热学（ heat ）

1

热学（ Heat ）热学是研究与热现象有关的规律的科学。热现象是物质中大量分子无规则运动

的集体表现。大量分子的无规则运动称为热运动。

2

热学的研究方法： 1. 宏观法 . 最基本的实验规律逻辑推理 ( 运用数学 ) ------ 称为热力学。优点：可靠、普遍。缺点：未揭示微观本质。

2. 微观法 . 物质的微观结构 + 统计方法 ------ 称为统计力学其初级理论称为气体分子运动论优点：揭示了热现象的微观本质。缺点：可靠性、普遍性差。

宏观法与微观法相辅相成。

3

(Kinetic theory of gases)

退出退出

§6.4 §6.4 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律

§6.3 §6.3 能量均分定理能量均分定理

§6.1 §6.1 宏观和微观宏观和微观

§6.2 §6.2 理想气体的压强与温度理想气体的压强与温度

4

对热力学系统的两种描述方法：

1. 宏观量 (macroscopic quantity) 从整体上描述系统的状态量，这些量反映了大量分子的集体特性，一般可以直接测量。如 M 、 V 、 E 、 P 、 T 等2. 微观量 (microscopic quantity) 描述系统内微观粒子的物理量。如分子的质量 m 、直径 d 、速度 v 、动量 p 、能量等。微观量与宏观量有一定的内在联系。例如，气体的压强是大量分子撞击器壁的平均效果，它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。

一、宏观量与微观量一、宏观量与微观量

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§6.1 §6.1 宏观和微观宏观和微观

5

平衡态是一个理想化模型，我们主要研究平衡态的热学规律。

动态平衡：处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。这称为动态平衡。

二、平衡态二、平衡态 (equilibrium state)(equilibrium state)

在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间改变的状态，称为平衡态。


6

其中＝ m/M — 气体的摩尔数， M — 摩尔质量， R ＝ 8.31J/ （ mol·K ）—气体常数

KT 16.2730 摄氏温度 t 与理想气体温度 T 的关系 t=T-273.16

)(31.8 11

0

,00 KmolJT

VPR mol

说明 1 与通常状态相比，在压强不太大和温度不太低时，常见气体服从此方程。

2 气体越稀薄，精度越高。上页下页退出返回

RTPV 三、理想气体状态方程三、理想气体状态方程

对质量为 m 的理想气体

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一一 .. 微观模型微观模型 1. 对单个分子的力学性质的假设

•分子当作质点，不占体积；（因为分子的线度 << 分子间的平均距离）•分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力。（忽略重力）•分子之间及分子与器壁之间为弹性碰撞•服从牛顿力学分子数目太多，无法解这么多的联立方程。即使能解也无用，因为碰撞太频繁，运动情况瞬息万变，必须用统计的方法来研究。


§6.2 §6.2 理想气体的压强与温度理想气体的压强与温度

8

平衡态时分子的速度按方向的分布是各向均平衡态时分子的速度按方向的分布是各向均匀的匀的

平衡态时分子按位置的分布是均匀的，平衡态时分子按位置的分布是均匀的，即分子数密度到处一样，不受重力影响；即分子数密度到处一样，不受重力影响；

2. 2. 对大量分子集体的统计假设对大量分子集体的统计假设

V

N

dV

dNn


9

分子在分子在 x x 方向的平均速度：方向的平均速度：

N

vvvv Nxxx

x

21

由于分子沿 x 轴正向正向和 x 轴负向负向的运动概率是相同的，因此，在 x 方向上分子的平均速度为 0 。

同样有 0 , 0 zy vv

分子速度在分子速度在 xx 方向的方均值：方向的方均值：

N

vvvv Nxxx

x

222

212

0


N

i

ix

N

v

1

2

10

N

i

ixx N

vv

1

22

同理，分子速度在同理，分子速度在 yy 、、 zz 方向的方均值：方向的方均值：

,1

22

N

i

iyy N

vv

N

i

izz N

vv

1

22

由于分子在 x 、 y 、 z 三个方向上没有哪个方向的运动占优势，所以，分子的三个速度方均值相等。

222zyx vvv


11

由矢量合成法则，分子速度的方均值为：由矢量合成法则，分子速度的方均值为：2222zyx vvvv

则则3

22 v

v x

23 xv

N

vN

iix

1

2


12

压强是由于大量气体分子对容器壁碰压强是由于大量气体分子对容器壁碰撞的结果。撞的结果。一个分子对器壁的冲力很小，大量分子的冲力就是宏观一个分子对器壁的冲力很小，大量分子的冲力就是宏观的压力的压力例如：篮球充气后，球内产生压强，是由大量气体分子对球壁碰撞的结果。

压强公式解释了宏观的压强与微观的气体分子运动之间的关系。


三、理想气体压强公式的推导三、理想气体压强公式的推导

13

设长方形容器的边长分设长方形容器的边长分别为别为 xx 、、 yy 、、 zz 。体。体积为积为 VV ，其内有，其内有 N N 个个分子，分子的质量为分子，分子的质量为 m m ，视为弹性小球，，视为弹性小球，速度为速度为 v v 。。

V

Nn

分子数密度分子数密度 nn ：：单单位体积内的分子数。位体积内的分子数。

x

y

z

m

v

N V


14

x

y

z

o

则有N

vv

v

N

iix

x

1

22

2

32. 分子以 vx 向 A1 面碰撞，并以 vx 弹回，分子受分子受 A1 面的冲量面的冲量

11.. 跟踪一个分子，某一时刻的速度 v 在 x 方向的分量为 vx 。

m

1A2A

xvxxx PPI 0

xv

xx mvmv

xmv2上页下页退出返回

15

由牛顿第三定律， A1 面受到分子的冲量为

xx mvI 2

x

y

z

m

o

xv

1A2A

xv

3.3. 分子与 A2 面发生碰撞后，又与 A1 面发生碰撞，相继两次对相继两次对 AA11

面碰撞所用的时间：面碰撞所用的时间：xvxt /2

单位时间内对单位时间内对 AA11 面的碰面的碰撞次数为：撞次数为： x

v

tx

2

1


16

4.4. 单位时间一个单位时间一个分子对 A1 面的冲量的冲量（即平均平均冲力冲力）为：

t

If x

x

5.5. 容器内容器内 NN 个分子对器壁的平均冲力为：个分子对器壁的平均冲力为：

N

iixfF

1

6.6.AA11 面受到的压强为：面受到的压强为：

S

FP

x

vmv x

x 22

x

mv x2

x

mv ixN

i

2

1

xyz

mv ixN

i

2

1


17

体积体积 VV 为：为： xyzV

V

mvP ix

N

i

2

1

则压强则压强

上下同乘上下同乘 N N 得得N

v

V

NmP ix

N

i

2

1

N

vv

v

N

iix

x

1

22

2

3由由和

V

Nn

压强公式：压强公式： 2

3

1vnmP


18

定义分子定义分子平均平动动能平均平动动能：： 2

2

1vmw

压强公式压强公式又可表示为：又可表示为： wnvnmP3

2

3

1 2

2

3

1vnmP


19

1.1. 压强是由于大量气体分子碰撞器壁产生的，压强是由于大量气体分子碰撞器壁产生的，它是对它是对大量大量分子分子统计平均统计平均的结果。对单个分子的结果。对单个分子无压强的概念。无压强的概念。2.2. 压强公式建立起宏观量压强压强公式建立起宏观量压强 P P 与微观气体与微观气体分子运动之间的关系。分子运动之间的关系。

3.3.

wnvnmP3

2

3

1 2

分子数密度越大，压强越大；分子数密度越大，压强越大；nP

分子运动得越激烈，压强越大。分子运动得越激烈，压强越大。wP 上页下页退出返回

※※ 注意几点注意几点

20

三．理想气体的温度和分子平均平动动能三．理想气体的温度和分子平均平动动能

k=1.3810 -23 J/K ：玻尔兹曼常数

w = 32

kT

平均平动动能只与温度有关

RTmN

NmRTM

MPVAmol

nkTRTVN

NPA

wnP3

2

wk

T3

2 理想气体的温度公式


21

1 温度是统计概念，只能用于大量分子；2 温度标志物体内部分子无规运动的剧烈程度。

有方均根速率 v2 = m

3kT3RT

=

例 1. 在0 oC 时，

H2 分子 smv /18361002.2

273 31.833

2

O2 分子 smv /4611032

273 31.833

2

kTvmw2

3

2

1 2 由：


22

例例 1.1. 处于平衡状态的处于平衡状态的 AA 、、 BB 、、 C C 三种理想三种理想气体气体 ,, 储存在一密闭的容器内储存在一密闭的容器内 , , A A 种气体分子种气体分子数密度为数密度为 nn11,, 其压力为其压力为 PP11 , , B B 种气体的分子数种气体的分子数密度为密度为 22nn1 1 , , C C 种气体的分子数密度为种气体的分子数密度为 33nn1 1 ,,则混合气体压强为则混合气体压强为 : :

[ A ]（ A ） 6P1 （ B ） 5 P1 （ C ） 3P1 （ D ） 2 P1


wnP 11 3

2wnvnmP

3

2

3

1 2

112 223

2PwnP 113 33

3

2PwnP

23

例 2. 按 PV 2 = 恒量规律膨胀的理想气体 , 膨胀后的温度为 :

[ C ]（ A ）升高 ; （ B ）不变 ;（ C ）降低 ; （ D ）无法确定 .

例 3. 一瓶氦气 He 和一瓶氮气 N2 密度相同 ,分子平均平动动能相同 , 而且都处于平衡状态 ,则它们：

[ C ]（ A ）温度相同、压强相同。（ B ）温度、压强都不同。（ C ）温度相同 , 但氦气的压强大于氮气的压强。（ D ）温度相同 , 但氦气的压强小于氮气的压强。

24

)2

1(

3

2 2vmnp

Pap 522626 1067.24001052

110

3

2

例例 44 ：：贮于贮于体积为体积为 1010-3-3 m m33 容器中某种气体，气容器中某种气体，气体总数体总数 N=10N=102323 ，每个分子的，每个分子的质量为质量为 5×105×10-26-26 kg kg ，，分子分子方均根速率为方均根速率为 400m/S400m/S 。求气体的压强和气。求气体的压强和气体分子的总平动动能以及气体的温度。体分子的总平动动能以及气体的温度。

解：解：由压强公式

代入数值，得：


2610V

Nn smv /4002

25

得气体的温度 :

JvmN

wNEk 4002

40010510

2

226232

nkTp

KNk

pV

nk

pT 193

1038.110

101067.22323

35

气体分子的总平动动能为：

由 :


26

§6.3 能量均分定理研究气体的能量时，气体分子不能再看成质点，微观模型要修改，因为分子有平动动能，还有转动动能，振动动能。自由度：确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。

x

y

z

：轴方向：自转角度

刚性双原子分子（ H2 ， O

2 ）：

3t

32, tr

单原子分子（ He ， Ar ）

刚性多原子分子（ H2O ）：3,3 tr


27

一、能量均分定理

能量均分定理：在绝对温度 T 时的平衡态下，物质分子的任何一个自由度上均分配有 kT/2 的平均能量。

由理想气体模型单原子分子：

1

2

1

2

1

2E = mvx

2 + mvy2 + mvz

2

1

2平均动能 = 3 kT 每个平动自由度分配平均能

1

2 kT

kTi

kTrt2

)(2

1 rti


28

单原子分子（ He ， Ar ）：

刚性多原子分子（ H2O ）：

刚性双原子分子（ H2 ， O

2 ）：

kTrt2

3;0,3

kTrt2

5;2,3

kTrt2

6;3,3


29

RTikTiNE22

二．理想气体的内能 (Internal energy)

1 ．内能 : 分子动能，分子中原子间的势能和分子间势能的总和 2 ．理想气体内能

分子间势能为零，内能只包括分子的平动，转动，振动动能和振动势能

内能只与 T 有关。若气体有 N 个分子 , 则

其中 N 为气体的分子总数


30

1 ．理想气体内能完全由分子的自由度 i和热力学温度 T 决定，与 P 、 V 无关。

2 ．理想气体内能是温度的单值函数，也是理想气体状态的单值函数。

说明

3 ．理想气体内能是描述气体系统宏观状态的物理量。

例 6 ． 0℃时，分别求 1mol 的 He 、 H2 、 O2 、 CH4

、 Cl2 、 CO2 的内能。温度升高 1K 时，内能分别增加多少？

RTiE20

单原子分子（ He ）： JRTE 34102

30

解： 1mol 理想气体的内能

4 ．理想气体内能不同于力学中的机械能。


31

多原子分子（ CH4 ， CO2 ）：

双原子分子（ H2 ， Cl2 ， O

2 ）：

JRTE 568025

0

JRTE 681026

0

TRiE 20

单原子分子： JRE 5.122

30

多原子分子：

双原子分子： JRE 8.2025

0

JRE 9.2426

0

温度升高⊿ T 时，内能增量为：


32

§ 6.4 麦克斯韦速率分布律

单个分子速率不可预知，大量分子的速率分布是遵循统计规律，是确定的，这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。

速率分布函数：按统计假设分子速率通过碰撞不断改变，不好说正处于哪个速率的分子数多少，但用某一速率区间内分子数占总分子数的比例为多少的概念比较合适，这就是分子按速率的分布。

设总分子数 N ，速率区间 v ~ v+dv ，该区间内分子数 dNv

则dNv

Ndv= f(v)

速率分布函数速率 v 附近单位速率区间内分子数占总分子数的百分比。


33

麦克斯韦速率分布函数f(v)= 4

m2 kT

3/2v2e -m v /2kT2

f(v)

f(vp)

vvp v v+dv

面积 = dNV

N

显然 f(v)dv=1

0归一化条件


34

f(v)

f(vp3)

vvp

f(vp1)

f(vp2)

T1

T3

T2

温度越高，速率大的分子数越多

1 最可几速率 vp

（ The most probable speed)

f `(v) = 0

vp =2kT

m=

2RT

不要问速率刚好等于某一值的分子数多少，没有意义。上页下页退出返回

35

2 平均速率（ average speed ）

vi

N

iN = vdNv / N = v f(v)dv

0v =

v =8kT

m=

8RT

3 方均根速率 (root-mean-square speed)

v 2i

N

iN = v 2dNv / N = v2 f(v)dv

0v2 =

v2 = 3kT/m v2 =3kT

m=

3RT

方均根速率最大，平均速率次之，最可几速率最小。上页下页退出返回

热学 （ heat ）

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