绪 论绪 论IntroductionIntroduction

《《解析几何解析几何》》

““解析几何解析几何””又名“坐标几何”又名“坐标几何” ,, 是几何学的一个分支。是几何学的一个分支。

解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何问题，它的基本方解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何问题，它的基本方法是坐标法。即通过坐标把几何问题表示成代数形式，然后通过代数方法是坐标法。即通过坐标把几何问题表示成代数形式，然后通过代数方

程来表示和研究曲线程来表示和研究曲线。。

它包括“平面解析几何”和“空间解析几何”两部分。它包括“平面解析几何”和“空间解析几何”两部分。 前一部分除研究直线的有关性质外，主要研究圆锥曲线（椭前一部分除研究直线的有关性质外，主要研究圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。后一部分除研究平面、直线的有关圆、抛物线、双曲线）的有关性质。后一部分除研究平面、直线的有关

性质外，主要研究二次曲面（椭球面性质外，主要研究二次曲面（椭球面、、抛物面、双曲面等）的有关性质。抛物面、双曲面等）的有关性质。

绪论 绪论 ((IntroductionIntroduction))

一、解析几何发展简史一、解析几何发展简史

二、本课程的主要内容及基本要求二、本课程的主要内容及基本要求

三、主要参考书三、主要参考书

四、学习要求四、学习要求

五、考核方式及成绩评定五、考核方式及成绩评定

绪论 绪论 ((IntroductionIntroduction))

一、解析几何发展简史一、解析几何发展简史

11 、解析几何产生的实际背景和数学条件 、解析几何产生的实际背景和数学条件

22 、解析几何的创立、解析几何的创立

33 、解析几何创立的意义、解析几何创立的意义

44 、解析几何的发展和完善、解析几何的发展和完善

55 、解析几何的进一步发展、解析几何的进一步发展

解析几何的实际背景更多的是来自对解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学变量数学的需求。的需求。

11 ．解析几何产生的实际背景和数学条件 ．解析几何产生的实际背景和数学条件

解析几何产生数学自身的条件：解析几何产生数学自身的条件：

一、几何学已出现解决问题的乏力状态；一、几何学已出现解决问题的乏力状态；

二、代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度二、代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度 ..

　 解析几何的实际背景更多的是来自对　 解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学变量数学的需求。从的需求。从1616 世纪开始，欧洲资本主义逐渐发展起来，进入了一个生产世纪开始，欧洲资本主义逐渐发展起来，进入了一个生产迅速发展，思想普遍活跃的时代。生产实践积累了大量的新经迅速发展，思想普遍活跃的时代。生产实践积累了大量的新经验，并提出了大量的新问题。可是，对于机械、建筑、水利、验，并提出了大量的新问题。可是，对于机械、建筑、水利、航海、造船、显微镜和火器制造等领域的许多数学问题，已有航海、造船、显微镜和火器制造等领域的许多数学问题，已有的的常量数学常量数学已无能为力，人们迫切地寻求解决已无能为力，人们迫切地寻求解决变量问题变量问题的新数的新数学方法。学方法。

解析几何产生的实际背景解析几何产生的实际背景

解析几何产生前的几何学 解析几何产生前的几何学

特点：特点：静态的几何静态的几何 , , 既不把曲线看成是一种动点的轨既不把曲线看成是一种动点的轨迹迹 ,, 更没有给它以一般的表示方法更没有给它以一般的表示方法 ..

平面几何，立体几何（欧几里得的平面几何，立体几何（欧几里得的《《几何原本几何原本》》））圆锥曲线论（阿波罗尼斯的圆锥曲线论（阿波罗尼斯的《《圆锥曲线论圆锥曲线论》》））

解析几何产生的数学条件解析几何产生的数学条件 (( 一一 ) )

1616 世纪以后世纪以后 ,, 哥白尼提出日心说，伽利略得出惯性定律和哥白尼提出日心说，伽利略得出惯性定律和自由落体定律，这些都向几何学提出了用自由落体定律，这些都向几何学提出了用运动的观点运动的观点来认识和处来认识和处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题．几何学必须从观点到方法来理圆锥曲线及其他几何曲线的课题．几何学必须从观点到方法来一个变革，创立起一种一个变革，创立起一种建立在运动观点上的几何学建立在运动观点上的几何学．．

几何学出现解决问题的乏力状态几何学出现解决问题的乏力状态

解析几何产生的数学条件解析几何产生的数学条件 (( 二二 ) )

1616 世纪代数的发展恰好为解析几何的诞生创造了条件． 世纪代数的发展恰好为解析几何的诞生创造了条件．

15911591年法国数学家韦达第一个在代数中有意识地系统地年法国数学家韦达第一个在代数中有意识地系统地使用了字母，他不仅用字母表示未知数使用了字母，他不仅用字母表示未知数 ,, 而且用以表示已知数，而且用以表示已知数，包括方程中的系数和常数．这样，代数就从一门以分别解决各包括方程中的系数和常数．这样，代数就从一门以分别解决各种特殊问题的侧重于计算的数学分支，成为一门以种特殊问题的侧重于计算的数学分支，成为一门以研究一般类研究一般类型的形式和方程的学问型的形式和方程的学问．这就为几何曲线建立代数方程铺平了．这就为几何曲线建立代数方程铺平了道路．道路．代数的符号化代数的符号化，使坐标概念的引进成为可能，从而可建，使坐标概念的引进成为可能，从而可建立一般的曲线方程，发挥其具有普遍性的方法的作用．立一般的曲线方程，发挥其具有普遍性的方法的作用．

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1717 世纪前半叶，解析几何创立，其中法国数学家笛卡尔世纪前半叶，解析几何创立，其中法国数学家笛卡尔（（ DescartesDescartes ，， 1596-1650)1596-1650) 和费尔玛（和费尔玛（ fermatfermat ，， 1601-1661601-16655 ）作出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。）作出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。

22 ．解析几何的创立 ．解析几何的创立

16371637年，笛卡尔发表哲学著作年，笛卡尔发表哲学著作《《更好地指导和寻求真理的方法更好地指导和寻求真理的方法论论》》（简称（简称《《方法论方法论》》），），《《几何学几何学》》作为其附录之一发表作为其附录之一发表 ..

笛卡尔的解析几何有两个基本思想：笛卡尔的解析几何有两个基本思想：（１）用有序数对表示点的坐标；（１）用有序数对表示点的坐标；（２）把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一（２）把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一条曲线。条曲线。

22 ．解析几何的创立 ．解析几何的创立

笛卡尔的笛卡尔的《《几何几何》》虽然不像现在的解析几何那样，给读者展现虽然不像现在的解析几何那样，给读者展现出一个从建立坐标系和方程到研究方程的循序过程，但是他通过出一个从建立坐标系和方程到研究方程的循序过程，但是他通过具体的实例，确定表达了他的新思想和新方法．这种思想和方法具体的实例，确定表达了他的新思想和新方法．这种思想和方法尽管在形式上没有现在的解析几何那样完整，但是在本质上它却尽管在形式上没有现在的解析几何那样完整，但是在本质上它却是地道的解析几何． 是地道的解析几何．

早在笛卡尔的早在笛卡尔的《《几何学几何学》》发表以前，费尔玛已经用解析几何发表以前，费尔玛已经用解析几何的方法对阿波罗尼斯某些失传的关于轨迹的证明作出补充．的方法对阿波罗尼斯某些失传的关于轨迹的证明作出补充．

费尔玛是一位业余数学家，但他的数学成就在费尔玛是一位业余数学家，但他的数学成就在 1717 世纪数学史上世纪数学史上非常突出，为微积分、概率论和数论的创立和发展都作出了最重非常突出，为微积分、概率论和数论的创立和发展都作出了最重要的贡献。要的贡献。

他通过引进坐标，以一种统一的方式把几何问题翻译为代数的他通过引进坐标，以一种统一的方式把几何问题翻译为代数的语言语言————方程，从而通过对方程的研究来揭示图形的几何性质．方程，从而通过对方程的研究来揭示图形的几何性质．费尔玛所用的坐标系与现在常用的直角坐标系不同，它是斜坐费尔玛所用的坐标系与现在常用的直角坐标系不同，它是斜坐标，而且也没有标，而且也没有 y y 轴． 轴．

22 ．解析几何的创立 ．解析几何的创立

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解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系，从此，代数与几何这两门学科互相吸取营养而得到迅速的联系，从此，代数与几何这两门学科互相吸取营养而得到迅速发展，并结合产生出许多新的学科，近代数学便很快发展起来了。发展，并结合产生出许多新的学科，近代数学便很快发展起来了。

33 ．解析几何创立的意义．解析几何创立的意义

恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说：“数学中的转折恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。了。””

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笛卡尔和费马创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义。笛卡尔和费马创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义。

牛顿牛顿对二次和三次曲线理论进行了系统的研究，特别是，得到对二次和三次曲线理论进行了系统的研究，特别是，得到了关于“直径”的一般理论。了关于“直径”的一般理论。

欧拉欧拉讨论了坐标轴的平移和旋转，对平面曲线作了分类。讨论了坐标轴的平移和旋转，对平面曲线作了分类。

拉格朗日拉格朗日把力、速度、加速度“算术化”，发展成“向量”把力、速度、加速度“算术化”，发展成“向量”的概念，成为解析几何的重要工具。的概念，成为解析几何的重要工具。

1818 世纪的前半期，世纪的前半期，克雷洛克雷洛和和拉盖尔拉盖尔将平面解析几何推广到将平面解析几何推广到空间，建立了空间解析几何。空间，建立了空间解析几何。

44 ．解析几何的发展和完善．解析几何的发展和完善

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解析几何已经发展得相当完备，但这并不意味着解析几何的解析几何已经发展得相当完备，但这并不意味着解析几何的活力已结束。经典的解析几何在向近代数学的多个方向延伸。例活力已结束。经典的解析几何在向近代数学的多个方向延伸。例如：如：n n 维空间维空间的解析几何学，的解析几何学，无穷维空间无穷维空间的解析几何（希尔伯特空的解析几何（希尔伯特空间几何学）间几何学）

2020 世纪以来迅速发展起来的两个新的宽广的数学分支世纪以来迅速发展起来的两个新的宽广的数学分支————泛函泛函分析和代数几何分析和代数几何，也都是古典解析几何的直接延续。，也都是古典解析几何的直接延续。

微分几何微分几何的内容在很大程度上吸收了解析几何的成果。的内容在很大程度上吸收了解析几何的成果。

55 ．解析几何的进一步发展．解析几何的进一步发展

关于解析几何产生的历史，可以查阅数学史方面关于解析几何产生的历史，可以查阅数学史方面的书，例的书，例如李文林的如李文林的《《数学史概论数学史概论》》（高等教育出版社），或（高等教育出版社），或上网查阅上网查阅查关的内容，网址：查关的内容，网址：

www.0-100.com.cn/2/22/07/0641.htmwww.0-100.com.cn/2/22/07/0641.htm

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本课程在中学平面向量和平面解析几何的基础上，进一步本课程在中学平面向量和平面解析几何的基础上，进一步学习空间向量和空间解析几何。主要内容有：　　学习空间向量和空间解析几何。主要内容有：　　

　　　　第一章　向量与坐标第一章　向量与坐标

　　第二章　轨迹与方程　　第二章　轨迹与方程

　　第三章　平面与空间直线　　第三章　平面与空间直线

　　第四章　柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面　　第四章　柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

　　第五章　二次曲线的一般理论　　第五章　二次曲线的一般理论

在本课程中，在本课程中，向量向量这一有力工具得到充分的利用。这一有力工具得到充分的利用。

二、本课程的主要内容及基本要求二、本课程的主要内容及基本要求

解析几何是高等师范院校数学专业一门必修的解析几何是高等师范院校数学专业一门必修的基础课基础课 .. 通通过本课程的学习达到以下基本要求：过本课程的学习达到以下基本要求： 掌握解析几何的基本知识和基本理论，善于运用坐标和向量掌握解析几何的基本知识和基本理论，善于运用坐标和向量为工具，把几何问题转化为代数方程以达到解决几何问题的目为工具，把几何问题转化为代数方程以达到解决几何问题的目的的 ..

培养用形数结合的方法来解决问题的能力；培养用形数结合的方法来解决问题的能力； 熟练地掌握一些几何图形的性质及其标准方程，熟练地进行熟练地掌握一些几何图形的性质及其标准方程，熟练地进行某些几何量的计算；某些几何量的计算； 会描绘一些常见的空间曲线和曲面的图形，进一步提高空间会描绘一些常见的空间曲线和曲面的图形，进一步提高空间想象能力。想象能力。

二、本课程的主要内容及基本要求二、本课程的主要内容及基本要求

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1.1.宋卫东宋卫东 .. 解析几何解析几何 .. 北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社， 2003.72003.7

2.2.杨文茂， 李全英编著杨文茂， 李全英编著 .. 空间解析几何空间解析几何 .. 武汉：武汉大学出版武汉：武汉大学出版

社，社， 2003 2003

3.3.朱鼎勋，陈绍菱朱鼎勋，陈绍菱 .. 空间解析几何学空间解析几何学 .. 北京北京 :: 北京师范大学出版北京师范大学出版

社，社， 19841984

4.4.陈鹗陈鹗 .. 解析几何讲义解析几何讲义 .. 北京北京 :: 高等教育出版社，高等教育出版社， 19831983

5.5.朱德祥，朱纸宗朱德祥，朱纸宗 .. 新编解析几何学新编解析几何学 .. 重庆重庆 :: 西南师范大学出版西南师范大学出版

社，社， 19891989

6.6.南开大学数学系编南开大学数学系编 .. 空间解析几何引论空间解析几何引论 .. 北京北京 :: 人民教育出版人民教育出版

社，社， 19781978

7.7. 方德植方德植 .. 解析几何解析几何 .. 北京北京 :: 高等教育出版社，高等教育出版社， 19861986

三、主要参考书三、主要参考书

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１、课前预习１、课前预习 ..

２、课上认真听讲，积极思考，记好笔记２、课上认真听讲，积极思考，记好笔记 ..

３、课后及时复习，独立认真地完成作业３、课后及时复习，独立认真地完成作业 ..

４、课外适当阅读课外参考书，拓宽知识面，加深对课本内４、课外适当阅读课外参考书，拓宽知识面，加深对课本内容的理解容的理解 ..

四、学习要求四、学习要求

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总评成绩＝平时成绩 ×30%

　　　　　 + 期末考试成绩 70%

考核方式：闭卷考试

五、考核方式及成绩评定

向量与坐标向量与坐标vector and coordinatevector and coordinate

《《解析几何解析几何》》 －－ Chapter Chapter 11

ContentsContents

向量的概念 1

向量的加减法 2

数量乘向量 3

向量的线性关系与分解 4

标架与坐标 5

向量在轴上的射影 6

向量的数量积 7

向量的向量积 8

三向量的混合积 9

三向量双重向量积 10

§§ 11 　向量的概念　向量的概念

《《解析几何解析几何》》 －－ Chapter Chapter 11

一、向量的概念

二、几种特殊的向量

ContentsContents

定义定义 1.1.11.1.1 既有大小又有方向的量叫做既有大小又有方向的量叫做向量向量，，或称或称矢量，矢量，简称简称矢矢 ..

数量数量 (( 标量标量 )) 是在规定单位下是在规定单位下 ,, 可用一个数值来描述的可用一个数值来描述的量量 ..

2.2. 数量数量 (( 标标量量 ))

1.1. 向量向量

一一、、向量的概念向量的概念

3.3. 向量的几何表示向量的几何表示

4.4. 向量的模向量的模

a

有向线段的长度表示向量的有向线段的长度表示向量的大小大小，，有向线段的方向表示向量的有向线段的方向表示向量的方向方向 ..

用用有向线段有向线段表示向量，有向线段的始点与终点分别叫做向量 表示向量，有向线段的始点与终点分别叫做向量 的 始点与终点的 始点与终点 ..a

向量的大小叫做向量的向量的大小叫做向量的模模，也称向量的，也称向量的长度长度 .. 记做 记做 ..a

BackBack注：注：向量之间不可比较大小向量之间不可比较大小 ,, 但是它们的模可以比较大但是它们的模可以比较大小小 ..

一一、、向量的概念向量的概念

单位向量就是模为单位向量就是模为 11 的向的向量量 ..

2.2.零向量零向量

1.1.单位向量单位向量（单位向量不惟一）（单位向量不惟一）

3.3.相等向量相等向量

0

模为模为 00 的向量叫做零向量的向量叫做零向量 .. 记做 记做 .. 它是起点和终点重合的它是起点和终点重合的向量向量 . .

0.a a a��������������

单 单 记与 同方向的 位向量叫做 的 位向量， 做

定义定义 1.1.21.1.2 如果两个向量的模相等且方向相同，那么如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做叫做相等向量相等向量 ,, 所有的零向量都相等所有的零向量都相等 .. 向量 与 相等，记向量 与 相等，记为 为 ..

ba

b

a

二二、几种特殊的、几种特殊的向量向量

4.4. 自由向量自由向量 两个向量是否相等与它们的始点无关，只由它们的模和方两个向量是否相等与它们的始点无关，只由它们的模和方向决定，向决定，

自由向量可以任意平行移动，移动后的向量仍然代表原来自由向量可以任意平行移动，移动后的向量仍然代表原来的向量的向量 ..

定义定义 1.1.31.1.3 两个模相等，方向相反的向量叫做互为两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向反向量量 ..

a a

5.5.相反向量相反向量

的反向量记为的反向量记为a

a

与 互为反向量与 互为反向量AB��������������

BA��������������

我们以后讨论的向量均为自由向量我们以后讨论的向量均为自由向量 ..

这种始点可以任意选取，只由模和方向决定的向量，这种始点可以任意选取，只由模和方向决定的向量，称为称为自由向量自由向量 ..

二二、几种特殊的、几种特殊的向量向量

定义定义 1.1.41.1.4 平行于同一直线的一组向量叫做平行于同一直线的一组向量叫做共线向量共线向量 ..零向量与任何共线的向量组共线零向量与任何共线的向量组共线 ..

定义定义 1.1.51.1.5 平行于同一平面的一组向量叫做平行于同一平面的一组向量叫做共面向共面向量量 .. 零向量与任何共面的向量组共面零向量与任何共面的向量组共面 ..

6.6.共线向量共线向量

7.7.共面向量共面向量. 0 0

线注 不共： 与a b a b≠ ，≠

注：注： 1.1. 一组共线向量未必在一条直线上；一组共线向量未必在一条直线上； 一组共面向量也未必在一个平面上一组共面向量也未必在一个平面上 ..

2.2. 一组共线向量一定是共面向量一组共线向量一定是共面向量 ..

3.3. 两个向量一定是共面向量两个向量一定是共面向量 ..

二二、几种特殊的、几种特殊的向量向量

1.1. 向量向量

4.4. 自由向量自由向量

6.6.共线向量共线向量

7.7.共面向量共面向量

1.1.单位向量单位向量

5.5.相反向量相反向量

2.2.零向量零向量

3.3.相等向量相等向量

4.4. 向量的模向量的模

2.2. 数量数量

3.3. 向量的大向量的大小小 向量的方向向量的方向

一、向量的概念一、向量的概念 二、几种特殊的向量二、几种特殊的向量

1.11.1 向量的概念向量的概念 (( 小结小结 ))

作业：作业：pppp.3-4 2, 4, 5.3-4 2, 4, 5