Міністерство освіти та науки УкраїниКриворізький державний педагогічний університет

ТТееооррііяя ттаа ммееттооддииккааннааввччаанннняя ммааттееммааттииккии,,ффііззииккии,, ііннффооррммааттииккии

Збірник наукових праць

Том 1

Кривий РігВидавничий відділ КДПУ

2001

2

УДК 371

Теорія та методика навчання математики, фізики, інфо-рматики: Збірник наукових праць: В 3-х томах. – Кривий Ріг:Видавничий відділ КДПУ, 2001. – Т. 1: Теорія та методика на-вчання математики. – 370 с.

Збірник містить статті з різних аспектів дидактики мате-матики і проблем її викладання в вузі та школі. Значну увагуприділено проблемам розвитку методичних систем навчання ма-тематики та застосування засобів нових інформаційних техноло-гій навчання математики у шкільній та вузівській практиці.

Для студентів вищих навчальних закладів, аспірантів, на-укових та педагогічних працівників.

Редакційна колегія:В.М. Соловйов, доктор фізико-математичних наукЄ.Я. Глушко, доктор фізико-математичних наукО.І. Олейніков, доктор фізико-математичних наукЯ.В.Шрамко, доктор філософських наук, професорВ.І. Хорольський, доктор технічних наук, професорО.А. Учитель, доктор технічних наук, професорІ.О. Теплицький, відповідальний редакторС.О. Семеріков, відповідальний секретар

Рецензенти:В.М. Назаренко – д-р техн. наук, професор, завідувач кафедри

інформатики, автоматики та систем управління Криворізь-кого технічного університету

А.Ю. Ків – д-р фіз.-мат. наук, професор, завідувач кафедри тео-ретичної фізики Південноукраїнського державного педаго-гічного університету (м. Одеса)

Затверджено Вченою радою Криворізького державногопедагогічного університету (протокол №7 від 08.02.2001 р.)

ISBN 966-8302-42-4

3

ЧУДОДІЙНА СИЛАМАТЕМАТИКИ

П.І. Ульшинм. Кривий Ріг, Криворізький державний педагогічний універси-

тет

Математика з давніх часів,Кажуть, духом людським породилась.Описати не вистачить слів,Як вона розвивалась, ростилась.Нам історія факти даєПро чудові її розрахунки:В будівництві споруд вони є,В побудові логічної думки,

У творінні міцних пірамід,В неосяжній красі Парфенона,Який славить Античний весь Світ,Та на плитах руїн Вавілона.Розвиваючись серед людей,Математика в себе вбиралаКращі риси творців і ідей,Гармонічно весь Світ відбивала.

Шанувалась вона в давнину,Крокувала в майбутнє поважноІ тепер, як в чудову весну:Розцвіла, розрослась неосяжно...Про роботу в нас мова підеТого вчителя, досвід що має,І творить на уроках св’яте:Математиці учнів навчає.

Мова вчителя збуджує всіх:І змістовна вона й лаконічна.Він спрямовує учнів своїх,Щоб ті мислили чітко й логічно.В нього формула – це дивина!Якщо вірно до неї звертатись,Чудодійно підкаже вона,Як в задачі мерщій розібратись.

4

Побудова малюнка проста,В ній символіка слідує звична.Вчитель в розповідь душу вклада,Щоб його зрозуміти всебічно.Вся духовність учителя тамДе він мисленням математичнимНові, учням, знання передав:І доступно, і вірно, й тактично.

Де ті ж учні, в гармонії з ним,Його розповідь чітко сприймають,І від того приємно самим,Що надійно одержане знають...Математика гарна самаІ тому її треба любити.Збагне кожен, що це не дарма, –В ній закладена мудрість: творити.

5

ОБ’ЄКТИВНІ СКЛАДНОСТІ У ПРОЦЕСІРОЗВИТКУ ЛОГІЧНОГО МИСЛЕННЯ УЧНІВ

І ДЕЯКІ ШЛЯХИ ЇХ ПОДОЛАННЯ

І.А. Акуленком. Черкаси, Черкаський державний університет

ім. Б. Хмельницького

Пріоритетним напрямком розвитку вітчизняної школи на су-часному етапі є формування особистісно-орієнтованої системишкільної освіти. Розвиток логічного мислення учнів у процесіопанування програмового матеріалу посідає чільне місце середцілей і завдань вивчення окремих предметів шкільного курсу.Загальновизнано, що шкільний предмет математика створює чине найсприятливіші умови для реалізації цього завдання. Висо-кий рівень сформованості логічного мислення учнів виступає іяк мета математичної освіти, і як основа, на якій опанування ни-ми математичних знань проходить значно ефективніше. Проте,для найбільш ефективного розв’язання вказаної проблеми необ-хідно розробити, конкретизувати по класах і відпрацювати від-повідні навчальні технології, які б враховували об’єктивні скла-дності у процесі розвитку логічного мислення учнів.

Необхідним, на нашу думку, є новий підхід до створення ме-тодики розвитку логічного мислення учнів у процесі опануванняокремого навчального предмета. Важливо при цьому враховува-ти прояви і вплив несвідомих аспектів психіки. Така постановкапитання диктується, з одного боку, їх роллю у протіканні проце-су мислення, а з іншого боку, тими труднощами, які проявля-ються при намаганні управляти ними.

Несвідоме не відділено від свідомого деякою непроникноюстіною. Процеси, які починаються у несвідомому часто маютьсвоє продовження у сфері свідомого, і, навпаки, багато усвідом-лених фактів витісняється у сферу несвідомого. Існує постійний,живий, динамічний зв’язок між обома рівнями психічного відо-браження дійсності.. У ході навчання учитель повинен врахову-вати цей неявний зміст процесу логічного мислення учнів і гли-бинну взаємодію свідомих і несвідомих процесів психіки.

Ще у XIX столітті У. Гамільтон дійшов висновку, що мис-

6

лення людини ширше за обсягом, ніж словесна мова. Оскількимова відображає лише миттєвий стан свідомості, а не багатствонеявного несвідомого змісту цілісного мислення. “Предметомлогіки являються закони, за якими у мисленні відбуваються пе-реходи від одного миттєвого стану свідомості до другого йогостану, що реалізується у мові переходом від одного речення мо-ви до іншого. Виявляється, що під час цих переходів … активноприймають участь не тільки миттєві стани свідомості, але в тойже час знання, що неявно мислимі” [3, с. 119]. У міркуванняхдумки, звичайно, не повністю вербалізуються, багато засновківмислиться неявно.

Зупинимося детальніше на співвідношенні свідомого і несві-домого в логічному мисленні. Нашою метою буде виявити спів-відношення свідомого і мови (як експліцитного в логіці) із несві-домою імпліцитною стороною логічного мислення.

Факти невідповідності мови і мислення були виявлені ще влогіці Жергона, який стверджував, що людина мислить в уміп’ять видів відношень обсягів двох понять, а в мові існує всьогочотири види категоричних суджень. Відношення між обсягамитермінів у судженні по Жергону, а відповідно, і види судженьнаступні: виключення термінів (обсяги не перетинаються),схрещування термінів (обсяги перетинаються), співпадання тер-мінів (обсяги співпадають), включення термінів (обсяг суб’єктавключається в обсяг предиката), підпорядкування термінів (обсягсуб’єкта включає в себе, тобто підпорядковує обсяг предиката).

По суті останні два відношення є відношенням підпорядку-вання. Однак, терміни суб’єкт і предикат не можна ототожнюва-ти. У випадку, коли обсяг суб’єкта включається в обсяг предика-та, тоді має місце загально-ствердне судження: “Всі цілі числа –дійсні числа”. У випадку, коли обсяг предиката включається вобсяг суб’єкта, тоді має місце частково-ствердне судження:“Деякі дійсні числа є цілими”.

Фактично відношення підпорядкування між обсягами термі-нів судження виражається різними формами суджень. Таким чи-ном, у силогізмі по Жергону неявно мислиться відношення обся-гів термінів, а по У. Гамільтону та ін. – кількісне розрізненняпредиката. Свідоме не акцентує увагу на цьому, але несвідомезнання забезпечує правильний умовивід.

7

Наведемо приклади. Візьмемо просте загально-стверджувальне судження: “Всі трикутники (A) – плоскі фігури(B)”. Обсяг поняття суб’єкта A (трикутники) входить в обсяг по-няття предиката B (плоскі фігури), A⊂ B (співвідношення обсягівпонять). Заштрихована частина показує те, на чому зосередженаувага свідомості, тобто те, що є предметом судження ( рис.1).

Тепер візьмемо часткове судження: “Деякі трикутники (A) –тупокутні (B)”. В цьому випадку обсяг суб’єкта A (трикутники)включає в себе обсяг предиката B (тупокутні трикутники). Спів-відношення обсягів: A⊃ B (рис. 2.).

Інше судження: “Деякі трикутники (A) – рівносторонні фігу-ри (B)”. Обсяг суб’єкта A (трикутники) перетинається з обсягомпредиката B (рівносторонні фігури). Оскільки не всі трикутники– рівносторонні, а не всі рівносторонні фігури – трикутники.Співвідношення обсягів A∩B (рис. 3).

І останній вид стверджувальних суджень: “Всі трикутники –тристоронні плоскі фігури”. Обсяг суб’єкта A (трикутники) спів-падає з обсягом предиката B (тристоронні плоскі фігури). Спів-відношення обсягів: A=B (рис. 4).

Свідомість зосереджена на заштрихованій частині.Таким чином, утворюються наступні види стверджувальних

суджень (таблиця 1).

A

Рис. 1

В

Рис. 2

A A

Рис. 3. Рис. 4

8

Таблиця 1.Види стверджувальних суджень

Судження

Спів-відно-шенняобсягів

На чому зосереджено сві-домість

Назва су-дження

Всі A є(всі) B A=B

Загально-загальне

Всі A є(деякі) B A⊂ B

Загально-часткове

Деякі A є(всі) B A⊃ B

Частково-загальне

Деякі A є(деякі) B A∩B

Частково-часткове

З наведених прикладів видно, що у стверджувальних су-дженнях кількісна характеристика предиката подвоюється. Вонаможе бути повною (всі) і неповною (деякі). Але значного розхо-дження між логічним мисленням і словесною мовою не спостері-гається, хоча ми рідко виражаємо в словесній формі неповнийобсяг предиката. Він скоріше мається на увазі в думках, ніж ви-ражається вербально. Значно простіше сказати: “Всі натуральнічисла – цілі числа”, ніж “Всі натуральні числа є деякі цілі числа”.

Ідею квантифікувати предикат у стверджувальних суджен-нях і створити “Нову Аналітику”, в якій предикат у засновкахсилогізму був би квантифікований, у ХІХ сторіччі сформулюва-ли Дж. Бентам, У. Гамільтон, Томпсон, Де-Морган. Однак, вонане знайшла підтримки, наприклад, у Дж. Мілля з точки зору осо-бливостей реального людського мислення. Хоча певні позитивнімоменти і переваги, які вона дає для оцінки правильності умови-воду, були оцінені. Проте, явна квантифікація предиката у мов-ленні є штучною і не узгоджується із нормами людської мови.

Інваріантом теорій квантифікації предиката і теорій, які від-

A B

A B

A B

A B

9

кидають цю ідею, був елементарний постулат логіки: “Явно(експліціте) висловлюється те, що мислиться неявно (імпліціте)”.Однак, людина неявно мислить кількісну характеристику преди-ката, хоч і не висловлює це у зовнішній мові. Певним чиномпроявляються невідповідності між експліцитним і імпліцитним умисленні.

Однак, важко погодитись з дещо категоричною думкоюШ.М. Адеішвілі про “вузькість, односторонність, обмеженість(метафізичність) людської свідомості і широту – багатогран-ність, безмежність (діалектичність) несвідомого (імпліцитного)мислення людини” [4, с. 135]. Таке протиставлення здається не-конструктивним, бо процеси свідомого і несвідомого в мисленнянастільки взаємодоповнюють і взаємозбагачують один одного,що протиставлення їх не може бути доречним.

Ми поділяємо думку тих психологів, які розглядають ці двапроцеси як взаємодіючі ланки певних блоків системи психологі-чної саморегуляції людини. Як доводить Ш.М. Чхартішвілі, сві-домі і несвідомі психічні процеси створюють єдину цілісну стру-ктуру, в рамках якої протікає наше повсякденне духовне життя[1, c. 103]. Несвідоме і свідоме не протистоять одне одному, це –лише різні рівні психічного відображення [2, с. 69].

Проте, за допомогою мови висловити думку щодо відношеньвзаємозаперечуючих або взаємодоповнюючих понять доситьскладно. Потрібно врахувати те, що несвідомо людина вільнооперує заперечувальними поняттями (непоет, нематематик, не-спортсмен), перетинами їх обсягів в універсальному класі. Хочаіснують специфічні труднощі виявлення різноманітності логіч-ного змісту в основі заперечувального судження. Проблема ква-нтифікації предиката у заперечувальному судженні є доситьскладною.

Взагалі питання логічних операцій над заперечувальнимисудженнями привертає до себе увагу не тільки логіків (О.О. Івін,С.К. Кліні, А. Чьорч, А.А. Столяр та ін.), але і психологів(Л.С. Виготський, А.Н. Леонтьєв, Г.А. Брутян, А.Д. Гетьмановата ін.).

По аналогії з представленою у таблиці 1 розширеною класи-фікацією стверджувальних суджень, можна скласти розширенукласифікацію заперечувальних суджень (Дж. Бентам,

10

У. Гамільтон).Таблиця 2.

Види стверджувальних суджень

Судження Назва судженняЖоден A не є жоден B Загально-загальнеЖоден A не є деякий B Загально-частковеДеякі A не є всі B Частково-загальнеДеякі A не є деякі B Частково-часткове

Однак, якщо розширена класифікація стверджувальних су-джень має підтвердження в емпіричних фактах мови та мисленняі її можна проілюструвати, навівши приклади, то розширену кла-сифікацію заперечувальних суджень, зокрема загально-часткові ічастково-часткові заперечувальні судження, важко проілюстру-вати прикладами природньої мови. Таким чином, прослідкову-ється невідповідність кількісних характеристик предиката устверджувальних і заперечувальних судженнях.

Тепер для більшої наочності зобразимо за допомогою Ейле-рових схем співвідношення обсягів двох термінів у стверджува-льних і заперечувальних судженнях.

Оскільки суб’єкт судження А є головним у взаємовідношен-нях понять, то на Ейлерових схемах заштриховуємо те, на чомузосереджується наша свідомість. Також наведемо декілька від-повідних прикладів (табл. 3).

Таблиця 3.

Формасудження Приклади

Співвід-ношенняобсягів

Ейлерова схема

Всі А є(всі) В

Всі прямокутні па-ралелепіпеди –прямі чотирикутніпризми, в основіяких лежить прямо-кутник або квадрат

A=BА В

11

Формасудження Приклади

Співвід-ношенняобсягів

Ейлерова схема

Всі А є(деякі) В

Всі тетраедри –трикутні піраміди A⊂ B

Деякі А є(всі) В

Деякі трикутні пі-раміди – є тетраед-рами

A⊃ B

Деякі А є(деякі) В

Деякі прямокутни-ки – ромби A∩B

Деякі А є(деякі) неВ

Деякі трапеції не єчотирикутниками зрівними протилеж-ними сторонами

BA∩

Деякі А є(всі) не В

Деякі паралелогра-ми не є прямокут-никами

BA ⊃

Всі А є(деякі) неВ

Жоден конус не єнеплоскою геомет-ричною фігурою

BA ⊂

Всі А є(всі) не В

Жодна плоска гео-метрична фігура неє непросторовоюгеометричною фі-гурою

BA =

Скористаємось аналізом поняття заперечення, зробленогоА.Д. Гетьмановою. “Заперечення у формальній логіці представ-ляє собою логічну операцію, яка протиставляє істинному су-дженню неістинне, хибному судженню – нехибне; операцію, щовказує на невідповідність предиката суб’єкту або утворює допо-внення до даного класу” [3, с. 3]. Автор дає чотири означенняпоняття заперечення:

• заперечення представляє собою логічну операцію, щопротиставляє істинному судженню неістинне, хибному суджен-ню – нехибне;

А В

А В

А В

А В

А В

А В

А В

12

• заперечення вказує на невідповідність предикатасуб’єкту;

• заперечення утворює доповнення до заданого класу;• заперечення відносить формулу А до спростовних, якщо

А веде до протиріччя.Різноманітність означень слідує з того, що протиставляються

одне одному різні об’єкти:1) істина – неістина; 2) відповідність – невідповідність пре-

диката суб’єкту; 3) поняття – його доповнення в універсальномукласі; 4) спростовність – неспростовність формули.

Нас цікавить третє із запропонованих означень і його взає-мовідношення з першим. Якщо ми маємо судження A: “Квітка єчервона”, тоді його заперечення A : “Квітка не є червона”. Запершим означенням це означає: “Ця дана квітка не є червоною”.

Але це твердження несвідомо нами сприймається ще і так:“Квітка є нечервоною”. Тобто існує знання про те, що крім чер-воних квіток існують ще нечервоні квітки, тобто, якщо дана кві-тка не належить до класу червоних, то вона належить до класунечервоних квіток.

Таким чином, заперечення перетворилось у ствердження, босуб’єкт судження (квітка) перемістився із однієї частини універ-сума в іншу (рис. 5). Тому заперечення в цьому смислі (за третімозначенням) не є запереченням істинності, а є переходом доствердження доповнення до універсального класу.

Реальне мислення людини відбувається таким чином, що за-перечення наявності предиката і ствердження його доповненнядо універсума не суперечать одне одному, а мисляться одночас-но, але в різних сферах.

Свідомо людина мислить за законом несуперечності і ви-

Aчервоний

Aнечервоний

Універсальний клас (колір)

Рис. 5.

13

ключення третього, бо свідомість зосереджена на відсутностіспівпадання суб’єкта і предиката. Однак у пам’яті і підсвідомостіє знання про те, що існують також інші кольори.

Якщо заперечувальне судження перетворити у стверджува-льне, а потім виконувати квантифікацію не предиката, а йогодоповнення в універсальному класі, то можливо прослідкувати,що у заперечувальних судження також відбувається подвоєнняпо кількості, однак, не предиката а його доповнення в універса-льному класі.

Таким чином, стає співвідносним кількісне подвоєння пре-диката у стверджувальних і заперечувальних судженнях. Хоча упершому випадку подвоюється сам предикат, а у другому – йогодоповнення в універсальному класі.

Наведемо приклади, з яких можна починати ознайомленняучнів з ідеєю квантифікації предиката у стверджувальному су-дженні або його доповнення – у заперечувальному судженні(табл. 4). Зауважимо, що змістове наповнення таких вправ доці-льно брати з повсякденного життя учнів, орієнтуватися на їхжиттєвий досвід. У подальшому можливо залучати фактичнийматеріал певного навчального предмету. Як показує практика,така робота повинна мати поступовий, систематичний характер, іпочинати її доцільно вже у 5-6 класі.

Отже, факти неспівпадання мислення і мови, а також проти-лежності свідомого і несвідомого у логічному мисленні людинипризводять до певного неспівпадання форми і змісту у мисленніучнів. Цими проявами обґрунтовується об’єктивна складністьзавдання розвитку логічного мислення школярів у процесі на-вчання.

Таблиця 4.

Формасудження

Зміст суд-ження

Співвід-ношенняобсягів

Приклад

Всі А є(всі) В A=B

Всі паралелограми –чотирикутники з попа-рно паралельнимисторонамиВсі А є В

Всі А є(деякі) В A⊂ B

Всі паралелограми –чотирикутники

14

Деякі А є(всі) В A⊃ B

Деякі паралелограми –ромбиДеякі А є

В Деякі А є(деякі) В A∩B

Деякі ромби – прави-льні многокутники

Деякі А є(деякі) не-В

BA∩Деякі ромби – не єправильними многоку-тникамиДеякі А є

не-В Деякі А є(всі) не-В BA ⊃

Деякі чотирикутникине є паралелограмами

Всі А є(деякі) не-В

BA ⊂Жоден квадрат не маєнерівних діагоналей

Всі А є не-В Всі А є

(всі) не-В BA =

Жоден паралелограмне є чотирикутникомлише з двома попарнопаралельними сторо-нами

Реальне розв’язання цієї проблеми, на нашу думку, є можли-вим шляхом по-перше, виділення тих конкретних логічних знаньта умінь, які у неявному вигляді закладені у певному навчально-му предметі а також необхідні для успішного його оволодіння,по-друге, організація систематичної роботи у процесі навчанняпо формуванню виділених логічних знань та умінь учнів на ос-нові використання відповідно побудованої системи диференці-йованих вправ з логічним навантаженням, по-третє, включення утаку систему вправ групи завдань, які передбачають неусвідом-лене застосування логічних знань та умінь учнів.

Література1. Чхартишвили Ш.Н. К вопросу об онтологической природе

бессознательного // Бессознательное. Природа, функции, ме-тоды исследования. Т.1. Под общ. редакцией А.С. Пронги-швили, А.Е.Шерозия, Ф.В. Бассина. – Тбилиси: Мецниереба,1988.

2. Леонтьев А.Н. Деятельность и личность. // Вопросы филосо-

15

фии, 1974.3. Гетьманова А.Д. Отрицание в системах формальной логики.

–М., 1972.4. Адэишвили Ш.М. Логика, диалектика и реальное мышление.

– Тбилиси:Мецниереба, 1984. – 145 с.

16

0

y

π2ππ−

2π− π

2

3 π2 xπ2

3−

2/π

2/π−

π2−

)arcsin(sin xy =

ТРАНСФОРМАЦІЯ ЕЛЕМЕНТІВ ТЕОРЕТИЧНОГОЗМІСТУ І ПРАКТИКУМУ ПРИ ВИВЧЕННІ АРКФУНКЦІЙ

Г.В. Акуловм. Київ, Національний педагогічний університет

ім.М.П. Драгоманова

Розглянемо елементарну задачу обчислення значення скла-деної трансцендентної функції з зовнішньою аркфункцією і вну-трішньою одноіменною тригонометричною функцією або кофу-нкцією. Які методи існують для одержання результату при пере-творенні виразів вигляду arcsin(sinx), arccos(sinx), arctg(tgx), то-що? Методику таких обчислень можна орієнтувати на різні тео-ретичні основи.

Перший підхід ґрунтується на формулюванні і засвоєнні пе-вного правила – орієнтиру, в якому послідовно порівнюються іаналізуються співвідношення між аргументами і значеннямивідповідної функції на кожному характерному інтервалі.

При цьому елементарні властивості складених функцій ви-гляду y=arcsin(sinx) використовуються або в абстрактно алгеб-раїчній формі, або в наочно-графічному вигляді з використаннямнаступних графіків і подібних до них:

17

0

y

ππ− π2 x

π

)arccos(cos xy =

Істотною незручністю такої методики є наявність дещо гро-міздкого формулювання і відсутність чіткої математичної фор-мули для обчислень.

0

y

ππ− π2 x

π

)arcsin(sin2

)arccos(sin xxy −== π

π2−

0

y

π2ππ−

2π− π

23 π2 xπ

2

3−

2/π

2/π−

π2−

)(tgxarctgy =

18

При другому підході, на основі аналізу попереднього прави-ла – орієнтира, одержується еквівалентна система умов і формулвигляду:

( )( )

( ) [ ][ ]

( )

( ) ( ) Zkkkxkxx

Zkkkxkxx

Zkkkxkx

kkxkxx

Zkkkxkx

kkxkx

x

∈+∈−=

∈

++−∈−=

∈+−∈+−+∈−

=

∈

++∈++−

++−∈−

=

,;,ctgarcctg

,2

;2

,tgarctg

,2;2,2

,2;2,2cosarccos

,22

3;2

2,12

,22

;22

,2

sinarcsin

ππππ

πππππ

ππππππππ

πππππ

πππππ

(*)

Порівняно з першим підходом, наявність формули для обчи-слень робить другий підхід більш чіткім і алгоритмічним длявивчення і застосування. Проте наявність різних записів виразурезультату в залежності від певних умов не завжди зручно якщопотрібно продовжити подальші більш складні обчислення в зага-льному вигляді.

В такому випадку корисним буде третій підхід, який ґрунту-ється на використанні групи формул іншого типу. Алгоритмічнадія цих формул не передбачає з’ясування додаткових умов. Ха-рактерною, принциповою відмінністю їх від попередніх є вико-ристання для їх запису функції y=[x] – цілої частини дійсногочисла.

Основні формули цієї групи в одному з найпростіших варіа-нтів мають наступний вигляд:

;де,)arcctg(ctg

),2

12()1()arccos(cos

;2

1де,)arctg(tg

),()1()arcsin(sin

=−=

+−−=

+=−=

−−=

ππ

π

ππ

π

xnnxx

nxx

xmmxx

mxx

n

m

(**)

19

Безпосередньо алгоритм виконання обчислень за цими фор-мулами відчутно економніший за кількістю операцій.

Корисно порівняти і методи доведення кожного з наведенихтипів формул.

Доведемо формулу (*). Розглянемо два випадки:1) якщо x∈ [–π/2+2πk; π/2+2πk], то –π/2≤х–2πk≤π/2. Тоді,

оскільки функція y=sinx має період 2π, одержимо:arcsin(sinx)=arcsin(sin(x–2πk))=x–2πk.

2) якщо x∈ [π/2+2πk; 3π/2+2πk], то –π/2≤–х+π+2πk≤π/2, ітоді arcsin(sinx)=arcsin(sin(π–x+2πk))=π–x+2πk.

Отже, формулу (*) доведено.Доведемо формулу (**)

+=−=

2

1де,)arctg(tgπ

π xmmxx .

Дана формула має зміст для всіх x≠π/2+πk.Не обмежуючи зональності припустимо, щоx∈ (–π/2+πk; π/2+πk), тоді x/π+1/2∈ (k; k+1), k∈ Z іm=[x/π+1/2]=k, отже, arctg(tgx)=x–kπ дляx∈ (–π/2+πk; π/2+πk), що і треба було довести.Основні формули для обчислень вигляду arcsin(sinx),

arccos(cosx), arctg(tgx), arcctg(ctgx) дозволяють одержати також івирази для перетворень типів arcsin(cosx), arccos(sinx), arctg(ctgx)і arcctg(tgx). Слід відзначити, що одержати відповідні співвідно-шення можна або з властивостей аркфункцій, або як наслідоквластивостей тригонометричних функцій.

Використовуючи властивості аркфункцій, одержимо, напри-клад:

( ) ( ) ( ) ( )

.2

1де

,12

12

)arcsin(sin2

)arccos(sin

1

+=

−−+=−−−=

=−=

+

π

ππππ

π

xm

mxmx

xx

mm

Використовуючи формули зведення, еквівалентний резуль-тат одержується в такий спосіб:

20

( )

( ) .2

12де,2

1

21

2cosarccossinarccos

−=

−=

+−−−=

=

−=

ππ

π

ππ

π

xxn

nx

xx

n

Література1. Новоселов С.И. Алгебра и элементарные функции. Учебник

для учительских институтов. –М. ГУПИ, 1952. – 387 с.2. Шкіль М.І., Слепкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки

аналізу: Підручник для 10-11 класу середніх закладів освіти.– К.: Зодіак–ЕКО, 1998. – 608 с.

3. Истер А.С. Аркфункция от А до Я. – К.: Факт, 1998. – 160 с.

21

СПРАВОЧНОЕ ЭЛЕКТРОННОЕ ПОСОБИЕПО ВЫСШЕЙМАТЕМАТИКЕ

В.Н. Беловодский, А.С.Миненког. Донецк, Донецкий государственный институт искусственного

интеллекта

Опыт показывает, что студенты нередко испытывают за-труднения в усвоении базовых математических понятий. Имея ввиду, что эти понятия, как правило, имеют прозрачную геомет-рическую основу, один из вариантов решения проблемы видитсяв разработке доступных электронных методических пособий,реализующих графические возможности вычислительных машини не предъявляющих высоких требований к используемому обо-рудованию и квалификации пользователя.

Рис. 1. Образец информационной страницы

Исходя из этих соображений справочное методическое по-собие в форме электронного альбома основных понятий диффе-ренциального и интегрального исчислений разрабатывается вДонецком государственном институте искусственного интеллек-та. Альбом представляет собой комплект информативных бло-ков, объединенных общим оглавлением, каждый из которых со-

22

держит информационную, демонстрационную и обучающую со-ставляющие. Информационная составляющая представляет со-бой страницу, содержащую непосредственно описание понятия,включенного в оглавление, его текстовое и математическое оп-ределения и соответствующее графическое сопровождение. об-разец информационной страницы приводится на Рис. 1. На де-монстрационной странице приводятся дополнительные поясне-ния, разъяснения, приложения или анализ конкретной задачи. Наобучающей странице содержится упражнение для самостоятель-ного решения, необходимые подсказки и промежуточные кон-трольные результаты. Воспроизведение информации на экранеосуществляется в динамическом режиме, предусмотрен мини-мальный набор команд управления.

Работа выполняется студентами специальностей «Про-граммное обеспечение автоматизированных систем», «Интел-лектуальные системы принятия решений», в настоящее времяимеются отдельные фрагменты для демонстрации.

23

ПРО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СТЕРЕОМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧУШКІЛЬНОМУ КУРСІ ГЕОМЕТРІЇ

Н.В. Богатинськам. Кривий Ріг, Криворізький державний педагогічний універси-

тет

Навчити учнів розв’язувати математичні задачі, зокремагеометричні, завжди було і залишається одним із найважливішихзавдань навчання математики.

Аналізуючи результати вступних екзаменів з математики, микожний раз переконуємося в тому, що більшість випускниківсередніх шкіл знає окремі означення, теореми, правила, але прицьому не знає загальних методів чи способів розв’язання задач,не володіє необхідними прийомами міркувань. Констатуючи не-доліки в математичній підготовці абітурієнтів, слід наголоситина занадто слабких знаннях з геометрії. Значна частина абітуріє-нтів не розв’язує геометричну задачу і це стає тривожною тради-цією. Однією з причин цього, на наш погляд, є те, що в шкільнійгеометрії значно менше уваги приділяють навчанню учнів алго-ритмам розв’язання задач, особливо задач стереометричних.Адже будь-який алгоритм завжди є конкретним вираженням упослідовності дій (операцій) деякого методу розв’язання певноготипу задач. Так, багато хто з абітурієнтів не розв’язує стереомет-ричну задачу на обчислення тому, що у них не сформована про-грама (алгоритм) виконання стереометричного малюнка поши-реного виду фігур. Типовими є такі помилки: неправильно бу-дують кут між прямою і площиною, лінійний кут двогранногокута, висоту похилої призми і неправильної піраміди, зображен-ня різних видів призм (особливо похилих) і неправильних піра-мід, зрізаних пірамід, тіл обертання, комбінацій просторових фі-гур.

Учителям добре відомо, що учні вірно зображають, напри-клад, висоту правильного тетраедра, проведену до основи, алечасто допускають помилки, пов’язані із зображенням висоти,проведеної з вершини основи на бічну грань. Розв’язуючи задачу“У паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1, усі грані якого рівні ромби зрівними гострими кутами при вершині А, побудуйте перпенди-

24

куляри з вершини А1 на площину АВС і з вершини D на площи-ну АВВ1”, учні безпомилково будують висоту А1О (хоча, як пра-вило, повністю відсутні обґрунтування), але не помічають тієї жзадачі, будуючи перпендикуляр з вершини D на площину АВВ1(рис. 1).

Рис. 1 Рис. 2

Учні легко засвоюють поняття лінійного кута двогранногокута, без особливих проблем будують лінійні кути двограннихкутів при сторонах основи правильної піраміди. Але,розв’язуючи задачy “В основі піраміди лежить ромб; всі дво-гранні кути при сторонах основи рівні. Побудуйте лінійні кутидвогранних кутів”, майже всі абітурієнти помилково вважали,що одним із таких кутів є кут MFO; міркування проводили як ідля випадку правильної чотирикутної піраміди (рис. 2). Найчас-тіше учні допускають помилки під час побудови лінійного кутадвогранного кута при бічному ребрі піраміди.

Значна кількість помилок допускається при побудові перері-зів призм і пірамід заданою площиною.

Приклад задачі: “У кубі ABCDA1B1C1D1 через вершину В ісередини М і N ребер AD i CC1 проведена площина. Знайдітькут, під яким ця площина нахилена до площини грані ABCD(рис. 3)”.

Потрібний переріз – чотирикутник BMNZ, де K=BM∩DC,Z=KN∩DD1. Лінійним кутом двогранного кута при ребрі ВМ єкут NFC, де F =СЕ∩МВ, Е – середина AB; так як FC⊥ BM, то іNF⊥ BM. Значна частина учнів шуканим перерізом помилкововважала трикутник ВМN. Найбільша кількість помилок

25

пов’язана з побудовою кута NFС. Учні помилково вважали лі-нійним кутом двогранного кута при ребрі ВМ кут NРС або NВС.

Рис. 3 Рис. 4

Розглянемо приклад ще однієї відомої задачі: “У правильно-му тетраедрі SABC через вершину С проведена площина, перпе-ндикулярна до грані SAB і паралельна ребру AB. Знайдіть площуодержаного перерізу, якщо ребро тетраедра дорівнює a”. Так яктетраедр правильний, то вершина С проектується в центр прави-льного трикутника ABS (рис. 4). F – основа висоти тетраедра,проведеної з вершини С. Січна площина проходить через висотуСF і перетинає площину ABS по прямій А1В1, яка паралельнаАВ. Шуканий переріз – трикутник А1В1С. Багато хто з учнівпроводили висоти у гранях BSC і ASС і стверджували, що шука-ний переріз проходить через ці висоти. Не всі учні при цьомуусвідомили, що одна з двох перпендикулярних площин (площи-на перерізу) містить перпендикуляр до другої площини (площи-ни ASB), не уявляли розташування цього перпендикуляра.

Деякі учні не розуміють, що в прямокутному паралелепіпедіперпендикуляри до площини основи можуть належати бічнимграням, а перпендикуляри до бічних граней – площині основи,що з умови перпендикулярності двох бічних граней пірамідиплощині основи випливає, що висотою піраміди є спільне реброцих граней. Аналіз помилок можна продовжити.

Досвід викладання геометрії в середній школі свідчить проте, що учні не можуть самостійно вибирати знання длярозв’язання стереометричної задачі.

У більшості випадків кожну наступну задачу учні розціню-

26

ють як абсолютно нову, не помічають того загального, щооб’єднує раніше розв’язані задачі і розв’язувану задачу. Немож-ливо, звичайно, вказати такий загальний метод (алгоритм), задопомогою якого можна було б розв’язувати всі стереометричнізадачі. Проте можна виділити певні типи задач на побудову, до-ведення, обчислення і дослідження, розв’язання яких базуютьсяна застосуванні відповідних алгоритмів, часто повторюванихприйомів міркувань. Висновки, які одержуються внаслідокрозв’язання цих задач, є “ключами” до розв’язання багатьох ін-ших задач. Такі задачі є “ключовими” при складанні циклів вза-ємозв’язаних задач, що пронизують весь курс стереометрії.

Навчаючи учнів розв’язувати стереометричні задачі, корис-но не тільки повідомляти їм алгоритми розв’язання типових за-дач у готовому вигляді, а й так організовувати навчання, щобучні могли самостійно відкривати відповідні алгоритми.

Навчання алгоритмам повинно розглядатись не тільки як за-сіб ефективного навчання розв’язуванню стереометричних задач,а і як спосіб формування деяких специфічних прийомів матема-тичної діяльності учнів (уміння відкрити загальний методрозв’язання нового типу задач, підвести задачу під відомий алго-ритм, представити результати розв’язання в зручній для сприй-мання формі і т.д.).

Навички формуються на основі осмислених знань і уміньшляхом багаторазового повторення операцій, дій, прийомів, ал-горитмів, які складають предмет вивчення. А тому для форму-вання навичок потрібна ретельно продумана система вправ і за-дач. В такій системі повинна бути вірно підібрана послідовністьвправ з урахуванням індивідуальних особливостей і можливос-тей учнів і принципу “від простого до складного”. Слід дотриму-ватись доцільної різноманітності вправ і задач у системі.

Підбираючи систему вправ і задач, важливо щоб вона задо-вольняла принципу повноти. “Система вправ задовольняє прин-ципу повноти, якщо вона забезпечує добре засвоєння теми, якавивчається, і дозволяє виключити можливість формування поми-лкових асоціацій.” [Груденов Я.И Совершенствование методикиработи учителя математики. –М.: Просвещение, 1990. – C. 161].

Слід вчити учнів розв’язувати задачі окремих типів. Навчитибудь-кого розв’язувати всі задачі не можна, а навчити

27

розв’язувати задачі певних типів можна і треба. Зрозуміло, якщоми не розв’яжемо з учнями задач якогось типу, то вони і не на-вчаться їх розв’язувати. Проте порушення принципу повнотисистеми задач відбувається і в інших випадках. Розглянемо при-клад задачі.

Задача. В основі прямої призми лежить ромб із стороною а.Діагональ призми дорівнює l і утворює з площиною основи кутα, а з бічною гранню кут β. Знайдіть об’єм призми (рис. 5).

Рис.5

Помилкові розв’язання даної задачі пояснюються неправи-льною побудовою кута між діагоналлю призми і бічною гранню.

Причиною цього є порушення принципу повноти системивправ і задач. Як правило, в ній є задачі, при розв’язанні якихдоводилось будувати кути між прямою і площиною за відомималгоритмом, якщо пряма розташовувалась “зверху” над площи-ною, і не зустрічались випадки, коли пряма розташована була б“ліворуч” чи “праворуч” від площини.

З аналогічною ситуацією ми маємо справу під часрозв’язування задач на побудову лінійного кута двогранного ку-та. Якщо кожний раз пропонувати учням задачі на піраміди, вяких вимагається будувати лінійні кути двогранних кутів присторонах основи піраміди, то учні виявляються безпораднимипід час побудови лінійного кута двогранного кута при бічномуребрі піраміди (не вміють застосовувати відомий алгоритм в ін-шій ситуації розташування просторових об’єктів).

28

Звикаючи до одного розташування фігур, учні не впізнаютьїх в дещо незвичному розміщенні. Отже, підбираючи системувправ і задач, необхідно передбачати всі можливі ситуації роз-ташування фігур на площині і в просторі, зміну їх форм і позна-чень.

Стереометричні задачі мають свої специфічні особливості:просторові фігури не можна зобразити на малюнку без спотво-рень, і в цьому полягав складність сприймання та розв’язуваннястереометричної задачі. У зв’язку з цим учні натрапляють на такітруднощі: по-перше, необхідно уміти правильно зобразити прос-торову фігуру, врахувавши її властивості і властивості паралель-ної проекції; по-друге, необхідно уміти правильно уявити прос-торову фігуру за її умовним зображенням,

Аналіз задачного матеріалу курсу геометрії 10–11 класів по-казав, що більшість задач на обчислення, доведення і досліджен-ня сполучаються із задачами на побудову. Отже, основою мето-дики навчання розв’язуванню стереометричних задач є, перш завсе, навчання розв’язуванню задач на побудову. Розв’язуваннямзадачі на побудову розпочинається розв’язування будь-якої сте-реометричної задачі. Озброєння учнів алгоритмами розв’язанняосновних типів задач на побудову є запорукою успішногорозв’язання стереометричних задач.

29

ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇНА УРОЦІ МАТЕМАТИКИ

Т.В. Бондаренко1, І.І. Дмитренко21 м. Полтава, Ульяновська ЗОШ Гребінківського району

2 м. Полтава, Полтавський обласний інститут післядипломноїпедагогічної освіти ім.М.В. Остроградського

“Інформаційне суспільство – це не вигадка вчених, цеоб’єктивна реальність. Це та даність, та необхідність, яка рано чипізно, буде в будь-якій з країн…

… Питання стоїть так – або ми сьогодні сто процентів моло-дого, підростаючого покоління залучаємо до світу інформацій-них технологій, або ні про яке інформаційне співтовариство вУкраїні говорити не доведеться…

… Воно повинно навчатися всім шкільним предметам, усімспеціальностям з використанням мультимедійних технологій.Його повинні вчити вчителі, які не з-під палиці будуть це роби-ти, а серцем і душею проникнуться необхідністю використаннясучасних комп’ютерних мультимедійних технологій у процесівикладання всіх дисциплін.” [1]

“Стрижнем учбового процесу стає комп’ютерний експери-мент, який проводиться у спеціальних навчальних пакетах – дія-льнісних середовищах (ДС) або мікросвітах (англ. “microworld”).Значна частина вчителів прихильників такого навчання, як під-тверджує міжнародна практика, бачить в мікросвітах можливістьконцентрувати увагу учнів на основній лінії (стратегії)розв’язання задач. Конструктивізм у навчанні, зокрема прове-дення комп’ютерних експериментів, не принижує ролі вчителя, анавпаки підіймає її на більш високий рівень – вчитель повинентак змоделювати пізнавальні процеси учнів, так організуватикомп’ютерні експерименти і навчальний процес, щоб учні само-стійно робили “відкриття” і будували свої власні когнітивні мо-делі.

ДС – це інтерактивні програми, які дозволяють учням вико-нувати комп’ютерні експерименти у предметній області, причо-му від учня вимагається тільки обізнаність у самій предметнійобласті, а не в програмуванні. Методологічний зміст такої робо-

30

ти з ДС полягає у тому, що вона, по-суті, перетворює навчальнийпроцес у самоспрямоване навчання, при якому учень має найбі-льшу свободу у виборі самої стратегії навчання. З існуючих пе-дагогічних програмних засобів до ДС можна віднести, напри-клад, пакет GRAN, розроблений під керівництвом академікаМ.І.Жалдака (Київський ДПУ), який набув широкого розповсю-дження у навчальних закладах України.” [2]

“Важко переоцінити ефективність використання програм за-значеного типу і в разі поглибленого вивчення математики. Мо-жливість провести необхідний чисельний експеримент, швидковиконати потрібні обчислення чи графічні побудови, перевірититу чи іншу гіпотезу, випробувати той чи інший методирозв’язування задачі, вміти проаналізувати та пояснити резуль-тати, отримані за допомогою комп’ютера, з’ясувати межі мож-ливостей застосування комп’ютера чи обраного методурозв’язання задачі має надзвичайне значення у вивченні матема-тики.” [3]

У посібнику для вчителів “Комп’ютер на уроках математи-ки” Жалдак М.І. показав можливість використання засобів су-часних інформаційних технологій під час вивчення алгебри і по-чатків аналізу та геометрії в середніх навчальних закладах із різ-ними ухилами.

Наш досвід використання пакету GRAN при вивченні мате-матики в школі та на курсах підвищення кваліфікації вчителівзасвідчує про підвищення зацікавленості до проведення дослі-джень та результатів навчання математиці.

Джерела:1. Баранов О.А. Інтернет та інформаційне суспільство //

Комп’ютер у школі та сім’ї. –№4 (12). – 2000. – С. 3.2. Раков С.А., Олійник Т.О.,Минко П.Є. Нові освітні технології

у навчанні математики. // Педагогічна спадщина М.В. Остро-градського і розвиток освіти в Україні. Матеріали Міжнаро-дної науково-практичної конференції (Полтава, 28-29 жовтня1996 року). – Полтава: ПОІПОПП, 1996. – 154 с.

3. Жалдак М.І. Комп’ютер на уроках математики: Посібник длявчителів. – К.: Техніка, 1997. – 303 с.:іл.

31

ІСТОРІЯ ТЕОРІЇ ГРАНИЦЬВШКІЛЬНОМУ КУРСІ МАТЕМАТИКИ

М.В. Босовськийм. Черкаси, Черкаський державний університет

ім. Б. Хмельницького

Однією з тем, що вивчається в шкільному курсі математикиє теорія границь. В даній статті робиться загальний огляд історіївиникнення питань, пов’язаних з теорією границь, та висвітлен-ня цього питання в шкільному курсі математики. Знання істори-чних відомостей, як відомо, піднімає пізнавальний інтерес учнівв процесі вивчення теми, активізує учнів і, врешті, сприяє по-кращенню результатів навчання.

Історія цього питання поринає корінням в далеке минуле.Ще грецькі натурфілософи і математики починаючи з 7 ст. і аждо 3 ст. до н.е. підходять до ідеї нескінченності і потім до при-йомів аналізу нескінченно малих, але це не одержує розвитку іінтерес до цих питань після спроб цілого ряду середньовічнихучених відновляється лише в епоху Відродження в кінці 16 ст.

Принципово новим кроком уперед з’явилося виникнення внатурфілософських школах 5ст. до н.е. ідеї нескінченності, яка урізних формах застосовується у математиці. На межі 5 і 4 ст. дон.е. Демокріт, виходячи з атомістичних уявлень, створює спосібвизначення об’ємів, що послужило першим варіантом методунеподільних, одного з вихідних пунктів числення нескінченномалих. Однак логічні труднощі, властиві поняттю нескінченнос-ті, що знайшли вираження в апоріях Зенона Елейского (5 ст. дон.е.), привели до висновку, що результати, отримані за допомо-гою методу неподільних, не можна вважати строго доведеними.Стандартним прийомом вимірювання різних площ, об’ємів, щоне піддаються визначенню елементарними засобами, став методвичерпування, що полягає в наближенні шуканої величини, зни-зу і зверху послідовностями відомих величин. Так, площа кругаапроксимувалася послідовностями вписаних і описаних прави-льних многокутників з необмежено зростаючим числом необме-жено зменшуваних сторін. Це дало поштовх у напрямку спробирозв’язувати задачу квадратури круга.

32

З винаходом друкарства, підручники одержують більш ши-роке поширення. Основними центрами теоретичної наукової ду-мки стають університети. Прогрес алгебри як теоретичної дис-ципліни, а не тільки набору практичних правил длярозв’язування задач, позначається в розумінні природи ірраціо-нальних чисел, як відносин несумірних величин (Хома Брадвар-дін, 14 ст. і Н. Орем, 14 ст.) і особливо у введення дробових(Н. Орем), від’ємних і нульових (Н. Шюке, кін. 15 ст.) показни-ків степенів. Тут же виникають перші, що випереджають насту-пну епоху ідеї про нескінченно великі і нескінченно малі вели-чини. В Оксфордському і Паризькому університетах (Р. Суайнс-хед, сер. 14 ст., Н. Орем і ін.) розвиваються перші елементи тео-рії зміни величин, як функцій часу і їх графічне уявлення, впер-ше об’єктом вивчення стає нерівномірний рух і вводяться понят-тя миттєвої швидкості і прискорення.

Однак, щоб охопити кількісні відносини в процесі їхньоїзміни, потрібно було самі залежності між величинами зробитисамостійним предметом вивчення. Тому на перший план висува-ється поняття функції, що грає надалі таку ж роль основного ісамостійного предмета вивчення, як раніше поняття чи величиничисла. Вивчення змінних величин і функціональних залежностейприводить до основних понять математичного аналізу: ідею не-скінченного у явному вигляді, до понять границі, похідної, ди-ференціала й інтеграла. Створюється аналіз нескінченно малих, упершу чергу у виді диференціального числення й інтегральногочислення. Основні закони механіки і фізики записуються у формідиференціальних рівнянь, і задача інтегрування цих рівнянь ви-сувається, як одна з актуальних задач математики.

Створення нової математики змінних величин у 17 ст. булосправою учених передових країн Західної Європи, причому най-більше І. Ньютона і Г. Лейбніца. У 18 ст. одним з основнихцентрів наукових математичних досліджень стає також Петер-бурзька академія наук, де працює ряд найбільших математиківтого часу іноземного походження (Л. Ейлер, Д. Бернуллі) і по-ступово складається російська математична школа, що блискучерозгорнула свої дослідження в 19 ст.

Іншим джерелом аналізу нескінченно малих є розвинутийІ. Кеплером (1615) і Б. Кавальєрі (1635) метод неподільних, за-

33

стосований ними до визначення об’ємів тіл обертання і ряду ін-ших задач. У цьому методі принципова новизна основних понятьаналізу нескінченно малих подається у містичній формі проти-річчя (між об’ємом тіла і сукупністю, що не мають об’єму плос-ких перерізів, за допомогою яких цей об’єм повинен бути визна-чений). В зв’язку з цим протиріччям прийоми І. Кеплера і Б. Ка-вальєрі зазнавали критики з боку П. Гульдена (1635–41). Однаквільне вживання нескінченне малих здобуває остаточну перемо-гу в роботах по визначенню площ (“квадратур”) П. Ферма, Б. Па-скаля і Дж. Валліса. Так, у геометричній формі були створеніпочатки диференціального і інтегрального числення.

Слід зазначити, що автори 17 ст. мали досить ясні уявленняпро поняття границі послідовності і збіжності ряду, вважали по-трібним доводити збіжність уживаних ними рядів.

До останньої третини 17 ст. відноситься відкриття диферен-ціального і інтегрального числення у повному змісті слова. Увідношенні публікації пріоритет цього відкриття належитьГ. Лейбніцу, що дав розгорнутий виклад основних ідей новогочислення в статтях, опублікованих у 1682–86 рр. У відношенні жчасу фактичного одержання основних результатів маються всіпідстави вважати пріоритет належить І. Ньютонові, який до ос-новних ідей диференціального та інтегрального числення при-йшов протягом 1665–66 рр. “Аналіз за допомогою рівнянь з не-скінченним числом членів” І. Ньютона в 1669 був переданий ниму рукописі І. Барроу і Дж. Кололінзу й одержав широку популя-рність серед англійських математиків. “Метод флюксій” – твір, уякому І. Ньютон дав систематичний виклад своєї теорії, – бувнаписаний у 1670–71 рр. (виданий у 1736 р.). Г. Лейбніц ж почавсвої дослідження з аналізу нескінченно малих лише в 1673 р.І. Ньютон і Г. Лейбніц вперше в загальному вигляді розглянулиосновні для нового числення операції диференціювання та інтег-рування функцій, встановили зв’язок між цими операціями (фо-рмула Ньютона–Лейбніца) і розробили для них загальний одна-ковий алгоритм. Наукові підходи в І. Ньютона і Г. Лейбніца різ-ні. Для І. Ньютона вихідними поняттями є поняття “флюєнти”(змінної величини) і “флюксій” (швидкості її зміни). Прямій за-дачі перебування флюксій і співвідношень між флюксіями позаданим флюєнтам (диференціювання і складання диференціаль-

34

них рівнянь) І. Ньютон протиставляв обернену задачу перебу-вання флюєнт по заданих співвідношеннях між флюксіями, тоб-то відразу загальну задачу інтегрування диференціальних рів-нянь; задача відшукання первісної з’являється тут як окремийвипадок інтегрування звичайного диференціального рівняння.Разом з тим ні метод границь і флюксій Ньютона, ні диференціа-льне числення Лейбніца не знаходили одностайного визнання.Тому математики знову звернулися до дослідження фундамента-льних понять і принципів аналізу.

У відповідності зі своїм трактуванням процесу прямуваннядо границі, Ейлер вважає нескінченно малу величину рівною ну-лю. Він відкидає «особливу категорію нескінченно малих вели-чин, що нібито не повністю зникають, але зберігають деяку кіль-кість, що, однак, менше, ніж усяке що може бути заданим» [1],тому що відкидання доданків такого роду порушувало зробленуточність аналізу. Незабаром після виходу «Диференціальногочислення» Ейлера, Даламбер виступив із пропозицією заснуватианаліз на поняттях границі і похідної, не вживаючи цього остан-нього терміна. Свої погляди Даламбер розглядав як розвитокідей числення флюксій Ньютона, але він вніс нове, звільнивши їхвід механічних чи квазімеханічних уявлень. Це було пов’язано,як із загальними тенденціями розвитку аналізу на материку Єв-ропи, так і з класифікацією наук, прийнятої Даламбером: він ви-ходив з того положення, що достовірним пізнанням ми володіє-мо лише в області абстрактних понять і чим більше досліднихелементів входить у яку-небудь науку, тим більш складні її по-няття.

В першому розділі книги «Елементарного викладу початківвищих числень» Сімон Люільє розвиває метод границь. До двохтеорем про границі, наведених Даламбером, Люільє додає тео-рему про границю відношення двох змінних величин і упершевводить знак границі у вигляді lim; уперше ж похідна якої-небудь функції у Люільє «диференціальне відношення» (rapport

differentiel) – позначається limx

P

∆∆ і символ

dx

dP розглядається як

єдине ціле, а не дріб. Терміном «нескінченно мала величина»Люільє не користується, зберігаючи його для позначення актуа-льно нескінченно малих; немає в нього і поняття про диференці-

35

ал.У Росії пропагандистом методу границь виступив

С.Е. Гур’єв. Головна праця Гур’єва «Досвід про удосконаленняелементів геометрії» (1798 р.) була присвячена питанням обґрун-тування і викладання математики. Центральне місце в «Досвіді»займає систематичний додаток методу границь у шкільному кур-сі геометрії.

Даламберу і його послідовникам належить заслуга подаль-шої розробки теорії про граничні переходи в рамках чистогоаналізу. Але в тій конкретній формі, що метод границь набув утеперішній час, він ще не мав строг