Содержание1 Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи: Пер. с англ.– М.: Мир, 1987,

479 с. 4

2 Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профес-сора: Учеб. пособие. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002,144 с. 6

3 Арнольд В.И. Теория катастроф.– М.: Наука, 1990, 128 с. 9

4 Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы.– Ижевск: НИЦ «Регуляр-ная и хаотическая динамика», 2001, 128 с. 10

5 Буллаф Р., Вадати М., Гиббс Х. и др. Солитоны: Пер. с англ.– М.: Мир, 1983, 408 с. 12

6 Газале М. Гномон. От фараонов до фракталов.– Москва-Ижевск: Институт компью-терных исследований, 2002, 272 с. 16

7 Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравне-ния: Пер. с англ.– М.: Мир, 1988, 694 с. 21

8 Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбу-лентности и хаоса.– М.: Наука, 1988, 368 с. 26

9 Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Слабый хаос и квазирегуляр-ные структуры.– М.: Наука, 1991, 240 с. 38

10 Кадомцев Б.Б. Динамика и информация.– 394 с. 41

11 Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории.– М: Пост-маркет, 2000, 352 с. 44

12 Кузнецов С.П. Динамический хаос.– М.: Наука, 2000, 295 с. 46

13 Кулак М.И. Фрактальная механика материалов.– Мн.: Выш. шк., 2002, 304 с. 51

14 Лэм Дж.Л. Введение в теорию солитонов.– М.: «БИБФИЗМАТ», 1997, 295 с. 55

1

15 Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики.– М.: Эди-ториал УРСС, 2000, 336 с. 58

16 Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы.– Москва: Институт компьютерныхисследований, 2002, 656 с. 59

17 Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов.– Москва-Ижевск: Институт компьютер-ных исследований, 2002, 160 с. 62

18 Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров:Пер. с англ.– М.: Мир, 1990, 312 с. 65

19 Николис Дж. Динамика иерархических систем: эволюционное представление.– 486 с. 70

20 Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. Введение.– М.: Мир, 1990, 342 с. 76

21 Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах: Пер. с англ.–М.: Мир, 1979, 512 с. 80

22 Новокшенов В.Ю. Введение в теорию солитонов.– Москва-Ижевск: Институт компью-терных исследований, 2002, 96 с. 90

23 Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике: Пер. с англ.– М.: Мир, 1989, 326 с. 92

24 Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамическихсистем.– М.: Мир, 1993, 202 с. 92

25 Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов.– Ижевск: НИЦ«Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 160 с. 94

26 Пригожин И. Конец определенности. Время, хаос и новые законы природы.– Ижевск:НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000, 208 с. 96

27 Пригожин И. От существующего к возникающему: время и сложность в физическихнауках.– М.: Наука, 1985, 327 с. 97

28 Пригожин И., Дефэй Р. Химическая термодинамика.– Новосибирск: «Наука», 1966, 502с. 101

2

29 Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса: новый диалог человека с природой.– М.:Прогресс, 1986, 432 с. 113

30 Рюэль Д. Случайность и хаос.– Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»,2001, 192 с. 114

31 Симо К., Смейл С., Шенсине А. и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 304 с. 115

32 Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике.– 318 с. 121

33 Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов.– М.: Наука,1986, 527 с. 129

34 Тода М. Теория нелинейных решеток.– М.: Мир, 1984, 262 с. 132

35 Федер Е. Фракталы: Пер. с англ.– М: Мир, 1991, 254 с. 134

36 Филиппов А.Т. Многоликий солитон.– М.: Наука, 1986, 224 с. 137

37 Хазен А.М. Введение меры информации в аксиоматичекую базу механики.– М., 1998,168 с. 140

38 Хакен Г. Принципы работы головного мозга: Синергетический подход к активностимозга, поведению и когнитивной деятельности.– М.: ПЕР СЭ, 2001, 351 с. 142

39 Хакен Г. Синергетика: Пер. с англ.– М.: Мир, 1980, 404 с. 147

40 Хакен Г. Синергетика: Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах иустройствах: Пер. с англ.– М.: Мир, 1985, 423 с. 152

41 Хакен Г. Тайны природы. Синергетика: учение о взаимодействии.– Москва-Ижевск:Институт компьютерных исследований, 2003, 320 с. 159

42 Хакен Г., Хакен-Крель М. Тайны восприятия.– Москва: Институт компьютерных иссле-дований, 2002, 272 с. 163

43 Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамиче-ских моделей.– 365 с. 166

3

44 Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 528 с. 168

45 Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение: Пер. с англ.– М.: Мир, 1988, 240 с. 174

46 Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. Введение в теориюдиссипативных структур.– М.: Мир, 1979, 279 с. 178

47 Эфрос А.Л. Физика и геометрия беспорядка (Библиотечка «Квант», выпуск 19).– М.:Наука, 1982, 264 с. 180

48 Falconer K. Fractal Geometry: Mathematical Foundation andApplication.– New York: John Wiley, 2003, 337 p. 183

49 Falconer K. Techniques in Fractal Geometry.– New York: John Wiley, 1997, 272 p. 188

50 Harte D. Multifractals: theory and applications.– Chapman & Hall/CRC, 2001, 248 p. 191

51 Fractal Image Compression: Theory and Application(Ed. Fisher Y.).– Springer, 1994, 341 p. 195

1 Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи: Пер.с англ.– М.: Мир, 1987, 479 с.Предисловие редактора перевода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Пролог . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

Глава 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Задача рассеяния для оператора второго порядка и связанные с нейинтегрируемые уравнения в частных производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3. Вывод линейного интегрального уравнения и обратная задача рассеянияна бесконечном интервале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4. Зависимость от времени и частные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

4

1.5. Оператор эволюции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

1.7. Поведение решений на больших временах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Глава 2. МОЗР в других постановках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.1. Задачи на собственные значения для операторов более высокого порядка имногомерные задачи рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.2. Дискретные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

2.3. Периодические граничные условия для уравнения Кортевега — де Фриза . . . . . . . . . . . 156

Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Глава 3. Различные перспективы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Краткий обзор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

3.1. Преобразование Бэклунда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

3.2. Псевдопотенциалы и структуры продолжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

3.3. Прямые методы построения солитонных решений. Метод Хироты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

3.4. Рациональные решения нелинейных эволюционных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

3.5. Проблема N тел и нелинейные эволюционные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

3.7. Трансценденты Пенлеве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

3.8. Возмущения и устойчивость солитонов и уединенных волн относительнопоперечных возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

Глава 4. Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .314

4.1. КдФ и родственные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

4.2. Трехволновые взаимодействия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341

4.3. Нелинейное уравнение Шрёдиигера и его обобщения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .355

4.4. Уравнения типа «sin-Гордон» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

5

4.5. Квантовая теория поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

Приложение. Линейные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

П.1. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

П.2. Неадекватность метода преобразования Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444

Указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

2 Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекциисоросовского профессора: Учеб. пособие. Москва-Ижевск: Ин-ститут компьютерных исследований, 2002, 144 с.Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

Лекция 1. Динамические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

Динамическая система и ее математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Кинематическая интерпретация системы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Классификация динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Колебательные системы и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Фазовые портреты типовых колебательных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Автоколебательные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Регулярные и странные аттракторы динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

Лекция 2. Устойчивость, бифуркации, катастрофы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

Линейный анализ устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Бифуркации динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

«Мягкие» и «жесткие» бифуркации. Катастрофы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

Лекция 3. Детерминированный хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

Детерминированность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Устойчивость и неустойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Нелинейность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

Неустойчивость и нелинейное ограничение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Детерминированный хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Перемешивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

Вероятностные свойства детерминированных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Детерминированный хаос — математическая экзотика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Странные аттракторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Лекция 4. Гиперболические аттракторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

Что такое аттрактор? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Регулярные аттракторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Странные (хаотические) аттракторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

Грубые гиперболические аттракторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Квазигиперболические аттракторы. Аттракторы типа Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

Лекция 5. Аттракторы негиперболических динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

Квазиаттракторы и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

Странные нехаотические и хаотические нестранные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Хаотические нестранные аттракторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Странные нехаотические аттракторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

Лекция 6. Модифицированный генератор с инерционной нелинейностью . . . . . . . . . 80

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

Общие уравнения генераторов с 1.5 степенями свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Модифицированный генератор с инерционной нелинейностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

Лекция 7. Синхронизация колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

Синхронизация периодических колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Синхронизация генератора Ван дер Поля в присутствии шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Синхронизация сердечного ритма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Лекция 8. Стохастический резонанс и стохастическая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Механизм СР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

СР для сложных сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Явление стохастической синхронизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

СР и СС как явления самоорганизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Лекция 9. Динамический хаос и диагностика в биологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8

Количественные характеристики хаотических сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Динамические болезни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Моделирование динамики сердечного ритма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Степень хаотичности как критерий диагностики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Лекция 10. Реконструкция динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Определение размерности вложения и реконструкция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Реконструкция динамической системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

Пример реконструкции динамической системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142

3 Арнольд В.И. Теория катастроф.– М.: Наука, 1990, 128 с.Предисловие к третьему изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1. Особенности, бифуркации и катастрофы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Теория особенностей Уитни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Применения теории Уитни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

4. Машина катастроф . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5. Бифуркации положении равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6. Потеря устойчивости равновесных и автоколебательных режимов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7. Особенности границы устойчивости и принцип хрупкости хорошего . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8. Каустики, волновые фронты и их метаморфозы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

9

9. Крупномасштабное распределение вещества во Вселенной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

10. Особенности в задачах оптимизации: функция максимума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

11. Особенности границы достижимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

12. Гладкие поверхности и их проектирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

13. Задача об обходе препятствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

14. Симплектическая и контактная геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

15. Комплексные особенности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

16. Мистика теории катастроф . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Добавление. Предшественники теории катастроф . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4 Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы.– Ижевск:НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 128 с.Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 ФРАКТАЛЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1 Регулярные фракталы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

1.1.1 Понятие фрактала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.2 Длина береговой линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.3 Фрактальная размерность множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151.1.4 Канторовское множество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.5 Снежинка Коха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.6 Салфетка и ковер Серпинского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

10

1.1.7 Губка Менгера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.1.8 Кривые Пеано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.1.9 Вселенная Фурнье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

1.2 Итерации линейных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.2.1 Системы итерируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.2.2 Метод случайных итераций, или игра в хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.2.3 Игры с поворотами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .421.2.4 Сжимающие аффинные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .491.2.5 Лист папоротника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.3 Нелинейные комплексные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.3.1 Квадратичные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.3.2 Неподвижные точки. Циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.3.3 Множество Жюлиа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.3.4 Множество Мандельброта и классификация множеств Жюлиа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701.3.5 Построение мпожества Мандельброта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761.3.6 Комплексные Ньютоновы границы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2 МУЛЬТИФРАКТАЛЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.1 Геометрическое описание мультифракталов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

2.1.1 Что такое мультифрактал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .832.1.2 Обобщенные фрактальные размерности Dq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.1.3 Фрактальная размерность D0 и информационная размерность D1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.1.4 Корреляционная размерность D2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.1.5 Свойства функции Dq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.1.6 Неоднородное канторовское множество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.1.7 Неоднородный треугольник Серпинского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.1.8 Канторовское множество с двумя характерными масштабами длины . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.2 Функция мультифрактального спектра f(α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.2.1 Спектр фрактальных размерностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.2.2 Преобразование Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1092.2.3 Свойства функции f(α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.2.1 Примеры функций f(α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

11

2.3 Применение теории мультифракталов в физике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2.3.1 Переход Андерсена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5 Буллаф Р., Вадати М., Гиббс Х. и др. Солитоны: Пер. с англ.– М.:Мир, 1983, 408 с.Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1. Солитон и его история. Р. Буллаф, Ф. Кодри.Перевод С. В. Манакова, С. В. Чудова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1. Открытие Расселом «большой уединенной волны» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Определение солитона: N -солитонные решения нелинейных эволюционныхуравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3. Преобразование Бэклунда и сохранение плотности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4. Другие физические задачи и открытие метода обратной задачи рассеяния . . . . . . . . . . . 36

1.5. Представление нелинейных эволюционных уравнений с помощью пар операторов . . . .41

1.6. Открытие других N -солитонных решений. Схема задачи рассеяния2 × 2 АКНС — Захарова — Шабата и ее геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.7. Дальнейшее развитие метода обратной задачи рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2. Аспекты солитонной физики. Дж. Лэм (мл.), Д. МаклафЛин.Перевод Б. А. Дубровина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.1. Исторические замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.2. Модель нелинейной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.3. Обратная задача рассеяния и интегралы движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Приложение А. Формальный вывод уравнений Марченко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

12

3. Двойное уравнение sin-Gordon: система, имеющая физическиеприложения. Р. Буллаф, Ф. Кодри, Г. Гиббс. Перевод Б. А. Дубровина . . . . . . . . . .122

3.1. Физические основания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.2. Теория вырожденной СИП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.3. Спиновые волны в жидком 3He . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.4. Теория возмущений для двойного СГ-уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Примечание при корректуре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4. Нелинейная решетка (цепочка Тоды). М. Тода.Перевод Б. А. Дубровина. П. Б. Медведева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.1. Нелинейные решетки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.2. Экспоненциальное взаимодействие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.3. Матричный формализм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.4. Непрерывный предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.5. Преобразования Бэклунда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.6. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5. Прямые методы в теории солитонов. Р. Хирота. Перевод П. Б. Медведева . . . . 175

5.1. Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175

5.2. Свойства D-оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.3. Решения билинейных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.4. N -солитонные решения уравнений типа КдФ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

5.5. Билинейный вид преобразований Бэклунда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6. Обратное преобразование рассеяния. Л. Ньюэлл. Перевод И. М. Кричевера . . 193

6.1. Общие замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.2. Обобщенная задача Захарова — Шабата на собственные значения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202

13

6.3. Эволюция данных рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

6.4. Квадраты собственных функций и Фурье-разложений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

6.5. Эволюционные уравнения класса I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

6.6. Гамильтонова структура уравнений класса I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

6.7. Системы с двумя дисперсионными соотношениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

6.8. Распространение когерентного импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

6.9. Движущиеся собственные значения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227

6.10. Уравнение sin-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

6.11. Уравнение Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

6.12. Сингулярная теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

6.13. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Приложение А. Соотношения ортогональности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Приложение В. Доказательство инвариантности формы (6.146) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Приложение С. Соотношения ортогональности и сохранение два-форм, связанныхс уравнением Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

7. Метод обратной задачи рассеяния. В. Е. Захаров. Перевод С. В. Манакова . . . 270

7.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

7.2. Метод отыскания «L− A» пар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271

7.3. Элементарные многомерные обобщения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

7.4. Одевание «L− A» пар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

7.5. Проблема редукции и физическая интерпретация примеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

7.6. Двумерная неустойчивость солитонов [7.25] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

7.7. Точные решения уравнений нелинейной оптики [7.26] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

7.8. Триада L, A, B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

7.9. Сохранение спектра операторных пучков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .300

7.10. «Одевание» операторных пучков [7.31] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

14

8. Обобщенная матричная форма метода обратной задачи рассеяния.М. Вадати. Перевод Я. М. Кричевера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

8.1. Исторические замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3108.2. Обратная задача рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3118.3. Метод обратной задачи рассеяния и интегрируемые уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3158.4. Обобщение на решеточные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3188.5. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

9. Нелинейные эволюционные уравнения, интегрируемые обратным спектральнымпреобразованием, ассоциированным с матричным уравнением Шрёдингера.Ф. Калоджеро, А. Дегаспирес. Перевод И. М. Кричевера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

9.1. Прямая и обратная задачи для матричного уравнения Шредингера; обозначения . . . 3239.2. Обобщенные соотношения Вронского; основные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3269.3. Нелинейные эволюционные уравнения, интегрируемые обратным спектральнымпреобразованием; солитоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3279.4. Уравнение бумерона и другие интегрируемые нелинейные уравнения,связанные с ним; бумероны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3349.5. Преобразования Бэклунда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3429.6. Нелинейная суперпозиция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3449.7. Законы сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3459.8. Обобщенная резольвентная формула . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3469.9. Нелинейные операторные тождества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

10. Метод решения периодической задачи для уравнения КдФ и его обобщений.С. П. Новиков. Перевод Б. А. Дубровина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

10.1. Одномерные системы, допускающие представление Лакса; их стационарныерешения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34810.2. Конечнозонные линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35010.3. Гамильтонов формализм стационарной и нестационарной задачдля уравнения КдФ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

15

10.4. Функция Ахиезера н ее приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .357

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

11. Гамильтонова интерпретация метода обратного преобразования рассеяния.Л. Д. Фаддеев. Перевод Я. М. Кричевера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

11.1. Гамильтонова формулировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

11.2. Полная интегрируемость нелинейного уравнения Шредингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .367

11.3. Приложения к задаче квантования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

12. Квантовые солитоны в статистической физике. А. Лютер.Перевод С. В. Манакова, С. В. Чудова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

12.1. Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

12.2. Квантование и квантовые солитоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

12.3. Уравнения непрерывного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

12.4. Спектр собственных значений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

Дальнейшие заметки о Джоне Скотте Расселле и ранней истории егоуединенной волны. Перевод С. В. Чудова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

Опубликованные научные работы Расселла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .403

6 Газале М. Гномон. От фараонов до фракталов.– Москва-Ижевск:Институт компьютерных исследований, 2002, 272 с.Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

Введение: гномоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Гномоны и солнечные часы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Геометрическое подобие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

16

Геометрия и числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Гномоны и обелиски . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

Глава I. Фигурные и m-адические числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Фигурные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Свойство треугольных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Свойство квадратных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

m-адические числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Степени диадических чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Диадический гамильтонов путь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Степени триадических чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

Глава II. Непрерывные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Алгоритм Евклида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Непрерывные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Простые непрерывные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Подходящие дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Конечные регулярные непрерывные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

Периодические регулярные непрерывные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Спектры иррациональных квадратных корней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Апериодические бесконечные регулярные непрерывные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Обратноподходящие дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Резюме в формулах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Глава III. Последовательности Фибоначчи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Рекурсивное определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

Затравка и гномонные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Определение Fm,n в явном виде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Альтернативное явное определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

17

Моногномонная простая периодическая дробь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Дигномонная простая периодическая дробь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

Произвольно оконченные простые периодические дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Когда m очень мало: от чисел Фибоначчи к гиперболическим и тригонометрическимфункциям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Приложение: полигномонные простые периодические дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

Резюме в формулах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Глава IV. Лестницы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Лестница из преобразователей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Электрическая лестница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Резисторные лестницы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Итерационные лестницы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Мнимые компоненты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Линия передачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Несогласованная линия передачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Распространение волны по линии передачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

Лестничные цепи из блоков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Заметки на полях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Топологическое сходство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Глава V. Витые фигуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Витые прямоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Алгоритм Евклида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Моногномонные витые прямоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Дигномонные витые прямоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

Самоподобие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Витые прямоугольники с неправильной затравкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Два витых треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Заметки на полях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Еще раз о линиях передачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

18

Глава VI. Золотое сечение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

От чисел к геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Витой золотой прямоугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Завиток Фибоначчи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Витой золотой треугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Витой пятиугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Золотое сечение: от античности до эпохи Возрождения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Заметки на полях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Тысячелистник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141Фокус с золотым сечением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Золотой узел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Глава VII. Серебряное сечение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

От чисел к геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Серебряный пятиугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Серебряная спираль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Улитка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Заметки на полях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Реп-тайлы Голомба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156Commedia dell’Arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Повторные корни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Глава VIII. Спирали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Матрица поворота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Моногномонная спираль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Самоподобие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Равноугольность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Длина спирали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Прямоугольная дигномонная спираль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Архимедова спираль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

19

Затухающие колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182

Математический маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186RLC-контур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Резистор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Конденсатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Индуктор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Последовательный RLC-контур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Приложение: уравнения в конечных разностях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Глава IX. Позиционные системы счисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199

Деление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Позиционные системы счисления со смешанным основанием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Нахождение цифр целого числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206

Глава X. Фракталы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209

Кронекерово произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Ассоциативность кронекерова произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212Порядок матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Коммутативность кронекерова произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Фрактальные решетки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Треугольник Паскаля и теорема Люка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Салфетка и ковер Серпинского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226Канторова пыль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228Последовательность Туэ-Морса и замощение плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234

Многомерные решетки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Коммутативность и многомерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238Трехмерная пирамида Серпинского и губка Менгера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Кронекерово произведение в отношении других операций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Фрактальные ломаные линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

Кривая Коха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

20

Заполняющая пространство кривая Пеано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Коллекция регулярных фрактальных ломаных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250Регулярные ломаные смешанного типа и соответствующие мозаики . . . . . . . . . . . . . . . . . 251Иррегулярная фрактальная ломаная: пятиугольная «Эйфелева башня» . . . . . . . . . . . . .251

Приложение: некоторые упрощающие обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

7 Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нели-нейные волновые уравнения: Пер. с англ.– М.: Мир, 1988, 694с.От редактора перевода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1. Уединенные волны и солитоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1. Открытие уединенной волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.2. Кортевег и де Фриз . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Задача Ферми—Пасты—Улама (ФПУ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4. Солитоны и работа Забуски и Крускала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5. Уравнение sin-Гордон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6. Нелинейное уравнение Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.7. Некоторые основные принципы распространения линейных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.8. Некоторые элементарные идеи в теории распространения нелинейных волн . . . . . . . . . . 38

1.9. Уравнения, не имеющие решений солитонного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.10. Связь с квантовой механикой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.11. Примечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.12. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2. Преобразования рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

21

2.1. Обратная задача и анализ Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2. Классическое рассеяние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.3. Рассеяние в квантовой механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.3.1. Дельта-потенциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.3.2. Потенциал в виде прямоугольной ямы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

2.4. Безотражательные потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.5. Обобщения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.5.1. Потенциал а форме прямоугольной ямы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .982.5.2. Потенциал q = −r = −2 sech 2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.6. Примечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.7. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3. Уравнение Шрёдингера и уравнение Кортевега—де Фриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.1. Уравнение Кортевега—де Фриза и преобразования Бэклунда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.2. Иерархия уравнений КдФ и изоспектральное уравнение Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . 1133.3. Задача рассеяния для уравнения Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.4. Спектральная теория для оператора Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1393.5. Нелинейные уравнения, связанные с изоспектральным уравнением Шрёдингера . . . . 1603.6. Примечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1803.7. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

4. Обратный метод для изоспектрального уравнения Шредингера и общеерешение разрешимых нелинейных уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193

4.1. Обратная задача рассеяния н уравнение Марченко для изоспектральногоуравнения Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1934.2. Задача Коши для разрешимых уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2154.3. N -солитонные решения разрешимых уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2294.4. Примечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2484.5. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

5. Выделение уравнения Кортевега—де Фриза в некоторых физическихпримерах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

22

5.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

5.2. Ионно-акуститеские . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

5.3. Длинные волны на мелкой воде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

5.4. Задача из геофизической динамики жидкостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

5.4.1. Геострофическое приближение и теорема Тейлора—Прудмана . . . . . . . . . . . . . . . . . 2765.4.2. Уравнения движения для неглубокого слоя жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2785.4.3. Волны Россби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2795.4.4. Уединенные волны Россби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

5.5. Модифицированное и обобщенное уравнения КдФ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

5.6. Примечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

5.7. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

6. Метод обратной задачи рассеяния Захарова—Шабата/АКНС . . . . . . . . . . . . . . . . . .296

6.1. Прямая задача Захарова—Шабата и класс интегрируемых уравнений . . . . . . . . . . . . . . . 296

6.2. Метод обратной задачи рассеяния для уравнения ЗШ—АКНС . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341

6.3. Решения интегрируемых уравнений и их преобразования Бэклунда . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

6.4. Интегрируемые нелинейные уравнения и метод обратной задачи рассеяния . . . . . . . . . 399

6.4.1. Методы обратной задачи рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4016.4.2. Другие методы обратной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

6.5. Примечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

6.6. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

7. Кинки и уравнение СГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

7.1. Топологические рассмотрения и механическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

7.1.1. Механический маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

7.2. Свойства частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

7.3. Топологический заряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

7.4. Нелинейные уравнения Клейна—Гордона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

7.5. Вихри, монополи и инстантоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

7.5.1. Абелевы калибровочные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .451

23

7.5.2. Вихри . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

7.6. Дислокации в кристаллах и параметры порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

7.7. Ферромагнетизм и солитоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .469

7.7.1. Изотропный ферромагнетик Гейзенберга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4747.7.2. Модель непрерывной цепочки Гейзенберга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

7.8. Квантовая механика и уравнение СГ в квантовой оптике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

7.8.1. Нестационарная теория Ландау—Гинзбурга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

7.9. Неабелевы калибровочные поли, монополи и инстантоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

7.9.1. Неабелевы калибровочные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4987.9.2. SU(2)-инвариантные уравнения Клейна—Гордона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5007.9.3. Преобразования Бэклунда и решения-монополи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5027.9.4. Автодуальные уравнения Янга—Миллса и инстантоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .506

7.10. Примечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .510

7.11. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522

8. Нелинейное уравнение Шрёдвнгера и резонансные взаимодействия волн . . . . . 530

8.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

8.2. Класс уравнений, приводящих к нелинейному уравнению Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . 537

8.3. Оптическая самофокусировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

8.4. Ленгмюровские волны в плазме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

8.5. Квадратичный резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

8.6. Резонанс длинных и коротких волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .554

8.6.1. Давыдовская модель альфа-спирали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .559

8.7. Примечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562

9. Амплитудные уравнения в неустойчивых системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

9.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

9.2. Окулярная теория возмущений и получение амплитудных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . 582

9.3. Распространение ультракоротких оптических импульсов и самоиндуцированнаяпрозрачность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

24

9.4. Двухслойная бароклиническая неустойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603

9.5. Эффект слабой диссипации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .609

9.6. Примечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

10. Численные исследования солитонов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627

10.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627

10.2. Основные численные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628

10.2.1. Метод аппроксимирующих функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62910.2.2. Метод конечных разностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63210.2.3. Сходимость, согласованность и устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

10.3. Нелинейное уравнения Клейна—Гордона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

10.3.1. Уравнение СГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63610.3.2. Уравнение фи-четыре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64010.3.3. Двойное уравнение СГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642

10.4. «Длинноволновые» уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645

10.4.1. Уравнение КдФ и родственные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64510.4.2. Регуляризованное длинноволновое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

10.5. Другие уравнения с одной пространственной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649

10.6. Численные исследования Для большого числа пространственных измерений . . . . . . .651

10.6.1. Уравнения КдФ и НЛШ в двух и трех пространственных измерениях . . . . . . . 65310.6.2. Нелинейные уравнения Клейна—Гордона в двух и трех пространственныхизмерениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655

10.7. Примечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .658

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .660

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687

25

8 Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: отмаятника до турбулентности и хаоса.– М.: Наука, 1988, 368 с.Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Часть I. ЧАСТИЦЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Глава I. Элементы динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1. Фазовое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Траектории и фазовый поток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Гамильтоновские системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Теорема Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Уравнение непрерывности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112. Системы с одной степенью свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Фазовый портрет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Переменные «действие-угол» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Спектр нелинейных колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Расплывание фазовой капли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153. Пример: нелинейный маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Траектории нелинейного маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Спектр нелинейного маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Общие свойства периода колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204. Еще два примера нелинейных колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21Нелинейные колебания плазмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Колебания в прямоугольной яме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Ротатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245. Интегральные инварианты Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25Первый интегральный инвариант . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Теорема Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256. Многомерные интегрируемые системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Первые интегралы движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Теорема Лиувилля-Арнольда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Инвариантные торы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Резонансы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

26

Переменные «действие-угол» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Однозначность инвариантных торов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Спектральное разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Нетривиальный пример (цепочка Годы) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317. Отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Дискретное время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Отображение Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Равновесие атомных цепочек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .338. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Комментарии к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

Глава 2. Приближенные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

1. Теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37Возмущение и топология фазового пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Ряды по степеням возмущения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Возмущение свободного движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Резонансы и малые знаменатели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Внутренние резонансы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Резонанс волна-частица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Опрокидывание фронта волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43Замечание о степенных рядах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .452. Метод усреднения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Теорема об усреднении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Усредненные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Уравнение Ван дер Поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48Движение в быстропеременных полях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Маятник с осциллирующей точкой подвеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Вихревой дрейф . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523. Адиабатические инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Определение адиабатических инвариантов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Усреднение уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Изменение адиабатического инварианта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

27

Адиабатические инварианты при N > 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Нарушение адиабатической инвариантности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58Почти адиабатические инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604. Заряженные частицы в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60Дрейфовое приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Адиабатические инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635. Линейные аналогии адиабатической инвариантности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Линейный осциллятор с переменной частотой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Квантовомеханическая аналогия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64Обход особенностей в комплексной плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Матрица перехода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Переходное излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68Замечание о роли нелинейности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Комментарии к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

Глава 3. Специальные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

1. Нелинейный резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Уравнения резонанса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72Свойства нелинейного резонанса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74Внутренний нелинейный резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762. Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Основная задача динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Теорема об устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Теорема о сохранении инвариантных торов (Колмогоров-Арнольд) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Следствие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793. Структурные свойства фазовых траекторий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Классификация особых точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Предельные циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Топологическая эквивалентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Индексы Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Пример 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Пример 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Пример 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

28

Пример 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Следствие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Структурная устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .864. Простейшие бифуркации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Тангенциальная бифуркация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88Смена устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Бифуркация удвоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89Бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа (ПАХ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Бифуркация удвоения периода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92Теорема Шарковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Замечание о бифуркациях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Комментарии к главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95Глава 4. Эргодическая теория и хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951. Эргодичность и перемешивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Мера в фазовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Эргодичность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Перемешивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Спектр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002. К-системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Локальная неустойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102Связь перемешивания с локальной неустойчивостью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Д-системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103Энтропия Колмогорова-Синая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Пример 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Пример 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107У-системы Аносова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Биллиарды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094. Возвраты и периодические орбиты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Теорема Пуанкаре о возвратах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Периодические орбиты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

29

Синус-отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Теорема Боуэна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Комментарии к главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Глава 5. Хаос в деталях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Универсальное отображение для нелинейных колебании . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Структура отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Вывод отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Критерий стохастичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Структура фазового пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120Стохастическое море . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Спектральные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Временные масштабы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Редукция к одномерному перемешиванию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Одномерный коррелятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252. Перекрытие резонансов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Построение системы резонансов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Условие перекрытия резонансов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283. Образование стохастического слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Динамика вблизи сепаратрисы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Отображение вблизи сепаратрисы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Ширина стохастического слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Перекрытие резонансов вблизи сепаратрисы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Гомоклиническая структура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Стохастический слой нелинейного резонанса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374. Разрушение интегралов движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Природа разрушения интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Двумерные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140Связанные ротаторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425. Стохастические аттракторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Финитность движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Аттракторы и репеллеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Стохастический аттрактор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

30

Квазиаттракторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466. Примеры стохастических аттракторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Стандартное диссипативное отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Условие появления стохастичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Структура стохастического аттрактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150Стохастический аттрактор при перекрытии резонансов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517. Общие замечания о появлении хаоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152«Стохастическая паутина» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Диффузия Арнольда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153Канторторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Замедление диффузии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Число вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Переход КАМ-тор-кантор-тор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156«Дьявольская лестница» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Комментарии к главе 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Глава 6. Элементы кинетики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

1. Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159Структура уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Временные масштабы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Вывод кинетического уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Дивергентная форма кинетического уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Влияние границы стохастичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162Корреляционные эффекты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1632. Кинетика при диссипативных отображениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166Структура кинетического уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Динамика моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1673. Стохастическое ускорение и «нагрев» частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Стохастичность и идеи нагрева и ускорения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Модель Улама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168Ускорение в поле тяжести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Стохастический нагрев в поле волнового пакета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172Влияние трения на динамику в волновом пакете . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

31

Комментарии к главе 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Глава 7. Фрактальные свойства хаоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

1. Фракталы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177Хаусдорфова размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Определение фрактала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179Связь с ренормализационной группой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1802. Фракталы и хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Размерность стохастического аттрактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Фрактальные свойства локализации мод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Размерность разветвления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Распределения и спектральная плотность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Комментарии к главе 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Часть II. ВОЛНЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Глава 8. Нелинейные нестационарные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

1. Укручение волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Бегущие волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187Опрокидывание фронта волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Роль диссипации. Уравнение Бюргерса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Число Рейнольдса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192Спектр ударной волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1922. Стационарные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Ударная волна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Влияние дисперсии. Уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194Спектр периодических волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Нелинейная дисперсия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1973. Примеры стационарных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198Ионно-звуковые волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198Критическая скорость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Магнитозвуковые волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Уравнение синус-Гордона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

32

4. Бесстолкновительные ударные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Формирование волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Структура фронта волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Магнитозвуковая ударная волна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Образование «бора» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207Ускорение ионов на фронте волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208Комментарии к главе 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Глава 9. Гамильтоновское описание волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209

1. Вариационные принципы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210Степени свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210Лагранжиан . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211Метод Уизема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Гамильтоновский формализм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Стационарные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Канонические переменные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2162. Резонансное взаимодействие волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Распадные и нераспадные спектры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Уравнения для волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Эволюция волнового триплета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Распадная неустойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221Аналогия с параметрическим резонансом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Распад плазмона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2233. Резонансы нелинейных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224Константа связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224Внешнее возмущение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225Укороченные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Нелинейный резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2284. Взаимодействие нелинейных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230Малый параметр взаимодействия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230Неодномерный ионный звук . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Взаимодействие двух волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Взаимодействие трех волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

33

Комментарии к главе 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Глава 10. Хаос в волновых полях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

1. Слабонелинейные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238Построение отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238Локальная неустойчивость фаз . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241К-энтропия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243Расцепление корреляций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2442. Проблема Ферми-Паста-Улама (ФПУ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Уравнения и предпосылки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245О переходе «дискретность-непрерывность» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Оценка области стохастичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2463. Турбулентность слабонелинейного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248Основное кинетическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Кинетика фононов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250Слабая турбулентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2524. Стохастическая неустойчивость нелинейной волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252Канонические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253Расстояние между резонансами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254Перекрытие резонансов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Диффузионная динамика волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Комментарии к главе 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Глава 11. Сильная турбулентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2581. Модель Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259Уравнения модели Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259Линеаризация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260Последовательность бифуркаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261Аттрактор Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2622. Конвективные ячейки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262Конвекция Бенара-Рэлея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263Неустойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265Переход к турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265Электрогидродинамическая конвекция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

34

Турбулентность и неупорядоченные структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2673. Особенности возникновения турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267Существует ли сценарий турбулентности? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Необходима ли диссипация? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268Локальная неустойчивость и фрактальность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268Центральный пик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268Пространственно временной хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2684. Ленгмюровская турбулентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269Образование «плазмонного конденсата» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269Модуляционная неустойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270Коллапс ленгмюровских колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272Турбулентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2745. Солитонная турбулентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275Комментарии к главе 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Глава 12. Точно интегрируемые волновые уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

1. Интегрирование КдВ-уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277Операторные пары Лакса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277Метод ОЗР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279Солитонные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280N -солитонныс решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281Интегралы движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2832. Интегрируемые уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284Комментарии к главе 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Часть Ш. ПРИМЕРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .285

Глава 13. Движение частиц в волновых полях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

1. Регулярная и стохастическая динамика частиц в поле волнового пакета . . . . . . . . . . 285Времени- и пространственноподобные волновые пакеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285Отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286Динамика в пространственноподобном пакете . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288Кинетика стохастического нагрева частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289Обобщение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

35

2. Движение в магнитном поле и поле волнового пакета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292Уравнение движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293Резонансы «волна-частица» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294Перекрытие резонансов продольного движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295Кинетическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2963. Парадокс исчезновения затухания Ландау . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2974. Стохастическая паутина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298Отображение с подкручиванием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298Резонансное подкручивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299Фазовая плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300Резонанс α4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301Образование стохастической паутины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304Симметрия фазовой плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304Диффузия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306Комментарии к главе 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

Глава 14. Биллиарды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

1. Перемешивающие биллиарды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308Анализ траекторий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308Кинетика частицы в биллиарде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3102. Нелинейная динамика лучей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311Уравнения траектории луча . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312Нелинейный пространственный резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .314Двумерные сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

Глава 15. Нелинейная оптика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

1. Нелинейная геометрическая оптика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316Узкие волновые пучки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316Параболическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317Самосжатие волновых пакетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .318Самофокусировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320Пороги устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .320Стационарные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

36

2. Нелинейные кооперативные явления при взаимодействииполя излучения с веществом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322Кооперативные эффекты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323Атомы+поле излучения как динамическая система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324Связанное состояние атомов с полем излучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326Разрушение связанного состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328Комментарии к главе 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

Глава 16. Структурные свойства одномерных цепочек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331

1. Атомные цепочки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331Дискретное уравнение синус-Гордона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322Стационарные состояния цепочки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322Нелинейный резонанс в структурах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333Несоразмерные структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3352. Спиновые цепочки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .336Условия равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336Эквивалентная динамическая система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337Хаотические структуры и ближний порядок в них . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3383. Возбуждение в молекулярных цепочках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340Описание модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .340Коллективные возбуждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341Комментарии к главе 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

Глава 17. Возмущения в задаче Кеплера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

1. Нелинейная динамика в кулоновском поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344Параметры движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344Переменные действие-угол . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345Спектральные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3462. Возбуждение и ионизация атома водорода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3473. Диффузия эксцентриситета орбит в гравитационном поле планет . . . . . . . . . . . . . . . . . 349Масконы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349Мультипольное разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350Изменение интегралов движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351Резонансы и их ширина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

37

Перекрытие резонансов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352Диффузионные орбиты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3544. Диффузия комет из облака Оорта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355Облако Оорта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355Простейшее отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356Диффузия орбит . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358Другие возмущения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359Комментарии к главе 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

9 Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Слабыйхаос и квазирегулярные структуры.– М.: Наука, 1991, 240 с.ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Глава 1. Гамильтоновская динамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.1. Гамильтоновские системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Фазовый портрет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.3. Переменные действие-угол . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Нелинейный маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5. Многомерное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6. Отображение Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Глава 2. Устойчивость и хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1. Нелинейный резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2. Внутренний нелинейный резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. КАМ-теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

38

2.4. Локальная неустойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5. Перемешивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

ЧАСТЬ II. ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОРЯДОК И ХАОС . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Глава 3. Стохастический слой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1. Стохастический слой нелинейного маятника. Сепаратрисное отображение . . . . . . . . . . . .33

3.2. Стохастический слой нелинейного маятника. Ширина слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3. Слабое взаимодействие резонансов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4. Стандартное отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5. Стохастический слой нелинейного резонанса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6. Нетривиальные эффекты дискретизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.7. Хаотическое вращение спутников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Глава 4. Переход стохастический слой — стохастическое море . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1. Граница глобального хаоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2. Вариационный принцип Персиваля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3. Кантор-торы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4. Гамильтоновская перемежаемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.5. Ускорение релятивистских частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Глава 5. Стохастическая паутина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.1. КАМ-торы и диффузия Арнольда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2. Слабый хаос и стохастическая паутина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3. Инвариантные торы внутри паутины (П-торы) и ширина паутины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.4. Переход КАМ-торы - П-торы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Глава 6.Равномерная паутина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.1. Отображение с подкручиванием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.2. Периодическая паутина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.3. Апериодическая паутина и симметрия покрытия плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111

39

6.4. Скелет паутины и толщина паутины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.5. Структуры при диффузии частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.6. Распад паутины для релятивистских частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

ЧАСТЬ III. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СТРУКТУРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Глава 7. Двумерные структуры с квазисимметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

7.1. Какими могут быть структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.2. Динамическая генерация структур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.3. Квазисимметрия. Фурье-спектр и локальный изоморфизм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.4. Особенности в зависимости фазового объема от энергии (особенности Ван Хова) . . . 158

7.5. Динамическая организация в фазовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Глава 8. Двумерные гидродинамические структуры с симметрией иквазисимметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.1. Двумерные стационарные вихревые течения идеальной жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8 2. Устойчивость стационарных плоских течений с симметричной структурой . . . . . . . . . . 171

Глава 9. Хаос линий тока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

9.1. Линии тока в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

9.2. Линии тока АВС-течения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

9.3. Трехмерные течения с симметрией и квазисимметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

9.4. Стохастические слои и стохастические паутины в гидродинамике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

9.5. Винтовые стационарные течения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

9.6. Стохастичность линий тока при стационарной конвекции Рэлея-Бенара . . . . . . . . . . . . . 200

ЧАСТЬ IV. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Глава 10. Структуры в искусстве и в природе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

10.1. Двумерные покрытия в искусстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

10.2. Филотаксис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

КОММЕНТАРИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222

40

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

10 Кадомцев Б.Б. Динамика и информация.– 394 с.Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Глава I ИНФОРМАЦИЯ И ДИНАМИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1. Информация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Энтропия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Цикл Карно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4. Необратимые процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5. Энтропия и информация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

6. Энтропия еще раз . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

7. Управление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

8. Газодинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

9. Волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

10. Корреляционная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Глава II МИКРОМИР И МАКРОМИР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

11. Уравнение Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

12. Намерения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

13. Частица в термостате . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

14. Дуализм волна-частица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

15. «Радиоактивный распад» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

16. Кот Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

17. Необратимость нашего окружения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

18. Кто бросает кости? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

41

19. Броуновское движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

20. Микромир и макромир . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Глава III ЗАПУТАННЫЕ СОСТОЯНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

21. Поведение микрочастицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

22. Восприятие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

23. Флуктуации и необратимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

24. Измерение в квантовой теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

25. Парадокс Эйнштейна-Подольского - Розена (ЭПР) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

26. Неравенства Белла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

27. Квантовая криптография и телепортация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

28. Запутанные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

29. Квантовые вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Глава IV СЛУЧАЙНОСТЬ И НЕОБРАТИМОСТЬ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ . 136

30. Случайная волновая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

31. Мезомир . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

32. Коллапсы волновых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

33. Классический молекулярный хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

34. Необратимость классическая и квантовая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171

35. Приближение к равновесию и коллапсы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

36. Квантовый зффект Зенона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

37. Броуновское движение квантовой частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200

38. Молекулярный хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

39. Волновые функции атомов газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

40. Квантовый хаос в газе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Глава V КВАНТОВЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ИНФОРМАЦИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

41. Эффект Соколова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

42. Теория эффекта Соколова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251

42

43. Исследование эффекта Соколова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

44. Квантовая коммуникация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

45. Сверхсветовая коммуникация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

46. Настоящее, прошлое, будущее . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Глава VI ОТ КВАНТОВ К КЛАССИКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

47. Вторичное квантование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .300

48. Кинетика газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Глава VII НЕЛИНЕЙНОСТЬ И САМООРГАНИЗАЦИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

49. Конвекция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

50. Самоорганизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

51. Иерархические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

52. Свобода воли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

КОММЕНТАРИИ К ГЛАВАМ

К главе I. Алгоритмическая информация и демон Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

К главе II. Чистые и смешанные ансамбли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

К главе III. Запутанные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

III. I. Квантовая нелокальность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .354III.2. Операции с запутанными состояниями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .361

К главе IV. Необратимость в квантовой теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

IV. 1. Термодинамические ограничения (constraints) на аксиомы квантовой теории . 369IV.2. Квантование систем с диссипацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

К главе V. Эффект Соколова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

V. 1. Эффект Соколова как результат когерентной суперпозицииЭПР-взаимодействий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .375V.2. Электростатика корреляционного поля E∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .379V.З. Коллапсы волновых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

43

К главе VI. Информационно открытые системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

11 Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Ос-новы теории.– М: Постмаркет, 2000, 352 с.

Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1. Что такое фракталы и хаос? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Предыстория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Классические фракталы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1. Самоподобие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. L-системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3. Пыль Кантора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4. Кривые Пеано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3. Множества и отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1. Предварительные сведения из теории множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2. Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3. Сжимающие отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68

3.4. Аффинные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.5. Метрика Хаусдорфа I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4. Системы итерированных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.1. Системы итерированных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.2. Реализация СИФ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

44

4.3. СИФ со сгущением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.4. Коллажи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5. Размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.1. Размерность Минковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

5.2. Вычисление размерности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

6. Хаотическая динамика I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.1. Аттрактор Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.2. Итерированные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.3. Универсальность Фейгенбаума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.4. Периодичность Шарковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.5. Хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7. Хаотическая динамика II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185

7.1. Существенная зависимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185

7.2. Символическая динамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

7.3. Хаос и фракталы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

7.4. Подъем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

7.5. Затенение... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213

7.6. Алгоритм рандомизированной СИФ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

8. Комплексная динамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

8.1. Множества Жюлиа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

8.2. Орбиты в множествах Жюлиа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

8.3. Множество Мандельброта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232

8.4. Хаос и множества Жюлиа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

8.5. Проблема Кэли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

9. Случайные фракталы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

9.1. Случайные возмущения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

45

9.2. Броуновское движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

9.3. Срединное смещение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

9.4. Фрактальное броуновское движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

9.5. Срединное смещение и ФБД . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

9.6. Фурье-анализ ФБД . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284

9.7. Фильтрация Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

А. Дополнительные сведения из анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .297

А.1. Полнота и компактность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

А.2. Непрерывные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

А.3. Метрика Хаусдорфа II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

А.4. Топологическая размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

А.5. Размерность Хаусдорфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

А.6. Быстрое преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

Б. Теория ренормализации и фракталы Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Б.1. Теория ренормализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Б.2. Фракталы Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .330

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

12 Кузнецов С.П. Динамический хаос.– М.: Наука, 2000, 295 с.Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Лекция 1. Динамические системы и хаос. Исторические введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1. Механика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Статистическая физика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Теория колебаний, радиофизика и электроника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

46

1.4. Гидродинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

1.5. Дискретные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6. Математика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7. Прикладной хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Лекция 2. Хаос в простых моделях динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1. Одномерные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Двумерные отображения, сохраняющие площадь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

2.3. Странные хаотические аттракторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Лекция 3. Система Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1. Задача о конвекции в подогреваемом снизу слое . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2. Конвекции в замкнутой петле и водяное колесо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3. Уравнения динамики одномодового лазера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4. Диссипативный осциллятор с инерционной нелинейностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Лекция 4. Динамика системы Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

4.1. Результаты численного решения уравнений Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2. Аналитическое исследование уравнений Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

4.3. Бифуркации в модели Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Лекция 5. Хаос в реалистичных моделях физических систем:дифференциальные уравнения и рекуррентные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1. Модели с дискретным временем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2. Искусственно сконструированные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.3. Нелинейные осцилляторы под периодическим внешним воздействием . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.4. Автономные системы — электронные генераторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Лекция 6. Сечение Пуанкаре, подкова Смейла, теорема Шильникова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.1. Сечение Пуанкаре и отображение доследования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2. Подкова Смейла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

47

6.3. Теорема Шильникова о петле сепаратрисы седлофокуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Лекция 7. Гомоклиническая структура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.1. Устойчивое и неустойчивое многообразия неподвижной точки и их пересечение . . . . .107

7.2. Связь гомоклинической структуры и подковы Смейла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.3. Критерий Мельникова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Лекция 8. Функция распределения, инвариантная мера; эргодичность и перемешивание . . . . . 117

8.1. Функция распределения и инвариантная мера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.2. Эргодичность и перемешивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.3. Одномерные отображения: инвариантные распределения и уравнениеФробениуса-Перрона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8.4. Системы с непрерывным временем, уравнение для функциираспределения и портреты странных аттракторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Лекция 9. Устойчивость и неустойчивость. Ляпуновские показатели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.1. Устойчивость по Лагранжу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9.2. Устойчивость по Пуассону и возвраты Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9.3. Устойчивость по Ляпунову . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Лекцин 10. Ляпуновские показатели для отображений. Методы численной оценкиляпуновских показателей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

10.1. Обобщение ляпуновских показателей на рекуррентные отображения . . . . . . . . . . . . . . . 148

10.2. Примеры аналитического расчета ляпуновских показателей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

10.3. Алгоритм вычисления старшего ляпуновского показателя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

10.4. Ортогонализация Грама-Шмидта и вычисление спектра ляпуновских показателей 155

10.5. Примеры численного расчета ляпуновских показателей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157

10.6. Зависимость ляпуновского показателя от параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160

10.7. Двухпараметрический анализ и карты ляпуновских показателей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Лекция 11. Геометрия странных аттракторов и фрактальная размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164

11.1. Фракталы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

48

11.2. Фрактальная размерность—емкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

11.3. Размерность Хаусдорфа и ее связь с емкостью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

11.4. Фрактальная размерность двухмасштабного канторова множества и странногоаттрактора в обобщенном отображении пекаря . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Лекция 12. Обобщенные размерности и мультифрактальный формализм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

12.1. Информационная размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176

12.2. Корреляционная размерность и алгоритм Грассбергера-Прокаччиа . . . . . . . . . . . . . . . . 178

12.3. Спектр обобщенных размерностей Реньи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

12.4. Усовершенствованное определение и спектр размерностей аттрактораобобщенного отображения пекаря . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

12.5. Скейлинг-спектр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

12.6. Ляпуновская размерность и формула Каплана-Йорке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188

Лекция 13. Обработка реализаций: реконструкция аттрактора по наблюдаемой,проблема вложения, вычисление характеристик хаотической динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

13.1. Реконструкция фазового пространства методом запаздывания(delay-time reconstruction) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

13.2. Оценка корреляционной размерности по наблюдаемой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

13.3. О технических проблемах, возникающих при вычислении размерности.Оценка Экмона Рюэля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

13.4. Теорема о вложении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

13.5. Вычисление ляпуновских показателей по реализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

13.6. Идея реконструкции уравнений динамической системы по наблюдаемойреализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Лекция 14. Сценарии перехода к хаосу. Общая дискуссия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Лекция 15. Сценарий Фейгенбаума: ренормгруппа, универсальность, скейлинг . . . . . . . . . . . . . . . 218

15.1. Переход к хаосу в логистическом отображении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

15.2. Уравнение РГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

15.3. Линеаризованное уравнение РГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

49

15.4. Скейлинг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229

Лекция 16. Критический аттрактор Фейгенбаума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

16.1. Критический аттрактор, как фрактал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

16.2. О последовательности посещения точек на критическом аттракторе . . . . . . . . . . . . . . . 237

16.3. Символическая динамика в критической точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

16.4. Сигма-функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

16.5. Спектр Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

16.6. О переходе к хаосу через удвоения периода в реальных системах имоделях в виде дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

Лекция 17. Перемежаемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

17.1. Перемежаемость типа I; примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

17.2. Перемежаемость типа I: теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255

17.3. Ренормгрупповой подход к анализу перемежаемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Лекция 18. Квазипериодическая динамика и переход к хаосу в отображении окружности . . . . 262

18.1. Отображение окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

18.2. Динамика отображения окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

18.3. Цепные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

18.4. Уравнение РГ: общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

18.5.РГ анализ критической точки, отвечающей золотому среднему . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

Лекция 19. Критическая динамика и свойства скейлинга в случае числа вращения,заданного золотым средним . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

19.1. Критический аттрактор GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

19.2. Скейлинг на критической линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .280

19.3. Скейлинг языков Арнольда на плоскости параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

50

13 Кулак М.И. Фрактальная механика материалов.– Мн.: Выш.шк., 2002, 304 с.

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Глава 1. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СТРУКТУРЫ И ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХСВОЙСТВ ДИСПЕРСНЫХ И КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

1.1. Основные проблемы структурной механики дисперсных и композиционныхматериалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2. Общие методы механики композиционных и дисперсных материалов . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3. Статистические теории структуры гетерогенных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4. Теория фракталов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

1.5. Теория перколяции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

Глава 2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СТРУКТУРЫ И УПРУГО-ПРОЧНОСТНЫХСВОЙСТВ ФРАКТАЛЬНЫХ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ

2.1. Типологические свойства и процессы структурообразованияв дисперсных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2. Деформационно—прочностные свойства дисперсных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3. Взаимосвязь структуры и технологических свойств дисперсных систем . . . . . . . . . . . . . . 49

Глава 3. ФРАКТАЛЬНЫЙ ПОДХОД В МЕХАНИКЕ ПРОЦЕССОВ КОНСОЛИДАЦИИДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ

3.1. Структурно—механические процессы, протекающие при консолидациидисперсных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1.1. Генезис развития представлений о механике процессов консолидации,стадии уплотнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.1.2. Моделирование процессов структурообразования на первойстадии уплотнения дисперсных систем методами теории протекания . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.1.3. Использование теории фракталов для моделирования процессовструктурообразования при консолидации дисперсных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2. Распределение плотности и давления в прессовке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

51

3.2.1. Влияние фрактальной неоднородности структуры прессовкина деформационный механизм уплотнения дисперсных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .683.2.2. Локальное уравнение прессования дисперсных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2.3. Модули упругости прессовок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

3.3. Влияние консолидации на скорость распространения упругих волнв дисперсных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.4. Структурно—механические особенности уплотнения отдельных видовреальных дисперсных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

3.4.1. Взаимосвязь между давлением и плотностью при прессованииметаллических порошков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.4.2. Зависимость плотности прессовок из керамических порошковот давления прессования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.4.3. Зависимость между плотностью и давлением при уплотненииполимерных порошковых материалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.4.4. Влияние давления на плотность брикетов при прессованииизмельченной древесины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.4.5. Взаимосвязь между давлением и плотностью брикетовпри прессовании торфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.5. Влияние структурных факторов на величину упругого последействия . . . . . . . . . . . . . . 122

3.6. Характерные особенности процесса формирования упруго—прочностныхсвойств твердого тела при консолидации смеси порошков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.7. Влияние фрактальной неоднородности структуры на прочностьконсолидируемых дисперсных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3.8. Использование методов искусственного интеллекта для решения некоторыхобщих и прикладных задач механики материалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ СТРУКТУРНЫХ ИУПРУГО-ПРОЧНОСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ КОМПОЗИЦИОННЫХМАТЕРИАЛОВ С ДИСПЕРСНЫМИ НАПОЛНИТЕЛЯМИ

4.1. Структурные свойства композиционных материалов с дисперсныминаполнителями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.2. Диаграмма структурных состояний компонентов композиционныхматериалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

52

4.3. Эффективные модули упругости композиционных материаловсо сферическими наполнителями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.3.1. Эффективные модули упругости среды с объемной долей включений,меньшей критической . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.3.2. Эффективные модули упругости среды с объемной долей включений,большей критической . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.4. Взаимосвязь структуры и прочности композиционных материаловс дисперсными наполнителями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.4.1. Математическая модель прочностных характеристик композиционныхматериалов с дисперсными наполнителями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.4.2. Прочность полимерных композитов с наполнителями сферической формы . . . . 160

Глава 5. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ФИЗИКО- МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВКОМПОЗИТОВ С АРМИРОВАНИЕМ ПО КОМБИНИРОВАННЫМ СХЕМАМ

5.1. Статистическая модель структур трехкомпонентных композиционных материалов . 1645.2. Эффективные модули упругости композитов с волокнистымии пластинчатыми наполнителями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.2.1. Модули упругости композиционных материалов с пластинчатыминаполнителями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.2.2. Модули упругости композитов с бимодальной упаковкой наполнителей . . . . . . . 170

5.3. Моделирование структур ячеистых волокнистых композитов методамифрактальной геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5.3.1. О проявлениях взаимосвязи структур ячеистых волокнистых композитов . . . . . 1745.3.2. Фрактальный подход к описанию ультраструктуры стенки ячеистыхволокнистых композитов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1775.3.3. Фрактальные свойства микроструктуры ячеистых волокнистых композитов . . 1795.3.4. Фрактальные свойства структур древесины как природного композитаи древесно-полимерных композиционных материалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.4. Упругие и деформационные свойства случайно-неоднородныхкомпозиционных материалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.4.1. Структурные аспекты фрактальной механики пористыхслучайно—неоднородных композитных тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.4.2. Упругие и деформационные свойства пористых случайно—неоднородныхкомпозиционных материалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

53

5.5. Прочность пористых случайно—неоднородных композиционных материалов . . . . . . . . 197

5.5.1. Фрактальный подход в теории прочности пористыхслучайно—неоднородных композиционных материалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1985.5.2. Влияние структурных и технологических факторов на прочностьпористых случайно—неоднородных композитов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

5.6. Прочность композиционных материалов с пластинчатыми наполнителями . . . . . . . . . . 216

5.7. Прочность армированных композиционных пластиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Глава 6. ФРАКТАЛЬНЫЙ ПОДХОД В ТЕОРИИ ПРОНИЦАЕМОСТИ СТОХАСТИЧЕСКОЙВОЛОКНИСТОЙ СИСТЕМЫ

6.1. Построение уравнения состояния консолидируемой волокнистой среды . . . . . . . . . . . . . 222

6.1.1. Уравнение кинематики процесса консолидации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226.1.2 Уравнение состояния консолидируемой волокнистой среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227

6.2. Прогнозирование коэффициента проницаемости системы в рамкахфрактальной модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Глава 7. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФРАКТАЛОВ В МЕХАНИКЕ ПОЛИГРАФИЧЕСКИХ МАТЕРИ-АЛОВ И ТЕХНОЛОГИИ ПЕЧАТНЫХ ПРОЦЕССОВ

7.1. Фрактальное описание микроструктуры и физико-механических свойствпечатной бумаги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238

7.2. Структурная фрактальная теория коэффициента вязкости типографских красок . . .248

7.3. Фрактальные свойства микроструктуры поверхности офсетных печатных форм . . . . 257

7.4. Микрогеометрия фрактальной поверхности офсетного полотна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

7.5. Фрактальная теория процесса взаимодействия бумаги и краски при печатании . . . . . 264

7.6. Механизм и закономерности краскопереноса в офсетной технологии печати . . . . . . . . .282

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

54

14 Лэм Дж.Л. Введение в теорию солитонов.– М.: «БИБФИЗ-МАТ», 1997, 295 с.

Предисловие редактора перевода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Глава 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1. Уравнение Штурма—Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Уравнение Кортевега—де Фриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. Многосолитонные решения как потенциалы Баргмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4. Физическая система, приводящая к уравнению Кортевега—де Фриза . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5. Распространение на случай других нелинейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6. План дальнейшего изложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Глава 2. Вопросы одномерной теория рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1. Колебания струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2. Рассеяние осциллятором . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3. Упруго закрепленная струна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

2.4. Уравнение Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5. Рассеяние потенциалом вида sech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.6. Соответствующие уравнения Штурма — Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.7. Двумерные волны в неоднородной среде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

2.8. Общий подход к проблеме рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.9. «Обрезанные» потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.10. Рассеяние импульсов — уравнения Марченко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

2.11. Задача рассеяния Захарова—Шабата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.12. Связь между уравнением Шрёдингера и уравнениями Захарова— Шабата:уравнения Риккати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Глава 3. Одномерная обратная задача рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.1. Соотношение между потенциалом и функциями AR(x, y) и AL(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

55

3.2. Наличие связанных состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.3. Безотражательные потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.4. Коэффициент отражения — рациональная функция k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.5. Потенциалы Баргмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.6. Метод обратной задачи рассеяния Захарова — Шабата для действительныхпотенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.7. Безотражательные потенциалы для системы Захарова — Шабата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.8. Коэффициент отражения для системы Захарова — Шабата в виде рациональнойфункции k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.9. Система Захарова — Шабата с комплексным потенциалом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

Глава 4. Уравнение Кортевега—де Фриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.1. Стационарное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.2. Результаты численных решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.3. Обратная задача рассеяния и уравнение Кортевега—де Фриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.4. Многосолитонные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.5. Сохраняющиеся величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.6. Начальный профиль импульса в виде δ′(x): автомодельное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.7. Другой подход к линейным уравнениям для уравнения Кортевега—де Фриза . . . . . . . 140

Глава 5. Некоторые эволюционные уравнения, связанные с системойЗахарова—Шабата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142

5.1. Модифицированное уравнение Кортевега—де Фриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.2. Уравнение sin-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.3. Кубическое уравнение Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164

5.4. Общий класс разрешимых нелинейных эволюционных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Глава 6. Приложения I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.1. Волны на мелкой воде и уравнение Кортевега—де Фриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.2. Волны на мелкой воде и кубическое уравнение Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.3. Ионно-звуковые полны в плазме и уравнение Кортевега—де Фриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

56

6.4. Классическая модель одномерной теории дислокации — уравнение sin-Gordon . . . . . . 190

6.5. Выбор параметров разложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Глава 7. Приложения II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

7.1. Самоиндуцированный вихрь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

7.1. Самоиндуцированный вихрь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

7.2. Движение нити . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

7.3. Форма односолитонной нити . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

7.4. Другие солитонные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

7.5. Описание электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

7.6. Двухуровневый атом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

7.7. Уравнения модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7.8. Неподвижные атомы — предел sin-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218

7.9. Движущиеся атомы и теорема площадей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

7.10. Решение методом обратной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

7.11. Распространение в усилителе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

7.12. Метод обратной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

7.13. Вырождение уровней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

Глава 8. Преобразования Бэклунда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

8.1. Преобразование Бэклунда для уравнения Кортевега—де Фриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249

8.2. Преобразования Бэклунда для некоторых других эволюционных уравнений . . . . . . . . 256

8.3. Более общие преобразования Бэклунда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261

Глава 9. Теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Уравнение Кортевега—де Фриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

9.1. Основные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

9.2. Возмущение односолитонного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

Кубическое уравнение Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

9.3. Основные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

57

9.4. Затухание единичного солитона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286

Дополнительная литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

15 Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелиней-ной динамики.– М.: Эдиториал УРСС, 2000, 336 с.

Глава 1. Предисловие, или игры со сложностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1. Время оправдывать надежды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Новая парадигма. Внешнее оправдание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3. Логика нелинейной динамики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

ЧАСТЬ I

Нелинейная динамика и хаос: основные понятия

Глава 2. Язык нелинейной динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1. От истории к современности. Взгляд с птичьего полета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2. Простое и сложное поведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3. Порядок в хаосе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.4. Прообразы динамического хаоса — 1. Сдвиг Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.5. Прообразы динамического хаоса — 2.Проблема турбулентности. Лоренц, Рюэль и Такенс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.6. Прообразы динамического хаоса — 3.Небесная механика, Пуанкаре и «подкова Смейла». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

Глава 3. Динамические системы и их устойчивости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

3.1. Что такое динамическая система? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

3.2. Уравнения движения и отображение ϕt(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

58

3.3. Инвариантные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4. Простейшие инвариантные множества и их устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.5. Асимптотическое поведение, физический смысли разнообразные устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Глава 4. Бифуркации неподвижных точек динамических систем . . . . . . . . . . . . . . 86

4.1. Что такое бифуркация? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2. Теорема о центральном многообразии: выделениесущественных размерностей для анализа бифуркации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

Глава 5. Инвариантная мера динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.1. Откуда приходит случайность? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.2. Инвариантная мера и уравнение Перрона—Фробениуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.3. Неразложимые, или эргодические, меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.4. Устойчивость и сходимость мер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.5. Несколько важных теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.6. Примеры непрерывных инвариантных мер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.7. Численное исследование мер. Гистограммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

5.8. Динамические системы с шумом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.9. Шум и «физическая мера» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

5.10. Заключение. Зачем нужна инвариантная мера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

16 Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы.– Москва:Институт компьютерных исследований, 2002, 656 с.

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I. ВВЕДЕНИЕ

1. Тема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

59

2. Иррегулярное и фрагментированное в Природе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

3. Размерность, симметрия, расходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4. Вариации на тему . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

II. ТРИ КЛАССИЧЕСКИХ ФРАКТАЛА — СОВЕРШЕННО РУЧНЫЕ

5. Какова протяженность побережья Британии? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6. Снежинки и другие кривые Коха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7. Покорение чудовищных кривых Пеано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

8. Фрактальные события и канторова пыль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

III. ГАЛАКТИКИ И ВИХРИ

9. Фрактальный взгляд на скопления галактик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

10. Геометрия турбулентности; перемежаемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

11. Фрактальные особенности дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156

IV. МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНЫЕ ФРАКТАЛЫ

12. Соотношения между длиной, площадью и объемом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

13. Острова, кластеры и перколяция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

14. Ветвление и фрактальные решетки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

V. НЕМАСШТАБИРУЕМЫЕ ФРАКТАЛЫ

15. Поверхности положительного объема. Живая плоть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

16. Деревья. Скейлинговые остатки. Неоднородные фракталы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

17. Деревья и диаметрический показатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224

VI. САМООТОБРАЖАЮЩИЕСЯ ФРАКТАЛЫ

18. Самоинверсные фракталы, аполлониевы сети и мыло . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

19. Канторова пыль и пыль Фату. Самоквадрируемые драконы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

20. Фрактальные аттракторы и фрактальные эволюции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

VII. СЛУЧАЙНОСТЬ

60

21. Случай как инструмент для создания моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

22. Условная стационарность и космографические принципы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

VIII. СТРАТИФИЦИРОВАННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФРАКТАЛЫ

23. Случайный творог . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

24. Случайные цепи и сквиг-кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

25. Броуновское движение и броуновские фракталы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

26. Случайные кривые срединного смещения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

IX. ДРОБНЫЕ БРОУНОВСКИЕ ФРАКТАЛЫ

27. Стоки рек. Масштабно-инвариантные сети и шумы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

28. Рельеф и береговые линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

29. Площади островов, озер и чаш . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

30. Изотермические поверхности однородной турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

X. СЛУЧАЙНЫЕ ТРЕМЫ. ТЕКСТУРА

31. Тремы в интервале. Линейная пыль Леви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

32. Субординация. Упорядоченные галактики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

33. Круговые и сферические тремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .417

34. Текстура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .428

35. Обобщенные тремы и управление текстурой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

XI. РАЗНОЕ

36. Фрактальная логика в статистической решеточной физике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .449

37. Колебания цен и масштабная инвариантность в экономике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .461

38. Масштабная инвариантность и степенные законы без геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

39. Математическое приложение и дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

XII. О ЛЮДЯХ И ИДЕЯХ

40. Биографические очерки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542

41. Исторические очерки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .561

61

42. Эпилог: путь к фракталам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584

Авторы компьютерной графики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588

Благодарности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

Указатель избранных размерностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .592

Дополнение, вошедшее во второе издание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641

17 Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов.– Москва-Ижевск:Институт компьютерных исследований, 2002, 160 с.

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Часть 1. Конструктивные фракталы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Глава 1. Фракталы и системы счисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1. Древовидная структура и системы счисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.1. Двоичная система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.2. Четверичная и восьмеричная системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.3. Троичная система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2. Решето Серпинского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3. Фрактал Кантора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.1. Арифметические свойства фрактала Кантора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Глава 2. Фракталы и меандры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

2.1. Эксперимент Ричардсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Степень изгибания кривой (первое знакомство с фрактальной размерностью) . . . . . . . .242.3. Кривая Коха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4. Вариации на тему кривой Коха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5. Общая схема построения конструктивных фракталов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

62

2.5.1. Варианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322.6. Семейство драконов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6.1. Кривая «Дракона» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Глава 3. Спирали, деревья, звезды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1. Спирали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2. Дерево Пифагора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.1. Склонившееся (спиральное) дерево Пифагора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3. Звезды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Глава 4. Анализ конструктивных фракталов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1. Инвариантные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2. Поворот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3. Сжатие (растяжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.4. Поворот с растяжением (сжатием) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5. Применение поворота-сжатия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.6. Отражение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.7. Применение сжатия-отражения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Глава 5. Случайность во фракталах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

5.1. Броуновская кривая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .745.2. Квазислучайность в динамике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2.1 Модель ограниченного роста популяций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2.2 Определение детерминированного хаоса по Девани . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

Часть 2. Введение во фрактальную динамику . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

Глава 6. Одномерные комлексные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.1. Итерации комплексных функций. Множества Жюлио и Фату . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.1.1. Основы теории множеств Жюлиа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

6.2. Одномерные комплексные рациональные эндоморфизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Глава 7. Фракталы Жюлиа и Мандельброта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.1. Фракталы Жюлиа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.2. Фрактал Мандельброта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.3. Фрактал Мандельброта на экране компьютера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

63

Глава 8. Фракталы Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Глава 9. Элементы гиперкомплексной динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

9.1. Гиперкомплексные числа и кватернионы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.2. Отображение Жюлиа в 3-х мерном гиперпространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

9.2.1 Свойства отображения J3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159.3. Группы симметрий и мозаики в 3-х мерном гиперпространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

9.3.1 Конструирование Г-инвариантных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.3.2 Определение цвета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Глава 10. Краткие сведения из теории множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131

10.0.1 Мощность множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13210.0.2 Примеры эквивалентных множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

10.1. Счетные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13410.2. Множества мощности континуума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13410.3. Кольца и алгебры множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13510.4. Точечные множества в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13610.5. Предельные точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13710.6. Замкнутые и открытые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Глава 11. Что такое линия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

11.1. Первые определения линии. Жордановы кривые. Кривая Пеано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13911.2. Канторовы кривые. Ковер Серпинского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14111.3. Урысоновское определение линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142

Глава 12. Хаусдорфова мера и размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

12.1. Хаусдорфофа мера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14312.2. Хаусдорфофа размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

12.2.1 Открытые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14712.2.2 Гладкие множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14812.2.3 Монотонность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14812.2.4 Счетная устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14912.2.5 Счетные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

12.3. Вычисление хаусдорфовой размерности — простые примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

64

12.4. О других размерностях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15512.4.1 Предельная емкость. Фрактальная размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15512.4.2 Инвариантная мера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15612.4.3 Поточечная размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

18 Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научныхработников и инженеров: Пер. с англ.– М.: Мир, 1990, 312 с.

От редакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. ВВЕДЕНИЕ. ВТОРОЕ ДЫХАНИЕ ДИНАМИКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1. Что такое хаотическая динамика? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Зачем хаотическая динамика инженерам? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Источники хаоса в физике непрерывных сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Где наблюдаются хаотические колебания? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2. Классическая теории нелинейных колебаний. Краткий обзор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Теория линейных колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Теория нелинейных колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Локальная геометрическая теория динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Бифуркации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3. Отображения и потоки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Три образа хаоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Отображения Энона и «подкова» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Аттрактор Лоренца и хаос в жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2. КАК ОБНАРУЖИТЬ ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

65

Нелинейные элементы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Случайные внешние воздействия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

Наблюдение временной эволюции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Эволюция на фазовой плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Спектр Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Отображение Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

Пути к хаосу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Кризис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

Переходный хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Консервативный хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

Показатели Ляпунова и фрактальные размерности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3. ОБЗОР СИСТЕМ С ХАОТИЧЕСКИМИ КОЛЕБАНИЯМИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.1. Новые парадигмы динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.2. Математические модели хаотических физических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Тепловая конвекция в жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Модель тепловой конвекции Мура и Шпигеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Колебания пластины в сверхзвуковом потоке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Задачи с соударениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Задачи с потенциалам в виде двойной ямы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Хаотические колебания маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Сферический маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

Подталкиваемый ротатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Отображение окружности на себя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

Другие задачи с твердыми телами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Аэроупругие колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Нелинейные электрические цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Магнитомеханические модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Хаос в системах управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

66

3.3. Физические эксперименты с хаотическими системами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Первые наблюдения хаотических колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Системы твердых тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Магнитная стрелка компаса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

Устройства на магнитной подушке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Хаос в упругих непрерывных средах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

Трехмерные упругие стержни и струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Хаос в матричном печатающем устройстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Нелинейные цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Хаотическая динамике в жидкостях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ . . . .126

4.1. Введение. Цели эксперимента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.2. Нелинейные элементы динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Нелинейные функции состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Кинематические нелинейности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Нелинейные массовые силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.3. Эксперимент, настройка и управление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Ширина полосы частот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.4. Измерения в фазовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

Измерения в псевдофазовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.5. Бифуркационные диаграммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.6. Экспериментальное отображение Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Отображения Пуанкаре, построенные по положениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Построение одномерных отображение для многомерных аттракторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Двойное отображение Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

4.7. Количественные меры хаотических колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

Частотные спектры — быстрое преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

Фрактальная размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

67

Показатели Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Вероятностные, или инвариантные, распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5. КРИТЕРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.2. Экспериментальные критерии хаоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Вынужденные колебания нелинейной индуктивности: Уравнение Дуффинга . . . . . . . . . . . . 162

Вынужденные колебания частицы в потенциале с двумя ямами:уравнение Дуффинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162

Конвекция Рэлея — Сонара: уравнения Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Вынужденные колебания осциллятора с двумя степенями свободыв потенциале с двумя ямами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Вынужденные движения вращающегося диполя в магнитных полях:уравнение маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Вынужденные колебания в RLC-цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168

Гармонически возбуждаемые поверхностные волны в жидкости,налитой в цилиндрический сосуд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.3. Теоретические прогностические критерии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Критерий удвоения периода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171

Гомоклинические траектории и отображения типа подковы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Перемежаемость и переходный хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Критерии Чирикова перекрытия резонансов для консервативного хаоса . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Критерии для движений а потенциалах с многими ямами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193

5.4. Показатели Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Вычисление наибольшего показателя Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Спектр показателей Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

6. ФРАКТАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

6.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Кривая Кох . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Канторовское множество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

68

Чертова лестница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Фрактальная размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215

6.2. Меры фрактальной размерности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Поточечная размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Корреляционная размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Информационная размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Связь между различными определениями размерности и показателями Ляпунова . . . . . . 225

Насколько полезна фрактальная размерности для задач теории колебаний? . . . . . . . . . . . . .228

6.3. Фрактальная размерность странных аттракторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Дискретизация переменных в фазовом пространств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Фрактальная размерность отображений Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233

Вычисление размерности по одноразовому измерению временного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

6.4. Оптическое измерение фрактальной размерности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

Оптический параллельный процессор для вычисления корреляционной функции . . . . . . . 245

6.5. Границы фрактальных областей притяжения. Области притяжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Чувствительная зависимость от начальных условий:переходное движение в потенциале с двумя ямами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Фрактальная граница области притязания:вынужденное движение в потенциале с двумя ямами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

Гомоклинические траектории: критерий фрактальности границ областей притяжения . . 254

Размерность границ областей притяжения и неопределенность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

Времена перехода: чувствительность к начальным условиям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

Другие приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Фрактальные границы хаоса в пространстве параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

6.6. Комплексные отображения к множества Мандельброта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

ПРИЛОЖЕНИЕ А. СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ ПО ХАОТИЧЕСКИМИ НЕЛИНЕЙНЫМ КОЛЕБАНИЯМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО ХАОСУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Б.1. Логистическое уравнение: удвоение периода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

69

Б.2. Уравнения Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Б.З. Перемежаемость в уравнения Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

Б.4. Аттрактор Энона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

Б.5. Уравнение Дуффинга: аттрактор Уэды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

Б.6. Уравнение Дуффинга с двумя потенциальными ямами: аттрактор Холмса . . . . . . . . . . . . . . 281

Б.7. Кубическое отображение (Холмса) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282

Б.8. Отображение прыгающего шарика (стандартное отображение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

Б.9. Отображение окружности на себя: синхронизация числа вращении и деревья Фэри . . . . . 283

Б.10. Аттрактор Рёсслера: химические реакции, одномерная аппроксимация многомерных систем285

Б.11. Фрактальные границы области притяжения: отображение Каплана—Йорке . . . . . . . . . . . . . 285

Б.12. Отображения тора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

ПРИЛОЖЕНИЕ В. ИГРУШЕЧНЫЕ МОДЕЛИ С ХАОТИЧЕСКИМ ПОВЕДЕНИЕМ . . . . . . 288

В.1. Хаотическая упругая линия (эластика):настольный эксперимент по хаотическим колебаниям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

В.2. Балка Муна, или эксперимент с хаотическими колебаниямипродольно изогнутого стержня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291

В.3. Хаотический двойной маятник, или «космический шарик» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293

В.4. Игрушка с неоновой лампой, демонстрирующая хаотическое поведение . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

19 Николис Дж. Динамика иерархических систем: эволюционноепредставление.– 486 с.

Предисловие к русскому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

70

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1. 0 чем эта книга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Некоторые предварительные определения сложности и организации . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1. Сложность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2. Организация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Предварительные сведения из нелинейной динамики истатистической физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

2.1. Симметрии и законы сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Неустойчивости как первопричина нарушенных симметрии, диссипация инеобратимость в динамических системах малой размерности (не статистических) . . . . . . . . 22

2.2.1. Роль гравитации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.2. Комментарии о роли связи между четырьмя фундаментальнымивзаимодействиями в процессе эволюции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.3. Нелинейный осциллятор с сильным затуханием: пример спонтанногонарушения симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.4. Лазер: пример нарушения симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.5. Вращающийся маятник: пример бифуркации, приводящей к спонтанномунарушению симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.6. Нарушение симметрии в процессе гистерезисного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402.2.7. Основные понятия теории устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.8. Поведение двумерной динамической системы в окрестности особых точек(стационарных состояний) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.9. Первая встреча с нетривиальными диссипативными системами:понятие аттрактора в двумерном случае (предельный цикл) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3. Элементы статистической физики и их связь с эволюционными явлениями . . . . . . . . . . 57

2.3.1. Некоторые характеристики стохастических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3.2. Информационная энтропия, физическая энтропия, термодинамическаяэнтропия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3.3 Энтропия идеального газа в состоянии термодинамического равновесия . . . . . . . . 772.3.4 Энтропия фотонного газа в состоянии термодинамического равновесия . . . . . . . . . 78

71

2.3.5. Элементы ньютоновской космологии большого взрыва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.3.6. Расширение смеси материн и излучения. Дифференциальное охлаждение ипроизводство энтропии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.3.7. Понятие сложности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.4. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

3. Роль сферических электромагнитных волн как носителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.1. Излучение заряда, ускоренно движущегося в вакууме. Понятие«самовоздействия». Термодинамика электромагнитного излучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.1.1. Излучение в вакууме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .993.1.2. Понятие «самовоздействия» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.1.3. Термодинамика электромагнитного излучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.2. Распространение электромагнитных волн в дисперсионных средах и средахс потерями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.3. Разложение сферической волны на элементарные «лучи». Модовая теорияраспространения волн. Возбуждаемые моды (степени свободы) в замкнутой полости . . . 123

3.3.1. Спектральное разложение сферической волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.3.2. Волноводная медовая теория распространения волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.3.3. Полостной резонатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.4. Энтропия злектромагнитного излучения. Информация, получаемаяэлектромагнитной волной, падающей на конечную апертуру.Неоднозначность восприятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

4. Элементы теории информации и кодирования с приложениями . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.1. Передача информации и понятие пропускной способности каналадля дискретных и непрерывных сигналов без памяти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.2. Некоторые идеи теории кодирования, могущие быть полезнымипри минимизации ошибок приема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4.3. Некоторые эффективные алгоритмы кодирования для установлениясоответствия между скоростью передачи информации от источника и пропускнойспособностью канала. Обнаружение и исправление одной ошибки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.3.1. Кодирование для установления соответствия между скоростью передачиинформации от источника и пропускной способностью канала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172

72

4.3.2. Кодирование для обнаружения н исправления ошибки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176

4.4. Источники ннформации с памятью. Цепи Маркова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

4.5. Конкретные примеры некоторых полезных каналов и вычисление ихпропускной способности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

4.5.1. Пропускная способность равномерно турбулентного канала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1854.5.2. Канал без потерь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874.5.3. Детерминистический канал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1884.5.4. Равномерный канал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894.5.5. Двоичный симметричный канал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1904.5.6. Двоичный «стирающий» канал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1904.5.7. Пропускная способность оптического канала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.5.8. Роль квантового шума в оптическом канале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1934.5.9. Общие сведения о «генетическом канале» и генетическом коде . . . . . . . . . . . . . . . . 1964.5.10. Петля синхронизации фазы в отсутствие и при наличии шума . . . . . . . . . . . . . . . 203

4.6. Моделирование стохастических временных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

4.7. Связь между двумя иерархическими системами, моделируемымиуправляемыми цепями Маркова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

4.7.1. Введение. Выяснение природы иерархических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2214.7.2. Динамика на нижних уровнях Q, Q′ и лежащая в ее основе игра . . . . . . . . . . . . . . 2264.7.3. Модель полумарковской цепи д.ля иерархических уровней W и W ′ . . . . . . . . . . . 2324.7.4. Задача управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2394.7.5. Моделирование на компьютере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2434.7.6. Биологические аспекты нашей модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249

4.8. Возникновение новых иерархических уровней в самоорганизующейся системе . . . . . . 251

4.8.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2534.8.2. Рождение нового иерархического уровня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2574.8.3. Замечание по поводу типичных случаев . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

5. Элементы теории игр с приложениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

5.1. Игры с постоянной суммой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

5.1.1. У обоих игроков имеется доминирующая стратегия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2655.1.2. Доминирующая сграгегпя имеется только у одного игрока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

73

5.1.3. Доминирующей стратегии нет ни у одного из игроков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2655.1.4. Смешанные стратегии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

5.2. Игры с непостоянной суммой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

5.2.1. Игры с непостоянной суммой и торгом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2705.2.2. Игры с непостоянной суммой без торга («парадоксальные») . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

5.3. Межвидовая борьба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

5.4. Выживание и вытеснение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

5.5. Некоторые элементарные сведения из генетики; отбор и приспособленность . . . . . . . . .293

5.6. Игры между животными, избирающими видовые моды поведения (роли).Понятие эволюционно устойчивой стратегии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

5.7. Игра конкурентно-кооперативного производства и обмена.Понятие «паразит» на символическом уровне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

5.8. Эпидемиология слухов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

6. Стохастичность, обусловленная детерминистической динамикойв пространстве трех и более измерений: хаос и странные аттракторы . . . . . . . . . . . . 317

6.1. Переоценка классической сгатпсгпческой механики.Теорема Колмогорова—Арнольда—Мозера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .317

6.2. Динамика в трехмерном пространстве состояний (три степени свободы).Стационарные состояния, предельные циклы, притягивающие торы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

6.3. Странные аттракторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

6.3.1. Одномерные отображения на отрезке. «Логистическая» модель . . . . . . . . . . . . . . . 3346.3.2. Фрактальная размерность. Канторовское множество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3446.3.3. Понятие показателен Ляпунова д.ля удвоения периода и хаотическихрежимов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3486.3.4. Типичный трехмерный странный аттрактор. Модель Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . .3526.3.5. Скорость производства информации аттрактором Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

6.4. Параметры, характеризующие среднее поведение странных аттракторов:размерности, энтропии п показатели Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

6.4.1. Понятие информационной размерности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3656.4.2. Понятие характеристического показателя Ляпунова и его связьс информационной размерностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

74

6.4.3. Понятие метрической энтропии (Колмогорова—Синая) и ее связьс информационной размерностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

6.5. Возможная роль хаоса в надежной обработке информации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

6.5.1. Теоретические соображения и общие замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3926.5.2 Приложение. Электрическая активность головного мозга —должна ли она быть хаотической? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4016.5.3. Экспериментальные данные из исследований ЭЭГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4046.5.4. Модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4066.5.5. Двойственная роль перемежаемости в обработке информации . . . . . . . . . . . . . . . . . 4106.5.6. Первопричина конфликта в сообщающихся иерархических системах . . . . . . . . . . . . . .

6.6. Комментарии по поводу влияния внутренних флуктуации и внешнего шумана свойства устойчивости динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

7. Эпилог: роль хаоса в биологии и других областях знания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .418

7.1. Вычислительная сложность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .418

7.2. К динамической теории языка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

7.2.1. Природа проблемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4217.2.2. Структурные и (функциональные иерархические уровни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4237.2.3. Эволюционная лингвистическая модель: символы и структуры . . . . . . . . . . . . . . . . 4267.2.4. Нерешенные проблемы: связь между двумя иерархическими системами . . . . . . . 433

7.3. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444

А. Взгляд на роль внешнего шума на нейронном иерархическом уровне . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

А.1. Введение в проблему . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444А.2. Организация через слабый стационарный по амплитуде шум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451А.З. Адекватность нашей модели нейронной и когнитивной организации . . . . . . . . . . . . 456

Б. О трудности описания связи между двумя иерархическими уровнями с помощьюнепрерывной нелинейной динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

Б.1. Уровень Q партнера I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462Б.2. Гомеостаз и кросс-корреляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462Б.З. Уровень W партнера I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

75

Б.4. Контроллер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

В. Шумовая синхронизация слабо нелинейного релаксационного осцилляторапод действием внешнего гармонического возбуждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

В.1. Общее описание модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465В.2. Метод исследования синхронизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

В.2.1. Жесткая синхронизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .466В.2.2. Свободная, или «дергающаяся», синхронизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466В.2.3. Чистые «свободно бегущие» колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467В.2.4. Свободно бегущие колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

В.3. Аналитические вычисления и моделирование на компьютере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467В.4. Поведение осциллятора под действием приложенного извне гармоническоговозбуждения (затягивание частоты) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .475

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

20 Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. Введение.– М.:Мир, 1990, 342 с.

От переводчика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Глава 1. Сложность в природе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1. Что такое сложность? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2. Самоорганизация в физико-химических системах: рождение сложного . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Тепловая конвекция как прототип явлений самоорганизации в физике . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Явления самоорганизации в химии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

А. Реакция БЖ в системе с перемешиванием: химические часы и хаос . . . . . . . . . . . . . . . 24Б. Реакция БЖ в неоднородной системе: пространственные фигуры . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5. Физико-химическая сложность и алгоритмическая сложность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

76

1.6. Некоторые дополнительные примеры сложного поведения в обычном масштабе . . . . . .37

А. Явления, вызванные поверхностным натяжением. Наука о материалах . . . . . . . . . . . . 37Б. Кооперативные явления, обусловленные электромагнитными полями.Электрические цепи- лазеры, оптическая бистабильность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.7. Снова биологические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.8. Сложность в планетарном п космическом масштабах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.9. Связь между силами п корреляциями. Подведение итогов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Глава 2. Словарь сложного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.1. Консервативные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2. Диссипативные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.3. Механическое и термодинамическое равновесия. Неравновесные ограничения . . . . . . . . 67

2.4. Нелинейность и обратные связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.5. Многогранность второго закона термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

2.6. Устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.7. Бифуркация и нарушение симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

2.8. Упорядоченность и корреляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Глава 3. Динамические системы и сложность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.1. Геометрия разового пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.2. Меры в фазовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.3. Интегрируемые консервативные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.4. Бифуркация в простой диссипативной системе: поиск прототипов сложного . . . . . . . . 112

3.5. Диссипативные системы в двумерном фазовом пространстве: предельные циклы . . . 117

3.6. Сведение к системам меньшей размерности: параметры порядка инормальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

А. Бифуркации типа острия и предельной точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123Б. Бифуркация Хопфа и предельные циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.7. Снова фазовое пространство: топологические многообразия и фракталы . . . . . . . . . . . . 130

А. Периодические аттракторы: циклы порядка k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132

77

Б. Квазипериодические аттракторы: инвариантные торы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133В. Непериодические аттракторы: фракталы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.8. Неинтегрируемые консервативные системы: новая механика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

А. Возмущение квазипериодических движений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Б. Возмущение периодических движений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

3.9. Модель неустойчивого движения: подкова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143

3.10. Диссипативные системы в многомерных фазовых пространствах.Хаос и странные аттракторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

А. Некоторые модели-прототипы, приводящие к хаотическому поведению . . . . . . . . . . .147Б. Некоторые «сценарии» становления хаотического поведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3.11. Пространственно распределенные системы. Бифуркации с нарушениемсимметрии и морфогенез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.12. Дискретные динамические системы. Клеточные автоматы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

3.13. Асимметрия, отбор и информация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167

Глава 4. Случайное и сложное . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.1. Флуктуации и вероятностное описание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.2. Марковские процессы. Основное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

4.3. Марковские процессы я необратимость. Информационная энтропияи физическая энтропия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

4.4. Пространственные корреляции и критическое поведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191

4.5. Поведение флуктуации во времени. Кинетика и временные масштабысамоорганизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

4.6. Чувствительность и отбор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

4.7. Символическая динамика и информация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

4.8. Генерация асимметричных, информационно-насыщенных структур . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

4.9. Снова алгоритмическая сложность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Глава 5. На пути к единой формулировке понятия сложного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

5.1. Общие свойства консервативных динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

5.2. Общие свойства диссипативных динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

78

5.3. Поиски унификации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

5.4. Вероятность и динамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

5.5. Преобразование пекаря . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

5.6. Многообразия с нарушенной временной симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

5.7. Нарушающее симметрию преобразование Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

5.8. Ансамбли Гиббса и Больцмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

5.9. Кинетическая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

5.10. Резонанс п взаимодействие света с веществом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

5.11. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Глава 6. Сложное и перенос знаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

6.1. Нелинейная динамика вдали от равновесия и моделирование сложного . . . . . . . . . . . . . 252

6.2. Наука о материалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253

6.3. Пороговые явления в клеточной динамике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

6.4. Моделирование климатической изменчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

6.5. Вероятностное поведение п адаптивные стратегии у общественных насекомых . . . . . . 268

6.6. Самоорганизация в человеческих сообществах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

Приложение I. Линейный анализ устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

I.1. Основные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

I.2. Принцип устойчивости линеаризованной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

I.3. Характеристическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .285

I.4. Иллюстрации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

I.5. Системы с хаотической динамикой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291

Приложение II. Анализ бифуркаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

II.1. Общие свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

II.2. Разложение решений в ряд по теории возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

II.3. Бифуркационные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

79

Приложение III. Возмущение резонансных движений внеинтегрируемых консервативных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

III.1. Отображение закручивания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

III.2. Влияние возмущения в случае рациональных вращательных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . 303

III.З. Гомоклинические точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Приложение IV. Реконструкция динамики сложных систем повременной последовательности данных. Применение к климатическойизменчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .310

IV.1. Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

IV.2. Теоретические основы анализа данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313

IV.3. Климатический аттрактор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .314

Приложение V. Первичные необратимые процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .317

V.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .317

V.2. Стандартная космологическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

V.3. Черные дыры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .319

V.4. Роль необратимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .326

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

21 Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных си-стемах: Пер. с англ.– М.: Мир, 1979, 512 с.

Предисловие редактора перевода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Список основных обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Общее введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

80

Глава 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.1. Общие замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2. Открытые системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

Глава 2. Уравнения, основанные на законах сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1. Открытые системы в условиях механического равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2. Уравнения баланса массы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

Глава 3. Термодинамика линейных необратимых процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1. Формулы Гиббса н производство энтропии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2. Феноменологические соотношения в области линейности необратимых процессов . . . . 46

3.3. Свойства симметрии феноменологических коэффициентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

Пространственные типы симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Временная симметрия: соотношения взаимности Онэагера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4. Стационарные неравновесные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

3.5. Теорема о минимальном производстве энтропии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

3.6. Невозможность упорядоченного поведения в области линейностинеобратимых процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.7. Диффузия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

Глава 4. Нелинейная термодинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2. Общий критерий эволюции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3. Критерий эволюции и кинетический потенциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4. Устойчивость неравновесных состояний. Диссипативные структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

ЧАСТЬ II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ САМООРГАНИЗАЦИИ.ДЕТЕРМИНИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

Глава 5. Системы с химическими реакциями и диффузией. Устойчивость . . . . . . . . 73

5.1. Постановка проблемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2. Устойчивость по Ляпунову . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

81

5.3. Орбитальная устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

5.4. Структурная устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

Глава 6. Математический аппарат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

6.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.2. Теория бифуркаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.3. Теория устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

«Принцип» устойчивости линеаризованной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Второй метод Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.4. Теория катастроф . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.5. Однородные системы с двумя переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Общие положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Характеристическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Классификация особых точек; простые особые точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Множественные особые точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

6.6. Ветвления, бифуркации и предельные циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Глава 7. Простые автокаталитические модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.1. Случай двух промежуточных продуктов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.2. Тримолекулярная модель («брюсселятор») . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

7.3. Безразмерные переменные, стационарные состояния и граничные условия . . . . . . . . . . 104

7.4. Линейный анализ устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Собственные значения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Собственные векторы оператора L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Сопряженный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.5. Общая схема бифуркации стационарных диссипативнык структур . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.6. Бифуркация при фиксированных граничных условиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Случай четного mc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Случай нечетного mc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.7. Бифуркация в отсутствие потоков на границах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

82

7.8. Качественные свойства диссипативных структур в окрестностипервой бифуркации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Потеря симметрии и критическое поведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124Амплитуды и средние значения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127Зависимость от длины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.9. Последовательные неустойчивости и вторичные бифуркации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.10. Сравнение с результатами численного моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Общие свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Вырождение и пространственная симметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Множественность решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138Периодические граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.11. Локализованные стационарные диссипативные структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Аналитическое построение локалиэованных диссипативных структур . . . . . . . . . . . . . . . 143Сравнение с результатами численных расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

7.12. Бифуркация периодических во времени диссипативных структур . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Условия Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Условия отсутствия потоков на границах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.13. Качественные свойства периодические во времени диссипативных структур . . . . . . . 157

Синхронизация, обусловленная диффузионным сопряжением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Существование скорости распространения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158Последовательные неустойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161Сравнение с результатами численных расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161Критический размер диффузионной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7.14. Распространяющиеся волны в случае периодической геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7.15. Брюсселятор как замкнутая система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

7.16. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Глава 8. Диссипативные структуры и явления самоорганизации . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.2. Консервативные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

83

8.3. Простые модели, приводящие к предельным циклам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Активация продуктом реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Ингибирование конечным продуктом реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Ингибирование конечным продуктом и (или) субстратом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Температурные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8.4. Множественные стационарные состояния и переводы по закону «все или ничего» . . .180

Замечания общего характера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Простая автокаталитическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Термодинамическая интерпретация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Переходы по закону «все или ничего» и теория катастроф . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186

8.5. Двумерные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Линейный анализ устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1980Результаты численных расчетов стационарных решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Периодические во времени и волнообразные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

8.6. Системы, содержажащие более двух химических переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

8.7. Сопряженные осцилляторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

8.8. Гетерогенный катализ и локализованные переходы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210

8.9. Системы включающие фотохимические стадии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

8.10. Дополнительные методы анализа диффузионно-кинетических уравнений . . . . . . . . . . 215

Асимптотические свойства нелинейных осцилляторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216Сингулярное возмущение и формирование поверхностей разрыва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Комбинаторные и топологические методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

8.11. Термодинамическое описание дисспативных структур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Энтропия и производство энтропии (при наличии пространственнойдиссипативной структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226Системы с поддерживаемой пространственной однородностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229Системы, характеризуемые двумя временными масштабами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

ЧАСТЬ III. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

Глава 9. Замечания общего характера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

9.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

84

9.2. Особенности стохастического описания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

9.3. Марковские процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

9.4. Предельный случай равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246

9.5. Флуктуация в неравновесных системах. Исторический обзор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Глава 10. Описание флуктуации в терминах процессов рождения — гибели . . . . . . 252

10.1. Фундаментальное уравнение для процессов рождения — гибели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

10.2. Ограничения в формализме процессов рождения — гибели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

10.3. Методы анализа фундаментального уравнения для процессов рождения—гибели . . 256

Уравнение Фокнера—Планка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256Уравнение типа уравнения Гамильтона — Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261Метод производящей функции и кумулянтное разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263

10.4. Уравнения моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

10.5. Простые примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .270

Мономолекулярные реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270Нелинейная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

10.6. Системы с двумя случайными переменными: модель Лотка—Вольтерра . . . . . . . . . . . .277

10.7. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Глава 11. Использование фазового пространства и многомерного фундаментальногоуравнения при наличии диффузии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286

11.1. Необходимость локального описания флуктуаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

11.2. Описание флуктуаций в формализме фазового пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

11.3. Простая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

Случай преобладания неупругих столкновений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .290Случай когда упругие столкновения играют важную роль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290Случаи преобладания упругих столкновений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

11.4. Приближенное решение фундаментального уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

11.5. Изучение флуктуации методом молекулярной динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .296

11.6. Обсуждение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

85

11.7. Сведение к многомерному фундаментальному уравнению в пространстве концентраций299

Потоковые члены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300Члены, описывающие химические реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

11.8. Многомерное фундаментальное уравнение для модельной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

Предельный случай однородных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304Влияние диффузии на фундаментальное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .306Вклад потоковых членов в средние значения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307Вклад потоковых членов в дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308Уравнения для дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .309

11.9. Пространственные корреляции в тримолекулярной модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

11.10. Критические поведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

11.11. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

Глава 12. Описание флуктуации в приближении «среднего поля».Нелинейное фундаментальное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

12.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

12.2. Вывод нелинейного фундаментального уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

12.3. Свойства нелинейного фундаментального уравнения и уравнения моментов . . . . . . . 330

12.4. Возникновение предельного цикла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

12.5. Возникновение пространственной диссипативной структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

12.6. Переходы между множественными стационарными состояниями иметастабильность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .340

12.7. Асимптотические решении фундаментального нелинейного уравнения . . . . . . . . . . . . . 344

12.8. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

ЧАСТЬ IV. МЕХАНИЗМЫ КОНТРОЛЯ В ХИМИЧЕСКИХ ИБИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Глава 13. Самоорганизация в химических реакциях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

13.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

13.2. Данные экспериментального исследования реакции Белоусова—Жаботинского . . . . 350

86

Пространственно-однородная смесь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .350Пространственно-неоднородная одномерная смесь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351Пространственно-неоднородные двумерные и трехмерные смеси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

13.3. Механизм реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

13.4. Орегонатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

13.5. Колебательный режим . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

13.6. Пространственные структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

13.7. Реакция Бриггса—Раушера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

Глава 14. Регуляторные процессы на субклеточном уровне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

14.1. Метаболические колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

14.2. Гликолитический цикл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

Харартеристики колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367Роль фосфофруктокиназы (ФФК) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

14.3. Аллостерическая модель гликолитических колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369Кинетические уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373Стационарные состояния и анализ устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

14.4. Колебания в режиме предельного цикла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

14.5. Влияние внешних возмущений на колебания в режиме предельного цикла . . . . . . . . . 381

14.6. Типы пространственно-временной организации в модели аллостерическогофермента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

14.7. Периодический синтез цАМФ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

14.8. Реакция с участием мембранных ферментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

Влияние мембранной структуры на поведение фермента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .394Влияние локального распределения концентраций реагентов на поведениефермента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

14.9. Физиологическое значение метаболических колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

Колебании аденилового энергетического заряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397Клеточная агрегация и формирование структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

87

Циркадные ритмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

Глава 15. Регуляторные процессы на клеточном уровне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

15.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

15.2. Lac-оперон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

15.3. математическая модель индукции β-галактозидазы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

15.4. Переходы по закону «всё или ничего» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

15.5. Незатухающие колебания и пороговые явления при наличиирепрессии катаболизма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

15.6. Регуляция клеточного деления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

Эксперименты по слипанию клеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .416Эксперименты с применением теплового шока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

15.7. Количественная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .418

Глава 16. Клеточная дифференцировка и формирование структур . . . . . . . . . . . . . . . 423

16.1. Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

16.2. Позиционная информация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

16.3 Механизмы позиционной информации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

Активный транспорт . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428Межклеточные контакты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428Роль колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428Сортировка клеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .429

16.4. Диссипативные структуры и возникновение полярности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

16.5. Количественная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .431

16.6. Позиционная дифференцировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

16.7. Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

ЧАСТЬ V. ЭВОЛЮЦИЯ И ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ

Глава 17. Термодинамика эволюции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .442

17.1. Понятие о конкуренции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

88

17.2. Общее изложение предбиологической эволюции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .443

17.3. Образование предбиотических полимеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

17.4. Конкуренции между биополимерами и гиперциклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

17.5. Эволюция с точки зрения теории устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

17.6. Механизм обратной связи в эволюция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

17.7. Диссипация энергии в простых реакциях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .456

Простые линейные схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456Простые каталитические схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

17.8. Биохимический пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

Глава 18. Экосистемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

18.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

18.2. Основные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

18.3. Упорядоченное поведение на примере организации в колониях общественныхнасекомых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

18.4. Эволюция экосистем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

18.5. «Разделение труда», как следствие структурных неустойчивостей и возрастаниясложности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

18.6. Устойчивость и сложность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

Перспективы развития теории и заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .479

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

2. Флуктуации в химии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

3. Нейронные и иммунный системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

Деятельность центральной нервной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482Иммунный ответ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.

4. Иммунный противоопухолевый надзор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

5. Социальные системы и гносеологические аспекты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

89

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

22 Новокшенов В.Ю. Введение в теорию солитонов.– Москва-Ижевск:Институт компьютерных исследований, 2002, 96 с.

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Лекция 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. Открытие большой уединенной волны» Дж. С. Расселом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Лекция 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1. Задача Ферми-Паста-Улама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Лекция 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1. Солитоны как квазичастицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Прямые методы интегрирования солитонных уравнений. Метод Хироты . . . . . . . . . . . . . . . 21

Лекция 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Лекция 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1. Преобразование Беклунда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Лекция 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1. Метод обратной задачи рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.1. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341.2. Пара Лакса для уравнения КдФ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

Лекция 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1. Прямая задача рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2. Свойства данных рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Лекция 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

90

1. Свойства данных рассеяния (продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2. Коэффициент отражения и интегральная формула Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Лекция 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1. Уравнение Гельфанда-Левитана-Марченко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2. Формула обращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Лекция 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1. Дискретный спектр уравнения Шредингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.1. Свойства дискретного спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

Лекция 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1. Дискретный спектр в обратной задаче рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Лекция 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1. Законы сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Лекция 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1. Уравнение синус-Гордон. Три модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.1. Модель Скирма в теории поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .731.2. Поверхности постоянной кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Лекция 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1. Три модели SG (продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Лекция 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1. Уравнение синус-Гордон. Метод обратной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Лекция 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

1. Уравнение синус-Гордон. Взаимодействия солитонов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

1.1. Двухсолитонное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891.2. Связанные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901.3. Взаимодействия солитонов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

91

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

23 Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике: Пер. с англ.–М.: Мир, 1989, 326 с.

От редактора перевода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Глава 1. История солитона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Глава 2. Вывод уравнения Кортевега—де Фриза, нелинейного уравнения Шрёдингера идругих важных в математической физике канонических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Глава 3. Семейства солитонных уравнений и методы их решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Глава 4. τ -функция, методы Хироты, свойство Пенлеве и преобразование Бэклундадля солитонных уравнений семейства Кортевега—де Фриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Глава 5. Связующие звенья между чудесами солитонной математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

24 Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы ком-плексных динамических систем.– М.: Мир, 1993, 202 с.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

ЧАСТЬ I. ГРАНИЦЫ ХАОСА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

92

СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

1. Динамика Ферхюльста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2. Множества Жюлиа и их компьютерное построение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

3. Классификация критических точек Салливана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4. Множество Мандельброта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5. Внешние углы и деревья Хаббарда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

6. Тан Лей. Замечания о подобии между множествами Мандельбротаи множествами Жюлиа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7. Метод Ньютона для комплексных полиномов: проблема Кэли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

8. Метод Ньютона для действительных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9. Дискретная система Вольтерра–Лотки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Часть II. МАГНЕТИЗМ И КОМПЛЕКСНЫЕ ГРАНИЦЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

10. Нули Янга–Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121

11. Перенормировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123

ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

ЧАСТЬ III. СТАТЬИ ПРИГЛАШЕННЫХ АВТОРОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Е.Е. Мандельброт. Фракталы и возрождение теории итераций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

А. Дуади. Множества Жюлиа и множество Мандельброта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Г. Айленбергер. Свобода, наука и эстетика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Г. Франке. Преломление науки в искусстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

СДЕЛАЙТЕ ЭТО САМИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

ПРИЛОЖЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

93

25 Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001,160 с.

Вступительная статья . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Предисловие автора к русскому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Предисловие автора к английскому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Список обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Глава I. Сохранение массы в закрытых и открытых системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1. Изолированные, закрытые и открытые системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Экстенсивные и интенсивные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Сохранение массы в закрытых системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. Сохранение массы в открытых системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Глава II. Сохранение энергии в закрытых и открытых системах.Первый закон термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1. Функции состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. Сохранение энергии. Первый закон термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3. Энтальпия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. Открытые системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Глава III. Возрастание энтропии. Второй закон термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1. Обратимые и необратимые процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2. Энтропия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Энтропия однокомпонентной системы. Абсолютная температура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4. Возрастание энтропии, обусловленное потоком тепла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5. Энтропия многокомпонентных систем. Химические потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

94

6. Возрастание энтропии, обусловленное химическими реакциями. Сродство.Совместное действие химических реакций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7. Химическое сродство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8. Возрастание энтропии и поток энтропии в открытых системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

9. Возрастание энтропии, обусловленное электрохимическими реакциями . . . . . . . . . . . . . . . . 47

10. Возрастание энтропии в непрерывных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

11. Внутренние степени свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Глава IV. Общие положения о возрастании энтропии и о скоростяхнеобратимых процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1. Преобразование выражений для величин скоростей и сродства.Эквивалентные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

2. Величины скоростей и сродства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3. Теория флуктуаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4. Микроскопическая обратимость и соотношения взаимности Онзагера . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5. Требования симметрии при взаимодействии необратимых процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Глава V. Феноменологические законы. Взаимодействие необратимых процессов . . 72

1. Область действия феноменологических законов. Химические реакции вблизисостояния равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2. Электрокинетические явления. Соотношение Саксена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3. Термомолекулярная разность давлений и термомеханический эффект . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4. Молекулярно-кинетическое толкование теплоты переноса. Газ Кнудсена . . . . . . . . . . . . . . . 83

5. Диффузия. Формула Эйнштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6. Непрерывный и прерывный формализм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Глава VI. Стационарные неравновесные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

1. Термодинамическое значение стационарных неравновесных состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2. Состояния с минимальной величиной ежесекундного прироста энтропии . . . . . . . . . . . . . . . 91

3. Последовательные (консекутивные) химические реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4. Более сложные системы химических реакций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

95

5. Изменение возрастания энтропии во времени. Устойчивость стационарных состояний . 95

6. Поток энтропии в стационарных состояниях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7. Изменение энтропии во времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

8. Взаимодействие необратимых процессов в стационарном состоянии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9. Приложения к биологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Глава VII. Нелинейные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2. Изменение величины приращения энтропии во времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3. Потенциал скоростей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4. Общая характеристика стационарных неравновесных состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5. Вращение вокруг стационарного состояния. Циклические процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6. Стационарные состояния и масштабы времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7. Другие вариационные формулировки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Нобелевская лекция. Время, структура и флуктуации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

26 Пригожин И. Конец определенности. Время, хаос и новые за-коны природы.– Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическаядинамика», 2000, 208 с.

От автора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

Предуведомление читателям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Введение. Новая рациональность? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

Глава 1. Дилемма Эпикура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

96

Глава 2. Всего лишь иллюзия? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Глава 3. От случайности к необратимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Глава 4. Законы хаоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Глава 5. За пределами законов Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Глава 6. Единая формулировка квантовой теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Глава 7. Наш диалог с природой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Глава 8. Предшествует ли время существованию Вселенной? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143

Глава 9. Узкой тропой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159

Примечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Толковый словарь терминов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

27 Пригожин И. От существующего к возникающему: время исложность в физических науках.– М.: Наука, 1985, 327 с.

Предисловие редактора перевода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Предисловие к русскому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

Глава 1. Введение. Время в физике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Динамическое описание и его пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Второе начало термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Молекулярное описание необратимых процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

Время и динамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Часть I. ФИЗИКА СУЩЕСТВУЮЩЕГО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

97

Глава 2. Классическая динамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

Гамильтоновы уравнения движения и теория ансамблей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

Равновесные ансамбли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Интегрируемые системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Эргодические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Динамические системы не интегрируемы и не эргодичны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Слабая устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Глава 3. Квантовая механика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

Операторы и дополнительность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Правила квантования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Изменение во времени в квантовой механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Теория ансамблей в квантовой механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Представления Шредингера и Гейзенберга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

Равновесные ансамбли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Проблема измерения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Распад нестабильных частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Полна ли квантовая механика? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Часть II. ФИЗИКА ВОЗНИКАЮЩЕГО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Глава 4. Термодинамнка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

Энтропия и больцмановский принцип порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Линейная неравновесная термодинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Теория термодинамической устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105

Применение к химическим реакциям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Глава 5. Самоорганизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

98

Устойчивость, бифуркация и катастрофы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Бифуркации — брюсселятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Разрешимая модель бифуркации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

Когерентные структуры в химии и биологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Экология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Глава 6. Неравновесные флуктуации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138

Нарушение закона больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Химические игры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Неравновесные фазовые переходы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Критические флуктуации в неравновесных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Колебания и нарушение временной симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Пределы сложности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Влияние окружающего шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Часть Ш. МОСТ ОТ СУЩЕСТВУЮЩЕГО К ВОЗНИКАЮЩЕМУ . . . . . . . . . . . . 158

Глава 7. Кинетическая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Кинетическая теория Больцмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Корреляции и энтропия омоложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Энтропия Гиббса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Теорема Пуанкаре — Мисры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Новая дополнительность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Глава 8. Микроскопическая теория необратимых процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Необратимость и обобщение формализма классической и квантовой механики . . . . . . . . . . 182

Новая теория преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184

Построение оператора энтропии и теория преобразований, преобразование пекаря . . . . . . 190

99

Оператор энтропии и катастрофа Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Микроскопическая интерпретация второго начала термодинамики;коллективные моды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Частицы и диссипация; негамильтонов микромир . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Глава 9. Законы изменения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Дилемма Эйнштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Время и изменение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Время и энтропия как операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Уровни описания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Прошлое и будущее . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Открытый мир . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Глава 10. Необратимость и структура пространства-времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Второе начало термодинамики как динамический принцип . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Наведение моста между динамикой и термодинамикой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Внутреннее время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

От прошлого к будущему . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Энтропийный барьер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Необратимость и нелокальность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Предел Больцмана — Грэда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Переход к макроскопической формулировке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

Новая структура пространства-времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

Состояния и законы как результат взаимодействия существующего и возникающего . . . . 249

Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

ПРИЛОЖЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Приложение A. Операторы времени и энтропии для преобразования пекаря . . . . 255

Приложение B. Необратимость и кинетический подход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Динамика корреляций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261

100

Квантовомеханическая теория рассеяния в суперпространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

Приложение C. Энтропия, измерения и принцип суперпозиции в квантовоймеханике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

Чистые и смешанные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .270

Оператор энтропии и генератор движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272

Супероператор энтропии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

Приложение D. Когерентность и случайность в квантовой теории . . . . . . . . . . . . . . . 276

Операторы и супероператоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Классические коммутационные соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Квантовые коммутационные соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .281

Послесловие редактора перевода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

28 Пригожин И., Дефэй Р. Химическая термодинамика.– Новоси-бирск: «Наука», 1966, 502 с.

От редактора русского перевода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Предисловие авторов к русскому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Система обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Список обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Глава I. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

§ 1. Вводные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

101

§ 2. Экстенсивные п интенсивные переменные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

§ 3. Свойства парциального мольного объема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

§ 4. Химические реакции с системе с компонентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

§ 5. Скорость реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

§ 6. Одновременно протекающие реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

§ 7. Многофазные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

§ 8. Обобщенное определение степени полноты превращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

§ 9. Превращения в закрытой системе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

§ 10. Открытые системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Глава II. ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

§ 1. Формулировка принципа сохранения энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

§ 2. Теплота реакции и калорические коэффициенты при переменных T , V , ξ . . . . . . . . . . . . 45

§ 3. Теплота реакции и калорические коэффициенты при переменных T , p, ξ . . . . . . . . . . . . . 47

§ 4. Соотношения между калорическими коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

§ 5. Уравнения Клаузиуса и Кирхгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

§ 6. Теплота реакции и энтальпия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Глава III. ПРИНЦИП ВОЗРАСТАНИЯ ЭНТРОПИИ

§ I. Обратимые и необратимые процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

§ 2. Формулировка второго закопа термодинамики: изменения энтропии ивозрастание энтропии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

§ 3. Термодинамические потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

§ 4. Возрастание энтропии при физико-химических изменениях в однородных системах . . 59

§ 5. Возрастании энтропии и скорость реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

§ б. Значение понятия о химическом сродстве реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

§ 7. Одновременно протекающие реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

§ 8. Сравнение с методом Шоттки, Улиха и Вагнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

§ 9. Статистическая интерпретация возрастания энтропии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Глава IV. ХИМИЧЕСКОЕ СРОДСТВО

102

§ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

§ 2. Сродство и теплота реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

§ 3. Сродство как функция температуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

§ 4. Сродство и термодинамические потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

§ 5. Одновременно протекающие реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

§ 6. Полный дифференциал сродства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Глава V. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ХИМИЧЕСКОГО СРОДСТВА

§ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

§ 2. Средние значения теплоты реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

§ 3. Средние значения химического сродства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

§ 4. Соотношения между теплотой реакции и средним сродством . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Г л а в а VI. ХИМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

§ 1. Закрытые и открытые системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

§ 2. Фундаментальные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

§ 3. Термодинамические потенциалы как функции химических потенциалов . . . . . . . . . . . . . . 87

§ 4. Уравнения Гиббса — Дюгема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

§ 5. Химические потенциалы и производная ∂A∂ξ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

§ 6. Многофазные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Глава VII. ИДЕАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И СИСТЕМЫ СРАВНЕНИЯ

§ 1. Определение идеальных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

§ 2. Уравнения для µij и ∂2G∂ξ2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

§ 3. Парциальные мольные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

§ 4. Сродство в однофазной идеальной системе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

§ 5. Химическое равновесие в однофазной идеальной системе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

§ 6. Идеальные многофазные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

§ 7. Стандартные термодинамические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

§ 8. Системы сравнения. Активность и коэффициенты активности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

103

§ 9. Стандартное сродство и константа равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

§ 10. Изменение стандартного сродства с температурой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Глава VIII. СТАНДАРТНОЕ ХИМИЧЕСКОЕ СРОДСТВО

§ 1. Стандартное сродство, стандартные теплоты и стандартные энтропии реакций . . . . . 109

§ 2. Стандартное сродство образования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

§ 3. Смысл величины стандартного сродства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

§ 4. Расчет стандартного сродства для реакции, не включенной в таблицу . . . . . . . . . . . . . . .112

§ 5. Применение таблицы значений стандартного сродства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

§ 6. Таблица значений стандартного сродства образования, стандартных теплотобразования и стандартных энтропий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

§ 7. Разложение гексана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Глава IX. ТЕПЛОВАЯ ТЕОРЕМА НЕРНСТА

§ 1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

§ 2. Калориметрическое определение энтропии химического соединении . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

§ 3. Приближенные расчеты, основанные на теореме Нернста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Глава X. ИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ

§ 1. Уравнение состояния идеального газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

§ 2. Термодинамические функции идеального газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

§ 3. Теплоемкость идеального газа. Химические постоянные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

§ 4. Смеси идеальных газов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

§ 5. Химические потенциалы и химическое сродство в смеси идеальных газов . . . . . . . . . . . 138

§ 6. Влияние температуры на константу равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

§ 7. Расчет химического сродства для данного состояния системы относительностандартного химического сродства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141

§ 8. Расчет констант равновесия по энтропиям и теплотам образования . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

§ 9. Константы равновесия и химические постоянные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

§ 10. Максимальный выход реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

104

§ 11. Парциальные мольные величины в смеси и в чистом газе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

Глава XI. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ

§ 1. Расчет термодинамических функций по уравнению состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

§ 2. Вириальные коэффициенты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

§ 3. Уравнение состояния ван дер Ваальса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

§ 4. Влияние неидеальности газа на химическое равновесие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

§ 5. Летучесть реального газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

§ 6. Летучести в смеси реальных газов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160

§ 7. Активности и коэффициенты активности в смеси реальных газов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Глава XII. КОНДЕНСИРОВАННЫЕ ФАЗЫ

§ 1. Коэффициенты расширяемости и сжимаемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

§ 2. Уравнение состояния конденсированных фаз . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

§ 3. Влияние температуры и давления па термодинамические функцииконденсированных фаз . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

§ 4. Влияние температуры и объема на термодинамические функцииконденсированных фаз . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

§ 5. Термодинамические свойства твердых тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172

§ 6. Термодинамические свойства жидкостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Глава XIII. ПРАВИЛО ФАЗ ГИББСА И ТЕОРЕМА ДЮГЕМА

§ 1. Правило фаз . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

§ 2. Однокомпонентные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

§ 3. Двойные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

§ 4. Тройные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

§ 5. Условия замкнутости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

§ 6. Теорема Дюгема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

§ 7. Выбор независимых переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190

§ 8. Об азеотропных системах и безразличных состояниях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

105

Глава XIV. ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ

§ 1. Уравнение Клаузиуса — Клапейрона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

§ 2. Постоянные давления пара и химические постоянные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

§ 3. Давление пара и энтропия испарения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

§ 4. Давление пара и свободный объем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199

§ 5. Энтропия плавления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Глава XV. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

§ 1. Изменение энтропии при возмущении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

§ 2. Критерии устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

§ 3. Устойчивость по отношению к односторонним возмущениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206

§ 4. Устойчивость фаз . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

§ 5. Условия термической и механической устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

§ 6. Условия механической устойчивости высшего порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

§ 7. Тройные и множественные точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

§ 8. Устойчивость по отношению к двусторонним возмущениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

§ 9. Взаимосвязь между состояниями устойчивого равновесия при постоянных T и pи при постоянных T и V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

§ 10. Устойчивость по отношению к адиабатическим возмущениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

§ 11. Условия устойчивости высшего порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216

§ 12. Устойчивость по отношению к диффузии в двойной системе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

§ 13. Одновременно протекающие реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219

§ 14. Устойчивость по отношению к диффузии в c-компонентной системе . . . . . . . . . . . . . . . .221

§ 15. Химическое равновесие в устойчивой фазе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

§ 16. Сравнение принятого способа рассмотрения со способом Гиббса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Глава XVI. УСТОЙЧИВОСТЬ И КРИТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

§ 1. Изотермы чистого вещества. Теорема Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

§ 2. Геометрическая интерпретация устойчивости в терминах свободной энергии F . . . . . 229

106

§ 3. Статистическая проблема фазовых переходов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

§ 4. Критические явления при испарении двойных смесей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

§ 5. Критические явления растворения в двойных смесях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

§ 6. Критические явления и устойчивость по отношению к диффузии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

§ 7. Геометрическая интерпретация условия устойчивости по отношению к диффузии . . 235

§ 8. Связь между условиями механической устойчивости и устойчивостипо отношению к диффузии в двойных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

§ 9. Расслаивание в регулярных растворах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240

§ 10. Взаимная растворимость в твердом состоянии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

§ 11. Критические явления в тройных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

§ 12. Примеры критических явлений растворения в тройных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248

§ 13. Влияние третьего компонента на взаимную растворимость двух жидкостей . . . . . . . .248

§ 14. Спинодали в регулярных тройных растворах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

Глава XVII. ТЕОРЕМЫ МОДЕРАЦИИ

§ 1. Общие формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

§ 2. Модерация механических переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

§ 3. Модерация состава . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

§ 4. Область применимости принципа Ле Шателье — Брауна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Глава XVIII. СМЕЩЕНИЯ ВДОЛЬ ЛИНИИ РАВНОВЕСИЯ

§ 1. Смещение равновесия в закрытых системах. Теоремы Вант-Гоффа и Ле Шателье . . 261

§ 2. Смещение равновесия в открытых системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

§ 3. Смещение равновесия в гетерогенных системах. Переход компонента из однойфазы в другую . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

§ 4. Сублимация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

§ 5. Перенос двух компонентов из одной фазы в другую . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

§ 6. Теоремы Гиббса—Коновалова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

§ 7. Знаки углов наклона линий сосуществования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

§ 8. Аналитические условия максимума и минимум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

107

§ 9. Условия наличия верхней и нижней критических температур растворения . . . . . . . . . . 275

§ 10. Влияние давления на критическую температуру растворения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Глава XIX. РАВНОВЕСНЫЕ ПРОЦЕССЫ, ЯВЛЕНИЯ РЕЛАКСАЦИИ И ПЕРЕ-ХОДЫ ВТОРОГО РОДА

§ 1. Определенно равновесною процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

§ 2. Условия равновесного процесса. Время релаксации сродства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .281

§ 3. Конфигурационная теплоемкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283

§ 4. Механические конфигурационные эффекты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

§ 5. Пример расчета конфигурационной теплоемкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286

§ 6. Точка Кюри. Кооперативные явления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

§ 7. Влияние давления на температуру Кюри. Формулы Эренфеста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294

§ 8. Переходи высшего порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

§ 9. Равновесные превращения при постоянной массе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .296

Глава XX. РАСТВОРЫ

§ 1. Общие замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

§ 2. Термодинамическая классификация растворов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

§ 3. Основные свойства идеальных растворов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

§ 4. Идеальные растворы и идеальные разбавленные растворы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

§ 5. Статистическая интерпретация предельных законов очень разбавленныхрастворов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .306

§ 6. Способы выражения концентрации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

§ 7. Коэффициенты активности и осмотический коэффициент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

§ 8. Сродство и химическое равновесие в растворах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

§ 9. Закон распределения Нернста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

§ 10. Осмотическое давление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

Глава XXI. РАВНОВЕСИЕ ЖИДКОСТЬ — ПАР

§ 1. Давление пара идеальных растворов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

108

§ 2. Давление пара предельно разбавленных растворов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .321

§ 3. Давление пара неидеальных растворов. Выбор системы сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

§ 4. Переход от одной системы сравнения к другой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

§ 5. Аналитическая форма коэффициентов активности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .326

§ 6. Взаимосвязь между коэффициентами активности в двойном растворе . . . . . . . . . . . . . . 327

§ 7. Уравнение Дюгема — Маргулеса и критерий Битти и Кэллингерта . . . . . . . . . . . . . . . . . .330

§ 8. Общее давление и парциальные давления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

§ 9. Закон точек кипения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

§ 10. Кривые кипения и конденсации для полностью смешивающихся жидкостей . . . . . . . 335

§ 11. Кривые кипения и конденсации для несмешивающихся жидкостей . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

Глава XXII. РАВНОВЕСИЕ РАСТВОР—КРИСТАЛЛ. СИСТЕМЫ С ЭВТЕКТИ-КОЙ

§ 1. Кривая кристаллизации. Уравнение Шредера — ван Лаара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .340

§ 2. Закон понижения температуры замерзания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

§ 3. Энтропия плавления и кривая замерзания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

§ 4. Расчет эвтектической точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

§ 5. Влияние давления на эвтектическую точку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

§ 6. Влияние давления на растворимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

Глава XXIII. РАВНОВЕСИЕ РАСТВОР-КРИСТАЛЛ. СМЕШАННЫЕ КРИСТАЛ-ЛЫ И СОЕДИНЕНИЯ ПРИСОЕДИНЕНИЯ

§ 1. Непрерывный ряд смешанных кристаллов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .350

§ 2. Переход от смешанных кристаллов к системам с соединениями присоединенияи эвтектическими точками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

§ 3. Дистектические или безразличные точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .354

§ 4. Кривая растворимости соединения присоединения, если раствор идеален . . . . . . . . . . . 355

§ 5. Кривая растворимости соединения присоединения, если раствор неидеален . . . . . . . . . 357

§ 6. Конгруэнтное и инконгруэнтное плавление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

Глава XXIV. ИЗБЫТОЧНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

109

§ 1. Избыточные термодинамические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

§ 2. Теплота смешения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

§ 3. Межмолекулярные силы в конденсированных фазах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

§ 4. Конфигурационная энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .366

§ 5. Классификация отклонений от идеальности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

§ 6. Избыточные термодинамические функции в области критическойтемпературы растворения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

Глава XXV. РЕГУЛЯРНЫЕ И АТЕРМАЛЬНЫЕ РАСТВОРЫ

§ 1. Регулярные растворы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

§ 2. Область применимости модели регулярного раствора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

§ 3. Межмолекулярные силы и избыточные термодинамические функции . . . . . . . . . . . . . . . 376

§ 4. Атермальные растворы. Влияние размеров молекул на свойства растворов . . . . . . . . . 379

§ 5. Влияние формы молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

§ 6. Избыточная энтропия в растворах углеводородов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

Глава XXVI. АССОЦИИРОВАННЫЕ РАСТВОРЫ

§ 1. Определение ассоциированных растворов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

§ 2. Термодинамические свойства ассоциированных растворов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

§ 3. Коэффициенты активности и спектроскопические свойства ассоциированныхрастворов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .390

§ 4. Область применимости модели идеального ассоциированного раствора . . . . . . . . . . . . . .392

§ 5. Виды ассоциации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

§ 6. Коэффициенты активности и избыточные термодинамические функции . . . . . . . . . . . . 401

§ 7. Избыточная энтропия ассоциированных растворов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

§ 8. Ассоциация и расслаивание раствора на две фазы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

§ 9. Ассоциация в тройных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

Глава XXVII. РАСТВОРЫ ЭЛЕКТРОЛИТОВ

§ 1. Условие электронейтральности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

110

§ 2. Химический потенциал иона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

§ 3. Сохранение суммы зарядов при химической реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

§ 4. Средние химические потенциалы и средние ионные коэффициенты активности . . . . . 411

§ 5. Закон действующих масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

§ 6. Давление пара растворов электролитов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

§ 7. Растворимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

§ 8. Осмотический коэффициент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

§ 9. Криоскопичоское определение среднего ионного коэффициента активности . . . . . . . . . 417

§ 10. Предельный закон для сильных электролитов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

§ 11. Концентрированные растворы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

Глава XXVIII. АЗЕОТРОПИЯ

§ 1. Условия аэеотропйого превращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

§ 2. Теплота азеотропного испарения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .422

§ 3. Коэффициенты активности в состояниях однородного состава . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

§ 4. Регулярные растворы и состояния однородного состава . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

§ 5. Состояния однородного состава в смешанных кристаллах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .429

§ 6. Линия однородного состава . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

§ 7. Линия однородного состава в регулярных растворах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

§ 8. Условия существования азеотропа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

§ 9. ∆ − δ правило Лека . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

Глава XXIX. БЕЗРАЗЛИЧНЫЕ СОСТОЯНИЯ

§ 1. Предмет этой главы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .437

§ 2. Независимые реакции. Критерий Жуге . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

§ 3. Вариантность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

§ 4. Определение безразличных состоянии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

§ 5. Безразличные состояния в безвариаптлых и одновариаптных системах . . . . . . . . . . . . . . 440

§ 6. Безразличные состояния в многовариантных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .441

111

§ 7. Примеры безразличных состоянии многовариантных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .441

§ 8. Многофазные системы с двумя фазами одинакового состава . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .443

§ 9. Многофазные системы, содержащие две фазы, находящиеся в безразличномсостоянии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444

§ 10. Теорема Сореля. Линия безразличных состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

§ 11. Статические без различны о состояния и теорема Дюгема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

§ 12. Обобщение теорем Гиббса — Коновалова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

§ 13. Изменение p в зависимости от T в одновариантной системе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

§ 14. Изменение p с T вдоль линии безразличных состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

§ 15. Подсистемы одновариантной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

§ 16. Безразличное состояние подсистемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

§ 17. Одновариантная система с подсистемой, находящейся в безразличном состоянии . . 462

§ 18. Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

§ 19. Теорема совпадения Мори и Шрейнемакерса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .465

§ 20. Частный случай, когда подсистема одновариантна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

§ 21. Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

§ 22. Аналогия между безразличными состояниями систем и одновариантнымисистемами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

§ 23. Теоремы Жуге о достижимости линии безразличных состояний закрытоймноговариантной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .466

§ 24. Существование неравновесных безразличных состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

Приложение 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

Приложение 2. «О современном развитии неравновесной термодинамики» . . 484

Именной указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

112

29 Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса: новый диалог че-ловека с природой.– М.: Прогресс, 1986, 432 с.

От издательства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

К советскому читателю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Предисловие Наука и изменение. О. Тоффлер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Предисловие к английскому изданию. Новый диалог человека с природой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Введение. Вызов науке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ИЛЛЮЗИЯ УНИВЕРСАЛЬНОГО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Глава 1. Триумф разума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Глава 2. Установление реального . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103Глава 3. Две культуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. НАУКА О СЛОЖНОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

Глава 4. Энергия н индустриальный век . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Глава. 5. Три этапа в развитии термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184Глава 6. Порядок через флуктуации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ОТ БЫТИЯ К СТАНОВЛЕНИЮ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Глава 7. Переоткрытие времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275Глава 8. Столкновение теорий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298Глава 9. Необратимость — энтропийный барьер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

Заключение. С земли на небо: новые чары природы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

Примечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

Послесловие. Естествознание и развитие: диалог с прошлым, настоящим и будущим(В.И. Аршинов, К.Л. Климонтович и Ю.В. Сачков) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

Именной указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

113

30 Рюэль Д. Случайность и хаос.– Ижевск: НИЦ «Регулярная ихаотическая динамика», 2001, 192 с.

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Благодарности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Глава 1. Случайность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

Глава 2. Математика и физика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Глава 3. Вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Глава 4. Лотереи и гороскопы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Глава 5. Классический детерминизм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Глава 6. Игры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Глава 7. Чувствительная зависимость от начальных условий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

Глава 8. Адамар, Дюгем и Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Глава 9. Турбулентность: моды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Глава 10. Турбулентность: странные аттракторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Глава 11. Хаос: новая парадигма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Глава 12. Хаос: последствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Глава 13. Экономика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Глава 14. Исторические эволюции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

Глава 15. Кванты: концептуальная основа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Глава 16. Кванты: счет состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Глава 17. Энтропия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Глава 18. Необратимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Глава 19. Равновесная статистическая механика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

114

Глава 20. Кипящая вода и врата Ада . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Глава 21. Информация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Глава 22. Сложность, алгоритмическая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Глава 23. Сложность и теорема Геделя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Глава 24. Истинный смысл разделения полов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Глава 25. Интеллект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

Глава 26. Эпилог: наука . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Примечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

31 Симо К., Смейл С., Шенсине А. и др. Современные проблемыхаоса и нелинейности.– Ижевск: Институт компьютерных ис-следований, 2002, 304 с.

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

К. Симо. Эффективные вычисления в гамильтоновой динамике . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Глобальное описание орбит вблизи точки L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1. Уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Решение в формальных рядах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3. Результаты и тесты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4. Редукция на центральное многообразие вблизи L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Орбиты вблизи точки L5 в модели ОЗТТ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1. Границы области практической устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2. Неустойчивые 2D-торы; обнаружение и численные эксперименты . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3. Обобщение: численное получение инвариантных торов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

115

А. Джиорджилли, В. Ф.Лазуткин, К. Симо. Визуализация гиперболическойструктуры для отображений, сохраняющих площадь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2. Описание модели. Свойство сжатия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3. Метод визуализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4. Первая последовательность перенормировок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5. Нерегулярности и острова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6. Случай малых значений g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

К. Симо. Инвариантные кривые аналитически возмущенных,незакручивающих, сохраняющих площадь отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2. Возмущение однопараметрических семейств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3. Примеры. Меандровыс кривые высшего порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4. Возмущения специального типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5. Вырожденность закручивания высокого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6. Более вырожденные случаи. Лабиринтные кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

7. Перспективы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

К. Симо. Т. Стучи. Центральные устойчивые/неустойчивые многообразия и разру-шение КАМ-торов в плоской задаче Хилла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2. Гамильтониан задачи Хилла и его регуляризация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.1. От плоской ОЗТТ к гамильтониану задачи Хилла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.2. Регуляризация Леви-Чивига . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.3. Построение сечений Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3. Общие свойства задачи Хилла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

116

3.1. Неподвижные точки и кривая нулевой скорости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.2. Низкие уровни энергии и периодические орбиты Хилла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.3. Локальное поведение вблизи точек либрации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4. Предварительные численные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5. Ляпуновские и другие основные периодические орбиты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6. Глобальное описание при энергиях ниже критической . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.1. Периодические орбиты и число вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.2. Меандровые инвариантные кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1176.3. Зоны хаоса, максимальные показатели Ляпунова и степень неинтегрируемости .1206.4. Набросок глобальной динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7. Гомо- и гетероклинические пересечения при h, близких к 118

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

7.1. Гомо- и гетероклинические пересечения, связанные с ляпуновскими орбитами . . 1257.2. Пересечения многообразий хилловских и ляпуновских п.о. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8. Глобализация WUS для ляпуновских орбит и разрушение КАМ-торов . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9. Итоги, приложения и перспективы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

X. Брур, К. Симо. Уравнение Хилла с квазипериодической вынуждающейсилой: резонансные полуострова, очаги неустойчивости и глобальные явления . . 142

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

1.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421.2. Задачи и результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

1.2.1. Резонансные полуострова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1441.2.2. Очаги неустойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1441.2.3. Дальнейшие задачи, численное исследование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

2. Резонансные полуострова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3. Очаги неустойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4. Глобальные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

4.1. Окрестность границ полуостровов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.2. Коллапс резонансов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5. Подробное численное исследование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159

117

5.1. Фазовое пространство. Исключение неустойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.2. Фурье-анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.3. Поведение λ и ρ вблизи линии коллапса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.4. Разрушение торов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6. Выводы и перспективы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7. Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.1. Вычисление M(θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.2. Процесс интерполяции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1777.3. Оценки λ и ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1787.4. Процесс сканирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1807.5. Фурье-анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

А.Шенсине, Р.Монтгомери. Замечательное периодическое решение задачитрех тел в случае равных масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

2. Орбита . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

3. Структура доказательства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187

4. Исключение столкновений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5. Вычисления длины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.1. Фактор-отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1935.2. Метрика орбиты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.3. Длина l0 в сферических координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6. Симметрии: доказательство существования «восьмерки» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

А. Шенсине. Р. Монтгомери, К. Симо, Дж. Джервер. Простыехореографические движения N тел: предварительное изучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

1.1. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

2. Простые хореографии. Теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

118

2.1. Альтернативное описание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2122.2. Замечание по поводу наложения дополнительных симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

3. Доказательство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

4. Численные исследования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

4.1. Методы минимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2174.2. Метод Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

5. Основные хореографии, сопутствующие хореографии и линейные цепочки . . . . . . . . . . . .220

5.1. Об основных и сопутствующих хореографиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2205.1.1. Субгармоники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2205.1.2. Относительные хореографии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2225.1.3. Траектории, сопутствующие восьмерке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

5.2. Линейные цепочки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

6. Эволюция хореографий при изменении потенциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

7. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

К. Симо. Новые семейства решений задачи N тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

2. Решение в виде восьмерки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

3. Хореографии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239

4. Вариационные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

5. Различные виды хореографий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

6. Изменение потенциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7. Численные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .247

7.1. Реализация вариационного метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2487.2. Уточнение решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2487.3. Вычисление отображения Пуанкаре вокруг периодического решения . . . . . . . . . . . .249

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

К. Симо. Динамические свойства 8-образных решений задачи трех тел . . . . . . . . . . 252

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

119

2. Восьмерка и близкие к ней простые периодические решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

3. Исследование двумерного сечения. Примеры траекторий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

4. Изучение локального поведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

5. Устойчивость в зависимости от масс и связанные с этим бифуркации . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

6. Сопутствующие и относительные хореографии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

7. Поиск других абсолютных хореографий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

С. Смейл. Математические проблемы следующего столетия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

1. Гипотеза Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

2. Гипотеза Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

3. Справедливо ли P = NP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

4. Целые нули многочлена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

5. Границы высоты диофантовых кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

6. Конечность числа относительных равновесий в небесной механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

7. Распределение точек на 2-мерной сфере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .287

8. Развитие экономической теории с точки зрения динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . 288

9. Проблема линейного программирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

10. Лемма о замыкании . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

11. Является ли одномерная динамика всегда гиперболической? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

12. Централизаторы диффеоморфизмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

13. 16-я проблема Гильберта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

14. Аттрактор Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295

15. Уравнения Навье-Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

16. Гипотеза Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

17. Решение полиномиальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

18. Пределы интеллекта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

120

32 Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике.–318 с.

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Глава 1. Динамика дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1. Интегрирование линейных уравнений второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1. а. Интегрирование в квадратурах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1. б. Затухающий осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Интегрирование нелинейных уравнений второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. а. Эллиптические функции Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2. б. Эллиптические функции Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. в. Периодическая структура эллиптических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2. г. Уравнение маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. Динамика в фазовой плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3. а. Фазовый портрет маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3. б. Фазовые портреты консервативных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4. Линейный анализ устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

1.4. а. Матрица устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4. б. Классификация неподвижных точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4. в. Примеры анализа неподвижных точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4. г. Предельные циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5. Интегралы, зависящие от времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.6. Неавтономные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6. а. Осциллятор с вынуждающей силой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.6. б. Затухающий осциллятор с вынуждающей внешней силой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.7. Дальнейшие замечания об интегрировании дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . 34

Приложение 1.1. Эллиптические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Глава 2. Динамика гамильтоновых систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

121

2.1. Формализм Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

2.1. а. Функция Лагранжа и принцип Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.1. б. Свойства Лагранжиана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1. в. Свойства обобщенных импульсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2. Формализм Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2. а. Переход к формализму Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2. б. Уравнения Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2. в. Скобки Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3. Канонические преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3. а. Сохранение фазового объема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .512.3. б. Оптимальное преобразование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3. в. Производящие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4. Уравнение Гамильтона Якоби и переменные действие—угол . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.4. а. Уравнение Гамильтона— Якоби в случае одной степени свободы . . . . . . . . . . . . . . . 582.4. б. Переменные действие— угол в случае одной степени свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.5. Интегрируемые гамильтонианы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.5. а. Сепарабельные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.5. б. Свойства интегрируемых систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.5. в. Примеры интегрируемых систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.5. г. Движение на торах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.5. д. Фундаментальные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

Приложение 2.1. Преобразования Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Приложение 2.2. Геометрические представления в классической механике . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Глава 3. Классическая теория возмущении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.1. Элементарная теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.1. а. Регулярные ряды возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.1. б. Сингулярные ряды возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.1. в. Регулярные ряды возмущений для дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . 82

3.2. Каноническая теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

122

3.2. а. Ряды возмущений для уравнения Гамильтона—Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.2. б. Решения с точностью до первого порядка по ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.2. в. Решения с точностью до более высоких степеней по ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.2. г. Возмущенный осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.3. Большое число степеней свободы и проблема малых знаменателей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.3. а. Малые знаменатели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.3. б. Фундаментальная проблема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.4. Теорема Колмогорова Лрнольдз— Мозера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.4. а. Суперсходящаяся теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.4. б. Теоретико-числовые свойства частот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.4. в. Другие аспекты КАМ-тсоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

3.5. Резюме по КАМ-теореме и ее вариантам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.5. а. Автономные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.5. б. Отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.5. в. Периодические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.5. г. Точки устойчивого равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Глава 4. Хаос в гамильтоновых системах и сохраняющие площадь отображения .104

4.1. Поверхность сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.1. а. Поверхности сечения для гамильтонианов с двумя степенями свободы . . . . . . . 1044.1. б. Гамильтониан Хенона—Хейлеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.1. в. Цепочка Тода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.1. г. Поверхность сечения как симплектическое отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.2. Сохраняющие площадь отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2. а. Отображения поворота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2. б. Отображения на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.2. в. Взаимосвязь между сохраняющими площадь отображениями игамильтонианами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.2. г. Дискретные лагранжианы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1164.2. д. Стандартное отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

123

4.3. Неподвижные точки и теорема Пуанкаре— Биркгофа о неподвижной точке . . . . . . . . .117

4.3. а. Касательное отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.3. б. Классификация неподвижных точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.3. в. Теорема Пуанкаре— Биркгофа о неподвижной точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.4. Гомоклинные и гетероклинные точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123

4.4. а. Пересечения H+ и H− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.4. б. Усы и завитки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.5. Критерии локального хаоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.5. а. Показатели Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.5. б. Спектры мощности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131

4.6. Критерии возникновения глобального хаоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.6. а. Метод перекрытия резонансов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.6. б. Метод Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.7. Статистические понятия сильно хаотических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.7. а. Эргодичность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.7. б. Перемешивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.7. в. Преобразование пекаря и системы Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.7. г. Иерархия неупорядоченности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.8. Гамильтонов хаос в гидродинамических системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.8. а. Основные положения гидродинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.8. б. Модельная система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1514.8. в. Экспериментальные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

Приложение 4.1. Поверхность сечения как симплектическое отображение . . . . . . . . . . . . . . . 157

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Глава 5. Динамика диссипативных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.1. Диссипативные системы и турбулентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.1. а. Уравнение Навье Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.1. б. Понятие турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.1. в. Гамильтонова дигрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

124

5.2. Экспериментальные наблюдения возникновения турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.2. а. Течение Куэтта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1655.2. б. Конвекция Рэлея—Бенара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166

5.3. Теоретические представления о возникновении турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168

5.3. а. Теория Ландау—Хопфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.3. б. Теория бифуркации Хопфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.3. в. Теория Рюэля—Тэкенса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.3. г. Другие сценарии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735.3. д. Фракталы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5.4. Математические модели странных аттракторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.4. а. Модель Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1755.4. б. Варианты модели Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1805.4. в. Отображение Хенона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5.5. Бифуркации удвоения периода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5.5. а. Механизм удвоения периода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855.5. б. Бифуркационная диаграмма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1885.5. в. Поведение за пределами A∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.5. г. Другие классы универсальности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Глава 6. Хаос и интегрируемость в квазиклассической механике . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.1. Взаимосвязь квантовой и классической механики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.1. а. Квазиклассический предел для задач, зависящих от времени . . . . . . . . . . . . . . . . . 1956.1. б. Квазиклассический предел для задач, не зависящих от времени . . . . . . . . . . . . . . 196

6.2. Метод ВКБ и условия квантования Бора—Зоммерфельда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.2. а. Разложение ВКБ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.2. б. Квантование Бора - Зоммерфельда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.3. Квазиклассическое квантование в случае большого числа степеней свободы . . . . . . . . .200

6.3. а. Условие квантования Эйнштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.3. б. ЭБК-квантование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.3. в. Квазиклассические волновые пакеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

125

6.4. Регулярные и нерегулярные спектры: свойства, связанные с собственнымизначениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

6.4. а. Регулярные и нерегулярные связанные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.4. б. Спектр мощности и принцип соответствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.4. в. Чувствительность к возмущению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.4. г. Распределение расстояний между уровнями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2086.4. д. Спектральная жесткость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

6.5. Регулярные и нерегулярные спектры; свойства, связанные с собственнымивекторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

6.5. а. Волновые функции регулярных связанных состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116.5. б. Функция Вигнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.5. в. Пространственные корреляции волновых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136.5. г. Некоторые численные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2146.5. д. Узловые структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.5. е. Теоремы локализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.5. ж. Эксперименты по микроволновой ионизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217

6.6. Квантовые отображения: эволюция волновых пакетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

6.6. а. Классическое отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2186.6. б. Квантовое отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2186.6. в. Эволюция классических и квантовых состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .220

6.7. Квантовые отображения: квантование с использованием замкнутых траекторий . . . . 225

6.7. а. Предварительные сведения из квантовой механики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2256.7. б. Квазиэнергетический спектр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2266.7. в. Пропагатор квантового отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2276.7. г. Вычисление следа пропагатора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2396.7. д. Обсуждение метода замкнутых траекторий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Приложение 6.1. Метод стационарной фазы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Глава 7. Нелинейные эволюционные уравнения и солитоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

7.1. История вопроса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

7.1. а. Наблюдения Рассела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

126

7.1. б. Эксперимент ФУП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2387.1. в. Открытие солитона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

7.2. Основные свойства уравнения КдФ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240

7.2. а. Эффекты нелинейности и дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2407.2. б. Решение типа бегущей волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2427.2. в. Автомодельные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2437.2. г. Законы сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2447.2. д. Преобразование Миуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2457.2. е. Инвариантность Галилея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

7.3. Обратное преобразование рассеяния: основные принципы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .247

7.3. а. Взаимосвязь с квантовой механикой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2477.3. б. Аналогия с преобразованиями Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2487.3. в. Прямая задача рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2507.3. г. Обратная задача рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

7.4. Обратное преобразование рассеяния: уравнение КДФ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251

7.4. а. Изоспектральная деформация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2527.4. б. Эволюция данных рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2537.4. в. Двухсолитонное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2557.4. г. Более общие решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2567.4. д. Пара Лакса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

7.5. Другие солитопные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

7.5. а. Модифицированное уравнение КдФ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2597.5. б. Уравнение sin-Гордона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2607.5. в. Нелинейное уравнение Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2627.5. г. Общая схема ОПР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

7.6. Гамильтонова структура интегрируемых систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

7.6. а. Функциональная производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2657.6. б. Гамильтонова структура уравнения Кортвега—де Фриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2677.6. в. Гамильтопова структура нелинейного уравнения Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . 269

7.7. Динамика неинтегрируемых эволюционных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .269

7.7. а. Самофокусирующисся сингулярности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .270

127

7.7. б. Уравнения Захарова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2717.7. в. Когерентность и хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

Глава 8. Аналитическая структура динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .275

8.1. В поисках интегрируемых систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

8.1. а. Работа Ковалевской . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2768.1. б. Работа Пенлеве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .279

8.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения в комплексной области . . . . . . . . . . . . . . .280

8.2. а. Локальные представления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2808.2. б. Общие и особые решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2848.2. в. Пси-ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2858.2. г. Эллиптические функции и алгебраические кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

8.3. Интегрируемые системы обыкновенных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . 288

8.3. а. Система Хенона Хейлеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2888.3. 6. Интегрируемые системы с подвижными точками ветвления . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2928.3. в. Система Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2938.3. г. Почему «работает» свойство Пенлеве? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2968.3. д. Структура сингулярностей неинтегрируемых систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

8.4. Свойство Пенлеве дифференциальных уравнений в частных производных . . . . . . . . . . 299

8.4. а. Обобщенное разложение Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2998.4. б. Примеры свойства Пенлеве для у.ч.п. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3018.4. в. Пара Лакса и преобразования Бэклунда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

Указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

128

33 Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов.–М.: Наука, 1986, 527 с.

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Часть I. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА (модель НШ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Глава I. Представление нулевой кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

§ 1. Формулировка модели НШ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

§ 2. Условие нулевой кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

§ 3. Свойства матрицы монодромии в квазипериодическом случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

§ 5. Матрица монодримии в быстроубывающем случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

§ 6. Аналитические свойства коэффициентов перехода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

§ 7. Динамика коэффициентов перехода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§ 8. Случай конечной плотности. Решения Йоста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

§ 9. Случай конечной плотности. Коэффициенты перехода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

§ 10. Случай конечной плотности. Временная динамика и интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

§ 11. Комментарии и литературные указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Глава II. Задача Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

§ 1. Быстроубывающий случай. Формулировка задачи Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

§ 2. Быстроубывающий случай. Исследование задачи Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

§ 3. Приложение решения обратной задачи к модели НШ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

§ 4. Связь метода задачи Римана с формализмом интегральных уравненийГельфанда — Левитана — Марченко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

§ 5. Быстроубывающий случай. Солитонные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

§ 6. Решение обратной задачи для случая конечной плотности. Метод задачи Римана . . 130

§ 7. Решение обратной задачи для случая конечной плотности. ФормализмГельфанда — Левитана — Марченко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

§ 8. Солитонные решения для случая конечной плотности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

129

§ 9. Комментарии и литературные указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Глава III. Гамильтонова формулировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

§ 1. Фундаментальные скобки Пуассона и r-матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

§ 2. Инволютивность интегралов движения в квазипериодическом случае . . . . . . . . . . . . . . . 179

§ 3. Вывод представления нулевой кривизны из фундаментальных скобок Пуассона . . . . 184

§ 4. Интегралы движения в быстроубывающем случае и в случае конечной плотности . . 190

§ 5. L-оператор и иерархия пуассоновых структур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194

§ 6. Скобки Пуассона коэффициентов перехода в быстроубывающем случае . . . . . . . . . . . . . 206

§ 7. Переменные действие — угол для быстроубывающего случая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

§ 8. Динамика солитонов с гамильтоновой точки зрения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

§ 9. Полная интегрируемость в случае конечной плотности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

§ 10. Комментарии и литературные указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Часть II. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ . . . . . 253

Глава I. Основные примеры и их общие свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

§ 1. Формулировка основных непрерывных моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

§ 2. Примеры моделей на решетке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

§ 3. Представление нулевой кривизны как способ построениеинтегрируемых уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

§ 4. Калибровочная эквивалентность моделей НПТ при k = −1 и МГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284

§ 5. Гамильтонова формулировка уравнений главных киральных полей исвязанных с ними моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

§ 6. Задача Римана как способ построения решений интегрируемых уравнений . . . . . . . . . .300

§ 7. Схема построения общего решения уравнения нулевой кривизны.Заключительные замечания по поводу интегрируемых уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

§ 8. Комментарии и литературные указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

Глава II. Фундаментальные непрерывные модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

§ 1. Вспомогательная линейная чадача для модели МГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .316

130

§ 2. Обратная задача для модели МГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

§ 3. Гамильтонова формулировка модели МГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

§ 4. Вспомогательная линейная задача для модели SG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

§ 5. Обратная задача для модели SG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

§ 6. Гамильтонова формулировка модели SG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

§ 7. Модель SG в координатах светового конуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

§ 8. Уравнение Л — Л как универсальная интегрируемая модель с двумернымвспомогательным пространством . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .403

§ 9. Комментарии и литературное указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

Глава III. Фундаментальные модели на решетке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412

§ 1. Полная интегрируемость модели Тода в квазипериодическом случае . . . . . . . . . . . . . . . . 412

§ 2. Вспомогательная линейная задача для модели Тода в быстроубывающем случае . . . 416

§ 3. Обратная задача и динамикасолитонов модели Тода в быстроубывающем случае . . . 427

§ 4. Полная интегрируемость модели Тода в быстроубывающем случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

§ 5. Решеточная модель Л — Л как универсальная интегрируемая система с двумернымвспомогательным пространством . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444

§ 6. Комментарии и литературные указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

Глава IV. Ли-алгебраический подход к классификации и исследованиюинтегрируемых моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

§ 1. Фундаментальные скобки Пуассопа, порожденные алгеброй токов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .456

§ 2. Тригонометрические и эллиптические r-матрицы и связанные с нимифундаментальные скобки Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

§ 3. Фундаментальные скобки Пуассопа на решетке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

§ 4. Геометрическая интерпретация представления нулевой кривизны иметода задачи Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

§ 5. Иллюстрация общей схемы на примере модели НШ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .489

§ 6. Комментарии и литературные указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

131

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

34 Тода М. Теория нелинейных решеток.– М.: Мир, 1984, 262 с.Предисловие редактора перевода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

Глава 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1. Проблема Ферми - Паста - Улама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2. Расчет Хенона - Хейлеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3. Открытие солитонов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4. Дуальные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Глава 2. Цепочка с экспоненциальным взаимодействием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1. Поиски интегрируемой цепочки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

2.2. Цепочка с экспоненциальным взаимодействием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3. Периодические решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4. Уединенные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5. Двухсолитонные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.6. Предел твердых сфер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.7. Континуальное приближение и время возврата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

2.8. Применения и обобщения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.9. Отображение Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.10. Сохраняющиеся величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Глава 3. Спектр и построение решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1. Матричный формализм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2. Бесконечная цепочка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

132

3.3. Рассеяние и связанные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.4. Уравнение Гельфанда - Левитана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.5. Задача с начальными условиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

3.6. Солитонные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.7. Соотношение между сохраняющимися величинами и коэффициентом прохождения . .95

3.8. Обобщение уравнений движения и система Каца - Мёрбеке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.9. Преобразование Бэклунда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.10. Конечная цепочка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.11. Континуальное приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Глава 4. Периодические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132

4.1. Дискретное уравнение Хилла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.2. Дополнительный спектр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.3. Соотношение между µj(k) и µj(0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.4. Интегралы на римановой поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.5. Решение проблемы обращения Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166

4.6. Временная эволюция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168

4.7. Простой пример (кноидальная волна) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4.8. Периодическая система из трех частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Глава 5. Применение теории Гамильтона - Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.1. Канонически сопряженные переменные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.2. Переменные действия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212

А. Метод Стильтьеса для непрерывной дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Б. Система Штурма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

В. Простые корни уравнения ∆2(λ) = 4 определяет все корни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222

Г. Весь дополнительный спектр µj-простой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Д. Интерполяционная формула Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

133

Е. O-функция многих переменных (O-функция Римана) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

Ж. Метод Хироты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

3. Явление индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

И. Статистическая сумма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

К. Дисперсионное соотношение для цепочки без удлинения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Краткие решения основных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

Цитированная литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253

Литература, добавленная в издании на английском языке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258

Литература, добавленная при переводе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

35 Федер Е. Фракталы: Пер. с англ.– М: Мир, 1991, 254 с.Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

От автора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

Глава 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

Глава 2. Фрактальная размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

2.1. Береговая линия Норвегии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

2.2. Парадокс Шварца с площадью боковой поверхности цилиндра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3. Фрактальная размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4. Триадная кривая Кох . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5. Подобие и скейлинг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6. Кривые Мандельброта–Гивена и Серпинского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7. Еще о скейлинге . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

2.8. Функция Вейерштрасса–Мандельброта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Глава 3. Фрактальная размерность кластеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

134

3.1. Измерения фрактальных размерностей кластеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Глава 4. Образование вязких пальцев в пористых средах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

4.1. Течение жидкости в ячейке Хеле–Шоу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2. Вязкие пальцы в ячейках Хеле–Шоу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3. Вязкие пальцы в двумерных пористых средах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

4.4. Образование вязких пальцев и ОДА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.5. Вязкие пальцы в трехмерных пористых средах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

Глава 5. Канторовские множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68

5.1. Триадное канторовское множество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2. Скейлинг с неравными отношениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Глава 6. Мультифрактальные меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.1. Свертывание и чертова лестница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2. Биномиальный мультипликативный процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.3. Фрактальные подмножества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.4. Показатель Липшица Гельдера α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.5. Кривая f(α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.6. Концентрация меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

6.7. Последовательность показателей массы τ(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.8. Соотношение между τ(q) и f(α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.9. Свертывание с несколькими масштабами длины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.10. Мультифрактальная конвекция Рэлея–Бенара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.11. ОДА и гармонические меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.12. Мультифрактальный рост вязких пальцев . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Глава 7. Протекание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

7.1. Протекание от узла к узлу на квадратной решетке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

7.2. Бесконечный кластер при pc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

135

7.3. Самоподобие перколяционных кластеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.4. Конечные кластеры при протекании . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121

7.5. Распределение величины кластеров при p = pc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.6. Корреляционная длина ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.7. Остов перколяционного кластера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.8. Перколяция с вытеснением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.9. Фрактальный диффузионный фронт . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Глава 8. Фрактальные временные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8.1. Эмпирический закон Херста и метод нормированного размаха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8.2. Моделирование случайных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.3. Моделирование долговременных изменений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Глава 9. Случайное блуждание и фракталы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

9.1. Броуновское движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

9.2. Одномерное случайное блуждание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165

9.3. Свойства подобия одномерных случайных блужданий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

9.4. Обобщенное броуновское движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

9.5. Определение обобщенного броуновского движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

9.6. Моделирование обобщенного броуновского движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

9.7. Метод R/S для обобщенного броуновского движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

9.8. Последовательные случайные сложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Глава 10. Самоподобие и самоаффинность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183

10.1. Стратегия смелой игры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Глава 11. Статистика высоты волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191

11.1. Метод R/S для наблюдений hs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

11.2. R/S для данных, очищенных от сезонных вариаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Глава 12. Соотношение периметра и площади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

136

12.1. Фрактальная размерность облаков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

12.2. Фрактальная размерность рек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Глава 13. Фрактальные поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

13.1. Фрактальная поверхность Кох . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209

13.2. Поверхности случайного переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

13.3. Построение фрактальных поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

13.4. Поверхности случайного сложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

13.5. Комментарии к фрактальным пейзажам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Глава 14. Исследования фрактальных поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

14.1. Наблюдаемая топография поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

14.2. Фрактальная размерность ландшафтов и параметров окружающей среды . . . . . . . . . 231

14.3. Молекулярные фрактальные поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

36 Филиппов А.Т. Многоликий солитон.– М.: Наука, 1986, 224 с.От автора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Часть I. ИСТОРИЯ СОЛИТОНА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

Глава 1. 150 лет назад . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Начало теории волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Братья Веберы изучают волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

О пользе теории волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

О главных событиях эпохи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

137

Наука и общество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Глава 2. Большая уединенная волна Джона Скотта Рассела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

До роковой встречи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Встреча с уединённой волной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Этого не может быть! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

А все-таки она существует! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Реабилитация уединенной волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Изоляция уединенной волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Волна или частица? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Глава 3. Родственники солитона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Герман Гельмгольц и нервный импульс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Дальнейшая судьба нервного импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Герман Гельмгольц и вихри . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

«Вихревые атомы» Кельвина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Лорд Росс и вихри в космосе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

О линейности и нелинейности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Часть II. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Глава 4. Портрет маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Уравнение маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Малые колебания маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Маятник Галилея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

О подобии и размерностях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Сохранение энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Язык фазовых диаграмм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Фазовый портрет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Фазовый портрет маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Показательная и гиперболические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

138

«Солитонное» решение уравнения маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Движения маятника и «ручной» солитов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Глава 5. От маятников к волнам и солитонам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Волны в цепочке связанных частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Отступление в историю. Семья Бернулли и волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Волны Д’Аламбера и споры вокруг них . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

О дискретном и непрерывном . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Как измерили скорость звука . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Дисперсия волн в цепочке атомов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

Как «услышать» разложение Фурье? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Несколько слов о дисперсии света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Дисперсия волн на воде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

С какой скоростью бежит стая волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Сколько энергии в волне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Часть III. НАСТОЯЩЕЕ И БУДУЩЕЕ СОЛИТОНОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136

Глава 6. Солитоны Френкеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Что такое теоретическая физика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Идеи Я. И. Френкеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Атомная модель движущейся дислокации по Френкелю и Конторовой . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141

Взаимодействие дислокации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

«Живой» солитонный атом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Диалог читателя с автором . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Дислокации и маятники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

Во что превратились звуковые волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156

Как увидеть дислокации? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Настольные солитоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

139

Другие близкие родственники дислокации по математической линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Магнитные солитоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168

Глава 7. Второе рождение солитона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172

Может ли человек «дружить» с ЭВМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Воспоминание о хаосе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

ЭВМ удивляет Энрико Ферми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Возвращение солитона Рассела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Океанские солитоны: цунами и «девятый вал» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Три солитона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Нервный импульс — «элементарная частица» мысли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Вездесущие вихри . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Элементарные частицы и солитоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

37 Хазен А.М. Введение меры информации в аксиоматичекуюбазу механики.– М., 1998, 168 с.

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Глава I. Информация как физическая переменная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1. Информация и формулировка аксиом термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Размерная постоянная в определении энтропии — адиабатический инвариантсистемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

3. Наглядные пояснения к понятию — информация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Классы процессов синтеза информации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5. Роль условий устойчивости при синтезе информации как физическом процессе . . . . . . . . 23

6. Принцип максимума производства энтропии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7. Иерархия энтропии при синтезе информации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

140

8. Нормировка энтропии и связь между энергией и информацией в системахиз многих элементов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

9. Взаимодействия энергии и информации в термодинамических циклах . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

10. Натуральная единица измерения температуры — обратное время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

11. Что значит — получить информацию с помощью классических измерений? . . . . . . . . . . . 49

Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Глава II. Энергия в классической механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1. Уравнение состояния — составляющая уравнений Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2. Когда аналитическая механика дает строгие результаты без явного учетауравнения состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3. Эквивалентность в механике перестановочности дифференцирования во вторыхсмешанных производных и обратимости времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4. Канонические преобразования как способ описания движения, совместимыйс соотношением неопределённости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5. Ограничение для гладких функций в использовании классической производной . . . . . . . 83

6. Конечность приращений времени в строгой постановке задач классической механики . 88

7. Некорректность Пуанкаре в постановке задачи о теории возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Глава III. Действие как мера информации в классической и вквантовой механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

1. Действие в классической механике. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

2. Уравнение для информации о механической системе при случайных начальныхусловиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101

3. Уравнение Шредингера есть условие нормировки действия-энтропии-информации . . . 109

4. Почему нормировка действия-энтропии-информации приводит к волновымуравнениям в комплексной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5. Что такое безразмерные мировые постоянные и как определить их величину . . . . . . . . . 118

6. Время в классической механике и его связь со случайностью начальных условий . . . . . 122

7. Соотношение неопределённости (уравнения состояния в механике) — причинадетерминизма природы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

141

8. Детерминизм в квантовой механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9. Обратимость и необратимость классическая и квантовая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

10. Об атомизме Древних Греков и «атомном шпионаже» (вместо послесловия) . . . . . . . . . 158

Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164

38 Хакен Г. Принципы работы головного мозга: Синергетическийподход к активности мозга, поведению и когнитивной деятельности.–М.: ПЕР СЭ, 2001, 351 с.

Предисловие к русскому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Пролог . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Часть I. Основы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1. Биологические системы — сложные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2. Цели синергетики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Мозг как сложная система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. Традиционные или синергетические интерпретации функции мозга . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Исследуем мозг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1. Мозг как черный ящик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Открываем черный ящик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. Структура и функция на макроскопическом уровне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

2.4. Неинвазивные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

2.4.1. Рентгеновская томография . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

142

2.4.2. Электроэнфалограммы (ЭЭГ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4.3. Магнитоэнцефалограммы (МЭГ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.4. Позитрон-эмиссионная томография (ПЭТ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4.5. Магнитно-резонансное изображение (МРИ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5. Структура и функция на микроскопическом уровне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6. Обучение и память . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3. Моделируем мозг. Первая попытка: мозг как динамическая систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

3.1. Что такое динамическая система? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2. Мозг как динамическая система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4. Основные понятия синергетики I: параметры порядка и принцип подчинения . . . . . . . . . . . . . . .41

4.1. Факторы, определяющие эволюцию во времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2. Стратегия решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.1. Неустойчивость, параметры порядка, принцип подчинения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.2. Лазерная парадигма, или лодки на озере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2.3. Принцип подчиненности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.4. Центральная роль параметров порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3. Самоорганизация и второе начало термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5. Динамика параметров порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1. Один параметр порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

5.2. Два параметра порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.3. Три и более параметра порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

5.4. Параметры порядка и нормальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Часть II. Поведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6. Координация движения — паттерны движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.1. Проблема координации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.2. Фазовые переходы в движениях пальцев: эксперименты и простая модель . . . . . . . . . . . 75

6.3. Альтернативная модель? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

143

6.4. флуктуации в движениях пальцев: теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

6.5. Критические флуктуации в движениях пальцев: эксперименты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.5.1. Условия экспериментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.5.2. Экспериментальные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.6. Некоторые важные заключения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

7. Еще о движениях пальцев . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.1. Движение указательного пальца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.2. Связанное движение указательных пальцев . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.3. Фазовые переходы в движениях рук человека в заданиях на многочастотноепостукивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.3.1. Эксперименты: переходы при многочастотном постукиваний . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.4. Модель многочастотного поведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.5. Основные уравнения захвата частоты и их решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.6. Сводка основных теоретических результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.7. Выводы и перспективы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8. Обучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

8.1. Как обучение изменяет ландшафт параметра порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.2. Как обучение изменяет число параметров порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.3. Как обучение может привести к возникновению новых параметров порядка . . . . . . . . 131

9. Аллюры животных и переходы между ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.1. Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.2. Симметрии и группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.3. Экспериментальное изучение аллюров животных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.4. Динамика фаз и симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

9.5. Уравнение динамики фаз . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9.6. Стационарные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9.7. Динамика аллюров с низкой симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

144

9.8. Итоги и перспективы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

10. Основные понятия синергетики II: образование пространственно-временных структур . . . 159

11. Анализ пространственно-временных структур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

11.1. Разложение Карунена–Лоэва, разложение по сингулярным значениям,анализ главных компонент — три названия одного и того же метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

11.2. Геометрический подход на основе параметров порядка. Метод Хакена-Фридриха-Уля174

11.2.1. Один действительный параметр порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17411.2.2. Колебания, связанные с одним комплексным параметром порядка . . . . . . . . . . . 181

12. Движения на педало . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182

12.1. Задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

12.2. Описание паттерна движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

12.3. Квантификация движения на педало . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

12.4. Анализ движения на основе разложения Карунена—Лоэва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

12.5. Подробный анализ движений рук и ног . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

12.6. Анализ параметра порядка Хакена—Фридриха—Уля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

12.7. Заключительные замечания к части II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Часть III. ЭЭГ и МЭГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

13. Хаос, хаос, хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

14. Анализ электроэнцефалограмм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210

14.1. Цели анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

14.2. Идентификация параметров порядка и пространственные моды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

14.3. Результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

15 Анализ паттернов МЭГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

15.1. Экспериментальные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

15.2. Временной и пространственный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

145

15.2.1. Временной анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22515.2.2. Пространственно-временной анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

15.3. Моделирование динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

15.4. Моделирование динамики: к полевой теории активности мозга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

15.5. Еще раз об анализе ЭЭГ и МЭГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Часть IV. Когнитивная деятельность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

16. Зрительное восприятие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

16.1. Модель распознавания образов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

16.2. Роль параметров внимания. Неоднозначные фигуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254

16.3. Влияние смещения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

16.4. Роль флуктуации параметров внимания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261

16.5. Паттерны обучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

16.6. Модель стереоскопического зрения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

17. Принятие решения как распознавание образов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282

18. Мозг как компьютер, или могут ли компьютеры мыслить? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

18.1. Экскурс: что такое «мыслить»? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

18.2. Компьютеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

18.3. Искусственный интеллект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

18.4. Нейрокомпыотеры и коннективизм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

18.5. Могут ли компьютеры мыслить? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

19. Сети мозгов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .297

19.1. Общая модель ИРС в терминах синергетики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

19.2. Коллективные когнитивные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

19.3. Итерации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

19.4. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

20. Синергетика головного мозга. Где мы находимся? К чему мы идем? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

146

20.1. Оглядываясь назад . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

20.2. Дух и материя — вечный вопрос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

20.3. Некоторые открытые проблемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .315

А. Анализ временных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

А.1. Анализ временного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

А.2. Определения размерностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

А.3. Размерность аттракторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

А.4. Некоторые выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

В. Определение сопряженных векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

С. Потенциалы, упоминаемые в разд. 16.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

Литература и рекомендации для дальнейшего чтения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

39 Хакен Г. Синергетика: Пер. с англ.– М.: Мир, 1980, 404 с.Предисловие редакторов перевода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Предисловие автора к русскому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Предисловие к 2-му изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

Глава 1. Цель. Почему следует прочесть эту книгу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1. Порядок и беспорядок. Несколько типичных примеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

1.2. Некоторые типичные задачи и трудности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

1.3. План изложения материала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Глава 2. Вероятность Чему мы можем научиться из азартных игр . . . . . . . . . . . . . . . . 37

147

2.1. Объект нашего исследования: выборочное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2. Случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3. Вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4. Распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

2.5. Случайные величины и плотность вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

2.6. Совместная вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.7. Математическое ожидание E(X) и моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.8. Условные вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.9. Независимые и зависимые случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

2.10*. Производящие функции и характеристические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

2.11. Специальный случай распределения вероятностей: биномиальное распределение . . . .55

2.12. Распределение Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.13. Нормальное (гауссово) распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.14. Формула Стирлинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.15*. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Глава 3. Информация. Как далеко может забрести пьяный . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

3.1. Некоторые основные идеи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

3.2*. Прирост информации: иллюстрация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3. Информационная энтропия и ограничения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4. Пример из физики: термодинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.5*. Элементы термодинамики необратимых процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.6. Энтропия — проклятие статистической механики? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Глава 4. Случайность. Как далеко может забрести пьяный . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.1. Модель броуновского движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2. Модель случайного блуждания и соответствующее кинетическое уравнение . . . . . . . . .100

4.3*. Совместная вероятность и траектории. Марковские процессы. УравнениеЧепмена — Колмогорова. Интегралы по траекториям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

148

4.4*. Как использовать совместные распределения вероятностей. Моменты.Характеристическая функция. Гауссовы процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.5. Кинетическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.6. Точное стационарное решение кинетического уравнения для системс детальным равновесием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.7*. Кинетическое уравнение для системы с детальным равновесием.Симметризация. Собственные значения н собственные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.8*. Метод Кирхгофа решения кинетического уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.9*. Теоремы о решениях кинетического уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

4.10. Смысл случайных процессов. Стационарное состояние, флуктуации,время возвращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.11 *. Кинетическое уравнение и ограниченность термодинамикинеобратимых процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Глава 5. Необходимость. Старые структуры уступают место новым . . . . . . . . . . . . . . 133

5.1. Динамические процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.2*. Критические точки и траектории на фазовой плоскости.Еще раз о предельных циклах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.3*. Устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.4. Примеры н упражнения на бифуркацию и устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.5*. Классификация статических неустойчивостей или элементарный подходк теории катастроф Тома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Глава 6. Случайность и необходимость. Реальный мир нуждается и в томи в другом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178

6.1. Уравнения Ланжевена: пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.2*. Резервуары и случайные силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

6.3. Уравнение Фоккера — Планка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.4. Некоторые свойства и стационарные решения уравнения Фоккера— Планка . . . . . . . . 198

6.5. Зависящие от времени решения уравнения Фоккера — Планка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

6.6*. Решение уравнения Фоккера — Планка с помощью интегралов по траекториям . . . .209

6.7. Аналогия с фазовыми переходами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

149

6.8. Аналогия с фазовыми переходами в непрерывной среде: параметр порядка,зависящий от пространственных координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221

Глава 7. Самоорганизация. Долгоживущие системы подчиняют себекороткоживущие системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7.1. Организация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7.2. Самоорганизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

7.3. Роль флуктуации: надежность или адаптивность? Переключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

7.4*. Адиабатическое исключение быстро релакснрующнх переменныхиз уравнения Фоккера—Планка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

7.5*. Адиабатическое исключение быстро релаксирующих переменныхиз кинетического уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

7.6. Самоорганизация в непрерывно распределенных средах. Основные чертыматематического описания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

7.7*. Обобщенные уравнения Гинзбурга — Ландау для неравновесныхфазовых переходов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.8*. Вклады высших порядков в обобщенные уравнения Гинзбурга — Ландау . . . . . . . . . . 252

7.9*. Скейлинговая теория непрерывно распределенных неравновесных систем . . . . . . . . . . 255

7.10*. Неустойчивость типа мягкой моды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

7.11*. Неустойчивость типа жесткой моды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Глава 8. Физические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

8.1. Кооперативные эффекты в лазере: самоорганизация и фазовый переход . . . . . . . . . . . . 264

8.2. Уравнения лазера в модовом представлении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

8.3. Понятие параметра порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

8.4. Одномодовый лазер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

8.5. Многомодовый лазер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271

8.6. Многомодовый лазер с непрерывным распределением мод. Аналогиясо сверхпроводимостью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

8.7. Фазовый переход первого рода в одномодовом лазере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

8.8. Иерархия неустойчпвостей в лазере п ультракороткие лазерные импульсы . . . . . . . . . . 280

150

8.9. Неустойчивости в гидродинамике: проблемы Бенара и Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286

8.10. Основные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

8.11. Затухающие и нейтральные решения (R 6 Rc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

8.12. Решение вблизи R = Rc (область нелинейности). Эффективныеуравнения Ланжевена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

8.13. Уравнения Фоккера — Планка и его стационарное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

8.14. Модель статистической динамики неустойчивости Ганна вблизи порога . . . . . . . . . . . . 295

8.15. Устойчивость упругих конструкций: некоторые основные идеи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

Глава 9. Химические и биохимические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

9.1. Химические и биохимические реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304

9.2. Детерминированные процессы без диффузии. Случай одной переменной . . . . . . . . . . . . 304

9.3. Реакция и уравнения диффузии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

9.4. Модель реакции с диффузией в случае двух или трех переменных:брюсседятор и орегонатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .312

9.5. Стохастическая модель химической реакции без диффузии.Процессы рождения и гибели. Случай одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

9.6. Стохастическая модель химической реакции с диффузией.Случай одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

9.7*. Стохастическое рассмотрение брюсселятора вблизи неустойчивости типамягкой моды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

9.8. Химические цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .332

Глава 10. Приложение к биологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

10.1. Экология. Динамика популяций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

10.2. Стохастическая модель системы хищник—жертва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .340

10.3. Простая математическая модель процессов эволюции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

10.4. Модель морфогенеза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

10.5. Параметры порядка и морфогенез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .346

10.6. Некоторые замечания относительно моделей морфогенеза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

151

Глава 11. Социология; стохастическая модель формирования общественногомнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

Глава 12. Хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .363

12.1. Что такое хаос? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

12.2. Модель Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

12.3. Как возникает хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

12.4. Хаос и нарушение принципа подчинения параметру порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

12.5. Корреляционная функция и частотное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

12.6. Другие примеры хаотического движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

Глава 13. Некоторые замечания исторического характера и перспективы . . . . . . . . 379

Основная и дополнительная литература и комментарии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

40 Хакен Г. Синергетика: Иерархия неустойчивостей в самоорга-низующихся системах и устройствах: Пер. с англ.– М.: Мир,1985, 423 с.

Предисловие редактора перевода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Предисловие к русскому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

Глава 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1. Что такое синергетика? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2. Физика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.1. Жидкости: образование динамических структур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.2. Лазеры: когерентные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.3. Плазма: неисчерпаемое разнообразие неустойчивостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2.4. Физика твердого тела: мультистабильность, импульсы, хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

152

1.3. Техника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.1. Строительная механика, сопротивление материалов, авиа- и ракетостроение:выпучивание после «выхлопа», флаттер и т.д. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291.3.2. Электротехника л электроника: нелинейные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4. Химия: макроскопические структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

1.5. Биология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5.1. Несколько общих замечаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.2. Морфогенез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.3. Динамика популяций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .351.5.4. Эволюция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.5.5. Иммунная система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.6. Общая теория вычислительных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.6.1. Самоорганизация вычислительных машин (в частности,параллельные вычисления) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.6.2. Распознавание образов машинами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.3. Надежные системы из ненадежных элементов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

1.7. Экономика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.8. Экология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.9. Социология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.10. Что общего между приведенными выше примерами? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.11. Какие уравнения нам нужны? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.11.1. Дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.11.2. Дифференциальные уравнения первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.11.3. Нелинейность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.11.4. Управляющие параметры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.11.5. Стохастичность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.11.6. Многокомпонентность и мезоскопический подход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.12. Как выглядят решения? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.13. Качественные изменения: общий подход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.14. Качественные изменения: типичные явления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.14.1. Бифуркация из одного узла (или фокуса) в два узла (или фокуса) . . . . . . . . . . . . 63

153

1.14.2. Бифуркация из фокуса в предельный цикл (бифуркация Хопфа) . . . . . . . . . . . . . 651.14.3. Бифуркации из предельного цикла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.14.4. Бифуркации из тора в другие торы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.14.5. Странные аттракторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.14.6. Показатели Ляпунова* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

1.15. Влияние флуктуации (шумов). Неравновесные фазовые переходы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.16. Эволюция пространственных структур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1.17. Дискретные отображения. Отображение Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1.18. Дискретные отображения с шумом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1.19. Пути к самоорганизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1.19.1. Самоорганизация через изменение управляющих параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861.19.2. Самоорганизация через изменение числа компонент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871.19.3. Самоорганизация через переходы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

1.20. Как мы намереваемся действовать дальше? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Глава 2. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.1. Примеры линейных дифференциальных уравнений: случай одной переменной . . . . . . . 91

2.1.1. Линейное дифференциальное уравнение с постоянным коэффициентом . . . . . . . . 922.1.2. Линейное дифференциальное уравнение с периодическим коэффициентом . . . . . 922.1.3. Линейное дифференциальное уравнение с квазипериодическимкоэффициентом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.1.4. Линейное дифференциальное уравнение с вещественным ограниченнымкоэффициентом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.2. Группы и инвариантность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2.3. Системы с вынуждающей силой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.4. Общие теоремы об алгебраических и дифференциальных уравнениях . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.4.1. Вид уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062.4.2. Жорданова нормальная форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.4.3. Некоторые общие теоремы о линейных дифференциальных уравнениях . . . . . . . 1082.4.4. Обобщенные характеристические показатели и показатели Ляпунова . . . . . . . . . 110

2.5. Прямые и обратные уравнения: дуальные пространства решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

154

2.6. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . 115

2.7. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами . . . . . . 121

2.8. Теоретико-групповая интерпретация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

2.9. Теория возмущений* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Глава 3. Линейные обыкновенные дифференциальные уравненияс квазипериодическими коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136

3.1. Постановка задачи и теорема 3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136

3.2. Леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.3. Доказательство утверждения «а» теоремы 3.1.1: построение треугольнойматрицы (на примере матрицы 2 × 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

3.4. Доказательство квазипериодичности элементов треугольной матрицы Cпо τ а также периодичности по ϕj и принадлежности классу Ck по ϕ (на примерематрицы 2 × 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.5. Построение треугольной матрицы C и доказательство квазипериодичности ееэлементов по τ , а также их периодичности ϕj и принадлежности классу Ck по ϕ(для матрицы m×m все λ различны) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.6. Приближенные методы. Сглаживание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3.6.1. Вариационный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523.6.2. Сглаживание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

3.7. Треугольная матрица С и приведение ее к блочно-диагональному виду . . . . . . . . . . . . . 156

3.8. Общий случай: некоторые обобщенные характеристические показатели совпадают . 163

3.9. Решение уравнения (3.1.1) методом последовательных приближений . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Глава 4. Стохастические нелинейные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . .177

4.1. Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178

4.2. Дифференциальное уравнение Ито и уравнение Ито—Фоккера—Планка . . . . . . . . . . . . .180

4.3. Исчисление Стратоновича . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

4.4. Уравнения Ланжевена и уравнение Фоккера—Планка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187

Глава 5. Мир связанных нелинейных осцилляторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.1. Связанные линейные осцилляторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

155

5.1.1. Линейные осцилляторы с линейной связью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1905.1.2. Линейные осцилляторы с нелинейной связью. Пример. Сдвиги частот . . . . . . . . 191

5.2. Возмущения квазипериодического движения в случае амплитуд, не зависящих от времени(квазипериодическое движение сохраняется) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.3. Некоторые соображения о сходимости метода последовательных приближений . . . . . 200

Глава 6. Осцилляторы с нелинейной связью: случай, когда квазипериодическоедвижение сохраняется . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207

6.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

6.2. Теорема Мозера (теорема 6.2.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215

6.3. Метод последовательных приближении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216

Глава 7. Нелинейные уравнения. Принцип подчинения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

7.1 Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

7.1.1. Адиабатическое приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2257.1.2. Исключение переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7.2. Общая (формулировка принципа подчинения. Основные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.3. Формальные соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

7.4. Итерационный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240

7.5. Оценка остаточного члена. Проблема дифференцируемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

7.6. Принцип подчинения для дискретных отображений с шумом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.7. Формальные соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

7.8. Итерационный метод для дискретного случая* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253

7.9. Принцип подчинения для стохастических дифференциальных уравнений* . . . . . . . . . . 255

Глава 8. Нелинейные уравнения. Качественные макроскопические изменения . . . 262

8.1. Бифуркации из узла или фокуса. Основные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262

8.2. Простое вещественное собственное значение становится положительным . . . . . . . . . . . . 265

8.3. Кратное вещественное собственное значение становится положительным . . . . . . . . . . . .269

8.4. Простое комплексное собственное значение пересекает мнимую ось.Бифуркация Хопфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

156

8.5. Бифуркация Хопфа (продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274

8.6. Взаимная синхронизация двух осцилляторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

8.7. Бифуркация из предельного цикла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

8.8. Бифуркация из предельного цикла: частные случаи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

8.8.1. Бифуркация в два предельных цикла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2888.8.2. Удвоение периода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2908.8.3. Субгармоники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2918.8.4. Бифуркация в тор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

8.9. Бифуркация из тора (квазипериодическое движение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

8.10. Бифуркация из тора: частные случаи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

8.10.1. Простое собственное значение становится положительным . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2998.10.2. Комплексное невырожденное собственное значение пересекает мнимую ось . . 302

8.11. Иерархии неустойчивостей, сценарии и пути к турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

8.11.1. Картина Ландау—Хопфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3068.11.2. Картина Рюэля—Такенса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3078.11.3. Бифуркации торов. Квазипериодические движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3088.11.4. Путь к хаосу через удвоение периода. Последовательность Фейгенбаума . . . . . 3098.11.5. Путь через перемежаемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

Глава 9. Пространственные структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .310

9.1. Основные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .310

9.2. Общий метод решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

9.3. Анализ бифуркаций для конечных геометрий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

9.4. Обобщенные уравнения Гинзбурга—Ландау . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

9.5. Упрощение обобщенных уравнений Гинзбурга—Ландау. Образованиеструктур в конвекции Бенара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

Глава 10. Влияние шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

10.1. Общий подход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

10.2. Простой пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .327

157

10.3. Численное решение уравнения Фоккера—Планка для комплексного параметрапорядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331

10.4. Некоторые общие теоремы о решениях уравнения Фоккера— Планка . . . . . . . . . . . . . . 339

10.4.1. Зависящие и не зависящие от времени решения уравненияФоккера—Планка для случая, когда дрейфовые коэффициенты линейныпо координатам, а коэффициенты диффузии постоянны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33910.4.2. Точные стационарные решения уравнения Фоккера—Планка для систем,находящихся в детальном равновесии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34010.4.3. Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34510.4.4. Важные частные случаи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

10.5. Поведение нелинейных стохастических систем вблизи критических точек:краткие выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

Глава 11. Дискретные отображения с шумом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

11.1. Уравнение Чепмена—Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

11.2. Влияние границ. Одномерный пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .350

11.3. Совместная вероятность ц вероятность первого выхода на границу.Прямые и обратные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .351

11.4. Связь с интегральным уравнением Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

11.5. Решение в виде интеграла по траекториям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

11.6. Среднее время первого выхода на границу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

11.7. Линейная динамика и гауссов шум. Точное, зависящее от времени решениеуравнения Чепмена—Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

Глава 12. Пример неразрешимой проблемы в динамике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

Глава 13. Некоторые замечания по поводу взаимосвязей синергетикии других наук . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

Приложение. Доказательство теоремы Мозера (предложенное Мозером) . . . . . . . . 364

1. Сходимость рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

2. Наиболее общее преобразование, необходимое для доказательства теоремы 6.2.1 . . . . . .366

3. Сходимость ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .368

158

4. Доказательство теоремы 6.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .382

Дополнительная литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

Литература, добавленная при корректуре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

41 Хакен Г. Тайны природы. Синергетика: учение о взаимодей-ствии.– Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследова-ний, 2003, 320 с.

Предисловие к переработанному изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Предисловие к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

Глава 1. Введение и обзор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Почему эта книга может показаться вам интересной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Стремление к созданию единой картины мира . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Анализ и синтез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Противоречат ли биологические структуры основополагающим законам природы? . . . . . . . 21

Глава 2. Тепловая смерть Вселенной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Улица с односторонним движением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Что такое неупорядоченность? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Деградация энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Глава 3. Кристаллы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Сверхпроводимость и магнетизм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Фазовые переходы: от хаоса к порядку и обратно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

159

Глава 4. Ячеистые структуры в жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Ступенчатые конфигурации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

Глава 5. Да будет свет — лазерный свет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Свет свету рознь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Самоорганизация в лазере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Лазер: открытая система с фазовым переходом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

Глава 6. Химические структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

Химический «марьяж» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Химические часы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Химические волны и спирали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Новый универсальный принцип . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Глава 7. Биологическая эволюция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Конкуренция между биомолекулами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Глава 8. Как выжить, не будучи сильнейшим? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Глава 9. Формирование биологических организмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Передача наследственной информации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Образование биологических форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Микроскопические структуры на молекулярной основе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Глава 10. Биологические паттерны движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

Глава 11. Неизбежность конфликтов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

Проверьте свое душевное состояние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

Жизнь полна конфликтов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Перенос конфликтов в социальной сфере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Глава 12. Хаос, случайность и механистическая картина мира . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Предопределено — или случайно? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134

160

Предопределено — и случайно! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

Игровые автоматы: запланированный хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Север не всегда был севером . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Хаос в синергетике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Предсказуема ли погода, или Маленькие хитрости Святого Петра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Можно ли приручить плазму? — Хаос в термоядерных реакциях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Глава 13. Теория хаоса: взгляд за кулисы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Приручение хаоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Исследователь хаоса в роли пророка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Глава 14. Синергетические эффекты в экономике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Торговля мороженым на пляже . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Почему растут города? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Управление бизнесом: делаем то, что делают конкуренты? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169

Экономическое благоденствие и экономический упадок — две стороны одной медали . . . 171

Технические новинки и инновации — вечный двигатель экономики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Внезапные коллективные изменения в экономической жизни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Экономика сложнее, чем полагал Адам Смит . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Государственное управление экономикой: проклятие или благословение? . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Экономический хаос как следствие управления в отсутствие понимания . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Мир во всем мире: экономический аспект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186

Синергетические эффекты: смысл и бессмыслица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Постижение законов синергетики: все во имя человека, все на благо человека . . . . . . . . . . . 188

Глава 15. Предсказуемы ли революции? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Общественное мнение в роли параметра порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Внушаемы ли люди? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Механизм смены взглядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Средства массовой информации; параметр порядка под гнетом отбора . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

161

Уменьшение мира . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Власть телевидения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Правительство и общественное мнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206

Диктатура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Общественное мнение и проблемы меньшинств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Революции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Еще раз об универсальных принципах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

О бюрократии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Глава 16. О галлюцинациях и теориях деятельности мозга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

«Бабушкины клетки» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Процессы возбуждения в мозге: гипотезы и эксперименты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Особенности процесса мышления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Материя и Дух . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Рост мозга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Глава 17. Эмансипация компьютеров: благо или кошмар? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Вундеркинд двадцатого века . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Компьютерные сети . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Распознавание образов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

Восприятие и синергетический компьютер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248

Внутренний мир компьютера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Чистая логика: независимость от субстрата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Нейрокомпьютер и синергетический компьютер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Свойственны ли компьютерам капризы и причуды? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Компьютеры и долгосрочное прогнозирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Глава 18. Динамика научного познания мира . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

Конкуренция среди научных журналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

162

Синергетика о синергетике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

Глава 19. Итоги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

Новый принцип . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

От неживой природы к природе живой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

Лед, пламень и жизнь между ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

Еще одно характерное свойство жизни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Границы познания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

Список литературы и примечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

Источники иллюстраций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

42 Хакен Г., Хакен-Крель М. Тайны восприятия.– Москва: Инсти-тут компьютерных исследований, 2002, 272 с.

Об этой книге . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

Часть I. Синергетика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1. Дух и материя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Основные принципы синергетики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

3. Синергетика в живой природе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4. Электрическая активность мозга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5. Гештальтпсихология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Часть II. Мозг. Материальный субстрат: от макроскопическогок микроскопическому . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

163

6. Мозг и его элементы — нейроны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

а) Исследования мозга; вчера и сегодня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53б) Нейрон — основной элемент нервной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56в) Строение и функции мозга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7. Обучение и память: что нам известно обо всем этом на самом деле? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8. Глаз и фотоаппарат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9. Зрительное восприятие пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

10. Сетчатка: мозг в миниатюре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

а) Похожа ли сетчатка на фотопленку? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91б) Зрительные клетки — клетки, воспринимающие свет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92в) Архитектура сетчатки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98г) Обработка сигналов в сетчатке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102д) Принципы функционирования рецептивных полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110е) Рецептивные поля и зрение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

11. Зрительный тракт . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

12. Зрительная область коры головного мозга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

а) История исследования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124б) Анатомия зрительной коры головного мозга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126в) Рецепгивные ноля в коре и в глазах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130г) Восприятие целого . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

13. Цветовое зрение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

14. Когерентность в мозге . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Часть III. Самоорганизация восприятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

15. Что происходит после гиперкомплексных клеток? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

16. Синергетика и распознавание образов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

17. Распознавание образов в синергетическом компьютере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

18. Сетевая архитектура синергетического компьютера — шаг к мозгу . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

19. Холмистые ландшафты процесса восприятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

20. Еще одна сетевая реализация синергетического компьютера: «бабушкины клетки» . .168

164

21. Несколько задач на распознавание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

22. Распознавание синергетическим компьютером зашумленных и профильтрованныхизображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

23. Плоские трансформации изображений — первый подход к распознаванию . . . . . . . . . . . 182

24. Плоские трансформации изображений — альтернативное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

25. Распознавание сложных сцен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

26. Очарование амбивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

27. Восприятие двойных картинок в компьютерной модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

28. Колебания периодов восприятии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

29. Восприятие двойственных изображений как зеркало эмоций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

30. Восприятие движения человеком и компьютером . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

31. Нейрокомпьютер: традиционный . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

32. Обучение синергетического компьютера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

33. Мозг и идеал красоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

34. Восприятие есть создание реальности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

35. Другие вопросы, связанные со зрительным восприятием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Часть IV. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245

36. Что мы понимаем под «пониманием»? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

37. Немного философии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

38. Синергетика ключ к пониманию мозга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

Список литературы и примечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Именной указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Источники иллюстраций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

165

43 Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализанелинейных динамических моделей.– 365 с.

Предисловие редактора перевода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

Глава 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Глава 2. Бифуркации в нелинейных динамических системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2. Бифуркации положений равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3. Бифуркаций периодических решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4. Предельные множества траекторий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5. Показатели Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.6. Дифференциальные уравнения с частными производными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Глава 3. Ветвление состояний равновесия на диаграмме решений . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1. Диаграмма стационарных решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2. Ветвление в точках бифуркации. Одномерный случаи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3. Ветвление в точках бифуркации. Многомерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.4. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Глава 4. Математические модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

4.1. Построение математических моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2. Задачи с сосредоточенными параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3. Задачи с распределенными параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

166

Глава 5. Численные методы и алгоритмы, используемые для анализанелинейных систем с сосредоточенными параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

5.1. Стационарные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.2. Зависимость стационарных решений от параметра—диаграмма решений . . . . . . . . . . . . 1345.3. Исследование устойчивости стационарных решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.4. Точки ветвления стационарных решений. Вещественная бифуркация . . . . . . . . . . . . . . . .1565.5. Комплексная бифуркация (бифуркация Хопфа) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.6. Бифуркационная диаграмма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.7. Методы моделирования динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.8. Вычисление периодических решений в автономном случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2055.9. Хаотические аттракторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2385.10. Квазистационарное поведение динамических моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2475.11. Расчет и анализ периодических решений в неавтономных случаях . . . . . . . . . . . . . . . . . 2565.12. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

Глава 6. Численные методы и алгоритмы, используемые для анализа системс распределенными параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

6.1. Стационарные решения (методы решения нелинейных краевых задач) . . . . . . . . . . . . . . 2736.2. Зависимость стационарных решений от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2916.3. Нахождение точек ветвления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3126.4. Методы динамического моделирования параболических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3286.5. Периодические решения в распределенных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3406.6. Квазистационарное поведение распределенных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3526.7. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .357

Примечания редактора перевода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

Дополнительная литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

167

44 Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры избесконечного рая.– Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическаядинамика», 2001, 528 с.

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Глава 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Эйнштейн, Пифагор и простое подобие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Самоподобная расстановка ферзей, не бьющих друг друга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Самоподобная снежинка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Новая размерность для фракталов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

Самоподобное разбиение и «неевклидов» парадокс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

У врат канторова рая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Ковер Серпинского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Игра сэра Пинского и детерминированный хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Хаос, вызываемый движением трех тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Странные аттракторы, их области притяжения и игра в хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Перколяционные случайные фракталы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Степенные законы: от Альвареса до Ципфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Итерации Ньютона и упразднение межнациональных границ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Мог ли Минковский услышать форму барабана? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Дискретное самоподобие: складки и центральные сгибы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Золотое и серебряное сечения и гиперболический хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Как выиграть в фибоначчиев ним . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Самоподобные последовательности, порождаемые квадратными решетками . . . . . . . . . . . . . . 93

«Отчаянное пари» Джона Хортона Конуэя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Глава 2. Подобие и различие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Более чем один масштаб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Быть или не быть масштабной инвариантности: немного из биологии и астрофизики . . . 102

168

Подобие в физике: некоторые поразительные следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105

Подобие в концертных залах, микроволнах и гидродинамике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Масштабирование в психологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Специалисты по акустике, алхимия и концертные залы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Предпочтения и несходство: снова о концертных залах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

Глава 3. Самоподобие — дискретное, непрерывиое, строгое и всякое другое . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Логарифмическая спираль, режущие инструменты и широкополосные антенны . . . . . . . . . 132

Некоторые простые случаи самоподобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1З8

Функции Вейерштрасса и музыкальный парадокс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Еще о самоподобии в музыке: темперированный строй Баха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Замечательные соотношения между простыми числами 3, 5 и 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Глава 4. Степенные законы — неисчерпаемый источник самоподобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Размеры городов и метеоритов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

Пятое взаимодействие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Независимые от естественных масштабов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Иоганн Себастьян Бах: композитор, независимый от масштаба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Эстетическая теория Биркгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Гиперболический принцип неопределенности Гейзенберга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Дробные показатели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Необычное распределение первого знака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166

Показатели при поперечных сечениях: деревья, реки, артерии и легкие . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Глава 5. Шумы: белый, розовый, коричневый и черный . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Розовый шум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Самоподобные тенденции на фондовой бирже . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Черные шумы и разливы Нила . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Угроза глобального потепления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Дробное интегрированис — современный инструмент математического анализа . . . . . . . . . 186

169

Броуновские горы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Преобразование Радона и компьютерная томография . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Горы юные и старые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Глава 6. Броуновское движение, разорение игроков и межгалактическая пустота . . . . . . . . . . . . 193

Укрощение броуновского зверя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Броуновское движение как фрактал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Много ли молекул в капле жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Спектр броуновского движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Разорение игрока, случайные блуждания и теория информации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Крах здравого смысла в случайных испытаниях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Еще немного пищи для размышлений о справедливости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Петербургский парадокс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Угадывающая машина Шеннона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Классическая механика рулетки и пропускная способность канала по Шеннону . . . . . . . . . 206

Скоплепия разорений и галактик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Полеты Леви в космическом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Парадоксы вероятностных степенных законов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Инвариантные распределения: Гаусс, Коши . . . кто следующий? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Глава 7. Канторовы множества: самоподобие и арифметическая пыль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Уголок канторова рая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Канторовы множества как множества инвариантные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Символическая динамика и детерминированный хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Чертовы лестницы и китайский бильярд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Синхронизацил мод в качелях и часах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Незадачливый манхэттенский пешеход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Языки Арнольда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Глава 8. Многомерные фракталы и цифровые солнечные часы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

170

Декартовы произведения капторовских множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Дырявый ковер, мягкие губки и швейцарские сыры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Солнечные часы па основе канторова множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

Толстые фракталы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

Глава 9. Мультифракталы, или фракталы, тесно переплетенные между собой . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Распределение: концентрация руды и плотность населения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

Самоаффинные фракталы без пустот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255

Мультифрактальпый спектр: турбулентность и ограниченная диффузией агрегация . . . . 259

Образование вязких языков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

Мультифракталы на фракталах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Фрактальные размерности, получаемые из обобщенных энтропий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

Соотношение между мультифрактальным спектром f(α) и показателями массы τ(q) . . . 272

Странные аттракторы как мультифракталы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274

Алгоритм жадного игрока при неблагоприятных шансах на выигрыш . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

Глава 10. Некоторые реально существующие фракталы и их измерение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

Размерности, определяемые путем подсчета клеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

Массовая размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Корреляционная размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

Бесконечное множество размерностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Определение фрактальных размерностей по временным рядам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

«Абстрактное в конкретном» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

Фрактальные поверхности раздела как основа дробных показателей частоты . . . . . . . . . . . 296

Фрактальные размерности поверхностей разлома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

Фрактальные формы облаков и дождевых областей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

Агломерация кластеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Дифракция на фракталах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .307

Глава 11. Итерации, странные отображения и миллиард знаков для π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

171

Поиск нулей и встреча с хаосом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .314

Странные множества Жюлиа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

Мультифрактальное множество Жюлиа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

Красота кусочно-линейных отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

Преобразование пекаря и цифровой вариант игры в «стулья с музыкой» . . . . . . . . . . . . . . . . 328

Кошка Арнольда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

Миллиард знаков для π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

Кустарники и цветы от итераций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

ГЛАВА 12. Самоподобная последовательность и логистическая парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

Самоподобие от целых чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

Логистическая парабола и удвоение периода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

Самоподобие в логистической параболе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

Скейлинг параметра роста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

Самоподобная символическая динамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

Окна периодичности в хаосе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

Порождение новых орбит . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

Вычисление параметров роста для различных орбит . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

Касательные бифуркации, перемежаемость и 1/f -шум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

Полный хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

Множество Мандельброта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .381

Множества Жюлиа комплексного квадратичного отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

Глава 13. Запрещенная симметрия, кролики Фибоначчи и новое состояние вещества . . . . . . . . . 387

Запрещенная симметрия пятого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

Дальний порядок, обусловленный взаимодействиями между соседями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

Построение кроличьей последовательности из последовательности чисел Фибоначчи . . . .396

Самоподобный спектр кроличьей последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

Самоподобие кроличьей последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

172

Одномерная квазипериодическая решетка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

Самоподобие, порождаемое проекциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

Другие запрещенные симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

Глава 14. Периодические и квазипериодические структуры в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

Периодичность и квазипериодичность в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

Чертова лестница для спинов Изинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

Квазипериодические пространственные распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

Спиновая последовательность Битти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

Законы подобия для квазиперподпческих спинов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

Самоподобные числа вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

Отображения окружности и языки Арнольда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

Медианты, последовательности Фарея и дерево Фарея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

Путь и хаосу через золотое сечение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

Глава 15. Перколяция: от лесных пожаров до эпидемий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

Критическое возгорание на квадратной решетке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

Универсальность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

Критическая концентрация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

Фрактальные периметры просачивания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

Конечномерный скейлинг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

Глава 16. Фазовые переходы и перенормировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .453

Марковский процесс первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .453

Самоподобные и несамоподобные марковские процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

Скейлинг символов, порожденных марковским источником . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

Перенормировка и иерархические решетки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

Порог перколяции решетки Бете . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

Простая перенормировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

Глава 17. Клеточные автоматы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

173

Игра под названием «Жизнь» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

Рост и гибель клеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

Формирование биологических конфигураций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

Самоподобие клеточного автомата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

Каталитический конвертор как клеточный автомат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

Треугольник Паскаля по модулю N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

Самоорганизующиеся критические кучи песка по Баку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512

45 Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение: Пер. с англ.–М.: Мир, 1988, 240 с.

Предисловие редакторов перевода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

Глава 1. Эксперименты и простые модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1. Экспериментальное обнаружение детерминированного хаоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2. Ротатор, возбуждаемый периодическими толчками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

Логистическое отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Отображение Хенона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Отображение Чирикова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Глава 2. Кусочно-линейные отображения и детерминированный хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1. Сдвиг Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

174

2.2. Характеристики хаотического движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Показатель Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Инвариантная мера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Корреляционная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

2.3. Детерминированная диффузия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

Глава 3. Универсальное поведение квадратичных отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1. Параметрическая зависимость итераций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2. Бифуркация удвоения и преобразование удвоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Бифуркация удвоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Суперциклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Преобразование удвоения и α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Линеаризованное преобразование удвоения и δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3. Самоподобие, универсальный спектр мощности и влияние внешнего шума . . . . . . . . . . . . . . . .61

Самоподобие в расположении элементов цикла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Хаусдорфова размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Спектр мощности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

Влияние внешнего шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Поведение логистического отображения при r > r∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4. Аналогия между удвоением периода и фазовыми переходами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.5. Экспериментальное подтверждение бифуркационного перехода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Глава 4. Переход к хаосу через перемежаемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.1. Механизмы перемежаемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Перемежаемость 1-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Длина ламинарной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.2. Ренормгрупповое исследование перемежаемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

4.3. Перемежаемость и фликкер-шум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

4.4. Экспериментальные наблюдения перехода через перемежаемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

175

Распределение длин ламинарных участков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Перемежаемость 1-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Перемежаемость 3-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Глава 5. Странные аттракторы в диссипативных динамических системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.1. Введение и определение странных аттракторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107

Преобразование пекаря . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111

Диссипативное отображение Хенона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2. Энтропия Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Определение K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Связь K с показателями Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Среднее время предсказуемости хаотической системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.3. Описание аттрактора по измеренному сигналу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Размерности странного аттрактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Корреляционный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Восстановление аттрактора по временной последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Размерность вложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Разделение динамического хаоса и внешнего белого шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Нижняя граница колмогоровской энтропии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

Гипотеза Каплана — Йорки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.4. Странные аттракторы и возникновение турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131

Бифуркация Хопфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Модель перехода к турбулентности по Ландау . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132

Модель перехода к турбулентности по Рюэлю — Такенсу — Ньюхаузу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Неустойчивость Бенара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Неустойчивость Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.5. Универсальные свойства перехода от квазипериодичности к хаосу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.6. Пути перехода к хаосу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Возможность существования трехчастотных квазипериодических орбит . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

176

Синхронизация частот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Кризисы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.7. Изображения странных аттракторов и фрактальных границ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Глава 6. Регулярное и нерегулярное движение в консервативных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.1. Сосуществование областей с регулярным и нерегулярным движением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Интегрируемые системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Теория возмущений и малые знаменатели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Устойчивые торы и теорема КАМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Неустойчивые торы и теорема Пуанкаре — Биркгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Гомоклинические точки и хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Диффузия Арнольда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Примеры хаотического движения в классической механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6.2. Полностью нерегулярное движение и эргодичность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Отображение Арнольда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Иерархия классического хаоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Примеры трех классических K-систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180

Глава 7. Хаос в квантовых системах? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

7.1. Квантовое отображение Арнольда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

7.2. Квантовая частица в стадионе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

7.3. Квантовый ротатор с периодическими толчками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

1. Вывод модели Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197

2. Анализ устойчивости, возникновения конвекции и турбулентности в модели Лоренца . . . 199

3. Производная Шварца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

4. Ренормализация одномерной модели Изинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202

5. Прореживание и интегралы по траектории для внешнего шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

177

6. Мера информации Шеннона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Информационная емкость «кассы» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Приращение информации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

7. Удвоение периода для консервативного отображения Хенона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Аннотированная литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

46 Эбелинг В. Образование структур при необратимых процес-сах. Введение в теорию диссипативных структур.– М.: Мир,1979, 279 с.

Предисловие редактора перевода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

Глава I. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

Глава 3. Структура и энтропия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

2.1. Понятие структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2. Вероятность н энтропия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3. Термодинамика открытых систем. Текущее равновесие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4. Диссипативные структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Глава 3. Устойчивость и нелинейность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2. Динамические системы с одной степенью свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

3.3. Динамические системы с двумя степенями свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4. Поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5. Критерии устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

178

Глава 4. Нелинейные механические и электрические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.1. Системы первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2. Механические автоколебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3. Электрические автоколебательные цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.4. Бистабильные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Глава 5. Диссипативные структуры в гидродинамических системах . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.1. Уравнения гидродинамических полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

5.2. Гидродинамические неустойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3. Теория эффекта Бенара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Глава 6. Нелинейные реакции в гомогенных химических системах . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.1. Основы кинетики реакций и экспериментальные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107

6.2. Реакции, имеющие одну степень свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.3. Химические осцилляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.4. Автоколебания и предельные циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

6.5. Бистабильное поведение химических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

Глава 7. Диссипативные структуры негомогенных химических систем . . . . . . . . . . . 147

7.1. Метод ячеек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

7.2. Модель Пригожина — Лефевра — Николиса («брюсселятор») . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.3. Непрерывные системы с диффузией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.4. Химические фронты и волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Глава 8. Нелинейная термодинамика необратимых процессов и критерииэволюции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

8.1. Производство энтропии в гомогенных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

8.2. Гомогенные химические реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

8.3. Уравнения баланса и производство энтропии в негомогенных системах . . . . . . . . . . . . . 195

8.4. Локальные принципы устойчивости и эволюции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

179

Глава 9. Процессы отбора в молекулярных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

9.1. Конкурентные реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

9.2. Биополимеры как носители структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

9.3. Динамические модели отбора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

9.4. Стохастические неограниченные модели отбора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

9.6. Возникновение «сложности» в математической модели процесса отборацепных молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

Приложение. Введение в стохастическую теорию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238

П.1. Стохастические модели необратимых процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

П.2. Асимптотическое поведение распределения вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

П.З. Вероятностные поверхности непрерывных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

П.4. Распределение вероятностей в дискретных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Библиография . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263

Именной указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

47 Эфрос А.Л. Физика и геометрия беспорядка (Библиотечка «Квант»,выпуск 19).– М.: Наука, 1982, 264 с.

Часть I. ЗАДАЧА УЗЛОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Глава 1. ПОРОГ ПРОТЕКАНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1 Два ученых мужа кромсают экранную сетку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Что такое случайная величина? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Среднее значение и дисперсия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Зачем нужна большая сетка? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА РАСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТЕЙИ НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

180

2.1 События и их вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Сложение вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Умножение вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Порог протекания в сетке 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5 Непрерывная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.6 Порог протекания как непрерывная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Глава 3. БЕСКОНЕЧНЫЙ КЛАСТЕР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

3.1 Постоянный магнит . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2 Ферромагнетик с примесями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3 Появление бесконечного кластера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4 Снова задача узлов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.5 Кластеры при низкой концентрации магнитных атомов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Глава 4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УЗЛОВ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО НА ЭВМ . . . . . . . . . .63

4.1 Почему Монте-Карло? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .634.2 Что такое метод Монте-Карло? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3 Как придумать случайное число? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.4 Метод середины квадрата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.5 Линейный конгруэнтный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.6 Определение порога протекания методом Монте-Карло на ЭВМ. Распределение бло-кированных и неблокированных узлов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.7 Поиск путей протекания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.8 Определение порога . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Часть II. РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРОТЕКАНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ . . . . . . . . . 84

Глава 5. ЗАДАЧИ НА ПЛОСКИХ РЕШЕТКАХ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.1 Мы сажаем фруктовый сад (задача связей) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .855.2 Неравенство, связывающее xCB и xY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.3 Покрывающие и включающие решетки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.4 Белое протекание и черное протекание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.5 Дуальные решетки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.6 Результаты для плоских решеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.7 Ориентированное протекание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

181

Глава 6. ОБЪЕМНЫЕ РЕШЕТКИ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ОЦЕНКИПОРОГОВ ПРОТЕКАНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

6.1 Объемные решетки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.2 Пороги протекания для объемных решеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.3 От чего зависит порог протекания задачи связей? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.4 Как оценить порог протекания задачи узлов? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Глава 7. ФЕРРОМАГНЕТИК С ДАЛЬНОДЕЙСТВИЕМ И ЗАДАЧА СФЕР . . . . . . . . . . . 131

7.1 Ферромагнетик с дальнодействием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1327.2 Задача окружностей (сфер) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.3 Задача окружностей (сфер) - предельный случай задачи узлов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Глава 8. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ПРИМЕСНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВИ ЗАДАЧА СФЕР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.1 Собственные полупроводники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.2 Примесные полупроводники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1478.3 Переход к металлической электропроводностипри повышении концентрации примесей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1548.4 Переход Мотта и задача сфер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Глава 9. РАЗЛИЧНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ ЗАДАЧИ СФЕР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163

9.1 Охватывающие фигуры произвольной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.2 Задача эллипсоидов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1659.3 Другие поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1699.4 Еще один эксперимент на домашней кухне и задача твердых сфер . . . . . . . . . . . . . . .171

Глава 10. УРОВЕНЬ ПРОТЕКАНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

10.1 «Всемирный потоп» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17510.2 Построение случайной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17810.3 Аналогия с задачей узлов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18010.4 Уровни протекания в плоской и трехмерной задачах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18210.5 Компенсация примесей в полупроводниках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18510.6 Движение частицы при наличии потенциальной энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18610.7 Движение электрона в поле примесей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Часть III. КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИНВБЛИЗИ ПОРОГА ПРОТЕКАНИЯ И ГЕОМЕТРИЯ БЕСКОНЕЧНОГО КЛАСТЕРА . . . . . . 191

182

Глава 11. РЕШЕТКА БЕТЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

11.1 Слухи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19411.2 Решение задачи узлов на решетке Бете . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19811.3 Обсуждение результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Глава 12. СТРУКТУРА БЕСКОНЕЧНОГО КЛАСТЕРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

12.1 Модель Шкловского — де Жена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20612.2 Роль размеров системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21012.3 Электропроводность вблизи порога протекания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21412.4 Функция P (x) вблизи порога протекания. Роль мертвых концов . . . . . . . . . . . . . . . . 21912.5 Универсальность критических индексов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Глава 13. ПРЫЖКОВАЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

13.1 Механизм прыжковой электропроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22713.2 Сетка сопротивлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22913.3 Свойства сетки сопротивлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23113.4 Снова задача сфер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23213.5 Вычисление удельного сопротивления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23313.6 Обсуждение результата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Глава 14. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

14.1 Некоторые приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23814.2 Что же такое теория протекания? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Ответы и решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243

48 Falconer K. Fractal Geometry: Mathematical Foundation andApplication.– New York: John Wiley, 2003, 337 p.

PART I FOUNDATIONS 1

Chapter 1 Mathematical background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.1 Basic set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

183

1.2 Functions and limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Measures and mass distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Notes on probability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Chapter 2 Hausdorff measure and dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1 Hausdorff measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Hausdorff dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Calculation of Hausdorff dimension—simple examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

*2.4 Equivalent definitions of Hausdorff dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

*2.5 Finer definitions of dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Chapter 3 Alternative definitions of dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1 Box-counting dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Properties and problems of box-counting dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

*3.3 Modified box-counting dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

*3.4 Packing measures and dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5 Some other definitions of dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.6 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Chapter 4 Techniques for calculating dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1 Basic methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Subsets of finite measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3 Potential theoretic methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

*4.4 Fourier transform methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

4.5 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

184

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Chapter 5 Local structure of fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

5.1 Densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

5.2 Structure of 1-sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.3 Tangents to s-sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

5.4 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Chapter 6 Projections of fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

6.1 Projections of arbitrary sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

6.2 Projections of s-sets of integral dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.3 Projections of arbitrary sets of integral dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.4 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Chapter 7 Products of fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.1 Productformulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.2 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Chapter 8 Intersections of fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.1 Intersection formulae forfractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110

*8.2 Sets with large intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.3 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

PART II APPLICATIONS AND EXAMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Chapter 9 Iterated function systems—self-similar and self-affine sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123

9.1 Iterated function systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.2 Dimensions of self-similar sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

185

9.3 Some variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

9.4 Self-affine sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9.5 Applications to encoding images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9.6 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Chapter 10 Examples from number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

10.1 Distribution of digits of numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

10.2 Continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

10.3 Diophantine approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

10.4 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Chapter 11 Graphs of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160

11.1 Dimensions of graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

*11.2 Autocorrelation of fractal functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

11.3 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Chapter 12 Examples from pure mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176

12.1 Duality and the Kakeya problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176

12.2 Vitushkin’s conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

12.3 Convex functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

12.4 Groups and rings of fractional dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

12.5 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Chapter 13 Dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

13.1 Repellers and iterated function systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

13.2 The logistic map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189

186

13.3 Stretching and folding transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

13.4 The solenoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198

13.5 Continuous dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201

*13.6 Small divisortheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

*13.7 Liapounov exponents and entropies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

13.8 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Chapter 14 Iteration of complex functions—Julia sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

14.1 General theory of Julia sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

14.2 Quadratic functions— the Mandelbrot set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

14.3 Julia sets of quadratic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

14.4 Characterization ofquasi-circles by dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

14.5 Newton’s method for solving polynomial equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

14.6 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Chapter 15 Random fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

15.1 A random Cantor set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

15.2 Fractal percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

15.3 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Chapter 16 Brownian motion and Brownian surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

16.1 Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

16.2 Fractional Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

16.3 Levy stable processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

16.4 Fractional Brownian surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

16.5 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

187

Chapter 17 Multifractal measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .277

17.1 Coarse multifractal analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .278

17.2 Fine multifractal analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

17.3 Self-similar multifractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

17.4 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Chapter 18 Physical applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

18.1 Fractal growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .300

18.2 Singularities of electrostatic and gravitational potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

18.3 Fluid dynamics and turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

18.4 Fractal antennas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

18.5 Fractals in finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

18.6 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .317

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

49 Falconer K. Techniques in Fractal Geometry.– New York: JohnWiley, 1997, 272 p.

Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi

Chapter 1 Mathematical background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.1 Sets and functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

188

1.2 Some useful inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Weak convergence of measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Chapter 2 Review of fractal geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

2.1 Review of dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Review of iterated function systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Chapter 3 Some techniques for studying dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1 Implicit methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

3.2 Box-counting dimensions of cut-out sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Chapter 4 Cookie-cutters and bounded distortion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1 Cookie-cutter sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

4.2 Bounded distortion for cookie-cutters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Chapter 5 The thermodynamic formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

5.1 Pressure and Gibbs measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2 The dimension formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.3 Invariant measures and the transfer operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.4 Entropy and the variational principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.5 Further applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

189

5.6 Why ’thermodynamic’ formalism? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

5.7 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Chapter 6 The ergodic theorem and fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.1 The ergodic theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.2 Densities and average densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

6.3 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Chapter 7 The renewal theorem and fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.1 The renewal theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.2 Applications to fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.3 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Chapter 8 Martingales and fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

8.1 Martingales and the convergence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

8.2 A random cut-out set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.3 Bi-Lipschitz equivalence of fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.4 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Chapter 9 Tangent measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9.1 Definitions and basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9.2 Tangent measures and densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

9.3 Singular integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

9.4 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Chapter 10 Dimensions of measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

190

10.1 Local dimensions and dimensions of measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

10.2 Dimension decomposition of measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

10.3 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Chapter 11 Some multifractal analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

11.1 Fine and coarse multifractal theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

11.2 Multifractal analysis of self-similar measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

11.3 Multifractal analysis of Gibbs measures on cookie-cutter sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201

11.4 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Chapter 12 Fractals and differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

12.1 The dimension of attractors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

12.2 Eigenvalues of the Laplacian on regions with fractal boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

12.3 The heat equation on regions with fractal boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .230

12.4 Differential equations on fractal domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

12.5 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .247

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

50 Harte D. Multifractals: theory and applications.– Chapman &Hall/CRC, 2001, 248 p.

Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

List of Figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

List of Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

191

I INTRODUCTION AND PRELIMINARIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1 Motivation and Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Fractal Sets and Multifractal Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Dynamical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5 Rainfall Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6 Earthquake Modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.7 Other Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.8 Concept of Mutifractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .321.9 Overview of Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 The Multifractal Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2 Historical Development of Generalised Renyi Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392.3 Generalised Renyi Lattice Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4 Generalised Renyi Point Centred Dementions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5 Multifractal Spectrum and Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6 Review of Related Lattice Based Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.7 Review of Related Point Centred Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 The Multinomial Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2 Local Behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3 Global Averaging and Legendre Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4 Fractal Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.5 Point Centred Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

II Multifractal Formalism Using Large Deviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68

4 Lattice Based Multifractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2 Large Deviation Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.3 Uniform Spatial Sampling Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

192

4.4 A Family of Sampling Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.5 Hausdorff Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5 Point Centred Multifractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2 Large Deviation Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.3 A Family of Sampling Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.4 Hausdorff Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.5 Relationships Between Lattice and Point Centred Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6 Multiplicative Cascade Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2 Moran Cascade Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1026.3 Random Cascades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.4 Other Cascade Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

III ESTIMATION OF THE RENYI DIMENTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7 Interpoint Distances of Order q and Intrinsic Bias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.1 Introduction to Part III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.2 Boundary Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.3 Multiplicity of Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.4 Decomposition of FY (y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.5 Differentiable Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8 Estimation of Point Centred Renyi Dimensions with q > 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1348.2 Generalised Grassberger-Procaccia Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.3 Takens Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1388.4 Hill Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.5 Bootstrap Estimation Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.6 Discussion and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9 Extrinsic Sources of Bias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1629.2 Imposed Boundary Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

193

9.3 Rounding Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1659.4 Effect of Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170

10 Applications of Dimension Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17110.2 More on Estimation and Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17210.3 Spatial and Temporal Point Patterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17610.4 Dynamical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18110.5 Is a Process Stochastic or Deterministic? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19010.6 Stochastic Processes with Powerlaw Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

11 Earthquake Analyses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20111.2 Sources of Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20311.3 Effects Causing Bias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20811.4 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21011.5 Comparison of Results and Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215

IV appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

A Properties and Dimensions of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

A.1 Self-Similar Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221A.2 Hausdorff Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222A.3 Box Counting Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225A.4 Packing Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

B Large Deviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

B.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229B.2 Cramer’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230B.3 Gartner-Ellis Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239

194

51 Fractal Image Compression: Theory and Application(Ed. Fisher Y.).– Springer, 1994, 341 p.

Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

The Authors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Y. Fisher

1.1 What Is Fractal Image Compression? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Self-Simiiarity in Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 A Special Copying Machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.4 Encoding Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Ways to Partition Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Mathematical Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Y. Fisher

2.1 Fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Iterated Function Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Recurrent Iterated Function Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 Image Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5 Affine Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.6 Partitioned Iterated Function Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7 Encoding Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.8 Other Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 Fractal Image Compression with Quadtrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Y. Fisher

3.1 Encoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

195

3.2 Decoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3 Sample Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4 Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4 Archetype Classification in an Iterated Transformation Image Compression Algorithm . . . . . . . . . . . . 79

R.D. Boss and E.W. Jacobs

4.1 Archetype Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5 Hierarchical Interpretation of Fractal Image Coding and Its Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Z. Baharav, D. Malah, and E. Karnin

5.1 Formulation of PIFS Coding/Decoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2 Hierarchical Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

5.3 Matrix Description of the PIFS Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

5.4 Fast Decoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.5 Super-resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.6 Different Sampling Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

A Proof of Theorem 5.1 (Zoom) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111

B Proof of Theorem 5.2 (PIFS Embedded Function) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

C Proof of Theorem 5.3 (Fractal Dimension of the PIFS Embedded Function) . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6 Fractal Encoding with HV Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Y. Fisher and S. Menlove

6.1 The Encoding Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

6.2 Efficient Storage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

6.3 Decoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.4 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

196

6.5 More Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.6 Other Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7 A Discrete Framework for Fractal Signal Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

L. Lundheim

7.1 Sampled Signals, Pieces, and Piecewise Self-transformability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.2 Self-transformable Objects and Fractal Coding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.3 Eventual Contractivity and Collage Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.4 Affine Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.5 Computation of Contractivity Factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.6 A Least-squares Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

A Derivation of Equation (7.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8 A Class of Fractal Image Coders with Fast Decoder Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

G. E. O/ ien and S. Lepso/ y

8.1 Affine Mappings on Finite-Dimensional Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

8.2 Conditions for Decoder Convei-gence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.3 Improving Decoder Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8.4 Collage Optimization Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

8.5 A Generalized Sufficient Condition for Fast Decoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

8.6 An Image Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

8.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

9 Fast Attractor linage Encoding by Adaptive Codebook Clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

S. Lepso/ y and G. E. O/ ien

9.1 Notation and Problem Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

9.2 Complexity Reduction in the Encoding Step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

9.3 How to Choose a Block . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181

9.4 Initialization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

197

9.5 Two Methods for Computing Cluster Centers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

9.6 Selecting the Number of Clusters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

9.7 Experimental Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192

9.8 Possible Improvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

9.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

10 Orthogonal Basis IPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

G. Vines

10.1 Orthononnal Basis Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

10.2 Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

10.3 Construction of Coders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

10.4 Comparison of Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209

10.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

11 A Convergence Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

B. Bielefeld and Y. Fisher

11.1 The τ Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

11.2 Lp Convergence of the RIFS Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

11.3 Almost Everywhere Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

11.4 Decoding by Matrix Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

12 Least-Squares Block Coding by Fractal Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

F. Dudbridge

12.1 Fractal Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229

12.2 Least-Squares Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232

12.3 Construction of Fractal Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

12.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

13 Inference Algorithms for WFA and Image Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

K.Culik II and J.Kari

198

13.1 Images and Weighted Finite Automata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

13.2 The Inference Algorithm for WFA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

13.3 A Fast Decoding Algorithm for WFA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

13.4 A Recursive Inference Algorithm for WFA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

A Sample Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Y. Fisher

A.1 The Enc Manual Page . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

A.2 The Dec Manual Page . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

A.3 Enc.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .264

A.4 Dec.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .278

A.5 The Encoding Program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286

A.6 The Decoding Program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

A.7 Possible Modifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

B Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

Y. Fisher

C Projects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Y. Fisher

C.1 Decoding by Matrix Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

C.2 Linear Combinations of Domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

C.3 Postprocessing: Overlapping, Weighted Ranges, and Tilt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

C.4 Encoding Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

C.5 Theoretical Modeling for Continuous Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299

C.6 Scan-Iinc Fractal Encoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

C.7 Video Encoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

C.8 Single Encoding of Several Frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

C.9 Edge-based Partitioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

C.10 Classification Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

199

C.ll From Classification to Multi-dimensional Keys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

D. Saupe

C.12 Polygonal Partitioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .305

C.13 Decoding by Pixel Chasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

C.14 Second Iterate Collaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .307

C.15 Rectangular IFS Partitioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

C.16 Hexagonal Partitioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

C.17 Parallel Processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

C.18 Non-contractive IFSs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

D Comparison of Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .311

Y. Fisher

E Original Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

200