素数の分解法則(フロベニウスやばい) #math_cafe
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@tsujimotter
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• “ ”
•
•
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23
57
1113
1+i 1-i
2+i 2-i
3+2i 3-2iイメージ
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質問タイム
質問タイム
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お約束
以降, は素数を表す記号とするp
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p = 2 or 1+ 4n () p = X
2 + Y
2
p = 2 or p ⌘ 1 (mod 4)
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ほんとに成り立つのか
13 = 22 + 32
17 = 12 + 42
29 = 22 + 52
37 = 12 + 62
41 = 42 + 52
53 = 22 + 72
57 = グロタンディーク素数
5 = 12 + 22
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大きな素数でも
2017 = 92 + 442
20160709 = 27852 + 35222
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p = 3 or 1+ 3n () p = X
2 + 3Y
2
p = 3 or p ⌘ 1 (mod 3)
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p = 7 or 1, 2, 4+ 7n () p = X
2 + 7Y
2
p = 7 or p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7)
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まとめると
p = 7 or 1, 2, 4+ 7n () p = X
2 + 7Y
2
p = 2 or 1+ 4n () p = X
2 + Y
2
p = 3 or 1+ 3n () p = X
2 + 3Y
2
p = 7 or p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7)
p = 3 or p ⌘ 1 (mod 3)
p = 2 or p ⌘ 1 (mod 4)
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Primesoftheformx2+ny2
http://tsujimotter.info/works/primes-of-the-form/
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見方をかえる
p = X2 + nY2
= (X+ Yp-n)(X- Y
p-n)
整数の世界で素数だったものが
√-n を加えた世界で分解してしまう
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整数に √-1 を加えた世界
5 は完全分解する 7 は惰性する (2 は分岐する)
整数の世界
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• i を加えると別れてしまう
• i があると空中分解する
• i があっても惰性する
√-1 = i
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整数の世界
整数に √-1 を加えた世界
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整数の世界
整数に √-7 を加えた世界
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Q(ζm)
K
Q
{ 1(mod m) }
(Z/mZ)×
Hmod m で
分解法則が決まる
ガロア群
体の塔 mod m の群の塔
p 2 H () p
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定義:2次体と円分体
Q
Q
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虚軸
実軸
円の5等分点
⇣5 = cos
✓2⇡
5
◆+ i sin
✓2⇡
5
◆
⇣25
⇣35
⇣45
⇣55 = 1(5乗すると1になる)
⇣5 = cos
✓2⇡
5
◆+ i sin
✓2⇡
5
◆
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a + b√-7
a
拡大次数
1 の軸
√-7 の軸
b
a
a+b√-7
a+ bp-7
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二次体と円分体の拡大次数[Q(√-1) : Q] のように書く
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a + bζ+ cζ
2 + dζ3 + …
a,b,…
m
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ガウス和虚軸
実軸
⇣5 = cos
✓2⇡
5
◆+ i sin
✓2⇡
5
◆
⇣25
⇣35
⇣45
p5 = ⇣5 - ⇣25 - ⇣35 + ⇣45
p-p
pp ⇣p
p-7 = ⇣7 + ⇣27 + ⇣47 - ⇣37 - ⇣57 - ⇣67
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体の拡大の記法
Q
⇢⇢
K
Q(⇣m)書き換え
Q
K
Q(⇣m)
[Q(⇣m) : K]
[K : Q]
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Q(ζ4) = Q(√-1)
Q
体の塔
Q(ζ7 )
Q(√-7)
Q
体の塔
今回扱う「体の塔」たち
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Q(ζm)
K
Q
体の塔
{ 1(mod m) }
(Z/mZ)×
H
ガロア群
mod m の群の塔
p 2 H () p
mod m で
分解法則が決まる
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a
α
β
b
K/Q
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a
α
β
b
a
K/Q
α
β
b
グレー部分をかき混ぜる
白い部分は動かさない
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自己同型写像とは(補足)
f(↵+ �) = f(↵) + f(�)
f(↵⇥ �) = f(↵)⇥ f(�)
×
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例:二次体 Q(√-1) のガロア群
a+ bp-1
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例:二次体 Q(√-1) のガロア群
√-1
-√-1
√-1
-√-1√-1 -√-1
√-1
-√-1
√-1
-√-1
この2つだけ
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例:円分体 Q(ζ7) のガロア群
a+ b ⇣7 + c ⇣27 + d ⇣37 + e ⇣47 + f ⇣57 + g ⇣67
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ζ7ζ73
例:円分体 Q(ζ7) のガロア群
ζ72
ζ75 ζ76ζ74 ζ7
ζ73ζ72
ζ75 ζ76ζ74
ほか,全6つ
ζ7ζ73
ζ72
ζ75 ζ76ζ74 ζ7
ζ73ζ72
ζ75 ζ76ζ74
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ζ7ζ73
ζ72
ζ75 ζ76ζ74 ζ7
ζ73ζ72
ζ75 ζ76ζ74 ζ7
ζ73ζ72
ζ75 ζ76ζ74
ガロア群の「掛け算」
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ζ7ζ73
ζ72
ζ75 ζ76ζ74 ζ7
ζ73ζ72
ζ75 ζ76ζ74 ζ7
ζ73ζ72
ζ75 ζ76ζ74
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ζ7ζ73
ζ72
ζ75 ζ76ζ74 ζ7
ζ73ζ72
ζ75 ζ76ζ74 ζ7
ζ73ζ72
ζ75 ζ76ζ74
(Z/7Z)⇥ = {1, 2, 3, 4, 5, 6 (mod 7)}
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(Z/mZ)⇥Q(⇣m)
“m ”
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部分群
部分集合をとる
この集合も群をなす(「結合則」「単位元」「逆元」)
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Q(ζ7)
Q
ガロア群
(Z/7Z)×
{ 1 (mod 7)}
mod 7 の群の塔体の拡大の塔
{ 1, 2, 4 (mod 7)}
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Q(ζ7)
Q
固定する数
{ 1, 2, 4 (mod 7)}
(Z/7Z)×
{ 1 (mod 7)}
mod 7 の群の塔体の拡大の塔
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Q(ζ7)
Q
{ 1, 2, 4 (mod 7)}
(Z/7Z)×
{ 1 (mod 7)}
mod 7 の群の塔体の拡大の塔
Q(√-7)
{ 1, 2, 4 (mod 7)} が固定する Q(√-7) の部分体が存在する(この場合 Q(√-7))
固定する数
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Q(ζ7)
Q
{ 1, 2, 4 (mod 7)}
(Z/7Z)×
{ 1 (mod 7)}
mod 7 の群の塔体の拡大の塔
Q(√-7)
「拡大次数」と「群の割り算」が一致する
{ 1, 2, 4 (mod 7)} が固定する Q(√-7) の部分体が存在する(この場合 Q(√-7))
固定する数
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Q(ζ7)
Q
{ 1, 2, 4 (mod 7)}
(Z/7Z)×
{ 1 (mod 7)}
mod 7 の群の塔体の拡大の塔
Q(√-7)
「体が拡大」すると「群は縮小」する
固定する数
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Q(ζm)
K
Q
{ 1(mod m) }
(Z/mZ)×
Hmod m で
分解法則が決まる
p 2 H () p
ガロア群
体の塔 mod m の群の塔
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Q(ζ7)
Q(√-7)
Q
{ 1(mod 7) }
(Z/7Z)x
{1, 2, 4(mod 7)}
p 2 H () p
ガロア群
体の塔 mod 7 の群の塔
「Q(√-7) における素数の分解法則」
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まとめると
p = 7 or 1, 2, 4+ 7n () p = X
2 + 7Y
2
p = 2 or 1+ 4n () p = X
2 + Y
2
p = 3 or 1+ 3n () p = X
2 + 3Y
2
p = 7 or p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7)
p = 3 or p ⌘ 1 (mod 3)
p = 2 or p ⌘ 1 (mod 4)
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p
p D
D
ここから始まる感動のストーリーを先取り
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体の塔
pOL = Pe1
1 Pe2
2 · · ·Pegg
pOKK で素数だったものが・・・
素数じゃなくなる
(分解される)
L
K
※ L/K がガロア拡大のとき e1 = e2 = … = eg = e
拡大 L/K における分解法則
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体の塔
pOL = Pe1
1 Pe2
2 · · ·Pegg
pOK
L
K
一般に,素数の分解は一意ではない※注意
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L
KpOK
(P1P2 · · ·Pg)e
D:
I:P1P2 · · ·Pg
P1P2 · · ·Pg
さらに細かくみる
e
f
g
[L:K]
[L : K] = e f g
ガロア群
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「分岐・不分岐・完全分解」の定義
ó
ó
ó
ópOK
(P1P2 · · ·Pg)e
P1P2 · · ·Pg
P1P2 · · ·Pg
分岐
惰性
分解
L
K
e
f
g
[L:K]
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L
KpOK
D
P1P2 · · ·Pg
P1P2 · · ·Pg
f
g
[L:K]
[L : K] = g
[L : K] = f g
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“何も動かさない写像”
D
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∵ 同型定理
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体の塔
体の塔
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[Q(⇣4)/Q]
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pf ⌘ 1 (mod 4) f
31 ⌘ 3 (mod 4),
32 = 9 ⌘ 1 (mod 4), f = 2
pf ⌘ 1 (mod 4) f f = 1
(A) p ⌘ 3 (mod 4)
(B) p ⌘ 1 (mod 4)
-! "p mod 4"同型定理
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(mod4)
(mod4)
gf �= [Q(⇣4)/Q]
�f�
[Q(⇣4)/Q]
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Q(p-7)/Q
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の場合を先に考えるQ(⇣7)/Q
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Q(⇣7)/Q
g(=[Q(ζ7):Q]/f)f
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さっきわかった
次はこっち
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Q(⇣7)/Q
Q(p-7)/Q
= -p-7
√-7 を
-√-7 へ移す
写像= (⇣37 + ⇣67 + ⇣57)- (⇣27 + ⇣17 + ⇣47)
(A) p ⌘ 3 (mod 7)
p-7 = (⇣7 + ⇣27 + ⇣47)- (⇣37 + ⇣57 + ⇣67)
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gf
Q(p-7)/Q
![Page 75: 素数の分解法則(フロベニウスやばい) #math_cafe](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051318/587127de1a28abe4448b6839/html5/thumbnails/75.jpg)
Q(ζm)
K
Q
{ 1(mod m) }
(Z/mZ)x
Hmod m で
分解法則が決まる
p 2 H () p
ガロア群
体の塔 mod m の群の塔
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p
p D
D
ここから始まる感動のストーリーを先取り
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pOK
(P1P2 · · ·Pg)e
Q上の類体論のこころ
アーベル拡大
(クロネッカー・ウェーバー →)
「素イデアル分解法則」
が H によってかける
(mで割ったあまり)
(←同型定理)
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K
Q (Z/mZ)×
H = {ほげ,ほげ}
類体とは
abel
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まとめ
p = 7 or 1, 2, 4+ 7n () p = X
2 + 7Y
2
p = 2 or 1+ 4n () p = X
2 + Y
2
p = 3 or 1+ 3n () p = X
2 + 3Y
2
p = 7 or p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7)
p = 3 or p ⌘ 1 (mod 3)
p = 2 or p ⌘ 1 (mod 4)
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![Page 81: 素数の分解法則(フロベニウスやばい) #math_cafe](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051318/587127de1a28abe4448b6839/html5/thumbnails/81.jpg)
•
• POD
•
•
•
• D.Cox PrimesoftheForm:x2+ny2(2ndedition)
![Page 82: 素数の分解法則(フロベニウスやばい) #math_cafe](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051318/587127de1a28abe4448b6839/html5/thumbnails/82.jpg)
•
•
•
![Page 83: 素数の分解法則(フロベニウスやばい) #math_cafe](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051318/587127de1a28abe4448b6839/html5/thumbnails/83.jpg)
• https://www.math.kyoto-u.ac.jp/insei/proceeding/2010/ito.pdf
• http://www1.tmtv.ne.jp/~koyama/papers/Japanese/prime.pdf
• @alg_d http://alg-d.com/math/hrizm8.pdf
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![Page 85: 素数の分解法則(フロベニウスやばい) #math_cafe](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051318/587127de1a28abe4448b6839/html5/thumbnails/85.jpg)
p = 13
()
+2 3
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+2 37
11
1 4+
![Page 87: 素数の分解法則(フロベニウスやばい) #math_cafe](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051318/587127de1a28abe4448b6839/html5/thumbnails/87.jpg)
4 4
![Page 88: 素数の分解法則(フロベニウスやばい) #math_cafe](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051318/587127de1a28abe4448b6839/html5/thumbnails/88.jpg)
4 4
1+4n 3+4n
![Page 89: 素数の分解法則(フロベニウスやばい) #math_cafe](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051318/587127de1a28abe4448b6839/html5/thumbnails/89.jpg)
(Z/4Z)⇥ = { 1+ 4Z, 3+ 4Z }
p 2 3+ 4Z = { 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, · · · }
p 2 1+ 4Z = { 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, · · · }となるような素数 p
素数のクラス分け
となるような素数 p
クラス分けの集合
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フェルマーゲーム
わたし(3(mod 4) 担当)
みなさん(1(mod 4) 担当)
1(mod 4) 型の素数と 3(mod 4) 型の素数を交互に言い合うゲーム
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