수학영역 기하와 벡터 정답과...

정답과 해설

수학영역

기하와벡터

(01~40)1단원(해설)indd 1 15 7 14 오전 1037

2 정답과 해설

Ⅰ 평면 곡선

01 점 P의 좌표를 (x y)라고 하면

AtildexUcirc`+(y-1) Ucirc`=|y-(-1)|

양변을 제곱하여 정리하면

xUcirc`+yUcirc`-2y+1=y Ucirc`+2y+1

there4 xUcirc`=4y 답 I ①


frac34ETH(x-2)Ucirc`+y-2Ucirc=|y-2|


xUcirc`-4x+4+yUcirc`-3y+4(=yUcirc`-y+4

there4 xUcirc`-4x-2y+6=0

위의 식에 x=0을 대입하면

-2y+6=0 there4 y=3

따라서 점 P가 나타내는 도형이 y축과 만나는 점의 좌표

는 (0 3)이다 답 I ③


Atilde(x-3)Ucirc`+yUcirc`=|x-1|


xUcirc`-6x+9+yUcirc`=xUcirc`-2x+1

there4 yUcirc`=4(x-2) yy

즉 점 P는 포물선 yUcirc`=4(x-2) 위의 점이므로

xfrac342

한편 원점과 점 P 사이의 거리가 26이므로

AtildexUcirc`+yUcirc`=26 x Ucirc`+yUcirc`=24

there4 yUcirc`=24-xUcirc` yy

을 에 대입하면

24-xUcirc`=4(x-2) xUcirc`+4x-32=0

(x+8)(x-4)=0

there4 x=4 (∵ xfrac342) 답 I ⑤

04 초점이 F(2 0)이고 꼭짓점이 원점인 포물선의 방정식은

yUcirc`=4_2_x=8x

이 포물선이 점 (k -4)를 지나므로

16=8k

there4 k=2 답 I 2

포물선01

01 ① 02 ③ 03 ⑤ 04 2 05 ④ 06 ②

07 2 08 ② 09 ④ 10 54 11 11 12 ③

대표 문제 연습 6쪽 ~ 9쪽

05 초점이 F(a 0)이고 준선이 x=-a인 포물선의 방정식

은 yUcirc`=4ax

이 포물선이 점 (a 1)을 지나므로

1=4aUcirc` aUcirc`=4

there4 a=2 (∵ agt0) 답 I ④

06 초점이 F0 2이고 준선이 y=-2인 포물선의 방정

식은 xUcirc`=4_2_y=2y

이 포물선이 점 A(2 a)를 지나므로

4=2a there4 a=2

there4 A(2 2)

따라서 두 점 F0 2 A(2 2)를 지나는 직선 AF의

방정식은

y-2=2-2142142-0 (x-2) 즉 y=4x+2

이므로 구하는 x절편은

0=4x+2 there4 x=-3 답 I ②

07 포물선 xUcirc`=4y=4_1_y의 초점을 F라고 하면

F(0 1)

원 (x-2)Ucirc`+(y-5)Ucirc`=9의 중심을 C라고 하면

C(2 5)

따라서 구하는 실수 m은 직선 FC의 기울기이므로

m=5-1142332-0=2 답 I 2

08 xUcirc`-2x+4y+9=0에서

xUcirc`-2x+1=-4y-8

(x-1)Ucirc`=-4(y+2) yy

이므로 포물선 은 포물선 xUcirc`=-4y를 x축의 방향으로

1만큼 y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다

이때 포물선 x Ucirc`=-4y=4_(-1)_y의 초점의 좌표는

(0 -1) 준선의 방정식은 y=1 꼭짓점의 좌표는 (0 0)

이다

따라서 주어진 포물선의 초점의 좌표는 (1 -3) 준선의

방정식은 y=-1 꼭짓점의 좌표는 (1 -2)이므로

a=1 b=-3 c=-1 d=1 e=-2

there4 a+b+c+d+e=-4 답 I ②

09 포물선 (x-1)Ucirc`=4y=4_1_y의 초점 FAacute의 좌표는

FAacute(0+1 1) 즉 FAacute(1 1)

또 포물선 yUcirc`=-12x=4_(-3)_x의 초점 Fordf의 좌표

는 Fordf(-3 0)이므로

FOtildeAacuteFordfOacute=Atilde(-3-1)Ucirc`+(0-1)Ucirc`=para17 there4 FOtildeAacuteFordfOacute Ucirc`=17 답 I ④

(01~40)1단원(해설)indd 2 15 7 14 오전 1037

I 평면 곡선 3

10 포물선의 정의에 의하여

POtildePOacute=PFOacute QOtildeQOacute=QFOacute

there4 PPQQ=2_(POtildePOacute+QOtildeQOacute)_POtildeQOacute

=2_(PFOacute+QFOacute)_POtildeQOacute

=2_PQOacute_POtildeQOacute

=2_12_9=54 답 I 54

11 포물선 yUcirc`=8x=4_2_x의 초점의 좌표는 (2 0) 준선

의 방정식은 x=-2이다

오른쪽 그림과 같이 두 점 A y=8x

x=-2

x

y

O F2`0B

AP P

QQ

-2

B에서 준선 x=-2에 내린

수선의 발을 각각 P Q이라

고 하면 포물선의 정의에 의

하여

AFOacute =AOtildePOacute=APOacute+2

=5+2=7

BFOacute=BOtildeQOacute=BQOacute+2=2+2=4

there4 ABOacute=AFOacute+BFOacute=7+4=11 답 I 11

12 포물선 yUcirc`=12x=4_3_x의 초점 F의 좌표는 F(3 0)

준선의 방정식은 x=-3이다

오른쪽 그림과 같이 서로 다 y=12x

x=-3

x

y

O F3`0

C

AA

BC

B-3

른 세 점 A B C에서 포물선

의 준선에 내린 수선의 발을

각각 A B C이라고 하면

포물선의 정의에 의하여

AFOacute=AOtildeAOacute BFOacute=BOtildeBOacute

CFOacute=COtildeCOacute

이 포물선 위의 세 점 A B C의 x좌표를 순서대로 xAacute

xordf xpound이라고 하면 준선의 방정식이 x=-3이므로

AOtildeAOacute=xAacute+3 BOtildeBOacute=xordf+3 COtildeCOacute=xpound+3

이때 AFOacute+BFOacute+CFOacute=12이므로

(xAacute+3)+(xordf+3)+(xpound+3)=12

there4 xAacute+xordf+xpound=3

따라서 삼각형 ABC의 무게중심의 x좌표는

xAacute+xordf+xpound142331113

=1 답 I ③


Atildex-(-1)Ucirc`+(y-2)Ucirc`=|x-1|

01 ⑤ 02 ③ 03 ② 04 10 05 ④ 06 ①

07 ① 08 ③ 09 ① 10 6

실력 다지기 10쪽 ~ 11쪽


xUcirc`+2x+1+yUcirc`-4y+4=xUcirc`-2x+1

there4 (y-2)Ucirc`=-4x yy

x=a y=4를 에 대입하면

(4-2)Ucirc`=-4a there4 a=-1

x=b y=8을 에 대입하면

(8-2)Ucirc`=-4b there4 b=-9

there4 ab=9 답 I ⑤

02 두 점 A(2 -1) B(4 1)을 이은 선분 AB의 중점의

좌표는

2+4142332 -1+11423312 즉 (3 0)

점 (3 0)을 초점으로 하고 원점을 꼭짓점으로 하는 포물

선의 방정식은

yUcirc`=4_3_x there4 yUcirc`=12x

이 포물선이 점 (a 2)를 지나므로

4=12a there4 a=3 답 I ③

03 ㄱ 포물선 xUcirc`-4x-4y=0에서

xUcirc`-4x+4=4y+4

there4 (x-2)Ucirc`=4(y+1)

따라서 주어진 포물선의 초점의 좌표는

(0+2 1-1) 즉 (2 0)

ㄴ 포물선 xUcirc`-6x-4y+21=0에서

xUcirc`-6x+9=4y-12

there4 (x-3)Ucirc`=4(y-3)


(0+3 1+3) 즉 (3 4)

ㄷ 포물선 yUcirc`-4x+4y+12=0에서

yUcirc`+4y+4=4x-8

there4 (y+2)Ucirc`=4(x-2)


(1+2 0-2) 즉 (3 -2)

따라서 초점이 (3 -2)인 포물선의 방정식은 ㄷ뿐이다

답 I ②

04 포물선 yUcirc`-4x+2y+1=0에서

yUcirc`+2y+1=4x there4 (y+1)Ucirc`=4x

이 포물선을 x축의 방향으로 m만큼 y축의 방향으로 n만

큼 평행이동한 도형의 방정식은

(y+1-n)Ucirc`=4(x-m) yy

한편 포물선 yUcirc`-4x-4y+8=0에서

yUcirc`-4y+4=4x-4

there4 (y-2)Ucirc`=4(x-1) yy

이때 이 일치하므로

1-n=-2 m=1 there4 m=1 n=3

there4 m Ucirc`+nUcirc`=10 답 I 10

(01~40)1단원(해설)indd 3 15 7 14 오전 1037

4 정답과 해설



오른쪽 그림과 같이 점 P(a b)

에서 준선에 내린 수선의 발을 H

라고 하면 포물선의 정의에 의하

여

PFOacute=PHOacute=3

즉 a+1=3이므로 a=2

이때 점 P(2 b)가 포물선 yUcirc`=4x 위의 점이므로

bUcirc`=4_2=8 there4 b=22 (∵ bgt0)

there4 ab=42 답 I ③

09 포물선 yUcirc`=x=4_4_x의 초점 F의 좌표는 F4 0


F R4

S

Q

PH

x

x=-1-4

- 1-4

1-4

y

y=x

O

위의 그림과 같이 점 P에서 준선에 내린 수선의 발을 H라

고 하면 포물선의 정의에 의하여 PHOacute=PFOacute=4이므로 점

P의 x좌표는

4-4=Aacute4deg

두 점 P Q에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 R S라고

하면 FPOacute=PQOacute이므로

FROacute=RSOacute

따라서 점 Q의 x좌표는

Aacute4deg+Aacute4deg-4=ordf4raquo 답 I ①



오른쪽 그림과 같이 점 P에서

준선에 내린 수선의 발을 H라고

하면 포물선의 정의에 의하여

PHOacute=PFOacute

there4 APOacute+ PFOacute=APOacute+PHOacute

이때 점 A에서 준선에 내린 수

선의 발을 H이라고 하면

APOacute+PFOacute=APOacute+PHOacute

frac34AOtildeHOacute

=4+2=6

따라서 구하는 최솟값은 6이다 답 I 6

y=4x

x=-1

x

y

O

H

-1 F1`0

Pa`b

3

HH

x

y

O-2

x=-2

y=8x

F2`0

A4`3P

05 포물선 xUcirc`=-8y=4_(-2)_y의 초점 F의 좌표는

F(0 -2)

점 F(0 -2)를 지나고 기울기가 1인 직선의 방정식은

y+2=x there4 y=x-2

포물선 xUcirc`=-8y와 직선 y=x-2의 교점의 x좌표는

xUcirc`=-8(x-2) xUcirc`+8x-16=0

there4 x=-4Ntilde42x=-4Ntilde42 를 y=x-2에 대입하면

y=(-4Ntilde42 )-2=-6Ntilde42따라서 두 교점 A B의 좌표를 A(-4+42 -6+42 )B(-4-42 -6-42 )라고 하면

ABOacute=Atilde(82)Ucirc`+(82)Ucirc`=16 답 I ④

06 포물선 yUcirc`=-4x=4_(-1)_x의 초점 F의 좌표는

F(-1 0)

포물선 yUcirc`=-4x 위의 한 점 P의 좌표를 (p q)라 하고

선분 PF의 중점 M의 좌표를 (x y)라고 하면

x=p-1142332

y=2Q

there4 p=2x+1 q=2y

점 P(p q)는 포물선 yUcirc`=-4x 위의 점이므로

(2y)Ucirc`=-4(2x+1)

4yUcirc`=-4(2x+1)

there4 yUcirc`=-(2x+1)

따라서 중점 M이 그리는 도형은 포물선 yUcirc`=-(2x+1)

이고 점 (a 1)이 이 포물선 위에 있으므로

1=-(2a+1) 2a=-2

there4 a=-1 답 I ①


준선 l의 방정식은 x=-3이다

이때 ACOacute=4이므로 점 A의 x좌표는 1이다

또 점 A의 y좌표는 yUcirc`=12에서

y=23 (∵ ygt0)

there4 A(1 23 )즉 두 점 F(3 0) A(1 23 )을 지나는 직선의 방정식은

y=23-014233141-3

(x-3)

there4 y=-3x+33포물선과 이 직선의 교점의 x좌표를 구하면

(-3x+33)Ucirc`=12x

3xUcirc`-18x+27=12x

xUcirc`-10x+9=0

(x-1)(x-9)=0

there4 x=1 또는 x=9

따라서 점 B의 x좌표는 9이므로

BDOacute=3+9=12 답 I ①

(01~40)1단원(해설)indd 4 15 7 14 오전 1037

I 평면 곡선 5

타원02

01 ② 02 28 03 ① 04 ① 05 ④ 06 32

07 ③ 08 ⑤ 09 25 10 11 11 ③ 12 14


01 두 초점이 F(5 0) F(-5 0)이므로 구하는 타원의

방정식을 xUcirc14aUcirc`

+ yUcirc14bUcirc`=1 (agtbgt0)이라고 하자

이 타원이 점 (3 0)을 지나므로

914aUcirc`

=1 there4 aUcirc`=9

there4 bUcirc`=aUcirc`-(5)Ucirc``=9-5=4

따라서 구하는 타원의 방정식은

xUcirc149 + yUcirc144 =1 답 I ②


AtildexUcirc`+(y-3)Ucirc`+AtildexUcirc`+(y+3)Ucirc`=8

there4 AtildexUcirc`+(y-3)Ucirc`=8-AtildexUcirc`+(y+3)Ucirc`


4AtildexUcirc`+(y+3)Ucirc`=3y+16

다시 양변을 제곱하여 정리하면

16xUcirc`+7yUcirc`=112 there4 xUcirc147 + yUcirc1416=1

따라서 aUcirc`=7 b=4 (bgt0)이므로

aUcirc`b=28 답 I 28

|다른 풀이|

두 점 F(0 3) F(0 -3)으로부터의 거리의 합이 8로

일정하므로 점 P가 나타내는 도형은 장축이 y축 위에 있

는 타원이다

즉 두 점 F F으로부터의 거리의 합이 8이므로

2b=8 there4 b=4

또 aUcirc`=bUcirc`-3Ucirc`=7이므로

aUcirc`b=28

03 점 P의 좌표를 (x y)라고 하면 APOacute+BPOacute=12이므로

Atilde(x-6)Ucirc`+(y-3)Ucirc`+Atilde(x+2)Ucirc`+(y-3)Ucirc`=12

there4 Atilde(x-6)Ucirc`+(y-3)Ucirc`=12-Atilde(x+2)Ucirc`+(y-3)Ucirc`


3Atilde(x+2)Ucirc`+(y-3)Ucirc`=2x+14


(x-2)Ucirc`1411236 +

(y-3)Ucirc`1411220 =1 답 I ①

04 타원 3xUcirc`+12yUcirc`=36 즉 xUcirc1412+

yUcirc143 =1에서 Auml12-3=3이

므로 두 초점의 좌표는 (3 0) (-3 0)

따라서 주어진 타원의 두 초점 사이의 거리는

3-(-3)=6 답 I ①

05 타원 xUcirc14aUcirc`+ yUcirc`141243a+4=1의 초점이 x축 위에 있고 장축의 길

이가 b이므로

b=2a (∵ agt0) yy

또 단축의 길이가 b-4이므로

b-4=2Auml3a+4 yy


2a-4=2Auml3a+4 즉 a-2=Auml3a+4


aUcirc`-7a=0 a(a-7)=0

there4 a=7 b=14 (∵ )

there4 a+b=21 답 I ④

06 타원 xUcirc14aUcirc`+

yUcirc1416=1의 두 초점 F F의 좌표는

F(AtildeaUcirc`-16 0) F(-AtildeaUcirc`-16 0)

there4 FOtildeFOacute=2AtildeaUcirc`-16

한편 타원 위의 점 P에 대하여 PFOacute=PFOacuteOtilde이므로 P(0 4)

이때 직각이등변삼각형 PFF에서

FFOacuteOacute Ucirc`=PFOacuteOacute Ucirc`+POtildeFOacute Ucirc`=2 PFOacuteOacute Ucirc`

즉 4(aUcirc`-16)=2(AtildeaUcirc`-16)Ucirc`+(-4)Ucirc`이므로

2aUcirc`=64 there4 aUcirc`=32 답 I 32

07 타원 xUcirc1416+

yUcirc`1412=1에서 Auml16-12=2이므로 두 초점의 좌

표는 (2 0) (-2 0)

오른쪽 그림과 같이

F(2 0) F(-2 0)이라

고 하면 타원의 정의에 의

하여

PFOacute+PFOacuteOacute=216=8

there4 (삼각형 PFF의 둘레의 길이)

=PFOacute+PFOacuteOacute+FOtildeFOacute

=8+2-(-2)=12 답 I ③


yUcirc1425=1의 장축의 길이는 2para25=10

타원의 정의에 의하여

PFOacute+PFOacuteOacute=10 yy

이때 PFOacutegt0 PFOacuteOacutegt0이므로 산술평균과 기하평균의 관계

에 의하여

PFOacute+PFOacuteOacutefrac342iquestsup1PFOacute_PFOacuteOacute

즉 에 의하여

2iquestsup1PFOacute_PFOacuteOacuteEacute10 there4 PFOacute_PFOacuteOacuteEacute25

따라서 PFOacute_PFOacuteOacute의 최댓값은 25이다 답 I ⑤

y

x

P

F-2`0

F2`0

2Acirc3

-2Acirc3

-4 4O

x-16y-12+ =1

(01~40)1단원(해설)indd 5 15 7 14 오전 1037

6 정답과 해설

09 타원xUcirc1425+yUcirc1416=1의장축의길이는225=10

타원의정의에의하여

FOtildePAacuteOacute+FOtildePAacuteOacute=FOtildePordfOacute+FOtildePordfOacute=FOtildePpoundOacute+FOtildePpoundOacute

=FOtildePcentOacute+FOtildePcentOacute=FOtildePdegOacute+FOtildePdegOacute

=10 yy한편중심이원점인타원은y축

에대하여대칭이므로

FOtildePdegOacute=FOtildePAacuteOacuteFOtildePcentOacute=FOtildePordfOacute

yy또점Ppound은타원과y축의양의

부분이만나는점이므로

FOtildePpoundOacute=FOtildePpoundOacute=2_10=5 yy

there4FOtildePAacuteOacute+FOtildePordfOacute+FOtildePpoundOacute+FOtildePcentOacute+FOtildePdegOacute

=FOtildePAacuteOacute+FOtildePordfOacute+FOtildePpoundOacute+FOtildePordfOacute+FOtildePAacuteOacute(∵)

=(FOtildePAacuteOacute+FOtildePAacuteOacute)+(FOtildePordfOacute+FOtildePordfOacute)+FOtildePpoundOacute

=10+10+5=25(∵ ) 답 I 25

10 타원 xUcirc1436+yUcirc1411=1에서Auml36-11=5이므로두초점의좌

표는(5 0)(-5 0)

이때FOtildeFOacute=10이고장축의길이는236=12

PFOacute=mPFOacuteOacute=n이라고하면타원의정의에의하여

m+n=12 yy

한편FFOacuteOtilde은원의지름이므로angFPF=2Ograve

즉직각삼각형PFF에서mUcirc`+nUcirc`=FOtildeFOacutethinspUcirc`

(m+n)Ucirc`-2mn=100

144-2mn=100(∵)

2mn=44 there4mn=22

따라서직각삼각형PFF의넓이는

2mn=2_22=11 답 I 11

11 타원4xUcirc`+9yUcirc`-8x-32=0에서

4(x-1)Ucirc`+9yUcirc`=36 there4 (x-1)Ucirc`141129 + yUcirc144 =1

즉중심이(1 0)이고장축의길이가6단축의길이가4

인타원이다

오른쪽그림과같이중심이

i

ii

y

x-2

-2

4

2

1O

(1 0)이고반지름의길이가

r인원이이타원과서로다른

네점에서만나려면원이타원

에내접하는경우와외접하는

경우의사이에있어야한다

Uacute원이타원에내접할때원의지름의길이가타원의단축의길이와같으므로r=2

Ucirc원이타원에외접할때원의지름의길이가타원의장축의길이와같으므로r=3

O

y

xF

PiexclPcentPinfin PtradePpound

FF

x-25y-16+ =1

따라서실수r의값의범위는2ltrlt3 답 I ③

12 4개의원의반지름의길이가모두같으므로이반지름의길이를r라고하면

(장축의길이)=20-2r(단축의길이)=12-2r

즉타원의방정식은 xUcirc`141123(10-r)Ucirc`

+ yUcirc`14112(6-r) Ucirc`

=1

이타원의두초점의좌표는

(NtildeAtilde(10-r)Ucirc`-(6-r)Ucirc`thinsp0)

즉(Auml64-8rthinsp0)(-Auml64-8rthinsp0)

타원의두초점사이의거리가410이므로 Auml64-8r-(-Auml64-8r)=2Auml64-8r=410 64-8r=408r=24 there4r=3

따라서타원의장축의길이는

20-2r=20-6=14 답 I 14

01 4 02 ③ 03 ③ 04 ③ 05 ⑤ 06 ③

07 103 08 14 09 ④ 10 ①


01 타원5xUcirc`+4yUcirc`-20x+8y+4=0에서

5(x-2)Ucirc`+4(y+1)Ucirc`=20

there4(x-2)Ucirc`141124 +

(y+1)Ucirc`141125=1 yy

타원은타원xUcirc144 + yUcirc145 =1을x축의방향으로2만큼y축

의방향으로-1만큼평행이동한것이다

타원xUcirc144 + yUcirc145 =1에서Auml5-4=1이므로두초점의좌표는

(0 1)(0 -1)

이므로타원의두초점FF의좌표는

F(2 0)F(2 -2)(∵bgtd)

따라서a=2b=0c=2d=-2이므로

ab-cd=4 답 I 4

02 타원9xUcirc+16yUcirc=144즉xUcirc1416+yUcirc149 =1에서Auml16-9=7

이므로두초점의좌표는

(7 0)(-7 0)

타원xUcirc14aUcirc`+ yUcirc14

b Ucirc`=1의두초점의좌표도(7 0)(-7 0)

이므로

aUcirc`-bUcirc`=(7)Ucirc` yy

점(3 0)이타원xUcirc14aUcirc`+ yUcirc14

b Ucirc`=1위의점이므로

914aUcirc`=1 there4aUcirc`=9 yy

(01~40)1단원(해설)indd 6 15 7 20 오후 417

I 평면 곡선 7

을 에 대입하여 풀면

bUcirc`=2 there4 a=3 b=2 (∵ agt0 bgt0)


03 포물선 yUcirc`=8x=4_2_x의 초점의 좌표는 (2 0)

즉 점 (2 0)이 타원 xUcirc14aUcirc`+ yUcirc1412=1의 두 초점 중 하나이므

로 aUcirc`-12=2Ucirc` there4 aUcirc`=16

따라서 이 타원의 장축의 길이는 2para16=8 답 I ③

04 직선 y=3x-2의 y절편은 -2이므로

A(0 -2) bUcirc`=(-2)Ucirc`=4

이때 F(c 0) (cgt0)이라고 하면 직선 AF의 기울기가

3이므로

0-(-2)14111c-0 =3 there4 c=3

there4 aUcirc`=bUcirc`+cUcirc`=4+3Ucirc`=13

따라서 주어진 타원은 xUcirc1413+

yUcirc144 =1이므로 장축의 길이는

213이다 답 I ③

05 삼각형 ABC가 정삼각형이므로 삼각형 AFF도 정삼각

형이고 타원의 정의에 의하여

AFOacute+AFOacuteOtilde=2a OAOacute=b

이때 angAFO=60ugrave이고 AFOacute=AFOacuteOacute이므로

OOtildeAOacute=AFOacute sin 60ugrave

즉 b=31432 a이므로 aB= 31432 답 I ⑤

06 오른쪽 그림과 같이 주어

진 타원의 장축과 단축의

교점을 원점으로 하고 장

축을 x축 단축을 y축으로

하는 좌표평면에 나타내고

타원의 두 초점을 F F이

라고 하면 두 초점 사이의 거리가 102이므로

F(52 0) F(-52 0)

즉 타원의 방정식을 xUcirc14aUcirc`+ yUcirc14

bUcirc`=1 (agtbgt0)이라고 하면

aUcirc`-bUcirc`=(52)Ucirc`=50 yy

또 BDOacute는 장축 ACOacute는 단축이므로

BDOacute=2a ACOacute=2b there4 OAOacute=b ODOacute=a

마름모 ABCD의 한 변의 길이가 10이므로 직각삼각형

AOD에서 aUcirc`+bUcirc`=100 yy

을 연립하여 풀면 aUcirc`=75 bUcirc`=25

there4 a=53 b=5

따라서 마름모 ABCD의 넓이는

4_AOD=4_2_53_5=503 답 I ③

y

x

F-5Acirc2`0

F5Acirc2`0

BC

O D

Ax-a

y-b+ =1

07 PFOacute=m PFOacuteOtilde=n이라고 하면 타원의 정의에 의하여

m+n=10 yy

오른쪽 그림과 같이 점 F가

포물선의 초점이므로 포물

선의 준선 l은 점 F을 지

난다 이때 선분 PQ와 x축

의 교점을 C라고 하면 포물

선의 정의에 의하여 CFOacuteOtilde=m

PQOacute=2para10이므로 PCOacute=para10직각삼각형 PFC에서

mUcirc`+10=nUcirc` yy

을 연립하여 풀면

m=2( n=Aacute2Aacute

there4 PFOacute_PFOacuteOtilde=mn

=2(_Aacute2Aacute=raquo4raquo

따라서 p=4 q=99이므로 p+q=103 답 I 103


yUcirc`147 =1에서 Auml16-7=3이므로 두 초점의 좌표는

(3 0) (-3 0)

즉 F(3 0) F(-3 0)이

라고 하면 오른쪽 그림과 같다

타원 위의 점 P에 대하여

OPOacute=OFOacute이므로 점 P는 OPOacute

또는 OFOacute를 반지름으로 하는

원과 타원의 교점이다

이때 PFOacute=m PFOacuteOtilde=n이라고 하면 타원의 정의에 의하여

m+n=8

FFOacuteOtilde은 원의 지름이므로 직각삼각형 PFF에서

mUcirc`+nUcirc`=6Ucirc`

(m+n)Ucirc-2mn=36

64-2mn=36 2mn=28

there4 mn=14

there4 PFOacute_PFOacuteOtilde=mn=14 답 I 14

09 타원 xUcirc+ yUcirc149 =1에서 Auml9-1=22이므로 두 초점의 좌표는

(0 22) (0 -22) F(0 22) F(0 -22)라고 하면 FFOacuteOtilde을 지름으로 하

는 원은 중심이 (0 0) 반지름의 길이가 22인 원이므로

원의 방정식은 xUcirc`+yUcirc`=8이다

원과 타원의 교점의 x좌표를 구하면

xUcirc`+8-xUcirc`14129 =1 8x Ucirc`=1 there4 x=Ntilde 21444

yUcirc`=8-xUcirc`=curren8pound there4 y=Ntilde 3para1414144

즉 제 1 사분면의 교점 P의 좌표는 P 21444 3para1414144

yl

x

mn

Q

P

O-5 5AB

F FC

y

x

Acirc7

F F

3

-3

-3

-Acirc7

P

3 4-4O

(01~40)1단원(해설)indd 7 15 7 14 오전 1037

8 정답과 해설

따라서 사각형 PQRS는 가로의 길이가 21442 세로의 길이

가 3para1414142 인 직사각형이므로

PQRS=21442 _

3para1414142 =371412

답 I ④

10 오른쪽 그림과 같이 두 원

(x-2)Ucirc`+yUcirc`=1 (x+2) Ucirc`+y Ucirc`=36의 중심

을 각각 A B라고 하면

A(2 0) B(-2 0)

또 점 P를 중심으로 하는

원의 반지름의 길이를 r라

고 하면

APOacute=1+r BPOacute=6-r

there4 APOacute+BPOacute=7

즉 점 P에서 두 점 A B에 이르는 거리의 합이 7로 일정

하므로 점 P가 나타내는 도형은 두 점 A B를 초점으로

하고 장축의 길이가 7인 타원이다

이 타원의 방정식을 xUcirc14aUcirc`+ yUcirc14


2a=7 aUcirc`-bUcirc`=4 there4 a=2amp b= 331412따라서 구하는 도형의 방정식은

4xUcirc`143449 + 4yUcirc`143433 =1 답 I ①

y

x-8 4BA

-2 2rP

O

쌍곡선03

01 ① 02 34 03 ② 04 ⑤ 05 ② 06 ④

07 18 08 ⑤ 09 14 10 ④ 11 ① 12 ③


01 초점이 y축 위에 있으므로 구하는 쌍곡선의 방정식을

xUcirc14aUcirc`- yUcirc`14

bUcirc`=-1 (agt0 bgt0)이라고 하자

두 초점으로부터의 거리의 차가 25이므로

2b=25 there4 b=5 there4 aUcirc`=3Ucirc`-bUcirc`=9-5=4

따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은

xUcirc144 -yUcirc`145 =-1 답 I ①

02 점 P에서 두 점 F F으로부터의 거리의 차가 a로 일정하

므로 점 P가 나타내는 도형은 주축이 x축 위에 있는 쌍곡

선이다

이때 쌍곡선의 방정식이 xUcirc1425-

yUcirc`14b =1이고 두 점 F(7 0)

F(-7 0)으로부터의 거리의 차가 a이므로

a=2para25=10

또 b=7Ucirc`-25=24이므로

a+b=34 답 I 34

03 점 P의 좌표를 (x y)라고 하면 두 점 A(2 2)

B(-4 2)에 대하여 |APOacute-BPOacute|=4이므로

|Atilde(x-2)Ucirc`+(y-2)Ucirc`-Atilde(x+4)Ucirc`+(y-2)Ucirc`|=4

Atilde(x-2)Ucirc`+(y-2)Ucirc`-Atilde(x+4)Ucirc`+(y-2)Ucirc`=Ntilde4

there4 Atilde(x-2)Ucirc+(y-2)Ucirc=Ntilde4+Atilde(x+4)Ucirc+(y-2)Ucirc


Ntilde2Atilde(x+4)Ucirc`+(y-2)Ucirc`=-3x-7


5(x+1)Ucirc`-4(y-2)Ucirc`=20

there4 (x+1)Ucirc`141124 -

(y-2)Ucirc`141125 =1

따라서 a=-1 b=4 c=2 d=5이므로

a+b+c+d=10 답 I ②

04 쌍곡선 xUcirc145 -

yUcirc`144 =-1의 두 꼭짓점은 y축 위에 있으므로

주축의 길이는 a=24=4

또 Auml5+4=3이므로 쌍곡선의 두 초점의 좌표는

(0 3) (0 -3)

따라서 두 초점 사이의 거리는 b=3-(-3)=6

there4 a+b=10 답 I ⑤

05 쌍곡선 xUcirc`-yUcirc`=8 즉 xUcirc148 -

yUcirc`148 =1에서 Auml8+8=4이므로

두 초점의 좌표는

(4 0) (-4 0)

또 점근선의 방정식은

y=Ntilde 81448

x there4 y=Ntildex

따라서 점 (Ntilde4 0)과 직선 y=Ntildex 즉 직선 xNtildey=0에

이르는 거리는

|Ntilde4|1411112

Atilde1Ucirc`+(Ntilde1)Ucirc`=22

답 I ②

06 쌍곡선 3xUcirc`-yUcirc`+6y=0에서 3xUcirc`-(y-3)Ucirc`=-9

there4 xUcirc143 -

(y-3)Ucirc`141129 =-1 yy

(01~40)1단원(해설)indd 8 15 7 14 오전 1037

I 평면 곡선 9

이 쌍곡선은 쌍곡선 xUcirc143 - yUcirc149 =-1을 y축의 방향으로 3만

큼 평행이동한 것이므로 쌍곡선 의 점근선은

y-3=Ntilde 31443

x there4 y=Ntilde3x+3

점 (0 3)을 지나고 기울기가 m인 직선 즉 직선

y=mx+3이 쌍곡선과 만나지 않으려면 다음 그림과 같

이 두 점근선과 일치하거나 그 사이를 지나야 한다

OAcirc3

36

-Acirc3

y

y=-Acirc3x+3

y=Acirc3x+3

y=mx+3

x

there4 -3EacutemEacute3 답 I ④


yUcirc`145 =1에서 Auml4+5=3이므로 두 초점의 좌

표는

(3 0) (-3 0)

즉 F(3 0) F(-3 0)이라고

O3-3

FF-2

2

Py

x

하면 PFOacute``PFOacute=1``2이므로 점

P의 위치는 오른쪽 그림과 같다

이때 주어진 쌍곡선의 주축의 길

이는 24=4

쌍곡선의 정의에 의하여 PFOacute-PFOacute=4

그런데 PFOacute``PFOacute=1``2에서 PFOacute=2PFOacute이므로

2PFOacute-PFOacute=4 there4 PFOacute=4 PFOacute=8


=PFOacute+PFOacute+FFOacute

=4+8+3-(-3)=18 답 I 18

08 쌍곡선 xUcirc149 - yUcirc147 =1에서 Auml9+7=4이므로 두 초점의 좌

표는 (4 0) (-4 0)

즉 F(4 0) F(-4 0)

O4-4

FF-3 3

P

y

n mx

이라고 하면 angFPF=2Ograve

이므로 점 P의 위치는 오

른쪽 그림과 같다

이때 주어진 쌍곡선의 주

축의 길이는 29=6

또한 PFOacute=m PFOacute=n이라고 하면 쌍곡선의 정의에 의

하여 |m-n|=6 yy

한편 직각삼각형 PFF에서

mUcirc`+nUcirc`=8Ucirc` (m-n)Ucirc`+2mn=64

36+2mn=64 (∵ ) 2mn=28

there4 mn=14

there4 PFF=2 mn=2_14=7 답 I ⑤

09 쌍곡선 3xUcirc`-yUcirc`=3 즉 xUcirc`- yUcirc143 =1에서 Auml1+3=2이므로


(2 0) (-2 0)

즉 F(2 0) F(-2 0)이라고

하면 오른쪽 그림과 같다


이는 2이므로 쌍곡선의 정의에 의

하여

AFOacute-AFOacute=2 yy

BFOacute-BFOacute=2 yy

+을 하면 AFOacute-AFOacute+BFOacute-BFOacute=4

(AFOacute+BFOacute)-(AFOacute+BFOacute)=4

there4 AFOacute+BFOacute =(AFOacute+BFOacute)+4

=ABOacute+4=5+4=9

따라서 삼각형 ABF의 둘레의 길이는

ABOacute+AFOacute+BFOacute=5+9=14 답 I 14

10 쌍곡선 xUcirc14aUcirc`- yUcirc14

9=1의 주축은 x축 위에 있으므로 agt0

이라고 하면 이 쌍곡선의 두 꼭짓점의 좌표는

(a 0) (-a 0)

따라서 타원 xUcirc1413+ yUcirc14

bUcirc`=1의 두 초점의 좌표는 (a 0)

(-a 0)이고 타원의 장축은 x축 위에 있으므로

13-bUcirc`=aUcirc` there4 aUcirc`+bUcirc`=13 답 I ④

11 오른쪽 그림과 같이 타원과 쌍곡

OFC

D

F AB

Py

x

선이 x축의 음의 부분과 만나는

점을 각각 C D라고 하면 타원의

정의에 의하여 PFOacute+PFOacute=12이

므로

ACOacute=12 there4 OAOacute=6

또 쌍곡선의 정의에 의하여 |PFOacute-PFOacute|=4이므로

BDOacute=4 there4 OBOacute=2

there4 ABOacute=OAOacute-OBOacute=6-2=4 답 I ①

12 쌍곡선 4xUcirc`-9yUcirc`-8x-32=0에서

4(x-1)Ucirc`-9yUcirc`=36 there4 (x-1)Ucirc`141129 - yUcirc`144 =1

이 쌍곡선은 쌍곡선 xUcirc149 -

yUcirc`144 =1을 x축의 방향으로 1만

큼 평행이동한 것이다

이때 쌍곡선 xUcirc149 -

yUcirc`144 =1의 점근선의 방정식은 y=Ntilde3x

이고 두 점근선의 교점의 좌표는 (0 0)이므로 주어진 쌍

곡선의 점근선의 교점의 좌표는 (1 0)이다

한편 포물선 yUcirc`=ax=4_4A_x의 초점의 좌표는

4A0이므로 4A=1 there4 a=4 답 I ③

O

y

xF1-2

-1

B

A

52F

(01~40)1단원(해설)indd 9 15 7 16 오후 208

10 정답과 해설

01 ③ 02 ⑤ 03 ③ 04 5 05 ⑤ 06 ①

07 ① 08 ④ 09 12 10 ④


01 두 초점이 F(3 0) F(-3 0)인 쌍곡선의 주축은 x축

위에 있다 이때 쌍곡선 xUcirc14aUcirc`- yUcirc14

bUcirc`=1의 주축의 길이가 4

이므로 2a=4 (∵ agt0) there4 a=2

또 aUcirc`+bUcirc`=3Ucirc`이므로

bUcirc`=9-4=5 there4 b=5 (∵ bgt0)


02 쌍곡선의 방정식을 xUcirc14aUcirc`- yUcirc14

bUcirc`=1이라고 하면 두 점근선의

방정식이 y=Ntilde2x이므로

aB=Ntilde2 there4 b=Ntilde2a

즉 쌍곡선 xUcirc14aUcirc`- yUcirc`142

4aUcirc`=1이 점 (5 2)를 지나므로

(5)Ucirc`1414aUcirc`

`- 2Ucirc`1424aUcirc`

=1 414aUcirc`=1 there4 aUcirc`=4 bUcirc`=16

따라서 쌍곡선 xUcirc144 - yUcirc1416=1이 점 (p 8)을 지나므로

pUcirc`144 - 8Ucirc1416=1

pUcirc`144 =5 pUcirc`=20

there4 p=25 (∵ pgt0) 답 I ⑤

참고 쌍곡선의 방정식을 xUcirc14aUcirc`

- yUcirc14bUcirc`=-1로 놓고 문제의 조건에

따라 a Ucirc`의 값을 구하면 a Ucirc`=-4가 나온다 이것은 a가 실수라는

조건을 만족시키지 않으므로 쌍곡선의 방정식은 xUcirc14aUcirc`

- yUcirc14bUcirc`=1로

놓는다

03 점 P(x y)에서 직선 y=x 즉 x-y=0에 내린 수선의

발이 A이므로

POtildeAOacute=|x-y|14231112Atilde1Ucirc`+(-1)Ucirc`

=|x-y|1423132

점 P(x y)에서 직선 y=-x 즉 x+y=0에 내린 수선

의 발이 B이므로

PBOacute=|x+y|142312Atilde1Ucirc`+1Ucirc`

=|x+y|1423132

이때 점 P가 PAOacute_PBOacute=2를 만족시키므로

|x-y|1423132

_|x+y|1423132

=2|xUcirc`-yUcirc`|=4

즉 xUcirc`-yUcirc`=Ntilde4이므로 xUcirc144 - yUcirc144 =Ntilde1

쌍곡선 xUcirc144 - yUcirc144 =Ntilde1의 주축의 길이는 24=4

따라서 구하는 주축의 길이는 4이다 답 I ③

04 쌍곡선 xUcirc148 -yUcirc=1에서 Auml8+1=3이므로 두 초점의 좌표는

(3 0) (-3 0)

즉 F(3 0) F(-3 0)이므로 FFOacuteOacute=3-(-3)=6

이때 사각형 PFQF의 넓이가 6이므로

PFF=2_6=3 2_FFOacuteOacute_b=3

2_6_b=3 there4 b=1

따라서 점 P(a b) 즉 P(a 1)이 쌍곡선 xUcirc148 -yUcirc`=1 위

의 점이므로

aUcirc148 -1Ucirc`=1 aUcirc`=16 there4 a=4 (∵ agt0)

there4 a+b=5 답 I 5




(4 0) (-4 0)

즉 F(4 0) F(-4 0)이

O

Ω

F F4-4

P

y

x

라 하고 오른쪽 그림과 같이

점 F를 지나고 x축에 수직인

직선이 쌍곡선과 만나는 점

중 제 1 사분면의 점을 P라고

하면 점 P의 x좌표가 4이므로

4Ucirc148 -

yUcirc148 =1 yUcirc`=8 there4 y=22 (∵ ygt0)

there4 P(4 22) there4 PFOacuteOacute=Atilde4-(-4)Ucirc`+(22)Ucirc`=62

there4 cos h= FFOacuteOtilde141PFOacuteOtilde

= 8142362

=2214233 답 I ⑤

06 쌍곡선 4xUcirc`1429 -

yUcirc1440=1에서 regAcirc4(+40=Aacute2pound이므로 두 초점

의 좌표는

Aacute2pound 0-Aacute2pound 0

즉 FAacute2pound 0 F-Aacute2pound 0 y

x

Q

F F

3-2 0A

13-213-2

3-2 0B -

-

C

P

O

12

55

이라 하고 오른쪽 그림과 같

이 쌍곡선의 두 꼭짓점을 A

B라고 하면

A2 0

B-2 0

원 C의 반지름의 길이는

QFOacute=AFOacute=Aacute2pound-2=5

직각삼각형 PFQ에서 PQOacute=12 QFOacute=5이므로

PFOacute=Atilde12Ucirc`+5Ucirc`=13

한편 주어진 쌍곡선의 주축의 길이는 ABOacute=3이므로 쌍곡

선의 정의에 의하여

(01~40)1단원(해설)indd 10 15 7 14 오전 1038

I 평면 곡선 11

PFOacute-PFOacuteOtilde=3

there4 PFOacuteOtilde=PFOacute-3=13-3=10 답 I ①


yUcirc146 =1에서 Auml4+6=sect10이므로 두 초점 F

F의 좌표는

F(sect10 0) F(-sect10 0)또 쌍곡선의 두 꼭짓점의 좌표는 (2 0) (-2 0)

오른쪽 그림과 같이 원과 쌍곡선

의 제1사분면에서의 교점을 P라

하고 PFOacute=m PFOacuteOtilde=n이라고 하

면 쌍곡선의 정의에 의하여

n-m=4

there4 n=m+4 yy

또 FFOacuteOtilde은 원의 지름이므로 angFPF=2Ograve

there4 mUcirc`+nUcirc`=(2sect10)Ucirc` yy


mUcirc`+(m+4)Ucirc`=(2sect10)Ucirc` mUcirc`+4m-12=0 (m+6)(m-2)=0

there4 m=2 (∵ mgt0) n=6

이때 PFF의 넓이는

2_m_n=2_FFOacuteOtilde_PHOacute

12=2sect10_PHOacute

there4 PHOacute=31014135 답 I ①

08 타원 xUcirc145Ucirc`+

yUcirc`144Ucirc`=1에서 Atilde5Ucirc-4Ucirc =3이므로 두 초점의 좌표는

(3 0) (-3 0)

타원의 두 초점이 x축 위에 있으므로 타원과 두 초점을 공

유하는 쌍곡선의 방정식을 xUcirc14aUcirc`- yUcirc14

bUcirc`=1 (agt0 bgt0)이

라고 하면

aUcirc`+bUcirc`=3Ucirc` yy

쌍곡선의 한 점근선이 y=35x이므로

aB=35 there4 b=35a yy


aUcirc`+35aUcirc`=9

36aUcirc`=9 aUcirc`=4

there4 a=2 (∵ agt0)

따라서 쌍곡선의 두 꼭짓점의 좌표는 2 0 -2 0

이므로 두 꼭짓점 사이의 거리는 1이다 답 I ④

09 쌍곡선 7xUcirc`-9yUcirc`=63 즉 xUcirc149 -

yUcirc`147 =1의 두 꼭짓점의 좌

표는 (3 0) (-3 0)이므로

O10- 10F F

P

H-2

2

y

x

mn

a=3 (∵ agt0)

즉 A(3 0) B(-3 0)이므로

점 B를 지나면서 x축에 수직인 직

선 x=-3을 준선으로 하고 점 A

를 꼭짓점으로 하는 포물선은 오


ABOacute=6이므로 구하는 포물선은 꼭짓점의 좌표가 (0 0)

이고 준선의 방정식이 x=-6인 포물선 yUcirc`=24x를 x축

의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다 즉 구하는 포물선

의 방정식은

yUcirc`=24(x-3)

따라서 포물선 yUcirc`=24(x-3)이 점 C(b 6)을 지나므로

6Ucirc`=24(b-3) there4 b=2(

there4 a+2b=12 답 I 12

10 쌍곡선 xUcirc`-4yUcirc`=1은 꼭짓점의 좌표가 (1 0) (-1 0)

이고 원 (x-3) Ucirc`+y Ucirc`=r Ucirc`은

중심의 좌표가 (3 0)이다

이때 원과 쌍곡선이 서로 다

른 세 점에서 만나려면 오른

쪽 그림과 같이 원이 쌍곡선

의 꼭짓점을 지나야 한다

Uacute 원 (x-3)Ucirc`+yUcirc`=rUcirc` 이 점 (1 0)을 지날 때

rUcirc`=4 there4 r=2 (∵ rgt0)

Ucirc 원 (x-3)Ucirc`+yUcirc`=rUcirc` 이 점 (-1 0)을 지날 때


Uacute Ucirc에 의하여 구하는 자연수 r의 총합은

2+4=6 답 I ④

O 3B A

-3

y

x

x=-3

O-1 1

3

y

x

평면 곡선의 접선04

01 ② 02 3 03 ④ 04 ③ 05 ⑤ 06 ①

07 ③ 08 ④ 09 9 10 ⑤ 11 1 12 ④


01 xUcirc`-xyUcirc`=6의 양변을 x에 대하여 미분하면

2x-yUcirc`+x_2y dy144dx=0

2xy dy144dx=2x-yUcirc`

there4 dy144dx=

2x-yUcirc 22112xy (xy+0)

(01~40)1단원(해설)indd 11 15 7 14 오전 1038

12 정답과 해설

점 (-2 -1)에서의 접선의 기울기는

dy144dx=

2_(-2)-(-1)Ucirc`14211111122_(-2)_(-1) =-4 답 I ②

02 점 (2 1)이 곡선 xUcirc`-axy+yUcirc`+b=0 위의 점이므로

4-2a+1+b=0

there4 2a-b=5 yy

xUcirc`-axy+yUcirc`+b=0의 양변을 x에 대하여 미분하면

2x-ay+x dy144dx+2y dy144

dx=0

(ax-2y) dy144dx

=2x-ay

there4 dy144dx

= 2x-ay14211ax-2y (ax-2y+0)

x=2 y=1에서의 dy144dx

의 값이 4이므로

2_2-a142113a_2-2=4 6a=18 there4 a=3

이것을 에 대입하면

2_3-b=5 there4 b=1

there4 ab=3 답 I 3

03 sectx+y=2의 양변을 x에 대하여 미분하면

11422

2sectx+ 11422

2y_ dy144

dx=0

there4 dy144dx=-

y142sectx

(x+0)

x=a y=b에서의 dy144dx

의 값이 -1이므로

-b142a

=-1 there4 a=b

즉 점 (a a)가 곡선 sectx +y=2 위의 점이므로

a+a=2 2a=2 there4 a=1

따라서 a=1 b=1이므로 a+b=2 답 I ④

04 점 (1 b)가 포물선 yUcirc`=ax 위의 점이므로

bUcirc`=a yy포물선 yUcirc`=ax 위의 점 (1 b)에서의 접선의 방정식은

by=2A(x+1) there4 y= a142bx+a142b

이 직선이 y축과 만나는 점의 y좌표가 1이므로

a142b=1 there4 a=2b yy


a=4 b=2 (∵ b+0)

there4 a+b=6 답 I ③

05 타원 xUcirc143 + yUcirc144 =1 위의 점 2 1에서의 접선의 방정식은

2x14233 + y14=1 there4 y=-2x+4

접선이 x축과 만나는 점의 좌표는 (2 0) y축과 만나는

점의 좌표는 (0 4)이므로 접선과 x축 y축으로 둘러싸인

부분의 넓이는

2_2_4=4 답 I ⑤

06 점 (-2 1)이 쌍곡선 xUcirc14aUcirc`

- yUcirc14bUcirc`=1 위의 점이므로

(-2)Ucirc`14212aUcirc`

- 1Ucirc14bUcirc`=1 there4

414aUcirc`

- 114bUcirc`=1 yy

쌍곡선 xUcirc14aUcirc`

- yUcirc14bUcirc`=1 위의 점 (-2 1)에서의 접선의 방

정식은

-2x1421aUcirc`

-y14bUcirc`=1 there4 y=- 2bUcirc`142

aUcirc`x-bUcirc`

접선의 기울기가 -2이므로

- 2bUcirc`142aUcirc`

=-2 there4 aUcirc`=bUcirc` yy


there4 aUcirc`+bUcirc`=6 답 I ①

07 접점의 좌표를 (xAacute yAacute)이라고 하면 접선의 방정식은

yAacute y=2(x+xAacute)

이 직선이 점 (-2 1)을 지나므로

yAacute=2(xAacute-2) there4 yAacute=2xAacute-4 yy또 점 (xAacute yAacute)은 포물선 yUcirc`=4x 위의 점이므로

yAacuteUcirc`=4xAacute yy을 에 대입하면

(2xAacute-4)Ucirc`=4xAacute xAacuteUcirc`-5xAacute+4=0

(xAacute-1)(xAacute-4)=0

there4 xAacute=1 또는 xAacute=4

이를 에 대입하면

xAacute=1 yAacute=-2 또는 xAacute=4 yAacute=4

이때 접선의 방정식은

y=-x-1 또는 y=2x+2

따라서 두 접선의 기울기의 곱은

(-1)_2=-2 답 I ③


xAacutex-yAacute y=2


-xAacute=2 there4 xAacute=-2

점 (-2 yAacute)은 쌍곡선 xUcirc`-yUcirc`=2 위의 점이므로

(-2)Ucirc`-yAacuteUcirc`=2 yAacuteUcirc`=2

there4 yAacute=Ntilde2즉 접점의 좌표는 (-2 2 ) 또는 (-2 -2 )이므로

접선의 방정식은

(01~40)1단원(해설)indd 12 15 7 20 오후 417

I 평면 곡선 13

-2x+2y=2 또는 -2x-2y=2

there4 y=2x+2 또는 y=-2x-2따라서 m=Ntilde2 n=Ntilde2 (복부호 동순)이므로

mUcirc`+nUcirc`=4 답 I ④

09 타원 xUcirc14aUcirc`

+ yUcirc14bUcirc`=1이 점 (0 -2)를 지나므로

414bUcirc`=1 there4 bUcirc`=4

타원 xUcirc14aUcirc`

+ yUcirc144 =1에서 접점의 좌표를 (xAacute yAacute)이라고 하

면 접선의 방정식은

xAacutex1423aUcirc`

+ yAacutey14234

=1

there4 y=- 4xAacute1423aUcirc`yAacute

x+ 414yAacute

이 접선이 직선 x+y+3=0 즉 y=-x-3과 일치하므로

4xAacute1423aUcirc`yAacute

=1 414yAacute =-3

there4 yAacute=-3$ xAacute=-3aUcirc`

접점 -3aUcirc` -3$는 타원 xUcirc14aUcirc`

+ yUcirc144 =1 위의 점이므로

aYacute`14239aUcirc`

+36^=1 there4 aUcirc`=5

there4 aUcirc`+bUcirc`=9 답 I 9

10 x=tUcirc`-2t+3에서 dx144dt

=2t-2

y=3tUuml`+t+1에서 dy144dt

=tUcirc`+1

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= tUcirc`+114212t-2

따라서 t=3에 대응하는 점에서의 접선의 기울기는

dy144dx

= 3Ucirc`+114212322_3-2 =2 답 I ⑤

11 x=t +1에서 dx144dt

= 114222t

y=ln t+at에서 dy144dt

=t+a

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

=t+a1421114222t

=2t (at+1)14221114t

x=2일 때 t의 값은 2=t +1에서 t=1

따라서 x좌표가 2인 점 즉 t=1인 점에서의 접선의 기울

기가 4이므로

21 (a+1)14221111 =4 a+1=2

there4 a=1 답 I 1

12 x=-2 cos h에서 dx144dh

=2 sin h

y=3 sin h에서 dy144dh

=3 cos h

there4 dy144dx

=

dy144dh1424dx144dh

= 3 cos h142212 sin h=3142212 tan h

점 -2 3214222 가 주어진 곡선 위의 점이므로

-2 cos h=-2 3 sin h= 3214222

there4 h=4Ograve ∵ 0lthlt2Ograve

또 h=4Ograve일 때의 접선의 기울기는

3142212

2 tan 4Ograve=2

이므로 접선의 방정식은

y-3214222 =2(x+2)

there4 y=2x+32

따라서 접선이 x축과 만나는 점의 좌표는 (-22 0) y축과 만나는 점의 좌표는 (0 32)이므로 구하는 도형의

넓이는

2_22_32=6 답 I ④

01 ① 02 ⑤ 03 ② 04 ④ 05 ② 06 4

07 ③ 08 ⑤ 09 ④ 10 ④


01 eAring`+ln y=2의 양변을 x에 대하여 미분하면

eAring`+]_dy144dx

=0 there4 dy144dx

=-eAring`y

따라서 점 (0 e)에서의 접선의 기울기는

dy144dx

=-eacirc _e=-e 답 I ①

02 점 (3 2)가 곡선 xy+ayUcirc`=4 위의 점이므로

3_2+a_2Ucirc`=4 4a=-2 there4 a=-2

xy-2 yUcirc`=4의 양변을 x에 대하여 미분하면

y+x dy144dx

-y dy144dx

=0

there4 dy144dx

= y1421y-x (x+y)

(01~40)1단원(해설)indd 13 15 7 14 오전 1038

14 정답과 해설

점 (3 2)에서의 접선의 기울기는

dy144dx

= 2142242-3=-2


y-2=-2(x-3) there4 2x+y-8=0

따라서 b=1 c=-8이므로

2a-b-c=6 답 I ⑤

03 점 P(a b)는 포물선 yUcirc`=4x 위의 점이므로

bUcirc`=4a yy

포물선 yUcirc`=4x 위의 점 P(a b)에서의 접선의 방정식은

by=2(x+a)

이 직선이 x축과 만나는 점 Q의 좌표는 Q(-a 0)

이때 PQOacute=45이므로 PQOacute Ucirc`=80

(a+a)Ucirc`+bUcirc`=80

there4 4aUcirc`+bUcirc`=80 yy


4aUcirc`+4a=80 aUcirc`+a-20=0

(a+5)(a-4)=0

there4 a=4 (∵ agt0) bUcirc`=16 (∵ )

there4 aUcirc`+bUcirc`=32 답 I ②

04 타원 xUcirc148 + yUcirc1432=1 위의 점 A(2 4)에서의 접선의 방정

식은

2x148 +4y1432=1

there4 y=-2x+8 yy

또 타원 위의 점 B(-2 4)에서의 접선의 방정식은

-2x1418 +4y1432=1

there4 y=2x+8 yy

두 직선 의 교점이 P이므로 P(0 8)

there4 (삼각형 PAB의 둘레의 길이)

=POtildeAOacute+ABOacute+PBOacute

=Atilde2Ucirc`+(4-8)Ucirc`+4+Atilde(-2)Ucirc`+(4-8)Ucirc`

=25+4+25 =4+45 답 I ④

05 쌍곡선 xUcirc148 -yUcirc`=1 위의 점 A(4 1)에서의 접선의 방정

식은

4x148 -y=1 there4 y=2x-1

이 직선이 x축과 만나는 점이 B이므로 B(2 0)

한편 쌍곡선 xUcirc148 -yUcirc=1의 두 초점 중 x좌표가 양수인 점

이 F이므로

F(Auml8+1 0) 즉 F(3 0)

O

y

x

A

21

43

B F

위의 그림에서

FAB=2_1_1=2 답 I ②




yAacute=4(xAacute-2) yy

또한 점 (xAacute yAacute)은 포물선 yUcirc`=8x 위의 점이므로

yAacuteUcirc`=8xAacute yy


4(xAacute-2)Ucirc`=8xAacute

there4 2xAacuteUcirc`-9xAacute+8=0

따라서 두 접점의 x좌표는 위의 이차방정식의 두 실근이

므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 곱

은 2=4이다 답 I 4


xAacute x1422=16 +

yAacute y1422=9 =1

there4 y=-9xAacute1422=16yAacute x+

914=yAacute

이때 접선의 기울기가 1이므로

-9xAacute1422=16yAacute=1 there4 9xAacute=-16yAacute yy

점 (xAacute yAacute)은 타원 xUcirc1416+

yUcirc`149 =1 위의 점이므로

xAacuteUcirc`142=16 +

yAacuteUcirc`142=9 =1 yy


xAacute=NtildeAacute5curren yAacute=ETH5( (복부호 동순)

즉 접선의 방정식은

y=x-5 또는 y=x+5

there4 x-y-5=0 또는 x-y+5=0

따라서 두 접선 사이의 거리는 직선 x-y+5=0 위의 점

(0 5)와 직선 x-y-5=0 사이의 거리와 같으므로

|-5-5|142=1111Atilde1Ucirc`+(-1)Ucirc`

=52 답 I ③


xAacute x1422=4 - yAacute y1422=9 =1

이 직선이 점 P(1 0)을 지나므로

xAacute144 =1 there4 xAacute=4

(01~40)1단원(해설)indd 14 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 15

점 (4 yAacute)은 쌍곡선 xUcirc144 - yUcirc149 =1 위의 점이므로

4Ucirc144 - yAacuteUcirc`142=9 =1 yAacuteUcirc`=27

there4 yAacute=Ntilde33즉 접점의 좌표는 (4 33) (4 -33)오른쪽 그림과 같이 A(4 33) B(4 -33)이라고 하면

ABOacute=63따라서 점 P(1 0)과 직선 AB

사이의 거리는 3이므로

PAB=2_63_3

=93 답 I ⑤

09 x=t-sin t에서 dx144dt

=1-cos t

y=1-cos t에서 dy144dt

=sin t

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= sin t142111-cos t

따라서 t=3Ograve에 대응하는 점에서의 접선의 기울기는

dy144dx

=sin 3Ograve

1421111-cos 3Ograve

=3 답 I ④

10 x=t+2tUcirc`에서 dx144dt

=1+t

y=1+t+tUcirc`+y+tCcedil` 에서

dy144dt

=1+2t+3tUcirc`+y+ntCcedil`NtildeUacute`

즉 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= 1+2t+3tUcirc`+y+ntCcedil`NtildeUacute`14211111112321+t 이므로

limtÙacute1

dy144dx

=limtÙacute1

1+2t+3tUcirc`+y+ntCcedil`NtildeUacute`14211111112321+t

= 1+2+3+y+n1421111111+1

=

n(n+1)1421122142311232

= nUcirc`+n142144

there4 limnÙacutebrvbar 1614nUcirc`

limtÙacute1

dy144dx= lim

nÙacutebrvbar 1614nUcirc`

_ nUcirc`+n142144

=4 limnÙacutebrvbar1+n

=4 답 I ④

O

y

x

-3Acirc3

3Acirc3

B

A

4P1

Ⅱ 평면벡터

벡터의 연산05

01 ③ 02 ② 03 50 04 ④ 05 ① 06 ③

07 ⑤ 08 ③ 09 ④ 10 ③ 11 ⑤ 12 ⑤


01 ACOacute는 가로 세로의 길이가 각각 2 1인 직사각형 ABCD

의 대각선이므로

ACOacute=Atilde1Ucirc`+2Ucirc`=5

there4|ACsup3|=5BOtildeMOacute은 한 변의 길이가 1인 정사각형 ABNM의 대각선이

므로

BOtildeMOacute=2 there4|BOtildeMsup3|=2또 MNOacute=ABOacute=1이므로 |MOtildeNsup3|=1

there4|ACsup3|Ucirc`+|BOtildeMsup3|Ucirc`+|MOtildeNsup3|Ucirc`=5+2+1=8

답 I ③

02 AEOacute는 정삼각형 ABC의 중선이므로

AEOacute=31442 _ABOacute=

31442 _4=23

there4|AEsup3|=23세 점 D E F가 변 BC의 사등분점이므로

DEOacute=4 BCOacute=4_4=1

직각삼각형 ADE에서

ADOacute=Atilde1Ucirc`+(23)Ucirc`=13

there4|ADsup3|=13 there4|ADsup3|+|AEsup3|=23+13따라서 a=2 b=1이므로 a-b=1 답 I ②

03 원 (x-2) Ucirc`+(y-4) Ucirc`=5의 중심

x

y

O

4

2

PC의 좌표는 (2 4) 반지름의 길이는

5이므로 중심을 점 C(2 4)라고


이때 원점 O와 이 원 위의 점 P에

대하여 |OPsup3|=OPOacute

즉 |OPsup3|=OPOacute가 최대가 되려면 세 점 O C P가 이 순

서대로 한 직선 위에 있어야 하므로

M=OCOacute+ CPOacute=iquestsup12Ucirc`+4Ucirc`+5=35|OPsup3|=OPOacute가 최소가 되려면 세 점 O P C가 이 순서대

로 한 직선 위에 있어야 한다

m=OCOacute- CPOacute=iquestsup12Ucirc`+4Ucirc`-5=5 there4 M Ucirc`+mUcirc`=45+5=50 답 I 50

(01~40)1단원(해설)indd 15 15 7 14 오전 1038

16 정답과 해설

04 오른쪽 그림과 같이 세 대각선 AD A

O

B F

E

D

C

b

aBE CF의 교점을 O라고 하면

DFsup3=DOsup3+OFsup3

이때 DOsup3=CBsup3=-BCsup3=-boslash

OFsup3=BAsup3=-ABsup3=-aoslash이므로

DFsup3=DOsup3+OFsup3=-aoslash-boslash 답 I ④

05 ㄱ ABsup3+BCsup3+CDsup3=ACsup3+CDsup3=ADsup3 (참)

ㄴ ABsup3+ACsup3+BOtildeAsup3-BCsup3=(ABsup3+BOtildeAsup3 )+ACsup3-BCsup3

=0oslash+ACsup3+CBsup3

=ABsup3+0oslash (거짓)

ㄷ ABsup3-ADsup3-CBsup3+CDsup3=ABsup3+DOtildeAsup3+BCsup3+CDsup3

=(ABsup3+BCsup3 )+(CDsup3+DOtildeAsup3 )

=ACsup3+CAsup3

=0oslash+ABsup3 (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다 답 I ①

06 POtildeAsup3-PBsup3+PCsup3-PDsup3=0oslash에서

POtildeAsup3-PBsup3=PDsup3-PCsup3 there4 BOtildeAsup3=CDsup3

즉 BOtildeAsup3 CDsup3는 크기와 방향이 같으므로 사각형 ABCD

에서 두 변 BA CD의 길이가 같고 평행하다

따라서 사각형 ABCD는 평행사변형이므로

ABCD=ABOacute_BCOacute_sin 60ugrave

=2_5_31442 =53

답 I ③

07 xoslash+2yoslash=-2aoslash-3boslash yy

2xoslash-3yoslash=3aoslash+boslash yy

_2-을 하면

7yoslash=-7aoslash-7boslash

there4 yoslash=-aoslash-boslash yy

을 에 대입하여 정리하면

xoslash+2(-aoslash-boslash)=-2aoslash-3boslash there4 xoslash=-boslash

there4 xoslash+yoslash=-boslash+(-aoslash-boslash)=-aoslash-2boslash 답 I ⑤

08 aoslash-boslash+3coslash=ABsup3-ACsup3+3ADsup3

=CBsup3+3ADsup3=-BCsup3+3ADsup3

=-ADsup3+3ADsup3=2ADsup3

there4 |aoslash-boslash+3coslash|=2|ADsup3|=2 답 I ③


O

B F

E

D

C

b


CEsup3=COsup3+OEsup3 BEsup3=2OEsup3

이때

OEsup3=BOsup3=BOtildeAsup3+BCsup3

=-ABsup3+BCsup3=-aoslash+boslash

이므로

CEsup3=COsup3+OEsup3=BAsup3+OEsup3=-ABsup3+OEsup3

=-aoslash+(-aoslash+boslash)=-2aoslash+boslash

BEsup3=2OEsup3=2(-aoslash+boslash)=-2aoslash+2boslash

there4 CEsup3+BEsup3=(-2aoslash+boslash)+(-2aoslash+2boslash)

=-4aoslash+3boslash

따라서 m=-4 n=3이므로


10 (2m-1)aoslash+(nUcirc`-4)boslash=(mUcirc`-2m+3)aoslash+mboslash

에서 두 벡터 aoslash boslash는 서로 평행하지도 않고 영벡터도 아니

므로 벡터가 서로 같을 조건에 의하여

[2m-1=mUcirc`-2m+3 yy

nUcirc`-4=m yy

에서 mUcirc`-4m+4=0 (m-2)Ucirc`=0

there4 m=2

m=2를 에 대입하면 nUcirc`-4=2 there4 n Ucirc`=6

there4 mUcirc`+nUcirc`=2Ucirc`+6=10 답 I ③

11 poslash+q oslash=(3aoslash-2boslash)+(-aoslash+boslash)=2aoslash-boslash

poslash+roslash=(3aoslash-2boslash)+(maoslash-boslash)=(3+m)aoslash-3boslash

이때 두 벡터 poslash+q oslash poslash+roslash 가 서로 평행하려면

poslash+roslash=k(p oslash+qoslash)를 만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존재해

야 한다 즉

(3+m)aoslash-3boslash=k(2aoslash-boslash)

there4 (3+m)aoslash-3boslash=2kaoslash-kboslash

따라서 3+m=2k -3=-k이므로

k=3 m=3 답 I ⑤

12 세 점 A B C가 한 직선 위에 있으려면 ACsup3=kABsup3를

만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존재해야 한다 즉

OCsup3-OAsup3=k(OBsup3-OAsup3 )

(aoslash+mboslash)-(3aoslash-boslash)=k(4a oslash-3boslash)-(3aoslash-boslash)

-2aoslash+(m+1)boslash=kaoslash-2kboslash

따라서 벡터가 서로 같을 조건에 의하여

-2=k m+1=-2k

there4 k=-2 m=3 답 I ⑤

01 ADsup3sup3+BEsup3+FCsup3=ADsup3+DFsup3+FCsup3=ACsup3이므로

|ADsup3+BEsup3+FCsup3|=|ACsup3|=2 답 I ③

02 ABsup3+ACsup3+ADsup3=(ABsup3+ADsup3)+ACsup3

=ACsup3+ACsup3=2ACsup3

|ABsup3+ACsup3+ADsup3|=4이므로

2|ACsup3|=4 there4 |ACsup3|=2

01 ③ 02 ④ 03 ④ 04 15 05 ⑤ 06 ②

07 ② 08 2 09 ④ 10 ②


(01~40)1단원(해설)indd 16 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 17

따라서 정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 k라고 하면 대

각선의 길이가 2이므로

2k=2 there4 k=2 there4 ABCD=(2)Ucirc`=2 답 I ④

03 원 x Ucirc`+y Ucirc`=9는 중심이 원점이

고 반지름의 길이가 3이므로 오


이때 원 위의 점 P에 대하여

OQsup3= OPsup3142343|OPsup3|

이므로 OQsup3는

OPsup3와 방향이 같고 크기가 1인 단위벡터이다

따라서 점 Q가 나타내는 도형은 반지름의 길이가 OQOacute=1

인 원이므로

(점 Q가 나타내는 도형의 길이)=2p_1=2p 답 I ④

04 타원 xUcirc144 +yUcirc`=1의 x축 위의 두 꼭짓점의 좌표는

(2 0) (-2 0)

이때 A(2 0) A(-2 0) 1

-1

-2 2FFA A

O

P

x

y

이라고 하면 오른쪽 그림에서

OPsup3+OFsup3=OPsup3+FOtildeOsup3

=FOtildePsup3

|OPsup3+OFsup3|=1이므로

|FOtildePsup3|=FOtildePOacute=1

한편 타원의 정의에 의하여

FOtildePOacute+FPOacute=AOtildeAOacute 1+FPOacute=4

there4 FPOacute=3

따라서 k=3이므로 5k=15 답 I 15

05 ACsup3=AOsup3+OCsup3 AEsup3=AOsup3+OEsup3이므로

ACsup3+AEsup3=2AOsup3+OCsup3+OEsup3

이때 OCsup3+OEsup3=OCsup3+CDsup3=ODsup3이므로

ACsup3+AEsup3=2AOsup3+ODsup3=2AOsup3+AOsup3=3AOsup3

즉 |ACsup3+AEsup3|=6에서

3|AOsup3|=6 there4 |AOsup3|=2

따라서 원 O의 반지름의 길이가 2이므로 원 O의 넓이는

p_2Ucirc`=4p 답 I ⑤

06 2xoslashoslash-yoslash=aoslash yy

xoslash+3yoslash=boslash yy

-_2를 하면

-7yoslash=aoslash-2boslash

there4 yoslash=-7aoslash+7 boslash yy


xoslash+3-7aoslash+7 boslash=boslash there4 xoslash=7aoslash+7 boslash

there4 3xoslash+yoslash=37 aoslash+7 boslash+-7 aoslash+7 boslash

3

-3

-3 3Q

O

P

x

y

x+y=9

=7 aoslash+7 boslash

따라서 m=7 n=7이므로

m+4n=4 답 I ②

07 (3mUcirc`-4)aoslash+(2mUcirc`+3m)boslash=(5m-2n)aoslash+(5n+9)boslash


므로

3mUcirc`-4=5m-2n 2mUcirc`+3m=5n+9

위의 식을 정리하면

[3mUcirc`-5m+2n=4 yy

2mUcirc`+3m-5n=9 yy

_2-_3을 하면

-19m+19n=-19

there4 n=m-1 yy


3m Ucirc`-3m-6=0 mUcirc`-m-2=0

(m+1)(m-2)=0

there4 m=2 (∵ mgt0) n=1 (∵ )

there4 m+n=3 답 I ②

08 xoslash+3aoslash=aoslash+boslash에서 xoslash=-2aoslash+boslash

이를 xoslash+yoslash=m(aoslash-boslash)+boslash에 대입하면

(-2a oslash+boslash)+yoslash=m(aoslash-boslash)+boslash

there4 yoslash=(m+2)aoslash-mboslash

이때 두 벡터 xoslash yoslash가 서로 평행하므로 yoslash=kxoslash를 만족시키

는 0이 아닌 실수 k가 존재한다 즉

(m+2)aoslash-mboslash=k(-2aoslash+boslash)

there4 (m+2)aoslash-mboslash=-2kaoslash+kboslash

따라서 m+2=-2k -m=k이므로

k=-2 m=2 답 I 2

09 coslash-boslash-aoslash=OCsup3-OBsup3-OAsup3

=OCsup3+BOsup3+AOsup3

=OCsup3+CYsup3+AOsup3

=OYsup3+AOsup3

=AOsup3+OYsup3=AYsup3

따라서 실수 t에 대하여 APsup3=(coslash-boslash-aoslash)t=tAYsup3이므로

점 P는 두 점 A Y를 잇는 직선 AY 위의 점이다

답 I ④

10 BOtildeAsup3=aoslash BCsup3=boslash라고 하자

APOacute``PBOacute=1``1이므로 BPsup3=2 aoslash

BQOacute``QCOacute=1``2이므로 BQsup3=3 boslash

세 점 P R C가 한 직선 위에 있으므로

CRsup3=k CPsup3 (단 k는 0이 아닌 실수)

즉 BRsup3-BCsup3=k(BPsup3-BCsup3 )이므로

(01~40)1단원(해설)indd 17 15 7 14 오전 1038

18 정답과 해설

BRsup3-boslash=k2 aoslash-boslash

there4 BRsup3=2Kaoslash+(1-k)boslash yy

또 세 점 A R Q가 한 직선 위에 있으므로

ARsup3=lAQsup3 (단 l은 0이 아닌 실수)

즉 BRsup3-BOtildeAsup3=l(BQsup3-BOtildeAsup3 )이므로

BRsup3-aoslash=l3 boslash-aoslash

there4 BRsup3=(1-l)aoslash+3Lboslash yy

=에서 2K=1-l 1-k=3L there4 k=5$ l=5

따라서 BRsup3=5 aoslash+5 boslash이므로

m=5 n=5 there4 m+n=5 답 I ②

평면벡터의 성분06

01 ② 02 2 03 ② 04 ① 05 7 06 ⑤

07 ④ 08 ② 09 ③ 10 3 11 ④ 12 ③


01 선분 AB를 2``1로 내분하는 점 P의 위치벡터를 p oslash라고

하면 poslash= 2boslash+aoslash141242+1 =3 aoslash+3 boslash

선분 AB를 2``3으로 외분하는 점 Q의 위치벡터를 qoslash라고

하면 qoslash= 2boslash-3aoslash141132-3 =3aoslash-2boslash

따라서 선분 PQ의 중점 M의 위치벡터를 msup2라고 하면

msup2=poslash+qoslash14132 =

3aoslash+3boslash+(3aoslash-2boslash)1413111111112

=3 aoslash-3 boslash 답 I ②

02 변 OA를 1``2로 내분하는 점이 P이므로

OPsup3=3 OAsup3

변 AB를 1``3으로 내분하는 점이 Q이므로

OQsup3= OBsup3+3OAsup314131121+3 =4 OAsup3+4 OBsup3

there4 PQsup3=OQsup3-OPsup3

=4 OAsup3+4 OBsup3-3 OAsup3

=1deg2OAsup3+4 OBsup3

따라서 m=1deg2 n=4이므로

12(m-n)=12_1ordf2=2 답 I 2

03 POtildeAsup3+PBsup3+PCsup3=BCsup3에서

POtildeAsup3+PBsup3+PCsup3=PCsup3-PBsup3

there4 PAsup3=-2PBsup3

즉 점 P는 변 AB를 2``1로 내분하

는 점이므로

PBC=3ABC

=3_12=4

답 I ②

04 maoslash+nboslash=m(-2 1)+n(-1 3)

=(-2m-n m+3n)

maoslash+nboslash=coslash이므로

(-2m-n m+3n)=(-1 -7)

there4 -2m-n=-1 m+3n=-7

두 식을 연립하여 풀면

m=2 n=-3 there4 mn=-6 답 I ①

05 ABsup3=OBsup3-OAsup3=(x 2)-(1 5)=(x-1 -3)

CDsup3=ODsup3-OCsup3=(5 y)-(3 -1)=(2 y+1)

이때 ABsup3=CDsup3이므로

(x-1 -3)=(2 y+1)

따라서 x-1=2 -3=y+1이므로

x=3 y=-4 there4 x-y=7 답 I 7

06 2aoslash+boslash=(4 -1) yy

3aoslash-2boslash=(x -5) yy

_2+을 하면 7aoslash=(8+x -7)

there4 aoslash= 8+x14137 -1

이것을 에 대입하여 정리하면 boslash= 12-2x141317 1

aoslash-3boslash=(-5 y)에서

8+x14137 -1-3 12-2x141317 1=(-5 y)

즉 (x-4 -4)=(-5 y)이므로

x-4=-5 -4=y there4 x=-1 y=-4

there4 xUcirc`+yUcirc`=17 답 I ⑤

07 aoslash=(-2 3) boslash=(2 -1)이므로

2(a oslash-boslash)+3boslash=2aoslash-2boslash+3boslash=2aoslash+boslash

=2(-2 3)+(2 -1)=(-2 5)

there4|2(aoslash-boslash)+3boslash|=Atilde(-2)Ucirc`+5Ucirc`=29 답 I ④

08 5 aoslash-boslash=5(2 -1)-(k -1)=5-k 5$

B C

P

A

(01~40)1단원(해설)indd 18 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 19

이 벡터가 단위벡터이므로 |5 aoslash-boslash|=1

regAcirc5-kUcirc`+5$Ucirc`=1


kUcirc`-5$k+25)=1 5kUcirc`-4k-1=0

(5k+1)(k-1)=0

there4 k=1 (∵ kgt0) 답 I ②

09 직선 y=x 위의 점 P의 좌표를 (t t)라고 하면

APsup3=OPsup3-OAsup3=(t t)-(1 2)=(t-1 t-2)

BPsup3=OPsup3-OBsup3=(t t)-(-2 1)

=(t+2 t-1)

there4 APsup3+BPsup3=(t-1 t-2)+(t+2 t-1)

=(2t+1 2t-3)

there4|APsup3+BPsup3|=Atilde(2t+1)Ucirc`+(2t-3)Ucirc`

=Atilde8tUcirc`-8t+10

=frac34ETH8t-2Ucirc`+8

따라서 |APsup3+BPsup3|는 t=2일 때 최솟값 8=22 를 갖

는다 답 I ③

10 0Eacutem+nEacute1 mfrac340 nfrac340일 때

OPsup3=mOOtildeAsup3+nOBsup3를 만족시키

는 점 P가 나타내는 도형은 오른

쪽 그림과 같이 OAB의 내부와

그 둘레이다 따라서 구하는 넓이는

OAB=2_3_2=3 답 I 3


APsup3=OPsup3-OAsup3=(x y+3)

BPsup3=OPsup3-OBsup3=(x-2 y-5)

there4 APsup3+BPsup3=(x y+3)+(x-2 y-5)

=(2x-2 2y-2)

이때 |APsup3+BPsup3|=3에서 |APsup3+BPsup3|Ucirc`=9이므로

(2x-2)Ucirc`+(2y-2)Ucirc`=9

there4 (x-1)Ucirc`+(y-1)Ucirc`=4(

따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가 (1 1)이

고 반지름의 길이가 2인 원이므로 넓이는

p_2Ucirc`=4(p 답 I ④

12 좌표평면 위의 점 Q를

OQsup3= mOAsup3+nOBsup314131112m+n (mgt0 ngt0)

를 만족시키는 점이라고 하면 점 Q는 선분 AB를 n``m

으로 내분하는 점이다 또 m=0일 때 점 Q는 점 B

O

B

A3

2

y

x

n=0일 때 점 Q는 점 A이므로 점 Q는 선분 AB 위의 점

이다 이때

OPsup3=mOAsup3+nOBsup3= mOAsup3+nOBsup314131112m+n (m+n)

there4 OPsup3=(m+n)OQsup3

그런데 mfrac340 nfrac340

0Eacutem+nEacute1이므로 점 P가

나타내는 도형은 오른쪽 그림과

같이 삼각형 OAB의 경계를 포

함한 내부이다

한편 삼각형 OAB에서

A(4 0) B(2 23)이므로

OAOacute=OBOacute=ABOacute=4

따라서 삼각형 OAB는 한 변의 길이가 4인 정삼각형이므

로 점 P가 나타내는 도형의 둘레의 길이는

3OAOacute=3_4=12 답 I ③

O

2Acirc3

y

x2

P

B

A4

01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 21 05 9 06 ②

07 ① 08 ① 09 ④ 10 ③



하면

poslash= 3boslash+2aoslash141313+2 =5 aoslash+5 boslash

따라서 선분 BP를 2``1로 외분하는 점 Q의 위치벡터는

2poslash-boslash141322-1 =2poslash-boslash=25 aoslash+5 boslash-boslash

=5$ aoslash+5 boslash

이므로 m=5$ n=5

there4 100mn=100_5$_5=16 답 I ③

02 선분 OC가 angAOB의 이등분선이므로

ACOacute``BCOacute=OAOacute`ÒBOacute=3``1

즉 점 C는 선분 AB를 3``1로 내분하는 점이므로

OCsup3= 3OBsup3+OAsup3141312223+1 =4 OAsup3+4 OBsup3

따라서 m=4 n=4이므로 n-m=2 답 I ③

03 점 P는 변 AB를 1``2로 내분하는 점이므로

OPsup3= boslash+2aoslash1413541+2 =3 aoslash+3 boslash

(01~40)1단원(해설)indd 19 15 7 16 오후 208

20 정답과 해설

또 OGsup3= aoslash+boslash+coslash1413123 이므로 GPsup3=OPsup3-OGsup3에서

GPsup3=3 aoslash+3 boslash- aoslash+boslash+coslash1413123 =3 aoslash-3 coslash

따라서 x=3 y=0 z=-3이므로

x-y-2z=1 답 I ⑤

04 aoslash+boslash=(x Ucirc`+2x 3x+y-1)

2coslash-boslash=(4x+3 2x-y+8)

aoslash+boslash=2coslash-boslash에서

(xUcirc`+2x 3x+y-1)=(4x+3 2x-y+8)

즉 xUcirc`+2x=4x+3 3x+y-1=2x-y+8이므로

[xUcirc`-2x-3=0 yy

`` x+2y=9 yy

에서 (x-3)(x+1)=0 there4 x=3 (∵ xgt0)

x=3을 에 대입하면

3+2y=9 there4 y=3

there4 3x+4y=9+12=21 답 I 21

05 tcoslash=aoslash+boslash에서

t(7 5)=(x 1)+(2 y)=(x+2 y+1)

즉 x+2=7t y+1=5t이므로

x+214137 =

y+114135 there4 x=5amp(y+1)-2

x y는 자연수이므로 y+1이 5의 배수가 되어야 한다 이

때 y+1의 최솟값은 5이므로 y의 최솟값은 4이고 x의 값은

x=5amp_(4+1)-2=5

따라서 x+y의 최솟값은 4+5=9 답 I 9

06 aoslash+boslash-coslash=(x 1)+(-3 -2)-(-4 x+1)

=(x+1 -x-2)

이때 |aoslash+boslash-coslash|=5이므로

(x+1)Ucirc`+(-x-2)Ucirc`=25

2xUcirc`+6x+5=25 xUcirc`+3x-10=0

이 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 가지고 두 실근의

합은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 -3이다

따라서 모든 x의 값의 합은 -3이다 답 I ②

07 aoslash+3boslash=4coslash 에서

coslash= aoslash+3boslash141324 = aoslash+3boslash141321+3

즉 점 C는 선분 AB를 3``1로 내분하는 점이다

이때 aoslash-boslash=BOtildeAsup3이고 |aoslash-boslash|=100이므로

|BOtildeAsup3|=100 there4 ABOacute=100

there4 BCOacute= 11411+3ABOacute=4_100=25 답 I ①

08 2aoslash-3boslash+coslash=2(0 -2)-3(1 1)+(2 6)

=(-1 -1)

there4 |2aoslash-3boslash+coslash|=Atilde(-1)Ucirc`+(-1)Ucirc`=2따라서 벡터 2aoslash-3boslash+coslash와 방향이 같고 크기가 4인 벡터는

4_ 2aoslash-3boslash+coslash14132112|2aoslash-3boslash+coslash|

= 41422

(-1 -1)

=(-22 -22)따라서 x=-22 y=-22이므로

x+y=-42 답 I ①

09 네 점 A B C P의 위치벡터를 각각 aoslash boslash coslash poslash라고 하면

2PAsup3+PBsup3+2PCsup3=2BAsup3에서

2(aoslash-poslash)+(boslash-poslash)+2(coslash-poslash)=2(aoslash-boslash)

there4 3boslash+2coslash=5poslash

즉 점 P의 위치벡터 poslash는

poslash= 3boslash+2coslash141315 = 3boslash+2coslash141313+2

따라서 점 P는 위치벡터가 boslash coslash인 두

점 B C에 대하여 선분 BC를 2``3으

로 내분하는 점이다

there4 PAB``PAC=PBOacute``PCOacute=2``3 답 I ④

|다른 풀이|

BOtildeAsup3=PAsup3-PBsup3이므로

2PAsup3+PBsup3+2PCsup3=2(PAsup3-PBsup3)

there4 3 PBsup3=-2 PCsup3

즉 두 벡터 PBsup3 PCsup3는 방향이 반대이고 크기의 비가 2``3

이므로 점 P는 선분 BC를 2``3으로 내분하는 점이다

there4 PAB``PAC=PBOacute``PCOacute=2``3

10 0EacutetEacute2에서 0Eacute2-tEacute2

좌표평면 위의 점 Q를

OQsup3= tOAsup3+(2-t)OBsup31413111112t+(2-t) (0lttlt2)

를 만족시키는 점이라고 하면 점 Q는 선분 AB를

(2-t)``t로 내분하는 점이다 또 t=0일 때 점 Q는 점

B t=2일 때 점 Q는 점 A이므로 점 Q는 선분 AB 위의

점이다 이때

OPsup3=tOAsup3+(2-t)OBsup3= tOAsup3+(2-t)OBsup31413111112t+(2-t) _2

OPsup3=2OQsup3이므로 점 P는 2OOtildeAsup3=OOtildeAsup3 2OBsup3=OOtildeBsup3

을 만족시키는 선분 AB 위의 점이다

OB

B

A

A

P

Q

6

3 2

12 4-1-2

y

x

따라서 점 P가 나타내는 도형의 길이는

AOtildeBOacute=Atilde4-(-2)Ucirc`+(6-2)Ucirc`=213 답 I ③

B CP 32

A

(01~40)1단원(해설)indd 20 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 21

평면벡터의 내적07

01 ② 02 29 03 6 04 ④ 05 ⑤ 06 ④

07 ⑤ 08 ③ 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ②


01 aoslash=(-1 3) boslash=(2 1)이므로

aoslash+2boslash=(-1 3)+2(2 1)=(3 5)

there4 aoslash thinsp(aoslash+2boslash)=(-1)_3+3_5=12

답 I ②

02 aoslash=(x x+3) boslash=(y y+3)이므로

aoslash thinspboslash=xy+(x+3)(y+3)

=2xy+3(x+y)+9

=2xy+3_4+9 (∵ x+y=4)

=2xy+21 yy

이때 x y는 양수이므로 산술평균과 기하평균의 관계에

의하여

x+y14132 frac34paraxy paraxyEacute2

there4 xyEacute4

따라서 에서

aoslash thinspboslash=2xy+21Eacute2_4+21=29

이므로 aoslash thinspboslash의 최댓값은 29이다 답 I 29

03 반원에 대한 원주각의 크기는 90ugrave이므로

angBAC=90ugrave

즉 ABC는 직각삼각형이므로

BCOacute=Atilde(23)Ucirc`+2Ucirc`=4

따라서 OBOacute=OAOacute=OCOacute=ACOacute=2에서 AOC는 정삼각

형이므로

angOAB=90ugrave-60ugrave=30ugrave

there4 AOsup3oslash thinspABsup3=|AOsup3||ABsup3| cos 30ugrave

=2_23_ 31442 =6 답 I 6

04 |3aoslash+boslash|=5의 양변을 제곱하면

9|aoslash|Ucirc`+6 aoslash thinspboslash+|boslash|Ucirc`=25

9_1Ucirc`+6 aoslash thinspboslash+2Ucirc`=25 there4 aoslash thinspboslash=2

there4 (2aoslash+boslash) thinsp(3aoslash-boslash)=6|aoslash|Ucirc`+aoslash thinspboslash-|boslash|Ucirc`

=6_1Ucirc`+2-2Ucirc`

=4 답 I ④

05 두 벡터 aoslash boslash가 이루는 각의 크기가 4Ograve이고 |boslash|=2이므로

aoslash thinspboslash=|aoslash||boslash|cos 4Ograve=|aoslash| yy

|aoslash-2boslash|=13의 양변을 제곱하면

|aoslash|Ucirc`-4 aoslash thinspboslash+4|boslash|Ucirc`=13

|aoslash|Ucirc`-4|aoslash|+8=13 (∵ )

|aoslash|Ucirc`-4|aoslash|-5=0

(|aoslash|+1)(|aoslash|-5)=0

there4|aoslash|=5 (∵ |aoslash|gt0) 답 I ⑤

06 |aoslash+2boslash|=4의 양변을 제곱하면

|aoslash|Ucirc`+4 aoslash thinspboslash+4|boslash|Ucirc`=16

2Ucirc`+4 aoslash thinspboslash+4_(2)Ucirc`=16

4 aoslash thinspboslash=4 there4 aoslash thinspboslash=1

이때 |3aoslash-boslash|Ucirc`을 구하면

|3aoslash-boslash|Ucirc`=9|aoslash|Ucirc`-6 aoslash thinspboslash+|boslash|Ucirc`

=9_2Ucirc`-6_1+(2)Ucirc`=32

there4|3 aoslash-boslash|=32=42 답 I ④

07 aoslash=(2 -1) boslash=(5 -5)이므로

2aoslash-boslash=2(2 -1)-(5 -5)=(-1 3)

이때 aoslash 2aoslash-boslash가 이루는 각의 크기를 h (0EacutehEacutep)라고

하면

cos h= aoslash thinsp(2aoslash-boslash)14131124|aoslash||2aoslash-boslash|

= 2_(-1)+(-1)_31413111141111Atilde2Ucirc`+(-1)Ucirc` Atilde(-1)Ucirc`+3Ucirc`

= -5141325 10

=-21442

there4 h=4p 답 I ⑤

08 주어진 두 직선의 방향벡터를 각각 uoslash voslash라고 하면

uoslash=(2 1) voslash=(1 3)

이때 두 직선이 이루는 각의 크기가 h 0EacutehEacute2Ograve이므로

cos h= |uoslash thinspvoslash|141335|uoslash||voslash|

= |2_1+1_3|141311114Atilde2Ucirc`+1Ucirc` Atilde1Ucirc`+3Ucirc`

= 5141345 10

=21442

there4 sin h=Atilde1-cosUcirc` h=frac34ETH1- 21442 Ucirc`=21442

답 I ③

09 ABsup3와 ACsup3가 이루는 각의 크기를

B

2Acirc3 4

C

ΩA

h (0lthltp)라고 하면

ABC=2_ABOacute_ACOacute

_sin hthinsp thinsp yy

|ABsup3+ACsup3|=210의 양변을 제곱하면

|ABsup3|Ucirc`+2ABsup3 thinspACsup3+|ACsup3|Ucirc`=(210)Ucirc` (23)Ucirc`+2ABsup3 thinspACsup3+4Ucirc`=40

2ABsup3 thinspACsup3=12 there4 ABsup3 thinspACsup3=6

(01~40)1단원(해설)indd 21 15 7 14 오전 1038

22 정답과 해설

즉 cos h= ABsup3 thinspACsup31413111|ABsup3||ACsup3|

=614411

23_4=3144 4 이므로

sin h=Atilde1-cosUcirc` h=frac34ETH1-31444

Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①

10 두 벡터 aoslash=(x+1 2) boslash=(1 -x)에 대하여

aoslash와 boslash가 서로 수직이므로 aoslash thinspboslash=0

(x+1 2) thinsp(1 -x)=0

x+1-2x=0 there4 x=1 답 I ①

11 두 벡터 aoslash=(1 2) boslash=(x+1 -4)가 서로 평행하므로

boslash=kaoslash (단 k는 0이 아닌 실수)

라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3

또 두 벡터 boslash=(-2 -4) coslash=(2 2-y)가 서로 수직

이므로 boslash thinspcoslash=0

(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3

there4 xUcirc`+yUcirc`=(-3)Ucirc`+3Ucirc`=18 답 I ④


APsup3=OPsup3-OAsup3=(x y)-(-6 2)

=(x+6 y-2)

두 벡터 OPsup3 APsup3가 서로 수직이므로 OPsup3 thinspAPsup3=0

(x y) thinsp(x+6 y-2)=0

x(x+6)+y(y-2)=0

there4 (x+3)Ucirc`+(y-1)Ucirc`=10

따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가 (-3 1)

이고 반지름의 길이가 1 0인 원이므로 구하는 넓이는

10p이다 답 I ②

01 두 벡터 OPsup3 OQsup3가 이루는 각의 크기를 h (0EacutehEacutep)라고 하면

OPsup3 thinspOQsup3=|OPsup3||OQsup3| cos h=3_8_cos h=24 cos h

-1Eacutecos hEacute1이므로 -24EacuteOPsup3 thinspOQsup3Eacute24

따라서 M=24 m=-24이므로

M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④


02 오른쪽 그림과 같이 정육각형의 세 대 A6

B

C

F

O

D

E

각선 AD BE CF의 교점을 O라고

하면 6개의 삼각형은 모두 한 변의 길

이가 6인 정삼각형이므로

angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6

|ADsup3|=ADOacute=2AOOacute=12

there4 ABsup3 thinspADsup3=6_12_cos 3Ograve

=36 답 I ①


|aoslash|Ucirc`+4 aoslash thinspboslash+4|boslash|Ucirc`=12 yy

|2aoslash-boslash|=32의 양변을 제곱하면

4|aoslash|Ucirc`-4 aoslash thinspboslash+|boslash|Ucirc`=18 yy

+을 하면

5|aoslash|Ucirc`+5|boslash|Ucirc`=30

there4|aoslash|Ucirc`+|boslash|Ucirc`=6

there4 |aoslash+boslash|Ucirc`+|boslash-aoslash|Ucirc`

=(|aoslash|Ucirc`+2 aoslash thinspboslash+|boslash|Ucirc`)+(|aoslash|Ucirc`-2 aoslash thinspboslash+|boslash|Ucirc`)

=2(|a oslash|Ucirc`+|boslash|Ucirc`)

=2_6=12 답 I 12

04 두 벡터 OPsup3 OQsup3의 종점 P Q의 좌표를 각각 P(a b)

Q(c d)라고 하면 두 점 P Q를 x축의 방향으로 3만큼

y축의 방향으로 1만큼 평행이동시킨 점 P Q의 좌표는

각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다

ㄱ OPsup3-OOtildePsup3=(a b)-(a+3 b+1)

=(-3 -1)

there4 |OPsup3-OOtildePsup3|=Atilde(-3)Ucirc`+(-1)Ucirc`=10 (참)

ㄴ OPsup3-OQsup3=(a b)-(c d)=(a-c b-d)

OOtildePsup3-OOtildeQsup3=(a+3 b+1)-(c+3 d+1)

=(a-c b-d)

즉 OPsup3-OQsup3=OOtildePsup3-OOtildeQsup3이므로

|OPsup3-OQsup3|=|OOtildePsup3-OOtildeQsup3| (참)

ㄷ OPsup3 thinspOQsup3=ac+bd

OOtildePsup3 thinspOOtildeQsup3=(a+3)(c+3)+(b+1)(d+1)

=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10

there4 OPsup3 thinspOQsup3+OOtildePsup3 thinspOOtildeQsup3 (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ ㄴ이다 답 I ③

|다른 풀이|

ㄷ (반례) OPsup3=(1 2) OQsup3=(3 4)라고 하면

OOtildePsup3=(4 3) OOtildeQsup3=(6 5)

즉 OPsup3 thinspOQsup3=1_3+2_4=11이고

OOtildePsup3 thinspOOtildeQsup3=4_6+3_5=39이므로

OPsup3 thinspOQsup3+OOtildePsup3 thinspOOtildeQsup3

(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23

05 ABsup3=aoslash ACsup3=boslash라고 하면

|aoslash|=3 |boslash|=3 angBAC=3Ograve이므로

aoslash thinspboslash=|aoslash||boslash|cos 3Ograve

=3_3_2=2( yy

변 AB를 2``1로 내분하는 점이 D이므로

AOtildeDsup3=3 ABsup3=3 aoslash

변 AC를 3` 1과 1` 3으로 내분하는 점이 각각 E F이므로

AEsup3=4 ACsup3=4 boslash

AFsup3=4 ACsup3=4 boslash

이때 BFsup3=AFsup3-ABsup3=4 boslash-aoslash이고

DEsup3=AEsup3-ADsup3=4 boslash-3 aoslash이므로

BFsup3+DEsup3=4 boslash-aoslash+4 boslash-3 a oslash

=-3 aoslash+boslash

there4 |BFsup3+DEsup3|Ucirc`=|-3 aoslash+boslash|Ucirc`

=ordf9deg|aoslash|Ucirc`-Aacute3frac14a oslash thinspboslash+|boslash|Ucirc`

=ordf9deg_3Ucirc`-Aacute3frac14_2(+3Ucirc` (∵ )

=19 답 I ③

06 |aoslash-boslash|=1의 양변을 제곱하면

|aoslash|Ucirc`-2 aoslash thinspboslash+|boslash|Ucirc`=1

1-2 aoslash thinspboslash+1=1 (∵ |aoslash|=1 |boslash|=1)

there4 aoslash thinspboslash=2

이때 두 벡터 aoslash boslash가 이루는 각의 크기가 h (0EacutehEacutep)이므로

cos h= aoslash thinspboslash14132|aoslash||boslash|

=2

1411_1=2

there4 h=3Ograve 답 I ③

07 |2aoslash-boslash|=|aoslash+3boslash|의 양변을 제곱하면

4|aoslash|Ucirc`-4 aoslash thinspboslash+|boslash|Ucirc`=|aoslash|Ucirc`+6 aoslash thinspboslash+9|boslash|Ucirc`

there4 3|aoslash|Ucirc`-10 aoslash thinspboslash-8|boslash|Ucirc`=0

이때 두 벡터 aoslash boslash가 이루는 각의 크기를 h (0EacutehEacutep)라고 하면

3|aoslash|Ucirc`-10|aoslash||boslash|cos h-8|boslash|Ucirc`=0

위의 식에 |boslash|=|aoslash|를 대입하면

3|aoslash|Ucirc`-10|aoslash|Ucirc`cos h-8|aoslash|Ucirc`=0

10|aoslash|Ucirc`cos h=-5|aoslash|Ucirc`

A

B C

F

D E

ba

3

there4 cos h=- 5|aoslash|Ucirc`1413210|aoslash|Ucirc`

(∵ |aoslash|+0)

=-2

따라서 두 벡터 aoslash boslash가 이루는 각의 크기는 3p이다

답 I ④


uoslash=(-1 a) v oslash=(1 3)

두 직선이 이루는 각의 크기가 4Ograve이므로

cos 4Ograve= |uoslash thinspvoslash|141335|uoslash||voslash|

21432 = |-1+3a|141335111111Atilde(-1)Ucirc`+aUcirc` Atilde1Ucirc`+3Ucirc`

Atilde5aUcirc`+5=|3a-1|

5aUcirc`+5=9aUcirc`-6a+1

2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0

there4 a=2 (∵ agt0) 답 I ②



이때 |aoslash|=1 |boslash|=2이므로

4+4 aoslash thinspboslash+4=9


이때 두 벡터 aoslash+2boslash maoslash-boslash가 서로 수직이므로

(aoslash+2boslash) thinsp(maoslash-boslash)=0

m|aoslash|Ucirc`+(2m-1)aoslash thinspboslash-2|boslash|Ucirc`=0

m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound

there4 m=Aacute2Aacute 답 I ②

10 주어진 세 직선의 방향벡터를 각각 uAacutesup2 uordfsup2 upoundsup2라고 하면

uAacutesup2=(2 3) uordfsup2=(a 6) upoundsup2=(b -4)

두 직선 x-114412 = y-214413 x+11441a =6가 서로 평행하므로

uordfsup2=kuAacutesup2 (단 k는 0이 아닌 실수)

라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직

이므로 uAacutesup2 thinspupoundsup2=0

(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설

voslash=(3tUcirc`-5 para15)속력이 8이므로 Atilde(3tUcirc`-5)Ucirc`+15=8 (3tUcirc`-5)Ucirc`=49

3tUcirc`-5=Ntilde7 tUcirc`=4

there4 t=2 (∵ tfrac340)

dUcirc`x1442dtUcirc`

=6t dUcirc`y1442dtUcirc`

=0이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도를

aoslash라고 하면

aoslash=(6t 0)

따라서 시각 t=2에서의 가속도는 (12 0)이므로 구하는

가속도의 크기는

Atilde12Ucirc`+0Ucirc`=12 답 I ④

06 x=t+sin t y=1+cos t에서

dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t

이므로 점 P의 시각 t에서의 속도를 v oslash라고 하면

v oslash=(1+cos t -sin t)

즉 점 P의 시각 t에서의 속력은

|v oslash|=Atilde(1+cos t)Ucirc`+sinUcirc` t=Auml2+2 cos t

이때 0EacutetEacute2p에서 -1Eacutecos tEacute1이므로

0Eacute2+2 cos tEacute4

there4 0Eacute|voslash|Eacute2

따라서 점 P의 속력의 최댓값은 2이다 답 I 2

07 x=tUuml`-2 y=-3$tUuml`+1에서

dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`

따라서 t=1에서 t=4까지 점 P가 움직인 거리는

4`thinspAtilde(3tUcirc`)Ucirc`+(-4tUcirc`)Ucirc` dt=4`thinsp5tUcirc` dt

=[3tUuml`]4=105 답 I ①

08 x=3 sin t+2 cos t y=2 sin t-3 cos t에서

dx144dt

=3 cos t-2 sin t dy144dt

=2 cos t+3 sin t

이때 t=0에서 t=p까지 점 P가 움직인 거리는

)Egrave`thinspAtilde(3 cos t-2 sin t)Ucirc`+(2 cos t+3 sin t)Ucirc` dt

=)Egrave`thinspAtilde13(cosUcirc` t+sinUcirc` t) dt

=)Egrave`thinsp13 dt

=[13t]Egrave)=13p

따라서 a=13이므로 aUcirc`=13 답 I 13

09 x=2tUcirc`-3t y=4314423 tt에서

dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t

이때 t=1에서 t=a까지 점 P가 움직인 거리는

01 점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t) 가속도를 a(t)라고 하면

v(t)= f (t)=6t+t(

a(t)= f (t)=6- 914tUcirc`

따라서 t=3에서의 점 P의 가속도는

there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5

02 점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t)라고 하면

v(t)= f (t)=-pa sin pt-6Ograve

v(4)=2p이므로

-pa sin 4p-6Ograve=2p

pa1442 =2p there4 a=4

따라서 t=4에서의 점 P의 위치는

f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2

점 P의 가속도가 0일 때의 시각 t는

e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2

따라서 t=ln 2일 때 점 P의 속도는

v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②

04 x=2tUcirc`+t y=tUcirc`+2t-1에서

dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2

이므로 점 P의 시각 t에서의 속도를 voslash라고 하면

voslash=(4t+1 2t+2)

즉 점 P의 시각 t=1에서의 속도는 (5 4)이므로 시각

t=1에서의 속력은

Atilde5Ucirc`+4Ucirc`=41 답 I ②

05 x=tUuml`-5t y=para15t에서

dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25

a`thinspAtilde(t-3)Ucirc`+(2para3t )Ucirc` dt

=a`thinspAtilde(t+3)Ucirc` dt=a`thinsp(t+3)dt

=[2 tUcirc`+3t]a=2aUcirc`+3a-2amp

이 거리가 10이므로

2aUcirc`+3a-2amp=10 aUcirc`+6a-27=0

(a+9)(a-3)=0


10 y =x-4Aacute[이므로 구하는 곡선의 길이는

e`thinspfrac34ETH1+x-4Aacute[Ucirc` dx

=e`thinspfrac34ETHx+4Aacute[Ucirc` dx

=e`thinspx+4Aacute[ dx

=[2xUcirc`+4ln x]e

=2eUcirc`-4 답 I ②

11 y = eAring`-eNtildeAring`1441232 이므로 구하는 곡선의 길이는

-ln 2

frac34ETH1+ eAring`-eNtildeAring`1441232 Ucirc` dx

=-ln 2

frac34ETH eAring`+eNtildeAring`1441232 Ucirc` dx

=-ln 2

eAring`+eNtildeAring`1441232

` dx

=[ eAring`-eNtildeAring`1441232 ]-ln 2

=2 답 I ④

12 y =4xUcirc`- 114xUcirc`

이고 1EacutexEacutea에서 곡선의 길이가 6이므로

a`frac34ETH1+4xUcirc`- 114xUcircÙcirc` dx

=a`frac34ETH4xUcirc`+ 114xUcircÙcirc` dx

=a`thinsp4xUcirc`+ 114xUcirc` dx

=[1Aacute2x Uuml`-[]a

=1Aacute2aUuml`-a+12=6

즉 1Aacute2aUuml`-a+12=6에서

aYacute`-61a-12=0 (a-4)(aUuml`+4a Ucirc`+16a+3)=0

there4 a=4 (∵ agt0) 답 I 4

참고 도함수를 이용하여 방정식 aUuml`+4aUcirc`+16a+3=0의 실근을

조사해 보면 이 방정식은 단 하나의 음의 실근을 가진다

ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`

점 P의 속도가 0일 때의 시각 t는

10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5

따라서 점 P의 속도가 0일 때의 점 P의 위치는

f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④

02 점 P의 시각 t에서의 속도 가속도를 각각 v(t) a(t)라고

하면

v(t)= f (t)=at-3 sin 3T

a(t)= f (t)=a-9 cos 3T

t=p에서의 점 P의 가속도는

a(p)=a-9 cos 3Ograve=a-1Aacute8

즉 a-1Aacute8=9이므로 a=6

따라서 v(t)=6T-3 sin 3T이므로 t=p에서의 점 P의

속도는

v(p)=6Ograve-3 sin 3Ograve

=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①

03 x=tUcirc`-t+1 y=2tUcirc`-3t+Aacute2Aacute에서

dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3

점 P의 시각 t에서의 속도를 voslash라고 하면

voslash=(2t-1 t-3)


|voslash|=Atilde(2t-1)Ucirc`+(t-3)Ucirc`

=Atilde5tUcirc`-10t+10=Atilde5(t-1)Ucirc`+5

이므로 t=1일 때 점 P의 속력은 5로 최소이다

이때 t=1에서의 점 P의 위치는

P1Ucirc`-1+1 2_1Ucirc`-3_1+Aacute2Aacute 즉 P(1 3)

따라서 OPOacute=Atilde1Ucirc`+3Ucirc`=10이므로

OPOacute Ucirc`=10 답 I 10

04 x=3tUuml`+t+3 y=tUcirc`-2에서

dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설


voslash=(tUcirc`+1 2t)

t=1에서의 점 P의 속도는 (2 2)

이때 t=1에서의 점 P의 속도가 x축의 양의 방향과 이루

는 각의 크기가 h이므로 h=4Ograve

there4 cos h=cos 4Ograve= 21442 답 I ③

05 x=cos t y=sin t-cos t에서

dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t

이므로 t=3Ograve에서의 점 P의 속도는

voslash=- 31442 2+ 31442

또 dUcirc`x1442dtUcirc`

=-cos t dUcirc`y1442dtUcirc`

=-sin t+cos t이므로

시각 t=3Ograve에서의 점 P의 가속도는

aoslash=-2 2- 31442

there4 voslash thinspaoslash=- 31442 2+ 31442 thinsp-2 2-31442

=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②

06 x=at+a cos t y=a sin t (agt0)에서

dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t


=-a cos t dUcirc`y1442dtUcirc`

=-a sin t이므로 점 P의 시각

t에서의 가속도를 aoslash라고 하면

aoslash=(-a cos t -a sin t)

이때 점 P의 가속도의 크기가 3이므로

|aoslash|=Atilde(-a cos t)Ucirc`+(-a sin t)Ucirc`=3

AtildeaUcirc`(sinUcirc` t+cosUcirc` t)=3

aUcirc`=3 there4 a=3 (∵ agt0) 답 I 3

07 x=ln t y=2T+2Aacutet (tgt0)에서

dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`

따라서 t=2에서 t=e까지 점 P가 움직인 거리는

e` frac34ETHtUcirc`+2- 11442tUcircÙcirc`dt

=e` frac34ETH2+ 11442tUcircÙcirc`dt

=e`thinsp2+ 11442tUcirc`dt

=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④

08 x=4 cosUuml` t y=4 sinUuml` t 0EacutetEacute2Ograve에서

dx144dt

=-12 cosUcirc`t sin t dy144dt

=12 sinUcirc`t cos t

따라서 t=0에서 t=6Ograve까지 점 P가 움직인 거리 l은

l=)6Ograve Atilde(-12 cosUcirc` t sin t)Ucirc`+(12 sinUcirc` t cos t)Ucirc` dt

=)6Ograve Atilde12Ucirc`cosUcirc` t sinUcirc` t(cosUcirc` t+sinUcirc` t) dt

=)6Ograve 12 sin t cos t dt ∵ 0EacutetEacute2Ograve

=)6Ograve 6 sin 2t dt

=[-3 cos 2t])6Ograve=2

there4 10l=10_2=15 답 I 15

09 x=4t y=2t Ucirc`-4 ln t (tgt0)에서

dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$


2` frac34ETH4Ucirc`+t-t$Ucirc` dt

=2` frac34ETHt+t$Ucirc` dt

=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2

=ln 16ee there4 a=16ee 답 I ③

10 0EacutexEacutea에서 곡선 y=f(x)의 길이가 12이므로

)a` Atilde1+ f (x)Ucirc` dx

=)a` iquestsup11+(xAtildexUcirc`+2)Ucirc` dx

=)aÀtilde(xUcirc`+1)Ucirc` dx

=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12

즉 aUuml`+3a-36=0에서

(a-3)(aUcirc`+3a+12)=0 there4 a=3

there4 f (3)=3Atilde3Ucirc`+2=311 답 I ③

(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038

III 공간도형과 공간벡터 27

Ⅲ 공간도형과 공간벡터

공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108


01 EGOacute∥ACOacute에서 두 직선 BD와 EG가 이루는 각의 크기는

두 직선 BD와 AC가 이루는 각의 크기 90ugrave와 같으므로

a=90ugrave

또 ABOacute∥ EFOacute에서 두 직선 BD와 EF가 이루는 각의 크기

는 두 직선 BD와 AB가 이루는 각의 크기 45ugrave와 같으므로

b=45ugrave there4 a-b=45ugrave 답 I ③

02 오른쪽 그림과 같이 정사각뿔의 꼭

짓점 A에서 밑면 BCDE에 내린 수

선의 발을 O라고 하면 점 O는 밑면

의 두 대각선 BD CE의 교점이다

이때 선분 AM과 평면 BCDE가 이루는 각은 angAMO이

므로 angAMO=hACD는 한 변의 길이가 4인 정삼각형이므로

AOtildeMOacute=31442 _4=23

또 OOtildeMOacute=2 BCOacute=2이므로 직각삼각형 AOM에서

cos h=MOOacute1442AOtildeMOacute

= 2144223

=31443

there4 3 cosUcirc` h=3_3=1 답 I 1

03 오른쪽 그림과 같이 모서리 CD의 중

점을 N이라고 하면 삼각형 BCD에서

BDOacute∥MNOacute MNOacute=2 BDOacute=2

즉 두 선분 AM BD가 이루는 각의

크기는 두 선분 AM MN이 이루는 각의 크기와 같으므로

angAMN=h또 정사면체의 각 면은 모두 정삼각형이므로

AMOacute=AOtildeNOacute=31442 _3=

3314422따라서 오른쪽 그림과 같이 이등변삼각

형 AMN의 꼭짓점 A에서 선분 MN

에 내린 수선의 발을 H라고 하면

MHOacute=2 MNOacute=4

A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2

there4 cos h=MHOacute14424AOtildeMOacute

=4

14422331222

=31446 답 I ②

04 ABOacuteperpBCOacute ABOacuteperpBDOacute이므로 ABOacuteperp(평면 BCD)

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서

CDOacute에 내린 수선의 발을 H라고 하면

AOtildeHOacuteperpCDOacute ABOacuteperp(평면 BCD)이므

로 삼수선의 정리에 의하여 BHOacuteperpCDOacute

이때 BCD는 한 변의 길이가 6인

정삼각형이므로

BHOacute=31442 _6=33

직각삼각형 ABH에서

AHOacute=iquestsup1(33)Ucirc`+3Ucirc`=6

there4 ACD=2_CDOacute_AHOacute

=2_6_6=18 답 I 18

05 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서

모서리 CD에 내린 수선의 발을

E라고 하면

ACD=2_CDOacute_AEOacute

40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8

이때 AEOacuteperpCDOacute AHOacuteperp(평면 BCD)이므로 삼수선의 정리

에 의하여 EOtildeHOacuteperpCDOacute

따라서 angAEH=30ugrave이므로 직각삼각형 AHE에서

AOtildeHOacute=AEOacute sin 30ugrave

=8_2=4 답 I ②

06 오른쪽 그림과 같이 선분 HI를 그으면

DOtildeHOacuteperp(평면 EFGH) DOtildeIOtildeperpEGOacute이므로

삼수선의 정리에 의하여 HOtildeIOtildeperpEGOacute

이때 EGOacute=Atilde1Ucirc`+2Ucirc`=5이므로

EGH=2_EHOacute_HGOacute

=2_EGOacute_HIOacute

2_1_2=2_5_HIOacute

there4 HIOacute= 2514425따라서 직각삼각형 DHI에서

l=DIOacute=frac34ETH3Ucirc`+ 2514425 Ucirc`=

7514425

there4 5lUcirc`=5_ 7514425 Ucirc`=49 답 I 49

A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설

11 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 M에서 4

2

M

CD

H G

평면 DHGC에 내린 수선의 발을

M이라고 하면 선분 DM의 평면

DHGC 위로의 정사영은 DMOacute이다

따라서 직각삼각형 DMC에서

DMOacute=Atilde4Ucirc`+2Ucirc`=25 답 I ②

12 오른쪽 그림과 같이 햇빛과 수직

으로 만나는 공의 지름을 포함한

단면이 지면과 이루는 각의 크기를

h라고 하면 햇빛이 지면과 이루는

각의 크기가 60ugrave이므로

h=90ugrave-60ugrave=30ugrave

공의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 그림자의 넓이가

183p`cmUcirc`이므로

183p_cos 30ugrave=prUcirc` rUcirc`=27 there4 r=33따라서 공의 겉넓이는 4_p_(33)Ucirc`=108p이므로

a=108 답 I 108

Ω aring60aelig

07 AFOacuteperpADOacute이고 ABOacuteperpADOacute이므로 두 평면 ABCD와

AFGD가 이루는 각의 크기는 두 직선 AB와 AF가 이루

는 각의 크기와 같다

따라서 h=angBAF=45ugrave이므로

2 cosUcirc` h=2_ 21442 Ucirc`=1 답 I 1

08 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 O에서

모서리 AB와 평면 ABCD에 내린

수선의 발을 각각 E H라고 하면

OEOacuteperpABOacute OOtildeHOacuteperp(평면 ABCD)이

므로 삼수선의 정리에 의하여

ABOacuteperpEHOacute

즉 평면 OAB와 평면 ABCD가 이루는 각의 크기는 두

선분 OE EH가 이루는 각의 크기와 같으므로

angOEH=h이등변삼각형 OAB에서

OEOacute=iquestsup1OAOacute Ucirc`-AEOacute Ucirc`=Atilde9Ucirc`-3Ucirc`=62

EHOacute=2ADOacute=2_6=3

따라서 직각삼각형 OEH에서

cos h= EHOacute1442OEOacute

= 3144262

=21444 답 I ⑤

09 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서

선분 EG에 내린 수선의 발을 I라고

하면 DOtildeHOacuteperp(평면 EFGH)

DIOacuteperpEGOacute이므로 삼수선의 정리에

의하여 HIOacuteperpEGOacute

즉 평면 DEG와 평면 EFGH가 이루는 각의 크기는 두

선분 DI HI가 이루는 각의 크기와 같으므로 angDIH=h이때 삼각형 DEG에서

DEOacute=DGOacute=210 EGOacute=42

there4 DOtildeIOtilde=iquestsup1DEOacute Ucirc`-EOtildeIOtilde Ucirc`=iquestsup1(210)Ucirc`-(22 )Ucirc`=42

또 HIOacute=2HFOacute=2EGOacute=22이므로 직각삼각형 DHI

에서

cos h= HIOacute1444DIOacute

=22144242

=2

there4 2 cos h=1 답 I 1

10 정삼각형 ABC의 한 변의 길이가 8이므로

ABC=31444 _8Ucirc`=163

두 평면 a b가 이루는 각의 크기가 30ugrave이므로 구하는 정

사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤


01 정육면체의 모서리를 직선으로 면을 평면으로 생각하면

다음 그림과 같다

ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil

ㄱ lperpm이고 mperpn이어도 lperpn일 수 있다 (거짓)

ㄷ l∥a이고 l∥b이어도 aperpb일 수 있다 (거짓)

ㄹ aperpb이고 bperpc이어도 aperpc일 수 있다 (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다 답 I ②

02 정육면체의 12개의 모서리 중 세 선분 AB AD AE를

제외한 나머지는 모두 이 세 선분과 각각 평행하므로 선분

AC와 세 선분 AB AD AE가 이루는 각만 조사하자

Uacute 선분 AC와 선분 AB

angCAB=45ugrave이므로 cosUcirc` h=2

Ucirc 선분 AC와 선분 AD

angCAD=45ugrave이므로 cosUcirc` h=2

(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038


there4 AHOacute=BHOacute=3

따라서 직각삼각형 PAH에서

PHOacute=Atilde4Ucirc`+3Ucirc`=5 답 I ②

06 ABOacuteperpBDOacute ABOacuteperpBCOacute이므로 ABOacuteperp(평면 BCD)


CD에 내린 수선의 발을 E라고 하면

ABOacuteperp(평면 BCD) AEOacuteperpCDOacute

이므로 삼수선의 정리에 의하여

BEOacuteperpCDOacute

이때 BCD는 BCOacute=BDOacute인 이등변삼각형이므로

CEOacute=2 CDOacute=3

there4 BEOacute=iquestsup1 BCOacute Ucirc`-CEOacute Ucirc`=Atilde5Ucirc`-3Ucirc`=4

따라서 직각삼각형 ABE에서

AEOacute=iquestsup1ABOacute Ucirc`+BEOacute Ucirc`=Atilde3Ucirc`+4Ucirc`=5

there4 ACD=2_CDOacute_AEOacute

=2_6_5=15 답 I 15

07 평면 a b가 이루는 각의 크기는 두 선분 PQ PR가 이루

는 각의 크기와 같으므로 angQPR=h이때 APQ에서 AQOacute=62 angQAP=45ugrave이므로

PQOacute=AQOacute sin 45ugrave=6 APOacute=AQOacute cos 45ugrave=6

ARP에서 APOacute=6 angRAP=30ugrave이므로

PROacute=APOacute tan 30ugrave=23즉 PQR는 PQOacute=QROacute=6인 이등변삼각

형이다 오른쪽 그림과 같이 삼각형 PQR

의 꼭짓점 Q에서 변 PR에 내린 수선의 발

을 H라고 하면 점 H는 선분 PR의 중점이

므로

PHOacute=2PROacute=3

따라서 직각삼각형 PQH에서

cos h= PHOacute1442PQOacute

=31446 이므로

60 cosUcirc` h=60_3pound6=5 답 I 5

08 오른쪽 그림과 같이 컵을 기울이기

전의 수면과 원기둥의 모선이 만나

는 두 점을 각각 A B라 하고 컵을

최대로 기울였을 때 수면과 원기둥

의 모선이 만나는 두 점을 각각 C

D라고 하면

ACOacute=BDOacute=4 cm there4 DEOacute=8(cm)

따라서 직각삼각형 CDE에서

CDOacute=Atilde6Ucirc`+8Ucirc`=10(cm)

angECD=h라고 하면 cos h=1curren0=5

A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω

Uuml 선분 AC와 선분 AE

정육면체의 한 모서리의 길이를 a라고 하면

ACOacute=2a AEOacute=a CEOacute=3a there4 CEOacute Ucirc`=ACOacute Ucirc`+AEOacute Ucirc`

즉 angCAE=90ugrave이므로 cosUcirc` h=0

Uacute Ucirc Uuml에 의하여 cosUcirc` h의 최댓값은 2이다 답 I ④

03 오른쪽 그림과 같이 밑면의 두 대각선

EG HF의 교점을 O라고 하면 점 F

에서 평면 AEGC에 내린 수선의 발

은 점 O와 일치한다 즉 두 선분 FC

OC가 이루는 각의 크기가 선분 FC와

평면 AEGC가 이루는 각의 크기와 같

으므로 angFCO=h

FCOacute=Atilde2Ucirc`+4Ucirc`=25 OGOacute=2_22=2이고

직각삼각형 OCG에서 OCOacute=iquestsup1(2)Ucirc`+4 Ucirc`=32 따라서 직각삼각형 COF에서

cos h= OCOacute14444FCOacute

=32144225

=3101442210 답 I ③


선분 EG에 내린 수선의 발을 I라

고 하면

DHOacuteperp(평면 EFGH)

DIOacuteperpEGOacute


HIOacuteperpEGOacute

이때 EGOacute=iquestsup11+(3)Ucirc`=2이므로

EGH=2_EHOacute_HGOacute=2_EGOacute_HIOacute에서

2_1_3=2_2_HIOacute there4 HIOacute=31442

즉 직각삼각형 DHI에서

DIOacute=frac34ETH1Ucirc`+ 31442 Ucirc`=71442

또 DEOacute=2이므로 직각삼각형 DEI에서

EIOacute=frac34ETH(2)Ucirc`- 71442 Ucirc`=2

there4 cos h= EIOacute14444DEOacute

=21442

=21444 답 I ①

05 오른쪽 그림과 같이 점 P에

서 선분 BC에 내린 수선의

발을 H라고 하면 PAOacuteperpa PHOacuteperpBCOacute이므로 삼수선의 정

리에 의하여 AHOacuteperpBCOacute

ABC는 ABOacute=ACOacute인 직각이등변삼각형이므로

angB=angC=45ugrave BHOacute=CHOacute=2 BCOacute=3

D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설

이때 수면의 원기둥의 밑면 위로의 정사영은 밑면인 원이

므로 수면의 넓이를 S`cmUcirc`이라고 하면

S cos h=p_3Ucirc` 5S=9p there4 S=15p 답 I ③

09 정사각뿔의 꼭짓점 O에서 밑면 ABCD에 내린 수선의

발은 밑면의 두 대각선의 교점 P와 일치한다 즉 옆면

인 삼각형 OAB의 평면 ABCD 위로의 정사영은 삼각형

PAB이므로 평면 OAB와 평면 ABCD가 이루는 각의

크기를 h라고 하면

OAB cos h=PAB yy

이때 OAB는 한 변의 길이가 12인 정삼각형이므로

OAB= 31444 _12Ucirc`=363

또 ABCD는 한 변의 길이가 12인 정사각형이므로

PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36

즉 에서 363 cos h=36이므로

cos h= 31443

따라서 삼각형 PAB의 평면 OAB 위로의 정사영의 넓이는

PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①


01 점 B는 점 (b -3 1)과 z축에 대하여 대칭인 점이므로

점 B의 좌표는

B(-b 3 1)

이때 두 점 A(2 0 a) B(-b 3 1)의 x좌표 z좌표

는 각각 같으므로

2=-b a=1

따라서 a=1 b=-2이므로

a-b=1-(-2)=3 답 I 3

02 두 점 P(a b -2) Q(c -3 -2)가 yz평면에 대하

여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy

또 점 Q(c -3 -2)에서 x축에 내린 수선의 발이

R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①

03 점 P(a+1 a-1 -a)와 xy평면에 대하여 대칭인 점

이 Q이므로 점 Q의 좌표는

Q(a+1 a-1 a)

또 점 R(b c 2)와 y축에 대하여 대칭인 점이 S이므로

점 S의 좌표는

S(-b c -2)

이때 두 점 Q S가 원점에 대하여 대칭이므로

a+1=b a-1=-c a=2

따라서 a=2 b=3 c=-1이므로

a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는

POtildeAOacute=Atilde(-1)Ucirc`+(1-3)Ucirc`+aUcirc`=AtildeaUcirc`+5

점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는

PBOacute=Atilde1Ucirc`+(2-3)Ucirc`+(-1)Ucirc`=3이때 POtildeAOacute=2PBOacute에서

AtildeaUcirc`+5=23 aUcirc`=7

there4 a=7 (∵ agt0) 답 I ①

05 점 P(2 -2 3)과 z축에 대하여 대칭인 점이 Q이므로

점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)

점 P와 xy평면에 대하여 대칭인 점이 R이므로 점 R의 좌

표는

R(2 -2 -3)

there4 QROacute=Atilde2-(-2)Ucirc`+(-2-2)Ucirc`+(-3-3)Ucirc`

=68=217 답 I ④

06 두 점 A B의 z좌표의 부호가 서로 같으므로 두 점 A B

는 좌표공간에서 xy평면을 기준으로 같은 쪽에 있다

오른쪽 그림과 같이 점 B와 xy

평면에 대하여 대칭인 점을 B

이라고 하면

B(-2 3 -2)

이때 BPOacute=BPOacute이므로

APOacute+BPOacutefrac34ABOacute

=Atilde(-2-4)Ucirc`+(3-1)Ucirc`+(-2-1)Ucirc`

=49=7

따라서 APOacute+BPOacute의 최솟값은 7이다 답 I ⑤

07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB

를 1``2로 내분하는 점의 좌표는

1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)

이 점의 좌표가 (5 2 b)와 일치하므로

a+2=5 6=b

따라서 a=3 b=6이므로

a+b=9 답 I ③

08 선분 AB를 1``2로 내분하는 점이 xy평면 위에 있으므로

내분점의 z좌표는 0이다 즉

1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6

선분 AB를 1``2로 외분하는 점이 z축 위에 있으므로 외

분점의 x좌표 y좌표는 모두 0이다 즉

1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③

09 점 A(2 3 4)에서 xy평면 yz평면 zx평면에 내린 수선

의 발이 각각 P Q R이므로 세 점 P Q R의 좌표는

P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)

이때 삼각형 PQR의 무게중심 G의 좌표는

G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3

따라서 a=3$ b=2 c=3이므로

a+b+c=6 답 I 6

10 중심이 점 C(3 -2 1)이고 원점 O를 지나는 구의 반지

름의 길이는

OCOacute=Atilde3Ucirc`+(-2)Ucirc`+1Ucirc`=14이때 구의 방정식은

(x-3)Ucirc`+(y+2)Ucirc`+(z-1)Ucirc`=14

there4 xUcirc`+yUcirc`+zUcirc`-6x+4y-2z=0

따라서 a=-6 b=4 c=-2 d=0이므로

a+b+c+d=-4 답 I ①

11 구 xUcirc`+yUcirc`+zUcirc`-4x-2ay-2z-3=0에서

(x-2)Ucirc`+(y-a)Ucirc`+(z-1)Ucirc`=aUcirc`+8

xy평면 위의 점은 z좌표가 0이므로 z=0을 대입하면

(x-2)Ucirc`+(y-a)Ucirc`=aUcirc`+7

이 원의 넓이가 16p이므로 p_(AtildeaUcirc`+7 )Ucirc`=16p aUcirc`+7=16 there4 aUcirc`=9 답 I 9

12 구 xUcirc`+yUcirc`+zUcirc`-2x+6y-2az+b=0에서

(x-1)Ucirc`+(y+3)Ucirc`+(z-a)Ucirc`=10+aUcirc`-b

즉 이 구의 중심의 좌표는 (1 -3 a)이고 반지름의 길

이는 Atilde10+aUcirc`-b

이때 이 구가 xy평면과 zx평면에 동시에 접하므로

Atilde10+aUcirc`-b=|a|=|-3|


또 10+aUcirc`-b=9에서 b=10

there4 a+b=13 답 I ①

01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③


01 오른쪽 그림과 같이 점 P2`2`3

A

Oy

z

xB

CH

P(2 2 3)에서 xy평면에 내린

수선의 발을 H라고 하면

H(2 2 0)

점 H는 밑면의 두 대각선의 교점

과 일치하므로 세 점 A B C의 좌표는

A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)

따라서 정사각뿔의 밑면은 한 변의 길이가 4인 정사각형

이고 정사각뿔의 높이는 PHOacute=3이므로

(정사각뿔의 부피)=3_( OABC)_PHOacute

=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로

ABOacute=Atilde(3-2)Ucirc`+(-1-1)Ucirc`+2-(-3)Ucirc`=30 CDOacute=Atilde(3-2)Ucirc`+(-1-1)Ucirc`=5 이때 두 직선 AB CD가 이루는 각의 크기가 h이므로

ABOacute cos h=CDOacute

there4 cos h= CDOacute1442ABOacute

= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여

ABOacute=Atilde(1-2)Ucirc`+(3-1)Ucirc`+(4-2)Ucirc`=3

ACOacute=Atilde(a-2)Ucirc`+(-1-1)Ucirc`+(3-2)Ucirc`

=AtildeaUcirc`-4a+9

이때 ABOacute=ACOacute이므로

AtildeaUcirc`-4a+9=3 aUcirc`-4a=0

a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4

04 두 점 A B의 y좌표의 부호가 같으므로 두 점 A B는 좌

표공간에서 zx평면을 기준으로 같은 쪽에 있다

점 A와 zx평면에 대하여 대칭인 점을 A이라고 하면

A(3 -4 3)

이때 APOacute=APOacute이므로

APOacute+PBOacute=APOacute+PBOacutefrac34AOtildeBOacute

따라서 APOacute+BPOacute의 최솟값은

(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설

AOtildeBOacute=Atilde(-2-3)Ucirc`+(a+4)Ucirc`+(3-3)Ucirc`

=AtildeaUcirc`+8a+41

즉 AtildeaUcirc`+8a+41=52이므로

aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0


05 오른쪽 그림과 같이 xy평면 위의

타원 xUcirc149 +yUcirc=1의 꼭짓점의 좌표는

(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)

점 A(9 0 5)에서 x축에 내린 수

선의 발을 A이라고 하면 A(9 0 0)

there4 APOacute=iquestsup1AOtildeAOacute Ucirc`+AOtildePOacute Ucirc`=iquestsup15Ucirc`+AOtildePOacute Ucirc`

이때 APOacute는 점 P가 점 (-3 0 0)에 있을 때 최대이다

따라서 APOacute의 최댓값은

APOacute=iquestsup15Ucirc`+AOtildePOacute Ucirc`=Atilde5Ucirc`+12Ucirc`=13 답 I 13

06 점 P의 좌표는

P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)

두 점 P Q에서 xy평면에 내린 수선의 발이 각각 P Q

이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)

there4 PQOacute=Atilde2-(-1)Ucirc`+(-3-1)Ucirc`=5 답 I ③

07 오른쪽 그림과 같이 3개의 구의

중심을 각각 P Q R라고 하면

P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)

삼각형 PQR의 무게중심의 좌

표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3

따라서 p=3amp q=3amp r=3이므로

p+q+r=Aacute3raquo 답 I ②

P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R

08 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 H를

원점으로 하고 세 모서리 HE

HG HD를 각각 x축 y축 z축

의 양의 방향과 일치하도록 정육

면체를 좌표공간에 놓으면

A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)

모서리 EF의 중점 P의 좌표는

P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)

또 모서리 CD를 1``3으로 내분하는 점 Q의 좌표는

Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓

점으로 하는 삼각형 APQ의 무게중심 R의 좌표는

R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3

따라서 a=3 b=3 c=3이므로

3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7

09 구 xUcirc`+yUcirc`+zUcirc`-2x-4y-6z+k=0에서

(x-1)Ucirc`+(y-2)Ucirc`+(z-3)Ucirc`=14-k

이므로 중심을 C 반지름의 길이를 r라고 하면

C(1 2 3) r=Auml14-k

오른쪽 그림과 같이 점 A에서

구에 그은 접선의 접점을 B라

고 하면

ABOacute=22직각삼각형 ABC에서 ACOacute Ucirc`=ABOacute Ucirc`+BCOacute Ucirc`이므로

(3-1)Ucirc`+(4-2)Ucirc`+(5-3)Ucirc`

=(22)Ucirc`+(Auml14-k)Ucirc`

12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤

10 y축 위의 점은 x좌표와 z좌표가 모두 0이므로 주어진 구

의 방정식에 x=0 z=0을 대입하여 정리하면

yUcirc`-4y+6-rUcirc`=0 yy

주어진 구와 y축이 만나는 두 점 사이의 거리가 2이므로 y

에 대한 이차방정식 의 두 근의 차가 2이다

따라서 의 두 근을 a a+2라고 하면 근과 계수의 관계

에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`

a=1 rUcirc`=3이므로

r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038


05 점 Q를 OQsup3= OEsup3+OGsup3144221222 로 놓으면 점 Q는 선분 EG의 중

점이다

there4 OPsup3= OEsup3+OGsup3144221223 = OEsup3+OGsup3144221222 _3

=3 OQsup3 yy

그런데

|OEsup3|=|EGsup3|=|OGsup3|=62이므로 OEG는 정삼각형이고

OQOacute는 OEG의 중선이다

즉 에 의하여 점 P는 정삼각형

OEG의 무게중심이다

there4 |GPsup3|Ucirc`=|OPsup3|Ucirc`

=|3 OQsup3|Ucirc`

=9$|OQsup3|Ucirc`=9$ OQOacute Ucirc`

=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24

06 실수 t에 대하여 0lttlt1일 때

HPsup3=tHEsup3+(1-t)HCsup3= tHEsup3+(1-t)HCsup3144221221112t+(1-t)

이므로 점 P는 선분 CE를 t``(1-t)로 내분하는 점이다

또 t=0이면 점 P는 점 C t=1이면 점 P는 점 E이므로

0EacutetEacute1인 실수 t에 대하여 점 P는 선분 CE 위의 점이다

따라서 점 P가 나타내는 도형은 선분 CE이므로 그 길이는

|CEsup3|=CEOacute=Atilde1Ucirc`+2Ucirc`+3Ucirc`=para14 답 I ④

07 OAsup3 thinspOBsup3=2이므로

(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2



08 주어진 전개도로 정육면체를 만들

면 오른쪽 그림과 같다

두 벡터 ACsup3 AGsup3가 이루는 각의


|AGsup3|cos h=|ACsup3|

there4 ACsup3 thinspAGsup3=|ACsup3||AGsup3|cos h=|ACsup3|Ucirc`=(Atilde1Ucirc`+1Ucirc`)Ucirc`=2 답 I ②

|다른 풀이|

오른쪽 그림과 같이 주어진 전

개도로 만든 정육면체의 꼭짓

점 A가 원점 세 모서리 AB

AD AE가 각각 x축 y축 z축

의 양의 방향에 오도록 좌표공

간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①


01 AGsup3+BFsup3+DEsup3

=(aoslash+boslash+coslash)+coslash+(coslash-boslash)

=aoslash+3coslash

따라서 x=1 y=0 z=3이므로

x Ucirc`+yUcirc`+zUcirc`=10

답 I 10

02 ABsup3=(t -4 -t-2)이므로

|ABsup3|Ucirc`=AtildetUcirc`+(-4)Ucirc`+(-t-2)Ucirc`

=Atilde2tUcirc`+4t+20

=Atilde2(t+1)Ucirc`+18

따라서 t=-1일 때 |ABsup3|의 최솟값은 para18=32이다

답 I ③

03 점 P는 xy평면 위의 점이므로 P(x y 0)이라고 하면

POtildeAsup3=(3-x 4-y 5)

PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)

there4 POtildeAsup3+PBsup3+PCsup314422121113 =(4-x 5-y 6)

따라서

| PAsup3+PBsup3+PCsup314422121113 |=Atilde(4-x)Ucirc+(5-y)Ucirc+6Ucirc

=Atilde(x-4)Ucirc+(y-5)Ucirc+36

이므로 x=4 y=5일 때 | PAsup3+PBsup3+PCsup314422121113 |의 최솟값은

para36=6이다 답 I ②

04 좌표공간의 점 P에 대하여 OPsup3= OAsup3+2OBsup31442212143 로 놓으면

OPsup3= 2OBsup3+OAsup31442212142+1 이므로 점 P는 선분 AB를 2``1로 내

분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)

there4 | OAsup3+2OBsup31442212132 |=|OPsup3|=Atilde2Ucirc`+(-3)Ucirc`+5Ucirc`

=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)

there4 ACsup3 thinspAGsup3=(1 1 0) thinsp(1 1 1)=1_1+1_1+0_1=2

09 오른쪽 그림과 같이 모서리 CD의 중점

을 M이라 하고

angABM=hthinsp0EacutehEacute2Ograve

라고 하면 두 벡터 BOtildeAsup3 BEsup3가 이루는

각의 크기는 2h이다

꼭짓점 A에서 정삼각형 BCD에 내린 수선의 발을 H라고

하면 점 H는 정삼각형 BCD의 무게중심이므로

BOtildeHOacute=3BMOacute=3_ 31442 _6=23

즉 cos h= BOtildeHOacute1442ABOacute

= 2314426 = 31443 이므로

cos 2h=2cosUcirc` h-1=-3

there4 BOtildeAsup3 thinspBEsup3=|BAsup3||BEsup3|cos 2h

=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|

오른쪽 그림과 같이 주어진

도형의 꼭짓점 B가 원점 모

서리 BD가 y축의 양의 방

향과 일치하면서 면 BCD가

xy평면 위에 놓이도록 좌표

공간에 놓으면

A(3 3 26) E(3 3 -26) there4 BOtildeAsup3 thinspBEsup3=(3 3 26) thinsp(3 3 -26)

=3+9-24=-12

10 aoslash=(2 2 1) boslash=(1 4 -1)이므로

cos h=2_1+2_4+1_(-1)144211111111115Atilde2Ucirc`+2Ucirc`+1Ucirc` Atilde1Ucirc`+4Ucirc`+(-1)Ucirc`

= 9144129 para18

= 21442

이때 0EacutehEacutep이므로 h=4Ograve 답 I ②

11 aoslash와 boslash가 서로 평행하므로

boslash=kaoslash (k는 0이 아닌 실수)

(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1

boslash와 coslash가 서로 수직이므로

boslash thinspcoslash=0

(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy

n=2m+1을 에 대입하면

A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0

there4 m=1 또는 m=2

즉 m=1 n=3 또는 m=2 n=5이므로

m+n=4 또는 m+n=7

따라서 m+n의 최댓값은 7이다 답 I ④

12 aoslash boslash가 서로 수직이므로 aoslash thinspboslash=0 yy

(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0

xUcirc`-4x+4=0 (x-2)Ucirc`=0

there4 x=2

즉 aoslash=(2 -2 1) boslash=(3 4 2)이므로

|aoslash|=3 |boslash|=para29 there4 (aoslash+boslash) thinsp(2aoslash-boslash)=2aoslash thinspaoslash+aoslash thinspboslash-boslash thinspboslash

=2|a oslash|Ucirc`-|boslash|Ucirc` (∵ )

=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|

aoslash boslash가 서로 수직이므로 aoslash thinspboslash=0에서

(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2


a oslash+boslash=(5 2 3) 2aoslash-boslash=(1-8 0)

there4 (aoslash+boslash) thinsp(2a oslash-boslash)=(5 2 3) thinsp(1 -8 0)

=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②


01 coslash=yaoslash+zboslash이므로

(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy

을 연립하여 풀면 y=2 z=3

y=2 z=3을 에 대입하면

2x-9=-1 2x=8 there4 x=4

there4 x+y+z=9 답 I 9

02 ACsup3+AFsup3+AHsup3=(ABsup3+ADsup3)+(ABsup3+AEsup3)

+(ADsup3+AEsup3)

=2(ABsup3+ADsup3+AEsup3)=2AGsup3

(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039


there4 |ACsup3+AFsup3+AHsup3|Ucirc`=|2AGsup3|Ucirc`=4AGOacute Ucirc`

=4(3Ucirc`+4Ucirc`+1Ucirc`)

=104 답 I ④

|다른 풀이|


직육면체를 꼭짓점 E가 원

점 세 모서리 EF EH EA

가 각각 x축 y축 z축의 양의

방향에 오도록 좌표공간에 놓

으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)

there4 ACsup3=ECsup3-EOtildeAsup3=(3 4 1)-(0 0 1)

=(3 4 0)

AFsup3=EFsup3-EOtildeAsup3=(3 0 0)-(0 0 1)

=(3 0 -1)

AOtildeHsup3=EHsup3-EOtildeAsup3=(0 4 0)-(0 0 1)

=(0 4 -1)

따라서 ACsup3+AFsup3+AHsup3=(6 8-2)이므로

|ACsup3+AFsup3+AHsup3|=Atilde6Ucirc`+8Ucirc`+(-2)Ucirc`=para104 there4 |ACsup3+AFsup3+AOtildeHsup3|Ucirc`=104

03 POtildeAsup3+2PCsup3=FCsup3에서 POtildeAsup3+2PCsup3=PCsup3-PFsup3

there4 POtildeAsup3+PCsup3=-PFsup3 yy

이때 점 Q에 대하여 PQsup3= POtildeAsup3+PCsup3144221222 라고 하면 점 Q는

선분 AC의 중점이므로 에서

PQsup3=-2 PFsup3sup3

즉 점 P는 선분 FQ를 2``1로 내분

하는 점이므로 점 P는 삼각형 ACF

의 무게중심이다

또 ACOacute=AFOacute=CFOacute=62이므로

AFC는 정삼각형이다

따라서 삼각형 PAF의 넓이는

3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤

04 POtildeAOacuteAacutesup3+PBOacuteAacutesup3=0oslash이므로

POtildeAOacuteordfsup3+POtildeBordfsup3=POtildeOtildeAAacutesup3+AOtildeAacuteAordfsup3+POtildeBAacutesup3+BOtildeAacuteBordfsup3

=AOtildeAacuteAordfsup3+BOtildeAacuteBordfsup3=2AOtildeAacuteAordfsup3

POtildeAOacutepoundsup3+PBOacutepoundsup3=POtildeAOacuteAacute+AOtildeAacuteApoundsup3+PBOacuteAacute+BOtildeAacuteBpoundsup3

=AOtildeAacuteApoundsup3+BOtildeAacuteBpoundsup3=2AOtildeAacuteApoundsup3

⋮

POtildeAOacuteyensup3+PBOacuteyensup3=POtildeAOacuteAacutesup3+AOtildeAacuteAyensup3+PBOacuteAacutesup3+BOtildeAacuteByensup3

=AOtildeAacuteAyensup3+BOtildeAacuteByensup3=2AOtildeAacuteAyensup3

there4 8

Aacutei=1

(POtildeAOacuteOcircsup3+PBOacuteOcircsup3 )=(POtildeAOacuteAacutesup3+PBOacuteAacutesup3 )+(POtildeAOacuteordfsup3+POtildeBordfsup3 )

+y+(POtildeAOacuteyensup3+PBOacuteyensup3 )

A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G

=2(AOtildeAacuteAordfsup3+AOtildeAacuteApoundsup3+y+AOtildeAacuteAyensup3)

yy

이때 윗면인 정팔각형의 가장 긴 대각선들의 교점을 O라

고 하면 OAOacutedegsup3=-OAOacuteAacutesup3 OAOacutecurrensup3=-OAOacuteordfsup3

OAOacutebrvbarsup3=-OAOacutepoundsup3 OAOacuteyensup3=-OAOacutecentsup3이므로

AOtildeAacuteAordfsup3+AOtildeAacuteApoundsup3+y+AOtildeAacuteAyensup3

=(OAOacuteordfsup3-OAOacuteAacutesup3)+(OAOacutepoundsup3-OAOacuteAacutesup3)+y+(OAOacuteyensup3-OAOacuteAacutesup3)

=OAOacuteordfsup3+OAOacutepoundsup3+y+OAOacuteyensup3-7OAOacuteAacutesup3

=OAOacutedegsup3-7OAOacuteAacutesup3=-8OAOacuteAacutesup3

즉 에서

8

Aacutei=1

(POtildeAOacuteOcircsup3+PBOacuteOcircsup3)=-16 OAOacuteAacutesup3 yy

한편 AOtildeAacuteApoundsup3=32이므로 오른쪽

그림에서

2|OAOacuteAacutesup3Oacute|=32 there4 |OAOacuteAacutesup3|=3

따라서 에서

|8

Aacutei=1

(PAOacuteOcircsup3+PBOacuteOcircsup3 )|=|-16OAOacuteAacutesup3|

=16|OAOacuteAacutesup3|=48 답 I 48

05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로

ABsup3Oacute=(-3 -1 -4) BCsup3Oacute=(4 0 -2)

there4 |ABsup3Oacute thinspBCsup3Oacute|=|-12+8|=4 답 I 4

06 점 P가 선분 BC 위를 움직이므로

OPsup3Oacute=OBsup3Oacute+BPsup3Oacute

=OBsup3Oacute+kBCsup3Oacute (0EacutekEacute1)

로 나타낼 수 있다

이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로

BCsup3Oacute=OCsup3Oacute-OBsup3Oacute=(-2 -1 4)

there4 OPsup3Oacute=(2 3 0)+k(-2 -1 4)

=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로

APsup3Oacute=OPOacute-OAOacute

=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)

there4 OPsup3Oacute thinspAPsup3Oacute

=(-2k+2 -k+3 4k)

thinsp(-2k+1 -k+3 4k)

=(4kUcirc`-6k+2)+(kUcirc`-6k+9)+16kUcirc`

=21kUcirc`-12k+11

=21k-7Ucirc`+curren7deg

따라서 OPsup3Oacute thinspAPsup3Oacute는 k=7일 때 최솟값 curren7deg를 갖는다

답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설

09 오른쪽 그림과 같이 주어진 직육

면체의 꼭짓점 H가 원점 세 모

서리 HE HG HD를 각각 x축

y축 z축의 양의 방향에 오도록

좌표공간에 놓으면

A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)

there4 ACsup3=HCsup3-HOtildeAsup3

=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)

이때 두 벡터 ACsup3 HBsup3가 이루는 각의 크기가 h이므로

cos h=(-4 3 0) thinsp(4 3 5)1442111111112Atilde(-4)Ucirc`+3Ucirc` Atilde4Ucirc`+3Ucirc`+5Ucirc`

= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③

10 수직인 두 벡터의 내적은 0이므로 aoslash thinspboslash=0에서

(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0

kUcirc`+2(a-1)k+4=0 yy

이때 모든 실수 k에 대하여 두 벡터 aoslash boslash가 서로 수직이 되

지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0

이어야 한다 즉 k에 대한 이차방정식 의 판별식을 D

라고 하면 Dlt0이어야 하므로

D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0

a Ucirc`-2a-3lt0 (a+1)(a-3)lt0

there4 -1ltalt3

따라서 두 벡터 aoslash boslash가 모든 실수 k에 대하여 서로 수직이

되지 않도록 하는 정수 a는 0 1 2의 3개이다 답 I ②


D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x

면체를 꼭짓점 H가 원점 세 모서

리 HE HG HD가 각각 x축 y

축 z축의 양의 방향에 오도록 좌

표공간에 놓으면

A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)

모서리 AE를 1``3으로 내분하는 점이 P이므로

P(4 0 6)

모서리 AB AD의 중점이 각각 Q R이므로

Q(4 2 8) R(2 0 8)

선분 QR의 중점이 T이므로 T(3 1 8)

또 모서리 FG의 중점이 S이므로 S(2 4 0)

there4 TPsup3=HPsup3-HOtildeTsup3=(4 0 6)-(3 1 8)

=(1 -1 -2)

QSsup3=HSsup3-HQsup3=(2 4 0)-(4 2 8)

=(-2 2 -8)

there4 TPsup3 thinspQSsup3=(1 -1 -2) thinsp(-2 2 -8)

=-2-2+16=12 답 I 12

08 정사면체의 한 모서리의 길이를 a라고 하면

|OAsup3|=a |OCsup3|=a

정사면체의 각 면은 한 변의 길이가 a인 정삼각형이므로

angAOC=60ugrave

이때 OAsup3 thinspOCsup3=3이므로

|OAsup3||OCsup3|cos 60ugrave=3

a_a_2=3 aUcirc`=6


정사면체 O-ABC의 한 모서리의

길이는 6이고 꼭짓점 O에서 밑면

ABC에 내린 수선의 발을 H라고 하

면 점 H는 삼각형 ABC의 무게중심

이므로

OOtildeMOacute=COtildeMOacute= 31442 _6= 3214422

이때 MHOacute=3 COtildeMOacute= 21442 이므로 정사면체의 높이는

OHOacute=iquestsup1OOtildeMOacute Ucirc`-MHOacute Ucirc`

=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2

따라서 정사면체의 부피는

3_ABC_OHOacute=3_[ 31444 _(6)Ucirc`]_2

=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x

도형의 방정식12

01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①


01 직선 x+2144223 =- y12=1-z의 방향벡터를 uoslash라고 하면

uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039


따라서 점 (1 3 -1)을 지나고 방향벡터가

uoslash=(3 -2 -1)인 직선 l의 방정식은

x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1

이 직선이 점 (m n 1)을 지나므로

m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7

there4 m+n=2 답 I ④

02 직선 x-2= y+31442234 =1-z의 방향벡터를 uoslash 평면

bx+cy-2z-7=0의 법선벡터를 noslash이라고 하면

uoslash=(1 4 -1) noslash=(b c -2)

평면과 직선이 수직이므로 uoslash∥noslash

즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8

평면 2x+8y-2z-7=0이 점 (1 2 a)를 지나므로

2+16-2a-7=0 2a=11

there4 a=Aacute2Aacute

there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1

03 구 C xUcirc +yUcirc`+zUcirc -2x+2y+2z-3=0에서

(x-1)Ucirc`+(y+1)Ucirc`+(z+1)Ucirc`=6

구 C의 중심을 C라고 하면

C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)

에서 이 구에 접하므로 CAsup3는

평면 a의 법선벡터이다

there4 CAsup3 =OAsup3-OCsup3

=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)

구하는 평면을 b라고 하면 평면 b는 평면 a에 평행하므로

평면 b의 법선벡터는

CAsup3=(1 1 -2)

한편 평면 b와 구의 접점을 B(a b c)라고 하면 구의

중심 C는 선분 AB의 중점이므로

2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1

따라서 점 B(0 -2 1)을 지나고 법선벡터가

CAsup3=(1 1 -2)인 평면 b의 방정식은

x+(y+2)-2(z-1)=0

there4 x+y-2z+4=0 답 I ②

04 두 점 A(5 5 a) B(0 0 3)을 지나는 직선을 l이라고

하면 직선 l의 방향벡터는

ABsup3=OBsup3-OAsup3=(0 0 3)-(5 5 a)

=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1

또 직선 x=4-y=z-1의 방향벡터를 uoslash라고 하면

uoslash=(1 -1 1)

두 직선 l m이 서로 수직이므로

ABsup3 thinspu oslash=0

(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0

3-a=0 there4 a=3 답 I ①

05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방

향벡터를 각각 uAacutesup2 uordfsup2라고 하면

uAacutesup2=(2 1 1) uordfsup2=(-1 -2 1)

there4 cos h=|2_(-1)+1_(-2)+1_1|144211111111111155Atilde2Ucirc`+1Ucirc`+1Ucirc` Atilde(-1)Ucirc`+Atilde(-2)Ucirc`+1Ucirc`

= 31442226 6

=2

there4 h=3Ograve 0EacutehEacute2Ograve 답 I ④

06 두 평면 2x+y+z-2=0 x+2y-z-9=0의 법선벡터

를 각각 nAacutesup2 nordfsup2라고 하면

nAacutesup2=(2 1 1) nordfsup2=(1 2 -1)

두 평면이 이루는 각의 크기를 h 0EacutehEacute2Ograve라고 하면

cos h=|2_1+1_2+1_(-1)|144211111111114Atilde2Ucirc`+1Ucirc`+1Ucirc` Atilde1Ucirc`+2Ucirc`+(-1)Ucirc`

=2

이때 정삼각형 ABC의 넓이는

31434 _12Ucirc`=363

이므로 구하는 정사영의 넓이를 S라고 하면

S=363_2=183 답 I ③

07 직선 x+114422a = 2-y144222 =z+3의 방향벡터를 uoslash라 하고 평면

(a+1)x+4y+az-3=0의 법선벡터를 noslash이라고 하면

u oslash=(a -2 1) noslash=(a+1 4 a)

직선과 평면이 평행하므로 u oslash thinspnoslash=0

(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0

there4 a=2 (∵ agt0) 답 I ⑤

08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1

직선과 평면의 교점 P는 직선 위의 점이므로 점 P의 좌표

를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다

이때 이 교점 P는 평면 위의 점이므로

(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)

there4 |OPsup3|Ucirc`=4Ucirc`+0Ucirc`+(-4)Ucirc`=32 답 I 32

09 AHsup3와 평면 x+y-z=0은 서로 수직이므로 평면의 법선

벡터를 noslash이라고 하면 noslash은 직선 AH의 방향벡터이다

따라서 점 A(2 3 -1)을 지나고 방향벡터가

noslash=(1 1 -1)인 직선의 방정식은

x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면

직선과 평면의 교점 H는 직선 위의 점이므로 점 H의 좌

표를 H(t+2 t+3 -t-1)로 놓을 수 있다

또 이 점 H는 평면 위의 점이므로

(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1

there4 a+b+c=2 답 I ④

|다른 풀이|

AHsup3와 평면 x+y-z=0이 서로 수직이므로 평면의 법선

벡터를 noslash이라고 하면 0이 아닌 실수 k에 대하여

AHsup3=knoslash

이때 AHsup3=OHsup3-OAsup3=(a-2 b-3 c+1)

noslash=(1 1 -1)이므로

(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)

there4 a=k+2 b=k+3 c=-k-1 yy

그런데 점 H(a b c)는 평면 위의 점이므로

a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2

따라서 a=0 b=1 c=1이므로 a+b+c=2

10 직선 x-3= y-2144222 =-z-2의 방향벡터를 uoslash라고 하면

uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2

에 내린 수선의 발을 H라고 하면 점 H는 직선 위에 있으

므로 H(t+3 2t+2 -t-2)로 놓을 수 있다

there4 AHsup3=(t 2t+3 -t)

이때 AHsup3perpuoslash이므로 AHsup3 thinspu oslash=0에서

(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute

=Atilde(2-3)Ucirc`+0-(-1)Ucirc`+-1-(-2)Ucirc`

=3 there4 dUcirc`=3 답 I 3

11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4

즉 평면 ax+by+2z+48=0은

4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는

|2_1+2_4+2+24|1442111111124Atilde2Ucirc`+2Ucirc`+1Ucirc`

=pound3curren=12 답 I ②

12 구 xUcirc`+yUcirc`+zUcirc -2y+2z-2=0에서

xUcirc`+(y-1)Ucirc`+(z+1)Ucirc`=4

구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111

Atilde2Ucirc`+2Ucirc`+(-1)Ucirc`=Aacute3ordf=4

따라서 구의 반지름의 길이가 2이므로 구하는 최솟값은

4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1

따라서 a=1 b=-1이므로 aUcirc`+bUcirc`=2 답 I 2

02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223

두 직선 l m의 방향벡터를 각각 uAacutesup2 uordfsup2라고 하면

uAacutesup2=uordfsup2=(2 -1 3)이므로 l∥m이다

직선 l m이 모두 평면 ax+by-z+1=0 위에 있으므

로 이 평면은 직선 l 위의 점 (0 2 -1)과 직선 m 위의

점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1

there4 a-b=0 답 I 0

03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)

평면 x+y-z=0의 법선벡터를 noslash이라고 하면

noslash=(1 1 -1)

이때 직선 AB와 평면 x+y-z=0이 이루는 각의 크기를

h 0EacutehEacute2Ograve라고 하면

cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114

Atilde1Ucirc`+2Ucirc`+(-2)Ucirc` Atilde1Ucirc`+1Ucirc`+(-1)Ucirc`

= 51442533

=53144259

there4 cos h=Atilde1-sinUcirc` h=61439

따라서 ABOacute=|ABsup3|=3이므로 구하는 정사영의 길이는

ABOacute cos h=3_61439 =

61433 답 I ②

04 직선 l`x-3= y+1144222 =z-1의 방향벡터를 uoslash라고 하면

uoslash=(1 2 1)

직선 AB의 방향벡터는 ABsup3=(a-1 b+2 c-2)

한편 점 B는 직선 l 위의 점이므로

a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy

there4 ABsup3=(t+2 2t+1 t-1)

이때 직선 l과 직선 AB가 서로 수직이므로

uoslash thinspABsup3=0

(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2

따라서 에서 a=2 b=-2 c=2이므로

a+b+c=1 답 I ②

05 구 (x-1)Ucirc`+(y-7)Ucirc`+(z-2)Ucirc =9의 중심을 C라고 하

면 C(1 7 2)이고 구의 반지름의 길이는 3이다

오른쪽 그림과 같이 구 밖의 한 점 A A

C aring에서 이 구에 그은 접선들의 접점으

로 이루어진 도형은 원이고 이 원을

포함하는 평면을 a라고 하면 벡터

CAsup3는 평면 a의 법선벡터가 된다

한편 xy평면의 법선벡터를 uoslash라고 하면

uoslash=(0 0 1)

따라서 CAsup3=(0 -4 3) uoslash=(0 0 1)이므로

cos h= |(0 0 1) thinsp(0 -4 3)|144221111111111Atilde0Ucirc`+0Ucirc`+1Ucirc` Atilde0Ucirc`+(-4)Ucirc`+3Ucirc`

=5 답 I ④

06 직선 l과 평면 a의 교점은 직선 l 위의 점이므로

x-1= y-2144223 =-z=t (t는 실수)에서 교점의 좌표를

(t+1 3t+2 -t)로 놓을 수 있다

이때 이 교점은 평면 a 위의 점이므로

(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1

즉 직선 l과 평면 a의 교점의 좌표는 (0 -1 1)

한편 직선 l의 방향벡터를 u oslash라고 하면 uoslash=(1 3 -1)

그런데 직선 l에 수직인 평면의 법선벡터는 직선 l의 방향

벡터와 같으므로 법선벡터는 uoslash=(1 3 -1)

따라서 점 (0 -1 1)을 지나고 법선벡터가

uoslash=(1 3 -1)인 평면의 방정식은

1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0


a Ucirc`+bUcirc`+cUcirc`=11 답 I 11

07 x-1144222 =y+3=-z=t에서

x=2t+1 y=t-3 z=-t (t는 실수)

즉 직선 l 위의 점 P의 좌표를 P(2t+1 t-3 -t)로

놓을 수 있으므로

POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)

there4 PAsup3 thinspPBsup3

=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248

따라서 t=4일 때 구하는 최솟값은 m=1171248 이므로

8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을

지나는 평면 a의 방정식을 ax+by+cz+d=0이라고 하

면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy

+_2를 하면 5a-10c=0 there4 a=2c

a=2c를 과 에 각각 대입하면

9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c

따라서 평면 a의 방정식은 2cx-2cy+cz-9c=0 즉

2x-2y+z-9=0이므로 원점과 평면 a 사이의 거리는

|2_0-2_0+0-9|144211111141Atilde2Ucirc`+(-2)Ucirc`+1Ucirc`

=3 답 I ⑤

09 구와 직선의 두 교점 A B는 직선 l 위의 점이므로

x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2

즉 교점의 좌표를 (t+1 t+1 2t+2)로 놓을 수 있다

이 점은 구 xUcirc`+yUcirc`+zUcirc`=24 위의 점이므로

(t+1)Ucirc`+(t+1)Ucirc`+(2t+2)Ucirc`=24

6tUcirc`+12t-18=0 tUcirc`+2t-3=0

(t-1)(t+3)=0

there4 t=1 또는 t=-3

따라서 두 교점 A B의 좌표는 (2 2 4)

(-2 -2 -4)이므로

ABOacute=Atilde(-2-2)Ucirc`+(-2-2)Ucirc`+(-4-4)Ucirc`

=para96=46 답 I ④

10 구 (x-1)Ucirc +(y-1)Ucirc +(z-1)Ucirc =9의 중심은 C(1 1 1)

이고 반지름의 길이는 3이다

또 구의 중심 C와 평면 x+y+z=6 즉

x+y+z-6=0 사이의 거리는

|1+1+1-6|144211112Atilde1Ucirc`+1Ucirc`+1Ucirc`

=3

따라서 오른쪽 그림과 같이 구와 x+y+z=6Acirc6

Acirc3

SP Q

C3

평면이 만나서 생기는 도형 S는

반지름의 길이가 6인 원이다

이때 도형 S 위의 두 점 P Q에

대하여 두 벡터 CPsup3 CQsup3가 이루

는 각의 크기를 h (0EacutehEacutep)라고 하면

CPsup3 thinspCQsup3=|CPsup3||CQsup3|cos h=9 cos h(∵ |CPsup3|=|CQsup3|=3)

그런데 0EacutehEacutep에서 h의 값이 커질수록 cos h의 값은 작

아지므로 CPsup3 thinspCQsup3의 값은 h가 최대일 때 최솟값을 갖는다

또 h가 최대가 되는 것은 오른쪽 그림

과 같이 두 점 P Q가 도형 S의 지름

의 양 끝점일 때이고 이때

cos h12 =31433 이므로

cos h=2 cosUcirc` h12 -1=-3

따라서 구하는 최솟값은

CPsup3 thinspCQsup3=9 cos h=9_-3=-3 답 I ①

Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

2 정답과 해설

Ⅰ 평면 곡선


AtildexUcirc`+(y-1) Ucirc`=|y-(-1)|


xUcirc`+yUcirc`-2y+1=y Ucirc`+2y+1

there4 xUcirc`=4y 답 I ①


frac34ETH(x-2)Ucirc`+y-2Ucirc=|y-2|


xUcirc`-4x+4+yUcirc`-3y+4(=yUcirc`-y+4

there4 xUcirc`-4x-2y+6=0

위의 식에 x=0을 대입하면

-2y+6=0 there4 y=3

따라서 점 P가 나타내는 도형이 y축과 만나는 점의 좌표

는 (0 3)이다 답 I ③


Atilde(x-3)Ucirc`+yUcirc`=|x-1|


xUcirc`-6x+9+yUcirc`=xUcirc`-2x+1

there4 yUcirc`=4(x-2) yy

즉 점 P는 포물선 yUcirc`=4(x-2) 위의 점이므로

xfrac342

한편 원점과 점 P 사이의 거리가 26이므로

AtildexUcirc`+yUcirc`=26 x Ucirc`+yUcirc`=24

there4 yUcirc`=24-xUcirc` yy


24-xUcirc`=4(x-2) xUcirc`+4x-32=0

(x+8)(x-4)=0

there4 x=4 (∵ xfrac342) 답 I ⑤

04 초점이 F(2 0)이고 꼭짓점이 원점인 포물선의 방정식은

yUcirc`=4_2_x=8x

이 포물선이 점 (k -4)를 지나므로

16=8k

there4 k=2 답 I 2

포물선01

01 ① 02 ③ 03 ⑤ 04 2 05 ④ 06 ②

07 2 08 ② 09 ④ 10 54 11 11 12 ③


05 초점이 F(a 0)이고 준선이 x=-a인 포물선의 방정식

은 yUcirc`=4ax

이 포물선이 점 (a 1)을 지나므로

1=4aUcirc` aUcirc`=4

there4 a=2 (∵ agt0) 답 I ④

06 초점이 F0 2이고 준선이 y=-2인 포물선의 방정

식은 xUcirc`=4_2_y=2y

이 포물선이 점 A(2 a)를 지나므로

4=2a there4 a=2

there4 A(2 2)

따라서 두 점 F0 2 A(2 2)를 지나는 직선 AF의

방정식은

y-2=2-2142142-0 (x-2) 즉 y=4x+2

이므로 구하는 x절편은

0=4x+2 there4 x=-3 답 I ②

07 포물선 xUcirc`=4y=4_1_y의 초점을 F라고 하면

F(0 1)

원 (x-2)Ucirc`+(y-5)Ucirc`=9의 중심을 C라고 하면

C(2 5)

따라서 구하는 실수 m은 직선 FC의 기울기이므로

m=5-1142332-0=2 답 I 2

08 xUcirc`-2x+4y+9=0에서

xUcirc`-2x+1=-4y-8

(x-1)Ucirc`=-4(y+2) yy

이므로 포물선 은 포물선 xUcirc`=-4y를 x축의 방향으로

1만큼 y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다

이때 포물선 x Ucirc`=-4y=4_(-1)_y의 초점의 좌표는

(0 -1) 준선의 방정식은 y=1 꼭짓점의 좌표는 (0 0)

이다

따라서 주어진 포물선의 초점의 좌표는 (1 -3) 준선의

방정식은 y=-1 꼭짓점의 좌표는 (1 -2)이므로

a=1 b=-3 c=-1 d=1 e=-2

there4 a+b+c+d+e=-4 답 I ②

09 포물선 (x-1)Ucirc`=4y=4_1_y의 초점 FAacute의 좌표는

FAacute(0+1 1) 즉 FAacute(1 1)

또 포물선 yUcirc`=-12x=4_(-3)_x의 초점 Fordf의 좌표

는 Fordf(-3 0)이므로

FOtildeAacuteFordfOacute=Atilde(-3-1)Ucirc`+(0-1)Ucirc`=para17 there4 FOtildeAacuteFordfOacute Ucirc`=17 답 I ④

(01~40)1단원(해설)indd 2 15 7 14 오전 1037

I 평면 곡선 3






=2_12_9=54 답 I 54




x=-2

x

y

O F2`0B

AP P

QQ

-2




하여


=5+2=7






x=-3

x

y

O F3`0

C

AA

BC

B-3















=1 답 I ③



01 ⑤ 02 ③ 03 ② 04 10 05 ④ 06 ①

07 ① 08 ③ 09 ① 10 6











좌표는

2+4142332 -1+11423312 즉 (3 0)


선의 방정식은





xUcirc`-4x+4=4y+4



(0+2 1-1) 즉 (2 0)


xUcirc`-6x+9=4y-12



(0+3 1+3) 즉 (3 4)


yUcirc`+4y+4=4x-8



(1+2 0-2) 즉 (3 -2)


답 I ②







yUcirc`-4y+4=4x-4



1-n=-2 m=1 there4 m=1 n=3


(01~40)1단원(해설)indd 3 15 7 14 오전 1037

4 정답과 해설






여

PFOacute=PHOacute=3







F R4

S

Q

PH

x

x=-1-4

- 1-4

1-4

y

y=x

O



P의 x좌표는

4-4=Aacute4deg



FROacute=RSOacute








PHOacute=PFOacute






=4+2=6


y=4x

x=-1

x

y

O

H

-1 F1`0

Pa`b

3

HH

x

y

O-2

x=-2

y=8x

F2`0

A4`3P


F(0 -2)


y+2=x there4 y=x-2







F(-1 0)



x=p-1142332

y=2Q

there4 p=2x+1 q=2y


(2y)Ucirc`=-4(2x+1)

4yUcirc`=-4(2x+1)




1=-(2a+1) 2a=-2






y=23 (∵ ygt0)


y=23-014233141-3

(x-3)


(-3x+33)Ucirc`=12x

3xUcirc`-18x+27=12x

xUcirc`-10x+9=0

(x-1)(x-9)=0




(01~40)1단원(해설)indd 4 15 7 14 오전 1037

I 평면 곡선 5

타원02

01 ② 02 28 03 ① 04 ① 05 ④ 06 32

07 ③ 08 ⑤ 09 25 10 11 11 ③ 12 14






914aUcirc`

=1 there4 aUcirc`=9













|다른 풀이|



는 타원이다


2b=8 there4 b=4


aUcirc`b=28







(x-2)Ucirc`1411236 +

(y-3)Ucirc`1411220 =1 답 I ①



므로 두 초점의 좌표는 (3 0) (-3 0)


3-(-3)=6 답 I ①


이가 b이므로

b=2a (∵ agt0) yy


b-4=2Auml3a+4 yy





there4 a=7 b=14 (∵ )













표는 (2 0) (-2 0)


F(2 0) F(-2 0)이라


하여




=8+2-(-2)=12 답 I ③






에 의하여


즉 에 의하여



y

x

P

F-2`0

F2`0

2Acirc3

-2Acirc3

-4 4O

x-16y-12+ =1

(01~40)1단원(해설)indd 5 15 7 14 오전 1037

6 정답과 해설














=10+10+5=25(∵ ) 답 I 25


표는(5 0)(-5 0)



m+n=12 yy



(m+n)Ucirc`-2mn=100

144-2mn=100(∵)

2mn=44 there4mn=22


2mn=2_22=11 답 I 11




인타원이다


i

ii

y

x-2

-2

4

2

1O








O

y

xF


FF

x-25y-16+ =1






=1






20-2r=20-6=14 답 I 14

01 4 02 ③ 03 ③ 04 ③ 05 ⑤ 06 ③

07 103 08 14 09 ④ 10 ①





(y+1)Ucirc`141125=1 yy




(0 1)(0 -1)


F(2 0)F(2 -2)(∵bgtd)


ab-cd=4 답 I 4



(7 0)(-7 0)



이므로





(01~40)1단원(해설)indd 6 15 7 20 오후 417

I 평면 곡선 7











3이므로

0-(-2)14111c-0 =3 there4 c=3




213이다 답 I ③






즉 b=31432 a이므로 aB= 31432 답 I ⑤








F(52 0) F(-52 0)









there4 a=53 b=5


4_AOD=4_2_53_5=503 답 I ③

y

x

F-5Acirc2`0

F5Acirc2`0

BC

O D

Ax-a

y-b+ =1


m+n=10 yy













따라서 p=4 q=99이므로 p+q=103 답 I 103



(3 0) (-3 0)

즉 F(3 0) F(-3 0)이







m+n=8



(m+n)Ucirc-2mn=36

64-2mn=36 2mn=28

there4 mn=14










yl

x

mn

Q

P

O-5 5AB

F FC

y

x

Acirc7

F F

3

-3

-3

-Acirc7

P

3 4-4O

(01~40)1단원(해설)indd 7 15 7 14 오전 1037

8 정답과 해설



PQRS=21442 _

3para1414142 =371412

답 I ④




A(2 0) B(-2 0)



고 하면









4xUcirc`143449 + 4yUcirc`143433 =1 답 I ①

y

x-8 4BA

-2 2rP

O

쌍곡선03

01 ① 02 34 03 ② 04 ⑤ 05 ② 06 ④

07 18 08 ⑤ 09 14 10 ④ 11 ① 12 ③











선이다




a=2para25=10


a+b=34 답 I 34











(y-2)Ucirc`141125 =1


a+b+c+d=10 답 I ②





(0 3) (0 -3)






(4 0) (-4 0)


y=Ntilde 81448

x there4 y=Ntildex


이르는 거리는

|Ntilde4|1411112


답 I ②


there4 xUcirc143 -

(y-3)Ucirc`141129 =-1 yy

(01~40)1단원(해설)indd 8 15 7 14 오전 1037

I 평면 곡선 9



y-3=Ntilde 31443





OAcirc3

36

-Acirc3

y

y=-Acirc3x+3

y=Acirc3x+3

y=mx+3

x




표는

(3 0) (-3 0)

즉 F(3 0) F(-3 0)이라고

O3-3

FF-2

2

Py

x




이는 24=4






=4+8+3-(-3)=18 답 I 18


표는 (4 0) (-4 0)

즉 F(4 0) F(-4 0)

O4-4

FF-3 3

P

y

n mx







하여 |m-n|=6 yy



36+2mn=64 (∵ ) 2mn=28

there4 mn=14




(2 0) (-2 0)

즉 F(2 0) F(-2 0)이라고




하여






=ABOacute+4=5+4=9






(a 0) (-a 0)






OFC

D

F AB

Py

x




므로
















O

y

xF1-2

-1

B

A

52F

(01~40)1단원(해설)indd 9 15 7 16 오후 208

10 정답과 해설

01 ③ 02 ⑤ 03 ③ 04 5 05 ⑤ 06 ①

07 ① 08 ④ 09 12 10 ④



























놓는다


발이 A이므로


=|x-y|1423132




=|x+y|1423132


|x-y|1423132

_|x+y|1423132






(3 0) (-3 0)




2_6_b=3 there4 b=1


의 점이므로






(4 0) (-4 0)

즉 F(4 0) F(-4 0)이

O

Ω

F F4-4

P

y

x






4Ucirc148 -




= 8142362

=2214233 답 I ⑤



의 좌표는



x

Q

F F

3-2 0A

13-213-2

3-2 0B -

-

C

P

O

12

55



B라고 하면

A2 0

B-2 0







(01~40)1단원(해설)indd 10 15 7 14 오전 1038

I 평면 곡선 11





F의 좌표는






n-m=4

there4 n=m+4 yy








12=2sect10_PHOacute




(3 0) (-3 0)




라고 하면





aUcirc`+35aUcirc`=9







표는 (3 0) (-3 0)이므로

O10- 10F F

P

H-2

2

y

x

mn

a=3 (∵ agt0)

즉 A(3 0) B(-3 0)이므로








의 방정식은

yUcirc`=24(x-3)
















2+4=6 답 I ④

O 3B A

-3

y

x

x=-3

O-1 1

3

y

x


01 ② 02 3 03 ④ 04 ③ 05 ⑤ 06 ①

07 ③ 08 ④ 09 9 10 ⑤ 11 1 12 ④





there4 dy144dx=


(01~40)1단원(해설)indd 11 15 7 14 오전 1038

12 정답과 해설


dy144dx=

2_(-2)-(-1)Ucirc`14211111122_(-2)_(-1) =-4 답 I ②


4-2a+1+b=0

there4 2a-b=5 yy



dx=0

(ax-2y) dy144dx

=2x-ay

there4 dy144dx

= 2x-ay14211ax-2y (ax-2y+0)



2_2-a142113a_2-2=4 6a=18 there4 a=3


2_3-b=5 there4 b=1

there4 ab=3 답 I 3


11422

2sectx+ 11422

2y_ dy144

dx=0

there4 dy144dx=-

y142sectx

(x+0)



-b142a

=-1 there4 a=b










a=4 b=2 (∵ b+0)



2x14233 + y14=1 there4 y=-2x+4



부분의 넓이는

2_2_4=4 답 I ⑤





414aUcirc`

- 114bUcirc`=1 yy



정식은

-2x1421aUcirc`


aUcirc`x-bUcirc`

















y=-x-1 또는 y=2x+2


(-1)_2=-2 답 I ③









(01~40)1단원(해설)indd 12 15 7 20 오후 417

I 평면 곡선 13

-2x+2y=2 또는 -2x-2y=2









xAacutex1423aUcirc`

+ yAacutey14234

=1


x+ 414yAacute



=1 414yAacute =-3








=2t-2


=tUcirc`+1

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= tUcirc`+114212t-2


dy144dx

= 3Ucirc`+114212322_3-2 =2 답 I ⑤


= 114222t


=t+a

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

=t+a1421114222t

=2t (at+1)14221114t



기가 4이므로

21 (a+1)14221111 =4 a+1=2

there4 a=1 답 I 1


=2 sin h


=3 cos h

there4 dy144dx

=

dy144dh1424dx144dh

= 3 cos h142212 sin h=3142212 tan h


-2 cos h=-2 3 sin h= 3214222



3142212

2 tan 4Ograve=2


y-3214222 =2(x+2)

there4 y=2x+32


넓이는

2_22_32=6 답 I ④

01 ① 02 ⑤ 03 ② 04 ④ 05 ② 06 4

07 ③ 08 ⑤ 09 ④ 10 ④



eAring`+]_dy144dx

=0 there4 dy144dx

=-eAring`y


dy144dx



3_2+a_2Ucirc`=4 4a=-2 there4 a=-2


y+x dy144dx

-y dy144dx

=0

there4 dy144dx

= y1421y-x (x+y)

(01~40)1단원(해설)indd 13 15 7 14 오전 1038

14 정답과 해설


dy144dx

= 2142242-3=-2


y-2=-2(x-3) there4 2x+y-8=0


2a-b-c=6 답 I ⑤


bUcirc`=4a yy


by=2(x+a)







(a+5)(a-4)=0




식은

2x148 +4y1432=1

there4 y=-2x+8 yy


-2x1418 +4y1432=1

there4 y=2x+8 yy





=25+4+25 =4+45 답 I ④


식은

4x148 -y=1 there4 y=2x-1



이 F이므로

F(Auml8+1 0) 즉 F(3 0)

O

y

x

A

21

43

B F

위의 그림에서

FAB=2_1_1=2 답 I ②












은 2=4이다 답 I 4


xAacute x1422=16 +

yAacute y1422=9 =1


914=yAacute










y=x-5 또는 y=x+5





=52 답 I ③





(01~40)1단원(해설)indd 14 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 15






PAB=2_63_3

=93 답 I ⑤


=1-cos t


=sin t

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= sin t142111-cos t


dy144dx

=sin 3Ograve

1421111-cos 3Ograve

=3 답 I ④


=1+t


dy144dt


즉 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt


limtÙacute1

dy144dx

=limtÙacute1


= 1+2+3+y+n1421111111+1

=

n(n+1)1421122142311232

= nUcirc`+n142144


limtÙacute1

dy144dx= lim


_ nUcirc`+n142144


=4 답 I ④

O

y

x

-3Acirc3

3Acirc3

B

A

4P1

Ⅱ 평면벡터

벡터의 연산05

01 ③ 02 ② 03 50 04 ④ 05 ① 06 ③

07 ⑤ 08 ③ 09 ④ 10 ③ 11 ⑤ 12 ⑤






므로



답 I ③



31442 _4=23







x

y

O

4

2











(01~40)1단원(해설)indd 15 15 7 14 오전 1038

16 정답과 해설


O

B F

E

D

C

b












=ACsup3+CAsup3









=2_5_31442 =53

답 I ③



_2-을 하면











O

B F

E

D

C

b



이때



이므로





=-4aoslash+3boslash







nUcirc`-4=m yy


there4 m=2







야 한다 즉




k=3 m=3 답 I ⑤







-2=k m+1=-2k








01 ③ 02 ④ 03 ④ 04 15 05 ⑤ 06 ②

07 ② 08 2 09 ④ 10 ②


(01~40)1단원(해설)indd 16 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 17









이므로 OQsup3는



인 원이므로



(2 0) (-2 0)

이때 A(2 0) A(-2 0) 1

-1

-2 2FFA A

O

P

x

y



=FOtildePsup3





there4 FPOacute=3












-_2를 하면






3

-3

-3 3Q

O

P

x

y

x+y=9



m+4n=4 답 I ②



므로




2mUcirc`+3m-5n=9 yy

_2-_3을 하면

-19m+19n=-19

there4 n=m-1 yy



(m+1)(m-2)=0

there4 m=2 (∵ mgt0) n=1 (∵ )











k=-2 m=2 답 I 2




=OYsup3+AOsup3




답 I ④







(01~40)1단원(해설)indd 17 15 7 14 오전 1038

18 정답과 해설








=에서 2K=1-l 1-k=3L there4 k=5$ l=5




01 ② 02 2 03 ② 04 ① 05 7 06 ⑤

07 ④ 08 ② 09 ③ 10 3 11 ④ 12 ③











OPsup3=3 OAsup3







12(m-n)=12_1ordf2=2 답 I 2





는 점이므로

PBC=3ABC

=3_12=4

답 I ②


=(-2m-n m+3n)


(-2m-n m+3n)=(-1 -7)

there4 -2m-n=-1 m+3n=-7






(x-1 -3)=(2 y+1)









8+x14137 -1-3 12-2x141317 1=(-5 y)

즉 (x-4 -4)=(-5 y)이므로

x-4=-5 -4=y there4 x=-1 y=-4




=2(-2 3)+(2 -1)=(-2 5)



B C

P

A

(01~40)1단원(해설)indd 18 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 19





(5k+1)(k-1)=0





=(t+2 t-1)


=(2t+1 2t-3)





는다 답 I ③






OAB=2_3_2=3 답 I 3





=(2x-2 2y-2)











O

B

A3

2

y

x


이다 이때







함한 내부이다


A(4 0) B(2 23)이므로





O

2Acirc3

y

x2

P

B

A4

01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 21 05 9 06 ②

07 ① 08 ① 09 ④ 10 ③



하면





이므로 m=5$ n=5

there4 100mn=100_5$_5=16 답 I ③








(01~40)1단원(해설)indd 19 15 7 16 오후 208

20 정답과 해설




x-y-2z=1 답 I ⑤




(xUcirc`+2x 3x+y-1)=(4x+3 2x-y+8)


[xUcirc`-2x-3=0 yy

`` x+2y=9 yy

에서 (x-3)(x+1)=0 there4 x=3 (∵ xgt0)


3+2y=9 there4 y=3

there4 3x+4y=9+12=21 답 I 21


t(7 5)=(x 1)+(2 y)=(x+2 y+1)


x+214137 =

y+114135 there4 x=5amp(y+1)-2



x=5amp_(4+1)-2=5



=(x+1 -x-2)














=(-1 -1)



= 41422

(-1 -1)

=(-22 -22)따라서 x=-22 y=-22이므로

x+y=-42 답 I ①











|다른 풀이|













점이다 이때




OB

B

A

A

P

Q

6

3 2

12 4-1-2

y

x



B CP 32

A

(01~40)1단원(해설)indd 20 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 21


01 ② 02 29 03 6 04 ④ 05 ⑤ 06 ④

07 ⑤ 08 ③ 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ②



aoslash+2boslash=(-1 3)+2(2 1)=(3 5)


답 I ②



=2xy+3(x+y)+9

=2xy+3_4+9 (∵ x+y=4)

=2xy+21 yy


의하여


there4 xyEacute4

따라서 에서




angBAC=90ugrave




형이므로



=2_23_ 31442 =6 답 I 6






=4 답 I ④















=9_2Ucirc`-6_1+(2)Ucirc`=32



2aoslash-boslash=2(2 -1)-(5 -5)=(-1 3)


하면



= -5141325 10

=-21442







= 5141345 10

=21442


답 I ③


B

2Acirc3 4

C

ΩA







(01~40)1단원(해설)indd 21 15 7 14 오전 1038

22 정답과 해설


=614411

23_4=3144 4 이므로


Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①



(x+1 2) thinsp(1 -x)=0




라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3



(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3




=(x+6 y-2)



x(x+6)+y(y-2)=0




10p이다 답 I ②





M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④



B

C

F

O

D

E




angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6



=36 답 I ①





+을 하면






=2_6=12 답 I 12




각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다


=(-3 -1)




=(a-c b-d)





=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10



|다른 풀이|






(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

I 평면 곡선 3






=2_12_9=54 답 I 54




x=-2

x

y

O F2`0B

AP P

QQ

-2




하여


=5+2=7






x=-3

x

y

O F3`0

C

AA

BC

B-3















=1 답 I ③



01 ⑤ 02 ③ 03 ② 04 10 05 ④ 06 ①

07 ① 08 ③ 09 ① 10 6











좌표는

2+4142332 -1+11423312 즉 (3 0)


선의 방정식은





xUcirc`-4x+4=4y+4



(0+2 1-1) 즉 (2 0)


xUcirc`-6x+9=4y-12



(0+3 1+3) 즉 (3 4)


yUcirc`+4y+4=4x-8



(1+2 0-2) 즉 (3 -2)


답 I ②







yUcirc`-4y+4=4x-4



1-n=-2 m=1 there4 m=1 n=3


(01~40)1단원(해설)indd 3 15 7 14 오전 1037

4 정답과 해설






여

PFOacute=PHOacute=3







F R4

S

Q

PH

x

x=-1-4

- 1-4

1-4

y

y=x

O



P의 x좌표는

4-4=Aacute4deg



FROacute=RSOacute








PHOacute=PFOacute






=4+2=6


y=4x

x=-1

x

y

O

H

-1 F1`0

Pa`b

3

HH

x

y

O-2

x=-2

y=8x

F2`0

A4`3P


F(0 -2)


y+2=x there4 y=x-2







F(-1 0)



x=p-1142332

y=2Q

there4 p=2x+1 q=2y


(2y)Ucirc`=-4(2x+1)

4yUcirc`=-4(2x+1)




1=-(2a+1) 2a=-2






y=23 (∵ ygt0)


y=23-014233141-3

(x-3)


(-3x+33)Ucirc`=12x

3xUcirc`-18x+27=12x

xUcirc`-10x+9=0

(x-1)(x-9)=0




(01~40)1단원(해설)indd 4 15 7 14 오전 1037

I 평면 곡선 5

타원02

01 ② 02 28 03 ① 04 ① 05 ④ 06 32

07 ③ 08 ⑤ 09 25 10 11 11 ③ 12 14






914aUcirc`

=1 there4 aUcirc`=9













|다른 풀이|



는 타원이다


2b=8 there4 b=4


aUcirc`b=28







(x-2)Ucirc`1411236 +

(y-3)Ucirc`1411220 =1 답 I ①



므로 두 초점의 좌표는 (3 0) (-3 0)


3-(-3)=6 답 I ①


이가 b이므로

b=2a (∵ agt0) yy


b-4=2Auml3a+4 yy





there4 a=7 b=14 (∵ )













표는 (2 0) (-2 0)


F(2 0) F(-2 0)이라


하여




=8+2-(-2)=12 답 I ③






에 의하여


즉 에 의하여



y

x

P

F-2`0

F2`0

2Acirc3

-2Acirc3

-4 4O

x-16y-12+ =1

(01~40)1단원(해설)indd 5 15 7 14 오전 1037

6 정답과 해설














=10+10+5=25(∵ ) 답 I 25


표는(5 0)(-5 0)



m+n=12 yy



(m+n)Ucirc`-2mn=100

144-2mn=100(∵)

2mn=44 there4mn=22


2mn=2_22=11 답 I 11




인타원이다


i

ii

y

x-2

-2

4

2

1O








O

y

xF


FF

x-25y-16+ =1






=1






20-2r=20-6=14 답 I 14

01 4 02 ③ 03 ③ 04 ③ 05 ⑤ 06 ③

07 103 08 14 09 ④ 10 ①





(y+1)Ucirc`141125=1 yy




(0 1)(0 -1)


F(2 0)F(2 -2)(∵bgtd)


ab-cd=4 답 I 4



(7 0)(-7 0)



이므로





(01~40)1단원(해설)indd 6 15 7 20 오후 417

I 평면 곡선 7











3이므로

0-(-2)14111c-0 =3 there4 c=3




213이다 답 I ③






즉 b=31432 a이므로 aB= 31432 답 I ⑤








F(52 0) F(-52 0)









there4 a=53 b=5


4_AOD=4_2_53_5=503 답 I ③

y

x

F-5Acirc2`0

F5Acirc2`0

BC

O D

Ax-a

y-b+ =1


m+n=10 yy













따라서 p=4 q=99이므로 p+q=103 답 I 103



(3 0) (-3 0)

즉 F(3 0) F(-3 0)이







m+n=8



(m+n)Ucirc-2mn=36

64-2mn=36 2mn=28

there4 mn=14










yl

x

mn

Q

P

O-5 5AB

F FC

y

x

Acirc7

F F

3

-3

-3

-Acirc7

P

3 4-4O

(01~40)1단원(해설)indd 7 15 7 14 오전 1037

8 정답과 해설



PQRS=21442 _

3para1414142 =371412

답 I ④




A(2 0) B(-2 0)



고 하면









4xUcirc`143449 + 4yUcirc`143433 =1 답 I ①

y

x-8 4BA

-2 2rP

O

쌍곡선03

01 ① 02 34 03 ② 04 ⑤ 05 ② 06 ④

07 18 08 ⑤ 09 14 10 ④ 11 ① 12 ③











선이다




a=2para25=10


a+b=34 답 I 34











(y-2)Ucirc`141125 =1


a+b+c+d=10 답 I ②





(0 3) (0 -3)






(4 0) (-4 0)


y=Ntilde 81448

x there4 y=Ntildex


이르는 거리는

|Ntilde4|1411112


답 I ②


there4 xUcirc143 -

(y-3)Ucirc`141129 =-1 yy

(01~40)1단원(해설)indd 8 15 7 14 오전 1037

I 평면 곡선 9



y-3=Ntilde 31443





OAcirc3

36

-Acirc3

y

y=-Acirc3x+3

y=Acirc3x+3

y=mx+3

x




표는

(3 0) (-3 0)

즉 F(3 0) F(-3 0)이라고

O3-3

FF-2

2

Py

x




이는 24=4






=4+8+3-(-3)=18 답 I 18


표는 (4 0) (-4 0)

즉 F(4 0) F(-4 0)

O4-4

FF-3 3

P

y

n mx







하여 |m-n|=6 yy



36+2mn=64 (∵ ) 2mn=28

there4 mn=14




(2 0) (-2 0)

즉 F(2 0) F(-2 0)이라고




하여






=ABOacute+4=5+4=9






(a 0) (-a 0)






OFC

D

F AB

Py

x




므로
















O

y

xF1-2

-1

B

A

52F

(01~40)1단원(해설)indd 9 15 7 16 오후 208

10 정답과 해설

01 ③ 02 ⑤ 03 ③ 04 5 05 ⑤ 06 ①

07 ① 08 ④ 09 12 10 ④



























놓는다


발이 A이므로


=|x-y|1423132




=|x+y|1423132


|x-y|1423132

_|x+y|1423132






(3 0) (-3 0)




2_6_b=3 there4 b=1


의 점이므로






(4 0) (-4 0)

즉 F(4 0) F(-4 0)이

O

Ω

F F4-4

P

y

x






4Ucirc148 -




= 8142362

=2214233 답 I ⑤



의 좌표는



x

Q

F F

3-2 0A

13-213-2

3-2 0B -

-

C

P

O

12

55



B라고 하면

A2 0

B-2 0







(01~40)1단원(해설)indd 10 15 7 14 오전 1038

I 평면 곡선 11





F의 좌표는






n-m=4

there4 n=m+4 yy








12=2sect10_PHOacute




(3 0) (-3 0)




라고 하면





aUcirc`+35aUcirc`=9







표는 (3 0) (-3 0)이므로

O10- 10F F

P

H-2

2

y

x

mn

a=3 (∵ agt0)

즉 A(3 0) B(-3 0)이므로








의 방정식은

yUcirc`=24(x-3)
















2+4=6 답 I ④

O 3B A

-3

y

x

x=-3

O-1 1

3

y

x


01 ② 02 3 03 ④ 04 ③ 05 ⑤ 06 ①

07 ③ 08 ④ 09 9 10 ⑤ 11 1 12 ④





there4 dy144dx=


(01~40)1단원(해설)indd 11 15 7 14 오전 1038

12 정답과 해설


dy144dx=

2_(-2)-(-1)Ucirc`14211111122_(-2)_(-1) =-4 답 I ②


4-2a+1+b=0

there4 2a-b=5 yy



dx=0

(ax-2y) dy144dx

=2x-ay

there4 dy144dx

= 2x-ay14211ax-2y (ax-2y+0)



2_2-a142113a_2-2=4 6a=18 there4 a=3


2_3-b=5 there4 b=1

there4 ab=3 답 I 3


11422

2sectx+ 11422

2y_ dy144

dx=0

there4 dy144dx=-

y142sectx

(x+0)



-b142a

=-1 there4 a=b










a=4 b=2 (∵ b+0)



2x14233 + y14=1 there4 y=-2x+4



부분의 넓이는

2_2_4=4 답 I ⑤





414aUcirc`

- 114bUcirc`=1 yy



정식은

-2x1421aUcirc`


aUcirc`x-bUcirc`

















y=-x-1 또는 y=2x+2


(-1)_2=-2 답 I ③









(01~40)1단원(해설)indd 12 15 7 20 오후 417

I 평면 곡선 13

-2x+2y=2 또는 -2x-2y=2









xAacutex1423aUcirc`

+ yAacutey14234

=1


x+ 414yAacute



=1 414yAacute =-3








=2t-2


=tUcirc`+1

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= tUcirc`+114212t-2


dy144dx

= 3Ucirc`+114212322_3-2 =2 답 I ⑤


= 114222t


=t+a

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

=t+a1421114222t

=2t (at+1)14221114t



기가 4이므로

21 (a+1)14221111 =4 a+1=2

there4 a=1 답 I 1


=2 sin h


=3 cos h

there4 dy144dx

=

dy144dh1424dx144dh

= 3 cos h142212 sin h=3142212 tan h


-2 cos h=-2 3 sin h= 3214222



3142212

2 tan 4Ograve=2


y-3214222 =2(x+2)

there4 y=2x+32


넓이는

2_22_32=6 답 I ④

01 ① 02 ⑤ 03 ② 04 ④ 05 ② 06 4

07 ③ 08 ⑤ 09 ④ 10 ④



eAring`+]_dy144dx

=0 there4 dy144dx

=-eAring`y


dy144dx



3_2+a_2Ucirc`=4 4a=-2 there4 a=-2


y+x dy144dx

-y dy144dx

=0

there4 dy144dx

= y1421y-x (x+y)

(01~40)1단원(해설)indd 13 15 7 14 오전 1038

14 정답과 해설


dy144dx

= 2142242-3=-2


y-2=-2(x-3) there4 2x+y-8=0


2a-b-c=6 답 I ⑤


bUcirc`=4a yy


by=2(x+a)







(a+5)(a-4)=0




식은

2x148 +4y1432=1

there4 y=-2x+8 yy


-2x1418 +4y1432=1

there4 y=2x+8 yy





=25+4+25 =4+45 답 I ④


식은

4x148 -y=1 there4 y=2x-1



이 F이므로

F(Auml8+1 0) 즉 F(3 0)

O

y

x

A

21

43

B F

위의 그림에서

FAB=2_1_1=2 답 I ②












은 2=4이다 답 I 4


xAacute x1422=16 +

yAacute y1422=9 =1


914=yAacute










y=x-5 또는 y=x+5





=52 답 I ③





(01~40)1단원(해설)indd 14 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 15






PAB=2_63_3

=93 답 I ⑤


=1-cos t


=sin t

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= sin t142111-cos t


dy144dx

=sin 3Ograve

1421111-cos 3Ograve

=3 답 I ④


=1+t


dy144dt


즉 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt


limtÙacute1

dy144dx

=limtÙacute1


= 1+2+3+y+n1421111111+1

=

n(n+1)1421122142311232

= nUcirc`+n142144


limtÙacute1

dy144dx= lim


_ nUcirc`+n142144


=4 답 I ④

O

y

x

-3Acirc3

3Acirc3

B

A

4P1

Ⅱ 평면벡터

벡터의 연산05

01 ③ 02 ② 03 50 04 ④ 05 ① 06 ③

07 ⑤ 08 ③ 09 ④ 10 ③ 11 ⑤ 12 ⑤






므로



답 I ③



31442 _4=23







x

y

O

4

2











(01~40)1단원(해설)indd 15 15 7 14 오전 1038

16 정답과 해설


O

B F

E

D

C

b












=ACsup3+CAsup3









=2_5_31442 =53

답 I ③



_2-을 하면











O

B F

E

D

C

b



이때



이므로





=-4aoslash+3boslash







nUcirc`-4=m yy


there4 m=2







야 한다 즉




k=3 m=3 답 I ⑤







-2=k m+1=-2k








01 ③ 02 ④ 03 ④ 04 15 05 ⑤ 06 ②

07 ② 08 2 09 ④ 10 ②


(01~40)1단원(해설)indd 16 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 17









이므로 OQsup3는



인 원이므로



(2 0) (-2 0)

이때 A(2 0) A(-2 0) 1

-1

-2 2FFA A

O

P

x

y



=FOtildePsup3





there4 FPOacute=3












-_2를 하면






3

-3

-3 3Q

O

P

x

y

x+y=9



m+4n=4 답 I ②



므로




2mUcirc`+3m-5n=9 yy

_2-_3을 하면

-19m+19n=-19

there4 n=m-1 yy



(m+1)(m-2)=0

there4 m=2 (∵ mgt0) n=1 (∵ )











k=-2 m=2 답 I 2




=OYsup3+AOsup3




답 I ④







(01~40)1단원(해설)indd 17 15 7 14 오전 1038

18 정답과 해설








=에서 2K=1-l 1-k=3L there4 k=5$ l=5




01 ② 02 2 03 ② 04 ① 05 7 06 ⑤

07 ④ 08 ② 09 ③ 10 3 11 ④ 12 ③











OPsup3=3 OAsup3







12(m-n)=12_1ordf2=2 답 I 2





는 점이므로

PBC=3ABC

=3_12=4

답 I ②


=(-2m-n m+3n)


(-2m-n m+3n)=(-1 -7)

there4 -2m-n=-1 m+3n=-7






(x-1 -3)=(2 y+1)









8+x14137 -1-3 12-2x141317 1=(-5 y)

즉 (x-4 -4)=(-5 y)이므로

x-4=-5 -4=y there4 x=-1 y=-4




=2(-2 3)+(2 -1)=(-2 5)



B C

P

A

(01~40)1단원(해설)indd 18 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 19





(5k+1)(k-1)=0





=(t+2 t-1)


=(2t+1 2t-3)





는다 답 I ③






OAB=2_3_2=3 답 I 3





=(2x-2 2y-2)











O

B

A3

2

y

x


이다 이때







함한 내부이다


A(4 0) B(2 23)이므로





O

2Acirc3

y

x2

P

B

A4

01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 21 05 9 06 ②

07 ① 08 ① 09 ④ 10 ③



하면





이므로 m=5$ n=5

there4 100mn=100_5$_5=16 답 I ③








(01~40)1단원(해설)indd 19 15 7 16 오후 208

20 정답과 해설




x-y-2z=1 답 I ⑤




(xUcirc`+2x 3x+y-1)=(4x+3 2x-y+8)


[xUcirc`-2x-3=0 yy

`` x+2y=9 yy

에서 (x-3)(x+1)=0 there4 x=3 (∵ xgt0)


3+2y=9 there4 y=3

there4 3x+4y=9+12=21 답 I 21


t(7 5)=(x 1)+(2 y)=(x+2 y+1)


x+214137 =

y+114135 there4 x=5amp(y+1)-2



x=5amp_(4+1)-2=5



=(x+1 -x-2)














=(-1 -1)



= 41422

(-1 -1)

=(-22 -22)따라서 x=-22 y=-22이므로

x+y=-42 답 I ①











|다른 풀이|













점이다 이때




OB

B

A

A

P

Q

6

3 2

12 4-1-2

y

x



B CP 32

A

(01~40)1단원(해설)indd 20 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 21


01 ② 02 29 03 6 04 ④ 05 ⑤ 06 ④

07 ⑤ 08 ③ 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ②



aoslash+2boslash=(-1 3)+2(2 1)=(3 5)


답 I ②



=2xy+3(x+y)+9

=2xy+3_4+9 (∵ x+y=4)

=2xy+21 yy


의하여


there4 xyEacute4

따라서 에서




angBAC=90ugrave




형이므로



=2_23_ 31442 =6 답 I 6






=4 답 I ④















=9_2Ucirc`-6_1+(2)Ucirc`=32



2aoslash-boslash=2(2 -1)-(5 -5)=(-1 3)


하면



= -5141325 10

=-21442







= 5141345 10

=21442


답 I ③


B

2Acirc3 4

C

ΩA







(01~40)1단원(해설)indd 21 15 7 14 오전 1038

22 정답과 해설


=614411

23_4=3144 4 이므로


Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①



(x+1 2) thinsp(1 -x)=0




라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3



(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3




=(x+6 y-2)



x(x+6)+y(y-2)=0




10p이다 답 I ②





M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④



B

C

F

O

D

E




angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6



=36 답 I ①





+을 하면






=2_6=12 답 I 12




각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다


=(-3 -1)




=(a-c b-d)





=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10



|다른 풀이|






(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

4 정답과 해설






여

PFOacute=PHOacute=3







F R4

S

Q

PH

x

x=-1-4

- 1-4

1-4

y

y=x

O



P의 x좌표는

4-4=Aacute4deg



FROacute=RSOacute








PHOacute=PFOacute






=4+2=6


y=4x

x=-1

x

y

O

H

-1 F1`0

Pa`b

3

HH

x

y

O-2

x=-2

y=8x

F2`0

A4`3P


F(0 -2)


y+2=x there4 y=x-2







F(-1 0)



x=p-1142332

y=2Q

there4 p=2x+1 q=2y


(2y)Ucirc`=-4(2x+1)

4yUcirc`=-4(2x+1)




1=-(2a+1) 2a=-2






y=23 (∵ ygt0)


y=23-014233141-3

(x-3)


(-3x+33)Ucirc`=12x

3xUcirc`-18x+27=12x

xUcirc`-10x+9=0

(x-1)(x-9)=0




(01~40)1단원(해설)indd 4 15 7 14 오전 1037

I 평면 곡선 5

타원02

01 ② 02 28 03 ① 04 ① 05 ④ 06 32

07 ③ 08 ⑤ 09 25 10 11 11 ③ 12 14






914aUcirc`

=1 there4 aUcirc`=9













|다른 풀이|



는 타원이다


2b=8 there4 b=4


aUcirc`b=28







(x-2)Ucirc`1411236 +

(y-3)Ucirc`1411220 =1 답 I ①



므로 두 초점의 좌표는 (3 0) (-3 0)


3-(-3)=6 답 I ①


이가 b이므로

b=2a (∵ agt0) yy


b-4=2Auml3a+4 yy





there4 a=7 b=14 (∵ )













표는 (2 0) (-2 0)


F(2 0) F(-2 0)이라


하여




=8+2-(-2)=12 답 I ③






에 의하여


즉 에 의하여



y

x

P

F-2`0

F2`0

2Acirc3

-2Acirc3

-4 4O

x-16y-12+ =1

(01~40)1단원(해설)indd 5 15 7 14 오전 1037

6 정답과 해설














=10+10+5=25(∵ ) 답 I 25


표는(5 0)(-5 0)



m+n=12 yy



(m+n)Ucirc`-2mn=100

144-2mn=100(∵)

2mn=44 there4mn=22


2mn=2_22=11 답 I 11




인타원이다


i

ii

y

x-2

-2

4

2

1O








O

y

xF


FF

x-25y-16+ =1






=1






20-2r=20-6=14 답 I 14

01 4 02 ③ 03 ③ 04 ③ 05 ⑤ 06 ③

07 103 08 14 09 ④ 10 ①





(y+1)Ucirc`141125=1 yy




(0 1)(0 -1)


F(2 0)F(2 -2)(∵bgtd)


ab-cd=4 답 I 4



(7 0)(-7 0)



이므로





(01~40)1단원(해설)indd 6 15 7 20 오후 417

I 평면 곡선 7











3이므로

0-(-2)14111c-0 =3 there4 c=3




213이다 답 I ③






즉 b=31432 a이므로 aB= 31432 답 I ⑤








F(52 0) F(-52 0)









there4 a=53 b=5


4_AOD=4_2_53_5=503 답 I ③

y

x

F-5Acirc2`0

F5Acirc2`0

BC

O D

Ax-a

y-b+ =1


m+n=10 yy













따라서 p=4 q=99이므로 p+q=103 답 I 103



(3 0) (-3 0)

즉 F(3 0) F(-3 0)이







m+n=8



(m+n)Ucirc-2mn=36

64-2mn=36 2mn=28

there4 mn=14










yl

x

mn

Q

P

O-5 5AB

F FC

y

x

Acirc7

F F

3

-3

-3

-Acirc7

P

3 4-4O

(01~40)1단원(해설)indd 7 15 7 14 오전 1037

8 정답과 해설



PQRS=21442 _

3para1414142 =371412

답 I ④




A(2 0) B(-2 0)



고 하면









4xUcirc`143449 + 4yUcirc`143433 =1 답 I ①

y

x-8 4BA

-2 2rP

O

쌍곡선03

01 ① 02 34 03 ② 04 ⑤ 05 ② 06 ④

07 18 08 ⑤ 09 14 10 ④ 11 ① 12 ③











선이다




a=2para25=10


a+b=34 답 I 34











(y-2)Ucirc`141125 =1


a+b+c+d=10 답 I ②





(0 3) (0 -3)






(4 0) (-4 0)


y=Ntilde 81448

x there4 y=Ntildex


이르는 거리는

|Ntilde4|1411112


답 I ②


there4 xUcirc143 -

(y-3)Ucirc`141129 =-1 yy

(01~40)1단원(해설)indd 8 15 7 14 오전 1037

I 평면 곡선 9



y-3=Ntilde 31443





OAcirc3

36

-Acirc3

y

y=-Acirc3x+3

y=Acirc3x+3

y=mx+3

x




표는

(3 0) (-3 0)

즉 F(3 0) F(-3 0)이라고

O3-3

FF-2

2

Py

x




이는 24=4






=4+8+3-(-3)=18 답 I 18


표는 (4 0) (-4 0)

즉 F(4 0) F(-4 0)

O4-4

FF-3 3

P

y

n mx







하여 |m-n|=6 yy



36+2mn=64 (∵ ) 2mn=28

there4 mn=14




(2 0) (-2 0)

즉 F(2 0) F(-2 0)이라고




하여






=ABOacute+4=5+4=9






(a 0) (-a 0)






OFC

D

F AB

Py

x




므로
















O

y

xF1-2

-1

B

A

52F

(01~40)1단원(해설)indd 9 15 7 16 오후 208

10 정답과 해설

01 ③ 02 ⑤ 03 ③ 04 5 05 ⑤ 06 ①

07 ① 08 ④ 09 12 10 ④



























놓는다


발이 A이므로


=|x-y|1423132




=|x+y|1423132


|x-y|1423132

_|x+y|1423132






(3 0) (-3 0)




2_6_b=3 there4 b=1


의 점이므로






(4 0) (-4 0)

즉 F(4 0) F(-4 0)이

O

Ω

F F4-4

P

y

x






4Ucirc148 -




= 8142362

=2214233 답 I ⑤



의 좌표는



x

Q

F F

3-2 0A

13-213-2

3-2 0B -

-

C

P

O

12

55



B라고 하면

A2 0

B-2 0







(01~40)1단원(해설)indd 10 15 7 14 오전 1038

I 평면 곡선 11





F의 좌표는






n-m=4

there4 n=m+4 yy








12=2sect10_PHOacute




(3 0) (-3 0)




라고 하면





aUcirc`+35aUcirc`=9







표는 (3 0) (-3 0)이므로

O10- 10F F

P

H-2

2

y

x

mn

a=3 (∵ agt0)

즉 A(3 0) B(-3 0)이므로








의 방정식은

yUcirc`=24(x-3)
















2+4=6 답 I ④

O 3B A

-3

y

x

x=-3

O-1 1

3

y

x


01 ② 02 3 03 ④ 04 ③ 05 ⑤ 06 ①

07 ③ 08 ④ 09 9 10 ⑤ 11 1 12 ④





there4 dy144dx=


(01~40)1단원(해설)indd 11 15 7 14 오전 1038

12 정답과 해설


dy144dx=

2_(-2)-(-1)Ucirc`14211111122_(-2)_(-1) =-4 답 I ②


4-2a+1+b=0

there4 2a-b=5 yy



dx=0

(ax-2y) dy144dx

=2x-ay

there4 dy144dx

= 2x-ay14211ax-2y (ax-2y+0)



2_2-a142113a_2-2=4 6a=18 there4 a=3


2_3-b=5 there4 b=1

there4 ab=3 답 I 3


11422

2sectx+ 11422

2y_ dy144

dx=0

there4 dy144dx=-

y142sectx

(x+0)



-b142a

=-1 there4 a=b










a=4 b=2 (∵ b+0)



2x14233 + y14=1 there4 y=-2x+4



부분의 넓이는

2_2_4=4 답 I ⑤





414aUcirc`

- 114bUcirc`=1 yy



정식은

-2x1421aUcirc`


aUcirc`x-bUcirc`

















y=-x-1 또는 y=2x+2


(-1)_2=-2 답 I ③









(01~40)1단원(해설)indd 12 15 7 20 오후 417

I 평면 곡선 13

-2x+2y=2 또는 -2x-2y=2









xAacutex1423aUcirc`

+ yAacutey14234

=1


x+ 414yAacute



=1 414yAacute =-3








=2t-2


=tUcirc`+1

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= tUcirc`+114212t-2


dy144dx

= 3Ucirc`+114212322_3-2 =2 답 I ⑤


= 114222t


=t+a

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

=t+a1421114222t

=2t (at+1)14221114t



기가 4이므로

21 (a+1)14221111 =4 a+1=2

there4 a=1 답 I 1


=2 sin h


=3 cos h

there4 dy144dx

=

dy144dh1424dx144dh

= 3 cos h142212 sin h=3142212 tan h


-2 cos h=-2 3 sin h= 3214222



3142212

2 tan 4Ograve=2


y-3214222 =2(x+2)

there4 y=2x+32


넓이는

2_22_32=6 답 I ④

01 ① 02 ⑤ 03 ② 04 ④ 05 ② 06 4

07 ③ 08 ⑤ 09 ④ 10 ④



eAring`+]_dy144dx

=0 there4 dy144dx

=-eAring`y


dy144dx



3_2+a_2Ucirc`=4 4a=-2 there4 a=-2


y+x dy144dx

-y dy144dx

=0

there4 dy144dx

= y1421y-x (x+y)

(01~40)1단원(해설)indd 13 15 7 14 오전 1038

14 정답과 해설


dy144dx

= 2142242-3=-2


y-2=-2(x-3) there4 2x+y-8=0


2a-b-c=6 답 I ⑤


bUcirc`=4a yy


by=2(x+a)







(a+5)(a-4)=0




식은

2x148 +4y1432=1

there4 y=-2x+8 yy


-2x1418 +4y1432=1

there4 y=2x+8 yy





=25+4+25 =4+45 답 I ④


식은

4x148 -y=1 there4 y=2x-1



이 F이므로

F(Auml8+1 0) 즉 F(3 0)

O

y

x

A

21

43

B F

위의 그림에서

FAB=2_1_1=2 답 I ②












은 2=4이다 답 I 4


xAacute x1422=16 +

yAacute y1422=9 =1


914=yAacute










y=x-5 또는 y=x+5





=52 답 I ③





(01~40)1단원(해설)indd 14 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 15






PAB=2_63_3

=93 답 I ⑤


=1-cos t


=sin t

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= sin t142111-cos t


dy144dx

=sin 3Ograve

1421111-cos 3Ograve

=3 답 I ④


=1+t


dy144dt


즉 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt


limtÙacute1

dy144dx

=limtÙacute1


= 1+2+3+y+n1421111111+1

=

n(n+1)1421122142311232

= nUcirc`+n142144


limtÙacute1

dy144dx= lim


_ nUcirc`+n142144


=4 답 I ④

O

y

x

-3Acirc3

3Acirc3

B

A

4P1

Ⅱ 평면벡터

벡터의 연산05

01 ③ 02 ② 03 50 04 ④ 05 ① 06 ③

07 ⑤ 08 ③ 09 ④ 10 ③ 11 ⑤ 12 ⑤






므로



답 I ③



31442 _4=23







x

y

O

4

2











(01~40)1단원(해설)indd 15 15 7 14 오전 1038

16 정답과 해설


O

B F

E

D

C

b












=ACsup3+CAsup3









=2_5_31442 =53

답 I ③



_2-을 하면











O

B F

E

D

C

b



이때



이므로





=-4aoslash+3boslash







nUcirc`-4=m yy


there4 m=2







야 한다 즉




k=3 m=3 답 I ⑤







-2=k m+1=-2k








01 ③ 02 ④ 03 ④ 04 15 05 ⑤ 06 ②

07 ② 08 2 09 ④ 10 ②


(01~40)1단원(해설)indd 16 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 17









이므로 OQsup3는



인 원이므로



(2 0) (-2 0)

이때 A(2 0) A(-2 0) 1

-1

-2 2FFA A

O

P

x

y



=FOtildePsup3





there4 FPOacute=3












-_2를 하면






3

-3

-3 3Q

O

P

x

y

x+y=9



m+4n=4 답 I ②



므로




2mUcirc`+3m-5n=9 yy

_2-_3을 하면

-19m+19n=-19

there4 n=m-1 yy



(m+1)(m-2)=0

there4 m=2 (∵ mgt0) n=1 (∵ )











k=-2 m=2 답 I 2




=OYsup3+AOsup3




답 I ④







(01~40)1단원(해설)indd 17 15 7 14 오전 1038

18 정답과 해설








=에서 2K=1-l 1-k=3L there4 k=5$ l=5




01 ② 02 2 03 ② 04 ① 05 7 06 ⑤

07 ④ 08 ② 09 ③ 10 3 11 ④ 12 ③











OPsup3=3 OAsup3







12(m-n)=12_1ordf2=2 답 I 2





는 점이므로

PBC=3ABC

=3_12=4

답 I ②


=(-2m-n m+3n)


(-2m-n m+3n)=(-1 -7)

there4 -2m-n=-1 m+3n=-7






(x-1 -3)=(2 y+1)









8+x14137 -1-3 12-2x141317 1=(-5 y)

즉 (x-4 -4)=(-5 y)이므로

x-4=-5 -4=y there4 x=-1 y=-4




=2(-2 3)+(2 -1)=(-2 5)



B C

P

A

(01~40)1단원(해설)indd 18 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 19





(5k+1)(k-1)=0





=(t+2 t-1)


=(2t+1 2t-3)





는다 답 I ③






OAB=2_3_2=3 답 I 3





=(2x-2 2y-2)











O

B

A3

2

y

x


이다 이때







함한 내부이다


A(4 0) B(2 23)이므로





O

2Acirc3

y

x2

P

B

A4

01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 21 05 9 06 ②

07 ① 08 ① 09 ④ 10 ③



하면





이므로 m=5$ n=5

there4 100mn=100_5$_5=16 답 I ③








(01~40)1단원(해설)indd 19 15 7 16 오후 208

20 정답과 해설




x-y-2z=1 답 I ⑤




(xUcirc`+2x 3x+y-1)=(4x+3 2x-y+8)


[xUcirc`-2x-3=0 yy

`` x+2y=9 yy

에서 (x-3)(x+1)=0 there4 x=3 (∵ xgt0)


3+2y=9 there4 y=3

there4 3x+4y=9+12=21 답 I 21


t(7 5)=(x 1)+(2 y)=(x+2 y+1)


x+214137 =

y+114135 there4 x=5amp(y+1)-2



x=5amp_(4+1)-2=5



=(x+1 -x-2)














=(-1 -1)



= 41422

(-1 -1)

=(-22 -22)따라서 x=-22 y=-22이므로

x+y=-42 답 I ①











|다른 풀이|













점이다 이때




OB

B

A

A

P

Q

6

3 2

12 4-1-2

y

x



B CP 32

A

(01~40)1단원(해설)indd 20 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 21


01 ② 02 29 03 6 04 ④ 05 ⑤ 06 ④

07 ⑤ 08 ③ 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ②



aoslash+2boslash=(-1 3)+2(2 1)=(3 5)


답 I ②



=2xy+3(x+y)+9

=2xy+3_4+9 (∵ x+y=4)

=2xy+21 yy


의하여


there4 xyEacute4

따라서 에서




angBAC=90ugrave




형이므로



=2_23_ 31442 =6 답 I 6






=4 답 I ④















=9_2Ucirc`-6_1+(2)Ucirc`=32



2aoslash-boslash=2(2 -1)-(5 -5)=(-1 3)


하면



= -5141325 10

=-21442







= 5141345 10

=21442


답 I ③


B

2Acirc3 4

C

ΩA







(01~40)1단원(해설)indd 21 15 7 14 오전 1038

22 정답과 해설


=614411

23_4=3144 4 이므로


Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①



(x+1 2) thinsp(1 -x)=0




라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3



(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3




=(x+6 y-2)



x(x+6)+y(y-2)=0




10p이다 답 I ②





M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④



B

C

F

O

D

E




angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6



=36 답 I ①





+을 하면






=2_6=12 답 I 12




각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다


=(-3 -1)




=(a-c b-d)





=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10



|다른 풀이|






(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

I 평면 곡선 5

타원02

01 ② 02 28 03 ① 04 ① 05 ④ 06 32

07 ③ 08 ⑤ 09 25 10 11 11 ③ 12 14






914aUcirc`

=1 there4 aUcirc`=9













|다른 풀이|



는 타원이다


2b=8 there4 b=4


aUcirc`b=28







(x-2)Ucirc`1411236 +

(y-3)Ucirc`1411220 =1 답 I ①



므로 두 초점의 좌표는 (3 0) (-3 0)


3-(-3)=6 답 I ①


이가 b이므로

b=2a (∵ agt0) yy


b-4=2Auml3a+4 yy





there4 a=7 b=14 (∵ )













표는 (2 0) (-2 0)


F(2 0) F(-2 0)이라


하여




=8+2-(-2)=12 답 I ③






에 의하여


즉 에 의하여



y

x

P

F-2`0

F2`0

2Acirc3

-2Acirc3

-4 4O

x-16y-12+ =1

(01~40)1단원(해설)indd 5 15 7 14 오전 1037

6 정답과 해설














=10+10+5=25(∵ ) 답 I 25


표는(5 0)(-5 0)



m+n=12 yy



(m+n)Ucirc`-2mn=100

144-2mn=100(∵)

2mn=44 there4mn=22


2mn=2_22=11 답 I 11




인타원이다


i

ii

y

x-2

-2

4

2

1O








O

y

xF


FF

x-25y-16+ =1






=1






20-2r=20-6=14 답 I 14

01 4 02 ③ 03 ③ 04 ③ 05 ⑤ 06 ③

07 103 08 14 09 ④ 10 ①





(y+1)Ucirc`141125=1 yy




(0 1)(0 -1)


F(2 0)F(2 -2)(∵bgtd)


ab-cd=4 답 I 4



(7 0)(-7 0)



이므로





(01~40)1단원(해설)indd 6 15 7 20 오후 417

I 평면 곡선 7











3이므로

0-(-2)14111c-0 =3 there4 c=3




213이다 답 I ③






즉 b=31432 a이므로 aB= 31432 답 I ⑤








F(52 0) F(-52 0)









there4 a=53 b=5


4_AOD=4_2_53_5=503 답 I ③

y

x

F-5Acirc2`0

F5Acirc2`0

BC

O D

Ax-a

y-b+ =1


m+n=10 yy













따라서 p=4 q=99이므로 p+q=103 답 I 103



(3 0) (-3 0)

즉 F(3 0) F(-3 0)이







m+n=8



(m+n)Ucirc-2mn=36

64-2mn=36 2mn=28

there4 mn=14










yl

x

mn

Q

P

O-5 5AB

F FC

y

x

Acirc7

F F

3

-3

-3

-Acirc7

P

3 4-4O

(01~40)1단원(해설)indd 7 15 7 14 오전 1037

8 정답과 해설



PQRS=21442 _

3para1414142 =371412

답 I ④




A(2 0) B(-2 0)



고 하면









4xUcirc`143449 + 4yUcirc`143433 =1 답 I ①

y

x-8 4BA

-2 2rP

O

쌍곡선03

01 ① 02 34 03 ② 04 ⑤ 05 ② 06 ④

07 18 08 ⑤ 09 14 10 ④ 11 ① 12 ③











선이다




a=2para25=10


a+b=34 답 I 34











(y-2)Ucirc`141125 =1


a+b+c+d=10 답 I ②





(0 3) (0 -3)






(4 0) (-4 0)


y=Ntilde 81448

x there4 y=Ntildex


이르는 거리는

|Ntilde4|1411112


답 I ②


there4 xUcirc143 -

(y-3)Ucirc`141129 =-1 yy

(01~40)1단원(해설)indd 8 15 7 14 오전 1037

I 평면 곡선 9



y-3=Ntilde 31443





OAcirc3

36

-Acirc3

y

y=-Acirc3x+3

y=Acirc3x+3

y=mx+3

x




표는

(3 0) (-3 0)

즉 F(3 0) F(-3 0)이라고

O3-3

FF-2

2

Py

x




이는 24=4






=4+8+3-(-3)=18 답 I 18


표는 (4 0) (-4 0)

즉 F(4 0) F(-4 0)

O4-4

FF-3 3

P

y

n mx







하여 |m-n|=6 yy



36+2mn=64 (∵ ) 2mn=28

there4 mn=14




(2 0) (-2 0)

즉 F(2 0) F(-2 0)이라고




하여






=ABOacute+4=5+4=9






(a 0) (-a 0)






OFC

D

F AB

Py

x




므로
















O

y

xF1-2

-1

B

A

52F

(01~40)1단원(해설)indd 9 15 7 16 오후 208

10 정답과 해설

01 ③ 02 ⑤ 03 ③ 04 5 05 ⑤ 06 ①

07 ① 08 ④ 09 12 10 ④



























놓는다


발이 A이므로


=|x-y|1423132




=|x+y|1423132


|x-y|1423132

_|x+y|1423132






(3 0) (-3 0)




2_6_b=3 there4 b=1


의 점이므로






(4 0) (-4 0)

즉 F(4 0) F(-4 0)이

O

Ω

F F4-4

P

y

x






4Ucirc148 -




= 8142362

=2214233 답 I ⑤



의 좌표는



x

Q

F F

3-2 0A

13-213-2

3-2 0B -

-

C

P

O

12

55



B라고 하면

A2 0

B-2 0







(01~40)1단원(해설)indd 10 15 7 14 오전 1038

I 평면 곡선 11





F의 좌표는






n-m=4

there4 n=m+4 yy








12=2sect10_PHOacute




(3 0) (-3 0)




라고 하면





aUcirc`+35aUcirc`=9







표는 (3 0) (-3 0)이므로

O10- 10F F

P

H-2

2

y

x

mn

a=3 (∵ agt0)

즉 A(3 0) B(-3 0)이므로








의 방정식은

yUcirc`=24(x-3)
















2+4=6 답 I ④

O 3B A

-3

y

x

x=-3

O-1 1

3

y

x


01 ② 02 3 03 ④ 04 ③ 05 ⑤ 06 ①

07 ③ 08 ④ 09 9 10 ⑤ 11 1 12 ④





there4 dy144dx=


(01~40)1단원(해설)indd 11 15 7 14 오전 1038

12 정답과 해설


dy144dx=

2_(-2)-(-1)Ucirc`14211111122_(-2)_(-1) =-4 답 I ②


4-2a+1+b=0

there4 2a-b=5 yy



dx=0

(ax-2y) dy144dx

=2x-ay

there4 dy144dx

= 2x-ay14211ax-2y (ax-2y+0)



2_2-a142113a_2-2=4 6a=18 there4 a=3


2_3-b=5 there4 b=1

there4 ab=3 답 I 3


11422

2sectx+ 11422

2y_ dy144

dx=0

there4 dy144dx=-

y142sectx

(x+0)



-b142a

=-1 there4 a=b










a=4 b=2 (∵ b+0)



2x14233 + y14=1 there4 y=-2x+4



부분의 넓이는

2_2_4=4 답 I ⑤





414aUcirc`

- 114bUcirc`=1 yy



정식은

-2x1421aUcirc`


aUcirc`x-bUcirc`

















y=-x-1 또는 y=2x+2


(-1)_2=-2 답 I ③









(01~40)1단원(해설)indd 12 15 7 20 오후 417

I 평면 곡선 13

-2x+2y=2 또는 -2x-2y=2









xAacutex1423aUcirc`

+ yAacutey14234

=1


x+ 414yAacute



=1 414yAacute =-3








=2t-2


=tUcirc`+1

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= tUcirc`+114212t-2


dy144dx

= 3Ucirc`+114212322_3-2 =2 답 I ⑤


= 114222t


=t+a

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

=t+a1421114222t

=2t (at+1)14221114t



기가 4이므로

21 (a+1)14221111 =4 a+1=2

there4 a=1 답 I 1


=2 sin h


=3 cos h

there4 dy144dx

=

dy144dh1424dx144dh

= 3 cos h142212 sin h=3142212 tan h


-2 cos h=-2 3 sin h= 3214222



3142212

2 tan 4Ograve=2


y-3214222 =2(x+2)

there4 y=2x+32


넓이는

2_22_32=6 답 I ④

01 ① 02 ⑤ 03 ② 04 ④ 05 ② 06 4

07 ③ 08 ⑤ 09 ④ 10 ④



eAring`+]_dy144dx

=0 there4 dy144dx

=-eAring`y


dy144dx



3_2+a_2Ucirc`=4 4a=-2 there4 a=-2


y+x dy144dx

-y dy144dx

=0

there4 dy144dx

= y1421y-x (x+y)

(01~40)1단원(해설)indd 13 15 7 14 오전 1038

14 정답과 해설


dy144dx

= 2142242-3=-2


y-2=-2(x-3) there4 2x+y-8=0


2a-b-c=6 답 I ⑤


bUcirc`=4a yy


by=2(x+a)







(a+5)(a-4)=0




식은

2x148 +4y1432=1

there4 y=-2x+8 yy


-2x1418 +4y1432=1

there4 y=2x+8 yy





=25+4+25 =4+45 답 I ④


식은

4x148 -y=1 there4 y=2x-1



이 F이므로

F(Auml8+1 0) 즉 F(3 0)

O

y

x

A

21

43

B F

위의 그림에서

FAB=2_1_1=2 답 I ②












은 2=4이다 답 I 4


xAacute x1422=16 +

yAacute y1422=9 =1


914=yAacute










y=x-5 또는 y=x+5





=52 답 I ③





(01~40)1단원(해설)indd 14 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 15






PAB=2_63_3

=93 답 I ⑤


=1-cos t


=sin t

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= sin t142111-cos t


dy144dx

=sin 3Ograve

1421111-cos 3Ograve

=3 답 I ④


=1+t


dy144dt


즉 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt


limtÙacute1

dy144dx

=limtÙacute1


= 1+2+3+y+n1421111111+1

=

n(n+1)1421122142311232

= nUcirc`+n142144


limtÙacute1

dy144dx= lim


_ nUcirc`+n142144


=4 답 I ④

O

y

x

-3Acirc3

3Acirc3

B

A

4P1

Ⅱ 평면벡터

벡터의 연산05

01 ③ 02 ② 03 50 04 ④ 05 ① 06 ③

07 ⑤ 08 ③ 09 ④ 10 ③ 11 ⑤ 12 ⑤






므로



답 I ③



31442 _4=23







x

y

O

4

2











(01~40)1단원(해설)indd 15 15 7 14 오전 1038

16 정답과 해설


O

B F

E

D

C

b












=ACsup3+CAsup3









=2_5_31442 =53

답 I ③



_2-을 하면











O

B F

E

D

C

b



이때



이므로





=-4aoslash+3boslash







nUcirc`-4=m yy


there4 m=2







야 한다 즉




k=3 m=3 답 I ⑤







-2=k m+1=-2k








01 ③ 02 ④ 03 ④ 04 15 05 ⑤ 06 ②

07 ② 08 2 09 ④ 10 ②


(01~40)1단원(해설)indd 16 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 17









이므로 OQsup3는



인 원이므로



(2 0) (-2 0)

이때 A(2 0) A(-2 0) 1

-1

-2 2FFA A

O

P

x

y



=FOtildePsup3





there4 FPOacute=3












-_2를 하면






3

-3

-3 3Q

O

P

x

y

x+y=9



m+4n=4 답 I ②



므로




2mUcirc`+3m-5n=9 yy

_2-_3을 하면

-19m+19n=-19

there4 n=m-1 yy



(m+1)(m-2)=0

there4 m=2 (∵ mgt0) n=1 (∵ )











k=-2 m=2 답 I 2




=OYsup3+AOsup3




답 I ④







(01~40)1단원(해설)indd 17 15 7 14 오전 1038

18 정답과 해설








=에서 2K=1-l 1-k=3L there4 k=5$ l=5




01 ② 02 2 03 ② 04 ① 05 7 06 ⑤

07 ④ 08 ② 09 ③ 10 3 11 ④ 12 ③











OPsup3=3 OAsup3







12(m-n)=12_1ordf2=2 답 I 2





는 점이므로

PBC=3ABC

=3_12=4

답 I ②


=(-2m-n m+3n)


(-2m-n m+3n)=(-1 -7)

there4 -2m-n=-1 m+3n=-7






(x-1 -3)=(2 y+1)









8+x14137 -1-3 12-2x141317 1=(-5 y)

즉 (x-4 -4)=(-5 y)이므로

x-4=-5 -4=y there4 x=-1 y=-4




=2(-2 3)+(2 -1)=(-2 5)



B C

P

A

(01~40)1단원(해설)indd 18 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 19





(5k+1)(k-1)=0





=(t+2 t-1)


=(2t+1 2t-3)





는다 답 I ③






OAB=2_3_2=3 답 I 3





=(2x-2 2y-2)











O

B

A3

2

y

x


이다 이때







함한 내부이다


A(4 0) B(2 23)이므로





O

2Acirc3

y

x2

P

B

A4

01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 21 05 9 06 ②

07 ① 08 ① 09 ④ 10 ③



하면





이므로 m=5$ n=5

there4 100mn=100_5$_5=16 답 I ③








(01~40)1단원(해설)indd 19 15 7 16 오후 208

20 정답과 해설




x-y-2z=1 답 I ⑤




(xUcirc`+2x 3x+y-1)=(4x+3 2x-y+8)


[xUcirc`-2x-3=0 yy

`` x+2y=9 yy

에서 (x-3)(x+1)=0 there4 x=3 (∵ xgt0)


3+2y=9 there4 y=3

there4 3x+4y=9+12=21 답 I 21


t(7 5)=(x 1)+(2 y)=(x+2 y+1)


x+214137 =

y+114135 there4 x=5amp(y+1)-2



x=5amp_(4+1)-2=5



=(x+1 -x-2)














=(-1 -1)



= 41422

(-1 -1)

=(-22 -22)따라서 x=-22 y=-22이므로

x+y=-42 답 I ①











|다른 풀이|













점이다 이때




OB

B

A

A

P

Q

6

3 2

12 4-1-2

y

x



B CP 32

A

(01~40)1단원(해설)indd 20 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 21


01 ② 02 29 03 6 04 ④ 05 ⑤ 06 ④

07 ⑤ 08 ③ 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ②



aoslash+2boslash=(-1 3)+2(2 1)=(3 5)


답 I ②



=2xy+3(x+y)+9

=2xy+3_4+9 (∵ x+y=4)

=2xy+21 yy


의하여


there4 xyEacute4

따라서 에서




angBAC=90ugrave




형이므로



=2_23_ 31442 =6 답 I 6






=4 답 I ④















=9_2Ucirc`-6_1+(2)Ucirc`=32



2aoslash-boslash=2(2 -1)-(5 -5)=(-1 3)


하면



= -5141325 10

=-21442







= 5141345 10

=21442


답 I ③


B

2Acirc3 4

C

ΩA







(01~40)1단원(해설)indd 21 15 7 14 오전 1038

22 정답과 해설


=614411

23_4=3144 4 이므로


Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①



(x+1 2) thinsp(1 -x)=0




라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3



(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3




=(x+6 y-2)



x(x+6)+y(y-2)=0




10p이다 답 I ②





M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④



B

C

F

O

D

E




angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6



=36 답 I ①





+을 하면






=2_6=12 답 I 12




각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다


=(-3 -1)




=(a-c b-d)





=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10



|다른 풀이|






(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

6 정답과 해설














=10+10+5=25(∵ ) 답 I 25


표는(5 0)(-5 0)



m+n=12 yy



(m+n)Ucirc`-2mn=100

144-2mn=100(∵)

2mn=44 there4mn=22


2mn=2_22=11 답 I 11




인타원이다


i

ii

y

x-2

-2

4

2

1O








O

y

xF


FF

x-25y-16+ =1






=1






20-2r=20-6=14 답 I 14

01 4 02 ③ 03 ③ 04 ③ 05 ⑤ 06 ③

07 103 08 14 09 ④ 10 ①





(y+1)Ucirc`141125=1 yy




(0 1)(0 -1)


F(2 0)F(2 -2)(∵bgtd)


ab-cd=4 답 I 4



(7 0)(-7 0)



이므로





(01~40)1단원(해설)indd 6 15 7 20 오후 417

I 평면 곡선 7











3이므로

0-(-2)14111c-0 =3 there4 c=3




213이다 답 I ③






즉 b=31432 a이므로 aB= 31432 답 I ⑤








F(52 0) F(-52 0)









there4 a=53 b=5


4_AOD=4_2_53_5=503 답 I ③

y

x

F-5Acirc2`0

F5Acirc2`0

BC

O D

Ax-a

y-b+ =1


m+n=10 yy













따라서 p=4 q=99이므로 p+q=103 답 I 103



(3 0) (-3 0)

즉 F(3 0) F(-3 0)이







m+n=8



(m+n)Ucirc-2mn=36

64-2mn=36 2mn=28

there4 mn=14










yl

x

mn

Q

P

O-5 5AB

F FC

y

x

Acirc7

F F

3

-3

-3

-Acirc7

P

3 4-4O

(01~40)1단원(해설)indd 7 15 7 14 오전 1037

8 정답과 해설



PQRS=21442 _

3para1414142 =371412

답 I ④




A(2 0) B(-2 0)



고 하면









4xUcirc`143449 + 4yUcirc`143433 =1 답 I ①

y

x-8 4BA

-2 2rP

O

쌍곡선03

01 ① 02 34 03 ② 04 ⑤ 05 ② 06 ④

07 18 08 ⑤ 09 14 10 ④ 11 ① 12 ③











선이다




a=2para25=10


a+b=34 답 I 34











(y-2)Ucirc`141125 =1


a+b+c+d=10 답 I ②





(0 3) (0 -3)






(4 0) (-4 0)


y=Ntilde 81448

x there4 y=Ntildex


이르는 거리는

|Ntilde4|1411112


답 I ②


there4 xUcirc143 -

(y-3)Ucirc`141129 =-1 yy

(01~40)1단원(해설)indd 8 15 7 14 오전 1037

I 평면 곡선 9



y-3=Ntilde 31443





OAcirc3

36

-Acirc3

y

y=-Acirc3x+3

y=Acirc3x+3

y=mx+3

x




표는

(3 0) (-3 0)

즉 F(3 0) F(-3 0)이라고

O3-3

FF-2

2

Py

x




이는 24=4






=4+8+3-(-3)=18 답 I 18


표는 (4 0) (-4 0)

즉 F(4 0) F(-4 0)

O4-4

FF-3 3

P

y

n mx







하여 |m-n|=6 yy



36+2mn=64 (∵ ) 2mn=28

there4 mn=14




(2 0) (-2 0)

즉 F(2 0) F(-2 0)이라고




하여






=ABOacute+4=5+4=9






(a 0) (-a 0)






OFC

D

F AB

Py

x




므로
















O

y

xF1-2

-1

B

A

52F

(01~40)1단원(해설)indd 9 15 7 16 오후 208

10 정답과 해설

01 ③ 02 ⑤ 03 ③ 04 5 05 ⑤ 06 ①

07 ① 08 ④ 09 12 10 ④



























놓는다


발이 A이므로


=|x-y|1423132




=|x+y|1423132


|x-y|1423132

_|x+y|1423132






(3 0) (-3 0)




2_6_b=3 there4 b=1


의 점이므로






(4 0) (-4 0)

즉 F(4 0) F(-4 0)이

O

Ω

F F4-4

P

y

x






4Ucirc148 -




= 8142362

=2214233 답 I ⑤



의 좌표는



x

Q

F F

3-2 0A

13-213-2

3-2 0B -

-

C

P

O

12

55



B라고 하면

A2 0

B-2 0







(01~40)1단원(해설)indd 10 15 7 14 오전 1038

I 평면 곡선 11





F의 좌표는






n-m=4

there4 n=m+4 yy








12=2sect10_PHOacute




(3 0) (-3 0)




라고 하면





aUcirc`+35aUcirc`=9







표는 (3 0) (-3 0)이므로

O10- 10F F

P

H-2

2

y

x

mn

a=3 (∵ agt0)

즉 A(3 0) B(-3 0)이므로








의 방정식은

yUcirc`=24(x-3)
















2+4=6 답 I ④

O 3B A

-3

y

x

x=-3

O-1 1

3

y

x


01 ② 02 3 03 ④ 04 ③ 05 ⑤ 06 ①

07 ③ 08 ④ 09 9 10 ⑤ 11 1 12 ④





there4 dy144dx=


(01~40)1단원(해설)indd 11 15 7 14 오전 1038

12 정답과 해설


dy144dx=

2_(-2)-(-1)Ucirc`14211111122_(-2)_(-1) =-4 답 I ②


4-2a+1+b=0

there4 2a-b=5 yy



dx=0

(ax-2y) dy144dx

=2x-ay

there4 dy144dx

= 2x-ay14211ax-2y (ax-2y+0)



2_2-a142113a_2-2=4 6a=18 there4 a=3


2_3-b=5 there4 b=1

there4 ab=3 답 I 3


11422

2sectx+ 11422

2y_ dy144

dx=0

there4 dy144dx=-

y142sectx

(x+0)



-b142a

=-1 there4 a=b










a=4 b=2 (∵ b+0)



2x14233 + y14=1 there4 y=-2x+4



부분의 넓이는

2_2_4=4 답 I ⑤





414aUcirc`

- 114bUcirc`=1 yy



정식은

-2x1421aUcirc`


aUcirc`x-bUcirc`

















y=-x-1 또는 y=2x+2


(-1)_2=-2 답 I ③









(01~40)1단원(해설)indd 12 15 7 20 오후 417

I 평면 곡선 13

-2x+2y=2 또는 -2x-2y=2









xAacutex1423aUcirc`

+ yAacutey14234

=1


x+ 414yAacute



=1 414yAacute =-3








=2t-2


=tUcirc`+1

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= tUcirc`+114212t-2


dy144dx

= 3Ucirc`+114212322_3-2 =2 답 I ⑤


= 114222t


=t+a

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

=t+a1421114222t

=2t (at+1)14221114t



기가 4이므로

21 (a+1)14221111 =4 a+1=2

there4 a=1 답 I 1


=2 sin h


=3 cos h

there4 dy144dx

=

dy144dh1424dx144dh

= 3 cos h142212 sin h=3142212 tan h


-2 cos h=-2 3 sin h= 3214222



3142212

2 tan 4Ograve=2


y-3214222 =2(x+2)

there4 y=2x+32


넓이는

2_22_32=6 답 I ④

01 ① 02 ⑤ 03 ② 04 ④ 05 ② 06 4

07 ③ 08 ⑤ 09 ④ 10 ④



eAring`+]_dy144dx

=0 there4 dy144dx

=-eAring`y


dy144dx



3_2+a_2Ucirc`=4 4a=-2 there4 a=-2


y+x dy144dx

-y dy144dx

=0

there4 dy144dx

= y1421y-x (x+y)

(01~40)1단원(해설)indd 13 15 7 14 오전 1038

14 정답과 해설


dy144dx

= 2142242-3=-2


y-2=-2(x-3) there4 2x+y-8=0


2a-b-c=6 답 I ⑤


bUcirc`=4a yy


by=2(x+a)







(a+5)(a-4)=0




식은

2x148 +4y1432=1

there4 y=-2x+8 yy


-2x1418 +4y1432=1

there4 y=2x+8 yy





=25+4+25 =4+45 답 I ④


식은

4x148 -y=1 there4 y=2x-1



이 F이므로

F(Auml8+1 0) 즉 F(3 0)

O

y

x

A

21

43

B F

위의 그림에서

FAB=2_1_1=2 답 I ②












은 2=4이다 답 I 4


xAacute x1422=16 +

yAacute y1422=9 =1


914=yAacute










y=x-5 또는 y=x+5





=52 답 I ③





(01~40)1단원(해설)indd 14 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 15






PAB=2_63_3

=93 답 I ⑤


=1-cos t


=sin t

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= sin t142111-cos t


dy144dx

=sin 3Ograve

1421111-cos 3Ograve

=3 답 I ④


=1+t


dy144dt


즉 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt


limtÙacute1

dy144dx

=limtÙacute1


= 1+2+3+y+n1421111111+1

=

n(n+1)1421122142311232

= nUcirc`+n142144


limtÙacute1

dy144dx= lim


_ nUcirc`+n142144


=4 답 I ④

O

y

x

-3Acirc3

3Acirc3

B

A

4P1

Ⅱ 평면벡터

벡터의 연산05

01 ③ 02 ② 03 50 04 ④ 05 ① 06 ③

07 ⑤ 08 ③ 09 ④ 10 ③ 11 ⑤ 12 ⑤






므로



답 I ③



31442 _4=23







x

y

O

4

2











(01~40)1단원(해설)indd 15 15 7 14 오전 1038

16 정답과 해설


O

B F

E

D

C

b












=ACsup3+CAsup3









=2_5_31442 =53

답 I ③



_2-을 하면











O

B F

E

D

C

b



이때



이므로





=-4aoslash+3boslash







nUcirc`-4=m yy


there4 m=2







야 한다 즉




k=3 m=3 답 I ⑤







-2=k m+1=-2k








01 ③ 02 ④ 03 ④ 04 15 05 ⑤ 06 ②

07 ② 08 2 09 ④ 10 ②


(01~40)1단원(해설)indd 16 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 17









이므로 OQsup3는



인 원이므로



(2 0) (-2 0)

이때 A(2 0) A(-2 0) 1

-1

-2 2FFA A

O

P

x

y



=FOtildePsup3





there4 FPOacute=3












-_2를 하면






3

-3

-3 3Q

O

P

x

y

x+y=9



m+4n=4 답 I ②



므로




2mUcirc`+3m-5n=9 yy

_2-_3을 하면

-19m+19n=-19

there4 n=m-1 yy



(m+1)(m-2)=0

there4 m=2 (∵ mgt0) n=1 (∵ )











k=-2 m=2 답 I 2




=OYsup3+AOsup3




답 I ④







(01~40)1단원(해설)indd 17 15 7 14 오전 1038

18 정답과 해설








=에서 2K=1-l 1-k=3L there4 k=5$ l=5




01 ② 02 2 03 ② 04 ① 05 7 06 ⑤

07 ④ 08 ② 09 ③ 10 3 11 ④ 12 ③











OPsup3=3 OAsup3







12(m-n)=12_1ordf2=2 답 I 2





는 점이므로

PBC=3ABC

=3_12=4

답 I ②


=(-2m-n m+3n)


(-2m-n m+3n)=(-1 -7)

there4 -2m-n=-1 m+3n=-7






(x-1 -3)=(2 y+1)









8+x14137 -1-3 12-2x141317 1=(-5 y)

즉 (x-4 -4)=(-5 y)이므로

x-4=-5 -4=y there4 x=-1 y=-4




=2(-2 3)+(2 -1)=(-2 5)



B C

P

A

(01~40)1단원(해설)indd 18 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 19





(5k+1)(k-1)=0





=(t+2 t-1)


=(2t+1 2t-3)





는다 답 I ③






OAB=2_3_2=3 답 I 3





=(2x-2 2y-2)











O

B

A3

2

y

x


이다 이때







함한 내부이다


A(4 0) B(2 23)이므로





O

2Acirc3

y

x2

P

B

A4

01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 21 05 9 06 ②

07 ① 08 ① 09 ④ 10 ③



하면





이므로 m=5$ n=5

there4 100mn=100_5$_5=16 답 I ③








(01~40)1단원(해설)indd 19 15 7 16 오후 208

20 정답과 해설




x-y-2z=1 답 I ⑤




(xUcirc`+2x 3x+y-1)=(4x+3 2x-y+8)


[xUcirc`-2x-3=0 yy

`` x+2y=9 yy

에서 (x-3)(x+1)=0 there4 x=3 (∵ xgt0)


3+2y=9 there4 y=3

there4 3x+4y=9+12=21 답 I 21


t(7 5)=(x 1)+(2 y)=(x+2 y+1)


x+214137 =

y+114135 there4 x=5amp(y+1)-2



x=5amp_(4+1)-2=5



=(x+1 -x-2)














=(-1 -1)



= 41422

(-1 -1)

=(-22 -22)따라서 x=-22 y=-22이므로

x+y=-42 답 I ①











|다른 풀이|













점이다 이때




OB

B

A

A

P

Q

6

3 2

12 4-1-2

y

x



B CP 32

A

(01~40)1단원(해설)indd 20 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 21


01 ② 02 29 03 6 04 ④ 05 ⑤ 06 ④

07 ⑤ 08 ③ 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ②



aoslash+2boslash=(-1 3)+2(2 1)=(3 5)


답 I ②



=2xy+3(x+y)+9

=2xy+3_4+9 (∵ x+y=4)

=2xy+21 yy


의하여


there4 xyEacute4

따라서 에서




angBAC=90ugrave




형이므로



=2_23_ 31442 =6 답 I 6






=4 답 I ④















=9_2Ucirc`-6_1+(2)Ucirc`=32



2aoslash-boslash=2(2 -1)-(5 -5)=(-1 3)


하면



= -5141325 10

=-21442







= 5141345 10

=21442


답 I ③


B

2Acirc3 4

C

ΩA







(01~40)1단원(해설)indd 21 15 7 14 오전 1038

22 정답과 해설


=614411

23_4=3144 4 이므로


Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①



(x+1 2) thinsp(1 -x)=0




라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3



(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3




=(x+6 y-2)



x(x+6)+y(y-2)=0




10p이다 답 I ②





M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④



B

C

F

O

D

E




angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6



=36 답 I ①





+을 하면






=2_6=12 답 I 12




각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다


=(-3 -1)




=(a-c b-d)





=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10



|다른 풀이|






(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

I 평면 곡선 7











3이므로

0-(-2)14111c-0 =3 there4 c=3




213이다 답 I ③






즉 b=31432 a이므로 aB= 31432 답 I ⑤








F(52 0) F(-52 0)









there4 a=53 b=5


4_AOD=4_2_53_5=503 답 I ③

y

x

F-5Acirc2`0

F5Acirc2`0

BC

O D

Ax-a

y-b+ =1


m+n=10 yy













따라서 p=4 q=99이므로 p+q=103 답 I 103



(3 0) (-3 0)

즉 F(3 0) F(-3 0)이







m+n=8



(m+n)Ucirc-2mn=36

64-2mn=36 2mn=28

there4 mn=14










yl

x

mn

Q

P

O-5 5AB

F FC

y

x

Acirc7

F F

3

-3

-3

-Acirc7

P

3 4-4O

(01~40)1단원(해설)indd 7 15 7 14 오전 1037

8 정답과 해설



PQRS=21442 _

3para1414142 =371412

답 I ④




A(2 0) B(-2 0)



고 하면









4xUcirc`143449 + 4yUcirc`143433 =1 답 I ①

y

x-8 4BA

-2 2rP

O

쌍곡선03

01 ① 02 34 03 ② 04 ⑤ 05 ② 06 ④

07 18 08 ⑤ 09 14 10 ④ 11 ① 12 ③











선이다




a=2para25=10


a+b=34 답 I 34











(y-2)Ucirc`141125 =1


a+b+c+d=10 답 I ②





(0 3) (0 -3)






(4 0) (-4 0)


y=Ntilde 81448

x there4 y=Ntildex


이르는 거리는

|Ntilde4|1411112


답 I ②


there4 xUcirc143 -

(y-3)Ucirc`141129 =-1 yy

(01~40)1단원(해설)indd 8 15 7 14 오전 1037

I 평면 곡선 9



y-3=Ntilde 31443





OAcirc3

36

-Acirc3

y

y=-Acirc3x+3

y=Acirc3x+3

y=mx+3

x




표는

(3 0) (-3 0)

즉 F(3 0) F(-3 0)이라고

O3-3

FF-2

2

Py

x




이는 24=4






=4+8+3-(-3)=18 답 I 18


표는 (4 0) (-4 0)

즉 F(4 0) F(-4 0)

O4-4

FF-3 3

P

y

n mx







하여 |m-n|=6 yy



36+2mn=64 (∵ ) 2mn=28

there4 mn=14




(2 0) (-2 0)

즉 F(2 0) F(-2 0)이라고




하여






=ABOacute+4=5+4=9






(a 0) (-a 0)






OFC

D

F AB

Py

x




므로
















O

y

xF1-2

-1

B

A

52F

(01~40)1단원(해설)indd 9 15 7 16 오후 208

10 정답과 해설

01 ③ 02 ⑤ 03 ③ 04 5 05 ⑤ 06 ①

07 ① 08 ④ 09 12 10 ④



























놓는다


발이 A이므로


=|x-y|1423132




=|x+y|1423132


|x-y|1423132

_|x+y|1423132






(3 0) (-3 0)




2_6_b=3 there4 b=1


의 점이므로






(4 0) (-4 0)

즉 F(4 0) F(-4 0)이

O

Ω

F F4-4

P

y

x






4Ucirc148 -




= 8142362

=2214233 답 I ⑤



의 좌표는



x

Q

F F

3-2 0A

13-213-2

3-2 0B -

-

C

P

O

12

55



B라고 하면

A2 0

B-2 0







(01~40)1단원(해설)indd 10 15 7 14 오전 1038

I 평면 곡선 11





F의 좌표는






n-m=4

there4 n=m+4 yy








12=2sect10_PHOacute




(3 0) (-3 0)




라고 하면





aUcirc`+35aUcirc`=9







표는 (3 0) (-3 0)이므로

O10- 10F F

P

H-2

2

y

x

mn

a=3 (∵ agt0)

즉 A(3 0) B(-3 0)이므로








의 방정식은

yUcirc`=24(x-3)
















2+4=6 답 I ④

O 3B A

-3

y

x

x=-3

O-1 1

3

y

x


01 ② 02 3 03 ④ 04 ③ 05 ⑤ 06 ①

07 ③ 08 ④ 09 9 10 ⑤ 11 1 12 ④





there4 dy144dx=


(01~40)1단원(해설)indd 11 15 7 14 오전 1038

12 정답과 해설


dy144dx=

2_(-2)-(-1)Ucirc`14211111122_(-2)_(-1) =-4 답 I ②


4-2a+1+b=0

there4 2a-b=5 yy



dx=0

(ax-2y) dy144dx

=2x-ay

there4 dy144dx

= 2x-ay14211ax-2y (ax-2y+0)



2_2-a142113a_2-2=4 6a=18 there4 a=3


2_3-b=5 there4 b=1

there4 ab=3 답 I 3


11422

2sectx+ 11422

2y_ dy144

dx=0

there4 dy144dx=-

y142sectx

(x+0)



-b142a

=-1 there4 a=b










a=4 b=2 (∵ b+0)



2x14233 + y14=1 there4 y=-2x+4



부분의 넓이는

2_2_4=4 답 I ⑤





414aUcirc`

- 114bUcirc`=1 yy



정식은

-2x1421aUcirc`


aUcirc`x-bUcirc`

















y=-x-1 또는 y=2x+2


(-1)_2=-2 답 I ③









(01~40)1단원(해설)indd 12 15 7 20 오후 417

I 평면 곡선 13

-2x+2y=2 또는 -2x-2y=2









xAacutex1423aUcirc`

+ yAacutey14234

=1


x+ 414yAacute



=1 414yAacute =-3








=2t-2


=tUcirc`+1

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= tUcirc`+114212t-2


dy144dx

= 3Ucirc`+114212322_3-2 =2 답 I ⑤


= 114222t


=t+a

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

=t+a1421114222t

=2t (at+1)14221114t



기가 4이므로

21 (a+1)14221111 =4 a+1=2

there4 a=1 답 I 1


=2 sin h


=3 cos h

there4 dy144dx

=

dy144dh1424dx144dh

= 3 cos h142212 sin h=3142212 tan h


-2 cos h=-2 3 sin h= 3214222



3142212

2 tan 4Ograve=2


y-3214222 =2(x+2)

there4 y=2x+32


넓이는

2_22_32=6 답 I ④

01 ① 02 ⑤ 03 ② 04 ④ 05 ② 06 4

07 ③ 08 ⑤ 09 ④ 10 ④



eAring`+]_dy144dx

=0 there4 dy144dx

=-eAring`y


dy144dx



3_2+a_2Ucirc`=4 4a=-2 there4 a=-2


y+x dy144dx

-y dy144dx

=0

there4 dy144dx

= y1421y-x (x+y)

(01~40)1단원(해설)indd 13 15 7 14 오전 1038

14 정답과 해설


dy144dx

= 2142242-3=-2


y-2=-2(x-3) there4 2x+y-8=0


2a-b-c=6 답 I ⑤


bUcirc`=4a yy


by=2(x+a)







(a+5)(a-4)=0




식은

2x148 +4y1432=1

there4 y=-2x+8 yy


-2x1418 +4y1432=1

there4 y=2x+8 yy





=25+4+25 =4+45 답 I ④


식은

4x148 -y=1 there4 y=2x-1



이 F이므로

F(Auml8+1 0) 즉 F(3 0)

O

y

x

A

21

43

B F

위의 그림에서

FAB=2_1_1=2 답 I ②












은 2=4이다 답 I 4


xAacute x1422=16 +

yAacute y1422=9 =1


914=yAacute










y=x-5 또는 y=x+5





=52 답 I ③





(01~40)1단원(해설)indd 14 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 15






PAB=2_63_3

=93 답 I ⑤


=1-cos t


=sin t

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= sin t142111-cos t


dy144dx

=sin 3Ograve

1421111-cos 3Ograve

=3 답 I ④


=1+t


dy144dt


즉 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt


limtÙacute1

dy144dx

=limtÙacute1


= 1+2+3+y+n1421111111+1

=

n(n+1)1421122142311232

= nUcirc`+n142144


limtÙacute1

dy144dx= lim


_ nUcirc`+n142144


=4 답 I ④

O

y

x

-3Acirc3

3Acirc3

B

A

4P1

Ⅱ 평면벡터

벡터의 연산05

01 ③ 02 ② 03 50 04 ④ 05 ① 06 ③

07 ⑤ 08 ③ 09 ④ 10 ③ 11 ⑤ 12 ⑤






므로



답 I ③



31442 _4=23







x

y

O

4

2











(01~40)1단원(해설)indd 15 15 7 14 오전 1038

16 정답과 해설


O

B F

E

D

C

b












=ACsup3+CAsup3









=2_5_31442 =53

답 I ③



_2-을 하면











O

B F

E

D

C

b



이때



이므로





=-4aoslash+3boslash







nUcirc`-4=m yy


there4 m=2







야 한다 즉




k=3 m=3 답 I ⑤







-2=k m+1=-2k








01 ③ 02 ④ 03 ④ 04 15 05 ⑤ 06 ②

07 ② 08 2 09 ④ 10 ②


(01~40)1단원(해설)indd 16 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 17









이므로 OQsup3는



인 원이므로



(2 0) (-2 0)

이때 A(2 0) A(-2 0) 1

-1

-2 2FFA A

O

P

x

y



=FOtildePsup3





there4 FPOacute=3












-_2를 하면






3

-3

-3 3Q

O

P

x

y

x+y=9



m+4n=4 답 I ②



므로




2mUcirc`+3m-5n=9 yy

_2-_3을 하면

-19m+19n=-19

there4 n=m-1 yy



(m+1)(m-2)=0

there4 m=2 (∵ mgt0) n=1 (∵ )











k=-2 m=2 답 I 2




=OYsup3+AOsup3




답 I ④







(01~40)1단원(해설)indd 17 15 7 14 오전 1038

18 정답과 해설








=에서 2K=1-l 1-k=3L there4 k=5$ l=5




01 ② 02 2 03 ② 04 ① 05 7 06 ⑤

07 ④ 08 ② 09 ③ 10 3 11 ④ 12 ③











OPsup3=3 OAsup3







12(m-n)=12_1ordf2=2 답 I 2





는 점이므로

PBC=3ABC

=3_12=4

답 I ②


=(-2m-n m+3n)


(-2m-n m+3n)=(-1 -7)

there4 -2m-n=-1 m+3n=-7






(x-1 -3)=(2 y+1)









8+x14137 -1-3 12-2x141317 1=(-5 y)

즉 (x-4 -4)=(-5 y)이므로

x-4=-5 -4=y there4 x=-1 y=-4




=2(-2 3)+(2 -1)=(-2 5)



B C

P

A

(01~40)1단원(해설)indd 18 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 19





(5k+1)(k-1)=0





=(t+2 t-1)


=(2t+1 2t-3)





는다 답 I ③






OAB=2_3_2=3 답 I 3





=(2x-2 2y-2)











O

B

A3

2

y

x


이다 이때







함한 내부이다


A(4 0) B(2 23)이므로





O

2Acirc3

y

x2

P

B

A4

01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 21 05 9 06 ②

07 ① 08 ① 09 ④ 10 ③



하면





이므로 m=5$ n=5

there4 100mn=100_5$_5=16 답 I ③








(01~40)1단원(해설)indd 19 15 7 16 오후 208

20 정답과 해설




x-y-2z=1 답 I ⑤




(xUcirc`+2x 3x+y-1)=(4x+3 2x-y+8)


[xUcirc`-2x-3=0 yy

`` x+2y=9 yy

에서 (x-3)(x+1)=0 there4 x=3 (∵ xgt0)


3+2y=9 there4 y=3

there4 3x+4y=9+12=21 답 I 21


t(7 5)=(x 1)+(2 y)=(x+2 y+1)


x+214137 =

y+114135 there4 x=5amp(y+1)-2



x=5amp_(4+1)-2=5



=(x+1 -x-2)














=(-1 -1)



= 41422

(-1 -1)

=(-22 -22)따라서 x=-22 y=-22이므로

x+y=-42 답 I ①











|다른 풀이|













점이다 이때




OB

B

A

A

P

Q

6

3 2

12 4-1-2

y

x



B CP 32

A

(01~40)1단원(해설)indd 20 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 21


01 ② 02 29 03 6 04 ④ 05 ⑤ 06 ④

07 ⑤ 08 ③ 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ②



aoslash+2boslash=(-1 3)+2(2 1)=(3 5)


답 I ②



=2xy+3(x+y)+9

=2xy+3_4+9 (∵ x+y=4)

=2xy+21 yy


의하여


there4 xyEacute4

따라서 에서




angBAC=90ugrave




형이므로



=2_23_ 31442 =6 답 I 6






=4 답 I ④















=9_2Ucirc`-6_1+(2)Ucirc`=32



2aoslash-boslash=2(2 -1)-(5 -5)=(-1 3)


하면



= -5141325 10

=-21442







= 5141345 10

=21442


답 I ③


B

2Acirc3 4

C

ΩA







(01~40)1단원(해설)indd 21 15 7 14 오전 1038

22 정답과 해설


=614411

23_4=3144 4 이므로


Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①



(x+1 2) thinsp(1 -x)=0




라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3



(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3




=(x+6 y-2)



x(x+6)+y(y-2)=0




10p이다 답 I ②





M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④



B

C

F

O

D

E




angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6



=36 답 I ①





+을 하면






=2_6=12 답 I 12




각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다


=(-3 -1)




=(a-c b-d)





=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10



|다른 풀이|






(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

8 정답과 해설



PQRS=21442 _

3para1414142 =371412

답 I ④




A(2 0) B(-2 0)



고 하면









4xUcirc`143449 + 4yUcirc`143433 =1 답 I ①

y

x-8 4BA

-2 2rP

O

쌍곡선03

01 ① 02 34 03 ② 04 ⑤ 05 ② 06 ④

07 18 08 ⑤ 09 14 10 ④ 11 ① 12 ③











선이다




a=2para25=10


a+b=34 답 I 34











(y-2)Ucirc`141125 =1


a+b+c+d=10 답 I ②





(0 3) (0 -3)






(4 0) (-4 0)


y=Ntilde 81448

x there4 y=Ntildex


이르는 거리는

|Ntilde4|1411112


답 I ②


there4 xUcirc143 -

(y-3)Ucirc`141129 =-1 yy

(01~40)1단원(해설)indd 8 15 7 14 오전 1037

I 평면 곡선 9



y-3=Ntilde 31443





OAcirc3

36

-Acirc3

y

y=-Acirc3x+3

y=Acirc3x+3

y=mx+3

x




표는

(3 0) (-3 0)

즉 F(3 0) F(-3 0)이라고

O3-3

FF-2

2

Py

x




이는 24=4






=4+8+3-(-3)=18 답 I 18


표는 (4 0) (-4 0)

즉 F(4 0) F(-4 0)

O4-4

FF-3 3

P

y

n mx







하여 |m-n|=6 yy



36+2mn=64 (∵ ) 2mn=28

there4 mn=14




(2 0) (-2 0)

즉 F(2 0) F(-2 0)이라고




하여






=ABOacute+4=5+4=9






(a 0) (-a 0)






OFC

D

F AB

Py

x




므로
















O

y

xF1-2

-1

B

A

52F

(01~40)1단원(해설)indd 9 15 7 16 오후 208

10 정답과 해설

01 ③ 02 ⑤ 03 ③ 04 5 05 ⑤ 06 ①

07 ① 08 ④ 09 12 10 ④



























놓는다


발이 A이므로


=|x-y|1423132




=|x+y|1423132


|x-y|1423132

_|x+y|1423132






(3 0) (-3 0)




2_6_b=3 there4 b=1


의 점이므로






(4 0) (-4 0)

즉 F(4 0) F(-4 0)이

O

Ω

F F4-4

P

y

x






4Ucirc148 -




= 8142362

=2214233 답 I ⑤



의 좌표는



x

Q

F F

3-2 0A

13-213-2

3-2 0B -

-

C

P

O

12

55



B라고 하면

A2 0

B-2 0







(01~40)1단원(해설)indd 10 15 7 14 오전 1038

I 평면 곡선 11





F의 좌표는






n-m=4

there4 n=m+4 yy








12=2sect10_PHOacute




(3 0) (-3 0)




라고 하면





aUcirc`+35aUcirc`=9







표는 (3 0) (-3 0)이므로

O10- 10F F

P

H-2

2

y

x

mn

a=3 (∵ agt0)

즉 A(3 0) B(-3 0)이므로








의 방정식은

yUcirc`=24(x-3)
















2+4=6 답 I ④

O 3B A

-3

y

x

x=-3

O-1 1

3

y

x


01 ② 02 3 03 ④ 04 ③ 05 ⑤ 06 ①

07 ③ 08 ④ 09 9 10 ⑤ 11 1 12 ④





there4 dy144dx=


(01~40)1단원(해설)indd 11 15 7 14 오전 1038

12 정답과 해설


dy144dx=

2_(-2)-(-1)Ucirc`14211111122_(-2)_(-1) =-4 답 I ②


4-2a+1+b=0

there4 2a-b=5 yy



dx=0

(ax-2y) dy144dx

=2x-ay

there4 dy144dx

= 2x-ay14211ax-2y (ax-2y+0)



2_2-a142113a_2-2=4 6a=18 there4 a=3


2_3-b=5 there4 b=1

there4 ab=3 답 I 3


11422

2sectx+ 11422

2y_ dy144

dx=0

there4 dy144dx=-

y142sectx

(x+0)



-b142a

=-1 there4 a=b










a=4 b=2 (∵ b+0)



2x14233 + y14=1 there4 y=-2x+4



부분의 넓이는

2_2_4=4 답 I ⑤





414aUcirc`

- 114bUcirc`=1 yy



정식은

-2x1421aUcirc`


aUcirc`x-bUcirc`

















y=-x-1 또는 y=2x+2


(-1)_2=-2 답 I ③









(01~40)1단원(해설)indd 12 15 7 20 오후 417

I 평면 곡선 13

-2x+2y=2 또는 -2x-2y=2









xAacutex1423aUcirc`

+ yAacutey14234

=1


x+ 414yAacute



=1 414yAacute =-3








=2t-2


=tUcirc`+1

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= tUcirc`+114212t-2


dy144dx

= 3Ucirc`+114212322_3-2 =2 답 I ⑤


= 114222t


=t+a

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

=t+a1421114222t

=2t (at+1)14221114t



기가 4이므로

21 (a+1)14221111 =4 a+1=2

there4 a=1 답 I 1


=2 sin h


=3 cos h

there4 dy144dx

=

dy144dh1424dx144dh

= 3 cos h142212 sin h=3142212 tan h


-2 cos h=-2 3 sin h= 3214222



3142212

2 tan 4Ograve=2


y-3214222 =2(x+2)

there4 y=2x+32


넓이는

2_22_32=6 답 I ④

01 ① 02 ⑤ 03 ② 04 ④ 05 ② 06 4

07 ③ 08 ⑤ 09 ④ 10 ④



eAring`+]_dy144dx

=0 there4 dy144dx

=-eAring`y


dy144dx



3_2+a_2Ucirc`=4 4a=-2 there4 a=-2


y+x dy144dx

-y dy144dx

=0

there4 dy144dx

= y1421y-x (x+y)

(01~40)1단원(해설)indd 13 15 7 14 오전 1038

14 정답과 해설


dy144dx

= 2142242-3=-2


y-2=-2(x-3) there4 2x+y-8=0


2a-b-c=6 답 I ⑤


bUcirc`=4a yy


by=2(x+a)







(a+5)(a-4)=0




식은

2x148 +4y1432=1

there4 y=-2x+8 yy


-2x1418 +4y1432=1

there4 y=2x+8 yy





=25+4+25 =4+45 답 I ④


식은

4x148 -y=1 there4 y=2x-1



이 F이므로

F(Auml8+1 0) 즉 F(3 0)

O

y

x

A

21

43

B F

위의 그림에서

FAB=2_1_1=2 답 I ②












은 2=4이다 답 I 4


xAacute x1422=16 +

yAacute y1422=9 =1


914=yAacute










y=x-5 또는 y=x+5





=52 답 I ③





(01~40)1단원(해설)indd 14 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 15






PAB=2_63_3

=93 답 I ⑤


=1-cos t


=sin t

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= sin t142111-cos t


dy144dx

=sin 3Ograve

1421111-cos 3Ograve

=3 답 I ④


=1+t


dy144dt


즉 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt


limtÙacute1

dy144dx

=limtÙacute1


= 1+2+3+y+n1421111111+1

=

n(n+1)1421122142311232

= nUcirc`+n142144


limtÙacute1

dy144dx= lim


_ nUcirc`+n142144


=4 답 I ④

O

y

x

-3Acirc3

3Acirc3

B

A

4P1

Ⅱ 평면벡터

벡터의 연산05

01 ③ 02 ② 03 50 04 ④ 05 ① 06 ③

07 ⑤ 08 ③ 09 ④ 10 ③ 11 ⑤ 12 ⑤






므로



답 I ③



31442 _4=23







x

y

O

4

2











(01~40)1단원(해설)indd 15 15 7 14 오전 1038

16 정답과 해설


O

B F

E

D

C

b












=ACsup3+CAsup3









=2_5_31442 =53

답 I ③



_2-을 하면











O

B F

E

D

C

b



이때



이므로





=-4aoslash+3boslash







nUcirc`-4=m yy


there4 m=2







야 한다 즉




k=3 m=3 답 I ⑤







-2=k m+1=-2k








01 ③ 02 ④ 03 ④ 04 15 05 ⑤ 06 ②

07 ② 08 2 09 ④ 10 ②


(01~40)1단원(해설)indd 16 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 17









이므로 OQsup3는



인 원이므로



(2 0) (-2 0)

이때 A(2 0) A(-2 0) 1

-1

-2 2FFA A

O

P

x

y



=FOtildePsup3





there4 FPOacute=3












-_2를 하면






3

-3

-3 3Q

O

P

x

y

x+y=9



m+4n=4 답 I ②



므로




2mUcirc`+3m-5n=9 yy

_2-_3을 하면

-19m+19n=-19

there4 n=m-1 yy



(m+1)(m-2)=0

there4 m=2 (∵ mgt0) n=1 (∵ )











k=-2 m=2 답 I 2




=OYsup3+AOsup3




답 I ④







(01~40)1단원(해설)indd 17 15 7 14 오전 1038

18 정답과 해설








=에서 2K=1-l 1-k=3L there4 k=5$ l=5




01 ② 02 2 03 ② 04 ① 05 7 06 ⑤

07 ④ 08 ② 09 ③ 10 3 11 ④ 12 ③











OPsup3=3 OAsup3







12(m-n)=12_1ordf2=2 답 I 2





는 점이므로

PBC=3ABC

=3_12=4

답 I ②


=(-2m-n m+3n)


(-2m-n m+3n)=(-1 -7)

there4 -2m-n=-1 m+3n=-7






(x-1 -3)=(2 y+1)









8+x14137 -1-3 12-2x141317 1=(-5 y)

즉 (x-4 -4)=(-5 y)이므로

x-4=-5 -4=y there4 x=-1 y=-4




=2(-2 3)+(2 -1)=(-2 5)



B C

P

A

(01~40)1단원(해설)indd 18 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 19





(5k+1)(k-1)=0





=(t+2 t-1)


=(2t+1 2t-3)





는다 답 I ③






OAB=2_3_2=3 답 I 3





=(2x-2 2y-2)











O

B

A3

2

y

x


이다 이때







함한 내부이다


A(4 0) B(2 23)이므로





O

2Acirc3

y

x2

P

B

A4

01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 21 05 9 06 ②

07 ① 08 ① 09 ④ 10 ③



하면





이므로 m=5$ n=5

there4 100mn=100_5$_5=16 답 I ③








(01~40)1단원(해설)indd 19 15 7 16 오후 208

20 정답과 해설




x-y-2z=1 답 I ⑤




(xUcirc`+2x 3x+y-1)=(4x+3 2x-y+8)


[xUcirc`-2x-3=0 yy

`` x+2y=9 yy

에서 (x-3)(x+1)=0 there4 x=3 (∵ xgt0)


3+2y=9 there4 y=3

there4 3x+4y=9+12=21 답 I 21


t(7 5)=(x 1)+(2 y)=(x+2 y+1)


x+214137 =

y+114135 there4 x=5amp(y+1)-2



x=5amp_(4+1)-2=5



=(x+1 -x-2)














=(-1 -1)



= 41422

(-1 -1)

=(-22 -22)따라서 x=-22 y=-22이므로

x+y=-42 답 I ①











|다른 풀이|













점이다 이때




OB

B

A

A

P

Q

6

3 2

12 4-1-2

y

x



B CP 32

A

(01~40)1단원(해설)indd 20 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 21


01 ② 02 29 03 6 04 ④ 05 ⑤ 06 ④

07 ⑤ 08 ③ 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ②



aoslash+2boslash=(-1 3)+2(2 1)=(3 5)


답 I ②



=2xy+3(x+y)+9

=2xy+3_4+9 (∵ x+y=4)

=2xy+21 yy


의하여


there4 xyEacute4

따라서 에서




angBAC=90ugrave




형이므로



=2_23_ 31442 =6 답 I 6






=4 답 I ④















=9_2Ucirc`-6_1+(2)Ucirc`=32



2aoslash-boslash=2(2 -1)-(5 -5)=(-1 3)


하면



= -5141325 10

=-21442







= 5141345 10

=21442


답 I ③


B

2Acirc3 4

C

ΩA







(01~40)1단원(해설)indd 21 15 7 14 오전 1038

22 정답과 해설


=614411

23_4=3144 4 이므로


Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①



(x+1 2) thinsp(1 -x)=0




라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3



(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3




=(x+6 y-2)



x(x+6)+y(y-2)=0




10p이다 답 I ②





M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④



B

C

F

O

D

E




angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6



=36 답 I ①





+을 하면






=2_6=12 답 I 12




각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다


=(-3 -1)




=(a-c b-d)





=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10



|다른 풀이|






(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

I 평면 곡선 9



y-3=Ntilde 31443





OAcirc3

36

-Acirc3

y

y=-Acirc3x+3

y=Acirc3x+3

y=mx+3

x




표는

(3 0) (-3 0)

즉 F(3 0) F(-3 0)이라고

O3-3

FF-2

2

Py

x




이는 24=4






=4+8+3-(-3)=18 답 I 18


표는 (4 0) (-4 0)

즉 F(4 0) F(-4 0)

O4-4

FF-3 3

P

y

n mx







하여 |m-n|=6 yy



36+2mn=64 (∵ ) 2mn=28

there4 mn=14




(2 0) (-2 0)

즉 F(2 0) F(-2 0)이라고




하여






=ABOacute+4=5+4=9






(a 0) (-a 0)






OFC

D

F AB

Py

x




므로
















O

y

xF1-2

-1

B

A

52F

(01~40)1단원(해설)indd 9 15 7 16 오후 208

10 정답과 해설

01 ③ 02 ⑤ 03 ③ 04 5 05 ⑤ 06 ①

07 ① 08 ④ 09 12 10 ④



























놓는다


발이 A이므로


=|x-y|1423132




=|x+y|1423132


|x-y|1423132

_|x+y|1423132






(3 0) (-3 0)




2_6_b=3 there4 b=1


의 점이므로






(4 0) (-4 0)

즉 F(4 0) F(-4 0)이

O

Ω

F F4-4

P

y

x






4Ucirc148 -




= 8142362

=2214233 답 I ⑤



의 좌표는



x

Q

F F

3-2 0A

13-213-2

3-2 0B -

-

C

P

O

12

55



B라고 하면

A2 0

B-2 0







(01~40)1단원(해설)indd 10 15 7 14 오전 1038

I 평면 곡선 11





F의 좌표는






n-m=4

there4 n=m+4 yy








12=2sect10_PHOacute




(3 0) (-3 0)




라고 하면





aUcirc`+35aUcirc`=9







표는 (3 0) (-3 0)이므로

O10- 10F F

P

H-2

2

y

x

mn

a=3 (∵ agt0)

즉 A(3 0) B(-3 0)이므로








의 방정식은

yUcirc`=24(x-3)
















2+4=6 답 I ④

O 3B A

-3

y

x

x=-3

O-1 1

3

y

x


01 ② 02 3 03 ④ 04 ③ 05 ⑤ 06 ①

07 ③ 08 ④ 09 9 10 ⑤ 11 1 12 ④





there4 dy144dx=


(01~40)1단원(해설)indd 11 15 7 14 오전 1038

12 정답과 해설


dy144dx=

2_(-2)-(-1)Ucirc`14211111122_(-2)_(-1) =-4 답 I ②


4-2a+1+b=0

there4 2a-b=5 yy



dx=0

(ax-2y) dy144dx

=2x-ay

there4 dy144dx

= 2x-ay14211ax-2y (ax-2y+0)



2_2-a142113a_2-2=4 6a=18 there4 a=3


2_3-b=5 there4 b=1

there4 ab=3 답 I 3


11422

2sectx+ 11422

2y_ dy144

dx=0

there4 dy144dx=-

y142sectx

(x+0)



-b142a

=-1 there4 a=b










a=4 b=2 (∵ b+0)



2x14233 + y14=1 there4 y=-2x+4



부분의 넓이는

2_2_4=4 답 I ⑤





414aUcirc`

- 114bUcirc`=1 yy



정식은

-2x1421aUcirc`


aUcirc`x-bUcirc`

















y=-x-1 또는 y=2x+2


(-1)_2=-2 답 I ③









(01~40)1단원(해설)indd 12 15 7 20 오후 417

I 평면 곡선 13

-2x+2y=2 또는 -2x-2y=2









xAacutex1423aUcirc`

+ yAacutey14234

=1


x+ 414yAacute



=1 414yAacute =-3








=2t-2


=tUcirc`+1

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= tUcirc`+114212t-2


dy144dx

= 3Ucirc`+114212322_3-2 =2 답 I ⑤


= 114222t


=t+a

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

=t+a1421114222t

=2t (at+1)14221114t



기가 4이므로

21 (a+1)14221111 =4 a+1=2

there4 a=1 답 I 1


=2 sin h


=3 cos h

there4 dy144dx

=

dy144dh1424dx144dh

= 3 cos h142212 sin h=3142212 tan h


-2 cos h=-2 3 sin h= 3214222



3142212

2 tan 4Ograve=2


y-3214222 =2(x+2)

there4 y=2x+32


넓이는

2_22_32=6 답 I ④

01 ① 02 ⑤ 03 ② 04 ④ 05 ② 06 4

07 ③ 08 ⑤ 09 ④ 10 ④



eAring`+]_dy144dx

=0 there4 dy144dx

=-eAring`y


dy144dx



3_2+a_2Ucirc`=4 4a=-2 there4 a=-2


y+x dy144dx

-y dy144dx

=0

there4 dy144dx

= y1421y-x (x+y)

(01~40)1단원(해설)indd 13 15 7 14 오전 1038

14 정답과 해설


dy144dx

= 2142242-3=-2


y-2=-2(x-3) there4 2x+y-8=0


2a-b-c=6 답 I ⑤


bUcirc`=4a yy


by=2(x+a)







(a+5)(a-4)=0




식은

2x148 +4y1432=1

there4 y=-2x+8 yy


-2x1418 +4y1432=1

there4 y=2x+8 yy





=25+4+25 =4+45 답 I ④


식은

4x148 -y=1 there4 y=2x-1



이 F이므로

F(Auml8+1 0) 즉 F(3 0)

O

y

x

A

21

43

B F

위의 그림에서

FAB=2_1_1=2 답 I ②












은 2=4이다 답 I 4


xAacute x1422=16 +

yAacute y1422=9 =1


914=yAacute










y=x-5 또는 y=x+5





=52 답 I ③





(01~40)1단원(해설)indd 14 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 15






PAB=2_63_3

=93 답 I ⑤


=1-cos t


=sin t

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= sin t142111-cos t


dy144dx

=sin 3Ograve

1421111-cos 3Ograve

=3 답 I ④


=1+t


dy144dt


즉 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt


limtÙacute1

dy144dx

=limtÙacute1


= 1+2+3+y+n1421111111+1

=

n(n+1)1421122142311232

= nUcirc`+n142144


limtÙacute1

dy144dx= lim


_ nUcirc`+n142144


=4 답 I ④

O

y

x

-3Acirc3

3Acirc3

B

A

4P1

Ⅱ 평면벡터

벡터의 연산05

01 ③ 02 ② 03 50 04 ④ 05 ① 06 ③

07 ⑤ 08 ③ 09 ④ 10 ③ 11 ⑤ 12 ⑤






므로



답 I ③



31442 _4=23







x

y

O

4

2











(01~40)1단원(해설)indd 15 15 7 14 오전 1038

16 정답과 해설


O

B F

E

D

C

b












=ACsup3+CAsup3









=2_5_31442 =53

답 I ③



_2-을 하면











O

B F

E

D

C

b



이때



이므로





=-4aoslash+3boslash







nUcirc`-4=m yy


there4 m=2







야 한다 즉




k=3 m=3 답 I ⑤







-2=k m+1=-2k








01 ③ 02 ④ 03 ④ 04 15 05 ⑤ 06 ②

07 ② 08 2 09 ④ 10 ②


(01~40)1단원(해설)indd 16 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 17









이므로 OQsup3는



인 원이므로



(2 0) (-2 0)

이때 A(2 0) A(-2 0) 1

-1

-2 2FFA A

O

P

x

y



=FOtildePsup3





there4 FPOacute=3












-_2를 하면






3

-3

-3 3Q

O

P

x

y

x+y=9



m+4n=4 답 I ②



므로




2mUcirc`+3m-5n=9 yy

_2-_3을 하면

-19m+19n=-19

there4 n=m-1 yy



(m+1)(m-2)=0

there4 m=2 (∵ mgt0) n=1 (∵ )











k=-2 m=2 답 I 2




=OYsup3+AOsup3




답 I ④







(01~40)1단원(해설)indd 17 15 7 14 오전 1038

18 정답과 해설








=에서 2K=1-l 1-k=3L there4 k=5$ l=5




01 ② 02 2 03 ② 04 ① 05 7 06 ⑤

07 ④ 08 ② 09 ③ 10 3 11 ④ 12 ③











OPsup3=3 OAsup3







12(m-n)=12_1ordf2=2 답 I 2





는 점이므로

PBC=3ABC

=3_12=4

답 I ②


=(-2m-n m+3n)


(-2m-n m+3n)=(-1 -7)

there4 -2m-n=-1 m+3n=-7






(x-1 -3)=(2 y+1)









8+x14137 -1-3 12-2x141317 1=(-5 y)

즉 (x-4 -4)=(-5 y)이므로

x-4=-5 -4=y there4 x=-1 y=-4




=2(-2 3)+(2 -1)=(-2 5)



B C

P

A

(01~40)1단원(해설)indd 18 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 19





(5k+1)(k-1)=0





=(t+2 t-1)


=(2t+1 2t-3)





는다 답 I ③






OAB=2_3_2=3 답 I 3





=(2x-2 2y-2)











O

B

A3

2

y

x


이다 이때







함한 내부이다


A(4 0) B(2 23)이므로





O

2Acirc3

y

x2

P

B

A4

01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 21 05 9 06 ②

07 ① 08 ① 09 ④ 10 ③



하면





이므로 m=5$ n=5

there4 100mn=100_5$_5=16 답 I ③








(01~40)1단원(해설)indd 19 15 7 16 오후 208

20 정답과 해설




x-y-2z=1 답 I ⑤




(xUcirc`+2x 3x+y-1)=(4x+3 2x-y+8)


[xUcirc`-2x-3=0 yy

`` x+2y=9 yy

에서 (x-3)(x+1)=0 there4 x=3 (∵ xgt0)


3+2y=9 there4 y=3

there4 3x+4y=9+12=21 답 I 21


t(7 5)=(x 1)+(2 y)=(x+2 y+1)


x+214137 =

y+114135 there4 x=5amp(y+1)-2



x=5amp_(4+1)-2=5



=(x+1 -x-2)














=(-1 -1)



= 41422

(-1 -1)

=(-22 -22)따라서 x=-22 y=-22이므로

x+y=-42 답 I ①











|다른 풀이|













점이다 이때




OB

B

A

A

P

Q

6

3 2

12 4-1-2

y

x



B CP 32

A

(01~40)1단원(해설)indd 20 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 21


01 ② 02 29 03 6 04 ④ 05 ⑤ 06 ④

07 ⑤ 08 ③ 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ②



aoslash+2boslash=(-1 3)+2(2 1)=(3 5)


답 I ②



=2xy+3(x+y)+9

=2xy+3_4+9 (∵ x+y=4)

=2xy+21 yy


의하여


there4 xyEacute4

따라서 에서




angBAC=90ugrave




형이므로



=2_23_ 31442 =6 답 I 6






=4 답 I ④















=9_2Ucirc`-6_1+(2)Ucirc`=32



2aoslash-boslash=2(2 -1)-(5 -5)=(-1 3)


하면



= -5141325 10

=-21442







= 5141345 10

=21442


답 I ③


B

2Acirc3 4

C

ΩA







(01~40)1단원(해설)indd 21 15 7 14 오전 1038

22 정답과 해설


=614411

23_4=3144 4 이므로


Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①



(x+1 2) thinsp(1 -x)=0




라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3



(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3




=(x+6 y-2)



x(x+6)+y(y-2)=0




10p이다 답 I ②





M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④



B

C

F

O

D

E




angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6



=36 답 I ①





+을 하면






=2_6=12 답 I 12




각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다


=(-3 -1)




=(a-c b-d)





=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10



|다른 풀이|






(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

10 정답과 해설

01 ③ 02 ⑤ 03 ③ 04 5 05 ⑤ 06 ①

07 ① 08 ④ 09 12 10 ④



























놓는다


발이 A이므로


=|x-y|1423132




=|x+y|1423132


|x-y|1423132

_|x+y|1423132






(3 0) (-3 0)




2_6_b=3 there4 b=1


의 점이므로






(4 0) (-4 0)

즉 F(4 0) F(-4 0)이

O

Ω

F F4-4

P

y

x






4Ucirc148 -




= 8142362

=2214233 답 I ⑤



의 좌표는



x

Q

F F

3-2 0A

13-213-2

3-2 0B -

-

C

P

O

12

55



B라고 하면

A2 0

B-2 0







(01~40)1단원(해설)indd 10 15 7 14 오전 1038

I 평면 곡선 11





F의 좌표는






n-m=4

there4 n=m+4 yy








12=2sect10_PHOacute




(3 0) (-3 0)




라고 하면





aUcirc`+35aUcirc`=9







표는 (3 0) (-3 0)이므로

O10- 10F F

P

H-2

2

y

x

mn

a=3 (∵ agt0)

즉 A(3 0) B(-3 0)이므로








의 방정식은

yUcirc`=24(x-3)
















2+4=6 답 I ④

O 3B A

-3

y

x

x=-3

O-1 1

3

y

x


01 ② 02 3 03 ④ 04 ③ 05 ⑤ 06 ①

07 ③ 08 ④ 09 9 10 ⑤ 11 1 12 ④





there4 dy144dx=


(01~40)1단원(해설)indd 11 15 7 14 오전 1038

12 정답과 해설


dy144dx=

2_(-2)-(-1)Ucirc`14211111122_(-2)_(-1) =-4 답 I ②


4-2a+1+b=0

there4 2a-b=5 yy



dx=0

(ax-2y) dy144dx

=2x-ay

there4 dy144dx

= 2x-ay14211ax-2y (ax-2y+0)



2_2-a142113a_2-2=4 6a=18 there4 a=3


2_3-b=5 there4 b=1

there4 ab=3 답 I 3


11422

2sectx+ 11422

2y_ dy144

dx=0

there4 dy144dx=-

y142sectx

(x+0)



-b142a

=-1 there4 a=b










a=4 b=2 (∵ b+0)



2x14233 + y14=1 there4 y=-2x+4



부분의 넓이는

2_2_4=4 답 I ⑤





414aUcirc`

- 114bUcirc`=1 yy



정식은

-2x1421aUcirc`


aUcirc`x-bUcirc`

















y=-x-1 또는 y=2x+2


(-1)_2=-2 답 I ③









(01~40)1단원(해설)indd 12 15 7 20 오후 417

I 평면 곡선 13

-2x+2y=2 또는 -2x-2y=2









xAacutex1423aUcirc`

+ yAacutey14234

=1


x+ 414yAacute



=1 414yAacute =-3








=2t-2


=tUcirc`+1

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= tUcirc`+114212t-2


dy144dx

= 3Ucirc`+114212322_3-2 =2 답 I ⑤


= 114222t


=t+a

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

=t+a1421114222t

=2t (at+1)14221114t



기가 4이므로

21 (a+1)14221111 =4 a+1=2

there4 a=1 답 I 1


=2 sin h


=3 cos h

there4 dy144dx

=

dy144dh1424dx144dh

= 3 cos h142212 sin h=3142212 tan h


-2 cos h=-2 3 sin h= 3214222



3142212

2 tan 4Ograve=2


y-3214222 =2(x+2)

there4 y=2x+32


넓이는

2_22_32=6 답 I ④

01 ① 02 ⑤ 03 ② 04 ④ 05 ② 06 4

07 ③ 08 ⑤ 09 ④ 10 ④



eAring`+]_dy144dx

=0 there4 dy144dx

=-eAring`y


dy144dx



3_2+a_2Ucirc`=4 4a=-2 there4 a=-2


y+x dy144dx

-y dy144dx

=0

there4 dy144dx

= y1421y-x (x+y)

(01~40)1단원(해설)indd 13 15 7 14 오전 1038

14 정답과 해설


dy144dx

= 2142242-3=-2


y-2=-2(x-3) there4 2x+y-8=0


2a-b-c=6 답 I ⑤


bUcirc`=4a yy


by=2(x+a)







(a+5)(a-4)=0




식은

2x148 +4y1432=1

there4 y=-2x+8 yy


-2x1418 +4y1432=1

there4 y=2x+8 yy





=25+4+25 =4+45 답 I ④


식은

4x148 -y=1 there4 y=2x-1



이 F이므로

F(Auml8+1 0) 즉 F(3 0)

O

y

x

A

21

43

B F

위의 그림에서

FAB=2_1_1=2 답 I ②












은 2=4이다 답 I 4


xAacute x1422=16 +

yAacute y1422=9 =1


914=yAacute










y=x-5 또는 y=x+5





=52 답 I ③





(01~40)1단원(해설)indd 14 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 15






PAB=2_63_3

=93 답 I ⑤


=1-cos t


=sin t

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= sin t142111-cos t


dy144dx

=sin 3Ograve

1421111-cos 3Ograve

=3 답 I ④


=1+t


dy144dt


즉 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt


limtÙacute1

dy144dx

=limtÙacute1


= 1+2+3+y+n1421111111+1

=

n(n+1)1421122142311232

= nUcirc`+n142144


limtÙacute1

dy144dx= lim


_ nUcirc`+n142144


=4 답 I ④

O

y

x

-3Acirc3

3Acirc3

B

A

4P1

Ⅱ 평면벡터

벡터의 연산05

01 ③ 02 ② 03 50 04 ④ 05 ① 06 ③

07 ⑤ 08 ③ 09 ④ 10 ③ 11 ⑤ 12 ⑤






므로



답 I ③



31442 _4=23







x

y

O

4

2











(01~40)1단원(해설)indd 15 15 7 14 오전 1038

16 정답과 해설


O

B F

E

D

C

b












=ACsup3+CAsup3









=2_5_31442 =53

답 I ③



_2-을 하면











O

B F

E

D

C

b



이때



이므로





=-4aoslash+3boslash







nUcirc`-4=m yy


there4 m=2







야 한다 즉




k=3 m=3 답 I ⑤







-2=k m+1=-2k








01 ③ 02 ④ 03 ④ 04 15 05 ⑤ 06 ②

07 ② 08 2 09 ④ 10 ②


(01~40)1단원(해설)indd 16 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 17









이므로 OQsup3는



인 원이므로



(2 0) (-2 0)

이때 A(2 0) A(-2 0) 1

-1

-2 2FFA A

O

P

x

y



=FOtildePsup3





there4 FPOacute=3












-_2를 하면






3

-3

-3 3Q

O

P

x

y

x+y=9



m+4n=4 답 I ②



므로




2mUcirc`+3m-5n=9 yy

_2-_3을 하면

-19m+19n=-19

there4 n=m-1 yy



(m+1)(m-2)=0

there4 m=2 (∵ mgt0) n=1 (∵ )











k=-2 m=2 답 I 2




=OYsup3+AOsup3




답 I ④







(01~40)1단원(해설)indd 17 15 7 14 오전 1038

18 정답과 해설








=에서 2K=1-l 1-k=3L there4 k=5$ l=5




01 ② 02 2 03 ② 04 ① 05 7 06 ⑤

07 ④ 08 ② 09 ③ 10 3 11 ④ 12 ③











OPsup3=3 OAsup3







12(m-n)=12_1ordf2=2 답 I 2





는 점이므로

PBC=3ABC

=3_12=4

답 I ②


=(-2m-n m+3n)


(-2m-n m+3n)=(-1 -7)

there4 -2m-n=-1 m+3n=-7






(x-1 -3)=(2 y+1)









8+x14137 -1-3 12-2x141317 1=(-5 y)

즉 (x-4 -4)=(-5 y)이므로

x-4=-5 -4=y there4 x=-1 y=-4




=2(-2 3)+(2 -1)=(-2 5)



B C

P

A

(01~40)1단원(해설)indd 18 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 19





(5k+1)(k-1)=0





=(t+2 t-1)


=(2t+1 2t-3)





는다 답 I ③






OAB=2_3_2=3 답 I 3





=(2x-2 2y-2)











O

B

A3

2

y

x


이다 이때







함한 내부이다


A(4 0) B(2 23)이므로





O

2Acirc3

y

x2

P

B

A4

01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 21 05 9 06 ②

07 ① 08 ① 09 ④ 10 ③



하면





이므로 m=5$ n=5

there4 100mn=100_5$_5=16 답 I ③








(01~40)1단원(해설)indd 19 15 7 16 오후 208

20 정답과 해설




x-y-2z=1 답 I ⑤




(xUcirc`+2x 3x+y-1)=(4x+3 2x-y+8)


[xUcirc`-2x-3=0 yy

`` x+2y=9 yy

에서 (x-3)(x+1)=0 there4 x=3 (∵ xgt0)


3+2y=9 there4 y=3

there4 3x+4y=9+12=21 답 I 21


t(7 5)=(x 1)+(2 y)=(x+2 y+1)


x+214137 =

y+114135 there4 x=5amp(y+1)-2



x=5amp_(4+1)-2=5



=(x+1 -x-2)














=(-1 -1)



= 41422

(-1 -1)

=(-22 -22)따라서 x=-22 y=-22이므로

x+y=-42 답 I ①











|다른 풀이|













점이다 이때




OB

B

A

A

P

Q

6

3 2

12 4-1-2

y

x



B CP 32

A

(01~40)1단원(해설)indd 20 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 21


01 ② 02 29 03 6 04 ④ 05 ⑤ 06 ④

07 ⑤ 08 ③ 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ②



aoslash+2boslash=(-1 3)+2(2 1)=(3 5)


답 I ②



=2xy+3(x+y)+9

=2xy+3_4+9 (∵ x+y=4)

=2xy+21 yy


의하여


there4 xyEacute4

따라서 에서




angBAC=90ugrave




형이므로



=2_23_ 31442 =6 답 I 6






=4 답 I ④















=9_2Ucirc`-6_1+(2)Ucirc`=32



2aoslash-boslash=2(2 -1)-(5 -5)=(-1 3)


하면



= -5141325 10

=-21442







= 5141345 10

=21442


답 I ③


B

2Acirc3 4

C

ΩA







(01~40)1단원(해설)indd 21 15 7 14 오전 1038

22 정답과 해설


=614411

23_4=3144 4 이므로


Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①



(x+1 2) thinsp(1 -x)=0




라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3



(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3




=(x+6 y-2)



x(x+6)+y(y-2)=0




10p이다 답 I ②





M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④



B

C

F

O

D

E




angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6



=36 답 I ①





+을 하면






=2_6=12 답 I 12




각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다


=(-3 -1)




=(a-c b-d)





=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10



|다른 풀이|






(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

I 평면 곡선 11





F의 좌표는






n-m=4

there4 n=m+4 yy








12=2sect10_PHOacute




(3 0) (-3 0)




라고 하면





aUcirc`+35aUcirc`=9







표는 (3 0) (-3 0)이므로

O10- 10F F

P

H-2

2

y

x

mn

a=3 (∵ agt0)

즉 A(3 0) B(-3 0)이므로








의 방정식은

yUcirc`=24(x-3)
















2+4=6 답 I ④

O 3B A

-3

y

x

x=-3

O-1 1

3

y

x


01 ② 02 3 03 ④ 04 ③ 05 ⑤ 06 ①

07 ③ 08 ④ 09 9 10 ⑤ 11 1 12 ④





there4 dy144dx=


(01~40)1단원(해설)indd 11 15 7 14 오전 1038

12 정답과 해설


dy144dx=

2_(-2)-(-1)Ucirc`14211111122_(-2)_(-1) =-4 답 I ②


4-2a+1+b=0

there4 2a-b=5 yy



dx=0

(ax-2y) dy144dx

=2x-ay

there4 dy144dx

= 2x-ay14211ax-2y (ax-2y+0)



2_2-a142113a_2-2=4 6a=18 there4 a=3


2_3-b=5 there4 b=1

there4 ab=3 답 I 3


11422

2sectx+ 11422

2y_ dy144

dx=0

there4 dy144dx=-

y142sectx

(x+0)



-b142a

=-1 there4 a=b










a=4 b=2 (∵ b+0)



2x14233 + y14=1 there4 y=-2x+4



부분의 넓이는

2_2_4=4 답 I ⑤





414aUcirc`

- 114bUcirc`=1 yy



정식은

-2x1421aUcirc`


aUcirc`x-bUcirc`

















y=-x-1 또는 y=2x+2


(-1)_2=-2 답 I ③









(01~40)1단원(해설)indd 12 15 7 20 오후 417

I 평면 곡선 13

-2x+2y=2 또는 -2x-2y=2









xAacutex1423aUcirc`

+ yAacutey14234

=1


x+ 414yAacute



=1 414yAacute =-3








=2t-2


=tUcirc`+1

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= tUcirc`+114212t-2


dy144dx

= 3Ucirc`+114212322_3-2 =2 답 I ⑤


= 114222t


=t+a

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

=t+a1421114222t

=2t (at+1)14221114t



기가 4이므로

21 (a+1)14221111 =4 a+1=2

there4 a=1 답 I 1


=2 sin h


=3 cos h

there4 dy144dx

=

dy144dh1424dx144dh

= 3 cos h142212 sin h=3142212 tan h


-2 cos h=-2 3 sin h= 3214222



3142212

2 tan 4Ograve=2


y-3214222 =2(x+2)

there4 y=2x+32


넓이는

2_22_32=6 답 I ④

01 ① 02 ⑤ 03 ② 04 ④ 05 ② 06 4

07 ③ 08 ⑤ 09 ④ 10 ④



eAring`+]_dy144dx

=0 there4 dy144dx

=-eAring`y


dy144dx



3_2+a_2Ucirc`=4 4a=-2 there4 a=-2


y+x dy144dx

-y dy144dx

=0

there4 dy144dx

= y1421y-x (x+y)

(01~40)1단원(해설)indd 13 15 7 14 오전 1038

14 정답과 해설


dy144dx

= 2142242-3=-2


y-2=-2(x-3) there4 2x+y-8=0


2a-b-c=6 답 I ⑤


bUcirc`=4a yy


by=2(x+a)







(a+5)(a-4)=0




식은

2x148 +4y1432=1

there4 y=-2x+8 yy


-2x1418 +4y1432=1

there4 y=2x+8 yy





=25+4+25 =4+45 답 I ④


식은

4x148 -y=1 there4 y=2x-1



이 F이므로

F(Auml8+1 0) 즉 F(3 0)

O

y

x

A

21

43

B F

위의 그림에서

FAB=2_1_1=2 답 I ②












은 2=4이다 답 I 4


xAacute x1422=16 +

yAacute y1422=9 =1


914=yAacute










y=x-5 또는 y=x+5





=52 답 I ③





(01~40)1단원(해설)indd 14 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 15






PAB=2_63_3

=93 답 I ⑤


=1-cos t


=sin t

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= sin t142111-cos t


dy144dx

=sin 3Ograve

1421111-cos 3Ograve

=3 답 I ④


=1+t


dy144dt


즉 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt


limtÙacute1

dy144dx

=limtÙacute1


= 1+2+3+y+n1421111111+1

=

n(n+1)1421122142311232

= nUcirc`+n142144


limtÙacute1

dy144dx= lim


_ nUcirc`+n142144


=4 답 I ④

O

y

x

-3Acirc3

3Acirc3

B

A

4P1

Ⅱ 평면벡터

벡터의 연산05

01 ③ 02 ② 03 50 04 ④ 05 ① 06 ③

07 ⑤ 08 ③ 09 ④ 10 ③ 11 ⑤ 12 ⑤






므로



답 I ③



31442 _4=23







x

y

O

4

2











(01~40)1단원(해설)indd 15 15 7 14 오전 1038

16 정답과 해설


O

B F

E

D

C

b












=ACsup3+CAsup3









=2_5_31442 =53

답 I ③



_2-을 하면











O

B F

E

D

C

b



이때



이므로





=-4aoslash+3boslash







nUcirc`-4=m yy


there4 m=2







야 한다 즉




k=3 m=3 답 I ⑤







-2=k m+1=-2k








01 ③ 02 ④ 03 ④ 04 15 05 ⑤ 06 ②

07 ② 08 2 09 ④ 10 ②


(01~40)1단원(해설)indd 16 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 17









이므로 OQsup3는



인 원이므로



(2 0) (-2 0)

이때 A(2 0) A(-2 0) 1

-1

-2 2FFA A

O

P

x

y



=FOtildePsup3





there4 FPOacute=3












-_2를 하면






3

-3

-3 3Q

O

P

x

y

x+y=9



m+4n=4 답 I ②



므로




2mUcirc`+3m-5n=9 yy

_2-_3을 하면

-19m+19n=-19

there4 n=m-1 yy



(m+1)(m-2)=0

there4 m=2 (∵ mgt0) n=1 (∵ )











k=-2 m=2 답 I 2




=OYsup3+AOsup3




답 I ④







(01~40)1단원(해설)indd 17 15 7 14 오전 1038

18 정답과 해설








=에서 2K=1-l 1-k=3L there4 k=5$ l=5




01 ② 02 2 03 ② 04 ① 05 7 06 ⑤

07 ④ 08 ② 09 ③ 10 3 11 ④ 12 ③











OPsup3=3 OAsup3







12(m-n)=12_1ordf2=2 답 I 2





는 점이므로

PBC=3ABC

=3_12=4

답 I ②


=(-2m-n m+3n)


(-2m-n m+3n)=(-1 -7)

there4 -2m-n=-1 m+3n=-7






(x-1 -3)=(2 y+1)









8+x14137 -1-3 12-2x141317 1=(-5 y)

즉 (x-4 -4)=(-5 y)이므로

x-4=-5 -4=y there4 x=-1 y=-4




=2(-2 3)+(2 -1)=(-2 5)



B C

P

A

(01~40)1단원(해설)indd 18 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 19





(5k+1)(k-1)=0





=(t+2 t-1)


=(2t+1 2t-3)





는다 답 I ③






OAB=2_3_2=3 답 I 3





=(2x-2 2y-2)











O

B

A3

2

y

x


이다 이때







함한 내부이다


A(4 0) B(2 23)이므로





O

2Acirc3

y

x2

P

B

A4

01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 21 05 9 06 ②

07 ① 08 ① 09 ④ 10 ③



하면





이므로 m=5$ n=5

there4 100mn=100_5$_5=16 답 I ③








(01~40)1단원(해설)indd 19 15 7 16 오후 208

20 정답과 해설




x-y-2z=1 답 I ⑤




(xUcirc`+2x 3x+y-1)=(4x+3 2x-y+8)


[xUcirc`-2x-3=0 yy

`` x+2y=9 yy

에서 (x-3)(x+1)=0 there4 x=3 (∵ xgt0)


3+2y=9 there4 y=3

there4 3x+4y=9+12=21 답 I 21


t(7 5)=(x 1)+(2 y)=(x+2 y+1)


x+214137 =

y+114135 there4 x=5amp(y+1)-2



x=5amp_(4+1)-2=5



=(x+1 -x-2)














=(-1 -1)



= 41422

(-1 -1)

=(-22 -22)따라서 x=-22 y=-22이므로

x+y=-42 답 I ①











|다른 풀이|













점이다 이때




OB

B

A

A

P

Q

6

3 2

12 4-1-2

y

x



B CP 32

A

(01~40)1단원(해설)indd 20 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 21


01 ② 02 29 03 6 04 ④ 05 ⑤ 06 ④

07 ⑤ 08 ③ 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ②



aoslash+2boslash=(-1 3)+2(2 1)=(3 5)


답 I ②



=2xy+3(x+y)+9

=2xy+3_4+9 (∵ x+y=4)

=2xy+21 yy


의하여


there4 xyEacute4

따라서 에서




angBAC=90ugrave




형이므로



=2_23_ 31442 =6 답 I 6






=4 답 I ④















=9_2Ucirc`-6_1+(2)Ucirc`=32



2aoslash-boslash=2(2 -1)-(5 -5)=(-1 3)


하면



= -5141325 10

=-21442







= 5141345 10

=21442


답 I ③


B

2Acirc3 4

C

ΩA







(01~40)1단원(해설)indd 21 15 7 14 오전 1038

22 정답과 해설


=614411

23_4=3144 4 이므로


Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①



(x+1 2) thinsp(1 -x)=0




라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3



(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3




=(x+6 y-2)



x(x+6)+y(y-2)=0




10p이다 답 I ②





M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④



B

C

F

O

D

E




angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6



=36 답 I ①





+을 하면






=2_6=12 답 I 12




각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다


=(-3 -1)




=(a-c b-d)





=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10



|다른 풀이|






(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

12 정답과 해설


dy144dx=

2_(-2)-(-1)Ucirc`14211111122_(-2)_(-1) =-4 답 I ②


4-2a+1+b=0

there4 2a-b=5 yy



dx=0

(ax-2y) dy144dx

=2x-ay

there4 dy144dx

= 2x-ay14211ax-2y (ax-2y+0)



2_2-a142113a_2-2=4 6a=18 there4 a=3


2_3-b=5 there4 b=1

there4 ab=3 답 I 3


11422

2sectx+ 11422

2y_ dy144

dx=0

there4 dy144dx=-

y142sectx

(x+0)



-b142a

=-1 there4 a=b










a=4 b=2 (∵ b+0)



2x14233 + y14=1 there4 y=-2x+4



부분의 넓이는

2_2_4=4 답 I ⑤





414aUcirc`

- 114bUcirc`=1 yy



정식은

-2x1421aUcirc`


aUcirc`x-bUcirc`

















y=-x-1 또는 y=2x+2


(-1)_2=-2 답 I ③









(01~40)1단원(해설)indd 12 15 7 20 오후 417

I 평면 곡선 13

-2x+2y=2 또는 -2x-2y=2









xAacutex1423aUcirc`

+ yAacutey14234

=1


x+ 414yAacute



=1 414yAacute =-3








=2t-2


=tUcirc`+1

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= tUcirc`+114212t-2


dy144dx

= 3Ucirc`+114212322_3-2 =2 답 I ⑤


= 114222t


=t+a

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

=t+a1421114222t

=2t (at+1)14221114t



기가 4이므로

21 (a+1)14221111 =4 a+1=2

there4 a=1 답 I 1


=2 sin h


=3 cos h

there4 dy144dx

=

dy144dh1424dx144dh

= 3 cos h142212 sin h=3142212 tan h


-2 cos h=-2 3 sin h= 3214222



3142212

2 tan 4Ograve=2


y-3214222 =2(x+2)

there4 y=2x+32


넓이는

2_22_32=6 답 I ④

01 ① 02 ⑤ 03 ② 04 ④ 05 ② 06 4

07 ③ 08 ⑤ 09 ④ 10 ④



eAring`+]_dy144dx

=0 there4 dy144dx

=-eAring`y


dy144dx



3_2+a_2Ucirc`=4 4a=-2 there4 a=-2


y+x dy144dx

-y dy144dx

=0

there4 dy144dx

= y1421y-x (x+y)

(01~40)1단원(해설)indd 13 15 7 14 오전 1038

14 정답과 해설


dy144dx

= 2142242-3=-2


y-2=-2(x-3) there4 2x+y-8=0


2a-b-c=6 답 I ⑤


bUcirc`=4a yy


by=2(x+a)







(a+5)(a-4)=0




식은

2x148 +4y1432=1

there4 y=-2x+8 yy


-2x1418 +4y1432=1

there4 y=2x+8 yy





=25+4+25 =4+45 답 I ④


식은

4x148 -y=1 there4 y=2x-1



이 F이므로

F(Auml8+1 0) 즉 F(3 0)

O

y

x

A

21

43

B F

위의 그림에서

FAB=2_1_1=2 답 I ②












은 2=4이다 답 I 4


xAacute x1422=16 +

yAacute y1422=9 =1


914=yAacute










y=x-5 또는 y=x+5





=52 답 I ③





(01~40)1단원(해설)indd 14 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 15






PAB=2_63_3

=93 답 I ⑤


=1-cos t


=sin t

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= sin t142111-cos t


dy144dx

=sin 3Ograve

1421111-cos 3Ograve

=3 답 I ④


=1+t


dy144dt


즉 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt


limtÙacute1

dy144dx

=limtÙacute1


= 1+2+3+y+n1421111111+1

=

n(n+1)1421122142311232

= nUcirc`+n142144


limtÙacute1

dy144dx= lim


_ nUcirc`+n142144


=4 답 I ④

O

y

x

-3Acirc3

3Acirc3

B

A

4P1

Ⅱ 평면벡터

벡터의 연산05

01 ③ 02 ② 03 50 04 ④ 05 ① 06 ③

07 ⑤ 08 ③ 09 ④ 10 ③ 11 ⑤ 12 ⑤






므로



답 I ③



31442 _4=23







x

y

O

4

2











(01~40)1단원(해설)indd 15 15 7 14 오전 1038

16 정답과 해설


O

B F

E

D

C

b












=ACsup3+CAsup3









=2_5_31442 =53

답 I ③



_2-을 하면











O

B F

E

D

C

b



이때



이므로





=-4aoslash+3boslash







nUcirc`-4=m yy


there4 m=2







야 한다 즉




k=3 m=3 답 I ⑤







-2=k m+1=-2k








01 ③ 02 ④ 03 ④ 04 15 05 ⑤ 06 ②

07 ② 08 2 09 ④ 10 ②


(01~40)1단원(해설)indd 16 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 17









이므로 OQsup3는



인 원이므로



(2 0) (-2 0)

이때 A(2 0) A(-2 0) 1

-1

-2 2FFA A

O

P

x

y



=FOtildePsup3





there4 FPOacute=3












-_2를 하면






3

-3

-3 3Q

O

P

x

y

x+y=9



m+4n=4 답 I ②



므로




2mUcirc`+3m-5n=9 yy

_2-_3을 하면

-19m+19n=-19

there4 n=m-1 yy



(m+1)(m-2)=0

there4 m=2 (∵ mgt0) n=1 (∵ )











k=-2 m=2 답 I 2




=OYsup3+AOsup3




답 I ④







(01~40)1단원(해설)indd 17 15 7 14 오전 1038

18 정답과 해설








=에서 2K=1-l 1-k=3L there4 k=5$ l=5




01 ② 02 2 03 ② 04 ① 05 7 06 ⑤

07 ④ 08 ② 09 ③ 10 3 11 ④ 12 ③











OPsup3=3 OAsup3







12(m-n)=12_1ordf2=2 답 I 2





는 점이므로

PBC=3ABC

=3_12=4

답 I ②


=(-2m-n m+3n)


(-2m-n m+3n)=(-1 -7)

there4 -2m-n=-1 m+3n=-7






(x-1 -3)=(2 y+1)









8+x14137 -1-3 12-2x141317 1=(-5 y)

즉 (x-4 -4)=(-5 y)이므로

x-4=-5 -4=y there4 x=-1 y=-4




=2(-2 3)+(2 -1)=(-2 5)



B C

P

A

(01~40)1단원(해설)indd 18 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 19





(5k+1)(k-1)=0





=(t+2 t-1)


=(2t+1 2t-3)





는다 답 I ③






OAB=2_3_2=3 답 I 3





=(2x-2 2y-2)











O

B

A3

2

y

x


이다 이때







함한 내부이다


A(4 0) B(2 23)이므로





O

2Acirc3

y

x2

P

B

A4

01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 21 05 9 06 ②

07 ① 08 ① 09 ④ 10 ③



하면





이므로 m=5$ n=5

there4 100mn=100_5$_5=16 답 I ③








(01~40)1단원(해설)indd 19 15 7 16 오후 208

20 정답과 해설




x-y-2z=1 답 I ⑤




(xUcirc`+2x 3x+y-1)=(4x+3 2x-y+8)


[xUcirc`-2x-3=0 yy

`` x+2y=9 yy

에서 (x-3)(x+1)=0 there4 x=3 (∵ xgt0)


3+2y=9 there4 y=3

there4 3x+4y=9+12=21 답 I 21


t(7 5)=(x 1)+(2 y)=(x+2 y+1)


x+214137 =

y+114135 there4 x=5amp(y+1)-2



x=5amp_(4+1)-2=5



=(x+1 -x-2)














=(-1 -1)



= 41422

(-1 -1)

=(-22 -22)따라서 x=-22 y=-22이므로

x+y=-42 답 I ①











|다른 풀이|













점이다 이때




OB

B

A

A

P

Q

6

3 2

12 4-1-2

y

x



B CP 32

A

(01~40)1단원(해설)indd 20 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 21


01 ② 02 29 03 6 04 ④ 05 ⑤ 06 ④

07 ⑤ 08 ③ 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ②



aoslash+2boslash=(-1 3)+2(2 1)=(3 5)


답 I ②



=2xy+3(x+y)+9

=2xy+3_4+9 (∵ x+y=4)

=2xy+21 yy


의하여


there4 xyEacute4

따라서 에서




angBAC=90ugrave




형이므로



=2_23_ 31442 =6 답 I 6






=4 답 I ④















=9_2Ucirc`-6_1+(2)Ucirc`=32



2aoslash-boslash=2(2 -1)-(5 -5)=(-1 3)


하면



= -5141325 10

=-21442







= 5141345 10

=21442


답 I ③


B

2Acirc3 4

C

ΩA







(01~40)1단원(해설)indd 21 15 7 14 오전 1038

22 정답과 해설


=614411

23_4=3144 4 이므로


Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①



(x+1 2) thinsp(1 -x)=0




라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3



(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3




=(x+6 y-2)



x(x+6)+y(y-2)=0




10p이다 답 I ②





M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④



B

C

F

O

D

E




angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6



=36 답 I ①





+을 하면






=2_6=12 답 I 12




각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다


=(-3 -1)




=(a-c b-d)





=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10



|다른 풀이|






(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

I 평면 곡선 13

-2x+2y=2 또는 -2x-2y=2









xAacutex1423aUcirc`

+ yAacutey14234

=1


x+ 414yAacute



=1 414yAacute =-3








=2t-2


=tUcirc`+1

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= tUcirc`+114212t-2


dy144dx

= 3Ucirc`+114212322_3-2 =2 답 I ⑤


= 114222t


=t+a

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

=t+a1421114222t

=2t (at+1)14221114t



기가 4이므로

21 (a+1)14221111 =4 a+1=2

there4 a=1 답 I 1


=2 sin h


=3 cos h

there4 dy144dx

=

dy144dh1424dx144dh

= 3 cos h142212 sin h=3142212 tan h


-2 cos h=-2 3 sin h= 3214222



3142212

2 tan 4Ograve=2


y-3214222 =2(x+2)

there4 y=2x+32


넓이는

2_22_32=6 답 I ④

01 ① 02 ⑤ 03 ② 04 ④ 05 ② 06 4

07 ③ 08 ⑤ 09 ④ 10 ④



eAring`+]_dy144dx

=0 there4 dy144dx

=-eAring`y


dy144dx



3_2+a_2Ucirc`=4 4a=-2 there4 a=-2


y+x dy144dx

-y dy144dx

=0

there4 dy144dx

= y1421y-x (x+y)

(01~40)1단원(해설)indd 13 15 7 14 오전 1038

14 정답과 해설


dy144dx

= 2142242-3=-2


y-2=-2(x-3) there4 2x+y-8=0


2a-b-c=6 답 I ⑤


bUcirc`=4a yy


by=2(x+a)







(a+5)(a-4)=0




식은

2x148 +4y1432=1

there4 y=-2x+8 yy


-2x1418 +4y1432=1

there4 y=2x+8 yy





=25+4+25 =4+45 답 I ④


식은

4x148 -y=1 there4 y=2x-1



이 F이므로

F(Auml8+1 0) 즉 F(3 0)

O

y

x

A

21

43

B F

위의 그림에서

FAB=2_1_1=2 답 I ②












은 2=4이다 답 I 4


xAacute x1422=16 +

yAacute y1422=9 =1


914=yAacute










y=x-5 또는 y=x+5





=52 답 I ③





(01~40)1단원(해설)indd 14 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 15






PAB=2_63_3

=93 답 I ⑤


=1-cos t


=sin t

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= sin t142111-cos t


dy144dx

=sin 3Ograve

1421111-cos 3Ograve

=3 답 I ④


=1+t


dy144dt


즉 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt


limtÙacute1

dy144dx

=limtÙacute1


= 1+2+3+y+n1421111111+1

=

n(n+1)1421122142311232

= nUcirc`+n142144


limtÙacute1

dy144dx= lim


_ nUcirc`+n142144


=4 답 I ④

O

y

x

-3Acirc3

3Acirc3

B

A

4P1

Ⅱ 평면벡터

벡터의 연산05

01 ③ 02 ② 03 50 04 ④ 05 ① 06 ③

07 ⑤ 08 ③ 09 ④ 10 ③ 11 ⑤ 12 ⑤






므로



답 I ③



31442 _4=23







x

y

O

4

2











(01~40)1단원(해설)indd 15 15 7 14 오전 1038

16 정답과 해설


O

B F

E

D

C

b












=ACsup3+CAsup3









=2_5_31442 =53

답 I ③



_2-을 하면











O

B F

E

D

C

b



이때



이므로





=-4aoslash+3boslash







nUcirc`-4=m yy


there4 m=2







야 한다 즉




k=3 m=3 답 I ⑤







-2=k m+1=-2k








01 ③ 02 ④ 03 ④ 04 15 05 ⑤ 06 ②

07 ② 08 2 09 ④ 10 ②


(01~40)1단원(해설)indd 16 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 17









이므로 OQsup3는



인 원이므로



(2 0) (-2 0)

이때 A(2 0) A(-2 0) 1

-1

-2 2FFA A

O

P

x

y



=FOtildePsup3





there4 FPOacute=3












-_2를 하면






3

-3

-3 3Q

O

P

x

y

x+y=9



m+4n=4 답 I ②



므로




2mUcirc`+3m-5n=9 yy

_2-_3을 하면

-19m+19n=-19

there4 n=m-1 yy



(m+1)(m-2)=0

there4 m=2 (∵ mgt0) n=1 (∵ )











k=-2 m=2 답 I 2




=OYsup3+AOsup3




답 I ④







(01~40)1단원(해설)indd 17 15 7 14 오전 1038

18 정답과 해설








=에서 2K=1-l 1-k=3L there4 k=5$ l=5




01 ② 02 2 03 ② 04 ① 05 7 06 ⑤

07 ④ 08 ② 09 ③ 10 3 11 ④ 12 ③











OPsup3=3 OAsup3







12(m-n)=12_1ordf2=2 답 I 2





는 점이므로

PBC=3ABC

=3_12=4

답 I ②


=(-2m-n m+3n)


(-2m-n m+3n)=(-1 -7)

there4 -2m-n=-1 m+3n=-7






(x-1 -3)=(2 y+1)









8+x14137 -1-3 12-2x141317 1=(-5 y)

즉 (x-4 -4)=(-5 y)이므로

x-4=-5 -4=y there4 x=-1 y=-4




=2(-2 3)+(2 -1)=(-2 5)



B C

P

A

(01~40)1단원(해설)indd 18 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 19





(5k+1)(k-1)=0





=(t+2 t-1)


=(2t+1 2t-3)





는다 답 I ③






OAB=2_3_2=3 답 I 3





=(2x-2 2y-2)











O

B

A3

2

y

x


이다 이때







함한 내부이다


A(4 0) B(2 23)이므로





O

2Acirc3

y

x2

P

B

A4

01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 21 05 9 06 ②

07 ① 08 ① 09 ④ 10 ③



하면





이므로 m=5$ n=5

there4 100mn=100_5$_5=16 답 I ③








(01~40)1단원(해설)indd 19 15 7 16 오후 208

20 정답과 해설




x-y-2z=1 답 I ⑤




(xUcirc`+2x 3x+y-1)=(4x+3 2x-y+8)


[xUcirc`-2x-3=0 yy

`` x+2y=9 yy

에서 (x-3)(x+1)=0 there4 x=3 (∵ xgt0)


3+2y=9 there4 y=3

there4 3x+4y=9+12=21 답 I 21


t(7 5)=(x 1)+(2 y)=(x+2 y+1)


x+214137 =

y+114135 there4 x=5amp(y+1)-2



x=5amp_(4+1)-2=5



=(x+1 -x-2)














=(-1 -1)



= 41422

(-1 -1)

=(-22 -22)따라서 x=-22 y=-22이므로

x+y=-42 답 I ①











|다른 풀이|













점이다 이때




OB

B

A

A

P

Q

6

3 2

12 4-1-2

y

x



B CP 32

A

(01~40)1단원(해설)indd 20 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 21


01 ② 02 29 03 6 04 ④ 05 ⑤ 06 ④

07 ⑤ 08 ③ 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ②



aoslash+2boslash=(-1 3)+2(2 1)=(3 5)


답 I ②



=2xy+3(x+y)+9

=2xy+3_4+9 (∵ x+y=4)

=2xy+21 yy


의하여


there4 xyEacute4

따라서 에서




angBAC=90ugrave




형이므로



=2_23_ 31442 =6 답 I 6






=4 답 I ④















=9_2Ucirc`-6_1+(2)Ucirc`=32



2aoslash-boslash=2(2 -1)-(5 -5)=(-1 3)


하면



= -5141325 10

=-21442







= 5141345 10

=21442


답 I ③


B

2Acirc3 4

C

ΩA







(01~40)1단원(해설)indd 21 15 7 14 오전 1038

22 정답과 해설


=614411

23_4=3144 4 이므로


Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①



(x+1 2) thinsp(1 -x)=0




라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3



(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3




=(x+6 y-2)



x(x+6)+y(y-2)=0




10p이다 답 I ②





M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④



B

C

F

O

D

E




angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6



=36 답 I ①





+을 하면






=2_6=12 답 I 12




각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다


=(-3 -1)




=(a-c b-d)





=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10



|다른 풀이|






(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

14 정답과 해설


dy144dx

= 2142242-3=-2


y-2=-2(x-3) there4 2x+y-8=0


2a-b-c=6 답 I ⑤


bUcirc`=4a yy


by=2(x+a)







(a+5)(a-4)=0




식은

2x148 +4y1432=1

there4 y=-2x+8 yy


-2x1418 +4y1432=1

there4 y=2x+8 yy





=25+4+25 =4+45 답 I ④


식은

4x148 -y=1 there4 y=2x-1



이 F이므로

F(Auml8+1 0) 즉 F(3 0)

O

y

x

A

21

43

B F

위의 그림에서

FAB=2_1_1=2 답 I ②












은 2=4이다 답 I 4


xAacute x1422=16 +

yAacute y1422=9 =1


914=yAacute










y=x-5 또는 y=x+5





=52 답 I ③





(01~40)1단원(해설)indd 14 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 15






PAB=2_63_3

=93 답 I ⑤


=1-cos t


=sin t

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= sin t142111-cos t


dy144dx

=sin 3Ograve

1421111-cos 3Ograve

=3 답 I ④


=1+t


dy144dt


즉 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt


limtÙacute1

dy144dx

=limtÙacute1


= 1+2+3+y+n1421111111+1

=

n(n+1)1421122142311232

= nUcirc`+n142144


limtÙacute1

dy144dx= lim


_ nUcirc`+n142144


=4 답 I ④

O

y

x

-3Acirc3

3Acirc3

B

A

4P1

Ⅱ 평면벡터

벡터의 연산05

01 ③ 02 ② 03 50 04 ④ 05 ① 06 ③

07 ⑤ 08 ③ 09 ④ 10 ③ 11 ⑤ 12 ⑤






므로



답 I ③



31442 _4=23







x

y

O

4

2











(01~40)1단원(해설)indd 15 15 7 14 오전 1038

16 정답과 해설


O

B F

E

D

C

b












=ACsup3+CAsup3









=2_5_31442 =53

답 I ③



_2-을 하면











O

B F

E

D

C

b



이때



이므로





=-4aoslash+3boslash







nUcirc`-4=m yy


there4 m=2







야 한다 즉




k=3 m=3 답 I ⑤







-2=k m+1=-2k








01 ③ 02 ④ 03 ④ 04 15 05 ⑤ 06 ②

07 ② 08 2 09 ④ 10 ②


(01~40)1단원(해설)indd 16 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 17









이므로 OQsup3는



인 원이므로



(2 0) (-2 0)

이때 A(2 0) A(-2 0) 1

-1

-2 2FFA A

O

P

x

y



=FOtildePsup3





there4 FPOacute=3












-_2를 하면






3

-3

-3 3Q

O

P

x

y

x+y=9



m+4n=4 답 I ②



므로




2mUcirc`+3m-5n=9 yy

_2-_3을 하면

-19m+19n=-19

there4 n=m-1 yy



(m+1)(m-2)=0

there4 m=2 (∵ mgt0) n=1 (∵ )











k=-2 m=2 답 I 2




=OYsup3+AOsup3




답 I ④







(01~40)1단원(해설)indd 17 15 7 14 오전 1038

18 정답과 해설








=에서 2K=1-l 1-k=3L there4 k=5$ l=5




01 ② 02 2 03 ② 04 ① 05 7 06 ⑤

07 ④ 08 ② 09 ③ 10 3 11 ④ 12 ③











OPsup3=3 OAsup3







12(m-n)=12_1ordf2=2 답 I 2





는 점이므로

PBC=3ABC

=3_12=4

답 I ②


=(-2m-n m+3n)


(-2m-n m+3n)=(-1 -7)

there4 -2m-n=-1 m+3n=-7






(x-1 -3)=(2 y+1)









8+x14137 -1-3 12-2x141317 1=(-5 y)

즉 (x-4 -4)=(-5 y)이므로

x-4=-5 -4=y there4 x=-1 y=-4




=2(-2 3)+(2 -1)=(-2 5)



B C

P

A

(01~40)1단원(해설)indd 18 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 19





(5k+1)(k-1)=0





=(t+2 t-1)


=(2t+1 2t-3)





는다 답 I ③






OAB=2_3_2=3 답 I 3





=(2x-2 2y-2)











O

B

A3

2

y

x


이다 이때







함한 내부이다


A(4 0) B(2 23)이므로





O

2Acirc3

y

x2

P

B

A4

01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 21 05 9 06 ②

07 ① 08 ① 09 ④ 10 ③



하면





이므로 m=5$ n=5

there4 100mn=100_5$_5=16 답 I ③








(01~40)1단원(해설)indd 19 15 7 16 오후 208

20 정답과 해설




x-y-2z=1 답 I ⑤




(xUcirc`+2x 3x+y-1)=(4x+3 2x-y+8)


[xUcirc`-2x-3=0 yy

`` x+2y=9 yy

에서 (x-3)(x+1)=0 there4 x=3 (∵ xgt0)


3+2y=9 there4 y=3

there4 3x+4y=9+12=21 답 I 21


t(7 5)=(x 1)+(2 y)=(x+2 y+1)


x+214137 =

y+114135 there4 x=5amp(y+1)-2



x=5amp_(4+1)-2=5



=(x+1 -x-2)














=(-1 -1)



= 41422

(-1 -1)

=(-22 -22)따라서 x=-22 y=-22이므로

x+y=-42 답 I ①











|다른 풀이|













점이다 이때




OB

B

A

A

P

Q

6

3 2

12 4-1-2

y

x



B CP 32

A

(01~40)1단원(해설)indd 20 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 21


01 ② 02 29 03 6 04 ④ 05 ⑤ 06 ④

07 ⑤ 08 ③ 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ②



aoslash+2boslash=(-1 3)+2(2 1)=(3 5)


답 I ②



=2xy+3(x+y)+9

=2xy+3_4+9 (∵ x+y=4)

=2xy+21 yy


의하여


there4 xyEacute4

따라서 에서




angBAC=90ugrave




형이므로



=2_23_ 31442 =6 답 I 6






=4 답 I ④















=9_2Ucirc`-6_1+(2)Ucirc`=32



2aoslash-boslash=2(2 -1)-(5 -5)=(-1 3)


하면



= -5141325 10

=-21442







= 5141345 10

=21442


답 I ③


B

2Acirc3 4

C

ΩA







(01~40)1단원(해설)indd 21 15 7 14 오전 1038

22 정답과 해설


=614411

23_4=3144 4 이므로


Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①



(x+1 2) thinsp(1 -x)=0




라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3



(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3




=(x+6 y-2)



x(x+6)+y(y-2)=0




10p이다 답 I ②





M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④



B

C

F

O

D

E




angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6



=36 답 I ①





+을 하면






=2_6=12 답 I 12




각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다


=(-3 -1)




=(a-c b-d)





=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10



|다른 풀이|






(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

II 평면벡터 15






PAB=2_63_3

=93 답 I ⑤


=1-cos t


=sin t

there4 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt

= sin t142111-cos t


dy144dx

=sin 3Ograve

1421111-cos 3Ograve

=3 답 I ④


=1+t


dy144dt


즉 dy144dx

=

dy144dt1424dx144dt


limtÙacute1

dy144dx

=limtÙacute1


= 1+2+3+y+n1421111111+1

=

n(n+1)1421122142311232

= nUcirc`+n142144


limtÙacute1

dy144dx= lim


_ nUcirc`+n142144


=4 답 I ④

O

y

x

-3Acirc3

3Acirc3

B

A

4P1

Ⅱ 평면벡터

벡터의 연산05

01 ③ 02 ② 03 50 04 ④ 05 ① 06 ③

07 ⑤ 08 ③ 09 ④ 10 ③ 11 ⑤ 12 ⑤






므로



답 I ③



31442 _4=23







x

y

O

4

2











(01~40)1단원(해설)indd 15 15 7 14 오전 1038

16 정답과 해설


O

B F

E

D

C

b












=ACsup3+CAsup3









=2_5_31442 =53

답 I ③



_2-을 하면











O

B F

E

D

C

b



이때



이므로





=-4aoslash+3boslash







nUcirc`-4=m yy


there4 m=2







야 한다 즉




k=3 m=3 답 I ⑤







-2=k m+1=-2k








01 ③ 02 ④ 03 ④ 04 15 05 ⑤ 06 ②

07 ② 08 2 09 ④ 10 ②


(01~40)1단원(해설)indd 16 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 17









이므로 OQsup3는



인 원이므로



(2 0) (-2 0)

이때 A(2 0) A(-2 0) 1

-1

-2 2FFA A

O

P

x

y



=FOtildePsup3





there4 FPOacute=3












-_2를 하면






3

-3

-3 3Q

O

P

x

y

x+y=9



m+4n=4 답 I ②



므로




2mUcirc`+3m-5n=9 yy

_2-_3을 하면

-19m+19n=-19

there4 n=m-1 yy



(m+1)(m-2)=0

there4 m=2 (∵ mgt0) n=1 (∵ )











k=-2 m=2 답 I 2




=OYsup3+AOsup3




답 I ④







(01~40)1단원(해설)indd 17 15 7 14 오전 1038

18 정답과 해설








=에서 2K=1-l 1-k=3L there4 k=5$ l=5




01 ② 02 2 03 ② 04 ① 05 7 06 ⑤

07 ④ 08 ② 09 ③ 10 3 11 ④ 12 ③











OPsup3=3 OAsup3







12(m-n)=12_1ordf2=2 답 I 2





는 점이므로

PBC=3ABC

=3_12=4

답 I ②


=(-2m-n m+3n)


(-2m-n m+3n)=(-1 -7)

there4 -2m-n=-1 m+3n=-7






(x-1 -3)=(2 y+1)









8+x14137 -1-3 12-2x141317 1=(-5 y)

즉 (x-4 -4)=(-5 y)이므로

x-4=-5 -4=y there4 x=-1 y=-4




=2(-2 3)+(2 -1)=(-2 5)



B C

P

A

(01~40)1단원(해설)indd 18 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 19





(5k+1)(k-1)=0





=(t+2 t-1)


=(2t+1 2t-3)





는다 답 I ③






OAB=2_3_2=3 답 I 3





=(2x-2 2y-2)











O

B

A3

2

y

x


이다 이때







함한 내부이다


A(4 0) B(2 23)이므로





O

2Acirc3

y

x2

P

B

A4

01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 21 05 9 06 ②

07 ① 08 ① 09 ④ 10 ③



하면





이므로 m=5$ n=5

there4 100mn=100_5$_5=16 답 I ③








(01~40)1단원(해설)indd 19 15 7 16 오후 208

20 정답과 해설




x-y-2z=1 답 I ⑤




(xUcirc`+2x 3x+y-1)=(4x+3 2x-y+8)


[xUcirc`-2x-3=0 yy

`` x+2y=9 yy

에서 (x-3)(x+1)=0 there4 x=3 (∵ xgt0)


3+2y=9 there4 y=3

there4 3x+4y=9+12=21 답 I 21


t(7 5)=(x 1)+(2 y)=(x+2 y+1)


x+214137 =

y+114135 there4 x=5amp(y+1)-2



x=5amp_(4+1)-2=5



=(x+1 -x-2)














=(-1 -1)



= 41422

(-1 -1)

=(-22 -22)따라서 x=-22 y=-22이므로

x+y=-42 답 I ①











|다른 풀이|













점이다 이때




OB

B

A

A

P

Q

6

3 2

12 4-1-2

y

x



B CP 32

A

(01~40)1단원(해설)indd 20 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 21


01 ② 02 29 03 6 04 ④ 05 ⑤ 06 ④

07 ⑤ 08 ③ 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ②



aoslash+2boslash=(-1 3)+2(2 1)=(3 5)


답 I ②



=2xy+3(x+y)+9

=2xy+3_4+9 (∵ x+y=4)

=2xy+21 yy


의하여


there4 xyEacute4

따라서 에서




angBAC=90ugrave




형이므로



=2_23_ 31442 =6 답 I 6






=4 답 I ④















=9_2Ucirc`-6_1+(2)Ucirc`=32



2aoslash-boslash=2(2 -1)-(5 -5)=(-1 3)


하면



= -5141325 10

=-21442







= 5141345 10

=21442


답 I ③


B

2Acirc3 4

C

ΩA







(01~40)1단원(해설)indd 21 15 7 14 오전 1038

22 정답과 해설


=614411

23_4=3144 4 이므로


Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①



(x+1 2) thinsp(1 -x)=0




라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3



(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3




=(x+6 y-2)



x(x+6)+y(y-2)=0




10p이다 답 I ②





M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④



B

C

F

O

D

E




angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6



=36 답 I ①





+을 하면






=2_6=12 답 I 12




각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다


=(-3 -1)




=(a-c b-d)





=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10



|다른 풀이|






(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

16 정답과 해설


O

B F

E

D

C

b












=ACsup3+CAsup3









=2_5_31442 =53

답 I ③



_2-을 하면











O

B F

E

D

C

b



이때



이므로





=-4aoslash+3boslash







nUcirc`-4=m yy


there4 m=2







야 한다 즉




k=3 m=3 답 I ⑤







-2=k m+1=-2k








01 ③ 02 ④ 03 ④ 04 15 05 ⑤ 06 ②

07 ② 08 2 09 ④ 10 ②


(01~40)1단원(해설)indd 16 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 17









이므로 OQsup3는



인 원이므로



(2 0) (-2 0)

이때 A(2 0) A(-2 0) 1

-1

-2 2FFA A

O

P

x

y



=FOtildePsup3





there4 FPOacute=3












-_2를 하면






3

-3

-3 3Q

O

P

x

y

x+y=9



m+4n=4 답 I ②



므로




2mUcirc`+3m-5n=9 yy

_2-_3을 하면

-19m+19n=-19

there4 n=m-1 yy



(m+1)(m-2)=0

there4 m=2 (∵ mgt0) n=1 (∵ )











k=-2 m=2 답 I 2




=OYsup3+AOsup3




답 I ④







(01~40)1단원(해설)indd 17 15 7 14 오전 1038

18 정답과 해설








=에서 2K=1-l 1-k=3L there4 k=5$ l=5




01 ② 02 2 03 ② 04 ① 05 7 06 ⑤

07 ④ 08 ② 09 ③ 10 3 11 ④ 12 ③











OPsup3=3 OAsup3







12(m-n)=12_1ordf2=2 답 I 2





는 점이므로

PBC=3ABC

=3_12=4

답 I ②


=(-2m-n m+3n)


(-2m-n m+3n)=(-1 -7)

there4 -2m-n=-1 m+3n=-7






(x-1 -3)=(2 y+1)









8+x14137 -1-3 12-2x141317 1=(-5 y)

즉 (x-4 -4)=(-5 y)이므로

x-4=-5 -4=y there4 x=-1 y=-4




=2(-2 3)+(2 -1)=(-2 5)



B C

P

A

(01~40)1단원(해설)indd 18 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 19





(5k+1)(k-1)=0





=(t+2 t-1)


=(2t+1 2t-3)





는다 답 I ③






OAB=2_3_2=3 답 I 3





=(2x-2 2y-2)











O

B

A3

2

y

x


이다 이때







함한 내부이다


A(4 0) B(2 23)이므로





O

2Acirc3

y

x2

P

B

A4

01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 21 05 9 06 ②

07 ① 08 ① 09 ④ 10 ③



하면





이므로 m=5$ n=5

there4 100mn=100_5$_5=16 답 I ③








(01~40)1단원(해설)indd 19 15 7 16 오후 208

20 정답과 해설




x-y-2z=1 답 I ⑤




(xUcirc`+2x 3x+y-1)=(4x+3 2x-y+8)


[xUcirc`-2x-3=0 yy

`` x+2y=9 yy

에서 (x-3)(x+1)=0 there4 x=3 (∵ xgt0)


3+2y=9 there4 y=3

there4 3x+4y=9+12=21 답 I 21


t(7 5)=(x 1)+(2 y)=(x+2 y+1)


x+214137 =

y+114135 there4 x=5amp(y+1)-2



x=5amp_(4+1)-2=5



=(x+1 -x-2)














=(-1 -1)



= 41422

(-1 -1)

=(-22 -22)따라서 x=-22 y=-22이므로

x+y=-42 답 I ①











|다른 풀이|













점이다 이때




OB

B

A

A

P

Q

6

3 2

12 4-1-2

y

x



B CP 32

A

(01~40)1단원(해설)indd 20 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 21


01 ② 02 29 03 6 04 ④ 05 ⑤ 06 ④

07 ⑤ 08 ③ 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ②



aoslash+2boslash=(-1 3)+2(2 1)=(3 5)


답 I ②



=2xy+3(x+y)+9

=2xy+3_4+9 (∵ x+y=4)

=2xy+21 yy


의하여


there4 xyEacute4

따라서 에서




angBAC=90ugrave




형이므로



=2_23_ 31442 =6 답 I 6






=4 답 I ④















=9_2Ucirc`-6_1+(2)Ucirc`=32



2aoslash-boslash=2(2 -1)-(5 -5)=(-1 3)


하면



= -5141325 10

=-21442







= 5141345 10

=21442


답 I ③


B

2Acirc3 4

C

ΩA







(01~40)1단원(해설)indd 21 15 7 14 오전 1038

22 정답과 해설


=614411

23_4=3144 4 이므로


Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①



(x+1 2) thinsp(1 -x)=0




라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3



(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3




=(x+6 y-2)



x(x+6)+y(y-2)=0




10p이다 답 I ②





M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④



B

C

F

O

D

E




angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6



=36 답 I ①





+을 하면






=2_6=12 답 I 12




각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다


=(-3 -1)




=(a-c b-d)





=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10



|다른 풀이|






(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

II 평면벡터 17









이므로 OQsup3는



인 원이므로



(2 0) (-2 0)

이때 A(2 0) A(-2 0) 1

-1

-2 2FFA A

O

P

x

y



=FOtildePsup3





there4 FPOacute=3












-_2를 하면






3

-3

-3 3Q

O

P

x

y

x+y=9



m+4n=4 답 I ②



므로




2mUcirc`+3m-5n=9 yy

_2-_3을 하면

-19m+19n=-19

there4 n=m-1 yy



(m+1)(m-2)=0

there4 m=2 (∵ mgt0) n=1 (∵ )











k=-2 m=2 답 I 2




=OYsup3+AOsup3




답 I ④







(01~40)1단원(해설)indd 17 15 7 14 오전 1038

18 정답과 해설








=에서 2K=1-l 1-k=3L there4 k=5$ l=5




01 ② 02 2 03 ② 04 ① 05 7 06 ⑤

07 ④ 08 ② 09 ③ 10 3 11 ④ 12 ③











OPsup3=3 OAsup3







12(m-n)=12_1ordf2=2 답 I 2





는 점이므로

PBC=3ABC

=3_12=4

답 I ②


=(-2m-n m+3n)


(-2m-n m+3n)=(-1 -7)

there4 -2m-n=-1 m+3n=-7






(x-1 -3)=(2 y+1)









8+x14137 -1-3 12-2x141317 1=(-5 y)

즉 (x-4 -4)=(-5 y)이므로

x-4=-5 -4=y there4 x=-1 y=-4




=2(-2 3)+(2 -1)=(-2 5)



B C

P

A

(01~40)1단원(해설)indd 18 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 19





(5k+1)(k-1)=0





=(t+2 t-1)


=(2t+1 2t-3)





는다 답 I ③






OAB=2_3_2=3 답 I 3





=(2x-2 2y-2)











O

B

A3

2

y

x


이다 이때







함한 내부이다


A(4 0) B(2 23)이므로





O

2Acirc3

y

x2

P

B

A4

01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 21 05 9 06 ②

07 ① 08 ① 09 ④ 10 ③



하면





이므로 m=5$ n=5

there4 100mn=100_5$_5=16 답 I ③








(01~40)1단원(해설)indd 19 15 7 16 오후 208

20 정답과 해설




x-y-2z=1 답 I ⑤




(xUcirc`+2x 3x+y-1)=(4x+3 2x-y+8)


[xUcirc`-2x-3=0 yy

`` x+2y=9 yy

에서 (x-3)(x+1)=0 there4 x=3 (∵ xgt0)


3+2y=9 there4 y=3

there4 3x+4y=9+12=21 답 I 21


t(7 5)=(x 1)+(2 y)=(x+2 y+1)


x+214137 =

y+114135 there4 x=5amp(y+1)-2



x=5amp_(4+1)-2=5



=(x+1 -x-2)














=(-1 -1)



= 41422

(-1 -1)

=(-22 -22)따라서 x=-22 y=-22이므로

x+y=-42 답 I ①











|다른 풀이|













점이다 이때




OB

B

A

A

P

Q

6

3 2

12 4-1-2

y

x



B CP 32

A

(01~40)1단원(해설)indd 20 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 21


01 ② 02 29 03 6 04 ④ 05 ⑤ 06 ④

07 ⑤ 08 ③ 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ②



aoslash+2boslash=(-1 3)+2(2 1)=(3 5)


답 I ②



=2xy+3(x+y)+9

=2xy+3_4+9 (∵ x+y=4)

=2xy+21 yy


의하여


there4 xyEacute4

따라서 에서




angBAC=90ugrave




형이므로



=2_23_ 31442 =6 답 I 6






=4 답 I ④















=9_2Ucirc`-6_1+(2)Ucirc`=32



2aoslash-boslash=2(2 -1)-(5 -5)=(-1 3)


하면



= -5141325 10

=-21442







= 5141345 10

=21442


답 I ③


B

2Acirc3 4

C

ΩA







(01~40)1단원(해설)indd 21 15 7 14 오전 1038

22 정답과 해설


=614411

23_4=3144 4 이므로


Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①



(x+1 2) thinsp(1 -x)=0




라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3



(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3




=(x+6 y-2)



x(x+6)+y(y-2)=0




10p이다 답 I ②





M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④



B

C

F

O

D

E




angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6



=36 답 I ①





+을 하면






=2_6=12 답 I 12




각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다


=(-3 -1)




=(a-c b-d)





=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10



|다른 풀이|






(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

18 정답과 해설








=에서 2K=1-l 1-k=3L there4 k=5$ l=5




01 ② 02 2 03 ② 04 ① 05 7 06 ⑤

07 ④ 08 ② 09 ③ 10 3 11 ④ 12 ③











OPsup3=3 OAsup3







12(m-n)=12_1ordf2=2 답 I 2





는 점이므로

PBC=3ABC

=3_12=4

답 I ②


=(-2m-n m+3n)


(-2m-n m+3n)=(-1 -7)

there4 -2m-n=-1 m+3n=-7






(x-1 -3)=(2 y+1)









8+x14137 -1-3 12-2x141317 1=(-5 y)

즉 (x-4 -4)=(-5 y)이므로

x-4=-5 -4=y there4 x=-1 y=-4




=2(-2 3)+(2 -1)=(-2 5)



B C

P

A

(01~40)1단원(해설)indd 18 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 19





(5k+1)(k-1)=0





=(t+2 t-1)


=(2t+1 2t-3)





는다 답 I ③






OAB=2_3_2=3 답 I 3





=(2x-2 2y-2)











O

B

A3

2

y

x


이다 이때







함한 내부이다


A(4 0) B(2 23)이므로





O

2Acirc3

y

x2

P

B

A4

01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 21 05 9 06 ②

07 ① 08 ① 09 ④ 10 ③



하면





이므로 m=5$ n=5

there4 100mn=100_5$_5=16 답 I ③








(01~40)1단원(해설)indd 19 15 7 16 오후 208

20 정답과 해설




x-y-2z=1 답 I ⑤




(xUcirc`+2x 3x+y-1)=(4x+3 2x-y+8)


[xUcirc`-2x-3=0 yy

`` x+2y=9 yy

에서 (x-3)(x+1)=0 there4 x=3 (∵ xgt0)


3+2y=9 there4 y=3

there4 3x+4y=9+12=21 답 I 21


t(7 5)=(x 1)+(2 y)=(x+2 y+1)


x+214137 =

y+114135 there4 x=5amp(y+1)-2



x=5amp_(4+1)-2=5



=(x+1 -x-2)














=(-1 -1)



= 41422

(-1 -1)

=(-22 -22)따라서 x=-22 y=-22이므로

x+y=-42 답 I ①











|다른 풀이|













점이다 이때




OB

B

A

A

P

Q

6

3 2

12 4-1-2

y

x



B CP 32

A

(01~40)1단원(해설)indd 20 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 21


01 ② 02 29 03 6 04 ④ 05 ⑤ 06 ④

07 ⑤ 08 ③ 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ②



aoslash+2boslash=(-1 3)+2(2 1)=(3 5)


답 I ②



=2xy+3(x+y)+9

=2xy+3_4+9 (∵ x+y=4)

=2xy+21 yy


의하여


there4 xyEacute4

따라서 에서




angBAC=90ugrave




형이므로



=2_23_ 31442 =6 답 I 6






=4 답 I ④















=9_2Ucirc`-6_1+(2)Ucirc`=32



2aoslash-boslash=2(2 -1)-(5 -5)=(-1 3)


하면



= -5141325 10

=-21442







= 5141345 10

=21442


답 I ③


B

2Acirc3 4

C

ΩA







(01~40)1단원(해설)indd 21 15 7 14 오전 1038

22 정답과 해설


=614411

23_4=3144 4 이므로


Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①



(x+1 2) thinsp(1 -x)=0




라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3



(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3




=(x+6 y-2)



x(x+6)+y(y-2)=0




10p이다 답 I ②





M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④



B

C

F

O

D

E




angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6



=36 답 I ①





+을 하면






=2_6=12 답 I 12




각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다


=(-3 -1)




=(a-c b-d)





=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10



|다른 풀이|






(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

II 평면벡터 19





(5k+1)(k-1)=0





=(t+2 t-1)


=(2t+1 2t-3)





는다 답 I ③






OAB=2_3_2=3 답 I 3





=(2x-2 2y-2)











O

B

A3

2

y

x


이다 이때







함한 내부이다


A(4 0) B(2 23)이므로





O

2Acirc3

y

x2

P

B

A4

01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 21 05 9 06 ②

07 ① 08 ① 09 ④ 10 ③



하면





이므로 m=5$ n=5

there4 100mn=100_5$_5=16 답 I ③








(01~40)1단원(해설)indd 19 15 7 16 오후 208

20 정답과 해설




x-y-2z=1 답 I ⑤




(xUcirc`+2x 3x+y-1)=(4x+3 2x-y+8)


[xUcirc`-2x-3=0 yy

`` x+2y=9 yy

에서 (x-3)(x+1)=0 there4 x=3 (∵ xgt0)


3+2y=9 there4 y=3

there4 3x+4y=9+12=21 답 I 21


t(7 5)=(x 1)+(2 y)=(x+2 y+1)


x+214137 =

y+114135 there4 x=5amp(y+1)-2



x=5amp_(4+1)-2=5



=(x+1 -x-2)














=(-1 -1)



= 41422

(-1 -1)

=(-22 -22)따라서 x=-22 y=-22이므로

x+y=-42 답 I ①











|다른 풀이|













점이다 이때




OB

B

A

A

P

Q

6

3 2

12 4-1-2

y

x



B CP 32

A

(01~40)1단원(해설)indd 20 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 21


01 ② 02 29 03 6 04 ④ 05 ⑤ 06 ④

07 ⑤ 08 ③ 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ②



aoslash+2boslash=(-1 3)+2(2 1)=(3 5)


답 I ②



=2xy+3(x+y)+9

=2xy+3_4+9 (∵ x+y=4)

=2xy+21 yy


의하여


there4 xyEacute4

따라서 에서




angBAC=90ugrave




형이므로



=2_23_ 31442 =6 답 I 6






=4 답 I ④















=9_2Ucirc`-6_1+(2)Ucirc`=32



2aoslash-boslash=2(2 -1)-(5 -5)=(-1 3)


하면



= -5141325 10

=-21442







= 5141345 10

=21442


답 I ③


B

2Acirc3 4

C

ΩA







(01~40)1단원(해설)indd 21 15 7 14 오전 1038

22 정답과 해설


=614411

23_4=3144 4 이므로


Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①



(x+1 2) thinsp(1 -x)=0




라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3



(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3




=(x+6 y-2)



x(x+6)+y(y-2)=0




10p이다 답 I ②





M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④



B

C

F

O

D

E




angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6



=36 답 I ①





+을 하면






=2_6=12 답 I 12




각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다


=(-3 -1)




=(a-c b-d)





=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10



|다른 풀이|






(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

20 정답과 해설




x-y-2z=1 답 I ⑤




(xUcirc`+2x 3x+y-1)=(4x+3 2x-y+8)


[xUcirc`-2x-3=0 yy

`` x+2y=9 yy

에서 (x-3)(x+1)=0 there4 x=3 (∵ xgt0)


3+2y=9 there4 y=3

there4 3x+4y=9+12=21 답 I 21


t(7 5)=(x 1)+(2 y)=(x+2 y+1)


x+214137 =

y+114135 there4 x=5amp(y+1)-2



x=5amp_(4+1)-2=5



=(x+1 -x-2)














=(-1 -1)



= 41422

(-1 -1)

=(-22 -22)따라서 x=-22 y=-22이므로

x+y=-42 답 I ①











|다른 풀이|













점이다 이때




OB

B

A

A

P

Q

6

3 2

12 4-1-2

y

x



B CP 32

A

(01~40)1단원(해설)indd 20 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 21


01 ② 02 29 03 6 04 ④ 05 ⑤ 06 ④

07 ⑤ 08 ③ 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ②



aoslash+2boslash=(-1 3)+2(2 1)=(3 5)


답 I ②



=2xy+3(x+y)+9

=2xy+3_4+9 (∵ x+y=4)

=2xy+21 yy


의하여


there4 xyEacute4

따라서 에서




angBAC=90ugrave




형이므로



=2_23_ 31442 =6 답 I 6






=4 답 I ④















=9_2Ucirc`-6_1+(2)Ucirc`=32



2aoslash-boslash=2(2 -1)-(5 -5)=(-1 3)


하면



= -5141325 10

=-21442







= 5141345 10

=21442


답 I ③


B

2Acirc3 4

C

ΩA







(01~40)1단원(해설)indd 21 15 7 14 오전 1038

22 정답과 해설


=614411

23_4=3144 4 이므로


Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①



(x+1 2) thinsp(1 -x)=0




라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3



(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3




=(x+6 y-2)



x(x+6)+y(y-2)=0




10p이다 답 I ②





M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④



B

C

F

O

D

E




angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6



=36 답 I ①





+을 하면






=2_6=12 답 I 12




각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다


=(-3 -1)




=(a-c b-d)





=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10



|다른 풀이|






(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

II 평면벡터 21


01 ② 02 29 03 6 04 ④ 05 ⑤ 06 ④

07 ⑤ 08 ③ 09 ① 10 ① 11 ④ 12 ②



aoslash+2boslash=(-1 3)+2(2 1)=(3 5)


답 I ②



=2xy+3(x+y)+9

=2xy+3_4+9 (∵ x+y=4)

=2xy+21 yy


의하여


there4 xyEacute4

따라서 에서




angBAC=90ugrave




형이므로



=2_23_ 31442 =6 답 I 6






=4 답 I ④















=9_2Ucirc`-6_1+(2)Ucirc`=32



2aoslash-boslash=2(2 -1)-(5 -5)=(-1 3)


하면



= -5141325 10

=-21442







= 5141345 10

=21442


답 I ③


B

2Acirc3 4

C

ΩA







(01~40)1단원(해설)indd 21 15 7 14 오전 1038

22 정답과 해설


=614411

23_4=3144 4 이므로


Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①



(x+1 2) thinsp(1 -x)=0




라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3



(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3




=(x+6 y-2)



x(x+6)+y(y-2)=0




10p이다 답 I ②





M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④



B

C

F

O

D

E




angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6



=36 답 I ①





+을 하면






=2_6=12 답 I 12




각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다


=(-3 -1)




=(a-c b-d)





=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10



|다른 풀이|






(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

22 정답과 해설


=614411

23_4=3144 4 이므로


Ucirc`=1314244

따라서 에서

ABC=2_23_4_1314244

=39 답 I ①



(x+1 2) thinsp(1 -x)=0




라고 하면 (x+1 -4)=k(1 2)

x+1=k -4=2k

there4 k=-2 x=-3



(-2 -4) thinsp(2 2-y)=0

-4-4(2-y)=0 there4 y=3




=(x+6 y-2)



x(x+6)+y(y-2)=0




10p이다 답 I ②





M-m=48 답 I ⑤

01 ⑤ 02 ① 03 12 04 ③ 05 ③ 06 ③

07 ④ 08 ② 09 ② 10 ④



B

C

F

O

D

E




angBAD=3Ograve

|ABsup3|=ABOacute=6



=36 답 I ①





+을 하면






=2_6=12 답 I 12




각각 P(a+3 b+1) Q(c+3 d+1)이다


=(-3 -1)




=(a-c b-d)





=ac+bd+3(a+c)+(b+d)+10



|다른 풀이|






(01~40)1단원(해설)indd 22 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

II 평면벡터 23




=3_3_2=2( yy









=-3 aoslash+boslash




=19 답 I ③







=2

1411_1=2










A

B C

F

D E

ba

3


(∵ |aoslash|+0)

=-2


답 I ④








2aUcirc`-3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0










m+4(2m-1)-8=0

2 m=pound4pound






라고 하면 (a 6)=k(2 3)

a=2k 6=3k

there4 k=2 a=4

또 두 직선 x-114412 = y-214413 x+31441b = 3-y14414 가 서로 수직


(2 3)acute(b -4)=0

2b-12=0 there4 b=6


(01~40)1단원(해설)indd 23 15 7 14 오전 1038

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

24 정답과 해설








aoslash=(6t 0)





dx144dt

=1+cos t dy144dt

=-sin t










dx144dt

=3tUcirc` dy144dt

=-4tUcirc`



=[3tUuml`]4=105 답 I ①


dx144dt


=2 cos t+3 sin t





=[13t]Egrave)=13p



dx144dt

=t-3 dy144dt

=2para3t



v(t)= f (t)=6t+t(



there4 a(3)=6- 9143Ucirc`=5 답 I 5



v(4)=2p이므로




f(4)=4 cos 4p-6Ograve=4_ 31432 =23 답 I ④


v(t)= f (t)=e`-2t

a(t)= f (t)=e`-2


e`-2=0 e^ =2 there4 t=ln 2


v(ln 2) =eln 2-2 ln 2

=2-2 ln 2=2(1-ln 2) 답 I ②


dx144dt

=4t+1 dy144dt

=2t+2


voslash=(4t+1 2t+2)





dx144dt

=3tUcirc`-5 dy144dt

=para15


평면 운동08

01 5 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ④ 06 2

07 ① 08 13 09 ② 10 ② 11 ④ 12 4


(01~40)1단원(해설)indd 24 15 7 14 오전 1038

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

II 평면벡터 25






(a+9)(a-3)=0






=[2xUcirc`+4ln x]e



-ln 2


=-ln 2


=-ln 2


` dx


=2 답 I ④













ln 2

ln 2

ln 2

ln 2

01 ④ 02 ① 03 10 04 ③ 05 ② 06 3

07 ④ 08 15 09 ③ 10 ③



v(t)= f (t)= 10-2t14412210t-tUcirc`


10-2t14412210t-tUcirc`

=0 10-2t=0 there4 t=5


f(5)=ln(10_5-5Ucirc`)=ln 25 답 I ④


하면







속도는


=6Ograve-3_ 31442 =6Ograve-31446 답 I ①


dx144dt

=2t-1 dy144dt

=t-3


voslash=(2t-1 t-3)










dx144dt

=tUcirc`+1 dy144dt

=2t

(01~40)1단원(해설)indd 25 15 7 14 오전 1038

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

26 정답과 해설








dx144dt

=-sin t dy144dt

=cos t+sin t


voslash=- 31442 2+ 31442





aoslash=-2 2- 31442


=31444 +[2

2

- 31442 2

]

=-2+31441124 답 I ②


dx144dt

=a-a sin t dy144dt

=a cos t











dx144dt

=t dy144dt=2- 1144

2tUcirc`





=[2T- 11442t]e

=2E-2Aacutee-1-4

= 2eUcirc`-3e-2144111244e 답 I ④


dx144dt









there4 10l=10_2=15 답 I 15


dx144dt

=4 dy144dt

=t-t$




=2`thinspt+t$dt

=[2tUcirc`+4 ln t]2

=2+4 ln 2-2






=)a`(xUcirc`+1)dx

=[3xUuml`+x]a)

=3aUuml`+a=12




(01~40)1단원(해설)indd 26 15 7 14 오전 1038



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039



공간도형09

01 ③ 02 1 03 ② 04 18 05 ② 06 49

07 1 08 ⑤ 09 1 10 24 11 ② 12 108




a=90ugrave













= 2144223

=31443













A

4

B C

Ω DM

E

O4

A3

B

C

D

M NΩ

A

M NHΩ

3Acirc3-23Acirc3-2

3-2


=4

14422331222

=31446 답 I ②












=2_6_6=18 답 I 18



E라고 하면


40=2_10_AEOacute

there4 AEOacute=8





=8_2=4 답 I ②







2_1_2=2_5_HIOacute



7514425


A

3

C

D6

B

H

A

10BC

H E

D30aelig

21

3

DA

B

C

H

E F

GI

(01~40)1단원(해설)indd 27 15 7 14 오전 1038

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

28 정답과 해설


2

M

CD

H G















a=108 답 I 108

Ω aring60aelig



















= 3144262

=21444 답 I ⑤











에서


=22144242

=2



ABC=31444 _8Ucirc`=163


사영의 넓이는

ABC_cos 30ugrave=163_ 31442 =24 답 I 24

O

9

6

ΩA B

CH

E

D

AB

CD

H

I

Ω

E F

G

44

2Acirc6

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ① 05 ② 06 15

07 5 08 ③ 09 ⑤




ㄱ l

m

n

ㄴ

l

aring

m

ㄷ aring

intl

ㄹ aring

int ccedilaring

int ccedil












(01~40)1단원(해설)indd 28 15 7 14 오전 1038

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

















=2_6_5=15 답 I 15









므로




=31446 이므로







D라고 하면





A

B

C

D

E6

5

3

H

Q

6

P RΩ

2Acirc3

6

4`cm

EB

D

A

C

6`cm

4`cm

Ω












으므로 angFCO=h




=32144225

=3101442210 답 I ③



고 하면













=21442

=21444 답 I ①







D

A B

C

H

E F2

2

4

GO

Ω

AB

CD1

Acirc3

1H

E F

GIΩ

aring

A

B

C

P

4

6H

(01~40)1단원(해설)indd 29 15 7 14 오전 1038

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

30 정답과 해설









OAB cos h=PAB yy


OAB= 31444 _12Ucirc`=363


PAB=4 ABCD

=4_12Ucirc`=36


cos h= 31443


PAB cos h=36_ 31443 =123 답 I ⑤

공간좌표10

01 3 02 ① 03 ③ 04 ① 05 ④ 06 ⑤

07 ③ 08 ③ 09 6 10 ① 11 9 12 ①



점 B의 좌표는

B(-b 3 1)



2=-b a=1


a-b=1-(-2)=3 답 I 3


여 대칭이므로

a=-c b=-3 yy


R(2 0 0)이므로 c=2

에서 a=-c=-2

there4 a+b-c=(-2)+(-3)-2=-7 답 I ①



Q(a+1 a-1 a)


점 S의 좌표는

S(-b c -2)


a+1=b a-1=-c a=2


a+b+c=4 답 I ③

04 점 P(0 3 0)과 점 A(-1 1 a) 사이의 거리는


점 P(0 3 0)과 점 B(1 2 -1) 사이의 거리는





점 Q의 좌표는

Q(-2 2 3)


표는

R(2 -2 -3)


=68=217 답 I ④





이라고 하면

B(-2 3 -2)




=49=7


07 두 점 A(a 1 3) B(a+6 4 12)에 대하여 선분 AB


1_(a+6)+2_a144211111241+2 1_4+2_114421124341+2 1_12+2_31442112221+2

B

B

A

Pxy평면

(01~40)1단원(해설)indd 30 15 7 14 오전 1038


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039


there4 (a+2 2 6)


a+2=5 6=b


a+b=9 답 I ③



1_c+2_31442122121+2 =0 there4 c=-6



1_a-2_21442122121-2 =0 1_b-2_11442122121-2 =0


a+b+c=0 답 I ③



P(2 3 0) Q(0 3 4) R(2 0 4)


G 2+0+214421223 3+3+014421223 0+4+414421223

there4 G3$ 2 3


a+b+c=6 답 I 6


름의 길이는





a+b+c+d=-4 답 I ①















01 ① 02 ② 03 4 04 ② 05 13 06 ③

07 ② 08 7 09 ⑤ 10 ③



A

Oy

z

xB

CH



H(2 2 0)



A(4 0 0) B(4 4 0) C(0 4 0)




=3_4Ucirc`_3=16 답 I ①

02 두 점 A(2 1 -3) B(3 -1 2)의 xy평면 위로의 정

사영은 각각 C(2 1 0) D(3 -1 0)이므로




= 5144230

= 61446 답 I ②

03 세 점 A(2 1 2) B(1 3 4) C(a -1 3)에 대하여



=AtildeaUcirc`-4a+9



a(a-4)=0 there4 a=4 (∵ a+0) 답 I 4




A(3 -4 3)




(01~40)1단원(해설)indd 31 15 7 14 오전 1038

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

32 정답과 해설




aUcirc`+8a-9=0 (a+9)(a-1)=0




(3 0 0) (-3 0 0)

(0 1 0) (0 -1 0)








P 2_(-4)+3_1144212211122+3 2_7+3_(-3)144212211122+3

2_(-2)+3_3144212211122+3

there4 P(-1 1 1)

점 Q의 좌표는

Q 1_4+2_11442122131+2 1_(-3)+2_(-3)14421221311111+2

1_(-3)+2_3144212213111+2

there4 Q(2 -3 1)


이므로

P(-1 1 0) Q(2 -3 0)




P(3 1 3) Q(3 3 1)

R(1 3 1)


표는

3+3+114421223 1+3+314421223 3+1+114421223

there4 3amp 3amp 3



P

OA

A 9

121-3

35

y

z

x

y

z

x

4

4

4O

P

Q

R






A(4 0 4) E(4 0 0)

F(4 4 0) C(0 4 4) D(0 0 4)


P 4+4144222 0+4144222 0+0144222

there4 P(4 2 0)


Q 1_0+3_0144221111+3 1_0+3_4144221111+3 1_4+3_4144221111+3

there4 Q(0 3 4)

즉 세 점 A(4 0 4) P(4 2 0) Q(0 3 4)를 꼭짓


R 4+4+014422123 0+2+314422123 4+0+414422123

there4 R3 3 3


3a+b-c=3_3+3-3=7 답 I 7




C(1 2 3) r=Auml14-k



고 하면




12=8+14-k there4 k=10 답 I ⑤







에 의하여

a+(a+2)=4 a(a+2)=6-rUcirc`


r=3 (∵ rgt0) 답 I ③

2Acirc2 A

C

B

14-k

y

z

x

D

A B

C

HO

EFP

G

Q4

(01~40)1단원(해설)indd 32 15 7 14 오전 1038



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039



점이다


=3 OQsup3 yy

그런데






=|3 OQsup3|Ucirc`


=9$_ 31442 _62Ucirc`=24 답 I 24









(a a+1 -1) thinsp(-2 a-1 -3)=2

-2a+(a+1)(a-1)+3=2









|다른 풀이|






간에 놓으면

O

A B

Q

P

C

D

E F

G

E

F G

Ω

H

A

B C

D

E

F G1`1`1

C1`1`0

H

AO

B

D y

z

x

공간벡터11

01 10 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 24 06 ④

07 2 08 ② 09 ① 10 ② 11 ④ 12 ①




=aoslash+3coslash



답 I 10






답 I ③



PBsup3=(4-x 8-y 6)

PCsup3=(5-x 3-y 7)


따라서







분하는 점이다

이때 A(-2 1 3) B(4 -5 6)이므로 점 P의 좌표는

P 2_4+1_(-2)144221211122+1 2_(-5)+1_1144221211122+1

2_6+1_31442212122+1

there4 P(2 -3 5)


=para38 답 I ③

A B

CD

E F

GH

b a

c

(01~40)1단원(해설)indd 33 15 7 14 오전 1038

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

34 정답과 해설

ACsup3=(1 1 0) AGsup3=(1 1 1)



을 M이라 하고








= 2314426 = 31443 이므로



=6_6_-3=-12 답 I ①

|다른 풀이|






공간에 놓으면


=3+9-24=-12



= 9144129 para18

= 21442




(n-1 -4 -2)=k(m -2 -1)

n-1=km -4=-2k -2=-k

there4 k=2 n=2m+1



(n-1 -4 -2) thinsp(m+1 n -4)=0

(n-1)(m+1)-4n+8=0 yy


A

D

M

6

B

E

CH

Ω

y

z

x

A

Acirc3

3Acirc3

2Acirc6

DMBO

EC

H

(2m+1-1)(m+1)-4(2m+1)+8=0

mUcirc`-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0



m+n=4 또는 m+n=7



(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0


there4 x=2




=2_9-29

=-11 답 I ①

|다른 풀이|


(x -2 1) thinsp(x+1 3x-2 x)=0

x(x+1)-2(3x-2)+x=0 there4 x=2




=5-16=-11

01 9 02 ④ 03 ⑤ 04 48 05 4 06 ⑤

07 12 08 ① 09 ③ 10 ②



(4 1-1)=y(-1 2 x)+z(2-1-3)

=(-y+2z 2y-z xy-3z)

(-y+2z=4 yy

2y-z=1 yy

9xy-3z=-1 yy



2x-9=-1 2x=8 there4 x=4



+(ADsup3+AEsup3)


(01~40)1단원(해설)indd 34 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039




=104 답 I ④

|다른 풀이|






으면

A(0 0 1) C(3 4 1) F(3 0 0) H(0 4 0)


=(3 4 0)


=(3 0 -1)


=(0 4 -1)














3_AFC=3_[ 31444 _(62)Ucirc`]

=63 답 I ⑤






⋮



there4 8

Aacutei=1



A D

F3

4B H y

z

x

EOCG

1

D

ABP

H

CQ

6

E F

G


yy








즉 에서

8

Aacutei=1



그림에서


따라서 에서

|8

Aacutei=1



05 A(2 3 3) B(-1 2 -1) C(3 2 -3)이므로







이때 B(2 3 0) C(0 2 4)이므로



=(-2k+2 -k+3 4k)

또 A(1 0 0)이므로


=(-2k+2 -k+3 4k)-(1 0 0)

=(-2k+1 -k+3 4k)


=(-2k+2 -k+3 4k)



=21kUcirc`-12k+11



답 I ⑤

3Acirc2

O

Aszlig Asect

AinfinAbull

AcentAiexcl

Atrade Apound

P CB

O

(01~40)1단원(해설)indd 35 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

36 정답과 해설






A(4 0 5) B(4 3 5)

C(0 3 5)


=(0 3 5)-(4 0 5)

=(-4 3 0)

HBsup3=(4 3 5)



= -16+914412225_52

=- 72144250 답 I ③


(2k -4 k-2) thinsp(a -1 k)=0



지 않으려면

kUcirc`+2(a-1)k+4+0



D1444 =(a-1)Ucirc`-4lt0


there4 -1ltalt3




D

AB

C8

4

4

OH

E F

GS

Q

R T

P

y

z

x





A(4 0 8) B(4 4 8)

D(0 0 8) E(4 0 0)

F(4 4 0) G(0 4 0)


P(4 0 6)


Q(4 2 8) R(2 0 8)




=(1 -1 -2)


=(-2 2 -8)


=-2-2+16=12 답 I 12




angAOC=60ugrave



a_a_2=3 aUcirc`=6






이므로




=frac34ETH 3214242 Ucirc`- 21442

Ucirc`=2



=3 답 I ①

C

O

Acirc6

A

BM H

D

A B

C

3

4

5

HO

EF

G y

z

x


01 ④ 02 1 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③

07 ⑤ 08 32 09 ④ 10 3 11 ② 12 ①



uoslash=(3 -2 -1)

(01~40)1단원(해설)indd 36 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039




x-1144223 = y-314422-2 = z+114422-1


m-11442233 = n-3144223-2 = 1+1144223-1

there4 m=-5 n=7






즉 1B=4C= -21442-1 에서 b=2 c=8


2+16-2a-7=0 2a=11


there4 2a-b-c=11-2-8=1 답 I 1




C(1 -1 -1)

평면 a는 점 A(2 0 -3)




=(2 0 -3)-(1 -1 -1)

=(1 1 -2)



CAsup3=(1 1 -2)



2+a144222 =1 b12=-1 -3+c1442142 =-1

there4 a=0 b=-2 c=1



x+(y+2)-2(z-1)=0





=(-5 -5 3-a)

Ba`b`cint

aringA2`0`-3

C1`-1`-1


uoslash=(1 -1 1)



(-5 -5 3-a) thinsp(1 -1 1)=0

(-5)_1+(-5)_(-1)+(3-a)_1=0


05 두 직선 x-2144222 =y+3=z+1 -x= 3-y144222 =z-1의 방




= 31442226 6

=2







=2


31434 _12Ucirc`=363


S=363_2=183 답 I ③





(a -2 1) thinsp(a+1 4 a)=0

a(a+1)+(-2)_4+a=0

a Ucirc`+2a-8=0 (a+4)(a-2)=0


08 2-x144222 =-y-1= z+1144223 =t (t는 실수)로 놓으면

x=-2t+2 y=-t-1 z=3t-1


를 P(-2t+2 -t-1 3t-1)로 놓을 수 있다


(-2t+2)+2(-t-1)-3(3t-1)=16

-13t+3=16 there4 t=-1

(01~40)1단원(해설)indd 37 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

38 정답과 해설

there4 P(4 0 -4)






x-2=y-3= z+114422-1

이때 x-2=y-3= z+114422-1 =t (t는 실수)로 놓으면




(t+2)+(t+3)-(-t-1)=0

there4 t=-2

따라서 H(0 1 1)이므로 a=0 b=1 c=1


|다른 풀이|



AHsup3=knoslash



(a-2 b-3 c+1)=k(1 1 -1)



a+b-c=0 yy


(k+2)+(k+3)-(-k-1)=0

3k+6=0 there4 k=-2



uoslash=(1 2 -1)

x-3= y-2144222 =-z-2=t (t는 실수)로 놓으면

x=t+3 y=2t+2 z=-t-2

점 A(3 -1 -2)에서 직선 x-3= y-2144222 =-z-2





(t 2t+3 -t) thinsp(1 2 -1)=0

t+2(2t+3)+t=0 there4 t=-1

there4 H(2 0 -1)

there4 d=AHOacute



11 점 A(1 4 2)가 직선 x+114422a = y-214422

b= z-1144222 위의 점

이므로

1+114422a = 4-214422

b= 2-1144222

there4 a=4 b=4


4x+4y+2z+48=0

there4 2x+2y+z+24=0

따라서 점 A(1 4 2)와 평면 2x+2y+z+24=0 사이

의 거리는





구의 중심 (0 1 -1)과 평면 2x+2y-z+9=0 사이

의 거리는

|2_0+2_1-(-1)+9|11111111111



4-2=2 답 I ①

01 2 02 0 03 ② 04 ② 05 ④ 06 11

07 117 08 ⑤ 09 ④ 10 ①


01 두 점 B(-1 2 0) C(5 -2 4)의 중점 M의 좌표는

-1+514422252 2+(-2)14422212

0+4144222 즉 M(2 0 2)

두 점 A(1 1 1) M(2 0 2)를 지나는 직선 AM의

방정식은

x-1144222-1 = y-1144220-1 = z-1144222-1

there4 x-1= y-114422-1 =z-1


02 l ` x12 =2-y= z+1144223 에서

x12 = y-214422-1 = z+1144223

(01~40)1단원(해설)indd 38 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039


m `3(x+1)=-6y=2(z-2)에서

x+1144222 = y1443-1=

z-2144223





점 (-1 0 2)를 지난다 즉

a_0+b_2-(-1)+1=0에서 b=-1

a_(-1)+b_0-2+1=0에서 a=-1


03 두 점 A(1 1 1) B(2 3 -1)에 대하여 직선 AB의

방향벡터는

ABsup3=(1 2 -2)


noslash=(1 1 -1)



cos 2Ograve-h=sin h

=|(1 2 -2) thinsp(1 1 -1)|14421111111111114


= 51442533

=53144259




61433 답 I ②


uoslash=(1 2 1)



a-3= b+1144222 =c-1=t (t는 실수)에서

a=t+3 b=2t-1 c=t+1 yy




(1 2 1) thinsp(t+2 2t+1 t-1)=0

1_(t+2)+2(2t+1)+1_(t-1)=0

6t+3=0 there4 t=-2


a+b+c=1 답 I ②









uoslash=(0 0 1)



=5 답 I ④





(t+1)+2(3t+2)-(-t)+3=0

8t+8=0 there4 t=-1







1_(x-0)+3_(y+1)-(z-1)=0

there4 x+3y-z+4=0



07 x-1144222 =y+3=-z=t에서




POtildeAsup3 =(2 1 -1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t+1 -t+4 t-1)

PBsup3 =(0 2 1)-(2t+1 t-3 -t)

=(-2t-1 -t+5 t+1)


=(-2t+1)(-2t-1)+(-t+4)(-t+5)

+(t-1)(t+1)

=6tUcirc`-9t+18=6t-4Ucirc`+1171248


8m=117 답 I 117

(01~40)1단원(해설)indd 39 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

40 정답과 해설

08 주어진 세 점 A(1 -2 3) B(3 1 5) C(4 0 1)을


면

(a-2b+3c+d=0 yy

3a+b+5c+d=0 yy

94a+c+d=0 yy

- 을 하면

3a+2b-2c=0 yy

-을 하면

a-b-4c=0 yy



9c+d=0 -b-2c=0

there4 d=-9c b=-2c




=3 답 I ⑤


x-1=y-1= z-2144222 =t (t는 실수)에서

x=t+1 y=t+1 z=2t+2





(t-1)(t+3)=0



(-2 -2 -4)이므로


=para96=46 답 I ④






=3


Acirc3

SP Q

C3












cos h12 =31433 이므로




Acirc3

P Q

C3

Ω-2

(01~40)1단원(해설)indd 40 15 7 14 오전 1039

수학영역 기하와 벡터 정답과...

Documents