<1∼3학년>영역 2007 교육과정 2009 교육과정

수학적

과정비고

함수

함수와 그래프(1학년)

① 함수의 개념을 이해한다.

② 순서쌍과 좌표를 이해한다.

③ 함수를 표, 식, 그래프로 나타낼 수 있다.

함수와 그래프(1학년)

① 다양한 상황을 표와 식으로 나타내고, 함수의 개념을 이해한다.

② 순서쌍과 좌표를 이해한다.

③ 함수를 그래프로 나타낼 수 있다.

④ 함수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

①

의사소통

④

문제해결

•중영역 통합 : 함수와 함수의 활용을 통합하여 제시

함수의 활용(1학년)

① 함수를 활용하여 실생활 문제를 해결할 수 있다.

일차함수와 그래프(2학년)

① 일차함수의 의미를 이해하고,

그 그래프를 그릴 수 있다.

② 일차함수의 그래프의 성질을 이해한다.

일차함수와 그래프(2학년)

① 일차함수의 의미를 이해하고,

그 그래프를 그릴 수 있다.

② 일차함수의 그래프의 성질을 이해한다.

③ 일차함수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

②

추론,

의사소통③

문제해결

•중영역 통합 : 현행 일차함수의 활용의 ③을 개정 일차함수와 그래프에 통합

일차함수의 활용(2학년)

① 일차함수와 미지수가 2개인 일차방정식의 관계를 이해한다.

② 두 일차함수의 그래프를 통하여 연립일차방정식의 해를 이해한다.

③ 일차함수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

일차함수와 일차방정식의 관계(2학년)

① 일차함수와 미지수가 2개인 일차방정식의 관계를 이해한다.

② 두 일차함수의 그래프를 통하여 연립일차방정식의 해를 이해한다.

②

추론

•중영역명 변경

함수

자연 현상에서 관찰할 수 있는 여러 가지 규칙 중에는 한 값이 변하면 다른 값도 일정한 규칙에 따라 변하

는 것들이 많이 있다. 이러한 규칙을 관찰하고 표현하는 활동은 이 영역의 가장 기초적인 학습 활동이라고 할

수 있으며, 이렇게 얻은 규칙성은 함수 개념으로 발전된다.

함수의 개념은 수학에서 중요한 통합적 아이디어의 하나이다. 두 집합의 원소 사이의 특수한 대응 관계인

함수는 교육과정 전체의 공통된 주제일 뿐만 아니라, 현대 수학 전체를 조직하는 도구이다. 실생활이나 자연

현상에서 흔하게 찾아볼 수 있는 투입과 산출 관계에 대한 수학적 표현은 함수의 전형적인 모습이다. 동적인

변화 현상을 함수로 이해하고 표현할 수 있는 능력은 현대 사회의 경제 현상 및 기술 공학적인 문제 등을 수

학적인 언어로 의사소통할 수 있게 해 준다. 이러한 의사소통 능력은 표, 그래프, 식으로 표현되는 함수의 학습

에서 큰 의의를 갖는다.

함수에 대한 학습은 두 변량 사이의 변화표를 만들어 그 그래프를 그려보거나, 주어진 함수의 성질과 그 그

래프의 특징을 조사하는 등과 같은 수학적 지식의 습득에 국한할 것이 아니라, 실생활을 활용하여 함수 개념

의 효용성을 알게 하는 것이 필요하다.

<1∼3학년>영역 2007 교육과정 2009 교육과정

수학적

과정비고

이차함수와 그래프(3학년)

① 이차함수의 의미를 이해하고,

그 그래프를 그릴 수 있다.

② 이차함수의 그래프의 성질을 이해한다.

이차함수와 그래프(3학년)

① 이차함수의 의미를 이해하고,

그 그래프를 그릴 수 있다.

② 이차함수의 그래프의 성질을 이해한다.

②

추론,

의사소통

용어

와 기호

변수, 함수, 정의역, 공역, 함숫값,

치역, 좌표, 순서쌍, x좌표, y

좌표, 원점, 좌표축, x축, y축,

좌표평면, 제1사분면, 제2사분면, 제3사분면, 제4사분면, 함수

의 그래프, f(x), y= f(x) ,

일차함수, 기울기, x절편, y절

편, 평행이동, 직선의 방정식,

이차함수, 포물선, 축, 꼭짓점,

최댓값, 최솟값

변수, 함수, 함숫값, 좌표, 순서쌍,

좌표, 좌표, 원점, 좌표축,

축, 축, 좌표평면, 제1사분면, 제2사분면, 제3사분면, 제4

사분면, 함수의 그래프, 일차함수, 기울기, 절편, 절편, 평행이동, 직선의 방정식, 이차함수, 포물선, 축, 꼭짓점, 최댓값,

최솟값, ,

•삭제 : 정의역, 공역,

치역(고등학교 이동)

교수

․학습

상의

유의점

① 함수 개념은 실생활에서 한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입한다.

② 함수 개념의 지도에서 대응의 의미는 직관적인 수준에서 다룬다.

③ 두 일차함수의 그래프를 통한 연립일차방정식의 해에 대한 지도는 연립일차방정식의 해가 두 직선의 교점임을 이해하는 정도로 다룬다.

④ 이차방정식의 해와 이차함수의 그래프 사이의 관계는 다루지 않는다.

⑤ 이차함수에서 최댓값과 최솟값은 정의역이 실수 전체인 경우만 다룬다.

① 함수를 도입할 때 정비례와 반비례 이외의 상황을 다룰 수 있다.()

② 함수의 개념은 다양한 상황에서 한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입한다.()

③ 다양한 상황을 표, 식, 그래프로 나타내고, 설명하게 한다.

(, )

④ 다양한 상황을 이용하여 일차함수와 이차함수의 의미를 다룬다.(, )

⑤ 이차함수에서 최댓값과 최솟값은 의 범위가 실수 전체인 경우만 다룬다.()

⑥ 공학적 도구를 활용하여, 함수의 그래프를 그리고 다양한 상황을 해석할 수 있게 한다.(,

, )

①

문제해결

③

의사소통

⑥

추론

1. 함수와 그래프

1.1. 이론적 배경

(1) 좌표의 의미와 그 역사적 개관

Charles C. Pinter는 그의 저서 Set theory에서 순서쌍과 카테시안 곱을 다음과 같이 정의하고 있다.(1) 순서쌍(ordered pair) 순서쌍 (a, b)는 다음과 같이 정의된다. (a, b)={{a}, {a, b}}.

(2) 카테시안 곱(Cartesian product) A와 B가 집합이라고 할 때, 두 집합 A와 B의 카테시안 곱(CArtesian Product)인 A✕B는 ∈ ∈

를 만족하는 순서쌍(x, y)들의 집합으로 정의되며, 기호로 다음과 같이 적는다. A✕B={(x, y)| (∈)∧(∈)}.

(3) 함수함수의 개념은 수학의 가장 기본적인 아이디어 중 하나이며 모든 수학에 관한 논의에 들어가 있기도 하다. 함수와 그 그래프에 관한 비공식적(Unofficial) 정의는 다음과 같다. (1) 집합 A에서 B로의 함수는 모든 ∈에 대해 유일하게 ∈를 대응시키는 규칙이고, 기호로 f : A→B로 적는다. 이때, x와 y사이의 연결성을 나타내기 위해 보통 y=f(x)로 적는다. (2) 함수 f:A→B의 그래프는 순서쌍 y=f(x)를 만족하는 순서쌍 (x,y)의 집합이다.함수와 그 그래프는 본질적으로 하나이고 같은 것이기 때문에 함수를 그래프로 정의하기도 한다.

순서쌍은 2-tuples, 2차원 벡터, 또는 길이가 2인 수열로도 불린다. 3개 이상의 좌표를 갖는 n개의 순서쌍은 점화식 정의로 정의되므로 순서쌍(a, b, c)=(a, (b, c))와 같이 하나의 순서쌍이 다른 하나에 포함되어 있다.순서쌍에 대한 기호적인 성질들은 수학에서의 순서쌍의 역할을 이해하는 것과 같다. 따라서 순서쌍은 기본적인 개념이 되며, 그k 관련된 공리들은 기호적인 성질들이 된다. 이는 1954년에 출판된 N. Bourbaki의 집합론(theory of Set)에서 그 접근 방법이 잘 나타나 있다. 만약 집합론이 수학의 근본이라는데 동의하는 입장이라면 모든 수학적 대상은 몇 종류의 집합으로 정의되어진다는 것으로 본다는 것이다. 순서쌍에 대한 다양한 집합론적 정의들은 다음과 같다. (1) 비너(Norbert Wiener)의 정의(a, b):={{{a},∅,{{b}}}.(2) 하우스도르프(Felix Hausdorff)의 정의 (a, b):={{a, 1}, Pb, 2}}이때, 1, 2는 a, b 다른 대상이다.(3)쿠라토스키(Kuratowski)의 정의1921년 쿠라토스키는 현재 통용되는 순서쌍(a, b)의 정의를 제시하였고 이는 다음과 같다.(a, b):={{a},{a,b}}

이 정의는 처음과 두 번째 좌표가 같은 경우에도 사용되며 이를 살펴보면 다음과 같다.(x, x)={{x},{x,x}}={{x},{x}}={{x}}주어진 순서쌍 p에 대하여 “x가 p의 첫 번째 좌표이다” 라는 성질은 다음과 같이 표현되어 진다. ∀∈ ∈

또한, “x가 p의 두 번째 좌표이다” 라는 성질은 다음과 같이 표현되어 진다.(∃ ∈ ∈) ∧(∀ ∈ ≠ → ∉ ˅ ∉ )

(2) 해석 기하학의 발달

해석 기하학은 기하학의 한 ‘분야’라기보다는 한 ‘방법’이라 할 수 있다. 해석 기하학 개념의 진수는 평면 기하학에 적용하면 실수의 순서쌍과 평면의 점 사이의 대응을 성립시키는 것이다. 그렇게 함으로써 평면의 곡선과 변수가 두 개인 방정식 사이의 대응이 가능하게 되어, 평면의 각 곡선은 명확한 방정식 f(x, y)=0으로 표현되고, 그런 각 방정식에는 평면의 곡선이나 점의 집합이 대응한다. 방정식 f(x, y)=0의 대수적이고 해석적인 성질과 그에 대응하는 곡선의 기하학적 성질 사이에도 이와 유사한 대응이 성립한다. 기하학의 정리를 증명하는 과제는 대수학이나 해석학에서 그에 대응하는 정리로 교묘하게 이전된다. 이러한 방법으로 인해 유명한 대수학적 또는 해석학적인 결과는 예상하지 못했던 새로운 기하학적 결과의 발견을 유도하게 되었다. 그래서 해석 기하학은 기하학에서 문제를 해결하고 새로운 결과를 발견하는 고도로 생산적인 방법으로 밝혀졌다. 해석 기하학이 현재와 같이 고도의 실용적인 형태가 되기 위해서는 대수적 과정과 기호의 발달을 기다려야만 했다. 이에 따라 17세기 프랑스의 두 수학자 데카르트(Ren Decartes, 1596~1650)와 페르마(Pierre de Fermat, 1601?~1665)의 결정적인 공헌을 어쨌든 이 과목의 현대적 정신의 근본적인 기원으로 간주하는 대부분의 역사학자에게 동의하는 것이 훨씬 더 정확할 것으로 보인다. 분명히 이 두 사람이 이 과목에 힘을 실어준 뒤에야 우리에게 친숙한 형태의 해석 기하학이 나타남을 관찰할 수 있다. 이 두 사람의 이런 초기의 공헌ㅇ르 수학의 위대한 순간 중 가장 뛰어난 순간의 하나로 생각할 수 있다.

(3) 함수의 역사

‘함수’라는 용어가 수학에 사용된 것은 17세기였으며, 함수의 개념은 1694년 라이프니츠(Leibniz, G. W.;1646~1716)가 곡선과 관련된 임의의 양, 예를 들어 곡선 위의 점의 좌표, 곡선의 기울기, 곡선의 곡률 반경 등을 나타내기 위해 그와 같은 뜻의 라틴 말로 최초로 도입했던 것으로 보인다. 그 이전에도 프톨레마이오스(Ptolemaeos, K.;85?~165?)가 만든 삼각비의 표에 해당하는 수표가 있었다. 그러나 그것에는 함수 개념의 발달에 필요한 운동, 변화, 무한성이라든지, 두 양 사이의 상관적인 관계를 통한 법칙성의 발견이라는 입장에서 다루고자 하는 의도는 없었다. 또, 르네상스 이후에 코페르니쿠스(Copernicus, N.;1473~1543), 케플러(Kepler, J.;1571~1630), 갈릴레이(Galilei, G.;1564~1642)등은 고대 그리스 수학에서 회피하였던 운동이나 무한은 물론 상관에 대해서도 파악하고자 노력하였다. 그러나 그 결과의 대부분은 관찰이나 실험의 결과였으며 논리적으로 확실히 다루어진 것은 아니었다. 라이프니츠는 ‘변수 x의 값이 변함에 따라서 다른 변수 y가 정해진다면, y를 x의 함수’라고 정의하였고, 함수와 곡선을 같은 것으로 보아 곡선이 함수를 규정한다고 생각하였다. 그 후 1694년에 함수는 방정식에 의하여 표시되는 사실이라고 주장하게 되었고, 함수 관계를 그림이나 식의 어느 쪽으로 나타내어도 무방하다는 입장을 취하게 되었다. 그러나 그의 연구 방법은 주로 기하학적인 것이어서 그림을 통한 직관적인 판

단이 선행되었으므로 논리적 엄밀성이 결여되었고, 증명도 완벽하기 못하였으며 함수라는 용어도 막연하였다. 18세기 들어서서 역학에서 다루는 내용이 광범위해져서 탄성체, 유체와 같은 연속체의 역학과 그에 따른 천체 역학 등이 탄생되었고, 이에 따른 여러 문제를 해결하기 위하여 미적분의 연산에 대한 구조를 최대한으로 활용하기에 이르러 외형적으로는 현재의 해석학과 비슷한 단계까지 발달되었으며, 자연 과학에 있어서 강력한 도구로서의 역할을 하게 되었다. 1718년에 요한 베르누이는 변수와 상수들로 이루어진 임의의 식을 함수로 고려했고, 그보다 약간 뒤에 18세기의 가장 뛰어난 수학자의 한 사람인 오일러(Euler, L.;1707~1783)는 ‘변수와 상수에 의해서 만들어지는 해석적인 식’이라고 함수를 정의하였다. 오일러는 변수와 상수를 포함하는 임의의 방정식 또는 공식을 함수로 간주했다. 오일러의 이런 생각이 초등 수학 과정을 배우는 학생들이 갖고 있는 함수의 개념이다. 오일러는 ‘해석적 식’에 대한 명확한 정의는 내리지 않고, 그 대신에 이를 만드는 데 사용할 수 있는 연산들을 열거했다. 오일러 자신의 기하학에 대한 관점은 점진적으로 진화했는데, ‘미적분학의 기호’의 머리말에서 다음과 같이 형식적인 식과 관련된 함수에 대한 완전히 다른 정의를 제안했다.

따라서 x가 변하는 양을 나타내면, 어떤 방식으로든지 x에 의존하거나 x에 따라 결정되는 모

든 양을 x의 함수라고 부른다.

기호 f(x)는 처음에는 사용되지 않았는데, 1734년경에 클레로와 오일러가 사용하기 시작했다. 19세기는 종래의 해석적인 함수에 대해 비판적인 시기였다. 라그랑주(Lagrange, J. L.;1736~1813)는 오일러의 생각을 계승하였는데 테일러 전개의 계수를 써서 도함수를 정의하여 미분법을 대수화하려고 시도하였다. 그 후 테일러(Taylor, B.;1685~1731), 매클로린(Maclaurin, C.;1698~1746), 코시(Cauchy, A. L.;1789~1857)등에 의하여 무한급수의 수렴에서 함수라는 말은 급수라는 말과 동의어는 아니고, 하나에서 하나에로 기계적으로 도출되는 값의 집합을 의미하는 것으로 변하였다. 코시는 독립변수와 함수를 다음과 같이 정의하였다. ‘몇 개의 변수 사이에 어떤 관계가 있어서 그 중 한 값을 주면 다른 변수의 값이 정해지는 것은 통상 그 한 변수에 의하여 다른 변수를 나타낸다고 생각한다. 이때, 그 한 변수를 독립변수, 다른 수를 그것의 함수라고 한다.’ 또, 무한소의 개념은 0을 극한으로 갖는 변수라고 규정하여 함수의 연속성을 ‘주어진 한계 내에서 x가 무한소만큼 변할 때, 그에 대응하는 함수 f(x)의 값의 변화도 무한소이며, 함수 f(x)는 이 한계 속에서 연속이라고 한다.’고 설명하고 있다. 디리클레(Dirichlet, P.;1805~1859)는 ‘두 변수 x와 y에 있어서 x의 값을 정하면 그에 따라 y의 값이 정해진 때, y는 x의 함수이다.’라고 함수를 정의하여, 라이프니츠의 함수에 대한 개념을 확대하였고, 함수는 식으로 표현되는 것보다 더 기초적인 개념이라는 데에 처음으로 주목하였다. 그는 분명히 y를 식으로 나타낸다는 종래의 입장을 벗어나 대응이라는 생각을 표면에 드러내고 있다. 이런 과정을 거쳐 현대적인 함수 개념이 정착되었고, 오늘날에는 그 정의를 더욱 발전시켜서 곡선이 먼저이고 그것에 의하여 함수가 정해지는 것으로 생각하게 되었다.

1.2. 교육과정 및 교과서 내용

함수와 그래프

물물 교환에서 전자 화폐로

원시 시대에는 물물 교환으로 생필품을 구하였다. 경제 규모가 확대되면서 화폐를 사용하게 되었고 현대에는 컴퓨터와 통신의 발달과 함께 신용 카드와 교통 카드 등을 사용하는 전자상거래 시대가 되었다.

교통 카드로 일정 구간만을 오갔을 때, 지불한 총 금액은 (구간 요금)×(이용 횟수)로 정해진다.

한편, 지불한 금액과 이용 횟수를 알면 구간 요금을 알 수 있다.

제품 하나의 가격이 정해지면 총 가격은 무엇에 따라 결정될까?

판매한 금액을 알 때, 제품 하나의 가격은 무엇에 따라 결정될까?

세상에서 가장 빠른 자동차는?

인간이 추구하는 자동차 속도의 한계는 얼마일까? 초를 다투는 자동차 경주, 그 중에

서도 최첨단 기술이 모두 동원되는 가장 큰 규모의 자동차 경주는 년 영국에서 출범한

포뮬라 원 (F1)이다.

일정한 속력으로 자동차가 달릴 때, 시간과 달린 거리는 어떤 관계가 있을까?

일정한 거리를 자동차로 달릴 때, 시간과 속력은 어떤 관계가 있을까?

① 다양한 상황을 표와 식으로 나타내고, 함수의 개념을 이해한다.

◦ 다양한 상황을 표와 식으로 나타내고, 함수의 개념을 이해하게 한다.

함수 개념은 다양한 상황에서 한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를

이용하여 도입한다. 대응의 의미는 직관적인 수준에서만 다루고 구체적인 실생활의 예를 표와 식으로 나타내

보게 하는 등의 활동을 통하여 함수 개념을 이해하게 한다. 변수 의 값의 변화에 따라 함숫값 가 변화

함을 이해하게 한다.

우리 사회의 어려운 이웃에게 한 통화에 1000원씩 따뜻한 성금을 전하는 방송 프로

그램이 있다. 이 방송 프로그램에 걸려 온 통화 수를 건, 성금액을 원이라고 할

때, 사이의 대응은 다음 표와 같다.

통화 수 (건) 1 2 3 4 … 10 …

성금액 (원) 1000 2000 … …

위의 빈칸을 알맞게 채워라.

의 값이 하나 정해지면 그에 따라 의 값은 몇 개씩 대응하는가?

이와 같이 두 변수 에 대하여 의 값이 하나 정해지면 그에 따라 의 값이 오직 하나씩 대응하

는 관계가 있을 때, 는 의 함수라고 한다.

② 순서쌍과 좌표를 이해한다.

◦ 평면 위에서의 점의 위치를 좌표로 나타낼 수 있게 한다.

본초자오선이란 런던

의 구(舊) 그리니치

천문대

(현재 케임브리지로

이전)

의 자오선을 말한다.

구 그리니치 천문대

의 자오선은 1884년

국제 협정에 의하여

지구의 경도의 기준

선으로 채택되었다.

다음은 본초자오선과 적도를 기준으로 각각 씩 나누어 지구를 평면 위

에 나타낸 지도이다.

점 P에서 적도에 내린 수선이 적도와 만나는 점 Q는 점 O에서 동쪽으

로 몇 도 떨어져 있는가?

점 P에서 본초자오선에 내린 수선이 본초자오선과 만나는 점 R는 점 O

에서 북쪽으로 몇 도 떨어져 있는가?

점 P는 점 O로부터 어느 위치에 놓여 있다고 할 수 있는가?

평면 위에 있는 점의 위치는, 기준점을 잡고 그 점에서 직교하는 2개의 수직선을 좌표축으로 정하여 가로의

수직선을 축, 세로의 수직선을 축이라 하고, 그 평면 위의 점에 순서쌍 를 대응시킴으로써 나타낼 수

있게 한다. 이 때, 좌표, 순서쌍, 축, 축, 좌표축, 원점, 좌표, 좌표, 좌표평면, 제1사분면, 제2사분면, 제3

사분면, 제4사분면의 뜻을 이해하게 한다. 또, 순서쌍에서 와 가 같지 않음을 알게 한다.

◦ 좌표를 좌표평면 위의 점으로 나타낼 수 있게 한다.

좌표가 주어졌을 때 그 좌표에 대응하는 점을 좌표평면에 나타낼 수 있게 하고, 역으로 좌표평면 위의 점이

주어졌을 때, 그 점의 좌표를 구할 수 있게 한다.

③ 함수를 그래프로 나타낼 수 있다.

◦ 함수의 그래프의 뜻을 이해하게 하고, 간단한 함수의 그래프를 그릴 수 있게 한다.

함수에서 변수 와 이에 대응하는 함숫값 로 만들어진 변화표를 이용하여 순서쌍 를 좌표로 하는

점을 좌표평면 위에 나타내는 활동을 통하여 함수 의 그래프의 뜻을 이해하게 한다. ,

(≠ ) 등의 함수의 그래프를 그려보고, 의 값의 변화에 따라서 달라지는 그래프의 성질을 이해하

게 한다.

분짜리 모래시계를 번 계속 사용하면 분을 잴 수 있다.

모래시계를 번 계속 사용하여 잰 시간을 분이라고 할 때, 다음 표를 완성해 보자.

위 에서 구한 개의 순서쌍을 오른쪽 좌표평면 위에 나타내어 보자.

위 에서 좌표평면 위에 나타낸 점들은 어떤 배열을 이루는지 말해

보자.

중장비 대를 사용하면 일만에 마칠 수 있는 공사가 있다.

매일 중장비 대를 사용하여 공사를 마칠 때까지 걸리는 일수를 라고 하자. 다음 표를 완성해

보자.

위 에서 구한 개의 순서쌍을 오른쪽 좌표평면 위에 나타내어 보자.

위 에서 좌표평면 위에 나타낸 점들은 한 직선 위에 있는가?

어떤 변화를 하는지 추측해 보자.

◦ 주어진 그래프를 보고 함수의 식을 구할 수 있게 한다.

주어진 그래프를 보고 함수의 식을 구할 수 있게 하고, 함수를 나타낸 표, 식, 그래프의 관계를 이해할 수

있게 한다. 또, 표나 식으로 나타낸 함수를 그래프로 나타낼 수 있게 한다.

④ 함수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

실생활의 간단한 소재 중에서 함수 관계가 있는 것을 찾아보고, 실생활 문제를 함수를 활용하여 해결할 수

있게 한다.

▶ 함수를 활용한 문제 해결 과정

변화하는 두 양을 , 로 정한다.

두 양 , 사이의 관계를 함수 로 나타

낸다.

함숫값이나 그래프를 이용하여 구하려는 값을 찾

는다.

구한 값이 주어진 조건에 맞는지 확인한다.

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 서로 다른 원기둥 모양의 용기가 3개 있다. 이 용기에 일정하게

물을 받을 때, 시간을 분, 용기 속의 물의 높이를 cm라 하고 다음 물음에 답하여라.

1. 시간이 1분 지났을 때, 용기 속의 물의 높이가 가장 높은 것은 어느 것인가?

2. 각 용기별로 와 사이의 그래프가 아래와 같을 때, 각 그래프에 해당하는 용기를 말하여라.

다음 글은 이솝 우화에 나오는 토끼와 거북이의 경주에 대한 것이다.

햇볕이 따뜻하게 비치는 어느 봄날 토끼가 거북이에게 다가가서 말을 걸었습니다.

“느림보 거북아, 안녕! 우리 중 누가 더 빠른지 경주해 보자. 저기 보이는 산꼭대기까지 누가

먼저 올라가는지 시합하는 거야.”

“좋아, 한 번 해 보자.”

“자, 그럼 시작하자. 준비, 출발!”

토끼는 깡충깡충 힘차게 뛰었습니다. 한참 동안 열심히 달리던 토끼는 어느새 산 중턱에 도

착했습니다. 뒤를 돌아다보니, 거북이가 산 아래에서 엉금엉금 기어오는 것이 보였습니다.

“어휴! 저 느림보 거북이 좀 봐! 아직도 저 밑에 있네. 여기까지 오려면 한참 걸리겠지? 그

럼 시원한 나무 그늘 밑에서 조금 쉬었다 갈까?”

“아-함, 아! 졸려!” 토끼는 풀밭에 누웠습니다. 그리고는 이내 잠이 들었습니다.

한편 거북이는 땀을 뻘뻘 흘리며, 산 위를 향해 엉금엉금 기어갔습니다. 이마에는 땅이 비

오듯이 흘러내렸습니다. 쉬지 않고 산을 오르던 거북이는 어느덧 산꼭대기 바위 근처까지 왔습

니다.

그것도 모르고 쿨쿨 잠을 자던 토끼가 잠에서 깨어났습니다.

“아아아-함. 아! 잘 잤다. 여기가 어디지?”

기지개를 펴던 토끼는 갑자기 거북이와의 경주가 생각났습니다. 거북이가 산꼭대기에 있는

바위 가까이 기어가고 있는 것이 보였습니다. 놀란 토끼는 빨개진 눈을 동그랗게 떴습니다.

“어이쿠! 큰 일 났네! 빨리 가야지.”

토끼는 있는 힘을 다해서 힘껏 뛰어 산꼭대기에 도착했습니다. 그러나 거북이는 이미 바위

위에 올라서서 두 손을 번쩍 들고 만세를 부르고 있었습니다.

오른쪽 그래프는 시간이 지남에 따라 토끼와 거북이가 달린 거

리를 나타낸 것이다. 물음에 답하여라.

1. 토끼가 달린 거리를 나타내는 그래프는 어느 것인가?

2. 토끼는 몇 분 동안 잤는가?

3. 거북이의 속력은 분속 얼마인가?

4. 만일 토끼가 잠을 자지 않고 처음 10분과 같은 속력으로 계속 달렸다면 출발한 지 20분 후에는 거

북이보다 몇 km 앞섰겠는가?

컴퓨터 활용 | 프로그램으로 함수의 그래프를 그려 보자.

함수의 그래프를 그려 주는 프로그램을 이용하면

함수의 그래프를 쉽게 그릴 수 있다.

오른쪽 그림과 같은 화면 메뉴를 갖는

프로그램을 기준으로 여러 가지 함수의 그래프를

그려 보자.

함수의 그래프 그리기

함수의 그래프를 그려 주는 프로그램을 이용하여 함수 ≠의 그래프와 함수

≠의 그래프를 좌표평면 위에 그릴 수 있다.

|보기| 함수 와

의 그래프를 그려 보자.

입력 막대에 를 입력한다.

입력 막대에 를 입력한다.

컴퓨터 프로그램을 이용하여 함수 와

의 그래프를 그려 보자.

1.3. 교수학습 참고자료

함수의 뜻함수(函數)라는 용어에서 ‘함(涵)’자는 상자라는 의미를 나타낸다. 즉, 함수는 하나의 값 x를 넣으면 다른 값y가 나오는

상자에 비유될 수 있다. 예를 들어 함수 f(x)=2x는 오른쪽 그림과 같이 어떤 값 x를 넣으면 이 값 x에 2배를 해주어 2x

로 만들어 주는 상자와 같은 것이다.

이러한 함수라는 용어는 예 우리나라에서는 ‘따름수’라고 불렀고, 일본에서 관수(関数)라는 이름으로 사용된다.

생활속의 함수4명이 사다리타기 게임으로 돈을 내어 간식을 먹기로 했을 때, 사다리타기 게임도

함수이다. 사다리 타기에서 위의 각 항목에 따라 사다리 아래의 항목이 하나씩 정

해지기 때문이다. 이때, 사다리타기는 1:1대응인 함수들의 합성함수로 생각할 수

있다. 이는 (1, 2, 3, 4)의 치환(Permutation) 과 함수 f:{1,2,3,4} →

{100, ..., 4000}를 이용하여 ∘∘ ∘∘로 표현할 수 있기 때

문이다.

또한, 대한민국의 국적을 가지고 태어난 사람은 출생과 동시에 주민등록번호가 부여되는데, 사람과 주민등록 번호 사이

의 대응관계도 함수의 실생활 예이다.

[그래프를 그릴 수 있는 컴퓨터 프로그램]

함수의 그래프를 그릴 수 있는 컴퓨터 프로그램에는 GSP(Geometric Sketch Pad), GrafEq, Equation Grapher 등 여러

가지가 있다. 다음은 각각의 프로그램에 대한 설명이다.

* GSP : 기하 학습이나 함수의 그래프를 학습할 때, 사용할 수 있는 프로그램으로 도형의 자취나 성질을 역동적인 시각

화를 통해 학습하고 탐구할 수 있다는 장점을 가지고 있다.

* GrafEq : 중고등학교는 물론 대학교 calculus 과정의 모든 형식의 그래프와 부등식의 영역을 표현하는 즉각적이고, 융

통성이 있고, 엄밀한 소프트웨어이다. 즉, 모든 방정식의 그래프와 부등식의 영역을 단순히 식만 타이핑하여 표현할 수

있다.

* Equation Grapher : 함수식을 넣으면 해당하는 그래프를 그려주는 소프트웨어로 다항함수와 삼각함수, 역함수 등을

손쉽게 그릴 수 있고 그 값도 찾을 수 있어 함수의 그래프를 그리거나 탐구할 때 용이하다.

[쌍곡선]

함수 ≠의 그래프는 매끄러운 두 곡선의 쌍으로 표현된다. 이러한 함수의 그래프와 같은 모양의 곡선을

쌍곡선이라고 한다. 쌍곡선의 일반적인 정의는 ± ≠≠이고, 이의 점근선은 ±

이다. 중

학교 1학년 과정에서 배우는 쌍곡선인 함수 y=

의 그래프와

±꼴의 쌍곡선의 관계를 살펴보면 다음과

4

2

-2

-4

-5 5

같다.

쌍곡선 ±의 그래프의 두 점을 (x, y)라 두고, 이 점을 양의 방향으로 회전한 그래프의 두 점을 (x’,

y’)이라 하면, cossin

sin cos

′′이다. 이를 정리하여 나온 식 x=

′′ 와 y=

′′ 를 식

±에 대입하면 x’y’=±을 얻는다. 즉, 일반적인 형태의 쌍곡선의 도형의 방정식

± ≠≠은 회전변환을 이용하여 xy=a꼴의 함수로 표현할 수 있다.

쌍곡선은 선대칭 도형? 점대칭 도형?]

함수 와 y=x, y=-x의 그래프를 종이에 그려보면 오른쪽 그림과 같다.

이때, 함수 y=x와 y=-x의 그래프를 접는 선으로 하여 접어보면 의 그래프가

포개어진다. 즉,

의 그래프는 선대칭 도형임을 알 수 있고, 그 축은 함수 y=x

와 y=-x의 그래프라는 사실을 알 수 있다. 마찬가지로, a<0인 경우에도 함수

의 그래프는 함수 y=x와 y=-x의 그래프에 대해 대칭이 된다.

또한, 함수 의 그래프는 원점O에 대해 대칭이 되므로 점대칭 도형이다.