки. Тому

S64= 18 446 744 073 709 551 615.

Таку кількість зернин можна зібрати з площі, яка приблизно у 2000 разів більша від площі усієї поверхні Землі.

1212

121 6464

Задача 2 .Задача 2 . (Забавна арифметика, 1910 р.)(Забавна арифметика, 1910 р.)

Одного разу розумний бідняк попросив у скупого Одного разу розумний бідняк попросив у скупого багатія притулку на 2 тижні на таких умовах: «За багатія притулку на 2 тижні на таких умовах: «За це я тобі першого дня заплачу 1 крб., другого – це я тобі першого дня заплачу 1 крб., другого – 2 2 крб., третього 3 крб., збільшуючи щоденну плату крб., третього 3 крб., збільшуючи щоденну плату на 1 крб. Ти ж будеш давати мені милостиню:на 1 крб. Ти ж будеш давати мені милостиню:

Першого дня – 1 коп., другого дня – 2 коп., Першого дня – 1 коп., другого дня – 2 коп., третього – 4 коп., і т.д. збільшуючи щодня третього – 4 коп., і т.д. збільшуючи щодня милостиню вдвічі». Багатій з радістю погодився, милостиню вдвічі». Багатій з радістю погодився, вважаючи, що умови вигідні для нього. Скільки вважаючи, що умови вигідні для нього. Скільки грошей отримав багатій?грошей отримав багатій?

РРозв'язання:озв'язання:Сума, яку має сплатити бідняк за 14 днів, складає

арифметичну прогресію, в якій а1 = 1 і d =1, S14= 105, тобто 105 крб., а багатій сплачує суму, яка складає суму геометричної прогресії, в якій а1 = 1, q = 2. Тому S14 =214-1= 16383 коп. або 163 крб.83 коп.

Отже, багатій, отримавши від бідняка 105 крб., заплатив йому 163 крб.83 коп., тобто, за те, що бідняк у нього проживав 2 неділі, багатій заплатив йому 58 крб.83 коп. (вернувши при цьому і ті гроші, які одержав від бідняка).

Воїну, що служив, дано винагороду: за першу рану –1 коп., за другу – 2 коп., за третю – 4 коп. і т.д. Виявилося, що він одержав винагороду 655руб. 35 коп. Скільки ран було у воїна?

Розв'язання:Розв'язання:

Маємо геометричну прогресію, в якій вМаємо геометричну прогресію, в якій в11== 1, 1,

вв22 = 2,= 2, вв33 = 4,= 4, вв44=8 і т.д., =8 і т.д., qq = 2= 2, , SSnn = =

6553565535. .

Тоді 1+2+4+ 8+ ….+2Тоді 1+2+4+ 8+ ….+2n-1n-1 = 65535= 65535..

65535 =65535 = 2 2n n - 1- 1 == 65 65553355,,

nn == 16. 16.

Тобто за такої великодушної системи Тобто за такої великодушної системи нагородження воїн повинен одержати 16 ран нагородження воїн повинен одержати 16 ран і залишитися живим, щоб «удостоїтися» і залишитися живим, щоб «удостоїтися» винагороди 655руб. 35 коп.винагороди 655руб. 35 коп.

12

12

121

п

п

1,3,6,10,15…… 1,4,9,16…n2

• Задача 4. Кулі розміщено у формі трикутника так, що в першому ряду –1 куля, у другому - 2 кулі, у третьому – 3 кулі і т.д.

У скільки рядів розміщено кулі, якщо всього їх 120? • Розв’язання.

Маємо арифметичну прогресію, в якій а1 =1,

а2= 2, а3= 3, d = 1, Sn = 120, n - ?

Sn =

n(n+1) = 2 .120, n2 + n - 240 = 0, n1 = 15, n2=-16 – не задовольняє умови задачі. Тому 120 куль можна розмістити в 15 рядах.

пп

2

1)1(12

Задача 4. Поливання грядокПоливання грядок

• У городі 30 грядок, кожна довжиною 16м і шириною 2,5м. Поливаючи грядки, городник приносить відра з водою з колодязя, розташованого в 14м від краю городу, і обходить грядки вздовж межі, причому води, принесеної за один раз, вистачає для поливання лише однієї грядки. Якої довжини шлях проходить городник, поливаючи весь город? (Шлях починається і закінчується біля колодязя.)

Розв'язання:

• Для поливання першої грядки городник проходить шлях

14 + 2,5 + 16 + 2,5 + 16 + 14 = 65 (м). Для поливання другої грядки він проходить шлях14 + 2,5 + 16 + 2,5 + 16 + 2,5 + 2,5 + 14 = 70 (м).Для кожної наступної грядки потрібно пройти шлях, на

5м довший за попередній.Маємо арифметичну прогресію: 65, 70, 75, …

S30 = 30 = 4125 (м).

Відповідь: Городник, поливаючи город, проходить шлях 4,125 км.

2

529652

Задача 6. Бактерія, потрапивши в організм, до кінця 20–ї хвилини ділиться на дві, кожна з них до кінця 20-ї хвилини знов ділиться на дві і т.д. Скільки бактерій стане в організмі через добу?Розв’язання.Маємо геометричну прогресію, в якій в1 = 1,

в2 = 2, в3 = 4, q =2 . За добу бактерія поділиться 72 рази

(24год.=1440хв., 1440хв : 20хв = 72). Тому

S72= бактерій.

727272

21212

)12(1

Знайти суму нескінченної геометричної прогресії

Розв'язання:

В даній нескінченній геометричній прогресії в1 = 1, q = .

Тому шукана сума

S =

...4

1

4

1

4

11

32

4

1

.3

11

41

1

1

11

qb

Задача з єгипетського Задача з єгипетського папірусупапірусу Розділи 10 мір хліба на 10 чоловік так, щоб

кожний одержав на міри більше, ніж попередній.

Розв'язання. Треба знайти перші 10 членів арифметичної прогресії (аn ), в якій n=10, Sn=10,

d= . Тоді використовуючи формулу суми n перших членів арифметичної прогресії отримуємо

звідки і . Тоді

8

1

8

1

,10102

)110(81

2 1

a ,2

8

92 1 a

16

71 a

.16

25,......

16

13,

16

11,

16

910432 aaaa

Розв'язуванняРозв'язування задачзадач

І рівеньІ рівень (в(вnn ) - ) - геометрична прогресія,геометрична прогресія,

вв1 1 = 3, = 3, q q = 2= 2. в. в55 - ? - ?

ІІ рівеньІІ рівень (в(вnn ) - ) - геометрична прогресія,геометрична прогресія,

вв22 = 6, в = 6, в44 = 24, в = 24, в66 - ? - ?

ІІІ рівеньІІІ рівень Знайти суму 20 перших членів Знайти суму 20 перших членів арифметичної прогресії (аарифметичної прогресії (аnn), якщо), якщо аа77=18,5, а=18,5, а1717 = -26,5.= -26,5.

Перевірка результатівПеревірка результатів

І рівеньІ рівень. . bb55== bb11.. qq44, b, b55= 3 = 3 .. 2 24 4 = 48, b= 48, b55= 48.= 48.

ІІ рівеньІІ рівень.. bb44= b= b22. . qq22, q = 2 . b, q = 2 . b66== bb4 4

. . qq22, b, b66== 9696

III III рівеньрівень..

аа1717=а=а77+10+10d; d= ; d=-4,5.d; d= ; d=-4,5.

aa77== aa11+6d, a+6d, a11== aa7 7 - 6d, a- 6d, a11== 45,5.45,5.

SS2020= == = 55, S55, S2020=55.=55.

10717 аа

102

195,45,452

Рефлексія.Рефлексія.Тест.

1. Результатом своєї роботи вважаю, що я ..А. Разібрався в теорії.

В. Навчився розвязувати задачі.С. Повторив весь раніше вивчений матеріал.

2. Що вам не вистачало на уроці при розвязуванні задач?

А. Знань. Б. Часу. С. Бажання. Д. Розвязував нормально.

3. Хто допомагав вам в подоланні труднощів на уроці?

А. Однокласники. Б. Учитель.

С. Підручник. Д. Ніхто.

Дякую за співпрацю Дякую за співпрацю іі

до зустрічі !до зустрічі !

Література

Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика. 5-12 класи.- К.: Ірпінь, 2005.

Кравчук В., Підручна М., Янченко Г. Алгебра:Проб. Підруч. Для 9 кл./За ред. З.І. Слепкань.- Тернопіль: Підручники і посібники, 2003.

Бевз Г.П. Алгебра: Проб. підруч. Для 7-9 кл. – К.:Освіта, 2000. Мальований Ю.І., Литвиненко Г.М., Возняк Г.М. Алгебра:

Підруч. для 9 кл. – Тернопіль: навчальна книга - Богдан, 2009. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з

алгебри. 9 клас/ М.І.Бурда, О.Я.Біляніна, О.П.Вашуленко, Н.С.Прокопенко. - Х.:Гімназія, 2007.

• Журнал « Все для вчителя» № 22-23, 2003. Газета « Математика» № 2, 3 2002; № 2,3 ;2003, № 6,

2004 ; № 2, 14, 2005; № 6 2007.