םיניינע ןכות - gool)31 z.הדיחיה לגעמל ץוחמ אצמנה סואג...

תוכן עניינים 4 ..................................................................................... מרוכבים מספרים – 1 פרק

6 ..................................................................................................... מרוכבים מספרים

13 ................................................................................. אנליטיות פונקציות - 2 פרק

13 ................................................................................................................... רציפות

13 .................................................................................................................... גזירות

13 .............................................................................................. רימן - קושי משוואות

16 ................................................................................................. הרמוניות פונקציות

18 .............................................................................. אלמנטריות פונקציות - 3 פרק

18 .............................................................................................. אלמנטריות פונקציות

18 ................................................................................................ אלמנטריות העתקות

18 ....................................................................... ערכיות-רב ופונקציות מרוכב לוגריתם

19 ..................................................................................מרוכבת אינטגרציה -4 פרק

19 ......................................................... ממשי משתנה לפי מרוכבת פונקציה של אינטגרל

19 ........................................................ מרוכב משתנה לפי מרוכבת פונקציה של אינטגרל

19 .................................................................................................. ורסהג קושי משפט

20 .................................................................... (אינטגרליים שוויונות אי) הערכה משפט

21 ........................................................................................ קושי של האינטגרל נוסחת

23 .................................................................. טיותאנלי פונקציות של תכונות - 5 פרק

23 .......................................................................................................... ליוביל משפט

24 ........................................................................................................ היחידות עקרון

24 ....................................................................................... מודולוס המקסימום עקרון

25 ................................................................................................... טורים- 6 פרק

25 ...................................................................................................... מספריים טורים

25 .............................................................................. טיילור וטורי הדמרד-קושי משפט

25 ............................................................................................. כלליים פונקציות טורי

26 ................................................................................................................ לורן טורי

28 ....................................................................... סינגולריות ונקודות אפסים - 7 פרק

28 ................................................................................. אנליטיות פונקציות של אפסים

29 ............................................................................................ סינגולריות נקודות מיון

30 ............................................................................... באינסוף סינגולריות נקודות מיון

31 ..................................................................................... השארית משפט - 8 פרק

31 ........................................................................................................ שאריות חישוב

33 ..................................................... השארית משפט ידי על מרוכבים אינטגרלים חישוב

36 ............................................... היחידה מעגל מסילת ידי על ממשיים רליםאינטג חישוב

37 ...................................................................................................... ורדן'ז של הלמה

38 ...................................................... ספותנו מסילות ידי על ממשיים אינטגרלים חישוב

41 ..................................................................................... הארגומנט עקרון - 9 פרק

41 ..................................................................................................... הארגומנט עקרון

41 ............................................................................................................ רושה משפט

42 ................................................................................ מתקדמות העתקות - 10 פרק

42 .................................................................................................... בסיסיות העתקות

43 ...................................................................................................... מוביוס העתקות

45 ................................................................................... שוורץ של הלמה - 11 פרק

45 ...................................................................................................... שוורץ של הלמה

מספרים מרוכבים – 1פרק

הגדרות כלליות:

כמספר מרוכב בעל חלק מספר מהצורה:מגדירים את ה ע"י הסימון:

הם ממשיים. b-ו a. המספרים bוחלק מדומה aממשי

a נקרא הרכיב הממשי שלz מלשון: ומסומן גם(Real.)

b נקרא הרכיב המדומה שלz מלשון: ומסומן גם(Imaginary .)

צמוד קומפלקסי )מרוכב(:

z מספר מרוכבלכל a bi קיים מספר צמוד המסומן ב-z :וערכוz a bi .

הצגה קוטבית )פולרית( של מספר מרוכב: מישור גאוס ו

, גודל הערך aמייצג את x-ע"י הצגתו במישור שבו ציר ה zניתן לאפיין מספר מרוכב

.z, גודל הערך המדומה של bמייצג את y-, וציר ה zהממשי של

ומופיע באיור הסמוך. מישור גאוסמישור זה נקרא

כל נקודה ע"י הזוג: במישור גאוס ניתן לאפיין ,a b

-או ע"י הערך המוחלט של המספר )מרחקו מ 0,0 )

והזווית שלו בין הקרן החיובית של הציר הממשי לרדיוס.

הצמד הנ"ל מוגדר כהצגה קוטבית של מספר מרוכב

ויסומן: ,R :מספר מרוכב בהצגה קוטבית.

cos sin cos sin cisz R i R R i R .

נוסחאות ומעברים:

.מעבר מהצגה קוטבית לקרטזית )אלגברית(: .1

.מעבר מהצגה קרטזית לקוטבית: .2

.ויחושב: zיסומן: zגודל של מספר מרוכב .3

1i z a bi

Re z

Im z

2 2 , tanb

R a ba

cos , sina R b R

2 2z R a b

בהצגה קוטבית:פעולות חשבון

. כפל מספרים מרוכבים: .1

חילוק מספרים מרוכבים: .2

.

מואבר: -משפט דה

נעזר בקשר: nבחזקת zמספר מרוכב כדי להעלות cis cisn nR R n .

שורשים של מספר מרוכב:

0השווה למספר מרוכב אחר zי של מספר מרוכב -nכדי להוציא שורש 0 0cisz R :נבצע

00 0 0 0

2cis / cis : 1n n n

k

kz z R z R k n

n n

.

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2z z Rcis R cis R R cis

1 1 1 11 2

2 2 2 2

z R cis Rcis

z R cis R

מספרים מרוכבים

:רשום עם (1

.ג .ב .א

.ה .ד

חשב: (2

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

בעבור המספרים המרוכבים הבאים: b-ו aרשום את ערכם של (3

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

פתור את המשוואות הבאות: (4

.ג .ב .א

.פתור את המשוואה הבאה: (5


:את ערכי הביטויים המרוכבים הבאים . חשבנתון: (7

.ג .ב .א

הבאים: רשום את המספר הצמוד של המספרים המרוכבים (8

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

חשב: (9

.ג .ב .א



.משתנים מרוכבים(: w-ו zפתור את מערכת המשוואות הבאה ) (12

ממשיים: b-ו aפתור את המשוואות הבאות שבהן (13

.ב .א

i

1 4 25

3 5

i 2i 3i

4i 5i 17i

2 5i3 i3 1

2 2i

7i40

2 1x 2 36 0x 2 2 5 0x x

2 1 0x x

2 6 0z iz

1 22 3 , 5 2z i z i

1 2z z 1 2z z 1 2z z

2 5i3 i3 1

2 2i

7i40

11 2

2

i

i

3 7

2 5

i

i

19 9

2 3

i

i

3 11 7z iz i

5 4i z i

3 5 4

5 2 5 8

z iw i

iz w i

2 3 10a i bi 3 8 5 2 3a bi b ai i

פתור את המשוואה הבאה: (14

:את ערכי המספרים המרוכבים הבאים חשב (15

.ב .א




נתונה המשוואה הבאה: (19

למשוואה: מצא לאלו ערכים של הפרמטר המרוכב יש פתרון יחיד. .א אין פתרון. .ב

אלגברית: את המספרים המרוכבים הבאים בהצגה כתוב (20

4cis330 .ג 6cis135 .ב 2cis60 .א

.ד 4cis 30 4 .הcis690 8 .וcis90

cis0 .ט cis180 .ח 3cis270 .ז

הפוך להצגה קוטבית: (21

.ד .ג .ב .א

.ח .ז .ו .ה

.י .ט

2 7 3z i iz z

5 12i 8 6i

2 2 1 2 8 0z i z i

2 2 1 6 15 0iz i z i

2 6 0z i z

22 2 2 1 0mi z m i z

m

1 i 3 i 1 3

2 2i

3 4i

6i i 4 1

10

:את ערכי הביטויים הבאים חשב (22

.ג .ב .א

.ה .ד

את המספרים: -ו . הבע באמצעות נתון המספר המרוכב (23

.ב z .א1

z z .ג

.ד1

z ה. iz ו. z z

הראה כי המספרים הבאים הם ממשיים טהורים: (24

.ג .ב .א

הראה כי המספרים הבאים הם מדומים טהורים: (25

.ב .א

:את הטענות הבאות הוכח (26

.ב .א

במישור גאוס אם ידוע דקודיו של ריבוע החסום במעגל קנוני שרדיוסו מצא את ק (27 שצלעותיו מקבילות לצירים.

. ריבוע חסום במעגל קנוני במישור גאוס. אחד מקודקודי הריבוע הוא (28

דקודיו האחרים.מצא את ק

משולש שווה צלעות חסום במעגל קנוני במישור גאוס. (29

דקודיו האחרים.. מצא את קאחד מקודקודי המשולש הוא

חסום במעגל קנוני במישור גאוס. משולש שווה שוקיים, שזווית הבסיס שלו היא (30

דקודיו האחרים.. מצא את קדקוד הראש של המשולש הוא ק

2 120 3 60o ocis cis 210 5 40o ocis cis 12 315

3 90

o

o

cis

cis

1

2 40ocis6 30 2 210o ocis cis

z RcisR

z zz zz z

z z

2 2z z1 1

z z

z i z z iz 2

z z z

2

1 3i

1 3i

30o

1 3i

31) z .הוא מספר מרוכב במישור גאוס הנמצא מחוץ למעגל היחידה קבע אם המספרים הבאים נמצאים בתוך מעגל היחידה, עליו או מחוץ לו:

.ד .ג .ב .א

:מואבר-את ערכי הביטויים הבאים תוך שימוש בנוסחת דה חשב (32

.ד .ג .ב .א

.ה

פתור את המשוואות הבאות: (33

.ג .ב .א

.4מצא את סכום ומכפלת שורשי היחידה מסדר (34

. נתון המספר המרוכב (35

מצא את המקום הגאומטרי במישור גאוס המתקבל בעבור המשוואה:

. נתון המספר המרוכב (36

מצא את המקום הגאומטרי במישור גאוס המתקבל בעבור המשוואה:

. מצא את המקום הגאומטרי במישור גאוס המתקבל נתון המספר המרוכב (37

בעבור המשוואה:

. והאיבר השלישי הוא בסדרה חשבונית האיבר השביעי הוא (38

מצא את סכום עשרת האיברים הראשונים בסדרה.

. והאיבר השני הוא בסדרה הנדסית האיבר החמישי הוא (39

מצא את האיבר הראשון בסדרה ואת מנת הסדרה, אם נתון שמנת .א הסדרה היא מספר מרוכב הנמצא על הציר המדומה במישור גאוס.

הראשונים בסדרה.מצא את סכום חמשת האיברים .ב

.2נתונים שלושה איברים סמוכים בסדרה הנדסית. האיבר הראשון ביניהם הוא (40

מתקבלים שלושה איברים סמוכים בסדרה נתון כי אם מוסיפים לאיבר השלישי מצא את שלושת איברי הסדרה ההנדסית )שתי אפשרויות(. חשבונית.

.פתור את המשוואה: (41



z1

z

z

z

z z

3

2 30ocis 5

2 14ocis 4

1 i 3

3 i

15

1 3

2 2i

2 36 120oz cis 2

4 9 80oz cis5 1 3

2 2z i

z x yi

2z

z x yi

3 5z i

z x yi

1 3z i z i i

7 13 3a i 3 5 9a i

5 32 16a i 2 2 4a i

4i

2

2 4 Imz z z i i z

2 12 3 13x x i

3z z

הוכח: אם מקדמי משוואה ריבועית הם מספרים ממשיים ואין למשוואה פתרונות (44 ממשיים אז פתרונות המשוואה הם שני מספרים צמודים.

נתונים שני מספרים מרוכבים שאינם ממשיים טהורים. (45 הוכח: אם סכום המספרים ממשי ומכפלתם ממשית אז המספרים צמודים.

, שאינו ממשי טהור ואינו מדומה טהור.נתון מספר מרוכב (46

על מעגל היחידה. ממשי אז הוכח כי אם

: הבאה הוכח את הנוסחה (47

הוא מספר מרוכב על מעגל היחידה ברביע הראשון. (48

.מצא את .נתון:

הוא מספר מרוכב על מעגל היחידה. (49

ממשי., אם ידוע שהוא מצא את ערך הביטוי

.הם פתרונות המשוואה הבאה: -ו (50

ראשית הצירים(. ) מצא את גודל הזווית

z

1z

z

z

1 1 2 2 1 2 1 2R cis R cis R R cis

z

4 3 2 3z z arg z

z

z iz

1z2z2 2cos 1 0z z

1 2z ozO

תשובות סופיות:

. . ה. . ד. . ג. . ב. א. (1

. . ו. . ה. . ד. . ג. . ב. א. (2

. . ד. . ג. . ב. א. (3

. ג. . ב. א. (4. . ו. ה.

. ב. א. (7. (6. (5.

. . ג.

. . ו. . ה. . ד. . ג. . ב. א. (8

. (11. (10. ג. .. ב. א. (9

. . ב. א. (13 . (12

(16. . ב. א. (15. (14

.

. . ב. א. (19. (18 . (17

ו. . ה. . ד.. ג. . ב. א. (20

.

. . ט. . ח ז.

5. ד. . ג. . ב. א. (21 53.13cis .ה . .

. . י. . ט. . ח. . ז. ו.

. . ה. . ד. . ג. . ב. א. (22

. . ד. . ג. . ב. א. (23

. . ו. ה.

27) .28) .29)

א. מחוץ למעגל. ב. בתוך המעגל. (31. (30.

ג. על המעגל.

. . ה. . ד. . ג. . ב. א. (32ד. מחוץ למעגל.

. א. (33

i2i5i3i5i

i1i1ii

2 , 5a b 3 , 1a b 3 1,

2 2a b

0 , 7a b

4 , 0a b 0 , 0a b x i 6x i

1 2 ,1 2x i i 1 3 1 3,

2 2 2 2

i ix

2 , 3z i i 7 i

3 5i 16 11i

2 5i3 i3 1

2 2i

7i40

4 3i1 i 5 3i4z i 4 5z i

2 3 , 5z i w i 5 , 3a b 2 , 1a b

1 12

2 2z i

(3 2 )z i (3 )z i 1 22 , 4z z i

1 22 5 , 3z i z i 1 23 , 2z i z i m i 2m i

1 3i3 2 3 2i 2 3 2i2 3 2i2 3 2i8i

3i11

2 45cis 2 330cis 240cis 6 90cis

270cis 4 0cis 180cis 0cis 0

65 170cis 4 225cis 1( 40 )

2cis

4 30cis

( )Rcis 1( )cis

R

(180 )Rcis 1(180 )cis

R

(90 )Rcis 2R

1 , 1 , 1 ,1i i i i 3 , 1 3 , 3i i i

1 3 ,1 3 , 2i i 1 3 , 1 3 ,2i i

8i32 70cis 48i1

0 16 60 , 6 240z cis z cis

. ב.

. ג.

. (36. (35. , מכפלה: סכום: (34

. ב. א. (39. (38. (37

. (41. או (40.

42) .

43) .44)

.

48) .49) .50) .

0 1 2 33 40 , 3 130 , 3 220 , 3 310z cis z cis z cis z cis

0 1 2 3 412 , 84 , 156 , 228 , 300z cis z cis z cis z cis z cis

012 2 4x y 2 2( 3) 25x y

2 22 21

3 5

x y 10 75 15S i 1 2 , 2a i q i

5 20 25S i 2, 2 , 2i 2,4 2 ,6 8i i 1 23 4 , 3 4z i z i

2, 1x

1 2 3 4 50, 1, , 1,z z z i z z i

1 2 3 4 50, , , 1, 1z z i z i z z

arg( ) 30z 2 , 2z iz 2

פונקציות אנליטיות - 2פרק

רציפות

ם(מי)אם קיי ות הבאיםמצאו את הגבול

1) 0lim ?z

z

z

2 )

4

40lim ?z

z

z

3)0

Re( ) Im( )limz

z z

z

גזירות

מצאו את כול הנקודות בהן הפונקציות הבאות גזירות

1) 2( )f z z

2 )( ) Re(z)f z

3)

2( )f z z

רימן -משוואות קושי

)2הראו כי .1 ) Im( )f z z z אינה גזירה לכולz

הראו כי .22 2( ) ( )f z xy i x y 0אינה גזירה בכול הנקודות בהןz אך כן

0zגזירה בנקודה .)לפי הגדרה(

a,מצאו מספרים ממשיים .3 b כך שהפונקציה

3( ) cos(3 ) sin(b )ax xf z e y i e y .תהיה גזירה בכול נקודה

)נתון כי .4 )z

f zz

0אינה רציפה בz )מצאו את כול הנקודות )אם קיימות .

בהן הפונקציה גזירה.

)נניח כי .5 )f z גזירה בתחוםD ונניח כי Re ( ) 0f z לכולz D הוכיחו כי .

( )f z .קבועה

)נניח כי .6 )f z פונקציה גזירה שאינה קבועה בתחוםD.

)נגדיר ) ( )g z f z לכולz D הוכיחו כי .( )g z אינה גזירה בכולD.

נתונה הפונקציה .7

4

1

0( )

0 0

ze zf z

z

הוכיחו את הטענות הבאות:

הפונקציה אינה רציפה בראשית (א

רימן מתקיימות בראשיתמשוואות קושי (ב

הוכיחו, על ידי שינוי קוארדינטות, שבקוארדינטות פולריות משוואות קושי רימן נכתבות .8

כך:

1

1

u v

r r

v u

r r

רמז: היעזרו בכלל השרשרת, למשל ( , )u x y u x u y

r x r y r

וודאו כי משוואות קושי רימן הפולריות מתקיימות עבור . 92016( )f z z 0בתחוםz

)נניח כי . 10 )f z אנליטית בתחום | Im( ) 0H z z .

)הוכיחו כי ) ( )g z f z אנליטית בתחום | Im( ) 0H z z

הוכיחו כי . 11Re( )( ) zf z e .אינה גזירה בשום נקודה במישור המרוכב

. נתונה הפונקציה 122 2( )f z cx xy ixy כאשרc קבוע מרוכב כולשהוא

)נתון כי )f z 1גזירה בנקודה i מצאו את הקבוע .c ואת כול הנקודות בהן הפונקציה

גזירה

. נתונה הפונקציה 132 2( ) 2f z x y i xy ?היכן הפונקציה אנליטית .

2נתונה הפונקציה . 14 21( ) ln( ) arctan( )

2

yf z x y i

x .

)קבעו האם הפונקציה )f z אנליטית בחצי המישור הימני | Re( ) 0H z z

נתונה הפונקציה . 15 2 2

2( ) cos( ) sin( )x y

f z e xy i a xy

.

זוהי פונקציה הולומורפית )אנליטית( בכול המישור ? aעבור אילו ערכי

). נניח כי 16 )g z הולומורפית בתחום (0,1) | 1D z z

) 1 ומקיימת ) 1z g z הוכיחו כי( )g z .קבועה

)הדרכה: ניתן לכתוב את )g z באופן הבא( , )( ) i h x yg z e

הרמוניותפונקציות

3הראו כי הפונקציה .1 23x xy .היא פונקציה הרמונית בכול המישור

2הראו כי הפונקציה .2 2x y היא פונקציה הרמונית בכול המישור ומצאו לה צמודה

הרמונית.

הראו כי הפונקציה .3 2 2( )f z xy i x y היא פונקציה גזירה בראשית הצירים

)אך החלק המדומה שלה אינו פונקציה הרמונית. האם )f z ?הולומורפית בראשית

)sinhהראו כי הפונקציה .4 )cos( )x y היא פונקציה הרמונית בכול המישור

ומצאו את הצמודה ההרמונית שלה

)הראו כי הפונקציה .5 , ) sin( )cosh( )u x y x y היא פונקציה הרמונית בכול

המישור

)ומצאו את הצמודה ההרמונית שלה , )v x y (0,0)המקיימת 2v

)רמז: ) sin( )f z z

)הראו כי הפונקציה .6 , ) cos( )sinh(y)u x y x היא פונקציה הרמונית בכול

המישור

ומצאו פונקציוה הלומורפית כך שמתקיים ( , ) Reu x y f

)הראו כי הפונקציה .7 , ) sin( )yv x y e x היא פונקציה הרמונית במישור, מצאו לה

)פונקציה צמודה הרמונית , )u x y ופונקציה שלמה( )f z כך שמתקיים

( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y

הראו כי הפונקציה .81

( , ) cos( )u r rr

היא פונקציה הרמונית בתחום

0r

)רמז: , )u r תקרא הרמונית אם היא מקיימת2 '' ' '' 0rr rr u ru u

נתון כי .91

( , ) cos( )u r rr

0rהיא פונקציה הרמונית בתחום מצאו .

לה צמודה הרמונית בתחום זה.

הוכיחו כי .103 2( , ) 2 3u x y x x xy היא פונקציה הרמונית ומצאו לה צמודה

הרמונית.

)תהי .11 ) ( , ) ( , )f z u x y i v x y .פונקציה שלמה

הוכיחו כי 2 2( , ) ( , ) ( , )g x y u x y v x y .פונקציה הרמונית

)תהי .12 ) ( , ) ( , )f z u x y i v x y .פונקציה שלמה

הוכיחו כי ( , ) sin ( , ) cosh ( , )g x y u x y v x y פונקציה הרמונית

האם קיימות פונקציות הרמוניות מהצורה .132 2

( , )x y

u x yx

)כאשר

2C .פונקציה לא ידועה( ? אם כן, מצאו אותן

)האם קיימות פונקציות הרמוניות מהצורה .14 , )x

u x yy

2C)כאשר

פונקציה לא ידועה( ?

כן, מצאו אותן.אם .15

פונקציות אלמנטריות - 3פרק

פונקציות אלמנטריות

1zeפתרו את המשוואה .1

)sinהוכיחו כי .2 ) sin( iy) sin( )cosh(y) cos( )sinh(y)z x x i x

)sinפתרו את המשוואה .3 ) 2z

)cosהוכיחו כי .4 ) cos( iy) cos( )cosh(y) sin( )sinh(y)z x x i x

)cosפתרו את המשוואה .5 ) 2z

העתקות אלמנטריות

)מצאו את התמונה .1 )f U של התחום | 1U z z תחת ההעתקה

( ) 1f z z

)מצאו את התמונה .2 )f U של התחום | 1U z z תחת ההעתקה

( ) 5f z z

)מצאו את התמונה .3 )f U של התחום| ( )4

U z Arg z

תחת

ההעתקה

ערכיות-לוגריתם מרוכב ופונקציות רב

iמצאו את כול הערכים האפשריים של .1

מצאו את כול הערכים האפשריים של .2ii

מצאו את כול הערכים האפשריים של .31

9 502i

אינטגרציה מרוכבת -4פרק

אינטגרל של פונקציה מרוכבת לפי משתנה ממשי

חשבו את האינטגרל .11

2

inx imxe e dx

לכול,m n

)Reהמקיים zלכול .2 ) 0z פתרו את האינטגרל0

zte dt

אינטגרל של פונקציה מרוכבת לפי משתנה מרוכב


n

z

z dz

כאשרn

חשבו את האינטגרל .22z

dzz

כאשר 2 | 0iz e

)חשבו את האינטגרל .3 1)z dz

כאשר 1 | 2iz e

zeחשבו את האינטגרל .4 dz

כאשר מסילת קווים ישרים העוברת בנקודות

: 0 1 1 0i i

משפט קושי גורסה


24

0

i

ze dz

הוכיחו כי .2

1

4 4

4

12 cos( ) 2 2 sin( )

8 82

i

dz iz

משפט הערכה )אי שוויונות אינטגרליים(

הוכיחו את אי השוויונות הבאים

1.

3

2

81

1 8C

zdz

z

כאשר : 3 , Re( ) 0C z z

2. 2

3

1 6

1 10z

dzz

3. 2

8z

C

e dz כאשרC 2עד ל 0הינה מסילת הקו הישר מ 2i

4.

2 2

2sin( ) 2

C

zdz

z

כאשרC זה הקטע הישר המתחיל בנקודה

2i

ומסתיים בנקודה 2

i

נוסחת האינטגרל של קושי


cos( )

z

zdz

z

חשבו את האינטגרל .22 1

2

z

z

edz

z


2 1

sin( )

( 2)z

zdz

z z


( 2)( 3)

z z

z

e edz

z z z

חשבו את האינטגרל .51.5

( 1)( 2)

z

z

edz

z z z

חשבו את האינטגרל .6sin( )

( 2)( 4)

zdz

z z z

עבור המסילה שבציור


22

2

2( 1)( 3)

z

z

z edz

z z z

נוסחת האינטגרל המוכללת של קושי


3

1

sin( )

z i

zdz

z i


1

cos( )

z

zdz

z


2

4

cos( )

z

zdz

z


2

1 1

sin( )4

1 ( 3)z

z

dzz z


1

2

sin( )1

z

z dzz


2

6

sin( )4

1 ( 3)z

z

dzz z


2

5

1

2 ( 4)z

dzz z

אנליטיות תכונות של פונקציות - 5פרק

משפט ליוביל

מצאו פונקציה שלמה המקיימת את אי השיוויון .1

sin( ) ( ) 2z z z f z


2 2 sin ( )cos( ) ( ) 100z z z z f z


cos( ) ( ) 2002

z z z z f z

)מצאו את כול הפונקציות השלמות .4 )f z u iv 0 המקיימותu לכול(z)

רמז: התבוננו בפונקציה ( )e f z

)מצאו את כול הפונקציות השלמות .5 )f z u iv 0 המקיימותu לכול(z)

רמז: התבוננו בפונקציה ( )e f z

)מצאו את כול הפונקציות השלמות .6 )f z u iv 0המקיימותv לכול(z)

)נתונה פונקציה שלמה .7 )f z המקיימת( ) 1f z לכול ,z הוכיחו כי ,( )f z

קבועה.

)מצאו את כול הפונקציות השלמות .8 )f z u iv 0המקיימותv לכול(z)

רמז: התבוננו בפונקציה ( )i f ze

)הוכיחו כי אם .9 )f z שלמה ומקיימת( ) ( 1)f z f z וגם( ) ( )f z f z i (

( אז היא קבועה.zלכול

קומפקטית, חסומה שם.ניתן להיעזר במשפט: כול פונקציה רציפה על קבוצה

)הוכיחו כי כול הפונקציות השלמות .10 )f z המקיימות

4

5 ( ) 4 5z f z z .הן פונקציות קבועות

)נתון כי .11 )f z שלמה המקיימתRe( ) ( ) zz f z e

) מרוכב כך ש Cהוכיחו שקיים קבוע ) zz f z C e

)נתון כי .12 )f z (0)שלמה המקיימת 0f (1)ו 1f

)מרוכב כך ש cהוכיחו שקיים ) 2f c

עקרון היחידות

) הוכיחו כי אם .1 )f z שלמה ומקיימת1 1

n fn n

) אז )f z z

) נניח כי .2 )f z אנליטית ב | 1D z z ומקיימת

1 1

1n f

n n

) , מצאו את )f z.

) נניח כי .3 )f z אנליטית ב | 1.5D z z ומקיימת

1

1 1

2 2 0.5z

nzn f dz

n i nz

מצאו את , ( )f z.

) א( כמה פונקציות אנליטיות .4 )f z ב | 1D z z מקיימות

1 22

3 1n f

n n

?

) ב( כמה פונקציות אנליטיות )f z ב | 1D z z מקיימות

1 1 22

3 1 3n f f

n n n

?

) מצאו את כול הפונקציות האנליטיות .5 )f z ב | 1D z z המקיימות

1

4 sinn f nn

המקסימום מודולוסעקרון

)מצאו )אם קיים( ערך מקסימלי של .1 )f z כאשר2

( ) zf z e בתחום ,

| 1D z z

)מצאו )אם קיים( ערך מקסימלי של .2 )f z כאשר2

( ) zf z e בתחום ,

| 3D z z

)מצאו )אם קיים( ערך מקסימלי של .3 )f z כאשר( ) cos( )f z z

בתחום | 0 Re 2 , 0 Im 2D z z z

טורים- 6פרק

טורים מספריים

בדקו את התכנסות הטור .10

cos( )

2nn

in

בדקו את התכנסות הטור .20

sin( )

3nn

n in

וטורי טיילור הדמרד-משפט קושי

מצאו רדיוס התכנסות עבור הטור .10

in n

n

e z

מצאו רדיוס התכנסות עבור הטור .20

n

n

z

in

מצאו רדיוס התכנסות עבור הטור .3 0

13

3 (2 1)

n

nn

zn

)ונקציה מצאו טור טיילור לפ .4 ) sin(2 1)f z z סביב הנקודה0

1

2z

טורי פונקציות כלליים

מצאו תחום התכנסות עבור הטור .10

n

n

z

מצאו תחום התכנסות עבור הטור .20 (1 )

n

nn

z

i


1

4 ( 1)n nn z

מצאו תחום התכנסות עבור הטור .40 0

2

4

n n

n n

z

z


nz

n

e

טורי לורן

0פתחו את הפונקציה לטור לורן סביב .1 0z בכול התחומים האפשריים

1( )

1f z

z

פתחו את הפונקציה .21

( )

12

f zz

0לטור לורן סביב 0z 2בתחוםz

2zובתחום


1( )

1 ( 3)f z

z z

0לטור לורן סביב 1z בתחומים

הבאים:

0 1 2z -ו

1 2z


1( )

2 ( 3)f z

z z

0לטור לורן סביב 3z בכול

התחומים האפשריים


1( )

1 ( 3)f z

z z

0לטור לורן סביב 0z בתחום

1 3z

רמז: פירוק לשברים חלקיים


1( )

1 ( 3)f z

z z


3z

רמז: פירוק לשברים חלקיים


1( )

1 ( 3)f z

z z


1z


1( )

1f z

z

0לטור לורן סביב 0z 1בתחוםz

. 1aומצאו את המקדם


1( )

1f z

z

0zלטור לורן סביב i בתחום

0 2z i

.1aומצאו את המקדם


1( )

1f z

z

0zר לורן סביב לטו i 2בתחוםz i

)פתחו את הפונקציה .11 )( 1)( 4)

zf z

z z

0לטור לורן סביב 1z כך שיתכנס

5zבתחום המכיל את

סינגולריותאפסים ונקודות - 7פרק

אפסים של פונקציות אנליטיות

)קבעו את סדר האפס של הפונקציה .1 ) sin( )f z z z 0בנקודהz

קבעו את סדר האפס של הפונקציה .23( ) sin( )f z z z

)נניח כי הפונקציה .3 )f z אנליטית ב0

z ומתאפסת שם מסדרn

)נניח כי הפונקציה )g z אנליטית ב0

z ומתאפסת שם מסדרm

)הוכיחו כי הפונקציה ) ( )g( )h z f z z אנליטית ב0

z ומתאפסת שם מסדר

n m

)20מצאו סדר אפס עבור הפונקציה .4 ) sin( )h z z z בנקודה0

0z

מצאו סדר אפס עבור הפונקציה .5sin( ) 2( ) sin ( )zf z e z בנקודה

00z

)נניח כי לפונקציה .6 )f z בנקודה 7יש אפס מסדר0

0z

)נניח כי לפונקציה )g z בנקודה 3יש אפס מסדר0

0z

)פונקציה מצאו את סדר האפס של ה ) ( ) g( )h z f z z

מצאו סדר אפס עבור הפונקציה .73 12 6( ) 6sin( ) ( 6)h z z z z בנקודה

00z

מיון נקודות סינגולריות

מצאו ומיינו את הנקודות הסינגולריות של הפונקציה .11

( )1

f zz

נניח כי .2( )

( )( )

f zh z

g z כאשר( )f z ו( )g z 0אנליטיות בסביבתz .

0zנניח כי של 7זה אפס מסדר( )f z

0zנניח כי של 11זה אפס מסדר( )g z

)מהו סוג הסינגולריות של )h z 0בz ?

נניח כי .3( )

( )( )

f zh z

g z כאשר( )f z ו( )g z 0אנליטיות בסביבתz.

)של nזה אפס מסדר 0zנניח כי )f z

)של mזה אפס מסדר 0zנניח כי )g z

)מהו סוג הסינגולריות של )h z 0בz חלקו למקרים ?n m וn m

מצאו ומיינו את הנקודות הסינגולריות של .42

1 cos( )( )

zf z

z


( ) sin( )f z zz


( ) zf z ze


( ) cos( )f z zz

מצאו ומיינו את הנקודות הסינגולריות של .81 1

( )1z

f ze z

מצאו ומיינו את הנקודות הסינגולריות של .9sin( )

( )cos( )

zf z

z


1( ) cos

1 1

zf z

z z

)2מצאו ומיינו את הנקודות הסינגולריות של .11 )z

zf z e


1(1 )

2( )1

sin( ) ( 1)1

z

f z

zz

)הנקודות הסינגולריות של מצאו ומיינו את .13 ) cot( )f z z z

מצאו ומיינו את כול הנקודות הסינגולריות של .142

sin( )( )

( 2 )

zf z

z

ופתחו את הפונקציה לטור לורן סביבן.

מצאו ומיינו את כול הנקודות הסינגולריות של הפונקציה .15

2 4

2

( 4)( 1)( )

1 cos(2 )

z zf z

z

מיון נקודות סינגולריות באינסוף

של הפונקציה מיינו את הנקודה הסינגולרית .1

2

( )1

zf z

z

)של הפונקציה מיינו את הנקודה הסינגולרית .2 ) zf z e

מצאו את הנקודות הסינגולריות של הפונקציה )כולל אינסוף( .32

( )1 cos( )

zf z

z

וסווגו אותן.

מצאו את הנקודות הסינגולריות של הפונקציה )כולל אינסוף( .4

4

cos( ) 1( )

( )

z if z

z i

סווגו אותן ומצאו פיתוח לטור לורן סביבן )לא כולל אינסוף(

משפט השארית - 8פרק

חישוב שאריות

חישבו את השאריות של הפונקציות בנקודות הבאות

1.

3Re ( , 2)

2

zs z

z

2. 2

1Re ( , 3 )

9s z i

z

3. 4 3

2Re ( , 1)

2 2 1

zs z

z z z

4. 4 3

2Re ( , 1)

2 2 1

zs z

z z z

נניח כי לפונקציה .5( )

( )

f z

g z)'0כאשר ונניח כי 0zיש קוטב פשוט ב ) 0g z .

הוכיחו כי

00

0

( )( )Re ( , )

( ) '( )

f zf zs z

g z g z

6.

cos( )Re ( ,0)

zs

z

7.

sin( 1)Re ( ,0)

zs

z

חשבו את השאריות בנקודות הסינגולריות )הסופיות( של הפונקציה .8

2

tan( )( )

4

zf z

z z

)הסופיות( של הפונקציה חשבו את השאריות בנקודות הסינגולריות .9

3

1 cos( )( )

( )

zf z

z z

חשבו את השאריות בנקודות הסינגולריות )הסופיות( של הפונקציה .10

3 5

1( )f z

z z

11. 2015 2020

1Res( , 0)z

z z

12. 2020 5

1Res( , 0)z

z z

13.

1Res sin( ) sin( ) , 0z z

z

חשבו את השארית של .14

3

2

( )( )

1

log zf z

z

z בנקודה i עם בחירת הענף

0 2

0r

חישוב אינטגרלים מרוכבים על ידי משפט השארית

חשבו את האינטגרלים הבאים

1. 1

tan( )z

z z dz

2.

3

2( 1)

z

z

edz

z z

3.

2

3 2

3

1z

z i

edz

z iz

4.

2

1

1sin( )

z

z dzz

5.

2

2

1

1sin cos( )z

z

e z dzz

) נניח כי )f z פונקציה שלמה. הוכיחו כי לכול מסלולC פשוט וסגור שאינו חותך

מתקייםאת הראשית,

6.

4 1

1z a a

zdz a

z

7.

5

6

1

(1 ) sinh( )

z

z zdz

z

8.

2

5

1

( 1)( )

z

z

edz

z z z i

9. 6

cot( ) z

z dz

10.

2

1

3sin( )sin( )cos( +ln(2)) z

z

z e dzz

2

10

C

f dzz

חישוב אינטגרלים ממשיים על ידי מסילת חצי מעגל

בכול התרגילים הבאים נסמן את המסלולים הבאים

Re | 0

|

i

R z

z x R x R

C

חשבו את .12

1

1dx

x

.על ידי משפט השארית

:הדרכה

חשבו את האינטגרל .א2

1

1RC

dzz

הוכיחו כי .ב2

1lim 0

1RCRdz

z

הסיקו מהסעיף הקודם כי .ג2 2

1 1lim

1 1R

RC

dx dzx z


1

1 2dx

x

.על ידי משפט השארית

הדרכה:

חשבו את האינטגרל (א4

1

1RC

dzz

הוכיחו כי (ב4

1lim 0

1RCRdz

z

הסיקו מהסעיפים הקודמים כי (ג4

1

1 2dx

x


2

4

12

1

xdx

x

הדרכה:

חשבו את האינטגרל (א2

4

1

1RC

zdz

z

הוכיחו כי (ב

2

4

1lim 0

1RCR

zdz

z

הסיקו מהסעיפים הקודמים כי (ג2

4

12

1

xdx

x


3

2

1

1dx

x


ניתן להשתמש במשפט:

)אם )f x ממעלת 2 –פונקציה רציונלית ממשית ומעלת הפולינום במכנה גדולה ב

)הפולינום במונה אז ) 2 Res( ( ), )k

k

f x dx i f z z

)

5.

4

6

6

1

xdx

x

.

6.

2

22 4

xdx

x

7.

22 4 13

xdx

x x

8.

2

22 9

xdx

x

9. 2 2 2( 1) ( 9)

dx

x x

10.

2

2 2

0( 1)( 4)

xdx

x x

11.

2

4

0( 1)

xdx

x

12.

2

4 2

1

1

xdx

x x

13.

72

0

1

1dx

x

אינטגרלים ממשיים על ידי מסילת מעגל היחידהחישוב


1.

2

20

1

(2 cos( ))d

2. 0

1

2 cos(3 )dx

x


2

0

1

cos( ) bsin( ) cdx

a x x

עבור הפרמטרים

,הממשיים ,a b c המקיימים2 2 1c a b .

2ניתן להשתמש בעובדה כי הערה: 1 1c c

4.

2

0

1

12sin( ) 13dx

x


20

1

cosd

a b

0עבורa b

2חשבו את האינטגרל .620

1

sindx

a x

1עבורa

הלמה של ז'ורדן

את הלמה של ז'ורדן:הוכיחו .0

)נניח כי )f z פונקציה רציפה המוגדרת על | 0i

RC Re חצי קשת(

)מעגלית עליונה( ונניח כי היא מהצורה ) ( )iazf z e g z 0עבורa קבוע

כולשהוא

)אז מתקיים ) ( )R

R

z C

C

f z dz Max g za

חשבו את האינטגרלים הבאים על ידי שימוש בלמה של ז'ורדן

1. 2

cos( )

1

xdx

x

הדרכה:

הוכיחו כי (א2 2

cos( )Re

1 1

ixx edx dx

x x


ixedx

x e

2.

3

4 2

( 5 )sin( )

10 9

x x xdx

x x

הדרכה:

הוכיחו כי

3 3

4 2 4 2

( 5 )sin( ) ( 5 )Im

10 9 10 9

ixx x x x x edx dx

x x x x

הוכיחו כי

3

4 2 3

( 5 ) 1 1

10 9 2

ixx x edx i

x x e e

3. 4

sin( )

1

xdx

x

4.

2

22

0

cos( )

1

x axdx

x

5. 2

1 cos( )xdx

x

) * תרגיל קשה *(

חישוב אינטגרלים ממשיים על ידי מסילות נוספות

הוכיחו כי .6 0

1

1dx

x x

)אינטגרל "פקמן" / "חור מנעול"(

הדרכה:

1Rנגדיר את המסלולים )כאשר 0 -ו 1 )

הוכיחו כי (א

12

1C CR

dzz z

כאשרz מוגדר בתחום

\ [0, )

הוכיחו כי (ב

lim 01

1RC

Rdz

z z

הוכיחו כי (ג 1

im1

l 0C

dzz z

הסיקו מהסעיפים הקודמים כי (ד 0

1

1dx

x x


0

1

112 sin( )

12

dxx

" משולש פיצה"()אינטגרל

הדרכה:

Rנגדיר את המסלולים: (א | : 06

i

RC z e

,

6

1

1

| 0

| 0

:

i

z x x R

z xe R

21הוכיחו כי

11

1212

1

1 6R

i

C

idz e

z


1lim 0

1RCRdz

z

0 2

| : | :

| 0 2

R |

0 2

i i

ii

R

z xe

C z e

x R z

C

xe x R

z e

2הוכיחו כי (ג 1

612 12

1 1

11

i

dz

zz

dz e

הסיקו מהסעיפים הקודמים כי (ד12

0

1

112 sin( )

12

dxx


4sin( )

1 5 21 32 5

1 cos( )5

dxx

רמז: כדאי לסגור את המסלול בעזרת גזרת המעגל בזווית2

5


1

1 27 3 3dx

x

רמז: כדאי לסגור את המסלול בעזרת גזרת המעגל בזווית2

6

בתרגיל זה נוכיח כי .101 sin( )

x

x

edx

e

0כאשר 1

הדרכה:

0Rנגדיר את המסלולים )כאשר )

הוכיחו כי

21 1 2

21

zi

z

C C

edz ie

e

הוכיחו כי (א

1

211

C

Rz

Rze e

edz

e

והסיקו כי

1

lim 01

z

z

CR

edz

e

2הוכיחו כי (ב 1

2

1 1

z z

z

i

z

e edz de z

e e

הסיקו מן הסעיפים הקודמים כי (ג1 sin( )

x

x

edx

e

1

1 2

2

| : 0 2

| :

|

2

: 2 0

| z x x

C z R iy y C z R iy y

R R z x i R R

עקרון הארגומנט - 9פרק

עקרון הארגומנט

חשבו את האינטגרלים הבאים על ידי שימוש בעקרון הארגומנט

1.

2

2

2

1z

zdz

z

2. 2

'( )

( )z

f zdz

f z

כאשר

2

( 3)( 1)( )

z zf z

z

3.

2

1

sin(2 )

sin ( ) 0.5z

zdz

z

משפט רושה

כמה אפסים יש לפונקציה .14( ) 5 1h z z z בעיגול היחידה

(0,1) | 1D z z ?

כמה אפסים יש לפונקציה .24( ) 5 1h z z z בעיגול היחידה

(0,1) | 1D z z ?

כמה אפסים יש לפונקציה .34( ) 5 4h z z z בעיגול

(0,2) | 2D z z ?

כמה פתרונות יש למשוואה .45 3 1 0z z בתחום

(0,1) |1 2D z z ?

כמה אפסים יש לפונקציה .54( ) 10 1h z z z בתחום

|1 3D z z ?

כמה אפסים יש לפונקציה .66 41

( ) 5 72

h z z z z בתחום

|1 2D z z ?

כמה אפסים יש לפונקציה .710 9 2( ) 8 12 1h z z z z בתחום

|1 2D z z ?

מתקדמות העתקות - 10פרק

העתקות בסיסיות

)הוכיחו כי ההעתקה .1 ) 1T z z מעתיקה את התחום | 1A z z

אל התחום | 1 1B w w

)חשבו את .2 6), (6), (6 ), ( 6 )f f f i f i כאשר2( )

i

f z e z

מהי המשמעות הגיאומטרית של ההעתקה?

)מצאו את תמונת מעגל היחידה תחת ההעתקה כאשר .3 ) 2f z z


)מצאו את תמונת הישר הממשי תחת ההעתקה .4 ) if z e z כאשר


מצאו העתקה ליניארית המעתיקה את החצי המישור העליון .5

| Im( ) 0H z z

אל החצי מישור התחתון | Im( ) 0H z z

המישור העליוןמצאו העתקה ליניארית המעתיקה את החצי .6

| Im( ) 0H z z

אל החצי מישור הימני | Re( ) 0rH z z

מצאו העתקה ליניארית המעתיקה את הרביע הראשון .7

| Re(z) 0, Im( ) 0z z

אל הרביע השלישי | Re(z) 0, Im( ) 0z z

מצאו את תמונת הקבוצה .81

| 2

A z z

1תקה תחת ההע ( )f z

z

4מצאו את התמונה של .9 | 0i

A z re r

תחת ההעתקה 2( )f z z

מצאו את התמונה של .10 | 0iA z e עתקת יוקובסקי תחת ה

1 1( )

2f z z

z

מצאו את התמונה של .11 | , 0 1A z x iy y x

תחת ההעתקה ( ) zf z e

מצאו את התמונה של .12 \ ,0C תחת ההעתקה( )w Log z

מצאו את התמונה של .13 | 1 \ ,0z z תחת ההעתקה( )w Log z

מצאו את התמונה של .14 | 0 1 , 0 1 z x iy x y

תחת ההעתקה 2w z

העתקות מוביוס

סעיפים 2-תרגיל זה מחולק ל .1

הוכיחו כי הרכבת העתקות מוביוס הינה העתקה מוביוס, כלומר אם (א

( )az b

f zcz d

)ו )Az B

g zCz D

)אז )f g z .גם העתקת מוביוס

כפל המטריצותחשבו את (ב

a b A B

c d C D

מה הקשר להרכבת העתקות מוביוס?

)הוכיחו כי העתקת מוביוס .2 )az b

w f zcz d

היא פונקציה קבועה כאשר

0ad bc

מצאו את התמונה של .3 | 1D z z תחת ההעתקה1

( )1

zf z

z

הדרכה: ניתן להשתמש בעובדות הבאות:

א( העתקת מוביוס מעבירה קווים ישרים/מעגלים לקווים ישרים/מעגלים

ב( מעגל אינו מכיל את נקודת האינסוף

מצאו את התמונה של .4 | Im( ) 0H z z תחת ההעתקה

1( )

1

zf z

z

של מצאו את התמונה .5 | Im( ) 0H z z תחת ההעתקה

( )z i

f zz i

הלמה של שוורץ - 11פרק

הלמה של שוורץ

: הוכיחו את הלמה של שוורץ .1

)תהי )f z הולומורפית בD(0,1) )המקיימת כי לכול )עיגול היחידהD(0,1)z מתקיים

( ) 1f z

(0)ובנוסף 0f הוכיחו כי בהכרח מתקיים ,( )f z z לכולD(0,1)z.

יחו הכללה של הלמה של שוורץ:הוכ .2

)תהי )f z הולומורפית בD(0,1) עיגול היחידה( המקיימת כי לכול(D(0,1)z

)מתקיים ) 1f z

ובנוסף ( )(0) ... (0) 0mf f 1, הוכיחו כי בהכרח מתקיים

( )m

f z z

.D(0,1)zלכול

טבעי כולשהוא. 1mכאשר

בתרגיל זה נסמן .3 | Re( ) 0rH z z

ו | 1D z z

יהי (אrH קבוע כולשהוא. הוכיחו כי ההעתקה( )

zz

z

מעבירה את

), כלומר Dאל עיגול היחידה rHהחצי המישור הימני )rH D

:תהי (ב rf H D אנליטית ונניח שקיימתrH כך ש( ) '( ) 0f f

הוכיחו כי לכול rw H מתקיים

2

(w)w

fw

:תהי (ג rf H D אנליטית ונניח שקיימות, rH שונות )כלומר( )

)כך שמתקיים ) ( ) 0f f

הוכיחו כי לכול rw H מתקיים(w)

w wf

w w

נסמן בתרגיל זה .4 | 1D z z

0יהי (א 1r הוכיחו כי ההעתקה כלשהואקבוע .( )1

r

z rz

rz

מעבירה את

)עיגול היחידה לעצמו , כלומר )r D D

f:תהי (ב D D 0אנליטית ונניח שקיים 1r כך ש

(0) ( ) ( ) 0f f r f r

zהוכיחו כי לכול D מתקיים

2 2

2 2( )

1

z rf z z

r z

םיניינע ןכות - gool)31 z.הדיחיה לגעמל ץוחמ אצמנה סואג...

Documents