chapter 5. - hnuwolfpack.hnu.ac.kr/2010spring/math/ch5_matrix.pdf통계수학 chapter 5. 행렬 |...

통계수학 Chapter 5. 행렬

| 127

행과 열로 이루어진 정사각형 숫자 모임을 행렬이라 한다. 본 장에서는 행렬의 사칙연산과

통계학 적용을 살펴보기로 한다.

5.1 정의

차수가 pn× 인 행렬 pnX × (matrix X of order pn× )라 부른다. i 는 행을, j 는 열을

나타내며 행렬의 간편 기호는 }{ ijpn xX =× 이다. ijx 을 원소(element)라 한다.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=×

npnn

ij

p

p

pn

... x xx

.....x..........

... x xx

... x xx

X

21

22221

11211

열의 차수가 1 인 행렬을 열 벡터(column vector), 행의 차수가 1 인 행렬을 행 벡터(row

vector)라 한다. 일반적으로 벡터라 함은 열 벡터를 의미한다. 벡터의 기호는 열 벡터 x , 행

벡터 'x 로 표시한다.

차수가 p 인 열 벡터

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

px...xx

x 2

1

, 차수가 q 인 행 벡터 [ ]pp ...xxxx 211 =×

행과 열의 차수 모두가 1 인 행렬을 스칼라(scalar)라 한다. 즉 -2, 3, 1.9…… 모든 실수는

행렬에서는 스칼라이다.

5.2 특수한 행렬

5.2.1 정방행렬

행과 열의 차수가 같은 행렬(즉, pn = )을 정방행렬(square matrix)이라 한다.

EXAMPLE 차수 3 인 정방 행렬의 예

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=×

112324232

33

A


| 128

(행렬 차수)

5.2.2 대각행렬

정방 행렬에서 대각선에 위치한 원소를 대각 원소(diagonal element)라 하며 대각 원소를

제외한 모든 원소가 0 인 행렬을 대각 행렬(diagonal matrix)이라 한다. 대각 행렬은 정방

행렬의 특수한 형태이다.

EXAMPLE 차수가 4 인 대각 행렬의 예

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=×

2000000000100001

44D

▣대각합

정방 행렬의 대각 원소의 합을 대각합(trace)이라 하고 ∑==

n

iiiAAtr

1)( 로 정의한다.

EXAMPLE 정방 행렬 예제의 행렬 A 의 대각합은 5122)( =++=Atr 이고, 대각 행렬

예제의 행렬 D 의 대각합은 22011)( =++−=Dtr 이다.

5.2.3 항등행렬

정방 행렬 중 대각 원소가 모두 1 이고 다른 원소는 모두 0 인 행렬을 항등 행렬(Identity

Matrix)라 하고 nI 라 표시한다. 항등행렬은 선형대수(Linear Algebra)의 곱에서 1 의 역할과

동일하다. 행렬대수(matrix algebra)의 역수의 개념은 역행렬(inverse matrix)이며 정방 행렬

A 에 대해 IAAAA == −− 11 가 성립하는 1−A 을 역행렬이라 한다.


| 129

EXAMPLE 차수가 3 인 항등행렬의 예

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

3

I

EXAMPLE 차수가 3 인 항등행렬의 예

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

112324232

A 이면 AAI =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

112324232

100010001

112324232

물론 IA=A 도 성립한다. (곱의 계산방법은 후에 다루기로 한다)

5.2.4 영행렬

행렬의 모든 원소가 0 인 행렬을 영행렬(zero matrix)이라 하며 정방 행렬일 필요는 없다.

EXAMPLE 차수가 43× 인 영 행렬의 예

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=×

000000000000

43O


| 130

5.3 기초 연산

5.3.1 동일

(1)차수가 동일하고 (2)대응 원소가 같으면 두 행렬은 동일(equal)하다고 한다. 즉 BA =이면 ijij ba = , jiallfor , 이다.

EXAMPLE ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=113221

,13

21,

1321

CBA 인 경우

BA = 이나 CA ≠ 이다.

5.3.2 전치

행의 원소를 열로 보내고 열의 원소를 행으로 보내어 만들어진 행렬을 전치 행렬이라 하고

이 과정을 전치(transpose)라 하다. 행렬 pnX × 의 전치 행렬은 npX ×′ 이고 차수는

( np× )이다. 이를 간편 기호로 나타내면 다음과 같다. }{ jixX =′

EXAMPLE

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=×

225112324232

34

X 의 전치 행렬 43×′X 을 구하면

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=′ ×

213221235242

43

X

EXAMPLE 열 벡터

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

242

x 의 전치는 행 벡터 [ ] x 242=′ 이다.

벡터를 사용하여도 되나 행렬에서는 함수 matrix()로 설정하는 것이 편리하다.

EXAMPLE 행 벡터 [ ]011' −=x 의 전치는 열 벡터

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=01

1x 이다.


| 131

▣전치 성질

(1) AA =)''(

5.3.3 대칭행렬

행렬과 전치 행렬이 동일한 행렬, 즉 'AA = ( }{}{ jiij aa =⇔ )인 경우 행렬 A 를 대칭

행렬(Systematic Matrix)이라 한다. 대칭 행렬이 되려면 반드시 정방 행렬이어야 한다.

EXAMPLE

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=×

1 3 23 2 42 4 2

33A 은 대칭행렬이다.

EXAMPLE 항등행렬과 대각 행렬은 대칭행렬이다.

5.4 합 연산

행렬의 합을 구하는 경우 두 행렬의 차수는 동일해야 하며(conformable for addition: 합

연산 적합) 각 행렬에서 대응하는 원소들의 합을 그 위치에 적으면 된다.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++++

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+=+ ××

...b aba...............

...b aba ...baba

... b bb

.....b..........

... b ba

... bbb

... a aa

.....a..........

... a aa

aaa

baBA

nnnnnpnn

ij

p

p

npnn

ij

pijijpnpn

2211

22222121

121111

21

22221

11211

21

22221

11

}{}{

121p12 ...

EXAMPLE 행렬 A, B 에 대해 A+B 를 구하라.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

324242

A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

024212

-

B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+

308450

BA

EXAMPLE 벡터 A, B 에 대해 A+B 를 구하시오.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4 2

a , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

42

b ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+

ba80


| 132

▣합 성질

(1) '')'( BABA +=+ 단, 행렬 A, B 는 합의 연산이 적합하다.

(2) )()()( BtrAtrBAtr +=+ 단, 행렬 A 와 B 는 차수가 같은 정방 행렬이다.

(3)결합법칙(associate law): )()( CBACBA ++=++

5.5 곱 연산

두 벡터를 곱하기 위하여 (열 벡터)x(행 벡터), (행 벡터)x(열 벡터)만 가능하다. 이는 곱의

적합 조건 때문이다. 행렬에서 곱의 적합 조건은 앞 행렬(벡터)의 열의 차수와 뒤 행렬 행의

차수가 동일해야 한다. 곱의 결과는 (앞 행렬의 행 차수)x(뒤 행렬의 열의 차수)인 행렬(벡터,

스칼라)이다. [ i 번째 행]x[ j 번째 열]=[ ),( ji 원소]

5.5.1 (행 벡터)x(열 벡터)

벡터의 곱은 앞 벡터의 열의 원소와 대응하는 뒤 벡터의 행의 원소의 곱을 더한 값을

적으면 된다. 곱이 가능하기 위해서는 앞 행의 차수와 열의 차수는 같아야 하며 행

벡터(1xp 행렬)와 열 벡터(px1 행렬) 곱은 스칼라(1x1 행렬)이다.

[ ] ∑=+++=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=′=

p

iiipp

p

p xaxaxaxa

x

xx

aaaxa1

22112

1

21 KM

K

EXAMPLE

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

101

,321

xa 이면

[ ] 2)1(302111

01

321'

13

31 −=−×+×+×=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

×

×xa


| 133

5.5.2 (열 벡터)x(행 벡터)

열 벡터 열 원소와 행 벡터의 행 원소의 곱을 (앞의 열 벡터 원소 위치) 행, (뒤의 행 벡터

원수 위치) 열로 하여 행렬을 만든다. 앞의 열 벡터와 차수와 뒤 열 벡터 차수는 같을

필요가 없다. 결과는 )( pn× 행렬이다.

[ ]

pnpnnn

p

p

p

n xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

xxx

a

aa

xa

×⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=′

L

M

L

L

KM

21

22212

12111

212

1

EXAMPLE

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

242

a ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

102

1

b ,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

20

1

x 에서 xa′ 와 ′ba 를 구하시오.

[ ] 240220

1242 =++−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=′

xa , [ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=′

204240842042

1021242

ab

그러나 'xa 나 ba' 는 성립하지 않는다.

행렬(벡터)에 스칼라를 곱한다는 것은 모든 원소에 스칼라 배를 하는 것을 의미한다.

EXAMPLE ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 03

630121

3 ,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

402

201

2

5.5.3 (벡터)x(행렬) 혹은 (행렬)x(벡터)

벡터와 행렬을 곱하기 위해서는 앞의 행렬(벡터)의 열의 차수와 뒤 행렬(벡터)의 행렬의

행의 차수는 동일해야 한다. 계산된 행렬의 차수는 앞에 곱해진 벡터(행렬)의 행의 차수와

뒤의 행렬(벡터)의 열의 차수이다.


| 134

벡터

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

na

aa

aM

2

1

와 행렬

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=×

npnn

ij

p

p

pn

... x xx

.....x..........

... x xx

... x xx

X

21

22221

11211

에서 Xa′ 은 다음과 같다.

[ ] pnn

iiji

npnn

ij

p

p

n xa

... x xx

.....x..........

... x xx

... x xx

aaaXa ×=∑=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=′ }{1

21

22221

11211

21 K

만약 pn ≠ 이면 aX 혹은 ′aX 은 존재하지 않는다.

EXAMPLE ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

42

a , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

132101

-

X 인 경우 [ ] [ ]21210132101

42 -

Xa =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=′

EXAMPLE

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

142

a , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

132101

-

X 인 경우 [ ]171142

132101

-

aX =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= 이다.

그러나 ′aX 혹은 Xa 은 존재하지 않는다.

5.5.4 (행렬)x(행렬)

앞 행렬의 열의 차수와 뒤 행렬의 행의 차수가 동일해야 행렬의 곱이 성립하며, 결과는 앞

행렬의 행의 차수와 뒤 행렬의 열의 차수가 된다.


| 135

행렬

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=×

npnn

ij

ppn

... a aa

.....a..........

... a aa

aaa

A

21

22221

11

....

1p12 ...

,

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=×

pqpp

ij

q

q

qp

... b bb

.....b..........

... b bb

... bbb

B

21

22221

11211

...

에 대해 qnAB × 는 다음과 같이

표현된다.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++++

++++++=×

pqnpqnqnpnpnn

pqpqqppqn

babababababa

babababababaAB

LLL

MMM

LLL

22111212111

12121111121121111

이를 간편 기호로 표현하면 }{1∑=

=p

kkjik baAB 이고, AB 의 차수는 qn× 이다.

EXAMPLE 두 행렬의 곱을 구하시오. ( BAAB, 는 성립하지 않는다.)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

201102

A ,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

111001

B

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=′≠⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=′

3122

201102

110101

3212

111001

210012

AB

BA

5.5..5 곱 관련 성질

▣곱 성질 qppn BA ×× ,

(1) BA의 연산이 가능하더라도 일반적으로 BAAB ≠ 이다.

(2) '')'( ABAB = 이 성립한다. (단 곱의 연산이 적합한 경우 가능하다)

(3)A, B 가 대칭 행렬이면 BAABAB =′′=′)(

(4) )()( BAtrABtr = 단, AB 가 정방 행렬일 때만 성립한다.


| 136

▣곱 연산 법칙

(1)결합 법칙(Associate law): )()( CBACBA ++=++ , ABCBCACAB == )()(

(2)배분 법칙(Distribution law): ACABCBA +=+ )( (3)교환 법칙(Communication law): )()( ABBA +=+

▣멱등행렬

MMMM ==2 이면 행렬 M 은 멱등행렬(Idempotent matrix)이다.

M 이 멱등 행렬이면 MM k = ( k 는 양의 정수)이 성립한다.

▣항등벡터

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0

0100

M

ie ( i 번째 원소만 1)를 항등벡터(Elementary vector)라 한다. 즉 항등벡터는 벡터 원소

중 i 번째 원소만 1 이고 나머지는 0 인 벡터이다.항등행렬을 항등벡터로 표현 하면

∑==

n

iiin eeI

1' 이고, 1' =ee i 이다.

▣모든 원소가 1 인 벡터와 행렬

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1

11

1...n , '

nnnn

... ...

...

...

J 11

1111

11111111

1 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

== , 그리고 n=′11 이다.

▣직교 행렬

IAAAA == '' 이면 행렬 A는 직교 행렬(Orthogonal matrix)이라 한다.

5.6 나

앞에서

행렬의

역행렬

5.6.1 행

차수가

행렬

차수가

⎢⎢⎢

⎣

⎡=A

|| =A

=|A|

=|A|

=|A|

이를

|| A =

| ijM

누기 연산

서는 행렬의

의 나누기 연

렬을 논의할

행렬식

가 2 일 경우

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

6437

A 의

가 3 일 경우

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎣

⎡

1098754321

의

210*5*1 +

75

11 11− +)(

14 12− +)(

95

11 11− +)(

확장하면 차

)1(1

in

iija

=−∑=

|를 minor 라

합, 빼기, 곱

연산이 바로

수 있다.

우: ⎢⎣

⎡=

c da b

A

의 행렬식(De

우:

의 행렬식은

38*7*2 +

210775

−+ (

510932

−+ (

410975

−+ (

차수 n 의 행

|| ijji M+ =

라 하고 (−

곱에 대해 설

역행렬(inve

⎥⎦

⎤db

=> A =||

eterminant)

(

은

5*39*4* −

10874

1 21+

)

1831

1 22− +

)

10932

1 12+

)

행렬의 행렬식

)1(1

n

jija

=−∑

|)1 ijji M+

설명하였으나

erse matrix)

bcad −=

은 7|| ×=A

(Wikipedia)

*7*18*5 −

130

1−+ +)(

170

2−+ )(

180

3−+ +)(

식은

|| ijji M+ 이

| 을 cofacto

나 나누기에

)을 구하는

436 =×−×

1*4*29* −

798543 =+

7982132 =+

775321 =+

(

이다.

or 라 한다.

통

대한 연산은

것이다. 정방

30= (scalar 이

710 =

혹은

7 (2 번째 행

(1 번째 열 이

통계수학 Chap

은 언급하지

방 행렬일 경

이다.)

행을 이용) 혹

이용) 모두

pter 5. 행렬

| 137

지 않았다.

경우만

혹은

동일


| 138

5.6.2 행렬식 성질

(1) |||| AA =′ , |||||| BAAB = , |||| BAAB =

(2)행렬 A 의 두 행이 같으면 행렬식은 0 이다.

(3)한 행(열)의 상수를 곱하여 다른 행에 더해도 행렬식 값은 변하지 않는다.

(4)한 행(열)을 다른 행들의 선형 결합으로 표현할 수 있으면 행렬식의 값은 0 이다. (예:

다중공선성)

5.6.3 역행렬

정방 행렬 A 에서 IBAAB == 를 만족하는 행렬 B 를 A 의 역행렬이라 하고 1−A 로

나타낸다.

||1

||11

AadjA

AA ==− [A 원소를 cofactor 로 대치]’ 간단한 예를 들어 설명하기로 한다.

232414321

−=×−×=→⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= AA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−= ++

++

1324

1234

1)1(2)1(3)1(4)1(

''

2212

2111adjA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

=−2/12/3

121324

211A

21

1001

2/12/312

4321

IAA =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=− , 2

14321

2/12/312

IAA =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−

역 행렬이 존재하려면 ①정방 행렬이고 ②행렬식이 0 이 아니어야 한다.


| 139

연립방정식

412

522

=−=−+=−−

wuwvuwvu

을 행렬로 표시하면

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⇔=

415

101211122

wvu

- - -

bxA 와 같다. 연립 방정식의

해는 bAxbAxIbAxAA 1111 −−−− =⇒=⇒= 이다. 행렬 A 의 역행렬만 구하면 해를 구할

수 있다.

▣역 행렬 성질

①역 행렬은 단 하나만 존재(unique)한다.

② ||/1|| 1 AA =− , AA =−− 11)( , )()( 11 ′=′ −− AA , 111)( −−− = ABAB

5.7 통계학 이용

회귀 모형:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⇒+=

np

npnn

p

p

n e

ee

b

bba

xxx

xxx

xxx

y

yy

ebXyM

MMM

2

1

2

1

21

22221

11211

2

1

.1

.1

.1

..

..

..

)(min)()(minminmin1

2 bXXbyXbbXyyybXybXyeeebb

n

i bb i′′+′′−′−′=−′−=∑ ′=

=

위를 b 에 대해 미분하면 yXbXX ′=′ ˆ 이므로 yXXXb ′′= −1)(ˆ


| 140

▣ 행렬 미분

상수 벡터

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

pa

aa

aM

2

1

, 확률 변수 벡터

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

px

xx

xM

2

1

라 하면

(1) axax

=′∂∂ )( (2) aax

x=′

∂∂ )(

(3) xAxAxAxx

′+=′∂∂ )( (A 는 정방 행렬)

(4) 만약 A 가 대칭 행렬이면 xAxAxx

2)( =′∂∂

▣ 단순 회귀분석

Id Y X

1 3 1

2 7 3

3 11 5

4 13 7

5 17 9

6 20 10


| 141

5.6.4 역행렬 성질

(1)역행렬은 unique 하다.

(2) ||/1|| 1 AA =− , AA =−− 11)( , )(A)A( ′=′ −− 11 , 111)( −−− = ABAB

계수와 역행렬

행렬의 계수(rank)는 행렬에서 선형 독립인 행(그리고 열)의 수이고 )(Arank 로 표현한다.

정의(LIN: linearly independent vector): 0...2211 =+++ pp xaxaxa 가 모든 0=ia 일 때만

만족한다면 벡터 pxxx ...,, 21 는 선형 독립(linearly independent) 벡터라 하고, 0 이 아닌 ia

에 대해서 만족한다면 선형 종속(linearly dependent)인 벡터라 한다. 상호 종속인 벡터는

하나의 벡터를 다른 벡터들의 선형 결합으로 표시할 수 있다는 것을 의미한다.

정의(full rank): (nxn)정방 행렬에서 선형 독립인 행(열)의 개수( )(Arank )가 행렬의 차수 n 와

같다면 이 행렬은 full-rank 행렬이라 한다. 즉 nArank nn =× )( 이면 full-rank 이다. 행렬

nnA × 대해 다음과 같다.

역행렬이 존재한다.

full-rank 이다. rank(A)=n

A 는 non-singular 이다.

|A|≠0

Ax=b 의 해가 존재한다.

역행렬이 존재하지 않는다

full-rank 아니다. rank(A)<n

A 는 singular 이다.

|A|=0

Ax=b 의 해가 존재하지 않는다.

chapter 5. - hnuwolfpack.hnu.ac.kr/2010spring/math/ch5_matrix.pdf통계수학 chapter 5. 행렬 |...

Documents