如图为一水平传送带示意图，绷紧的传送带 AB始终保持 v=4m/s 恒定速率运行，以质量为 m=4kg

的行李无处速度的放在 A 处，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动，随后行李又以传送带的速度做匀加速直线运动。设行李与传送带

间的动摩擦因数 u=0.1 ， AB 间距离 L=12 （ g=10m/s2 ）

在水平向右运动的小车上，有一倾角在水平向右运动的小车上，有一倾角 θ=37θ=3700

的光滑斜面，质量为的光滑斜面，质量为 mm 的小球被平行于斜面的小球被平行于斜面的细绳系住而静止于斜面上，如图所示。当的细绳系住而静止于斜面上，如图所示。当小车以⑴小车以⑴ aa11=g, ⑵a=g, ⑵a22=2g =2g 的加速度水平向右的加速度水平向右运动时，绳对小球的拉力及斜面对小球的弹运动时，绳对小球的拉力及斜面对小球的弹力各为多大？力各为多大？

θ

a

例例题题分分析析

解：

G

FN F

易见 ：易见 ：支持力支持力 FFN N 随加速度随加速度 a a 的增大而减小的增大而减小

当当 a=gcotθ= 4g/3 a=gcotθ= 4g/3 时，支持力时，支持力 FFN N =0=0

小球即将脱离斜面小球即将脱离斜面

则沿则沿 xx 轴方向 轴方向 Fcosθ-FFcosθ-FNNsinθ=masinθ=ma

沿沿 yy 轴方向 轴方向 Fsinθ+FFsinθ+FNNcosθ=mgcosθ=mg

θ

取小球为研究对象并受力分析，建立正交坐标系取小球为研究对象并受力分析，建立正交坐标系

将 将 aa11=g =g 、、 aa22=2g =2g 分别代入分别代入

得得 aa11=g=g 时：时： F=7mg/5 F=7mg/5 ；； FFNN=mg/5=mg/5

aa22=2g=2g 时：时： F= 11mg/5 F= 11mg/5 ；； FFNN==--2mg/52mg/5x

y a

例例题题分分析析

例例题题分分析析

支持力支持力 FFNN 随加速度随加速度 a a 的增大而减小 的增大而减小 当当 a=gcotθ= 4g/3a=gcotθ= 4g/3 时，支持力时，支持力 FFN N =0=0 小球即小球即将脱离斜面将脱离斜面

当小车加速度当小车加速度 a> 4g/3a> 4g/3 时，小球已飘离斜时，小球已飘离斜面，如图所示得面，如图所示得

22 gamF

G

F

ma

θ

a

5

将 a=a2=2g 代入得

F= mg

【【小结小结】】 相互接触的两个物体将要脱离的相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是相互作用的弹力刚好为零。临界条件是相互作用的弹力刚好为零。

例例题题分分析析

拓展：拓展：上述问题中，若小车向左加速运动 ，上述问题中，若小车向左加速运动 ，试求加速度试求加速度 a=ga=g 时的绳中张力。时的绳中张力。

θ

aFN

G

F

简析：

x

y

则沿 x 轴方向 FNsinθ - Fcosθ =ma

沿 y 轴方向 FNcosθ + Fsinθ=mg

将 a=g 代入

得 　 F= －－ 0.2mg

　 FN=1.4mg

例例题题分分析析

例例题题分分析析

拓展：拓展：上述问题中，若小车向左加速运动 ，上述问题中，若小车向左加速运动 ，试求加速度试求加速度 a=ga=g 时的绳中张力。时的绳中张力。

θ

aFN

G

F

简析：

x

y

则沿 x 轴方向 FNsinθ - Fcosθ =ma

沿 y 轴方向 FNcosθ + Fsinθ=mg

将 a=g 代入

得 　 F= －－ 0.2mg

　 FN=1.4mg

例例题题分分析析

F 的负号表示绳已松弛，故 F=0

此时 a=gtan θ=3g/4

而 a =g ，故绳已松弛，绳上拉力为零[[ 小结小结 ]] 绳子松弛的临界条件是：绳绳子松弛的临界条件是：绳中拉力刚好为零。 中拉力刚好为零。

解解决决临临界界问问题题的的基基本本思思路路

（（ 11 ）认真审题，仔细分析研究对象所经）认真审题，仔细分析研究对象所经历的变化的物理过程， 找出历的变化的物理过程， 找出临界状态临界状态。。

（（ 22 ）寻找变化过程中相应物理量的变化）寻找变化过程中相应物理量的变化规律，找出规律，找出临界条件临界条件。。

（（ 33 ）以）以临界条件临界条件为突破口，列为突破口，列临界方程临界方程，，求解问题。求解问题。

AA 、、 BB 两个滑块靠在一起放在光滑水平 两个滑块靠在一起放在光滑水平 面上，其质量分别为面上，其质量分别为 2m2m 和和 m,m, 从从 t=0t=0 时刻时刻起，水平力起，水平力 FF11 和和 FF22 同时分别作用在滑块同时分别作用在滑块 AA和和 BB 上，如图所示。已知上，如图所示。已知 FF11== （（ 10+4t10+4t ）） N,N, F F22=(40-4t)N,=(40-4t)N, 两力作用在同一直线上，两力作用在同一直线上，求滑块开始滑动后，经过多长时间求滑块开始滑动后，经过多长时间 AA 、、 BB发生分离？发生分离？

A BF2 F1

练练习习

解 ：由题意分析可得解 ：由题意分析可得 两物体分离的临界条件是：两物体分离的临界条件是：两物体之两物体之间刚好无相互作用的弹力间刚好无相互作用的弹力，且此时两物体，且此时两物体仍具有相同的加速度。仍具有相同的加速度。 分别以分别以 AA 、、 BB 为研究对象，水平方向为研究对象，水平方向受力分析如图受力分析如图 由牛顿第二定律得 由牛顿第二定律得

FF11=ma F=ma F22=2ma=2ma

则 则 FF22=2 F=2 F11

即即 (40-4t) =2(10+4t(40-4t) =2(10+4t ））解得 解得 t=5/3 (s)t=5/3 (s)

BB

F1

B

AF2

a

a

练练习习

有一质量有一质量 M=4kgM=4kg 的小车置于光滑水平桌面上，在的小车置于光滑水平桌面上，在小车上放一质量小车上放一质量 m=6kgm=6kg 的物块，动摩擦因素的物块，动摩擦因素 µ=0.µ=0.2,2, 现对物块施加现对物块施加 F=25NF=25N 的水平拉力的水平拉力 ,, 如图所示，如图所示，求小车的加速度？（设车与物块之间的最大静摩求小车的加速度？（设车与物块之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力且擦力等于滑动摩擦力且 gg 取取 10m/s10m/s22))

则两者保持相对静止的最大加速度为 则两者保持相对静止的最大加速度为 aamm=f=fmm/M= µmg/M=3m/s/M= µmg/M=3m/s22

Fm

M

解：解：当木块与小车之间的摩擦力达最大静摩擦当木块与小车之间的摩擦力达最大静摩擦力时，对小车水平方向受力分析如图力时，对小车水平方向受力分析如图

M fm

练练习习

再取整体为研究对象受力如图再取整体为研究对象受力如图m

M

而而 F=25N <FF=25N <Fmm

木块与小车保持相对静止木块与小车保持相对静止

得得：： FFmm=(M+m) a=(M+m) amm=30N=30N

故系统的加速度故系统的加速度 a=F/(M+m)=2.5 m/sa=F/(M+m)=2.5 m/s22

Fm

练练习习

小结：小结：存在静摩擦的连接系统，当系统外力大存在静摩擦的连接系统，当系统外力大于最大静摩 擦力时，物体间不一定有相对滑于最大静摩 擦力时，物体间不一定有相对滑动。 相对滑动与相对静止的临界条件是：动。 相对滑动与相对静止的临界条件是：

静摩擦力达最大值静摩擦力达最大值

如图所示，质量均为如图所示，质量均为 MM 的两个木块的两个木块 AA 、、 BB 在水平力在水平力FF 的作用下，一起沿光滑的水平面运动，的作用下，一起沿光滑的水平面运动， AA 与与 BB 的的接触面光滑，且与水平面的夹角为接触面光滑，且与水平面的夹角为 60°60° ，求使，求使 AA 与与BB 一起运动时的水平力一起运动时的水平力 FF 的范围。的范围。

课课后后练练习习

A B﹚60°

F

分析：分析：当水平推力当水平推力 FF 很小时，很小时， AA 与与 BB 一起作匀加一起作匀加速运动，当速运动，当 FF 较大时，较大时， BB 对对 AA 的弹力竖直向上的的弹力竖直向上的分力等于分力等于 AA 的重力时，地面对的重力时，地面对 AA 的支持力为零，的支持力为零，此后，物体此后，物体 AA 将会相对将会相对 BB 滑动。显而易见，滑动。显而易见，本题本题的临界条件就是的临界条件就是水平力水平力 FF 为某一值时，恰好使为某一值时，恰好使 AA沿沿 ABAB 面向上滑动，即物体面向上滑动，即物体 AA 对地面的压力恰好对地面的压力恰好为零为零 ..

解：解：当水平力当水平力 FF 为某一值时，为某一值时，恰好使恰好使 AA 沿沿 ABAB 面向上滑动，面向上滑动，即物体即物体 AA 对地面的压力恰好为零，受力分析如图对地面的压力恰好为零，受力分析如图对整体： ①对整体： ①隔离隔离 AA ： ②： ② ③ ③ ④ ④联立上式解得： 联立上式解得： ∴ ∴ 水平力水平力 FF 的范围是：的范围是： 00 ＜＜ F≤F≤

MaF 20AN

MaNF 60sin

060cos MgN

MgF 32

Mg32

﹚60°

F

G

N

一个物体沿摩擦因数一定的斜面加速下滑，一个物体沿摩擦因数一定的斜面加速下滑，下列图象，哪个比较准确地描述了加速度下列图象，哪个比较准确地描述了加速度 aa与斜面倾角与斜面倾角 θθ 的关系？的关系？

解：解：设摩擦因数为设摩擦因数为 μμ ，则，则 a=gSinθ-μgCosθa=gSinθ-μgCosθ 做如下几种假设：做如下几种假设： 当当 θ=0θ=000 时，物体静止在水平面上，时，物体静止在水平面上， a=0a=0 当当 θ=arctgμθ=arctgμ 时，物体开始匀速下滑，时，物体开始匀速下滑， a=0a=0 当当 θ>arctgμθ>arctgμ 时，物体加速下滑，时，物体加速下滑， a>0a>0 当当 θ=90θ=9000 时，时， F=μmgCos90F=μmgCos9000=0=0 ，加速度达到极，加速度达到极限限

值，值， a=ga=g 即物体做即物体做自由落体运动。自由落体运动。

综上假设，不难判断出“综上假设，不难判断出“ DD””答案是合理的。答案是合理的。

练练习习

如图示，质量为如图示，质量为 M=2KgM=2Kg 的木块与水平地面的木块与水平地面的动摩擦因数的动摩擦因数 μ=0.4μ=0.4 ，木块用轻绳绕过光滑，木块用轻绳绕过光滑的定滑轮，轻绳另一端施一大小为的定滑轮，轻绳另一端施一大小为 20N20N 的恒的恒力力 FF ，使木块沿地面向右做直线运动，定滑，使木块沿地面向右做直线运动，定滑轮离地面的高度轮离地面的高度 h=10cmh=10cm ，木块，木块 MM 可视为质可视为质点，问木块从较远处向右运动到离定滑轮多点，问木块从较远处向右运动到离定滑轮多远时加速度最大？最大加速度为多少？远时加速度最大？最大加速度为多少？

练练习习

F

解：设当轻绳与水平方向成角解：设当轻绳与水平方向成角 θθ 时，对时，对 MM 有有 Fcosθ-μ(Mg-Fsinθ)=MaFcosθ-μ(Mg-Fsinθ)=Ma 整理得：整理得： F(cosθF(cosθ ＋＋ μsinθ)-μMg=Maμsinθ)-μMg=Ma 令令 (cosθ(cosθ ＋＋ μsinθ)=A μsinθ)=A ，，可知，当可知，当 AA 取最大值时取最大值时aa 最大。利用三角函数知识有最大。利用三角函数知识有：：

练练习习

F

cmhs

smgM

Fa

A

A

25cot

/8.61

21.81

1arcsin90

,1

1

1arcsin),sin(1

22

max

0

2

0

2max

2

2

平距离为：此时木块离定滑轮的水

＋：所以加速度的最大值为

＋－＝

与此相对应的角为＋而

＋＝其中

常常见见临临界界条条件件归归纳纳

临 界 情 况临 界 情 况 临 界 条 件临 界 条 件速度达到最大速度达到最大 物体所受合外力为零物体所受合外力为零刚好不相撞刚好不相撞 两物体最终速度相等两物体最终速度相等

或者接触时速度相等或者接触时速度相等刚好不分离刚好不分离 两物体仍然接触、弹力为零 两物体仍然接触、弹力为零

原来一起运动的两物体分离时不只弹原来一起运动的两物体分离时不只弹力为零且速度和加速度相等力为零且速度和加速度相等

运动到某一极端位置运动到某一极端位置 物体滑到小车一端时与小车的速度刚物体滑到小车一端时与小车的速度刚好相等好相等物体刚好滑出（滑不出）小车物体刚好滑出（滑不出）小车

刚好运动到某一点（“最高刚好运动到某一点（“最高点”）点”）

到达该点时速度为零到达该点时速度为零

两个物体距离最近（远）两个物体距离最近（远） 速度相等速度相等动与静的分界点动与静的分界点刚好不上（下）滑；保持物体刚好不上（下）滑；保持物体静止在斜面上的最小水平推静止在斜面上的最小水平推力；拉动物体的最小力力；拉动物体的最小力

静摩擦力为最大静摩擦力，物体平衡静摩擦力为最大静摩擦力，物体平衡

关于绳的临界问题关于绳的临界问题绳刚好被拉直绳刚好被拉直 绳上拉力为零绳上拉力为零绳刚好被拉断绳刚好被拉断 绳上的张力等于绳能承受的最大拉力绳上的张力等于绳能承受的最大拉力

三类临界问题的临界条件三类临界问题的临界条件（（ 11 ）相互接触的两个物体将要脱离的临界条件）相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是： 是：

（（ 22 ）绳子松弛的临界条件是：）绳子松弛的临界条件是：

（（ 33 ）存在静摩擦的连接系统，当系统外力大于）存在静摩擦的连接系统，当系统外力大于最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动，相最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动，相对滑动与相对静止的临界条件是：对滑动与相对静止的临界条件是：

课课堂堂总总结结

相互作用的弹力为零相互作用的弹力为零

绳中拉力为零绳中拉力为零

静摩擦力达最大值静摩擦力达最大值

（（ 11 ）认真审题，仔细分析研究对象所经历的）认真审题，仔细分析研究对象所经历的变化的物理过程，找出临界状态。变化的物理过程，找出临界状态。

（（ 22 ）寻找变化过程中相应物理量的变化规）寻找变化过程中相应物理量的变化规律，找出临界条件。律，找出临界条件。

（（ 33 ）以临界条件为突破口，列临界方程，求）以临界条件为突破口，列临界方程，求解问题。解问题。

解决临界问题的基本思路课课堂堂总总结结