이점 대각 근사화 기법을 이용한 차체 구조 최적 설계

Vehicle Structural Optimization Using Two-Point Diagonal Quadratic Approximation

박 정 률 *, 김 민 수 *, 김 종 립 * *, 최 동 훈 * * *

Jeong Lyul Park, Min Soo Kim, Jong Rip Kim, Dong Hoon Choi

ABSTRACT

In this paper, Two-Point Diagonal Quadratic Approximation is used to optimize beam sections

of vehicle structure. Vehicle structure is modeled using beam and shell elements with 148 design

variables defined the thickness and the shape variables of beam sections. The joint stiffness is

modeled as a function of a section size and shape. We get a suitable sensitivity datum about major

modes using the mode tracking strategy. Design objective is to minimize the weight of the full

vehicle while avoiding the resonance frequencies of the major modes such as the 1st and 2nd

bending modes and the 1st torsion mode. For efficient approximation, sectional properties and the

joint rates are used as the intermediate variables. MSC/NASTRAN is employed for design

sensitivity and normal mode analyses. The proposed method can reduce 8.8 kg of the weight while

satisfying all the frequency constraints.

주요기술용어 : Section property(단면계수), Joint stiffness(결합부 강성), Mode tracking(모드 추적),

Shape Optimization(형상최적설계), Two-point Diagonal Quadratic Approximation(TDQA:이점 대각

근사화 기법), Design sensitivity(설계민감도)

1. 서 론

자동차의 골격을 이루는 필라부는 보 구조물로 형성되는데, 이들 보 구조물은 차체의 정적⋅동적 특

성에 결정적으로 기여한다. 이러한 보 구조물의 특성은 보의 단면형상과 판의 두께, 크기에 의해 결정

되며, 또한 필라, 로커, 루프레일 등이 만나는 결합부의 강성은 차량의 동적 거동에 상당한 영향을 미

친다. 초기 단계의 차체설계에서는 저주파수 영역의 진동모드를 고려하는데, 주로 보 요소와 셀 요소로

이루어진 유한 요소 모델을 사용하는데, 필라, 로커, 루프레일 등은 보 요소로, 나머지 판재 부분은 셀

요소로 모델링된다. 특히, 보 요소가 만나는 결합부는 유연성의 확보를 위하여 스프링 요소를 이용하여

모델링한다.

* 최적설계신기술연구센터 ** 한양대학교 대학원 기계설계학과 *** 한양대학교 기계공학부

본 연구에서는 차체 구조 최적설계를 위하여 차체 주요 골격 부재인 필라의 단면계수를 계산[1-3]

하고, 그에 따른 결합부 강성의 근사치를 계산[4]하고, 유한 요소 해석을 위하여 MSC/NASTRAN 을

사용한다. 최적 설계를 위한 근사화 기법은 이점 대각 근사화 기법인 TDQA[5-6]를 적용하였다. 반복

적인 해석 루틴에서 차체 주요 모드에 대한 동일한 모드의 민감도 데이터를 얻어내기 위하여 모드 추

적 기법을 적용하였다.

설계변수는 단면형상에 대한 Scale vector와 각 판재의 두께가 사용되었고, 단면계수, 즉 면적, 관

성모멘트, 비틀림 상수와 결합부 강성을 중간 매개 변수로 사용하였다. 목적함수는 중량의 최소화이고,

차체 주요 모드의 주파수에 대해 공진영역을 피하여 설계가 이루어지도록 구속조건을 설정하였다.

2. 차체 구조 최적설계

본 연구에서는 차체의 주요 진동 모드의 공진을 피하여 차체 필라 단면의 크기와 형상을 설계하기

위하여 최적설계 기법을 도입한다. 아래 Fig.1에서는 필라 단면의 최적설계를 위한 전체적인 흐름을 표

현하였다. 근사 최적화는 이점 대각 근사화 기법인 TDQA를 적용하였으며, 진동 해석을 위하여

MSC/NASTRAN을 사용하였다. 반복되는 유한 요소 해석에서 단면의 크기와 형상이 변경되고 결합부

강성이 달라지게 되므로 SECTION이라 명명된 프로그램 모듈에서 변경된 MSC/NASTRAN 해석을 위

한 입력 데이터를 다시 생성하게 된다. 이러한 데이터에 의해 해석된 MSC/NASTRAN의 결과 파일에

서 설계 민감도를 추출하게 되는데, 초기 주요 모드와 일치하는 모드의 설계민감도를 구하기 위하여

모드 추적 기법을 사용하였다.

Fig. 1 Flow for Vehicle Structural Optimization

2.1 설계변수 및 중간 매개 변수의 정의

본 연구에서 유한 요소 해석을 위하여 사용되는 MSC/NASTRAN에서는 보 구조물의 단면계수를

이용하여 해석을 수행한다. 그러나, 보 구조물의 단면계수는 설계변수로 사용될 수 없으므로, 단면을

이루는 각 판재의 두께(ti)와 Fig. 2에서 정의된 Scale Vector(SVi) 및 Scale Vector의 방향각을 설계변

수로 하고, 단면계수 및 결합부 강성을 중간매개변수로 설정하여 해석을 수행한다. 단면의 형상 변경을

위한 설계 변수의 정의 방법은 총 3종이 있으며, 현재는 2종의 설계 변수 정의 방법을 동시에 고려하

여 설계가 가능하도록 프로그래밍하였다.

Fig. 2 Type of Design Variables for Section

2.2 결합부 강성

차체의 골격을 이루는 필라부는 차체의 동적 거동에 많은 영향을 미치며, 특히 결합부의 회전강성

(Rotational Stiffness)은 차량의 고유 진동수 및 진동 모드 형상에 많은 영향을 미친다. 이러한 결합부

강성을 고려하기 위하여 보 요소의 교차점을 가상의 회전 스프링을 사용하여 모델링하고 있다.

Fig. 3 Basic Concept for Approximating Joint Stiffness

설계변수의 값의 변경에 따라 단면의 크기나 형상이 달라지므로, 결합부 강성도 달라지게 된다. Fig.3

에 도시한 바와 같이, 본 연구에서는 단면적 및 단면계수의 변화가 고려되는 결합부 강성 모델을 사용

함으로써, 이를 적절히 표현할 수 있었다.

2.3 모드 추적 기법

차체의 주요 진동 모드는 1, 2차 굽힘 모드 및 1차 비틀림 모드이다. 초기 해석에서 관심 모드에 해

당하는 민감도 데이터를 추출하는데, 설계변수가 변경된 해석의 결과에서도 초기 관심 모드와 일치하

는 모드의 민감도 데이터를 추출하여야 한다. 동일 모드가 아닌 민감도 데이터를 사용할 경우 원하지

않는 다른 모드에 대해 최적 설계를 진행하게 될 뿐만 아니라, 설계민감도의 연속성에도 문제가 된다.

다음의 사각단면을 가진 외팔보의 진동 해석을 통하여 본 연구에서 채택한 모드 추적 기법의 개념을

설명하고자 한다. 자세한 수치적인 내용은 참고문헌[7]을 참조하기 바란다.

Fig. 4 The 1st , 2nd Normal Mode of Cantilever Beam

먼저, Normal Mode Analysis를 통하여, Fig. 4.의 XY 평면의 1차 굽힘 모드와 XZ평면의 1차 굽힘

모드를 구하였다. MSC/NASTRAN의 SOL 200이 아닌, 외부의 최적화 프로그램을 통하여 XY평면의 1

차 굽힘 모드의 고유 주파수를 변경하는 최적설계를 수행하려면, 이 모드에 대한 설계민감도를 추출하

여 야만 한다.

그런데, 최적화가 진행될 때에도 XY 평면의 굽힘모드가 항상 1st 모드라면 상관 없지만, 설계변수

의 변경에 따라서, Fig. 5에 도시한 바와 같이 모드의 순서가 변경된다면 설계민감도 값도 이에 상응한

것을 추출하여야만 한다. Fig. 5는 사각단면의 면적의 변경에 따라, XY 평면의 1차 굽힘모드와 XZ 평

면의 1차 굽힘 모드의 순서가 바뀌는 상황을 나타낸 것이다. 즉, 7번 해석부터는 초기 해석에서 1st

Mode에 해당하던 XY평면의 1차 굽힘모드가 2nd Mode로 나타나게 된다. 그러므로, 7번 해석부터는,

최적설계에서 XY평면의 1차 굽힘모드의 주파수를 변경하려면 2nd Mode에 해당하는 설계민감도 값을

사용하여야만 한다.

Fig. 6은 사각단면의 면적의 변경에 따른 XY 평면의 굽힘 모드에 대한 설계민감도를 도시한다. 그

림에서 GRAPH 1은 모드 추적 기법을 사용하지 않은 것이고, GRAPH2는 모드 추적 기법을 사용한 것

이다. 그림에서 보듯이, 모드 추적 기법을 적용하지 아니하면 적절한 민감도 데이터를 읽어올 수 없음

을 알 수 있다. 즉 설계민감도의 연속성이 유지되지 않는다.

0.0E+00

5.0E-02

1.0E-01

1.5E-01

2.0E-01

2.5E-01

3.0E-01

3.5E-01

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Iteration

Cyc

les(H

z)

1st Mode

2nd Mode

Fig. 5 Mode Switching with design changes

0.0E+00

5.0E-03

1.0E-02

1.5E-02

2.0E-02

2.5E-02

3.0E-02

3.5E-02

4.0E-02

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Iteration

Sensitiv

ity

GRAPH 1

GRAPH 2

Fig. 6 Comparison of design sensitivity with/without mode tracking

Fig 6의 GRAPH 2를 자세히 보면, 모드의 순서 변경이 있는 7번째 해석에서 다소의 오차가 발생하

는데, 이는 MSC/NASTRAN의 Normal Mode Analysis이 중근의 고유치에서는 해석의 효율을 향상시

키기 위하여, 선형 조합된 모드의 사용을 기본으로 하기 때문이다[8]. GRAPH 2의 결과는 중근의 고유

치를 갖는 모드의 Decoupled 모드를 구하기 위하여 BULK DATA의 입력에서 EIGRL의 MAXSET의

값을 낮추었다. 그럼에도 불구하고, MSC/NASTRAN이 구한 모드가 초기의 XY 평면의 굽힘모드와

MAC 값이 1이 되지 않았다.

GRAPH 2의 오차는 해석된 모드의 오차에 따른 것으로 본다. 이는 고유치에 대한 설계민감도의 정

확도는 모두 형상에 큰 영향을 받기 때문이다[7].

2.4 차체 구조의 최적설계

차체 구조 최적설계를 위하여 Fig. 8과 같은 차체의 유한 요소 모델을 사용하였다.

Fig. 7 F.E. Model for Vehicle Structural Optimization

셀 요소와 보 요소에 의해 유한 요소 모델을 만들고, 차체의 골격을 이루는 필라부 단면 형상과 크

기에 대한 설계변수를 설정하였다. 아래 Fig. 8에 나타낸 것과 같이, 목적함수는 차체 중량의 최소화이

며, 1st, 2nd 굽힘 모드, 1st 비틀림 모드의 주파수를 구속조건으로 최적설계를 수행하였다. 총 148개의

설계변수로 이루어진 문제는 총 아홉번의 반복에 의해 수렴되었으며 그 결과는 Fig.9-Fig.10에 나타내

었다.

Fig. 8 Formulation of Optimization Problem

Objective convergence history of vehicle structure

1350

1360

1370

1380

1390

1400

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Iteration

Wei

ght (

kg)

Fig. 9 Objective convergence history

Max. constraint history of vehicle structure

-0.010

0.000

0.010

0.020

0.030

0.040

0.050

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Iteration

Max

. Con

stra

int V

iola

tion

Fig. 10 Maximum constraint history

3. 결론

MSC/NASTRAN의 Sol 200의 입/출력과 In-House 프로그램 (SECTION, Mode Tracking 및

TDQA)를 연결하여 차체 구조의 최적설계를 수행하였다. 특히, 외부의 최적설계 도구를 위하여, 모드

추적을 안정되게 수행함으로서 최적화의 안정성을 유지할 수 있었다. 그리고, 일반적인 Beam 단면계수

의 계산과 Joint Stiffness의 근사화를 TDQA 근사 최적화와 연결하여, 148개의 설계변수를 갖는 대형

설계문제를 실시간에 해결함으로써, 본 연구의 유용성을 입증하였다.

후기: 본 연구는 한국과학재단 지정 최적설계신기술연구센터의 연구비지원으로 수행되었습니다. 이에

감사드립니다.

참고문헌

[1] C.H. Yoo, Samir V. Acra, “Cross-Sectional Properties of Thin-Walled Multi-Cellular Section”,

Computers & Structures Vol. 22, No.1, pp. 53-61, 1986

[2] Mario Paz, C. Patrick Strehl, Preston Schrader, “Computer Determination of The Shear Center

of Open and Closed Sections”, Computers & Structures Vol. 6, pp. 117-125, 1976

[3] D.W.A. Rees, “Mechanics of Solids and Structures”, McGraw-Hill Book Co. pp. 305-326, 1992

[4] 박정률, 이상범, 임홍재, “차체 구조물 결합부 강성의 근사적 수식화에 관한 연구”, 한국자동차공학

회논문집 제9권 제3호, pp.155-163, 2001

[5] 김민수,전재영,김종립,최동훈,”이점 대각 근사화 기법을 적용한 최적설계”, 대한 기계학회 논문집

(A). vol. 25, No. 9, pp. 1423-1431, 2001.

[6] M.-S. Kim, J.-R. Kim and D.-H. Choi, “Sequential Approximate Optimization Using a New Two-point

Approximation”, WCSMO-4, ISSMO-International Society for Structural and Multidisciplinary optimization,

Dalian, China, 4-8, June, 2001.

[7] www.inopl.com

[8] Grant Sitton, MSC/NASTRAN Basic Dynamic Analysis User’s Guide Version 69, pp. 50-501

and pp. 62-67.