ГАЛИЛЕЙН ХАРЬЦАНГУЙ ЗАРЧИМ, ИНЕРЦИАЛ БИШ … · 3 s.ph101...

S.PH101 ФИЗИК-1

ГАЛИЛЕЙН ХАРЬЦАНГУЙ ЗАРЧИМ,

ИНЕРЦИАЛ БИШ ТООЛЛЫН СИСТЕМ,

ИНЕРЦИЙН ХҮЧНҮҮД, ХАРЬЦАНГУЙН

ТУСГАЙ ОНОЛ, ЛОРЕНЦЫН ХУВИРГАЛТ

БА ТҮҮНИЙ МӨРДЛӨГӨӨ

Бэлтгэсэн: О.СҮХ, Б.ОДОНТУЯА

ЛЕКЦ 5

2 S.PH101 Физик-1 [Лекц-5]

5-1 ГАЛИЛЕЙН ХАРЬЦАНГУЙ ЗАРЧИМ

Бие биетэйгээ харьцангуй 𝜐 0 тогтмол хурдтай хөдлөх 2

тооллын систем авч үзье. Үл хөдлөх системийг 𝐾, жигд

шулуун хөдлөх системийг 𝐾′ гэе.

𝑃 цэгийн 𝐾 систем дэх 𝑥,𝑦, 𝑧 координат ба 𝐾′ систем дэх

𝑥′ ,𝑦′ , 𝑧′ координатуудын холбоог олъѐ.

𝑥 = 𝑥′ + 𝜐0𝑡, 𝑦 = 𝑦′ , 𝑧 = 𝑧′ (5-1)

Классик механикт 2 системд хугацаа адил гэж үздэг. 𝑡 = 𝑡′.

Үүнийг Галилейн хувиргалт гэдэг. Энэ илэрхийллээс

уламжлал авч 𝐾 ба 𝐾′ систем дэх 𝑃 цэгийн хурдуудын

харьцааг олж болно.

𝑥 = 𝑥 ′ + 𝜐0 𝜐𝑥 = 𝜐𝑥′ + 𝜐0

𝑦 = 𝑦 ′ 𝜐𝑦 = 𝜐𝑦′

𝑧 = 𝑧 ′ 𝜐𝑧 = 𝜐𝑧′

Вектор хэлбэрт бичвэл 𝜐 = 𝜐 ′ + 𝜐 0. (5-2)

Энэ нь классик механикт хурд нэмэх дүрэм болно. Үүнээс

дахин уламжлал авбал

𝜐 = 𝜐 ′ буюу 𝑎 = 𝑎 ′ (5-3)

Эндээс бие биетэйгээ харьцангуйгаар шулуун жигд хөдлөх

тооллын системүүдэд биеийн хурдатгал ижил байна. Ньютоны

2 – р хуулиар 𝐾 ба 𝐾′ системд биед үйлчлэх хүчнүүд тэнцүү.

Иймээс нэг инерциал тооллын системээс нөгөө инерциал

тооллын системд шилжихэд динамикийн тэгшитгэл

өөрчлөгдөхгүй. Өөрөөр хэлбэл нэг инерциал тооллын

системээс нөгөөд шилжихэд динамикийн тэгшитгэл

инвариант. Механик үүднээс бүх инерциал тооллын системүүд

эквивалент буюу аль нэг нь давуу тал байхгүй. Иймээс тухайн

тооллын системд хийх механик туршилтаар системийг тайван

эсвэл шулуун жигд хөдөлж байгааг тогтоох боломжгүй.

Үүнийг Галилейн харьцангуй зарчим гэнэ.

Зураг 5- 1


5-2 ИНЕРЦИАЛ БИШ ТООЛЛЫН СИСТЕМ

Ньютоны хуулиуд инерциал тооллын системд л биелнэ.

Инерциал бүх тооллын системд тухайн бие ижилхэн 𝑤

хурдатгалтай хөдөлнө. Аливаа инерциал биш тооллын систем

инерциал тооллын системтэй ямар нэг хурдатгалтай хөдөлнө.

Иймээс энэ инерциал биш тооллын системтэй харьцангуй

биеийн хурдатгал 𝑤 ′ нь 𝑤 − аас ялгаатай. Инерциал ба

инерциал биш тооллын систем дэх биеийн хурдатгалуудын

ялгаврыг 𝑎 гэе.

𝑎 = 𝑤 − 𝑤 ′

Биед үйлчлэх тэнцүү үйлчлэгч хүчийг 𝐹 гэе.

Ньютоны II хуулиар инерциал систем дэх биеийн хурдатгал

𝑤 =𝐹

𝑚

Инерциал биш тооллын системд биеийн хурдатгал

𝑤 ′ = 𝑤 − 𝑎 =𝐹

𝑚− 𝑎 болно.

Эндээс 𝐹 = 0 үед ч бие инерциал биш тооллын системтэй

харьцангуй 𝑎 хурдатгалтай хөдөлнө. Өөрөөр хэлбэл түүнд 𝑚𝑎

хүч үйлчилж байгаа мэт байна. Эндээс инерциал биш тооллын

системд Ньютоны тэгшитгэлийг бичихдээ биеүдийн

үйлчлэлийн хүчнээс гадна биеийн масс ба инерциал ба

инерциал биш тооллын систем дэх биеийн хурдатгалуудын

ялгаврыг эерэг тэмдэгтэй үржүүлсэнтэй тэнцүү 𝐹 𝑖𝑛 хүчийг

тооцож бичнэ.

𝐹 𝑖𝑛 = −𝑚 𝑤 − 𝑤 ′ = −𝑚𝑎 (5-4)

Инерциал биш тооллын системд

𝑚𝑤 ′ = 𝐹 + 𝐹 𝑖𝑛 (5.5)

хэлбэртэй бичигдэнэ.


5-3 ИНЕРЦИЙН ТӨВӨӨС ЗУГТААХ ХҮЧ

𝑧 тэнхлэгийг 𝜔 өнцөг хурдтай тойрон эргэх диск авч үзье.

Дисктэй хамт дискний төвтэй пүршээр холбогдсон саваанд

бэхлэгдсэн шарик хөдөлнө. Шарик пүршний татах хүч 𝐹 𝑛 ,

шарикийн массыг 𝑤 𝑛 = −𝜔2𝑅 хурдатгалаар үржүүлсэн

үржвэртэй тэнцэх байрлалд очно.

𝐹 𝑛 = −𝜔2𝑅

Дисктэй холбоотой системд шарик тайван байна. Энэ нь

түүнд 𝐹 𝑛 хүчнээс гадна радиусын дагуу чиглэсэн 𝐹 тз = 𝑚𝜔2𝑅

хүч үйлчилж байна гэж үзэж болно. Эргэх тооллын системд

үүсч байгаа энэ шарикийн хүчийг төвөөс зугтаах хүч гэдэг.

Энэ хүч нь эргэж байгаа тооллын системд байгаа бие хөдөлж

байгаа эсэхээс үл хамааран үйлчилнэ.

𝐹 тз = 𝑚𝜔 × (𝑟 × 𝜔 ) гэж бичиж болно.

5-4 КОРИОЛИСЫН ХҮЧ

Бие эргэж байгаа системтэй харьцангуйгаар хөдөлж байвал

түүнд Кориолисын хүч үйлчилнэ. Тэнхлэгээ тойрон эргэх диск

авч үзье. Түүнд ОА шулуун тэмдэглэе. О-оос А руу шарикийг

𝜐 ′ хурдтай хөдөлгөе. Хэрэв диск эргэхгүй бол шарик бидний

тэмдэглэсэн шулууны дагуу хөдөлнө. Дискийг эргүүлбэл

шарик ОВ зураасын дагуу хөдлөх буюу түүний дисктэй

харьцангуй хурд чиглэлээ өөрчилн. Эндээс эргэж байгаа

тооллын системд 𝜐 хурдтай хөдлөх шарикт түүний хурдад

перпендикуляр 𝐹 к хүч үйлчилнэ. Шарикийг ОА шулууны дагуу

хөдөлгөхийн тулд түүнд чиглүүлэгч хийх хэрэгтэй. Шарик

хөдлөх үед чиглүүлэгчийн зүгээс 𝐹 𝑟 хүч үйлчилнэ. Шарик 𝜐

тогтмол хурдтай хөдлөх ба үүнийг 𝐹 𝑟 хүч шарикт үйлчлэх 𝐹 𝑘

инерцийн хүчтэй тэнцсэнээр тайлбарлаж болно. 𝐹 𝑘 нь

Кориолисын хүч болно. 𝑚 масстай бие хөдөлж байгаа системд

эргэлтийн тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайд тойргоор жигд

хөдөлж байгаа тохиолдол авч үзье. Тойргийн төв эргэлтийн

тэнхлэг дээр оршино. Биеийн эргэлдэх системтэй харьцангуй

хурдыг 𝜐 ′ гэе. Үл хөдлөх системтэй харьцангуй хурд эхний

Зураг 5- 2

Зураг 5- 3


тохиолдолд 𝜐′ + 𝜔𝑅, дараагийн тохиолдолд 𝜐′ − 𝜔𝑅 болно.

Бие үл хөдлөх ситемтэй харьцангуй 𝜐 = 𝜐′ + 𝜔𝑅 хурдтай

хөдлөхийн тулд түүнд тойргийн төв рүү чиглэсэн 𝐹 хүч

үйлчилнэ. Тухайлбал биеийн тойргийн төвд утсаар бэхэлбэл

энэ нь утасны татах хүч болно.

𝐹 = 𝑚𝑎𝑛 =𝑚𝜐2

𝑅=

𝑚(𝜐 ′+𝜔𝑅)

𝑅=

𝑚𝜐 ′2

𝑅+ 2𝑚𝜐′𝜔 + 𝑚𝜔2𝑅 (5-6)

Эргэж байгаа системд бие 𝑎𝑛′ =

𝜐 ′2

𝑅 хурдатгалтай хөдлөх ба

𝑚𝑎𝑛′ =

𝑚𝜐 ′2

𝑅= 𝐹 − 2𝑚𝜐′𝜔 −𝑚𝜔2𝑅 (5-7)

Иймээс хөдөлж байгаа системд биед төв рүү чиглэсэн 𝐹

хүчнээс гадна төвөөс гадагш чиглэсэн 𝑚𝜔2𝑅 ба 2𝑚𝜐′𝜔 2 хүч

үйлчилнэ.

𝐹 𝑘 = 2𝑚𝜐 ′ × 𝜔 (5-8)

энэ нь Кориолисын хүч болно. Үүнтэй адил дараагийн

тохиолдолд

𝐹 =𝑚𝜐2

𝑅=

𝑚(𝜐 ′−𝜔𝑅)2

𝑅=

𝑚𝜐 ′2

𝑅− 2𝑚𝜐′𝜔 + 𝑚𝜔2𝑅 (5-9)

𝑚𝜐 ′2

𝑅= 𝐹 + 2𝑚𝜐′𝜔 −𝑚𝜔2𝑅 буюу Кориолисын хүч төв рүү

чиглэнэ.

5-5 ХАРЬЦАНГУЙН ТУСГАЙ ОНОЛ

Ньютоны механик вакуум дахь гэрлийн хурднаас олон дахин

бага хурдтай хөдлөх биеүдийн хувьд зөв байдаг. Гэрлийн

хурдтай жишихүйц хурдтай хөдлөх хөдөлгөөний хувьд

Эйнштейны харьцангуйн тусгай онолын шаардлага хангасан

релятив механикийг бүтээв. 1905 онд Эйнштейны бүтээсэн

харьцангуйн тусгай онол нь огторгуй хугацааны тухай физик

онол юм. Энэ онолын үндэс нь 2 постулат болно. Нэг нь

Эйнштейны харьцангуй зарчим, нөгөө нь гэрлийн хурд

тогтмол байх зарчим юм. Эйнштейны харьцангуй зарчим нь

механик дахь Галилейн харьцангуй зарчимын өргөтгөл юм.

Энэ зарчмаар байгалийн бүх хуулиуд инерциал тооллын

системүүдэд ижил байна. Иймээс байгалийн хуулийг

илэрхийлэх тэгшитгэл нэг инерциал тооллын системээс нөгөө

координатын системд шилжих координат ба хугацааны

Зураг 5- 4

Зураг 5- 5


хувиргалтанд инвариант байна. Гэрлийн хурд тогтмол байх

зарчимд хоосон дахь гэрлийн хурд бүх инерциал тооллын

системд адил бөгөөд үүсгэгч ба хүлээн авагчийн хөдөлгөөнөөс

хамаарахгүй байна. Ньютоны механикт огторгуй ба хугацааг

бие биенээс нь үл хамааруулан авч үздэг. Ньютоны абсолют

хугацаа ба абсолют огторгуй байна гэж үзсэн. Иймээс нэг

тооллын системд 2 үйл явдал зэрэг явагдсан бол бусад бүх

тооллын системд зэрэг байна. Гэвч энэ нь гэрлийн хурд

тогтмол байх зарчимд зөрчилдөнө. 𝐾′ системд гэрэл 𝑀 ба 𝑁

цэгт хүрэх хугацаа 𝑡′ адил байна. 𝐾 тооллын системд гэрэл бүх

чиглэлд 𝑐 хурдтай тарна. Энэ системд 𝑀 цэг гэрлийн дохионы

өөдөөс хөдлөх ба 𝑁 цэг цааш хөдөлнө. Иймээс 𝑡𝑀 < 𝑡𝑁 .

Иймээс 𝐾 систем дэх үйл явдал нэгэн зэрэг биш байна. Эндээс

янз бүрийн систем дахь хугацаа өөр өөр урсана. Ямар нэг

тооллын системд үйл явдлыг тодорхойлохын тулд ямар цэгт,

ямар хугацаанд болж байгааг заах хэрэгтэй. Үүний тулд

огторгуйд координатын систем ба координат бүрт цаг

байрлуулах хэрэгтэй. Цагууд синхрон явах ѐстой. Цагийг

синхрон явалттай болгохын тулд цагуудыг зэрэгцүүлж тавьсан

үед заалтыг тохируулсны дараа харгалзах цэгүүдэд

байрлуулна. Гэвч цагуудыг зөөх үед түүний явдалд нөлөөлнө.

Үүний тулд 𝐴 цэгээс 𝑡1 хугацаанд дохио явуулж 𝐵 цэгт

суурилуулсан толиноос ойж 𝐴 цэгт дохио ирэх 𝑡2 хугацааг

хэмжиж авна. 𝐵 цэг дэх цагны заалт сигнал очих үед 𝑡1+𝑡2

2 бол

синхрон явалттай болсон гэж үзнэ. Ингэж бүх инерциал

тооллын системүүдэд цагуудад синхрончилж болно. Гэрлийн

хурд тогтмол гэдэг нь огторгуй ба хугацаа холбоотой бөгөөд

нэгдмэл огторгуй хугацааг бий болгоно. Үүнийг 4 хэмжээст

огторгуй гэнэ. Ердийн огторгуйд 2 цэгийн хоорондох зай ∆𝑙

∆𝑙2 = ∆𝑥2 + ∆𝑦2 + ∆𝑧2 байдаг бол 4 хэмжээст огторгуйд

∆𝑆2 = 𝑐2∆𝑡2 − ∆𝑥2 − ∆𝑦2 − ∆𝑧2.

5-6 ЛОРЕНЦЫН ХУВИРГАЛТ

𝐾 ба 𝐾′ 2 инерциал тооллын систем авч үзье. 𝐾′ систем 𝐾

системтэй харьцангуй 𝜐 0 хурдтай хөдөлнө. Харьцангуй зарчим

ѐсоор 𝐾 ба 𝐾′ систем тэгш эрхтэй.

𝑥 ба 𝑥′ тэнхлэгийг 𝜐 0 векторын дагуу, 𝑦 ба 𝑦′, 𝑧 ба 𝑧′

тэнхлэүүдийг хоорондоо параллель байгаа гэж авъя.


Харьцангуйн зарчмаар 𝐾 ба 𝐾′ системүүд ижил эрхтэй. Ганц

ялгаа нь 𝐾 системд 𝐾′ системийн эхлэл 𝑂′ -ийн координат

𝑥0′ = 𝜐0𝑡 хуулиар өөрчлөгдөх бол 𝐾′ системд 𝐾 системийн

координатын эхлэл 𝑂 𝑥0′ = −𝜐0𝑡′ хуулиар өөрчлөгдөнө.

Релятив биш механикт инерциаль тооллын системээс нөгөөд

шилжихэд Галилейн хувиргалтыг ашиглана. Энэ хувиргалтаас

хурдыг нэмэх 𝜐 = 𝜐 ′ + 𝜐 0 дүрэм гардаг. Энэ нь гэрлийн хурд

тогтмол гэсэн зарчимтай зөрчилдөнө. Хэрэв 𝐾′ системд гэрэл

𝜐 0-ийн дагуу тарж байгаа бол 𝐾 системд энэ нь 𝑐 + 𝜐0 болох

ѐстой. Өөрөөр хэлбэл гэрлийн хурдаас их хурд гарна. Иймээс

Галилейн хувиргалтыг өөр томъѐогоор солих шаардлагатай.

Хугацаа ба огторгуйн нэгэн төрөл гэдгээс энэ хувиргалт нь

шугаман байна. Координатын тэнхлэгүүдийг зурагт үзүүлсгээр

сонгосон үед 𝑦 = 0 хавтгай 𝑦 ′ = 0 хавтгайтай, 𝑧 = 0 хавтгай

𝑧 ′ = 0 хавтгайтай давхцана. иймээс 𝑦 ба 𝑦′ координат нэгэн

зэрэг 0 болох ѐстой. (бусад координат ба хугацаанаас үл

хамааран) Тэгвэл үүнийг 𝑦 = 𝜀𝑦′ гэж бичиж болно. 𝐾 ба 𝐾′

тэгш эрхтэй учраас 𝑦 ′ = 𝜀𝑦 гэж бичиж болно.

𝑦𝑦′ = 𝜀2𝑦𝑦′ ⇒ 𝜀2 = 1 𝜀 = ±1

𝑦 ба 𝑦′ -ийг нэг зүгт чиглэсэн гэж авбал 𝑦 = 𝑦′. 𝑧 − ийн

хувьд мөн адил 𝑧 = 𝑧′. Эндээс 𝑦 ба 𝑧 нь 𝑥 ′, 𝑡′ − ээс

хамаарахгүй. Мөн 𝑥′ ба 𝑡′ нь 𝑦 ба 𝑧 − ээс хамаарахгүй. Мөн 𝑥,𝑡

ба 𝑦 ′, 𝑧 ′ −ийн хувьд адил. Тэгвэл 𝑥 ба 𝑡 нь 𝑥 ′, 𝑡′ нь шугаман

функц байх ѐстой.

𝐾 системийн эх О 𝐾 системд 𝑥 = 0 координаттай байх ба 𝐾′

системд 𝑥′ = −𝜐0𝑡′ координаттай байна. Иймээс 𝑥 ′ + 𝜐0𝑡′

илэрхийлэл 𝑥 координаттай нэгэн зэрэг тэг болох ѐстой. Ийм

шугаман хувиргалтыг

𝑥 = 𝛾(𝑥 ′ + 𝜐0𝑡′) гэж бичиж болно. (5-10)

Хугацааг координатын эхлэлүүд давхцах үеэс эхлэн тоолъѐ.

𝑡 = 𝑡′ = 0 үед 𝑥 ба 𝑥′ тэнхлэгийн дагуу гэрлийг явуулъя.

Тодорхой хугацааны дараа гэрлийг координатыг бичье.

𝑥 = 𝑐𝑡 𝑥 ′ = 𝑐𝑡′ 𝑐𝑡 = 𝛾 𝑐𝑡′ + 𝜐0𝑡′ = 𝛾 𝑐 + 𝜐0 𝑡′

𝑐𝑡′ − 𝛾 𝑐𝑡 − 𝜐0𝑡 = 𝛾 𝑐 − 𝜐0 𝑡 𝑐2𝑡𝑡′ = 𝛾2 𝑐2 − 𝜐0

2 𝑡𝑡′ ⇒

𝛾 = 𝑐2

𝑐2−𝜐02 =

1

1−𝜐0

2

𝑐2

(5-11)

Зураг 5- 6


𝑥 =𝑥 ′+𝜐0𝑡′

1−𝜐0

2

𝑐2

𝑦 = 𝑦′ 𝑧 = 𝑧′ 𝑡 =𝑡 ′+

𝜐0𝑐2𝑥′

1−𝜐0

2

𝑐2

(5-12)

𝑥 ′ =𝑥−𝜐0𝑡

1−𝜐0

2

𝑐2

𝑦 ′ = 𝑦 𝑧 ′ = 𝑧 𝑡′ =𝑡−

𝜐0𝑐2𝑥

1−𝜐0

2

𝑐2

5-7 ЛОРЕНЦЫН ХУВИРГАЛТЫН МӨРДЛӨГӨӨ

5-7-1 Янз бүрийн тооллын системд үйл явдлын нэгэн

зэрэг байх чанар

𝐾 системд 𝑥1 ба 𝑥2 координаттай цэгүүдэд нэгэн зэрэг

𝑡1 = 𝑡2 = 𝑏 2 үйл явдал болсон гэж үзье. 𝐾 ′ системд эдгээр үйл

явдлууд

𝑡1′ =

𝑏 −𝜐0

𝑐2 𝑥1

1 −𝜐0

2

𝑐2

𝑡2′ =

𝑏 −𝜐0

𝑐2 𝑥2

1 −𝜐0

2

𝑐2

𝑥1 ≠ 𝑥2 учраас 𝑡1′ ≠ 𝑡2

′

Өөрөөр хэлбэл 𝐾 системд нэгэн зэрэг болсон үйл явдал 𝐾 ′

системд нэгэн зэрэг биш байна.

5-7-2 Янз бүрийн систем дэх биеийн урт

𝐾 ′ системд тайван байх 𝑥 ′ тэнхлэгийн дагуу байрлах саваа

авч үзье. Энэ систем дэх савааны урт 𝑙0 = 𝑥2′ − 𝑥1

′ .

𝑥2′ ба 𝑥1

′ нь хугацаанаас хамааран үл өөрчлөгдөнө. 𝐾 системд

саваа 𝜐0 хурдтай хөдөлнө. Энэ системд савааны уртыг

тодорхойлохын тулд савааны төгсгөлүүдийн координатыг

𝑡1 = 𝑡2 = 𝑏 үед нэгэн зэрэг хэмжинэ. 𝑙 = 𝑥2 − 𝑥1 нь савааны 𝐾

систем дэх урт болно.

𝑥1′ =

𝑥1−𝜐0𝑏

1−𝜐0

2

𝑐2

𝑥2′ =

𝑥2−𝜐0𝑏

1−𝜐0

2

𝑐2

𝑥2′ − 𝑥1

′ =𝑥2 − 𝑥1

1 −𝜐0

2

𝑐2

⟹ 𝑙0 =𝑙

1 −𝜐0

2

𝑐2

⟹

Зураг 5- 7


𝑙 = 𝑙0 1 −𝜐0

2

𝑐2 (5.13)

Эндээс хөдөлж байгаа савааны урт богиносно. (багасна) 𝑦 ба

𝑧 тэнхлэгийн дагуу савааны урт бүх тооллын системд ижил.

Биеийн хэмжээ түүний хөдөлгөөний чиглэлд агшина. Үүнийг

Лоренцын (Фитцшеральдын) агшилт гэдэг. Сонирхолтой нь 𝑐 -

тэй жишихүйц хурдтай хөдөлж байгаа биеийн хэлбэр

өөрчлөгдөхийг харах боломжгүй. Учир нь түүнийг ажиглах

үед түүнийг янз бүрийн цэгүүдээс ирэх гэрлийг нэгэн зэрэг

бүртгэнэ. Энэ импульсүүд нэгэн зэрэг цацагдаагүй. Илүү хол

хэсгийн импульсүүд ойр хэсгүүдийнхээс өмнө цацагдсан байх

ѐстой. Иймээс бие хөдөлж байх үед зураг дээр биеийн гажсан

дүрс гарна. Тооцоогоор энэ гажиг Лоренцын агшилтыг үгүй

болгоно. Тухайлбал бөмбөлөг хэлбэртэй бие маш их хурдтай

байсан ч хэлбэр нь бөмбөлгөө хадгалж харагдана.

5-7-3 Хоёр үйл явдлын хоорондох хугацааны завсар

𝐾′ системд 2 үйл явдал болно. 1-р үйл явдал 𝑥1′ = 𝑎 цэгт 𝑡1′

агшинд, 2 – дахь үйл явдал 𝑥2′ = 𝑎 цэгт 𝑡2′ агшинд болно.

𝑡1 =𝑡1

′ +𝜐0𝑐2𝑎

1−𝜐0

2

𝑐2

𝑡2 =𝑡2

′ +𝜐0𝑐2𝑎

1−𝜐0

2

𝑐2

𝑡2 − 𝑡1 =𝑡2

′ − 𝑡1′

1 −𝜐0

2

𝑐2

⇒ ∆𝑡 =∆𝑡′

1 −𝜐0

2

𝑐2

Жишээ: 2 үйл явдал 𝐾 ′ системд тайван байгаа нэг бие дээр

болсон гэж үзье. Бие 𝐾 системтэй харьцангуй 𝜐0 хурдтай

хөдөлнө. Тэгвэл Δ𝑡′-ийг биетэй хамт байгаа цаг гэж үзэж

болно. Үүнийг хувийн цаг гэдэг. Түүнийг 𝜏 үсгээр тэмдэглэвэл

Δ𝑡′ = 𝜏 болно.

Δ𝑡′ = Δ𝑡 1 −𝜐0

2

𝑐2 (5.14)

∆𝑡 − нь цаг хөдөлж байгаа системд хэмжсэн хугацаа

Энэ томъѐоноос хувийн хугацаа биеийн хөдөлж буй систем

дэх цагаас үргэлж бага байна. Эндээс хөдөлж байгаа цаг удаан

явна. Үүнийг туршлагаар батлах жишээ авч үзье. Сансрын


туяанд 𝜇 −мезон буюу мюон гэдэг бөөмсүүд байдаг. Эдгээр

бөөмс нь тогтворгүй бөгөөд аяндаа задардаг. Эдгээрийн

дундаж амьдрах хугацаа нь 2 ∙ 10−6с. Гэрлийн хурдтай хөдөлх

мюонууд 600м зам туулна. Гэвч ажиглалтаар мюогууп

20 − 30км өндөрт үүсч газрын гадарга руу хангалттай

хэмжээтэй ирдэг. Энэ 2 ∙ 10−6с нь мюоны амьдрах хувийн нас

бөгөөд түүн дээрх цагаар хэмжигдэнэ. Туршлагаар хэмжигдэх

хугацаа нь газартай холбоотой цаг болно. Иймээс туршлагаар

мюон 600м илүү зам туулах нь гайхалтай зүйл биш. Энэ зай нь

мюонтай хамт байгаа ажиглагчийн Дэлхий хүртэл явах замын

агшилт болно.

5-7-4 Хурдыг нэмэх ба хувиргах

𝜐𝑥 =𝑑𝑥

𝑑𝑡 𝜐𝑦 =

𝑑𝑦

𝑑𝑡 𝜐𝑧 =

𝑑𝑧

𝑑𝑡

𝜐𝑥′ =

𝑑𝑥 ′

𝑑𝑡 ′ 𝜐𝑦

′ =𝑑𝑦 ′

𝑑𝑡 ′ 𝜐𝑧

′ =𝑑𝑧 ′

𝑑𝑡 ′

𝑑𝑡 =𝑑𝑡′

1 −𝜐0

2

𝑐2

𝑑𝑥 =𝑑𝑥 ′ + 𝜐0𝑑𝑡

′

1 −𝜐0

2

𝑐2

𝜐𝑥 =𝜐𝑥

′ +𝜐0

1+𝜐0𝜐𝑥 ′

𝑐2

𝜐𝑦 =𝜐𝑦

′ 1−𝜐0

2

𝑐2

1+𝜐0𝜐𝑥

′

𝑐2

𝜐𝑧 =𝜐𝑧

′ 1−𝜐0

2

𝑐2

1+𝜐0𝜐𝑥𝑐2

(5.15)

5-7-5 Импульсын релятив илэрхийлэл

Ньютоны тэгшитгэл Галилейн хувиргалтаар инвариант.

Харин Лоренцын хувиргалтанд инвариант биш. Тухайлбал

Лоренцын хувиргалтанд импульс хадгалагдах хууль

биелэхгүй. Зураг 67,1

Жишээ нь: 𝐾 системд бөмбөгүүд х тэнхлэгийн дагуу өөд

өөдөөсөө ижил хурдтай явна гэж үзье.

𝜐𝑥1= 𝜐0 𝜐𝑥2

= 𝜐0


(𝜐0-нь 𝐾 ба 𝐾′ системийн харьцангуй хурд). Энэ тохиолдолд

харимхай биш мөргөлдөөний дараа бөмбөгууд зогсоно.

𝑚𝜐0 −𝑚𝜐0 = 𝑚 + 𝑚 𝜐′ 𝜐′ = 0

𝐾 системд импульс хадгалагдаж байна. 𝐾 ′ системд

Мөргөлтийн өмнөх хурдууд 𝜐𝑥1′ = 0 𝜐𝑥1

′ = −2𝜐0

1−𝜐0

2

𝑐2

Мөргөлтийн дараа 𝜐𝑥1′ = 𝜐𝑥2

′ = −𝜐0 болно.

Тэгвэл мөргөлтийн өмнөх нийлбэр импульс 2𝑚𝜐0

1+𝜐0

2

𝑐2

бол

мөргөлтийн дараа −2𝑚𝜐0 болно. Хэрэв 𝜐0 ≪ 𝑐 бол импульс

хадгалагдах хууль биелнэ. Гэвч их хурдтай тохиолдолд 𝐾 ′

системд импульс хадгалагдахгүй.

Лоренцын хувиргалтаар импульс хадгалагдах хууль

инвариант байх импульсын илэрхийллийг олъѐ. Биеийн

импульсыг 𝑝 = 𝑚𝑓(𝜐)𝜐 гэж бичье. 𝜐 –хурд, 𝜐 -хурдны

модуль, 𝑓(𝜐) –𝜐-аас хамаарсан нэгжгүй функц. 𝜐 ≪ 𝑐 үед

𝑓 𝜐 = 1 байх ѐстой.

𝑚 масстай 2 адил биеийн харимхай мөргөлдөөнийг

тэдгээрийн инерцийн төвийн системд авч үзье. Энэ үед

биеүдийн хурд хэмжээгээрээ ижил чиглэлээрээ эерэг байна.

Энерги ба импульс хадгалагдах хуулиар мөргөлдсөний дараа

мөн ийм хурдтай байх ба хурдны чиглэлүүд нь эсрэг байна.

Биеийн хурд (𝑥,𝑦) хавтгайд мөн х тэнхлэгийн хувьд тэгш

хэмтэй байхаар координатын системийг сонгоѐ. 𝐾 системээс 2-

р бие 𝑦 ′ тэнхлэгтэй параллель хөдлөх 𝐾 ′ системд шилжье. Энэ

системд мөргөлтийг зурагт харуулсан.

Зураг 5- 8


Мөн үүнтэй адил 1-р бие 𝑦 тэнхлэгтэй параллель хөдлөх 𝐾

системд хөдөлгөөнийг авч үзье.

Зургаас 𝐾 системд биеүдийн нийт импульсын х байгуулагч

хадгалагдана. Мөн 𝑦 байгуулагч хадгалагдах ѐстой. Импульс

хадгалагдах хуулийг бичвэл:

𝑚𝑓 𝑤 −𝑤 + 𝑚𝑓 𝜐2 + 𝑢2 𝑢

= 𝑚𝑓 𝑤 𝑤 + 𝑚𝑓 𝜐2 + 𝑢2 −𝑢

𝑓 𝜐 -хурдны модулиас хамаарна. Иймээс 𝑓 𝜔 − 𝜔 −ийн

модулиас

𝑓 𝜐2 + 𝑢2 − 𝜐2 + 𝑢2 хурдны модулиас хамаарна.

𝑓 𝑤 𝑤 = 𝑓 𝜐2 + 𝑢2 𝑢

Хурдыг нэсэх дүрмийг ашиглавал

𝑢 = 𝑤 1 −𝜐0

2

𝑐2

𝑓 𝑤 = 𝑓 𝜐2 + 𝑢2 1 −𝜐0

2

𝑐2 (5.16)

Зураг 5- 9


𝑤-нь 𝑐-ээс олон дахин бага (𝑢 −бас бага болно) бол 𝜐-нь

𝑐 −тэй жишихүйц болно. Биеүд 𝑥 −тэй бараг параллель

хөдөлнө. Тэгвэл 𝑓 𝜔 = 1 гэж болох ба (𝜐 ≪ 𝑐 үед импульс

𝑝 = 𝑚𝜐 байх ѐстой) 𝜐2 + 𝑢2 ≈ 𝜐 болно. 𝜐 −нь хурдны 𝑥

байгуулагчийн хэмжээ биш харин хурдны хэмжээ болно.

1 = 𝑓 𝜐 1 −𝜐0

2

𝑐2

𝑓 𝜐 =1

1−𝜐0

2

𝑐2

(5-17)

Эндээс релятив импульсыг

𝑝 =𝑚𝜐

1−𝜐0

2

𝑐2

гэж бичнэ.

𝜐 ≪ 𝑐 үед 𝑝 = 𝑚𝜐 болно.

𝑚 =𝑚0

1−𝜐0

2

𝑐2

(5-18)

𝑚0 −тайвны масс. Масс нь хурдаас хамаарах инвариант биш

хэмжигдэхүүн.

Лоренцын хувиргалтанд инвариант Ньютоны II хуулийн

тэгшитгэл бичье.

𝑑

𝑑𝑡

𝑚𝜐

1 −𝜐2

𝑐2

= 𝐹

тэгшитгэлийн 2 талыг 𝑑𝑆 = 𝜐 𝑑𝑡 шилжилтээр үржүүлье.

𝑑

𝑑𝑡

𝑚𝜐

1 −𝜐2

𝑐2

𝜐 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑑𝑆

𝑑𝑇 =𝑑

𝑑𝑡

𝑚𝜐

1 −𝜐2

𝑐2

𝜐 𝑑𝑡 = 𝜐 𝑑

𝑚𝜐

1 −𝜐2

𝑐2


𝑑𝑇 = 𝜐

𝑚𝑑𝜐

1 −𝜐2

𝑐2

+𝑚𝜐 𝜐 𝑑𝜐 /𝑐2

1 − 𝜐2/𝑐2 3/2

=𝑚𝑑 𝜐2/2

1 − 𝜐2/𝑐2 3/2

=𝑚𝑐2𝑑 𝜐2/𝑐2

2 1 − 𝜐2/𝑐2 3/2= 𝑑

𝑚𝑐2

1 −𝜐2

𝑐2

⟹

𝑇 =𝑚𝑐2

1−𝜐2

𝑐2

+ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (5-19)

𝜐 = 0 кинетик энерги тэг болох ѐстой учраас 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = −𝑚𝑐2

𝑇 =𝑚𝑐2

1 −𝜐2

𝑐2

−𝑚𝑐2 = 𝑚𝑐2

1

1 −𝜐2

𝑐2

− 1

𝜐 ≪ 𝑐 үед 𝑇 =𝑚𝜐2

2

Чөлөөт бөөмд кинетик энергиэс гадна 𝐸0 = 𝑚𝑐2 нэмэлт

энергийг бичдэг.

𝜐 хурдтай чөлөөт бөөмийн хувьд бүрэн энерги нь

𝐸 = 𝑇 + 𝐸0 = 𝑇 + 𝑚𝑐2 болно.

𝐸 = 𝑚𝑐2

1

1 −𝜐2

𝑐2

− 1

+ 𝑚𝑐2 =𝑚𝑐2

1 −𝜐2

𝑐2

Энэ энерги нь бөөмсүүд мөргөлдөх үед хадгалагдах

хэмжигдэхүүн болдог.

𝜐 = 0 үед 𝐸 = 𝑚𝑐2 − тайваны энерги

Энэ нь бөөмийн хөдөлгөөнтэй холбоогүй, түүний дотоод

энерги болно.

𝑝 =𝑚𝜐

1−𝜐2

𝑐2

𝐸 =𝑚𝑐2

1−𝜐2

𝑐2

тэгшитгэлээс


𝑝2 =𝑚2𝜐2

1−𝜐2

𝑐2

𝑝2 −𝜐2

𝑐2𝑝2 = 𝑚2𝜐2

𝑝2 = 𝜐2 𝑝2

𝑐2+ 𝑚2 =

𝜐2

𝑐2 𝑝2 + 𝑚2𝑐2

𝐸 =𝑚𝑐2

1−𝑝2

𝑝2+𝑚2𝑐2

= 𝑝2+𝑚2𝑐2𝑚𝑐2

𝑚𝑐= 𝑝2 + 𝑚2𝑐2𝑐 (5-20)

биеийн бүрэн энергийг импульсээр илэрхийлнэ.

𝑝 ≪ 𝑚𝑐 үед 𝐸 = 𝑚𝑐2 +𝑝2

2𝑚

5-8 МАСС ЭНЕРГИЙН ХОЛБОО

Релятив массыг хэрэглэвэл 𝐸 = 𝑚𝑐2 болно. (5-21)

Өөрөөр хэлбэл биеийн энерги ба релятив масс хоорондоо

пропорциональ. Энерги Δ𝐸 хэмжээгээр өөрчлөгдөхөд релятив

масс Δ𝑚 =Δ𝐸

𝑐2 хэмжээгээр өөрчлөгдөнө. Эсрэгээрээ релятив

масс Δ𝑚 хэмжээгээр өөрчлөгдөхөд биеийн энерги Δ𝐸 = Δ𝑚𝑐2

хэмжээгээр өөрчлөгдөнө. Энэ нь релятив масс ба энергийн

харилцан холбооны хууль болно.

ГАЛИЛЕЙН ХАРЬЦАНГУЙ ЗАРЧИМ, ИНЕРЦИАЛ БИШ … · 3 s.ph101...

Documents