擔保債權憑證 (CDO) 等級間之違約相關性研究

嘉義大學管理研究所陳惠美 副教授

信用型衍生性金融商品 :

廣義定義 :

• 主要是用在轉移、規避或是管理信用風險。

• 其報酬主要是取決於信用風險因子。

狹義定義 :

• 信用型衍生性金融商品是一種信用型證券，其報 酬視信用違約事件的發生而不同。• 信用違約事件被定義為與參考信用主體 (reference credit ) 有關，參考信用資產是由參考信用主體發 行。• 若發生信用違約事件，其中交易雙方 的一方會支付給其對手所謂「違約支付」 (default payment) 。

信用風險種類

• 到期風險 (Arrival risk ) — 違約是否會發生⇒ 違約的機率

• 時間風險 (Timing risk) — 違約發生時間

• 回復風險 (Recovery risk) — 損失嚴重的程度⇒ 回復率的機率分配

• 市場風險 (Market risk) — 因信用事件造成資產市價的波動 • 違約相關風險 (Default correlation risk) — 多個債務人的違約風險 ⇒ 聯合到期風險，聯合時間風險

信用型衍生性金融商品的角色 簡單來說，信用型衍生性金融商品是透過契約協定，將雙方信用風險轉移掉的一種方式。

信用型衍生性金融商品讓使用者能夠 : 規避 和 / 或 減緩信用曝險 ; 轉移信用風險 , 產生槓桿作用或增加利潤 , 將傳統證券中的風險分離開來 , 綜合性地創造貸款或債券，以來代替那些沒有發行於市場上

之不同到期日的實體商品。 更主動管理投資組合中隱含的風險 , 管理法定資本比例 (regulatory capital ratios)

為何要使用信用型衍生性金融商品 賣方 : 由於信用風險可被獨自分離，可期待

有更高出價。 買方 : 銀行管理貸款的工具，透過信用型衍

生性金融商品維持重要的客戶關係及消除信用風險。

買方 : 當標的資產不能輕易地被轉移時，也可消除掉信用風險。

風險解構(Risk disaggregation)

利率 風險

波動 風險

FXrisk

信用風險

一般常見的信用事件 破產倒閉、無力償債或是違約支付；參考信用資產 (reference asset) 約定價格　

的降低；　　參考資產的評等下降。

信用違約金融交換交易 (CDS)

Plain vanilla CDS 架構圖 :

信用保障提供人

信用保障承買人

信用違約支付(100% 回復率 )

只有在信用事件發生時

持有一個風險性債券

每年 140

CDS的價格

擔保債權憑證 (CDO) 信用衍生性金融商品 (credit derivatives) 將具違約性風險資產匯整成資產池（ asset

pool ），經由證券化及信用加強過程，以發行各種等級（ tranches ）及面額較小的債券，供市場一般投資者投資，藉由證劵化的方式，除了可移轉與分散違約風險給市場投資者外，同時也可促進市場交易的流動性。

是近年來成長極為迅速的證劵化商品 。

借款人 (obligator)

貸款承做機構 ( 債權資產出售人originator)

特殊目的公司 (SPV) 信用增強信評機構

證券承銷

投資人

資產證券化之參與者及架構

CDO 結構圖

依資產組合內 (Asset pool) 不同類型資產所占的比重區分， C D O 又可分為擔保債券憑證 (Collateralized Bond Obligations, CBO) 和擔保貸款憑證 (Collateralized Loan Obligations, CLO)

CBO 群組資產的組成有較高比率為債券性質，而 CLO 背後支撐的絕大部分為銀行貸款債權。

目前台灣已發行的金融資產證券化當中，已有 CLO 的產品，例如：台灣工銀所發行的幾檔企業貸款證券化商品即屬於此類，但仍缺乏 CBO 類的產品。

CBO vs CLO

傳統 CDO 架構

A portfolioOf CDS

$1 billion notional

SPV

(Unfunded) Super SeniorCDS ($830M)

Trache:Class AAA($45M)Class AA($30M)Class A- ($25M)

Class BBB+($30M)Class BBB-($20M)

Equity ($20M)

Credit Support Account($170M)

CDS premium

Credit Protection Interest &

Principal

Proceeds of issuance

CDS premium

Proceeds of issuance Investment income

Synthetic CDO

Risk exposure

傳統 CDO 將後面所支撐的債務工具，如銀行貸款債權，實際移轉出售給擔任風險隔離的第三者，亦即所謂的特殊目的機構 (SPV) ，整個架構為一「真實出售」， SPV 再據以發行不同信用品質的債券，故傳統 CDO 在風險移轉之外，亦可獲得籌資的利益。

「合成式 CDO 」為傳統 CDO 的衍生性商品，其將傳統 CDO 的架構作了一些改變，合成式 CDO 是由發起人 (Sponsor) 一群組貸款債權匯集包裝，稱為群組債權 (reference portfolio) ，並與 SPV 訂定信用違約交換合約 (credit default Swap, CDS) ，發起人則定期支付權利金 (premium) 。

合成式 CDO 不屬於真實出售，群組貸款債權並未出售給投資人，但透過一個類似債權保險的機制 (credit protection mechanism) ，創始機構可將其貸款的信用風險移轉給投資人。

上述的權利金與投資群組的利息，合起來作為支付 SPV 所發行的各系列債票券的利息，若群組中的貸款債權發生違約，則 SPV 需賣掉高信用品質的債券作為支付給發起人的金額，而這部分的損失則由 CDO 的投資者承擔。

Synthetic CDO

權益群組是第一個承受信用事件所引致損失，其次為 BBB-, BBB+,…, super AAA

Super AAA 投資人並不支付現金，但收取 CDS 權利金提供信用保護，這使得此 CDO 之資本結構更有效率

CDO 證券化之價金 ($170M) 通常投資在安全且流動度高的資產，成為信用增強之帳戶

投資人的收益率通常會高於投資一般債券

銀行貸款

63%

新興市場公司債或國家債券

高收益債券25%

其他結構性資產9%

CDO 資產池債權結構

CDO 的證券結構 CDO 的發行係以不同信用品質區分各系列證券。基

本上，分為高級（ Senior ）、中級（ Mezzanine ），和低級 / 次順位（ Junior /Subordinated ）三系列。另外尚有一個不公開發行的系列，多為發行者自行買回，相當於用此部分的信用支撐其他系列的信用，好像是股本的作用一般，故又稱為股本系列（ Equity Tranche )

當有損失發生時，由股本系列首先吸收，然後依次由低級、中級（通常信評為 B 水準）及高級系列（通常信評為 A 水準）承擔。

在許多文獻及實例中，將次順位債券稱為股本系列，亦即認為 CDO 結構分為高級、中級及股本系列。

以等級衡量 CDO之違約風險

影響 CDO 評價的重要參數 違約率（ default rate ） 違約相關（ default correlation ）

債權等級間違約之相依程度。 回復率（ recovery rate ）

當違約發生時，債權可獲得保護的比率

本研究欲探討 CDO 等級間之違約相關性，因此亦必須定義出各等級違約點及違約機率，以方便違約相關模型之撰寫。 CDO 的資產池是由 100 至 200 個貸款或債權所組成，不論資產池中評等高或低的債務人發生違約，皆依 Equity （ C ）、Mezzanine （ B ）、Senior （ A ）之順序來承擔其損失，故違約時點必定依循著之先後發生。

所關心的在於線性與非線性相關下，各等級違約相關性之變化，而不在於債務人違約時所造成 CDO 的損失嚴重性，因此本研究簡單的將違約點定義為「到期時，本金無法依契約完全歸還於投資人」，亦即回復率為 0 。

本研究以模擬的方式，以 Copula function探討不同相依結構之等級間的違約相關程度如何影響各等級間之違約機率，進而影響 CDO之評價。

違約邊際機率 假設為第 i 個等級的違約時點 為連續且不為負之隨機

變數，涵蓋區間為，為一檔 CDO 之到期日。假設之累積分配函數為：

則此等級違約時點超過之機率，即為其存活函數：

]1,0[ }1 ;0 inf{)(

0,

1

UUtFtUt

TtttPtF

iiiiii

ii

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TttFttPtS iii 0,1

t i

Cont. Hazard-rate function

)(

)('

)(1

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xS

xS

xF

xfxh

tdssh

etS 0)(

)(

tdssh

etStF 0)(

1)(1)(

假設在特定時間間隔 [x,x+1] ， hazard rate 為常數 h ，可得違約機率之 PDF 如下所示：

hthdshehethtStf

t

0)()()(

Copula function

Copula是一個由多維變數映射至均勻分配(Uniform distribution)的函數，其符號以表示，且滿足以下三個條件：

1. 2. C具有 grounded且遞增的特性 3. C的所有邊際函數滿足

]1,0[]1,0[: nC

iii uuCuC )1,...,1,,1,...,1()( ]1,0[iu

Sklar Theorem 若已知為 n 維連續型隨機變數，且為連續且

遞增的邊際累積機率分配，而是一個 n 維的累積機率分配函數，則我們可以找到唯一的Copula 使得：

))(),...,((

,,

,,),...,(

11

1111

111

nn

nnnn

nnn

xFxFC

xFXFxFXFP

xXxXPxxF

相依關係 以 Copula function 定義相依關係 (depen

dence structure) 本研究採用

Gaussian copula ( 線性相依關係 )

Clayton copula( 非線性相依關係 )

));(),(),((),,( 111 CBACBA

G uuuuuuC

0)2(),,(1

CBACBA uuuuuuC

模擬之根據 根據 Sklar’s 定理，若代表 CDO 各等級的

違約時點 ，則 CDO 等級之違約時點聯合機率分配為：

i

CCBBAACBA FFFCF ,,),,(

1,0),(1 iiii UUF

CBA

CCCBBBAAACCBBAA

UUUC

UFFUFFUFFCUFUFUFF

,,

)(,)(,)()(),(),( 111111

模擬之根據 假設違約事件符合 Possion process 違約時點 ti 之累積機率函數 :

tt t )/()1ln(

CB,A,i )exp(1

CBA

iiUi

tititPt

iF

t

1. 計算的 Cholesky decomposition B ，即 BB’=Σ2. 從 N(0,1) 中模擬一組獨立隨機變數 z 。3. 令 x=Bz’ 。4. 令 ui=Φ(x) ，其中 i=A,B.C ，且Φ代表單維標準常態

分配函數。5. 令

'' ))(),(),((),,( CCBAAACBA FFFuuuU

Gaussian 所模擬之（相關係數分別為 0.1 、 0.5 、 0.9 ）

註：數字為模擬一萬次中，各等級違約的次數。若 A 等級遭受違約，代表資產池 中的標的物遭遇嚴重的信用事件，導致 A 等級投資者權益受損。

C 等級由 Gaussian Copula 所模擬出的違約次數皆比 Clayton Copula 為高。可見相較於 Clayton Copula ， Gaussian Copula 高估 C 等級的違約次數，因此有低估 C 等級價值的可能性。

B 等級在相同到期日的假設下，由 Clayton Copula 所模擬出的違約次數大致比 Gaussian Copula 為高，在到期日為五、七、十年及在特定相關係數的假設下， Gaussian Copula 則呈現了更大的違約風險。可見到期日愈短， Clayton Copula 所模擬出的稀少信用事件則愈明顯，此時 Gaussian Copula 會低估 B 等級的違約次數，有高估 B 等級價值的可能性。反之，到期日愈長， Gaussian Copula 愈有高估 B 等級的違約次數，而低估 B 等級價值的可能性。

A 等級除了在到期日為一年的假設下，兩 Copula 皆無法模擬出稀少的違約事件，在其他到期日相同的假設下， Clayton Copula 皆能模擬出明顯高於 Gaussian Copula 的違約次數。可見 Clayton Copula 較能模擬出嚴重的稀少信用事件，此時 Gaussian Copula 會低估 A 等級的違約次數，因此有高估 A 等級價值的可能性。

隨著到期日的增長，相依結構在 Clayton 的模擬之下，違約次數曲線明顯較 Gaussian 趨近，可見等級間之違約為非線性相關時，較能呈現厚尾的違約相關性。

隨著相關係數或相關參數的增加，相依結構在Clayton 的模擬之下，違約次數曲線明顯較 Gaussian 趨近，可見等級間之違約為非線性相關時，較能呈現厚尾的違約相關性。

結論 模擬結果發現， Clayton Copula 較能模擬出稀少的違約事件，

而 Gaussian Copula 能呈現較常發生的違約事件。 CDO 各等級之違約次數將受到期日與相關係數或相關參數的影

響， Clayton 所模擬結果的趨勢明顯較 Gaussian 還高，表示在相

依結構為非線性相關下，其違約相關性明顯較線性相關高。因此在衡量信用風險時，使用 Clayton Copula 能模擬出更多嚴重的稀少違約事件，證實了 Clayton Copula 較 Gaussian Copula 能表現出尾端相依的違約事件。

等級間違約之相依關係採用「線性」或「非線性」的假設，會影響 CDO 之評價。