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갈로아이론

(Galois Theory)

정주희(Jeong, Joohee)

Kyungpook National University

2017년 9월 22일. 자연대 101

정주희(Jeong, Joohee) (K.N.U.) 갈로아 이론 2017년 9월 22일 1 / 68

목차

1 Review군

환

체, 정역여러 가지 정역

2 Extenstion Field기본개념

분해체

분리확대

3 Galois Theory갈로아 군

기본 정리와 그 활용


Review 군

군의정의

G = ∅: 공아닌 집합 : G × G → G: G 위의 2항연산

Definition. 다음 조건들이 모두 만족되면 (G, )를 군(Group)이라 한다.

(1) (∀a, b, c)((a b) c = a (b c)) (결합법칙)(2) (∃e)(∀a)(a e = a = e a) (항등원 존재)(3) (∀a)(∃b)(a b = e = b a) (역원 존재)

단 (3)의 e는 (2)에 언급된 e이다.


Review 군

Fact 1. (G, )가 군이면

(1) G의 항등원은 유일하다.(항등원은 1, 또는 0으로 나타내기도 한다.)

(2) 각 a ∈ G의 역원은 유일하다.(역원은 통상 a−1, 또는 −a로 나타낸다.)

Fact 2. 군의 정의 (2), (3)은 각각 아래의 (ii)와 (iii)으로바꾸어도 된다. (one-sided definition)

(i) (∃e)(∀a)(a e = a)(ii) (∀a)(∃b)(a b = e)

Remark. 군 (G, )는 오해의 여지가 없을 때는 간단히 G로나타낼 수 있다.정주희(Jeong, Joohee) (K.N.U.) 갈로아 이론 2017년 9월 22일 4 / 68

Review 군

부분군과동등류

(‘동등류’는 통상 ‘잉여류’라고 한다.)

Definition 1. 군 (G, )의 부분집합 H는 에 의하여 군을 이룰때 부분군(subgroup)이라고 하고 H ≤ G로 나타낸다. (항등원을

원소로 가지고 2항연산과 역원에 대해서 닫혀있으면이 부분군을 이룬다.)

Definition 2. 각 a ∈ G에 대하여 aH def= a h∣∣∣ h ∈ H를 a를

원소로 가지는 H의 좌동등류(left-coset)이라 한다. 우동등류는같은 방법으로 정의된다. 좌동등류와 우동등류를 함께동등류라 한다. (Q: 왜 동등류, 또는 잉여류라고 할까?)

Fact. H의 좌동등류(우동등류)들은 모두 원소의 개수가 |H |이며, 이들은 G의 분할을 이룬다.정주희(Jeong, Joohee) (K.N.U.) 갈로아 이론 2017년 9월 22일 5 / 68

Review 군

몫군(Quotient Group)

Notation. 2항연산 기호는 대신 ∗, ·, +를 쓸 수도 있고,때로는 아예 생략하여 a b를 ab로 쓰기도 한다. +는 2항연산이 교환법칙을 따를 때에 한하여 사용한다.

Definition. H ≤ G가 (∀a ∈ G)(aH = Ha)를 만족할 때 H를 G의정규부분군(normal subgroup)이라 하고 H ◁G로 나타낸다. G의정규부분군 H의 모든 동등류들의 집합을 G/H로 나타낸다.

Fact. G/H는 2항연산 ∗을 (aH ) ∗ (bH ) def= abH로 정의했을 때군을 이룬다. 이러한 군을 몫군(quotient group)또는 인자군이라한다. (환론의 몫환에 대응되는 개념이다.)


Review 군

준동형사상과동형정리

Definition. 군 (G, )에서 군 (G ′, ′)으로 가는 함수

φ : G → G ′

이 아래의 식을 만족할 때 φ를 준동형사상(homomorphism)이라고 한다.

(∀a, b ∈ G)(φ(a b) = φ(a) ′ φ(b))

전단사인 준동형사상을 동형사상(isomorphism)이라 한다.[see 환-준동형사상]

(G, ) = (G ′, ′)인 경우의 동형사상을자기동형사상(automorphism)이라 한다.정주희(Jeong, Joohee) (K.N.U.) 갈로아 이론 2017년 9월 22일 7 / 68

Review 군

Fact. φ : G → G ′가 준동형 사상일 때

(1) φ(1G) = 1G′이고 (∀a ∈ G)(φ(a−1) = φ(a)−1)

)이다.

(2) φ에 의한 G의 부분군(resp. 정규부분군)의 상은 G ′의

부분군(resp. 정규부분군)이고, G ′의 부분군(resp.정규부분군)의 역상은 G의 부분군(resp. 정규부분군)이다.

Definition. φ : G → G ′가 준동형 사상일 때 G ′의 부분군 e′의φ에 의한 역상을 φ의 핵(kernel)이라 하고 kerφ로 나타낸다.(핵은 당연히 G의 정규부분군이다.)


Review 군

Theorem. [제1동형정리] 준동형사상 φ : G → G ′의 핵을 K라하고

φ : G/K → φ(G) ⊆ G ′

을 φ(aK ) = φ(a)로 정의하면 φ는 동형사상이다. [see 환-제1동형정리]


Review 환

Definition 1. S = ∅에 결합법칙을 지키는 2항연산 이주어지면 (S , )를 반군(semigroup)이라 한다. 군 (G,+)의 2항연산 +가 교환법칙을 지키면 G를 가환군, 또는 아벨군이라한다.

R = ∅: 공아닌 집합+, ·: G 위의 2항연산

Definition 2. 다음 조건들이 모두 만족되면 (R,+, ·)를 환(ring)이라 한다.

(1) (R,+)는 가환군이다.(2) (R, ·)는 반군이다. (a · b를 ab로 쓰기로 한다.)(3) (∀a, b, c)(a(b + c) = ab + ac ∧ (a + b)c = ac + bc)


Review 환

Definition. (R,+, ·)가 환일 때 +를 덧셈, ·를 곱셈이라 한다.덧셈의 항등원을 통상 0R, 또는 0으로 나타낸다. 곱셈의항등원이 존재한다면, 이때 이 항등원을 단위원(unity)라 부르고통상 1R, 또는 1로 나타내며, 이때 R을 “단위원을 가지는 환”,또는 “1을 가지는 환”이라고 한다.(∀a, b)(0a = 0 = a0 and (−a)b = −(ab) = a(−b))은 정의로부터 증명할 수 있다.

환의 곱셈이 교환법칙을 만족할 때 이 환을 가환환(commutativering)이라 한다.

Remark. Z,Q,R,C는 모두 단위원을 가지는 가환환이며 2Z는단위원을 가지지 않는 가환환이다. 비가환환의 대표적이예로서, R이 Z,Q,R,C 중 어느 하나일 때 n × n 행렬들의 환Matn(R)이 있다. 이 환들은 단위원을 가진다.


Review 환

다항식(Polynomial)

환 R과 “문자” x가 주어졌을 때, 각 음아닌 정수 n와a0, a1, . . . , an ∈ R에 대하여

a0 + a1x + · · · + anxn def= ∑ni=0 aix i

형태의 “식”을 R상의 n-차 다항식이라고 한다. 어떤 n ≥ 0에대한 n-차 다항식을 R-다항식이라고 한다. 모든 R-다항식들의집합을 R[x ]로 나타낸다.

x를 다항식의 부정원(indeterminate)이라 한다. ai들을

계수(coefficient)라 한다.


Review 환

다항식환(Polynomial Ring)

다항식 간의 곱하기와 나누기는 우리가 잘 알고 있으므로

정의하지 않겠다. 아무튼 R[x ]는 환을 이룬다는 것을 어렵지않게 확인할 수 있을 것이다.

다만 an = 0 = bm일 때

(∑ni=0 aix i) · (∑m

i=0 bix j)

의 차수는 n + m이고 xk의 계수는∑k

i=0 aibk−i임은 잘 알고

있어야 한다.

0차 다항식은 R#의 원소들인 것으로 정의된다. 0R은

0-다항식이라고 부르고 차수가 없는 것으로 정의한다.


Review 환

Fact.

0는 R[x ]의 (덧셈에 관한) 항등원이다.(∀f ∈ R[x ])(0f = 0 = f 0)R이 가환환이면 R[x ]도 가환환이다.R이 단위원 1을 가지면 1은 R[x ]의 단위원도 된다.x ∈ R[x ]는 R이 단위원을 가질 때만 성립한다. 이 경우, R이 비가환환이라해도 x는 R[x ]의 모든 원소와 곱셈의교환법칙이 성립한다.R = Z,Q,R,C이면 R[x ]는 단위원을 가지는 가환환이다.


Review 환

부분환과아이디얼(Subring and Ideal)

Definition. 환 R의 부분집합 S가 R의 2항연산들에 의하여 환을이룰 때 S를 R의 부분환이라고 하고 S ≤ R로 나타낸다. (R의

부분집합은 0을 원소로 가지고, 2항연산들과 +의 역원에 대해서 닫혀있으면이 부분환을

이룬다.)

I ⊆ R이 R의 부분환이고 또한

(∀x ∈ I )(∀r ∈ R)(rx , xr ∈ I )

를 만족하면 I를 R의 아이디얼이라고 하고 I ◁ R로 나타낸다.

Example. 0와 R은 R의 자명한(trivial) 아이디얼이다. 각n ≥ 0에 대해서 nZ def= nz

∣∣∣ z ∈ Z는 Z의 아이디얼이다.


Review 환

Definition. 1을 가지는 환 R의 원소 중에 역원을 가지는 것을단위(unit)라 한다. (가역원(invertible element)이라고 불렀으면 좋았을 텐데.)

Fact 1. 1을 가지는 환 R의 단위들은 곱셈에 대한 부분군을이룬다. 이것을 단위군(group of units)이라고 한다.

Fact 2. 1을 가지는 환 R의 아이디얼 I가 단위를 하나라도가지면 I = R이다.Problem. 환 R의 부분집합 I = ∅가 아이디얼일필요충분조건은

(1) (∀x , y ∈ I )(x − y = I )(2) (∀r ∈ R)(∀x ∈ I )(rx , xr ∈ I )

이다. 이때 (1)에서 x − y 대신 x + y를 쓰면 왜 안 되는가?


Review 환

몫환(Quotient Ring)

몫환은 군론의 몫군에 대응되는 개념이다.

r + I def= r + x∣∣∣ x ∈ I

를 r을 원소로 가지는 I의 동등류라 한다. (이것은 군 (R, +)에서 부분군

I의 동등류와 일치한다.)

동등류들 간의 덧셈 +∗은

(r1 + I ) +∗ (r2 + I ) def= (r1 + r2 + I )

로 (당연히) 잘 정의된다(well-defined). 동등류들 간의 곱셈 ·∗는

(r1 + I ) ·∗ (r2 + I ) def= (r1 · r2 + I )

로 두면 잘 정의됨을 보일 수 있다.정주희(Jeong, Joohee) (K.N.U.) 갈로아 이론 2017년 9월 22일 17 / 68

Review 환

Definition. I의 모든 동등류들의 집합을 R/I로 나타내면(R/I ,+∗, ·∗)는 환을 이루며 이것을 몫환(quotient ring)이라고한다. (몫환을 ‘잉여환’이라고도 한다. ‘자투리환’으로 부르면 어떨까?)

Fact. 환 R의 아이디얼 I가 주어졌을 때,

(1) R이 가환환이면 R/I도 가환환이다.(2) R이 단위원 1을 가지면 R/I는 단위원 1 + I를 가진다.

Example. R이 단위원을 가지는 가환환일 때 ⟨x ⟩ def= xr∣∣∣ r ∈ R

은 x를 원소로 가지는 최소의 아이디얼이다. 이것을 x로생성된 주 아이디얼(principal ideal)이라 한다.


Review 체, 정역

체와정역(Field and Integral domain)

Notation. 환 R에 대하여 R# def= R − 0로 정의한다.

Definition. 가환환 R의 원소 a = 0에 대하여 ab = 0인 b ∈ R#가

존재할 때, a를 0인자(0-divisor)라고 한다.

Example. Z/6Z에서 2 + 6Z와 3 + 6Z는 0인자이고 5 + 6Z는 0인자가 아니다. 5 + 6Z는 단위이다. Z에는 0인자가 존재하지않는다.

Definition. 단위원을 가지는 가환환으로서 0인자를 가지지 않은것을 정역(integral domain)이라 한다.


Review 체, 정역

Definition. R#이 곱셈에 대하여 군을 이루는 환 R을나눗셈환(division ring)이라고 한다. 가환 나눗셈환을 체(field)라한다.

Fact.

(1) 나눗셈환에서 1 = 0이다.(2) 나눗셈환은 정역이다.

Definition. 부분체(subfield)와 부분정역(subdomain)은 당연한방법으로 정의된다.


Review 체, 정역

Fact. 체 F의 부분집합 S는 다음의 조건들을 만족할 때면이부분체이다.

(1) S − 0 = ∅(2) (∀a, b ∈ S)(a − b ∈ S)(3) (∀a, b ∈ S#)(ab−1 ∈ S)

Example. p ∈ N이 소수일 때 아이디얼 pZ def= P는 다음과 같은성질을 가진다.

(1) (∀a, b ∈ Z)(

ab ∈ P → (a ∈ P or b ∈ P))

(소 아이디얼, prime

ideal)

(2) I가 Z의 아이디얼이고 P ≤ I ≤ Z이면 I = P이거나I = Z 둘 중의 하나가 성립한다. (극대아이디얼, maximal ideal)


Review 체, 정역

소아이디얼과극대아이디얼

Definition. 가환환 R의 아이디얼 P ⫋ R은

(∀a, b ∈ R)(ab ∈ P → a ∈ P or b ∈ P)

를 만족할 때 소 아이디얼(prime ideal)이라고 한다.

환 R의 아이디얼 M은

(∀아이디얼 I ◁ R)(I ≥ M → I = M or I = R)

를 만족할 때 극대 아이디얼(maximal ideal)이라고 한다.


Review 체, 정역

Fact 1. 단위원을 가지는 가환환 R의 아이디얼 I가 소아이디얼인 것은 R/I가 정역일 필요충분조건이다.

Fact 2. 단위원을 가지는 가환환 R의 아이디얼 I가 극대아이디얼인 것은 R/I가 체일 필요충분조건이다.

Example.Z[x ]/⟨x ⟩는 정역이다. 하지만 체는 아니다.Z[x ]/⟨x , 2⟩. Z[x ]/⟨x , 5⟩. Z[x ]/⟨x , 6⟩은 어떤가?Z[x ]/⟨x2 + 1⟩는 어떤가?


Review 체, 정역

환-준동형사상과환-동형정리

Definition. 환 R에서 환 R′으로 가는 함수로서 곱셈과 덧셈을

보존하는 것을 환-준동형사상(ring homomorphism)이라고 한다.전단사인 환-준동형사상을 환동형사상(ring isomorphism)이라한다. [see 군-준동형사상]

Fact. 환-준동형사상 φ : R → R′이 주어졌을 때, φ(0R) = 0R′

이고, 모든 r ∈ R에 대해서 φ(−r) = −φ(r)이다. R과 R′이

단위원을 가진 환일 때 φ(1R) = 1R′일 수 있다. 하지만 φ가

환-동형사상이면 반드시 φ(1R) = 1R′이다.


Review 체, 정역

Fact. 환-준동형사상 φ : R → R′과 S ⊆ R이 주어졌을 때

(1) S ≤ R이면 φ(S) ≤ R′이다.(2) S ◁ R이면 φ(S) ◁ φ(R) ≤ R′이다.

Problem 1. 환-준동형사상의 역상에 대하여 위의 Fact와 같은명제를 찾고 증명해 보라.

Problem 2. 위 Fact의 (2)에서 φ(S)가 R′의 아이디얼이 아닌

예를 찾아 보라.

Theorem. [제1동형정리] 환-준동형사상 φ : R → R′의 핵 kerφ,즉 φ−1(0R′) def= K는 R의 아이디얼이고, R/K ∼= φ(R)이다. [see

군-제1동형정리]


Review 체, 정역

Example 1. 몫환의 중요한 예 몇 개를 아래에 보였다.

(1) Z/nZ ∼= Zn

(2) Z[x ]/⟨x ⟩ ∼= Z(3) R[x ]/⟨x2 + 1⟩ ∼= C

Example 2. 다음은 환-준동형사상의 중요한 예이다: 가환환 T와 부분환 R ≤ T 및 α ∈ T가 주어졌을 때, f ∈ R[x ]에 x = α를

대입하여 계산한 값을 f (α)로 나타내기로 한다.

φα : R[x ] → T , φα(f ) = f (α)

는 환-준동형사상이다. φα(R[x ]) def= R[α]로 나타낸다.

Problem. Z[√

2]의 단위의 예를 들어 보라.


Review 체, 정역

분수체(Field of Quotient)

정역 D가 주어졌을 때 집합 D × D# 위의 관계 ∼을

(a, b) ∼ (c, d) def⇔ ad = bc

로 정의하면 ∼은 동등관계이다.

동등류 (a, b)/∼ def= x ∈ D × D#∣∣∣ x ∼ (a, b)를 a

b로 나타내기로

하고 모든 ab들의 집합을 D로 나타낸다.

ab ,

cd ∈ D의 합과 곱을 각각

ab + c

d = ad + bcbd ,

ab · c

d = acbd

로 정의하면 (D,+, ·)는 체를 이룬다. 이 체를 정역 D의분수체(field of quotient)라 정의하고 qf(D)로 나타낸다.정주희(Jeong, Joohee) (K.N.U.) 갈로아 이론 2017년 9월 22일 27 / 68

Review 체, 정역

환의표수(Characteristic)

Definition. 환 R에 대하여

(∀a ∈ R)(na = 0)

를 만족하는 자연수 n이 존재할 때, 이러한 최소의 수를 R의표수(characteristic)라 하고 char(R)로 나타낸다. 위 식을만족하는 n이 존재하지 않을 때는 R의 표수를 0으로 정의한다.

Fact 1. 정역의 표수는 0, 또는 소수이다.

Fact 2. F를 체라 하자. char(F) = p이면 Zp는 F의 어떤부분환과 환-동형이다. char(F) = 0이면 Z는 F의 어떤부분환과 환-동형이다.


Review 여러 가지 정역

ED, PID, UFD

Definition 1. 정역 D는 아래의 성질을 가질 때유클리드 정역(ED)이라 한다:

어떤 함수 D# → N ∪ 0가 존재하여

(1) (∀a, b ∈ D#)(δ(a) ≤ δ(ab))(2) (∀a ∈ D, b ∈ D#)(∃q, r ∈ D) (may not be unique)(

a = bq + r and (r = 0 or δ(r) < δ(b)))

Example 1. Z는 ED이다.

Definition 2. 정역 D의 모든 아이디얼이 주 아이디얼일 때 D를 주 아이디얼 정역(principal ideal domain)라 한다.

Example 2. Z는 PID이고 Z[x ]는 PID가 아니다. ⟨x, 2⟩



Fact. ED이면 PID이다.

Definition. 정역 D의 원소 a, b에 대하여 a가 b의 약수(또는인수)라는 것은

a = 0 and (∃c)(ca = b)

를 의미하며 a | b로 나타낸다.

a ∈ D# − UD가

(∀b, c ∈ D)(a = bc → b, c ∩ UD = ∅)

를 만족할 때 a를 기약(irreducible)이라 한다. (명사는 ‘기약원’)



Definition. 정역 D의 원소 a에 대하여 a와 어떤 단위와의 곱을a의 동반자(associate)라 한다. b가 a의 동반자일 때 a ≈ b로나타낸다. Z에서 n의 동반자는 n,−n 2개가 있다. 왜냐하면UZ = 1,−1이기 때문이다.

Fact 1. 동반자 관계 ≈는 동등관계이다. D가 정역일 때UD = u ∈ D

∣∣∣ u ≈ 1이다.

Fact 2. D가 정역일 때 다음이 성립한다.

(1) a ∈ D# − UD가 기약일 필요충분조건은

(∀b, c ∈ D)(a = bc → b ≈ 1 or c ≈ 1)

(2) 기약원의 동반자는 기약원이다.



Fact. D가 정역일 때 모든 a, b ∈ D#에 대해서 다음의 셋은

모두 동등하다.

(1) a ≈ b(2) a | b and b | a(3) ⟨a⟩ = ⟨b⟩

Definition. 정역 D가 아래의 조건을 만족할 때

(1) D# − UD의 모든 원소는 (1개 이상의) 기약원들의 곱으로표현된다.

(2) 임의의 기약원 π1, . . . , πn, β1, . . . , βm에 대해서,π1π2 · · · πn = β1β2 · · · βm이면 n = m이고, 또한 (필요하다면 βi

들의 순서를 바꾸면) (∀i)(πi ≈ βi)이다.유일인수분해 정역(UFD)이라고 한다.정주희(Jeong, Joohee) (K.N.U.) 갈로아 이론 2017년 9월 22일 32 / 68


Definition. 정역 D의 원소 p = 0에 대하여, ⟨p⟩가 소아이디얼일 때 p를 소원(prime element)이라 한다.

Fact 1. 정역 D에서 다음이 성립한다.

(1) p ∈ D#가 소원일 필요충분조건은

p ≈ 1 and (∀a, b ∈ D)(p | ab → p | a or p | b)이다.

(2) 소원은 기약원이다.

Fact 2. PID D에서는 p ∈ D에 대해서 다음은 모두 동등하다.

(1) p는 소원이다.(2) p는 기약원이다.(3) ⟨p⟩는 극대 아이디얼이다.



Fact. PID는 UFD이다. (이 사실의 증명은 그리 쉽지 않다.)그리고

ED ⫋ PID ⫋ UFD ⫋정역

이다.

Example. UFD가 아닌 정역의 예로는 Z[√

5i]가 있다. 이 환에서6 = 2 · 3 = (1 +

√5i)(1 −

√5i)이다.

PID가 아닌 UFD의 예로 Z[x ]가 있다. (UFD임의 증명은 쉽지않다.)

ED가 아닌 PID의 예로 R과 Z[(1 +√

19i)/2]가 있다. (R이 ED가 아님의 증명은 쉽지 않다. Z[(1 +

√19i)/2]가 ED가 아님의

증명, PID임의 증명은 둘 다 쉽지 않다.)



다항식환의성질

Fact. 정역 D와 D[x ], 그리고 체 F와 F [x ]에 대해서 다음의사실이 성립한다.

(1) D[x ]는 정역이다.(2) f , g ∈ D[x ]#에 대해서 deg fg = deg f + deg g(3) UD[x] = UD

(4) UF [x] = F#이다.(5) f ∈ F [x ]#가 기약일 필요충분조건은 “f가 두 양의 차수

F -다항식의 곱이 아니다.”이다.(6) 모든 1차 F -다항식은 기약이다.



Theorem. [(유일) 나눗셈 알고리듬] F가 체이고 f , g ∈ F [x ],f = 0이면

g = fq + r , (r = 0 or deg r < deg f )

인 q, r ∈ F [x ]가 유일하게 존재한다.

Definition. 위의 정리에서 q를 몫, g를 나머지라 한다.

Fact. F가 체이면,

(1) F [x ]는 ED이다. (따라서 PID이고 또한 UFD이다.)(2) I = 0가 F [x ]의 아이디얼이고 f ∈ I #가 I #의 원소 중에

최소 차수이면 I = ⟨f ⟩이다.



나머지정리와인수정리

Definition. R이 가환환, f ∈ R[x ]일 때 f (a) = 0를 만족하는a ∈ R을 f의 근(root)이라 한다.

Fact 1. [나머지정리] F가 체, f ∈ F [x ], a ∈ F일 때 f를 x − a로나눈 나머지는 f (a)이다.

Fact 2. [인수정리] F가 체, f ∈ F [x ], a ∈ F일 때 (x − a) | f일필요충분조건은 f (a) = 0이다.

Fact 3. 차수가 2 또는 3인 다항식 f ∈ F [x ]가 기약일필요충분조건은 f가 F에서 근을 가지지 않을 것이다.

Fact 4. f ∈ F [x ]#의 차수가 n이면 근의 개수는 n 이하이다.



최대공약수

Definition. 정역 D의 원소 a1, . . . , an이 주어졌을 때 모든 ai의

약수를 공약수라 한다. 공약수 중에 모든 공약수의 배수인 것을(이러한 것이 존재한다면) 최대공약수(gcd)라 하고 gcd(a1, . . . , an)으로나타낸다.

Fact. 하나의 집합 a1, . . . , an에 최대공약수 2개 존재한다면 이둘은 동반자이다. 따라서 ≈를 법으로 gcd는 유일하다.

Fact. UFD의 임의의 원소들은, 그들 중에 0 아닌 것이하나라도 있다면 최대공약수를 가진다. (not that easy)



Fact. F가 체이고 f , g ∈ F [x ] 중 적어도 하나가 0이 아니라면,

(1) gcd(f , g)는 f , g의 공약수 중 최대차수인 모닉다항식(최대차수 항의 계수가 1인 다항식)이다.

(2) gcd(f , g) = fu + gv인 u, v ∈ F [x ]가 존재한다.



기약다항식

Definition. K가 Z, Z[x ], Q[x ] 중 하나라고 하자. f ∈ Z[x ]가 K에서 기약일 때 f를 K -기약이라고 한다. f가 K의 소원일 때 f는 K -소원이라고 한다.

Example. 2x는 Q[x ]-기약이지만 Z[x ]-기약은 아니다.

Definition. Z-다항식은 계수들의 최대공약수가 1일 때원시 다항식이라고 한다. 두 양수 차수 다항식의 곱이 아닌양수 차수 다항식을 단세포 다항식이라 한다.

Fact. 단세포 다항식은 Q[x ]-기약이고, 원시 단세포 다항식은Z[x ]-기약이다.



Z-다항식 f의 Q[x ]에서의 인수분해에 대해서 공부한다.

먼저 f가 “1차 인수”를 가지는지를 판별하는 방법을 알아 보자.f가 유리수 계수의 1차 인수를 가진다는 것의 필요충분조건은f가 유리수 근을 가지는 것이다.

Theorem 1. [유리수근 판정법] Z-다항식 f유리수 근은f의 상수항의 양수

f의 선두계수의 약수형태의 수이다.

Theorem 2. [mod p 판정법] 소수 p와 f ∈ Z[x ]에 대하여 f의선두계수가 p의 배수가 아니면, f를 법 p로 읽어 얻은 f ∈ Zp[x ]가 Zp[x ]-기약이면 f는 Q[x ]-기약이다. (9x4 − 21x + 15)



Theorem. [아이젠슈타인 판정법] f = anxn + · · · + a1x + a0 ∈ Z[x ]와 소수 p에 대하여 아래의 조건

(1) p | an

(2) p | an−1, . . . , p | a1, p | a0

(3) p2 | a0

이 성립하면 f는 Q[x ]-기약이다.

- end of review -


Extenstion Field 기본개념

확대체(Extension Field)

Remark. 앞으로 별도의 언급이 없으면 F ,E는 체이다.

Definition 1. F ≤ E일 때 F는 E의 부분체, E는 F의확대체(extension field)라 한다. (군론에서는 부분군에 관심을 두는데

체론에서는 왜 확대체에 관심을 두는가?)

Definition 2. α ∈ E에 대하여 F(α)는 F ∪ α에 의해서 생성된E의 부분체이다. 이런 F의 확대를 단순확대라고 한다.

Fact. F(α) = uv

∣∣∣ u, v ∈ F [α], v = 0 (uv

def= uv−1)

Definition 3. α ∈ E ≥ F는 어떤 f ∈ F [x ]#의 근일 때 F에대하여 대수적(alebraic)이라하고, 그렇지 않을 때초월적(transcendental)이라고 한다.정주희(Jeong, Joohee) (K.N.U.) 갈로아 이론 2017년 9월 22일 43 / 68


Remark. 앞으로 별도의 언급이 없으면 α ∈ E ≥ F이다. 또한다항식은 F [x ]의 원소를 뜻한다.

Definition. φα : F [x ] → F [α]를 φα(f ) = f (α)로 정의했을 때kerφα의 최소 차수 모닉다항식을 최소다항식이라 하고 µα/F로

나타낸다.

Fact 1. 최소다항식이 존재하는 것은 α가 대수적일

필요충분조건이다. 최소다항식 µ가 존재한다면 유일하며

kerφα = ⟨µ⟩이다.

Fact 2. α가 F에 대하여 대수적일 때(1) µα/F는 F [x ]-기약이다.(2) α를 근으로 가지는 f ∈ F [x ]는 µα/F의 배수이다.(3) α를 근으로 하는 모닉 기약다항식은 최소다항식이다.



Problem.√

2 +√

3의 Q-최소다항식을 구하여라.

Theorem. α가 F에 대하여 대수적이면 F [α]는 체이다.

Proof. 환-제1동형정리에 의하여 F [α] ∼= F [x ]/⟨µα/F ⟩이고 ⟨µα/F ⟩는 극대 아이디얼이다.

Fact. α가 F에 대하여 대수적이면 F [α] ∼= F(α)이고,초월적이면 F [α] ∼= F [x ]이다.



확대체의차원

Definition. E는 F를 스칼라로 하는 벡터공간으로 볼 수 있다.E의 차원을 이 확대의 차수라고 하고 |E : F |로 나타내기로한다. 유한 확대라 함은 차수가 유한한 확대를 뜻한다.

Fact. |E : F | = 1 ⇔ E = F

Example. |C : R| = 2 (1,i는 C의 기저이다.)

Theorem. α가 대수적이면 deg µα/F = n ≥ 1이라고 할 때

(1) 1, α, . . . , αn−1은 F [α]의 기저이다.(2) |F [α] : F | = n이다.



Fact. 3개의 체 L ≥ E ≥ F가 |L : E | = m, |E : F | = n을만족한다고 하자. L의 E-기저를 λ1, . . . , λm과 E의 F -기저ε1, . . . , εn이 주어졌을 때

λiεj

∣∣∣ 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

은 L의 F -기저이고 원소의 개수가 mn이다. 즉

|L : F | = |L : E | · |E : F |

이다.

Example. Q[√

2,√

3]의 Q-차원은 4이다. 기저로는1,

√2,

√3,

√6이 있다.



대수적확대(Alegbraic Extension)

Definition. E ≥ F의 모든 원소가 F에 대하여 대수적일 때 E를F의 대수적 확대이라고 한다.

Fact 1. E ≥ F가 차원 n의 유한 확대라 하면,

(1) 이것은 대수적 확대이고,(2) 어떤 α1, . . . , αn ∈ E가 있어 E = F [α1, . . . , αn]이다.

Fact 2. L ≥ E , E ≥ F가 대수적 확대이면 L ≥ F도 대수적확대이다.



작도불능문제

Remark. 이제 고대 그리스 시대부터 전해진 3대 작도불능문제(주어진 정육면체의 2배의 부피를 가지는 정육면체의 작도, 주어진 원과 같은

면적을 가지는 정사각형의 작도, 주어진 각의 3등분)에 대한 설명을 할 수

있다:α ∈ R이 눈금 없는 자와 콤파스를 이용하여 작도가능할 필요충분조건은 “Q[α]의 Q-차원이 2n 꼴일 것”이다. 그런데 앞서 말한 3대 문제에서는 확대의차원이 3 또는 무한대일 것을 요구한다.


Extenstion Field 분해체

분해체(Splitting Field)

Theorem. F가 체이고 f가 1차 이상의 F -다항식이면, f의 한근을 포함하는 F의 확대체가 존재한다.

Remark. 지금까지는 E ≥ F가 존재하고 f의 근이 E 내에존재하는 것을 가정하고 논의해 왔다. 그러나 위의 정리에서는우리에게 주어진 것이 F 뿐이고 E는 아직 존재하지 않는상황이다.

Proof. (Sketch) f의 기약인수 p를 취하면 ⟨p⟩는 F [x ]의 극대아이디얼이므로 몫환 F [x ]/⟨p⟩는 p의 한 근을 원소로 가지는체이다. φ(f ) = f + ⟨p⟩로 두면, 이것은 단사 환-준동형사상이다.따라서 제1동형정리에 의하여 F ∼= φ(F) ≤ F [x ]/⟨p⟩이다.



Definition. E ≥ F , f ∈ F [x ]가 주어졌다 하자. f가 E [x ]에서 1차식의 곱으로 인수분해 될 때 f는 E에서 분해(split)된다고말한다. E 보다 작은 어떤 F의 확대체에서도 f가 분해되지않을 때 E를 F에 대한 f의 분해체라 한다.

Theorem. F가 체이고 f가 1차 이상의 F -다항식이면

(1) f가 분해되는 F의 확대체 L이 존재한다.(2) f가 L에서

f = a(x − α1) · · · (x − αn), (a ∈ F)

으로 분해되면 F [α1, . . . , αn]은 F에 대한 f의 분해체이다.

Proof. (Sketch) n에 대한 귀납법과 앞 페이지의 정리를이용한다.



Theorem. [분해체 유일성 정리] (p287, 9.3.7)f ∈ F [x ]일 때 F에대한 f의 임의의 두 분해체는 F -동형이다.Proof. (Sketch) σ : F → K가 환-동형사상일 때 σ : F [x ] → K [x ]를, 각 f ∈ F [x ] = anxn + · · · + a1x + a0에 대해서

σ(f ) = σ(an)xn + · · · + σ(a1)x + σ(a0)

로 정의하면 σ는 환-동형사상이다. (체-동형사상?)



정규확대

Definition. (1) F에 대한 f ∈ F [x ]의 분해체를 SF(f /F)로나타낸다.

(2) α, β,E ≥ F가

µα/F = µβ/F

일 때 α와 β는 서로의 F -켤레원이라고 한다.

(3) E ≥ F가 대수적 확대이고, 임의의 α ∈ E에 대하여 µα/F가

E에서 분해될 때, E를 F의 정규확대라 한다.

Example. Q[√

2]는 Q의 정규확대이다. Q[ 3√

2]는 Q의 정규확대가아니다.



Theorem. 유한확대 E ≥ F가 정규확대일 필요충분조건은 어떤f ∈ F [x ]가 있어 E = SF(f /F)일 것이다.

Definition. 임의의 f ∈ K [x ] − K가 K [x ]에서 분해될 때 F를대수적으로 닫혀있다(algebraically closed)고 한다. F의 대수적확대 K가 대수적으로 닫혀있을 때 K를 F의대수적 폐포(algebraically closed)라고 한다.

Theorem. 모든 체는 유일한 대수적 폐포를 가진다.


Extenstion Field 분리확대

Definition. f ∈ F [x ]가 SF(f /F)에서 인수분해하여 1차식의제곱을 인수로 가질 때 f가 중근을 가진다고 한다. f가기약다항식이고 또한 중근을 가지지 않을 때

분리가능(separable)이라고 한다.

Fact 1. f ∈ F [x ], α ∈ E = SF(f /F)가 주어졌을 때, E [x ]에서

(x − α)2 | f ⇔ f (α) = 0 = f ′(α)

Fact 2. 기약다항식 p ∈ F [x ]가 중근을 가질 필요충분조건은p′ = 0이다.

Remark. 기약다항식이 중근을 가지는 예를 찾기가 쉽지 않은것 같은데, 표수가 2인 체를 사용하면 된다.



Example. Z2[y]의 분수체를 F라 하자. F의 표수는 2이다.p = x2 − y ∈ F [x ]로 두면 p′ = 2x = 0이므로 위의 Fact2에의하여 중근을 가진다. 이제 p가 F [x ]-기약임을 보여야 한다.기약이 아니라면

(gh

)2− y = 0인 g, h ∈ Z2[y]가 존재한다.

그러면 g2 = h2y가 되어야 하는데, 이 등식의 양변은 y에 관한다항식으로서 차수가 좌변은 짝수, 우변은 홀수이므로 모순을얻게 된다.

Definition. α ∈ E ≥ F가 주어졌다 하자. µα/F가 분리가능일 때

α는 F에 대하여 분리가능이라고 하고, E의 모든 원소가 F에대하여 분리가능일 때 E를 F의 분리확대라 한다.

Fact. char(F) = 0이고 E ≥ F가 대수적 확대이면 E ≥ F는분리확대이다.



Theorem. E ≥ F가 유한 분리확대이면 이는 단순확대이다. 즉E = F [α]인 α ∈ E가 존재한다.

Example. Q[√

2,√

3]은 Q의 유한확대이고 Q의 표수는 0이므로Q[

√2,

√3]은 Q의 단순확대이다. 실제로

Q[√

2,√

3] = Q[√

2 +√

3]임을 확인할 수 있다.



유한체(Finite Field)

Fact. 원소의 개수가 유한인 체 F에 대해서 다음의 사실이성립한다.

(1) char(F)는 소수이다.(2) 표수가 p인 유한체 F는 Zp의 유한 확대체이다.(3) F가 표수 p인 유한체이면 |F | = pn 형태이다. 이때

(F ,+) ∼= (Zp,+)n, (F#, ·) ∼= Zpn−1이다.

Fact. F가 유한체일 때, E ≥ F가 유한 확대이면 이는단순확대이다.



갈로아체(Galois Field)

Theorem. 임의의 소수 p와 자연수 n에 대하여 위수 pn인 체가

유일하게 존재한다.

Proof. 아래의 Fact를 이용하여 증명된다.

Fact. 위수가 pn인 체는 SF((xpn − x)/Zp)와 환-동형이다.

Proof. 이 사실의 증명에는 [mod p 2항정리] “표수 p인 체 F의임의의 원소 a, b에 대하여 (a + b)p = ap + bp이 성립한다.”가사용된다.



Definition. 위의 정리에서의 체를 갈로아체라고 하고 GF(pn)으로 나타낸다.

Fact. 갈로아체 GF(pn)은 n의 각 약수 k에 대하여 위수 pk인

부분체를 유일하게 가진다. 게다가 GF(pn)의 부분체는 이러한것들 뿐이다.


Galois Theory 갈로아 군

갈로아군

Definition. F ≤ E에 대하여, F의 각 원소를 고정시키는 E의자기동형사상, 즉 E의 F -동형사상 전체의 집합을

Gal(E/F)

로 나타낸다. 이 집합은 Sym(E)의 부분군을 이루며 이를갈로아 군이라고 한다.

Fact. α ∈ E ≥ F일 때, 임의의 f ∈ F [x ]와 φ ∈ Gal(E/F)에대하여

φ(f (α)) = f (φ(α))

이다. (easy)



Fact. α ∈ E ≥ F일 때, 임의의 f ∈ F [x ]와 φ ∈ Gal(E/F)에대하여

(1) α가 f의 근이면이 φ(α)가 f의 근이다.(2) φ(α)는 α의 F -켤레원이다.

Proof. 정의만 정확히 알고 있으면 증명 자체는 쉽다.

Example. σ : C → C를 σ(a + bi) = a − bi, a, b ∈ R로 두면,Gal(C/R) = σ, idC이다. 왜냐하면 µi/R = x2 + 1이다. 그리고,... (이하 생략)



Fact 1. E = F [α1, . . . , αk ]가 F의 대수적 확대라 하자.

(1) 각 φ ∈ Gal(E/F)와 e ∈ E에 대하여, φ(e)는 φ(αi)들의F -계수 다항식으로 표현된다.

(2) 각 φ, ψ ∈ Gal(E/F)에 대하여

φ = ψ ⇔ (∀i ≤ k)(φ(αi) = ψ(αi))

Fact 2. E ≥ F가 유한 확대이면 Gal(E/F)도 유한 군이다.

Proof. |E : F | < ∞이므로 E = F [β1, . . . , βn]으로 둘 수 있다. 각i = 1, . . . , n에 대하여

Cidef= a ∈ E

∣∣∣ a는 βi의 켤레원

은 유한하다. φ ∈ Gal(E/F)에 대하여 φ(βi) ∈ Ci이므로

|Gal(E/F)| ≤ |C1 × · · · × Cn | < ∞이다.



Theorem. f ∈ F [x ], E = SF(f /F)라고 할 때, E 내에서 f의 근전체의 집합을 Ω라 하면 Gal(E/F)는 Sym(Ω)의 어떤 부분군과동형이다.

Proof. φ ∈ Gal(E/F)는 정의역과 공역이 E인 전단사 함수이다.이 함수의 정의역을 Ω로 제한한 함수를 φΩ라 하면 φΩ의

값은 f의 켤레원이므로 다시 Ω의 원소가 된다. φΩ는

유한집합 Ω에서 자기 자신으로 가는 단사함수이므로 전단사함수이다. 따라서 Sym(Ω)의 원소이다. 이제 φ 7→ φΩ는

Gal(E/F)에서 Sym(Ω)로 가는 군-준동형사상이고 또한단사임을 보이면 된다. (이하 생략)



Definition. E ≥ F가 유한, 정규, 분리확대일 때 이것을갈로아 확대라고 한다.

Theorem. E ≥ F가 갈로아 확대이면 |Gal(E/F)| = |E : F |이다.

Example. E = SF((x3 − 2)/Q)일 때 G def= Gal(E/Q)을 찾아보자.x2 − 2를 인수분해 하기 위하여 α = 3

√2, ω = e2πi/3로 두면

x2 − 2 = (x − α)(x − αω)(x − αω2), Ω = α, αω, αω2

이다. SΩ ∼= S3이므로 G ⪅ S3일 것이다. 이제|E : Q| = |Q[α, ω] : Q[α]| · |Q[α] : Q| = 2 · 3 = 6이므로 결국S ∼= S3이다.


Galois Theory 기본 정리와 그 활용

Definition. E ≥ F에 대하여 집합 F와 G를

F = K∣∣∣ F ≤ K ≤ E, G = H

∣∣∣ H ≤ Gal(E/F)

로 정의한다. 각 σ ∈ Gal(E/F), α ∈ E , A ⊆ E에 대하셔 σ(α)를ασ, ασ

∣∣∣ α ∈ A를 Aσ로 나타낸다. 그리고 εdef= id|E로

나타낸다. 각 H ∈ G에 대하여

Fix(H ) def= α ∈ E∣∣∣ (∀σ ∈ H )(ασ = α)

로 정의한다.

Fact. E ≥ F일 때

(1) K ∈ F ⇒ Gal(E/K ) ∈ G

(2) H ∈ G ⇒ Fix(H ) ∈ F



Fact 1. K ∈ F, H ∈ G에 대하여

(1) K ⊆ Fix(Gal(E/K ))(2) H ⊆ Gal(E/Fix(H ))

Fact 2. E ≥ F가 유한확대일 때, 이것이 갈로아 확대일필요충분조건은

Fix(Gal(E/F)) = F

이다.

Fact 3. E ≥ F가 갈로아 확대일 때, F ≤ K ≤ E인 모든 K에대하여

Fix(Gal(E/K )) = K

이다.정주희(Jeong, Joohee) (K.N.U.) 갈로아 이론 2017년 9월 22일 67 / 68


Theorem. 갈로아 확대 E ≥ F에 대하여

(1) K 7→ Gal(E/K )로 정의되는 함수 Φ : F → G는

전단사이다.(2) G = Gal(E/F)로 두면, K ∈ F에 대하여 GK

def= Gal(E/K )라 할때,

(i) |E : K | = |GK |, |K : F | = |G : GK |(ii) K ≥ F가 정규확대일 필요충분조건은 GK ◁ G이고, 이

경우

Gal(K/F) ∼= G/GK

이다.

- end -


갈로아 이론 - (galois theory) - proofmoodproofmood.com/jhjeong/2017.2/galoistheoryslide.pdf ·...

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