אובמ הקיטמתמל תיטרקסיד - bgu mathlipyansk/discrete/discrete...

201-1-9661קורס:

מבוא מתמטיקהל

דיסקרטית

חומר עיוני

דר' יוסף פצ'ניקוב, רובים ליפיאנסקי דר': יםמרצ

תשס''ט תוכן עניינים

הקבוצות. קומבינטוריקהמושגי יסוד של תורת .1נושא

3 ....................................................................................................... ההקבוצה ואיברי הקבוצ. 1 4 .......................................................................... קבוצות. קבוצת החזקה של קבוצה נתונה- תת .2 5 .............................................................................................................. פעולות בין קבוצות .3

בוצות וחיתוך קאיחוד קבוצות )א הפרש קבוצות )ב קבוצה -משלים של תת )ג

6 ............................................................... . זוגות סדורים של איברים. מכפלה קרטזית של קבוצות4 7............ עקרון החיבור ועקרון הכפל....................................................................................... . 5

עקרון החיבור. )א עקרון הכפל. )ב

7............. ים)..................................................מדגמים מקבוצות סופיות (חליפות, תמורות וצירופ .6 10 ............בינום של ניוטון. תכונות של מקדמים בינומיים . משולש פסקל..................................... . 7 11.. .............................................................................................................. עקרון האינדוקציה . 8 12............. ............................................................................................עקרון ההכלה וההפרדה .9

14 ............................................................................................................. עקרון שובך היונים .10 15 ............................................................................................................................. רקורסיה .11

א) הגדרה ודוגמאות . רקורסיה ליניארית ב) 16 .................................................................................................................. . פונקציות יוצרות12

תורת הקבולות (המשך): יחסים ופונקציות .2נושא

20 ................................................................................................................................ יחסים .1 20 ....................................................................................................זוגות סדורים . מכפלה קרטזית )א 20 .................................................................................................... וטווח הגדרה של יחס. תחום )ב 22 .................................................................................................................... תכונות של יחסים )ג 22 ............................................................................שקילות. מחלקות השקילות . קבוצת המנה יחס )ד 26 .................................................................................................................................. יחס סדר )ה

29. ............................................................................................................................ פונקציות. 2 29 .................................................................... א) הגדרה של פונקציה. תחום, טווח ותמונה של פונקציה 31 ......................................................................................... ערכיות- חד-פונקציות על ופונקציות חד ב) 32 ........................................................................................................................ הרכבת פונקציות ג) 33 .................................................................................................. פונקציה הפיכה. פונקציה הפוכה ד)

לוגיקה מתמטית .3נושא

. תחשיב הפסוקים : 1חלק

35 .................................................................................פסוקים. משתנים פסוקיים. ערכי האמת. )1 35 ..........פעולות על הפסוקים (קשרים). נוסחאות לוגיות (פסוקים). טבלאות האמת. )2 37 .............................................................ת. שקילות לוגית. גרירות לוגית.טאוטולוגיות וסתירו )3 40 ...........................................................................הצורה הדיסיונקטיבית הנורמלית של פסוק )4 41 ............................................................................................................................דואליות )5 42 ...............................................................................................שלמות הקשרים )6 43 ................................................................................................נכונות שיקולים )7

טים) דיקָ (פרֶ . תחשיב היחסים : 2חלק

45 ..................................................................מקומיים. כמתים.–nיחסים (פרדיקטים) )1 47 ..........................................................שפת תחשיב הפרדיקטים. נוסחאות . מבנים ) 2 49 .......................................שקילות של נוסחאות . פעולות על נוסחאות עם כמתים ) 3

מבוא למתמטיקה דיסקרטית 201-1-9661

מושגי יסוד של תורת הקבוצות . קומבינטוריקה 1נושא

3

מושגי יסוד של תורת הקבוצות . קומבינטוריקה .1ושא נ

תורת הקבוצות נמצאת בבסיס של מתמטיקה. ניתן להציג את הנושא במסגרת אקסיומות פורמליות אך אנו נשתמש בגישה אינטואיטיבית .

הקבוצה ואיברי הקבוצה .1

נגדיר אותו, אך נבין את הקבוצה כאוסף של מושג הקבוצה הוא מושג הבסיסי . ככזה לא

עצמים ( בעלי משמעות מתמטית ) .. נאמר 1- -ו 3, 5מבינים כי הקבוצה שכוללת את העצמים {1- ,3 ,5}לדוגמא את הסימון את העובדה שהאיבר שלה. איבריםלקבוצה הנ''ל ולחילופין כי הן שייכיםכי המספרים האלה

5}1,3,5{או A∈5: ∋מסמנים בעזרת סימון A ,3 ,5}=-{1(למשל) שייך לקבוצה 5 −∈ .: ∌מסמנים בעזרת סימון A ,3 ,5}=-{1שייך לאותה קבוצה לא 2את העובדה שמספר

A∉2 2}1,3,5{או −∉ . במקרה כללי:

Ax∈ - "x איבר של קבוצהA " או "x שייך לקבוצהA , " Ay∉ - "y אינו איבר של קבוצהA " או "y לקבוצה לא שייךA , "

אם יש להן בדיוק אותם איברים שוות. קבוצות תחשבנה הגדרה

}19,9,5{}9,5,19{סדר אזכור האברים בקבוצה אינו משנה. כך −=− גם אופן תאור של הקבוצה אינו משנה כשאומרים על שוויון הקבוצות. למשל

}910,145,14{}19,9,5{ +−+=− }19,9,5{}9,19,9,5,5,5,19{ספר האזכורים של איבר הקבוצה גם אינו משנה. כך מ −−=−

},,{לדוגמא קבוצה 321 aaa הדבר תלוי בקיום - יכולה לכלול איבר אחד, שניים, או שלושה

321שוויון בין האיברים ,, aaa .

. אינסופיותקבוצות ו סופיותיש קבוצות

קבוצה יכולה להיות איבר של קבוצה אחרת.

}}1{{, }}9,1,{}3,19{{, }9,1,}3,19,{8{: דוגמאות

1}1{}}1{{ -צריך לשים לב ש ≠≠

}}9,1,{8{}8,}1,9,{1{: דוגמאות ≠ ,}8},1,9{,8{}8},9,1{{ = ,}}1{{

קבוצות המספרים המוכרות.

, N=}3,2,1{...,המספרים הטבעיים :

0}3,2,1,0{...,המספרים השלמים לא שליליים : =N

,...}3,2,1,0,1,2,3{...,המספרים השלמים : −−−=Z C, המספרים המרוכבים : R, המספרים הממשיים : Qהמספרים הרציונליים :

נשתמש בכתיבה נוספת לקבוצות.

}|{ - קבוצת כל העצמים המקיימים את התנאי xתנאי}|{ -המקיימים את התנאי Sקבוצת כל העצמים בקבוצה ∋Sxתנאי



4

: דוגמאות

1 .,...}6,4,2{ } =N∈x ו - x 2–מתחלק ב |x { ,...}6,4,2{ } =x 2–מתחלק ב |N∈x {

2} .y 6–מתחלק ב |N∈y } ={y ו 2–תחלק ב מ- y 3–מתחלק ב |N∈y {≠ ≠ } y או 2–מתחלק ב- y 3–מתחלק ב {

או שניהם מתקיימים . Bאו Aפירושו שאו B או Aבמתמטיקה . הערה

קבוצה שאין לה איברים. - Ø הקבוצה הריקה

x∌∅מתקיים xלכל

} pישרים שונים המקבילים זה לזה | 2נקודה במישור שדרכה עברים p: {דוגמא

לא תמיד ברור מראש שהקבוצה המוגדרת ע''י איזושהי תנאי היא ריקה. למשל קבוצה ם יכולה לכלול את בעלי החיים ממשפחת הדינוזאורים החיים כיום יכולה להיות ריקה, אך ג

שנה. 130המפלצת מלוך נס. או קבוצת כל האנשים בגיל מעל

Ø ,{Ø {≠ }Ø {≠ Ø: {{ הערה

קבוצות. קבוצת החזקה של קבוצה נתונה.-תת )2

אם Aמקיף את Bאו לחילופין Bקבוצה של קבוצה -היא תת A. נאמר כי קבוצה הגדרה . Bהיינם גם איברים של Aכל איברי

BA⊆ - יסמן ש- A היא תת קבוצה שלB .

CRQZN. 1. דוגמאות ⊆⊆⊆⊆ 2 .AA⊆ לכל קבוצהA , 3 .A⊆ Ø לכל קבוצהA - לפי הגדרה.

ABוגם ⊇BAאם ורק אם A=B: טענה ⊆

BA⊄ - יסמן ש- A תת קבוצה של אינהB .

ABוגם ⊅BA - יתכן ש ⊄. }9,0{}7,9{למשל }7,9{}9,0{ -ו ⊅− ⊄−

מקיפה B-או ש Bשל אמיתית קבוצה- תת A -ונאמר ש ⊃BAיסמן A≠Bאך ⊇BAאם . Aאת ממש

היינה: Aשל קבוצת החזקהקבוצה. A. תהא הגדרה

P(A)= {B | A תת קבוצה של B } = }|{ ABB ⊆

קבוצות של הקבוצה הנתונה.- במילים אחרות קבוצת החזקה היא קבוצת כל תת

: דוגמא P({1,2,3})= { Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, (1,3}, {2,3},{1,2,3}}



5

פעולות בין קבוצות .3

א) איחוד קבוצות וחיתוך קבוצות

קבוצות. B - ו A. תהנה הגדרה הייני B -ו Aשל האיחוד

BA∪ = {x | B -שייך ל x או A -שייך ל x } הייני B -ו Aשל החיתוך

BA∩ = {x | B -שייך ל x וגם A -שייך ל x }

}3,2,1{}5,4,3,2{}5,4,3,2,1{: דוגמא =∪ }3,2{}5,4,3,2{}3,2,1{ =∩

קבוצות. - A, B, Cתהינה טענה:

ABBA(א) ∪=∪ ABBA(ב) ∩=∩ )()((ג) CBACBA ∪∪=∪∪ )()((ד) CBACBA ∩∩=∩∩ )()()((ה) CBCACBA ∩∪∩=∩∪ )()()((ו) CBCACBA ∪∩∪=∪∩

הוכחה ע''י חלוקה למקרים.

∩=∅כאשר קבוצות זרותות נקרא B -ו A. קבוצות לא ריקות הגדרה BA.

הפרש קבוצות. )ב

קבוצות. B - ו A. תהנה הגדרה הייני B -ל Aבין ההפרש

BA \ = {x | B -לא שייך ל x ו A -שייך ל x }

Ø = A \A. 1: הערות 2 .A \ Ø = A 3 .= Ø B \ A אם ורק אםBA⊆ .

קבוצות . X, B, A(כללי דה מורגן) . תהינה :טענה\)()\()\((א) BXAXBAX ∩=∪ \)()\()\((ב) BXAXBAX ∪=∩.

הוכחה. \)()\()\((א) נראה תחילה כי BXAXBAX ∩⊆∪

\)(יהא BAXx BAx - ו ∋Xx. אזי ∋∪ ∪∉ AXx. לכן ∌Bx - ו ∌Axמכאן BXxוגם ∋\ \∈ )\()\(קבלנו BXAXx כנדרש . ∋∩

)\()\(\)(שנית נראה כי BAXBXAX ∪⊆∩ , )\()\(יהא BXAXx BXx. אזי ∋∩ AXx - ו ∋\ \∉ ∋Ax∉ ,Bx∉ ,Xxלכן BAxמכאן \)(ולכן ∌∪ BAXx כנדרש. ∋∪\)()\()\(אז מתקיים BXAXBAX ∩=∪ .

(א) . -באופן דומה ל )ב(



6

קבוצה - משלים של תת )ג(

AB-כך ש Bקבוצה -ותת Aקבוצה תהי ABקבוצה -. תת⊃ B קבוצה-לתת משליםנקראת ⊃∩=∅כאשר A בקבוצה BB ו-ABB B קבוצה-לתת משלים. במילים אחרות ∪= .Bשלא שייכים לקבוצה Aקבוצה זה אוסף כל האיברים של A בקבוצה

מורגן):-מתקיימות הנוסחאות הבאות (חוקי דו

BABA(א) ∩=∪ BABA(ב) ∪=∩

}7,5,3,1{...,}8,6,4,2{...,: תהיו דוגמא == evod NN.

NNNN evod ⊂⊂ , ,∅=∩=∪ evodevod NNNNN ,

odevevodלכן NNNN == ,

זוגות סדורים של איברים. מכפלה קרטזית של קבוצות). 4

. זוג סדור הוא זוג עצמים (לאו דווקא שונים) שבו נתון סדר , ז''א נתון איזה עצם הגדרה הראשון ואיזה השני .

, 4ואיבר השני 3סדור שאיברו הראשון הזוג ה - <3,4>. דוגמא , 3ואיבר השני 4הזוג הסדור שאיברו הראשון - <4,3>

<3,4> ≠ <4,3> -נדגיש ש

, 3ואיבר השני 3הזוג הסדור שאיברו הראשון - <3,3>

לזוגות סדורים . ∋. לא משתמשים בסימון הערה

. c = dוגם a = bאם ורק אם >c,d> = <a,b<. נאמר כי שוויון זוגות סדורים

באופן דומה נדבר על שלשות סדורות, רביעיות סדורות וכו' .

הגדרת מכפלה קרטזית.

קבוצות. נגדיר A, Bתהינה

},|,{ BbAabaBA ∈∈><=×

. B בקבוצה Aקבוצה מכפלה קרטזיתנקראת ×BAהקבוצה

ABBAבדרך כלל ×≠×

. 1דוגמא }4,2,3,2,1,2,4,1,3,1,1,1{}4,3,1{}2,1{ ><><><><><><=× }2,4,1,4,2,3,1,3,2,1,1,1{}2,1{}4,3,1{ ><><><><><><=×

. 2דוגמא },|,{ RRRR ∈∈><=× yxyx מישור-

. 3דוגמא ØØ =× A לכל קבוצה A מתקיים

. Ø -(כי אין זוגות סדורות שהאיבר הראשון שלהם שייך ל



7

נעבור עכשיו למקרה חשוב מאוד כאשר מתבוננים רק קבוצות סופיות . חקירת קבוצות סופיות .קומבינטוריקהמהווה תוכן של

. עקרון החיבור ועקרון הכפל). 5

עקרון החיבור. )ג

קבוצות הזרות זו לזו ( כלומר -תת mX…,1X איברים. יהיו nקבוצה סופית של Xתהי

∩=∅ j - ו iלכל ji XX 1,...,{כאשר{, mji ∈ ,i≠j כך ש (- Um

iiXX

1=

∑. אז ==

=m

iiXX

1

|||| .

). X(ז''א עוצמה של Xספר האיברים בקבוצה | מסומן מ| X -נעיר שב

, 2X U 1X= X= {3,4,5}, 2X= {1,2}, 1X {1,2,3,4,5} =. דוגמא

| = 5 2X| + | 1X| = | X| = 3, | 2X| = 2, | 1X| .

עקרון הכפל. )ד

מאותה קבוצה bר כך ניתן לבחור איבר אפשרויות ואח k -ב Xמהקבוצה aאם ניתן לבחור אפשרויות . kl - ב <a,b>אפשרויות אז ניתן לבחור הזוג הסדור l -ב

C -ל A -דרכיך מ 6דרכים אז יש 3יש C -ל B - דרכים גם מ 2יש B -ל A-. אם מדוגמא . <B :<1,3>, <1,4>, <1,5>, <2,3>, <2,4>, <2,5דרך

.דיאגרמת עץעל עיקרון הכפל מבוססת

דרכים ניתן להציג ככה: 6בדוגמא ההחרונה

) . מדגמים מקבוצות סופיות (חליפות, תמורות וצירופים). 6

}1,...,{דוגמא איברים (ל nשל Aתהי נתונה קבוצה סופית nNn = .(

איברים. נאמר במקרה זה שאנו מוציאים kנברר בכמה דרכים שונות אפשר להוציא מתוכה מתוך הקבוצה. k מדגם בגודל

m של חליפהאיברים נקראת nאיברים בקבוצה של mקבוצה סדורה של -. תת1הגדרה איברים ) nהתוך קבוצה של mבגודל סדור מדגם. (או n מתוך איברים

1 3 4 A B C 2 5

3 C 1 B 4 C A 5 C 2 3 C B 4 C 5 C



8

. n איברים שונים מתוך k היא שורה של n איברים מתוך k במילים אחרות , חליפה של

יפות היינן חל <3,2> ,<3,1> ,<2,3> ,<2,1> ,<1,3> ,<1,2>. אז A {1,2,3} =. תהי 1דוגמא . 3מתוך 2של

-שווה ל nמתוך kמעיקרון הכפל נובע כמספר כל החליפות של

444 3444 21

kגורמים

knnnknP )1)...(1(),( +−−= (1)

-ה לשוו 9מתוך 4לדוגמא מספר כל החליפות של

P(9, 4) = 9 ·8 ·7 ·6 = 3024

גברים . כמה זוגות שונים 8כלות בוחרים חתנים מתוך 5לפי תור שנקבע בהגרלה, .2דוגמא יכולים להיווצר כתוצאה מבחירה זה ?

החתנים 5. שני בחירות יהיו שונות, אם 8מתוך 5כמתואר היא חליפה של . כל בחירה פתרון

שנבחרו אינם זהים או, אם הם זהים, אז הם נבחרו בסדר שונה. לכן מספר הזוגות האפשריים הוא:

P(8, 5) = 8 ·7 ·6 ·5 ·4 = 6720

איברים . nשל תמורהנקראת n איברים מתוך n . חליפה של2הגדרה

-איברים שווה ל nמספר כל התמורות של

!1...)1(),()( nnnnnPnP =⋅⋅−⋅== (2)

אורחים על ספה ? 6בכמה אופנים אפשר להושיב .3דוגמא

איברים, ומספר התמורות האלה הוא : 6. כל "הושבה" כזו היא תמורה של פתרון

P(6) = 6! = 720

ביב שולחן עגול, כאשר אין הבדל בין אורחים ס 6בכמה אופנים אפשר להושיב . 4דוגמא המקומות סביב השולחן מנקודת ראותם של האורחים ?

אחד האורחים. נושיב אותו במקום כלשהו ליד השולחן. כיוון שהשולחן עגול a. יהי פתרון יושב. שאר aו, הרי אין חשיבות באיזה מקום ואין, כאמור, הבדל בין המקומות סביב כסאות . 5האורחים מתיישבים אז למעשה על ספסל (אמנם מעוגל), המורכב מאשר 5 מספר האפשרויות השונות לעשות זאת הוא :

P(5) = 5! = 120

. עם חזרות nאיברים מתוך kשל חליפהנקראת n איברים מתוך k . שורה של3הגדרה

- עם חזרות שווה ל nמתוך kמספר כל החליפות של

k

kפעמים

nnnnknP =⋅⋅⋅= 43421 ...),( (3)

ספרתיים לא כוללים אפס ? -4כמה יש מספרים .5דוגמא

עם חזרות ומספר 9איברים מתוך 4ספרתי כזה הוא חליפה של - 4. כל מספר פתרון החליפות האלה הוא :

P(9,4) = 94 = 6561



9

איברים mשל צירוףאיברים נקראת nאיברים בקבוצה של mקבוצה של -. תת4הגדרה

איברים ) nמתוך קבוצה של mבגודל סדור לא מדגם. (או nמתוך

קבוצות .-את השוויון של צירופים נבין כשוויון של תת

. 3מתוך 2היינן צירופים של {2,3} ,{1,3} ,{1,2}. אז A {1,2,3} =י . תה6דוגמא

{2,1} = {1,2}נעיר כי לדוגמא

- שווה ל nמתוך k. מספר כל הצירופים של טענה

!

)1)...(1(

)(

),(),(

k

knnn

kP

knPknC

+−−== (4)

. P(n,k)=C(n,k)·P(n)חליפות. לכן לפי עקרון החיבור !k. לכל צירוף מתאימות יצת ההוכחהסק

),(לצירוף knC שלk מתוךn משתמשים גם בסימונים

k

nk -ו

nC .

אז נקבל את הנוסחא: !(n-k)פי ) 4אם נכפיל מונה ומכונה בנוסחא (

( !)!(

!

kkn

n

k

n

−=

( או

!)!(

!),(

kkn

nknC

−= (5)

-מהנוסחא האחרונה ברור ש

)6 (

−=

kn

n

k

n .

. מכאן נובע 1 = !0נזכור כי לפי הגדרה

)7 (10

=

=

n

n

n

. טענה

)8 (

−

−+

−=

1

11

k

n

k

n

k

n

) ונקבל :5. נשתמש בנוסחא (הוכחה

=

−=

−+−−

=−−

−+

−−−

=

−

−+

−

k

n

kkn

n

kkn

kknn

kkn

n

kkn

n

k

n

k

n

!)!(

!

!)!(

)()!1(

)!1()!(

)!1(

!)!1(

)!1(1

11.

תלמידים למשלחת מסוימת. כמה משלחות שונות 2תלמידים. יש לבחור 30. בכיתה 7דוגמא אפשר לבחור ?

קבוצות -(מספר תת 30מתוך 2. מספר המשלחות האפשריות הוא כמספר הצירופים של פתרון ן רק חשוב מי נכנס למשלחת , לסדר הבחירה אין ). כא 30איברים מתוך 2של חשיבות. לכן התשובה היא :

43521

29302

30=

⋅⋅

=



10

מה ספרים שונים באנגלית. בכ 8 -ספרים שונים בעברית ו 10. על מדף מונחים 8דוגמא ספרים 3 -ספרים בעברית ו 3אופנים אפשר לבחור מתוך ספרים אלה חבילה המכילה באנגלית ?

ספרים בעברית. מספר האפשרויות לעשות זאת הוא כמספר הצירופים 3. תחילה נבחר פתרון : 10איברים מתוך 3של

120321

89103

10=

⋅⋅⋅⋅

=

-את הספרים באנגלית אפשר לבחור ב

56321

6783

8=

⋅⋅⋅⋅

=

ישיה של ספרים באנגלית מהוות יחד אופנים. כל שלישיה של ספרים בעברית וכל של חבילה אחת, וכל החבילות הנבנות בדרך זו שונות זו מזו. לכן, המספר הכולל של . 6720 = 56 · 120חבילות שונות ניתן לחישוב בעזרת עקרון הכפל:

בינומיים . משולש פסקל. בינום של ניוטון. תכונות של מקדמים). 7

. x + aאיבר -של דו nבינום של ניוטון היינו נוסחא לחישוב חזקה טבעית

)1 (∑=

−

=+

n

k

knkn axk

nax

0

)(

טבעי את הנוסחאות הידועות nהנוסחא הזו מכלילה למקרה של כל

222 2)( aaxxax +±=±

322233 33)( axaaxxax ±+±=± . סקיצת ההוכחה

.∑=

−−=++=+

n

k

knkknk

nפעמים

n axaxaxax0

,))...(()( α

knkכל מקדם −,α שווה למספר האיברים הדומים עםknkax בפולינום נתקבל בפתיחת −

naxהסוגריים בביטוי )( מקומות kוהמספר הזה שווה למספר האפשרויות של בחירת + מקומות. nים ) מתוך – x - (ל

.נדוקציהיאגם ניתן להוכיח את הנוסח בעזרת

דמים בינומיים .מק) נקראים 1. מקדמים של נוסחא (הגדרה

: תכונות של מקדמים בינומיים

1 (

−=

kn

n

k

n , 2 (1

0=

=

n

n

n ,3 (

−

−+

−=

1

11

k

n

k

n

k

n,

4 (nn

k k

n2

0

=

∑

=

,5 (0)1(0

=

−∑

=

n

k

k

k

n .

) הוכחנו בסעיף הקודם . 3 –) 1את התכונות ) בהצבות 1) נתקבל מהנוסחא (5 –) 4תכונות

x = a = 1 ו - x = - a = 1 .



11

). ניתן להציג מקדמים בינומיים בטבלה אינסופית : 3 - ). 1עקב התכונות

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

ית של המשולש היא שורה של מקדמים -n –השורה ה . משולש פסקלהטבלה הזו נקראת )(1 - בינומיים ל −+ nax .

)1(12מצאו מקדם הכי גדול של הפולינום . דוגמא +x .

-במשולש פסקל , כלומר הוא שווה ל 13-. המקדם המבוקש נמצא באמצע של שורה ה פתרון

924654321

789101112

!6!6

!126

12=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅

=

.

. עקרון האינדוקציה). 8

ידוע עקרון האינדוקציה מתמטית (רגילה) :

. אם מתקיימים שני התנאים: Zקבוצה של -תת n0, n0n={ A ,20+1+{...,תהא

, αמתקיימת תכונה מסוימת 0nלמספר )1(0nnלכל מספר )2( . n+1מתקיימת גם עבור אז היא nמתקיימת עבור α, אם תכונה ≤

. αמקיים את התכונה Aאזי כל איבר של

. (n+1)2ועד בכלל הוא 2n+1עד 1- זוגיים מ- המספרים האי nSהוכח כי סכום .1דוגמא

. 1S(1+1) = 4 = (1+1·2)+1 =2מוצאים 0n 1 = - ) ל1(. הוכחה . n+1S (1+(n+1)) =2נוכיח כי nS (n+1) =2) בהנחה כי 2(

מקבלים: Sn+1 = Sn +( 2(n+1)+1) = (n+1)2 +2(n +1)+1 = ((n+1)+1)2

זרת האינדוקציה את נוסחת בינום של ניוטון. הוכח בע .2דוגמא

∑מקבלים 0n 1 = -) עבור1. (הוכחה=

−

=+⇔+=+

1

0

11 1)(

k

kkaxk

axaxax

∑בהנחה כי )2( =

−

=+

n

k

knkn axk

nax

0

∑כי נוכיח )(+

=

+−+

+=+

1

0

11 1)(

n

k

knkn axk

nax.

=

+

=

+=++=+ ∑∑∑

=

+−

=

−+

=

−+n

k

knkn

k

knkn

k

knknn axk

nax

k

nax

k

naxaxaxax

0

1

0

1

0

1 )())(()(

=

+

−

=

+

−

= ∑∑∑∑=

+−+

=

+−

=

+−+

=

+−n

k

knkn

k

knkn

k

knkn

l

lnl axk

nax

k

nax

k

nax

l

n

0

11

1

1

0

11

1

1

11



12

=

+

+

−

+

= +

=

+−

=

+−+ ∑∑ 10

1

1

1

101

01n

n

k

knkn

k

knkn axn

axk

nax

k

nax

n

n

=

+

+

−+

= +

=

+−+ ∑ 10

1

101

01n

n

k

knkn axn

axk

n

k

nax

n

n

∑∑+

=

+−+

=

+−+

+=+

++=

1

0

11

1

11 11 n

k

knknn

k

knkn axk

naax

k

nx

): עקרון האינדוקציה השלמהניתן להכליל את עקרון האינדוקציה לצורה הבאה (הנקראת

תכונה מסוימת , שאותה יכולים לקיים (או יכולים לא לקיים ) מספרים שלמים שאינם αתהי שלם נתון. n-קטנים מ

אם מתקיימים שני תנאיים:1. n מקיים אתα , , α, מקיים את k ,n ≤ k < m כלאפשר להוכיח שאם m > nאם עבור כל .2

, αמקיים את m אז גם . αמקיים את התכונה n -אזי כל מספר שלם שאינו קטן מ

נובע n ≤ k < mבתחום k כלעבור αתכונה מנכונות של m > nאחרות, אם לכל במילים . n - ממתקיימת לכל המספרים השלמים הגדולים αתכונה אזי mנכונות של אותה תכונה עבור

ניתן להציג כמכפלת מספרים ראשוניים . 1 - . הוכיחו כי את כל מספר טבעי הגדול מ1דוגמא

התכונה הנתונה מתקיימת . n=2. ברור כי עבור הוכחה . בהנחה שהתכונה הזו מתקיימת לכל מספר 2 -מספר טבעי שרירותי הגדול מ mהיה k 2בתנאי ≤ k < m נראה שהיא מתקיימת גם עבור ,m . -כך ש r -ו qמספר ראשוני אז התכונה נכונה . אם לא אז קיימים מספרים mאם m = pq ,p >1 ,q > 1 ,p<m ,q < m . פרים לפי ההנחה ניתן להציג את המסq כאותה צורה . mכמכפלות גורמים ראשוניים . לכן ניתן להציג גם r -ו

21ניתן להציג בצורה m≤8. הוכיחו כל מספר טבעי 2דוגמא 53 llm כאשר =+

,...}2,1,0{, 21 ∈ll .

251031005339,15138 . 1. הוכחה ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅= . )3(3אז אפשר לרשום m<10. אם 2 +−= mm בהנחה שתכונה מתקיימת עבור כל .k

mkבתחום 21קיימת הצגה 8≥> 533 llm 21ולכן −=+ 5)1(3 llm , ז.א. =++ . mהתכונה מתקיימת גם עבור

. עקרון ההכלה וההפרדה). 9

הן שתי קבוצות סופיות אזי 2A - ו 1Aאם

|||||||| 212121 AAAAAA ∩−+=∪ .

נוסחא במקרה של שלוש קבוצות מתקיימת ה

|||||||||||||||| 321323121321321 AAAAAAAAAAAAAAA ∩∩+∩−∩−∩−++=∪∪ .

שרירותי. nנכליל את הנוסחאות למקרה של

נסמן :

∑ -הקבוצות nסכום מספרי האיברים בכל =

=n

iiAS

11 || ,



13

סכום מספרי האיברים בכל

2

n∑ - n - חיתוכים של שתי קבוצות מתוך ה

≤<≤

∩=nji

ji AAS1

2 || ,

סכום מספרי האיברים בכל

3

n∑- n - חיתוכים של שתי קבוצות מתוך ה

≤<<≤

∩∩=nkji

kji AAAS1

3 ||,

............................. ....... |...| -הקבוצות nסכום האיברים בחיתוך כל 21 nn AAAS ∩∩∩= .

. משפט ההכלה וההפרדהnAAAקבוצות סופיות nנתונות ,...,, nAAA. מספר איברי קבוצת האיחוד 21 ∪∪∪ הוא: 21...

∑=

−=−+++−=∪∪∪n

ii

in

nn SSSSSAAA

132121 )1()1(...|...|

. ללא הוכחה

. עקרון ההכלה וההפרדההמשפט הזה נותן

את עקרון ההכלה וההפרדה ניתן להגדיר בצורה אחרת .

nαααאיברים , Nקבוצה סופית של - Xתהי ,...,, אוסף - iXאיזהו תכונות . נסמן - 21

, iαבעלי תכונה Xשל כל האיברים

|...|),...,(211 kk iiiii XXXN ∩∩∩=αα - מספר האיברים בעליk תכונותiki αα ,...,1 ,

|)...(\| 210 nXXXXN nαααמספר האיברים בלי שום התכונות - =∪∪∪ ,...,, 21 .

אז מתקיימת הנוסחא:

nn SSSNN )1(...210 −+−+−=

∑כאשר ≤<<≤

=nii

iik

k

kNS

...1 1

1),...,( αα .

)()(),(אז n = 2בפרט, אם 21210 αααα NNNNN +−−= ,

אז n = 3אם +++−−−= ),(),()()()( 31213210 ααααααα NNNNNNN

),,(),( 32132 ααααα NN −+

, X=}2,1,0,...,10{. תהי דוגמא 1α – " x , " 2הוא מספר זוגיα – " x 3" , 6 - גדול מα – " x 8ובין 2נמצא בין . " ? 1α ,2α ,3αאין אף אחד מהתכונות Xלכמה איברים של

, )N ,) = 61αN( ,) = 42αN( ,) = 53α(N ,) = 22α ,1αN( ,) = 23α ,1αN =11. פתרון ) = 13α ,2αN( ,) = 03α ,2α,1 αN( .

0N 11 =- 6- 4- 1 + 2 + 2 + 5- 1 = 0 אז " ) . 1( זה מספר "

פיק קטן ומספר תכונות לא כל כך קטן,מס X. במקרים כאשר מספר איברים של קבוצה הערה חישובים ישרים נותנים דרך יותר קצרה (כמו בדוגמא האחרונה)

, X=}2,1,0,...,100{נמליץ לפתור את הדוגמא האחרונה בתנאיים: 1α – " x , " 2הוא מספר זוגיα – " x 3" , 23 -גדול מα – " x 68ובין 42 נמצא בין "



14

. עקרון שובך היונים). 10

נביא שתי דוגמאות שנראות מעוד טריביאליות. מכל שלושה אנשים יש שניים שהם מאותו מין .א אנשים ישנם לפחות שניים שנולדו באותו חודש. 13מכל .ב

הטענה הבאהבאופן כללי אפשר להכליל את האמירות הללו ולנסח את או עקרון דיריחלה): עקרון שובך היונים( שנקראת

שובכים, אזי בהכרח קיים שובך ובו יותר מיונה אחת nיונים לתוך n+1אם משבצים (כלומר שתי יונים לפחות).

ית ניתן להוכיח אותו באינדוקציה. למרות שהעקרון הזה ברור אינטואיטיב

, ונניח כי יםכשוב kעם יונים k+1. נניח שהטענה נכונה עבור הטענה ברורה k=1עבור שובכים. היונה הראשונה משובצת לתוך שובך כלשהו. כעת אם k+1-יונים ו k+2נתונים לנו

k-היונים הנותרות משובצות ב k+1יונה נוספת משובצת לתא זה הרי שהטענה הוכחה, אחרת י יונים לפחות. בזאת הוכחנו את השובכים הנותרים ולפי הנחת האינדוקציה קיים שובך ובו שת

עקרון שובך היונים.

: הערות n+1-שובכים נכונה גם אם יש יותר מ n- ברור כי הטענה בדבר שיבוץ היונים ב .א

פחות. יונים או nיונים, ואינה נכונה אם ישנן כדאי לשים לב כי בעצם נותן עקרון שובך היונים הוכחת קיום. הוא אינו יכול לספק לנו .ב

כל מידע על אותו שובך (צפוף) בו נמצאות יותר מיונה אחת, או על מספרים של שובכים צפופים אלה. ניתן כמובן להכליל את עקרון שובך היונים באופן הבא: .ג

אחדשובך לפחותשובכים, אזי קיים kלתוך שיש לשבצן יונים nk+1 נתונותאם . יונים) n+1(כלומר לפחות יונים n-מיותר נמצאות ובו

דוגמאות.

ספרתיים. הוכח כי ניתן לבחור מביניהם שני מספרים כך שההפרש שלהם הוא מספרים דו 12. נתונים 1 מספר דו ספרתי בעל שתי ספרות שוות.

שהן שונות. לפי עקרון 11שאריות, מתוכן יתכנו רק 12ונקבל 11-המספרים ב 12. נחלק את הוכחה . הפרש זה 11-המתאימים מתחלק בשובך ביונים ישנם שתי שאריות שוות, וההפרש בין המספרים אינו אפס (כי המספרים שונים), ולכן הוא מספר דו ספרתי. ידוע כי כל מספר דו ספרתי המתחלק הוא בעל שתי ספרות שוות. 11-ב

. הוכח כי המרחק בין שתיים 1. חמש נקודות נמצאת בתוך משולש שווה צלעות בעל צלע באורך 2 . 0.5-ן ממהנקודות קט

. הישרים המחברים את אמצעי צלעות המשולש מחלקים אותו לארבעה משולשים שווי צלעות הוכחה הנקודות הנתונות מונחת באחד מתוכם. לפיכך, לפי עקרון שובך 5- . כל אחת מ0.5בעלי צלע באורך . 0.5- חקן מזו קטן מהיונים לפחות שתי נקודות חייבים להיות מונחות באותו תת משולש ומר

3 .n .הוכח כי קיימים שני אנשים שלחצו אותו מספר אנשים נפגשו במסיבה וחלקם לחצו ידיים זה לזה של ידיים.

1,0,,...1. מספרי לחיצות הידיים האפשריים הוא הוכחה −n .(אדם אינו לוחץ לעצמו את היד) , הסיבה היא שאם יש אדם (ביישן) שלחץ n−1אפשרויות אך למעשה ישנן רק nורה יש לנו לכא ידיים (כלומר את ידי יתר הנוכחים, כולל את ידו של n−1ידיים אזי לא יתכן כי ישנו אדם שלחץ 0 אפשרויות (מספר לחיצות הידיים) ולכן הטענה n−1-אנשים שיש לשבצם ל nנו הביישן). כעת יש ל ברורה.



15

רקורסיה.). 11

א) הגדרה ודוגמאות .

אם: באופן רקורסיה. אומרים שקבוצת איברים מוגדרת הגדרה

ם של הקבוצה מוגדרים בצורה מפורשת (הם משמשים כבסיס איברים אחדי )1( הרקורסיה או כערכים תחיליים) ,

האיברים הנותרים של הקבוצה מוגדרים באמצעות האיברים שכבר הוגדרו )2( גדרו באמצעותם ) . (כלומר, כל האיברים שבבסיס הרקורסיה ואלה שכבר הו

}2,1,...,1{, כאשר f(k)עם אחד, או יותר, מן הערכים f(n)אז רקורסיה קושרה את −∈ nk . נוסף לכך f(n)בצורה כזה, שאם ערכים אלה ידועים ניתן לחשב באמצעות היחס הזה את

של הרקורסיה . הערכים התחילייםאלה הם – nשל עבור ערכים מסוימים f(n)נתונים ערכי

. דוגמאות

הוא מספר נתון (מנת q כאשר, f(n) = f(n-1)·q. הסדרה ההנדסית מוגדרת ברקורסיה : 1 יכו' . f(2) = f(1)·q ,f(3) = f(2)·q, אזי f(1)הסדרה) . אם הערך התחילי הוא

, מוגדרת בנוסחאותqומחנה 1aאיברים של סידרה הנדסית בעלת איבר הראשון nסכום . 2

11 aS = ,111

−− += n

nn qaSS ,...}3,2{∈n .

. הנוסחא 3k

kn

k

n

k

n 11

+−⋅

−=

}2,1,...,{תון , נ nכאשר nk∈ ,1

0=

n נותנת דרך הכי

נתון . למשל , nקצרה לחישוב מקדמים בינומיים עבור

91

90

9

1

9=⋅

=

, 3649

2

81

9

2

9=⋅=⋅

=

, 84

3

736

3

72

9

3

9=⋅=⋅

=

,

1264

684

4

6

3

9

4

9=⋅=⋅

=

, ...

} , שאין בהן שני אפסים סמוכים. 0,1בית {-. נמצא את מספר המילים מעל האלף4 ) . מותרות( נקרא למילים כאלה

. f(1)=2 ,f(2)=3 -. קל לספור ש nבאורך את מספר המילים המותרות f(n) - נסמן ב

הספרות הבאות של מילה זו מהוות מילה n-1אזי 1-מתחילה ב nאם מילה מותרת באורך . 1 - המתחילות ב nמילים מותרות באורך f(n-1). לפיכך יש n-1מותרת באורך

, וההמשך הוא 1הספרה השניה שלה חייבת להיות 0-מתחילה ב nבאורך אם מילה מותרת 0 -המתחילות ב n. לכן מספר המילים המותרות באורך n-2מילה מותרת כלשהי באורך . f(n-2)הוא

. f(n) = f(n-1) + f(n-2), מתקיים : 0-או ב 1- כיוון שכל מילה חייבת להתחיל ב , אם ניתן בסיס הרקורסיה . nעבור כל f(n)זהו יחס רקורסיה המאפשר לחשב את

ככה קיבלנו את הסדרה שכל מספר בה הוא סכום שני המספרים הקודמים לו . אם נגדיר סדרת פיבונצ'י.הנקראת ,1 …,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1אז נקבל את הסדרה f(1)=f(0)=1 בזה

.) f(1)=f(0)=1יש לנו סדרת פיבונצ'י (ללא איברים 4כך רואים שבדוגמא



16

ב) רקורסיה ליניארית .

–. הרקורסיה הבאה הגדרה

f(n) = c1 f(n-1) + c2 f(n-2) + … + ck f(n-k)

. יתרקורסיה ליניארנקראת

פותרים את המשוואה f(n)למציאת נוסחא מפורשת עבור

0...22

11 =−−−− −−

kkkk ccc λλλ

) ומקבלים : המשוואה האופיינית(הנקראת

nkk

nn AAAnf λλλ +++= ...)( 2211

kλλλכאשר ,...,, kAAAשורשים שונים של משוואה אופיינית , - 21 ,...,, קבועים הקובעים - 21

לפי התנאים התחיליים.

של סדרת פיבונצ'י. f(n). נמצא נוסחא מפורשת עבור דוגמא012והמשוואה האופיינית היא k = 2 ,=1 2= c 1cבמקרה הזה =−− λλ שורשי .

המשוואה הם 2

51,

2

5121

−=

+= λλ לכן .

nn

AAnf

−+

+=

2

51

2

51)( 21 .

ים ומוצא f(1)= f(0) = 1מציבים לנוסחא האחרונה את התנאים התחיליים

2

51

5

1,

2

51

5

121

−⋅−=

+⋅= AA מכן .

−−

+=

++ 11

2

51

2

51

5

1)(

nn

nf .

פונקציות יוצרות). 12

סדרה מספרים, סופית או אינסופית . הביטוי n,..., a1, a0a...,. תהי הגדרה

∑∞

=

++++=0

10 ......n

nn

nn xaxaaxa

נקרא פונקציה יוצרת של הסדרה הנתונה .

נגדיר בין פונקציות יוצרות חיבור וכפל באופן הבא:

)1 (∑∑ ∑∞

=

∞

=

∞

=

±=±00 0

)(n

nnn

n n

nn

nn xbaxbxa

)2 (∑ ∑∑ ∑∞

= =−

∞

=

∞

=

=⋅0 00 0

)()()(n

nn

kknk

n k

kk

nn xbaxbxa

ות האלה מקיימות את התכונות המאפיינות את החיבור והכפל בחוג אפשר לבדוק כי הפעול הפולינומים כזון קומוטטיביות, אסוציאטיביות ודיסטריבוטיביות.

חילוק אינו תמיד אפשרי, אולם כאשר

)3 (n

nn

n n

nn

nn xcxbxa ∑∑ ∑

∞

=

∞

=

∞

=

=⋅00 0

)()(



17

גם כי במקרה הזה נרשום

)4 (n

nn

n

nn

n

nn

xb

xcxa

∑

∑∑ ∞

=

∞

=∞

=

=

0

0

0

)(

דוגמאות:

,1. הפונקציה היוצרת של הסדרה {11

,...,,...,2

,1

,1

−

n

n

k

nnn } היא

)5 (nnnk xxxn

nx

k

nx

nx

nxf )1(

1......

211)( 12 +=+

−++

++

+

+= −

} היא 1,1,1,...,1,.... הפונקציה היוצרת של הסדרה האינסופית {2

)6 (x

xxxxf k

−=+++++=

1

1......1)( 2 .

זהו סכום של טור הנדסי אינסופי . הפונקציה x−1

1 את הטור הרשום כאן תמתאוו

אנו רושמים . 1 -אכן קטן בערכו המוחלט מ xאך איננו מתעניינים כאן אם x|< 1|עבור

x

xf−

=1

1 . xבלי לעסוק כלל בערכו של )(

נקבל f'(x)אם נגדיר את

)7 (2

2

)1(

1...)1(...321)('

xxkxxxf k

−=++++++=

זאת אומרת הפונקציה 2)1(

1

x− } . 3,2,1,...היא פונקציה יוצרת של הסדרה {

בחישובים עם טורים נוח להשתמש בנוסחא הבאה: אם

nkxxxxf )......1()( 2 +++++= אז

)8 (...1

...21

11

)( 2

0

+

−+++

+

+=

−+= ∑

∞

=

k

k

k xk

knx

nx

nx

k

knxf

-ב 20x. מצא את המקדם של 1בעיה 554325432 )...)(()( ++++++++= xxxxxxxxxxf. . פתרון

65115

511210432 )1)(1(

)1(

1

1

1)...1()1()( −−−=

−⋅

−−

⋅=+++⋅⋅++++= xxxxx

xxxxxxxxxxxf

65665במכפלה 9xאז יש למצוא את המקדם של )1()1()1)(1( −−− −−−=−− xxxxx ,

)1(6 -ב 9xכלומר למצוא את המקדם של −− x 4ולהחסיר ממנו את המקדם שלx

6326 -ב ...)1()1( ++++=− − xxxx .

1876) נקבל מספר 8לפי הנוסחא ( 4

9

9

14

4

164

9

169=

−

=

−+−

−+.



18

שונים של פונקציות יוצרות. אנו נתבונן באחת מהם, דווקה במציאת מספר שימושים יש כל הפתרונות של המשוואה המסוימת בעזרת פונקצית יוצרת.

ktttכל הפתרונות של המשוואה m: מצא מספר 2 בעיה n =+++ 0}0{קבוצת ב 21... ∪= NN

NNכל המספרים השלמים לא שליליים כאשר ∈∈ n,k מספרים נתונים. - 0

אפשר להוכיח שכדי לפתור את הבעיה אנו יכולים לרושום את הפונקציה היוצרת nxxxf ...)1()( 2 בפונקציה הזו . מהנוסחא kxת המקדם של ולמצוא א =+++

∑∞

=

−+=+++++

0

2 1)......1(

k

knk xk

knxxx

מוצאים שהמספר המבוקש הוא

−+=

k

knm

1 .

...8: מצא מספר כל הפתרונות של המשוואהדוגמא 1021 =+++ ttt 0בקבוצתN.

108. פתרון == n,k לכן .

24310!9!8

!17

8

17

8

18101=

⋅=

=

−+=

−+=

k

knm

ntttנעבור עכשיו למקרים יותר כלליים כאשר יש הגבלות נוספות על הנעלמים ,...,, 21.

: כדי למצוא את מספר הפתרונות של משוואתשיטה כללית kttt n =+++ ...21 (*)

iiהמקיימים את ההגבלות 0Nבקבוצה bt ≤≤0 ,ki i kx, יש לחשב את המקדם של 1≥≥

בפונקציה )...1)...(...1)(...1()( 21 nbbb xxxxxxxf +++++++++=

הוא מספר פתרונות ka כאשר n,..., a1, a0a...,היא פונקציה יוצרת עבור הסדרה f(x)אז . 0N המשוואה הנ''ל בקבוצה של

ki. אם נתונים אילוצים הערה i אז אפשר להסתפק בפונקציה 1≥≥

nkxxxxf )...1()( 2 ++++=

5321. מצא מספר כל הפתרונות של המשוואהדוגמא =++ ttt 0בקבוצתN 22בתנאי ≤t .

23,5. פתרון 2 === bn,k לכן הפונקציה היוצרת המתאימה היא .

=+++++=++++++++= )1(...)1(...)1)(1...)(1()( 222222 xxxxxxxxxxxf

2222222 ...)1(...)1(...)1( +++++++++++= xxxxxxxx

- שווה ל 5x-מקדם ב

153

4

4

5

5

6

3

132

4

142

5

152=

+

+

=

−++

−++

−+=m

), 2,0,3), (1,2,2), (1,1,3), (1,0,4), (0,2,3), (0,1,4), (0,0,5( פתרונות האלה הם: ( )2,1,2) ,(2,2,1) ,(3,0,2) ,(3,1,1) ,(3,2,0) ,(4,0,1) ,(4,1,0) ,(5,0,0.( (

כדורים זהים בשבעה תאים שונים אם בתא הראשון 25. מהו מספר האפשרויות לפזר 3בעיה כדורים ? 10יכולים להיות לכל היותר



19

...25. הבעיה היא לפתור את המשוואה פתרון 721 =+++ ttt 101בתנאי ≤t .

הפונקציה היוצרת המתאימה היא 62102 ...)1)(...1()( +++++++= xxxxxxf

באופן הבא: f(x)בפונקציה זו . נרשום 25xעלינו למצוא את המקדם של

=−

⋅−=−−

=−

⋅−

−=

711

7

11

6

11

)1(

1)1(

)1(

1

)1(

1

1

1)(

xx

x

x

xx

xxf

=+

+

+−=+++−= ...)

2

8

1

71)(1()...1)(1( 2117211 xxxxxx

...)2

8

1

7(...)

2

8

1

71( 1312112 +

+

+−+

+

+= xxxxx

בביטוי אחרון הוא 25xהמקדם של

=⋅

−⋅

=

−

=

−+−

−+=

!6!14

!20

!6!25

!3114

20

25

31

14

1147

25

1257m

697521120

201918171615313029282726=

⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=

תאים כאשר 6 - כדורים לבנים ל 11 -כדורים אדומים ו 9. מצא מספר אפשרויות לחלק 4בעיה יאת מספר הזה.כדורים אדומים , ופונקציה יוצרת למצ 2 -באף תא אין יותר מ

. חלוקות הכדורים משני הצבעים אינן תלויות זו בזו. לכן אפשר לפתור את הבעיה על פתרון ידי יצירת פונקציה יוצרת לכל אחד מהצבעים של כדורים. 62לכדורים לבנים הפונקציה היוצרת היא

1 ...)1()( +++= xxxf לכן ו

4368121314254321

1213141516

5

16

11

16

11

11161 =⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

=

=

−+=m

62לכדורים אדומים הפונקציה היוצרת היא 2 )1()( yyyf ולכן =++

200211131454321

1011121314

5

14

9

14

9

1962 =⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

=

=

−+=m

87447362002436821המספר המבוקש הוא =⋅=⋅= mmm היא פונקציה של שני משתנים: הפונקציה היוצרת המתאימה למספר הזה

626221 )1(...)1()()(),( yyxxyfxfyxf +++++==

הוא מספר האפשרויות המבוקש. 11y 9xהמקדם של

CCC. הוכח את הזהות: 5בעיה kn

kn

kn

11

−+ (ז''א =+

−+

=

+

1

1

k

n

k

n

k

n (

CCCרה . נסתכל בפונקציה היוצרת של סדפתרון nnnn ,...,, 10 :nn

nnnn xCxCCx +++=+ ...)1( 10.

)1()...)(1(את הביטוי הקודם ונקבל x +1 -נכפיל ב 101 xxCxCCx nnnnn

n ++++=+ + .

מופיע פעמיים: kx. בצד ימין איבר kxנשווה מקדמים מצד שמאל ומצד ימין של איבר xxC

kkn ⋅−− kk -ו 11

n xC ז''א מקבלים הביטוי ,kkn

kn xCC )( . עולם המקדם מצד שמאל +−1

Ck - שווה ל kxשל n CCC, ז''א +1 k

nkn

kn

11

−+ += .

2009סמסטר קיץ מבוא למתמטיקה דיסקרטית )5005054( 201-1-9661

יחסים ופונקציות – תורת הקבוצות (המשך) 2נושא

20

יחסים ופונקציות –) המשךתורת הקבוצות ( .2נושא

יחסים . 1

זוגות סדורים . מכפלה קרטזית )א

. זוג סדור הוא זוג עצמים (לאו דווקא שונים) שבו נתון סדר , ז''א נתון איזה עצם הגדרה הראשון ואיזה השני .

, 4ואיבר השני 3הזוג הסדור שאיברו הראשון - <3,4>. דוגמא , 3ואיבר השני 4הזוג הסדור שאיברו הראשון - <4,3>

<3,4> ≠ <4,3> -נדגיש ש

, 3ואיבר השני 3הזוג הסדור שאיברו הראשון - <3,3>

לזוגות סדורים . ∋. לא משתמשים בסימון הערה

. c = dוגם a = bאם ורק אם <a,b> = <c,d>. נאמר כי ריםשוויון זוגות סדו

באופן דומה נדבר על שלשות סדורות, רביעיות סדורות וכו' .

הגדרת מכפלה קרטזית.

קבוצות. נגדיר A, Bתהינה

},|,{ BbAabaBA ∈∈><=×

. B בקבוצה Aקבוצה מכפלה קרטזיתנקראת ×BAהקבוצה

ABBAבדרך כלל ×≠×

. 1דוגמא }4,2,3,2,1,2,4,1,3,1,1,1{}4,3,1{}2,1{ ><><><><><><=× }2,4,1,4,2,3,1,3,2,1,1,1{}2,1{}4,3,1{ ><><><><><><=×

. 2דוגמא },|,{ RyRxyxRR ∈∈><=× מישור-

. 3דוגמא ØØ =× A לכל קבוצה A מתקיים

Ø -שלהם שייך ל (כי אין זוגות סדורות שהאיבר הראשון

הגדרה של יחס. תחום וטווח. )ב

מקומי) היינו קבוצה של זוגות סדורים.-יחס (דו הגדרה.

.×AAהיינו תת קבוצה של Aמקומי) על קבוצה -יחס (דו הגדרה.

עתה הוא הקבוצה: ) לא היה עצם מתמטי . 3>2. עד פה סימון > (כמו דוגמא

, < = {<3,4>, <1,2>, <1,3>, <2,3>…}

. n<mשל מספרים טבעיים שבהם <n, m>ז''א קבוצת כל הזוגות הסדירים . Nיחס על זהו



21

. אז N -ליחס > ב >Nמשתמשים גם בסימון

<N = {<3,4>, <1,2>, <1,3>, <2,3>…} . N: יחס השוויון על דוגמאעוד

=N = {<1,1>, <2,2>, <3,3>, <4,4>…}

מקומי.- יחס דו R. יהא סימון,Rאם >∈< ba אז נסמן גםbRa .

>, <, =,...). -ב R(במקרים קונקרטיים משתמשים במקום . a R bכשאין הדבר כך נסמן

. Bיחס גם על Rאז ⊇BA -ו Aיחס על R. אם הערה

{…<2,3> ,<1,3> ,<1,2> ,<3,4>}כי קבוצה Z ,Q ,R ,Cאך גם על Nיחס על >Nלמשל ,,,,קבוצה של כל אחת מהקבוצות -היא תת CCRRQQNN ××××

(צריך לא לבלבל את העובדה האחרונה ולמשל הדבר הידוע שלשני מספרים מרוכבים שרירותיים Ccc 21לא מוגדר מושג ,21∋ cc <(

ABונניח כי Aיחס על Rא . יההגדרה היינו היחס B -ל R. צמצום ⊇RBBBRR ∩×== )( |1

NZNלמשל |=<<

: Rהיחס תחום. הגדרה Dom(R) = {a | <a,b> € R כך ש- b קיים }

: Rהיחס טווח Range(R) = {b | <a,b> € R כך ש- b קיים }

: דוגמאות 1 .

A = {1, 2, 3 } R = <A ={<1,2> , <1,3>, <2,3>} Dom (R) = {1, 2} Range (R) = {2,3}

2 . R = {<x,y> | x,y € Z, y=x2} Dom (R) = Z Range (R) = {0, 1, 4, 9, 16,…}

3 . A = N={1, 2, 3,… } R = <A ={<1,2> , <1,3>, <2,3>,…} Dom (R) = {1, 2, 3, 4, …} Range (R) = {2, 3, 4, …}

4 . A = N={1, 2, 3,… } R = ≤A ={<1,1>, <1,2> , <1,3>,…,<2,2>, <2,3>,…} Dom (R) = {1, 2, 3, 4, …} Range (R) = {1, 2, 3, 4, …}



22

תכונות של יחסים. )ג

.Aיחס על Rיהא

,Rמתקיים ∋Aaאם לכל רפלקסיבייקרא A .Aעל קבוצה יחס R. יהא הגדרה >∈< aa

Abaאם לכל סימטרייקרא R. הגדרה מתקיים ,∋ R,R, >∈⇔<>∈< baab

Acbaאם לכל טרנזיטיבייקרא R. הגדרה מתקיים ,,∋ R,,R,R, >∈<>∈⇐<>∈< cbbaca

: דוגמאות1 .Z= ,R≤ ,X⊆ - יחסים רפלקסיביים (אך לאZ< . ( 2 .N= יבירפלקסיבי, סימטרי וטרנזיט 3 .N< אינו סימטרי ואינו רפלקסיבי אך הוא טרנזיטיבי 4 .N≤ אינו סימטרי אך רפלקסיבי וטרנזיטיבי

יחס P(X)קבוצה. נגדיר על X. תהא 5 }|,{ XBABAX ⊆⊆><=⊆

זהו יחס טרנזיטיבי

6 .}2|||,{R ≤−×>∈<= baZZba R2,3,3,5יחס זה סימטרי ורפלקסיבי אך לא טרנזיטיבי. R2,5אך ><>∋< >∉<

Abaלאיברים שרירותיים יש בעיקרון ארבעה מקרים אפשריים: Aעל Rלפי יחס ,∋RabRbaא) >∈<>∈< RabRba, ב) ,,, >∉<>∈< ,,, , RabRbaג) >∈<>∉< RabRba, ד) ,,, >∉<>∉< ,,,.

ד) הם פשוט שייכות -ג) בלתי אפשריים ומקרים א) ו-הוא סימטרי אז מקרים ב) ו Rאם יחס ><><שייכות של זוגות -ואי abba ליחס. ,,,

Abaבמקרה של יחס לא סימטרי, אם עבור RabRbaמתקיים ,∋ >∉<>∉< אז האיברים ,,, . Rלפי יחס לא ניתנים להשוואההאלה יקראו

5.0,5.1למשעל מספרים == ba לפי יחס לא ניתנים להשוואהR≤ המוגדר כי אותה

≥Zקבוצה שבמקרה של יחס -תת

יחס שקילות. מחלקות השקילות . קבוצת המנה )ד

אם: Aעל יחס שקילות R. נאמר כי Aיחס על קבוצה R. יהא הגדרה רפלקסיבי Rא.

סימטרי Rב. טרנזיטיבי Rג. Abaאיברים ,Rאם שקוליםנקראים ,∋ >∈< ba כאשר)R יחס שקילות עלA (

. A. יחס השוויון על 1. דוגמאות

, A - . קבוצת תושבי הארץ 2 R = { <x, y> | אזרחי אותה מדינה x, y }

, A - . קבוצת כל הילדים 3 S = { <x, y> | ילדי אותה שנה x, y }



23

4} .m-n 4},| 4-ב מתחלק ZZmn ×>∈<=≡

נוכיח שהיחס האחרון הוא יחס שקילות .

4,04. רפלקסיביות >∈≡⇒<⋅=− nnnn

,4. אם סימטריות >∈≡< mn אזm = 4k-n עםZk ,4-ו 4k-n = -m. לכן ∋ >∈≡< nm

,,,4. נניח תטרנזיטיביו >∈≡<>< pmmn Zlkאזי קיימים . m = 4k-n , p = 4l-m - כך ש ,∋

,4-ו p = 4(k+l)-nלכן >∈≡< pn

. ∋Aa. יהא Aיחס שקילות על R. יהא הגדרה/}|{היינה Rביחס aשל מחלקת השקילות aRbAbRa ∈=

.aהינה אוסף כל האיברים השקולים לאיבר Rביחס aשל מחלקת השקילותבמילים אחרות

/R/{R|{. קבוצה הגדרה AaaA המנהקבוצת נקראת Rכל המחלקות השקילות של =∋ . Aשל

מתקיים ≡4. ביחס 1. דוגמאות}|04{,...}12,8,4,0,4,8{...,/0 4 Zaa ∈+=−−=≡

}|14{,...}9,5,1,3,7{...,/1 4 Zaa ∈+=−−=≡

}|24{,...}10,6,2,2,6{...,/2 4 Zaa ∈+=−−=≡

}|34{,...}11,7,3,1,5,9{...,/3 4 Zaa ∈+=−−−=≡

4/0למעשה יש כאן בדיוק ארבע מחלקות שקילות : ≡ ,4/1 ≡ ,4/2 ≡ ,4/3 ≡ /}0/,1/,2/,3/{ללת ארבע קבוצות אלה. אז קבוצת המנה כו 44444 ≡≡≡≡=≡Z

A. קבוצת תושבי כדור הארץ = 2 R = { <x, y> | אותה אזרחות x, y ל- }

נים . מחלקות השקילות : הלאומים השו

Aba. יהיו Aיחס שקילות על קבוצה R. יהא משפט /R/R -. אזי או ש,∋ ba - או ש = ØR/R/ =∩ ba .

/ØR/R. אם הוכחה =∩ ba .סיימנו /ØR/R - נניח ש ≠∩ ba צריך להוכיח .R/R/ ba = . ∋R/ac - ו ∋R/bc - כך ש ∋Acמההנחה קיים איבר ,Rכלומר >∈< cb , R, >∈< ca מכאן .R, >∈< ac ולכןR, >∈< ab עקב סימטריות וטרנזיטיביות.

/R/Rנראה כי ba ⊆ . R/adיהא ,R. אזי ∋ >∈< da ולכןR, >∈< db. R/bdכלומר כנדרש . ∋

/R/Rמשיקולי סימטריה גם ab /R/R. אז ⊇ ba = .

של קבוצה. החלוקהנעבור עכשיו למושג



24

קבוצה שאיבריה הם קבוצות. נגדיר P -. נניח שהגדרה

Bx∈ |x = {PU -כך ש ∋PB{ קיימת

U {2,3,4,5,6} = { {2,5,6} ,{4} ,{2,3} }. 1. דוגמאות

P. { קב' אזרחי אנגליה , קב' אזרחי צרפת , קב' אזרחי איטליה,... } = 2 U P -קבוצת אזרחי אירופה

},,...,{...היינה קבוצה Aשל חלוקהקבוצה. A. תהא הגדרה 21 nBBBP (סופית או אינסופית) =

,,...,...של קבוצות 21 nBBB : המקיימת את התנאים

AB , (ז.א. A= P U .אi

i =U(

P,BBלכל .ב ji ∩=∅כרח שונות בה ∋ ji BB ,

P∉Ø .ג

כחלוקת יבשת למדינות ללא אזורים מפורזים וללא A. ניתן לחשוב על חלוקה של הערה שטחים משוטפים.

. אוסף קבוצות אזרחי מדינות אירופה, כמקדם ,1. דוגמאות

2 .}}34{ Z|nn ∈+,}24{ Z|nn ∈+ ,}14{ Z|nn ∈+ ,}4{ Zn|n∈ = {P

. נשים לב שבדוגמא הראשונה קיבלנו את קבוצת המנה של היחס "שוויון אזרחות" הערה . ≡4ובדוגמא השניה את קבוצת המנה של היחס

. Aהנה חלוקה של R/A. אזי קבוצת המנה Aיחס שקילות על הקבוצה R. יהא משפט

/R/{R|{. נסמן הוכחה AaaAP חלוקה. P - ונוכיח ש ==∋

. U P = A - (א) נראה ש

,Rאז מהרפלקסיביות נובע ∋Aaאם >∈< aa ולכןR/aa∈ מהגדרת .P U

Pa - נובע ש U∈ לפי כך .PA U⊆ .

Paלהפך, יהא U∈ אזי .a ך למחלקת שקילות של שייA אך מחלקות שקילות . ∋Aa. לכן Aקבוצות של - הן תת

. AP=Uובס''כ AP⊆Uקיבלנו:

PCB(ב) תהינה כי הן זרות . שונות . נראה ,∋

Acbיש Pמהגדרת R/cC - כך ש ,∋ = ,R/bB = RcRb - מהמשפט הקודם: או ש // //Ø - או ש = =∩ RcRb /R/R - הואיל ו cb /ØR/Rבהכרח ≠ =∩=∩ cbCB

.P∉Ø (ג) נראה כי

אינה ריקה . ∋Aa - כש R/aפרוש הדבר: אף מחלקת שקילות /ØRולכן ∋R/aaאמנם, מהרפלקסיביות ו ≠a

חלוקה . P - בזאת הוכחנו ש

מיחסי שקילות קיבלנו חלוקות. עכשיו נבנה מחלקות יחסי שקילות .



25

כדלקמן A) על P -ב(התלוי PE. נגדיר את היחס Aחלוקה של קבוצה Pתהא הגדרה.

Cba -כך ש ∋PC{קיימת ∈, |>b,a< = {PE

},,...,{אפשר להראות שאם 21 nBBBP אזי =

)BB(...)BB()BB(E nn2211 ×∪∪×∪×=P

היינו יחס שקילות . PE טענה:

. Aהיינו יחס על PE. א) . חה הוכ

אם PE, >∈< ba אז קיימתPC∈ כך ש - Cba Pba. בפרט ,∋ U∈, אךP = A U

Aba(מהגדרת חלוקה). לכן AAbaכלומר ,∋ ×>∈< , .

AAPבזאת הוכחנו כי ×⊆E כנדרש .

רפלקסיבי. PEב) .

Paa. צריך להוכיח ∋Aaיהא E, >∈< .

PA - מעבדה ש U∈ רח בהכPa U∈ כלומר קיימתPC∈ כך ש - Ca∈ .

Paaאז E, >∈<.

יחס סימטרי. PEג) .

Pba - נניח ש E, Cba - כך ש ∋PC. אזי קיימת >∋< - . נוכל גם לומר ש ,∋

Cab Pabכלומר ,∋ E, >∈<

יחס טרנזיטיבי. PEד) .

Pba - נניח ש E, >∈< ,Pcb E, PDC. אזי קיימות >∋< Cba - כך ש ,∋ ∈, ,

Dcb ∈, .

DCb: נשים לב Ø≠∩DCולכן ∋∩

Ccba. לכן C = Dחלוקה אז Pכי ∈,, ← Pca E, >∈< .

קבוצת כל האנשים הנמצאים בחדר , – A. 1. דוגמאותAbaנגדיר יחס { ∈, ,a, b | נולדו באותו חודש>a, b< = {R = { { }, {נולדו בינואר A/Rקיבלנו חלוקה { {נולדו בדצמבר}, ... , {נולדו בפברואר

2 .A – 1992קבוצת כל הילדים (אנשים שנולדו החל משנת.( , 18B , ...,2B,1B ={Pנתונה חלוקה : {

. 18B}=1992-, ...,{נולדו ב2B}2008- {נולדו ב, ... , 1B}=2009-כאשר {נולדו ב

Aba{ נבנה יחס השקילות. ∈, ; a, b | נולדו באותה שנה>a, b< = {PE וסחאניתן להציג את היחס גם כנ

)BB(...)BB()BB(E 18182211 ×∪∪×∪×=P

קבוצה. A. תהא משפטREמתקיים Aעל Rא) . לכל יחס שקילות R/ =A

PAמתקיים Aשל Pב) . לכל חלוקה P =E/

. ללא הוכחה

יחסי השקילות על קבוצה. כל: למצוא יש עניין



26

יחסי סדר. )ה

מתקיים a, b) אם לכל אסימטרי(או אנטיסימטרייקרא R. יחס הגדרה R,&R, >∈<>∈⇐<= abbaba

- כך ש שונים ,baאין איברים אנטיסימטרי אם Rלחילופין יחס הערה. R,&R, >∈<>∈< abba

אם : יחס סדר חלקייקרא Aעל קבוצה R. יחס הגדרה

1 .R רפלקסיבי 2 .R אנטיסימטרי 3 .R טרנזיטיבי

) היינה Aיחס סדר חלקי על קבוצה R(כאשר >R>A ,. נאמר גם שהזוג הסדור הגדרה . קבוצה סדורה חלקית

יחסי סדר חלקי, – P(X)על ⊇, Zעל ≥Z. 1: דוגמאות 2 .Z על <Z יחס סדר חלקי (כי הוא לא רפלקסיבי) אינו

חלקית. תאור גרף של קבוצה סדורה

נבין זאת כך: א) כל איבר עומד ביחס עם עצמו, y - ל x - אם ורק אם ניתן להגיע מ xRyב)

ע''י עליה לאורך הקווים. f, g אך איברים aRa ,aRd ,aRfבדוגמא

לא עומדים ביחס.

ה חלקית קבוצה סדור >R>A ,. תהא הגדרהAbaויהיו a, b. נאמר כי ,∋ aRb או bRaאם ניתנים להשוואה

כל שני איברים ניתנים להשוות, >,Z < ≥ : א) בקבוצה סדורה חלקית דוגמאות}1{}2,1{ -נכון ש X {3 ,2 ,1} = -כש >,P(X) <⊇ב) בקבוצה סדורה חלקית ⊆

אינם ניתנים להשוואה. {2,3} -ו {1,2}הקבוצות - אך תת

,Rבמקום a≤ bלפעמים נכתיב הערה. >∈< ba אוbRa " יש להדגיש כי אין זה יחס .≤ " בתרשים כנ''ל . xנמצא מעל yמוכר בין מספרים . הסימון רק מציין כי

AB -ו Aיחס על R. יהא תזכורת R|R)(חיינו B -ל R. הצמצום של ⊃ BBB ×∩=

ABואם Aיחס סדר חלקי על R. אם טענה . Bיחס סדר חלקי על |BRאז ⊃

. ללא הוכחה

או איבר מזעראיבר a. נאמר כי ∋Aaקבוצה סדורה חלקית ויהא >R>A ,. תהא הגדרה מקסימלייבר או א מרביאיבר a. נאמר כי aRb - כך ש A -ב b≠aאם אין מינימלי . aRb -כך ש A -ב b≠aאם אין

f g e d c a b



27

. (שרטוט)דוגמא

מינימליים a, b, c, dכאן h, i, g מקסימליים

>R>A , -ב מינימום aכי . נאמר ∋Aaקבוצה סדורה חלקית ויהא >R>A ,. תהא הגדרה ∋Aaאם לכל >R>A , -ב מקסימום b. נאמר כי b Raמתקיים ∋Abאם לכל . aRbמתקיים

>≥<. 1. דוגמאות NN, קסימום. מינימום ואין מ – 1. כאן

2 .⊆>< }),3,2,1({P (שרטוט) מינימום , – Øכאן מקסימום - {3 ,2 ,1}

. (שרטוט) 3 כאן אין מינימום, f - מקסימום

בקבוצה סדורה חלקית יש לכל היותר מינימום אחד. טענה.

Aba -קבוצה סדורה חלקית . נניח ש >R>A ,תהא הוכחה. . Aשני איברי מינימום של ,∋ a≤ bמינימום נובע a - מכן ש b≤ aמינימום נובע b - מכן ש . a= bאנטיסימטרי מקבלים ≥ - מכן ש

אז הוא איבר מינימלי בה. >R>A ,מינימום בקבוצה סדורה חלקית aאם .טענה

. a≤ bמינימום a -ואמנם מכן ש a=b צריך להוכיח. b≤ aמקיים ∋Ab -נניח ש הוכחה.

Aba . לכן לא קיים a=bמהאנטי סימטריות נובע . b≤ a - כך ש ≠∋

. סדורה חלקית סופית קיים לפחות איבר מינימלי אחד >R>A ,בכל קבוצה .משפט

איבר כלשהו של הקבוצה. ∋Aaנניח שבקבוצה הנתונה אין איבר מינימלי. יהא הוכחה.Axאיננו מינימלי, לכן חייב להיות איבר aלפי הנחה . a1x ≠ - ו a1x ≥המקיים 1∋

Axגם אינו מינימלי, לכן חייב להיות איבר , וכך הלאה. x2x ≥1קיים המ 1x -שונה מ 2∋

באופן כזה מתקבלת סדרה של איברים המקיימים:

)1 (121 ...... xxxx nn ≤≤≤≤≤ +

h i g f k e d a b c

{1,2,3}

{1,2} {2,3} {1,3}

{2} {1} {3} Ø

f e d a b c



28

)2 (ii xx . iעבור כל 1+≠

שני איברים שווים,כיוון שמספר איברי הקבוצה הוא סופי, חייבים להיות בסדרה זו ktkלמשל, xx kk) 1. לפי תכונה ( +≠ xx tkkולכן 1+≥ xx ++ . אבל, בגלל 1≥

ktkטרנזיטיביות של היחס סדר חלקי מתקיים גם xx כך שאנו מקבלים, בגלל +≥

tkkסימטריות, כי -האנטי xx ++ kk, ולכן גם 1= xx , בניגוד למבנה הסדרה 1+=

) ) . 2(תכונה ( לפחות איבר מינימלי אחד . A-סתירה זו מוכיחה, כי חייב להיות ב

אז המשפט האחרון לא תמיד נכון. אינסופית היא קבוצה Aחשוב לשים לב שאם

) . 1יש איבר מינימלי (מספר < ≥ ,N > -אין איבר מינימלי אך ב < ≥ ,Z > -לדוגמא , ב

נעבור עכשיו למקרה חשוב מאוד של יחסי סדר , דווקה ליחס סדר קווי.

) אם הוא מקיים את התנאי :יחס סדר מלא(או סדר קווייחס יקרא Aעל קבוצה R. יחס הגדרהAbaלכל (מחוץ לרפלקסיביות, אנטיסימטריות וטרנזיטיביות) abRאו baRאו ,∋

קבוצה ) היינה Aווי על קבוצה יחס סדר ק R(כאשר >R>A ,נאמר גם שהזוג הסדור סדורה קווית

>≥<>≥<>≥<: דוגמאות ,,,,, RQN.

Abaכל שני איברים לפי הגדרה של יחס סדר קווי .ניתנים להשוואה ,∋

וא מינימום בה.אז ה <A, R>בקבוצה סדורה קווית איבר מינימלי aאפשר להראות שאם .בקבוצה סדורה קווית איבר מינימלי ומינימום זה אותו דברלכן

ברור שאפשר להגיד אותן מילים על מקסימום ואיבר מקסימלי.

מינימום ומקסימום. קבוצה סדורה קווית יש צריך לשים לב בעובדה כי לא בכל

: דוגמאות>≥<בקבוצה .1 ,N " ואין מקסימום,1יש מינימום (מספר ( "

>≥<בקבוצה .2 − ,N כאשר)−N - (קבוצת כל המספרים השלמים השליליים " ) ואין מינימום,-1יש מקסימום (מספר "

>≥<>≥<בכל אחת מהקבוצות .3 ,,, RQ ואין מינימום. אין מקסימום >≥<בקבוצה .4 " ) 1" ) וגם מקסימום (מספר "0יש גם מינימום (מספר " ]1,0,[

ומינימום יחיד. מקסימום יחיד אז יש בה בדיוק סופיתהינה קבוצה סדורה קוויתברור שאם

ABואם Aיחס סדר קווי על R. אם טענה . Bגם יחס סדר קווי על |BRאז ⊃

כאשר ובמקרה B-קיים מינימום אז לא חייב שיש מינימום ב A-גם צריך לשים לב כי אם ב .A-קיים הוא לא חייב להתלקד עם מינימום ב B-מינימום ב

:ותדוגמא)1,0,(]1,0[ קבוצות .1 == AB יש מינימום ב≥לפי יחס .-A אך אין לו ב-B . ]1,5.0,[]1,0[ קבוצות .2 == AB יש מינימומים גם ב≥לפי יחס .-A גם ב-B

הם שונים. אבל



29

פונקציות. .2

הגדרה של פונקציה. תחום, טווח ותמונה של פונקציה )א

. B -ל A-בוצות כלשהן . נגדיר יחס מק B -ו Aתהיינה

. B -ל A -נקראת יחס מ ×BAכלשהי של מכפלה קרטזית Fקבוצה -. תת1הגדרה BAF(ז''א ×⊆(

B

A

},{},{. 1 דוגמא baB1,2,3A == }{ ><><><><><><=× 3,b,2,b,1,b,3,a,2,a,1,aBA ,

}{1 ><><><= 3,b,2,b,1,aF 1F הוא היחס מ- A ל - B .

חשוב מאוד ×BA-ב וצותהקב שסדר לב נשים

},{},{. 2 דוגמא baB1,2,3A == }321321{ ><><><><><><=× b,,b,,b,,a,,a,,a,AB ,

}321{2 ><><><= b,,b,,a,F 2F הוא היחס מ-B ל - A .

אחד ויחיד כך ∋Bbקיים ∋Aaאם לכל פונקציהנקרא B -ל A -מ F. יחס 2הגדרה

. aFb -ש

21נובע 2aFb -ו 1aFb-היא פונקציה אז מ Fבמילים אחרות אם bb =.

. 1הנזכר לעיל בדוגמא B -ו A . תהיינה קבוצות 3 דוגמא : B -ל A -יחסים מ 2F -ו 1Fיהיו

}{1 ><><><= 3,b,2,b,1,aF

}{2 ><><><= 3,a,1,b,1,aF

a1F2 -ו b1F2- - אינה פונקציה מכיוון ש 2Fאולם B - ל A -היא פונקציה מ 1Fאזי

baאבל ≠

על המצבים : אוסרים. אנו נשים לב

מרשים אך

F

? A B

A B

A B



30

תיאור אחר של פונקציה הוא הבא.

. ∋Bbמתאים איבר יחיד ∋Aaקבוצות כלשהן. נניח כי לכל B -ו A . תהיינה 3הגדרה . B -ל A-האוסף של התאמות כאלה יקרא פונקציה מ

BAfב נכתו BAאו :→ f→ .

f. זהו הערך של ∋Aa -מתאימה ל fאשר B" עבור האיבר של aשל fקרי " f(a)נכתוב . fתחת aאו התמונה של a -ב

של פונקציה שקולות . 3- ו 2ברור כי הגדרות bafafbמספיק לשים לב על הקשר ביניהן : =⇔ )(

, )f Dom() הפונקציה ותסומן domain( תחוםתקרא A מינוח:

B טווחתקרא )range הפונקציה ותסומן ()f Rng( ,

)Im :}|)({)Im(f) נגדיר גם Aaaff ∈=

BAf. לכל פונקציה 4דרה הג },)(|{קבוצה -תת :→ Aaafa של גרףנקראת ><∋

. fהפונקציה

)(2. 4. דוגמאות xxf = ,R) = f) = Rng ( fDom( ,) = [0, ∞)fIm( הגרף של .f הוא

}|,{ 2 Rxxx ז.א. פרבולה. ><∋

5 .4)2(,3)1(},4,3{},2,1{ ====< ffBA Dom(f) = {1, 2}, Rng(f) = Im(f) = {3, 4}

גרף של הפונקציה :

}4,2,3,1{ות ז.א. שני זוג ><><

,A ,B = N. {אזרחי ישראל } = 6 , N∈n |>a, n< = {fמתאים מס' ת''ז ∋Aa- {ל

Dom(f)=A ,Rng(f) = B = N ,

⊂ Nקבוצת כל מספרי הזהות הקיימים}) = {fIm(

A = Dom(f) B = Rng(f) Im(f)

1 4 2 3



31

ערכיות. -חד-ופונקציות חד עלפונקציות )ב

BAf. נאמר כי פונקציה הגדרה . )B) = fImאם B עלהיינה :→

BAf סימון: :→על

RR. נבדוק האם פונקציה 6. דוגמאות →:f המוגדרת ע''י הנוסחא2||

)(+

=x

xxf עלהיא .

1מתקיים R∈xברור שלכל 2||

|||)(| <

+=

x

xxf ולכןR⊂−= )1,1()Im( f .

. גרף של הפונקציה הוא הבא : Rאינה על fאזי

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

:)1,1(. נגדיר פונקציה 7 −→Rg ע''י נוסחא2||

)(+

=x

xxg .

. על היא פונקציה g -נראה ש . g(x) = y -כך ש ∋Rx. נוכיח שקיים y∋−)1,1(יהא

ומקבלים x ≥ 0אז y ≥ 0באמת, אם y

yx

−=

1 ומרגלים y ≤ 0ואם

מקבלים y

yx

+=

1 .

BAf .5 הגדרה 21אם אין ערכית-חד- חדפונקציה - :→ aa )()( -כך ש ≠ 21 afaf =

BAfסימון: → BAfאו :11− עחח → '':.

RR. 8. דוגמאות →:f 2הנוסחא המוגדרת ע''י)( xxf חח''ע כי למשל אינההיא = 2) =4-f(2) = f( 22אך −≠

היינה חח''ע f(x) = 2x+1. פונקצית 9

RR. נראה כי פונקציה 10 →:f ע''י הנוסחא המוגדרת1||

)(+

=x

xxf .חח''ע

)()( -ו R∈21,xxנניח כי 21 xfxf 21ונראה כי בהכרח = xx = . -נשים לב ש

00)( =⇔= xxf ,00)( <⇔< xxf ,00)( >⇔> xxf



32

)()( - לכן מ 21 xfxf 021נובע כי או = == xx 021או >xx . במקרה הראשון סיימנו.

במקרה השני מקבלים 1||1|| 2

2

1

1

+=

+ x

x

x

x

0,0א. 21 >> xx .11 2

2

1

1

+=

+ x

x

x

x ← 21 xx =

0,0ב. 21 << xx .11 2

2

1

1

+−=

+− x

x

x

x ← 21 xx =

הרכבת פונקציות . )ג

BAf. תהיינה שתי פונקציות הגדרה CBg -ו :→ כמתואר :→

f g

A B C

Baf. אזי ∋Aaיהי . מכאן שניתן לקבל תמונה gהיא תחום של B. קבוצה )(∋ כזאת שלכל C -ל A -. הפונקציה זו מ g(f(a))כלומר gתחת הפונקציה f(a)של Aa∈ מתאיםg(f(a)) השייך ל - C הרכבת פונקציותנקראת f ו- g ותסומןfg o .

))(())((לפי ההגדרה : afgafg =o CAfg. הרכבה נהטע →:o של פונקציותBAf CBg -ו :→ היא פונקציה. :→

) פונקציה מורכבת(הנקראת

fba - אחד ויחיד כך ש ∋Bb. קיים ∋Aa. יהא הוכחה >∈< .∋Ccזה קיים b -. ל,gcb -אחד ויחיד כך ש >∈< fgca - . מכאן ש, o>∈< , . Cc. נניח שגם יחידות fgcaמקיים ′∋ o>∈′< fg. מהגדרת , o קייםBb ∈′ gcb -כך ש >∈′′< , ,fba >∈′< לכן . 'b = b - נובע ש b. מיחידות , gcb >∈′< . 'c = c -נובע ש c. מיחידות ,

fgסדר: . לשים לב להפוך ה1 .הערות o 2 .)(Dom)(Dom ffg =o 3 .)(Rng)(Rng gfg =o 4 .)(Im)(Im gfg ⊆o

Im)(Im)(יתכן כי ffg ⊂o

RR. יהיו 1. דוגמאות →:f 2א המוגדרת ע''י הנוסח)( xxf = , RR →:g 1המוגדרת ע''י הנוסחא)( += yyg .

RRאזי →:fg o 1היא))(( 2 += xxfg o ,

RR →:gf o 1(2היא())(( += xxgf o. ברור שפונקציות האלה שונות.



33

. עבור פונקציות מהדוגמא הקודמת מוצאים:2 R=∞= )Im(),,0[)(Im gf )( Im)[0,)( Im fgf =∞=o ,)(Im),1[)(Im gfg ⊂∞=o .

gffgקומוטטיבית. ככלל אינהפונקציות הרכבת נראה כי 1מהדוגמא . הערה oo ≠ . fg -למעשה יתכן ש o מוגדרת אךgf o לא. גם כאשר אין בעייה בתחומי ההגדרה

gffgלא חייב להתקיים שוויון oo gffg . לדוגמא ,= oo )1(1כי ≠ 22 +≠+ xx

:]0,(]0,(. יהיו 3דוגמא ∞→∞f המוגדרת ע''י הנוסחאxxf =)( , Rg yygהמוגדרת ע''י הנוסחא :]0,(∞→ −=)( .

R→∞),0[:fg o היאxxfg −=))(( o gfפונקציה o לא מוגדרת

CAfgנפנה שוב להרכבה →:o של פונקציותBAf CBg -ו :→ →:. BAfפונקציות אפשר להראות כי אם CBg - ו :→ אז גם פונקציה עלהינן :→

CAfg →:o ערכיות. - חד-. אותו דבר ניתן להגיד על פונקציות חדעלהיא ר להגיד משהו מסוים על (חח''ע) אז אי אפש עלאינה ,fgאם לפחות אחת מהפונקציות

fgהפונקציה o.

Rf. 1: דוגמאות xxfהמוגדרת ע''י הנוסחא :]0,(∞→ חח''ע - )(=

),1[: ∞→Rg 1המוגדרת ע''י הנוסחא)( 2 += xxg - 'ע לא חח' ),1[),0[: ∞→∞fg o 1המוגדרת ע''י הנוסחא))(( += xxfg o - חח''ע

AAA. פונקציה הגדרה →:Id כך שלכלAa∈ מתקייםaaA =)(Id פונקציה זהותנקראת .

BAf. לפונקציה טענה ffמתקיים :→ =AIdo ,ff =oBId .

)Aa∈ )())(Id())(Id -. להוכחה AA afafaf ==o ,)())((Id))((Id BB afafaf ==o.

BAf. הרכבת פונקציה היינה אסוציאטיבית, כלומר לפונקציות טענה →: ,CBg →: , DCh )()(מתקיים :→ fghfgh oooo = .

fghשל פונקציות Dוהטווח A. התחום הוכחה oo )( - ו )( fgh oo .שווים . אזי: ∋Aaיהא

)))((()))((()))((())()(())()(( afghafghafghafghafgh oooooo ====

RR. יהיו דוגמא →:f 2המוגדרת ע''י הנוסחא)( xxf = , RR →:g 1המוגדרת ע''י הנוסחא)( += yyg

RR →:h הנוסחא המוגדרת ע''יzezh =)(

1))(())(( +== yeyghygho ,1))(())(( 2 +== xxfgxfg o

12

))()(())()(( +== xexfghxfgh ooo

12

)))((()))((( +== xexfghxfgh ooo

ד) פונקציה הפיכה. פונקציה הפוכה.

BAf. תהא הגדרה ABgאם קיימת פונקציה הפיכה f פונקציה. נאמר כי :→ כך :→AId=fg -ש o,BId=gf o אם פונקציה .g לפונקציה הפוכהקיימת אז היא נקראתf .



34

. f -פונקציה הפיכה ל - f-1: סימון

ZZ. 1. דוגמאות →:f כש- f(n) = n+1 ZZ →:g 1 - כש -g(n) = n - ל פונקציה הפוכה- f .

2 .}6,5,4(}3,2,1{: →f כש - f(1) = 4, f(2) = 6, f(3) = 5 , }3,2,1(}6,5,4{: →g כש - g(4) = 1, g(6) = 2, g(5) = 3 , g(n) - ל פונקציה הפוכה- f .

3 .RR →:f 2 -כשf(x) = x . . לא הפיכה פונקציה הזו RRלו הייתה אי →:g כך ש- RId== fggf oo אז לכל x צריך להתקיים )2= x = g(x 2g(x) . סתירה. - -))g(1)21 = g(1 ,) = g(1)21)-1 = g = (בפרט :

4 .),0[),0[: ∞→∞f 2 -כש(x) = xf . . הפיכה פונקציה הזו

),0[),0[:1 ∞→∞−f כש -xxf =− . 2f(x) = x פונקציה הפוכה לפונקציה - 1)(

BAf. פונקציה משפט .ערכית-חד-חדו עלהפיכה אם ורק אם היא :→

הפיכה אז היא על וחח''ע . f. נוכיח כי אם א חה.הוכABgהפיכה אז קיימת fאם - כך ש :→

AId=fg o ,BId=gf o (*)

Aaa. יהיו חח''ע f -נראה ש )()(ונניח כי ,21∋ 21 afaf . אזי =

22A22111A1 )(Id))(())(())(())(()(Id aaafgafgafgafgaa ======= oo

ומתקיים ∋Aa. אזי a = g(b). נגדיר ∋Bb. יהא על f -נראה ש bbbgfbgfaf ==== )(Id))(())(()( Bo

על וחח''ע אז היא הפיכה. f. צריך להוכיח כי אם ב

. fבונים פונקציה הפוכה לפונקציה },|)(,,{באופן הבא : A - ל B - מ gנגדיר יחס AaBbbafabg ∈∈=><= . . A - ל B - היא פונקציה מ gנוכיח כי . f(a)=b - כך ש ∋Aaקיים ∋Bbפונקציה על נקבל כי לכל f - מכיוון ש לפי f(a1b = f(a = (2(אז g(b)2 a≠ 1 g(b) = a =כעת אם . B ) g)= Domז''א . fחד ערכיות של - בניגוד לחד gהגדרת . A - ל B - היא פונקציה מ gהוכחנו כי ABgBAfנרשום →→ ומתקיימים התנאים :,:

bafabg =⇔= )()( (**) bונקבל שלכל aבמקום g(b)ערך f(a)=b(**) לשוויון - נציב מ

Bgfbbgf Id))(( =⇒= o aונקבל שלכל bבמקום f(a)ערך g(b)=a(**) לשוויון - נציב מ

Afgabfg Id))(( =⇒= o . . fפונקציה הפוכה לפונקציה gכלומר

BAfאפשר להראות שאם פונקציות CBg -ו :→ ונקציה אז גם פ הפיכות הינן :→

CAfg →:o 111ומתקיים הפיכה היא)( −−− = gffg oo .

2009סמסטר קיץ ה דיסקרטיתמבוא למתמטיק )5005054( 201-1-9661

לוגיקה מתמטית 3נושא

35

לוגיקה מתמטית .3נושא

. תחשיב הפסוקים : 1חלק

) פסוקים. משתנים פסוקיים. ערכי האמת. 1

נט " , "בישראל בקיץ יומי אנו משתמשים במשפטים שונים . לדוגמא: " יורם סטוד-בדיבור יום חם.", "מה השעה ?", "דג כרפיון עף בשמיים.", "לך הביתה!" , "פרות וירקות." ,

ראשוני." וכ''ו. 1-1987890272"מספר מעניין לקבל תשובה "כן" או "לא" על השאלה: האם המשפט הנתון נכון ?

" נכון והמשפט "דג כרפיון עף בשמיים." לא נכון. תשובהברור שהמשפט "בישראל בקיץ חם."כן" או "לא" על המשפט " יורם סטודנט " תלויה בעובדה מיהו יורם. אנו עכשיו עוד לא

ראשוני או לא אך זאת הבעיה טכנית: אפשרויות לקבל תשובה 1-1987890272יודעים אם מספר מת ההתפתחות של מחשבים. אבל בעיקרון אי אפשר להגיד האם נכונים או לא תליה בר

המשפטים "מה השעה ?", "לך הביתה!", "פרות וירקות.".

אם בעיקרון ניתן להגיד אם הוא נכון או פסוק. על המשפט של דיבור אומרים שהוא הגדרה לא נכון.

לוגיקה מתמטית לא משתמשים כרגיל במשפטים שאינם פסוקיםב

אנו משתמשים באלגברה ובחדו''א במשתנים מספריים. את המשתנים האלה אנו מסמנים באותיות ומניחים שניתן להציב במקומם המספרים המתאימים הנקראים ערכי משתנים.

משתנים פסוקיים (או משתנים לוגיים). באופן דומה בלוגיקה מגדירים

) אם הן מציגות פסוקים .משתנים לוגיים(או משתנים פסוקיים,... נקראות p ,q. אותיות הגדרה

במילים אחרות ניתן להציב פסוקים במקום האותיות האלה.

ערך האמתאומרים שהמשתנה קיבל קיבלנו תענה נכונה pאם בהצבת פסוק למשתנה פסוקי "שקר". ערך אמת"אמת". אם קיבלנו תענה לא נכונה אומרים שהמשתנה קיבל

בבעיות לוגיות כרגיל לא חשובה משמעות ספציפית של הפסוק אך ערך האמת שלו. לכן, יב רק את הערכים "אמת" או במקום להציב טענות מלאות במקום המשתנים הפסוקיים נצ

אמת , – truth(באנגלית F -ו T"שקר". במקום המילים "אמת" או "שקר" משתמשים באותיות false –( שקר

פעולות על הפסוקים (קשרים). נוסחאות לוגיות (פסוקים). )2

טבלאות האמת.

עכשיו פעולות על הפסוקים.מציגים פסוקים . מגדירים p ,qנניח כי

p שלילת" . הטענה הזו נקראת אינו נכון pאת הטענה " ¬p - נסמן ב

ולהפך. Fהוא ¬pאז ערך האמת של Tהוא pברור שאם ערך האמת של

"יורם אינו סטודנט" - ¬p" יורם סטודנט" אז מציג פסוק pלדוגמא, אם

דיסיונקציה(או שניים)" . הטענה הזו נקראת q או pאת הטענה "או ∨qp - נסמן ב שקרים . qגם pם שקרי רק במקרה כאשר ג ∨qp. לפי הגדרה q -ו pשל



36

מציג את ∨qp" אז 5 - " מספר מתחלק ב - q -" ו3 -" מספר מתחלק ב - pלדוגמא, אם 3-". בזאת יתכן כי מספר מתחלק גם ב5 -או הוא מתחלק ב 3 -הפסוק "או מספר מתחלק ב

" לא נכונה רק כאשר מספר לא5 -או הוא מתחלק ב 3 -ב . תענה "או מספר מתחלק 5-גם ב .5-גם ב 3-מתחלק גם ב

qp - נסמן ב קוניונקציה" . הטענה הזו נקראת q וגם p) את הטענה "גם &qp(או ∧qp. לפי הגדרה q -ו pשל אמיתיים qגם pאמיתי רק במקרה כאשר גם ∧

qp" אז 5 - " מספר מתחלק ב - q -" ו3 -" מספר מתחלק ב - pלדוגמא, אם מציג את ∧" נכונה רק כאשר 5 - וב 3 -". התענה " מספר מתחלק ב5 - וב 3 -הפסוק "מספר מתחלק ב

.5-גם ב 3-מתחלק גם ב מספר

qp - נסמן ב q -ל p - מ גרירהנכון" . הטענה הזו נקראת q נכון אז pאת הטענה "אם →qp). לפי הגדרה אימפליקציה(או שקרי. qאמיתי אך pשקרי רק במקרה כאשר →

qp" אז 3 - " מספר מתחלק ב - q -" ו9 -" מספר מתחלק ב - pאם לדוגמא, מציג את → ". 3 - אז הוא מתחלק ב 9 -הפסוק "אם מספר מתחלק ב

qp - נסמן ב קילותשנכון" . הטענה הזו נקראת q נכון אם ורק אם pאת הטענה " ↔qp. לפי הגדרה q ובין pבין pאמיתיים או גם qוגם pאמיתי במקרים כאשר או גם ↔ שקרים . qוגם

qp" אז 3 - " מספר מתחלק ב - q -" ו15 -" מספר מתחלק ב - pלדוגמא, אם מציג את ↔ ". 3 -אם ורק אם הוא מתחלק ב 15 -"מספר מתחלק ב הפסוק

¬∧∨→↔: פועלות מינוח .קשריםיקראו ,,,,

. נוסחאות לוגיותממשתנים פסוקיים נבנה בעזרת הקשרים

qqp דוגמאות: ∨∧ )( ,qp ∨¬ )( ,))(())(( qpqqp נוסחאות , - ∧∨→¬∧ qp ∨∧ ,)( qp ∧→ ,qqp לא נוסחאות . - ∧¬∨

אם נציב לנוסחא לוגית במקום כל משתנה פסוקי איזהו פסוק קונקרטי אז נקבל פסוק חדש.פסוקים (כנוסחאות לוגיות) B-ו Aחא לוגית. בפרט, אם לכן נשתמש במילה "פסוק" גם כנוס

)(,¬Aאז BA∨ ,)( BA∧ ,)( BA→ ,)( BA גם פסוקים. ↔

¬∧∨→↔ולות פע 5: פסוק מתקבל מהמשתנים הפסוקיים בעזרת לחילופין ורק ,,,, בעזרתכן.

על מנת למעיט בכתיבת סוגריים נקבע קדימות : . Λ ,V, →, ↔ - קודם ל ¬

qp -מבינים כ ¬∨qp. דוגמאות ∨¬ )( - (לא כ )( qp∨¬ , (! qqp qqp -מבינים כ ∧∨ ∨∧ )(

את הצבת ערכי האמת של משתנים פסוקיים לפסוק הנתון אפשר להציג כפונקציה מקבוצת

.{T, F}המשתנים הפסוקיים של הפסוק לקבוצה

וצת המשתנים הפסוקיים שבפסוק (לפסוק נתון) היינה פונקציה שתחומה קב מההׂש. הגדרה . {T, F}וטווחה



37

. )g,AVal(יסומן gבהשמה A. ערך האמת של A -השמה ל g -פסוק ו A: יהא סימון

rqpA. דוגמא ∨∧= )(,}FT,{},,{: →rqpg ,)F,T,T(),,( =rqpg TT(),(Val(TF). לכן =Tq)=g(p)=g( ,Fg(r) ,(ז.א. =∨∧=gA

לפסוק. טבלת האמתאם להתבונן בכל ההשמות לפסוק הנתון אז נקבל

: ¬x טבלת האמת לפסוק

¬x x F T T F

yx∧ ,yx∨ ,yx טבלאות האמת לפסוקים: → ,yx ↔ .

x↔y x→y xVy xΛy y x T T T T T T F F T F F T F T T F T F T T F F F F

שורות. n2משתנים לוגיים תמיד יש n-נשים לב שבטבלת האמת לפסוק התלוי ב

שקילות לוגית. גרירות לוגית. טאוטולוגיות וסתירות. )3

)TA,gVal=(מתקיים A-ל gאם לכל השמה טאוטולוגיהיקרא A. פסוק הגדרה )FA,gVal=(מתקיים A-ל g) אם לכל השמה סתירה(או פסוק שקרייקרא Aפסוק

)(. הפסוק 1. דוגמאות ppA )Tp,gVal=(אז p)Tg=(טאוטולוגיה . אם היינו =∨¬ . Val(¬p,g)=T - ו Val(p,g)=Fאז g(p)=F. אם Val(¬p,g)=F -ו . Val(A,g)=Tלכן תמיד

)))(((. הפסוק 2 qpqpA רתהוא טאוטולוגיה. ניתן לבדוק את זה בעז =∨∧¬→

השמות). 4טבלת האמת שבה כל שורה מייצגת השמה (כאן יש

A (pVq) Λ¬p pVq ¬p q p T F T F T T T F T F F T T T T T T F T F F T F F

)(. הפסוק 3 ppppA הוא שקרי. =∧¬∧→

∧¬=F( כי pp ,T=→ pp ,FTF =∧.(

qpqpA. הפסוק 4 ∨¬∨→= אינו טאוטולוגיה ואינו סתירה. )( זה ברור מטבלת האמת הבאה:



38

(p→q) V¬p Vq (p→q) V¬p p→q ¬p q p T T T F T T F F F F F T T T T T T F T T T T F F

. p→qמתלכדת עם הטבלה המתאימה לגרירה Aלב שטבלת האמת לפסוק נשים

BAאם הפסוק שקולים לוגית B -ו Aפסוקים. נאמר כי B - ו A -. נניח שהגדרה היינו ↔ טאוטולוגיה.

BA: סימון ⇔

, ↔ -ל ⇔. לא לבלבל בין 1. הערות . כל הטאוטולוגיות שקולות לוגית ,2 . כל הסתירות שקולות לוגית .3

השקילויות הלוגיות הבסיסיות

AA ⇔¬¬ FFT ⇔∧⇔∧ AAA AAA ⇔∨⇔∨ FTT

AAA ⇔∧ AAA ⇔∨

BABA ¬∨¬⇔∧¬ )( BABA ¬∧¬⇔∨¬ )(

)( BABA ¬∨¬¬⇔∧ )( BABA ¬∧¬¬⇔∨

ABBA ∧⇔∧ ABBA ∨⇔∨

)()( CBACBA ∧∧⇔∧∧ )()( CBACBA ∨∨⇔∨∨

)()()( CBCACBA ∧∨∧⇔∧∨ )()()( CBCACBA ∨∧∨⇔∨∧

TTF ⇔→¬⇔→ AAA AAA ⇔→⇔→ TTF

ABBA ¬→¬⇔→ BABA ∨¬⇔→

)( BABA ¬→¬⇔∧ BABA →¬⇔∨

)()( ABBABA →∧→⇔↔

כל אחת מהשקילויות האלה בעזרת בניית טבלת האמת המתאימה. ניתן להוכיח

בעזרת שקילויות לוגית אפשר לפשט נוסחאות וגם ניתן לבדוק האם הנוסחא הנתונה היא טאוטולוגיה או סתירה או היא גם אינה טאוטולוגיה וגם אינה סתירה.

נפנה לדוגמאות קודמות.

2 . ⇔→¬∧∨¬∧⇔→¬∧∨⇔ ))()(()))((( qpqppqpqpA T)F())(F( ⇔→⇔→¬∧∨⇔ qqpq

טאוטולוגיה. - Aז.א.



39

4 .⇔∨¬∨∨¬⇔∨¬∨∨¬⇔∨¬∨→⇔ qpqpqpqpqpqpA )()( qpqpqqppqpqp →⇔∨¬⇔∨∨¬∨¬⇔∨¬∨∨¬⇔

הוא לא טאוטולוגיה וגם לא סתירה. Aברור שפסוק

. לגרירות לוגית נעבור עכשיו

היינו →BAאם הפסוק Bאת גורר לוגית Aפסוקים. נאמר כי B - ו A -. נניח שהגדרה טאוטולוגיה.

⇒BA: סימון

Sפסוק . נאמר כי B ויהא n,..,A2,A1Aקבוצת פסוקים n,..,A2,A1A={S{. תהא הגדרה המוגדרת על כל המשתנים g, אם לכל השמה ⇒BSונסמן Bאת גוררת לוגית ),(Tשאם נכון B-וב S-הפסוקיים המופיעים ב =gAVal i לכלSAi ∈),...,2,1( ni =

. Val(B,g) = Tאז בהכרח

BA(ולא ⇒BAנכתיב A= { S{. אם הערה ⇒}{.(

BAAA -ו ⇒BS -מההגדרה נובע כ n ⇒∧∧∧ )...( אותו דבר ואז אפשר להשתמש 21

BAAAבנוסחא n ⇒∧∧∧ )...( .⇒BSכבהגדרת גרורות 21

הניסוח האחרון יותר נוח להבנת ההגדרה אך לפעמים ההגדרה הראשונה יותר טובה לפתרון בעיות

BAAA. נבדוק האם דוגמא ⇒),,{ כאשר 321

prBqApArqpA ∨=¬=¬=∨∨= ,,, 321.

- כך ש p, q, r -ל gנבחר השמה T),(Val 1 =gA , T),(Val 2 =gA , T),(Val 3 =gA

. g(r) = T. לכן g(p) = F, g(q) = Fאז T),(ValVal(B) -מכאן רואים ש =∨= gpr ואזBAAA ⇒),,{ 321.

ניתן להראות כי בדיקת הנוסחא

)()()()( prqprqp ∨⇒¬∧¬∧∨∨

בעזרת טבלאות האמת או בעזרת שימוש בשקילויות לוגית יותר ארוכה.

)()()()(השמות לפסוק 8באמת, קיימות בס''כ prqprqp ∨→¬∧¬∧∨∨ שורות. 8ואז בטבלת האמת יש

שימוש בשקילויות לוגית מגיע לחישובים:

⇔¬∧¬∧∨¬∧∨¬∧⇔¬∧¬∧∨∨ qprpqppqprqp ))()()(()()()( ⇔¬∧¬∧∨¬∧⇔¬∧¬∧∨¬∧∨⇔ qprpqqprpq ))()(())()(F( qprqprqprqpq ¬∧¬∧⇔¬∧¬∧∨⇔¬∧¬∧∨¬∧¬∧⇔ )(F)()(

⇔∨∨¬∧¬∧¬⇔∨→¬∧¬∧ )()()()( prqprprqpr ⇔∨∨∨∨¬⇔∨∨∨∨¬⇔ prqprprqpr )()(

TT ⇔∨∨⇔∨∨∨∨¬⇔ qpqpprr



40

) הצורה הדיסיונקטיבית הנורמלית של פסוק.4

-כך ש Bוק נוכל למצוא פס. n,...,p2, p1pבמשתנים הפסוקיים Aתהיה נתון פסוק

BA(א) ⇔,

היינו דיסיונקציה של קוניונקציות של משתנים פסוקיים או שלילותיהם. B )ב(

.Aשל פסוק צורה דיסיונקטיבית נורמליתנקרא Bבמקרה הזה פסוק

)()()(. הפסוק דוגמא qpqpqpB בית נורמלית מהווה צורה דיסיונקטי =∧∨¬∧∨¬∧¬)()(של הפסוק qpqpA ∧¬∨→=. BAניתן לבדוק שקילות לוגית BAבעזרת בניית טבלת האמת לפסוק ⇔ ↔, )ז.א. לפסוק ) ( ))()()()()( qpqpqpqpqp ¬∧¬∨∧¬∨∧↔∧¬∨→

קיימת צורה דיסיונקטיבית נורמלית . n,...,p2, p1pם הפסוקיים במשתני A. לכל פסוק משפט

. ללא הוכחה

איך בפרקטיקה למצוא לפסוק הנתון את הצורה הדיסיונקטיבית הנורמלית שלו ?

בשביל זה יש כמה שיטות. אחת מהן היינה הרכבת טבלת האמת לפסוק הנתון.

: 1דוגמא

qpqpAאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית לפסוק מצ ↔¬∧→= ))(( ). q-ו p(התלוי בשני משתים

. נרכיב טבלת האמת לפסוק הנתון: פתרון

A p→( qΛ¬p) qΛ¬p ¬p q p F F F F T T T F F F F T T T T T T F F T F T F F

, זאת אומרת שורות A" של הפסוק Tלוקחים בטבלה כל השורות המתאימות לערך האמת "

. להשמה הזו מתאימה g(p) = T, g(q) = Fשלישית ורביעית. לשורה השלישית מתאימה השמה qpקוניונקציה qpיונקציה . באופן דומה לשורה הרביעית מתאימה קונ ∧¬ . אז צורה ¬∧

)()(דיסיונקטיבית נורמלית לפסוק הנתון היא qpqp ∧¬∨¬∧ .

הינה צורות דיסיונקטיביות נורמליות לפסוקים בסיסיים התלויים בשני משתנים.

)()()( qpqpqpqp ∧¬∨¬∧∨∧⇔∨ qpqp ¬∧¬⇔∨¬ )(

qpqp ∧⇔∧ )()()()( qpqpqpqp ¬∧¬∨∧¬∨¬∧⇔∧¬

)()()( qpqpqpqp ¬∧¬∨∧¬∨∧⇔→ qpqp ¬∧⇔→¬ )(

)()( qpqpqp ¬∧¬∨∧⇔↔ )()()( qpqpqp ∧¬∨¬∧⇔↔¬



41

נורמלית לפסוק התלוי בשלושה משתנים.נדגים עכשיו דוגמא של צורה דיסיונקטיבית

. 2 דוגמהrqpBמצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית לפסוק →→= )(

).r-ו p,q(התלוי במשתנים

. טבלת האמת לפסוק הזה היא: פתרון

(p→ q) →r p→ q r q p T T T T T F T F T T T F T F T T F F F T T T T T F F T F T F T T T F F F T F F F

אז הצורה הדיסיונקטיבית הנורמלית לפסוק הנתון היא:

∨∧¬∧∨∧∧⇔→→ )()()( rqprqprqp )()()( rqprqprqp ∧¬∧¬∨∧∧¬∨¬∧¬∧∨

דרך אחרת למציאת צורה דיסיונקטיבית נורמלית לפסוק הנתון היא שימוש בשקילויות לוגית אבל השיטה הזאת לעתים קרובות כוללת חישובים ארוכים.

. דואליות )5

. דואלייםנקראים Λ ,V. הקשרים ¬ - , ו Λ ,Vנתבונן בנוסחאות הכוללות רק הקשרים

אם היא מתקבלת Aלנוסחא דואליתנקראת A*נוסחא. נוסחא חדשה A. תהי הגדרה בהחלפת כל הקוניונקציות בדיסיונקציות וכל הדיסיונקציות בקוניונקציות. Aמהנוסחא

qprqpA. דוגמא ¬∨¬∧∨∧¬= )()( ,qprqpA ¬∧¬∨∧∨¬= )()(*

אומרים שההשמה. A -השמה ל g -ו n,..., p2, p1pנוסחא (פסוק) התלויה במשתנים Aהא י *g להשמה דואלית היאg אם לכל משתנהip ערכי האמת שלו בהשמותg ו- *g .הם נגדיים

. Val(A, g)יסומן gבהשמה Aערך האמת של

*gבהשמה A. ערך האמת של *A*-השמה דואלית ל *g -ו A-ת לנוסחא הדואלי Aיהא * . Val(A*, g*)יסומן

T),(Valמתקיים Aלנוסחא g. לכל השמה משפט =gA אם ורק אםF*)*,(Val =gA .

.ללא הוכחה

qqpA. דוגמא ¬∨∧¬= )( , qqpA ¬∧∨¬= )(*.

A -בונים בהתאמה טבלאות האמת ל



42

A ¬(p Λ q) q p השמות F F T T g1 T T F T g2 T T T F g3 T T F F g4

A*-ול

A* ¬(p V q) q p השמות T T F F g1* F F T F g2* F F F T g3* F F T T g4*

לאות האחרונות ברור קשר בין נוסחאות דואליות.מהטב

היינו סתירה (ולהפך). Aהוא טאוטולוגיה אז פסוק דואלי * Aקל לראות כאם הפסוק הנתון AAלדוגמא, מהטאוטולוגיה AAנובע סתירה ∨¬ ¬∧.

BA). אם . (עיקרון הדואליותמשפט **אז ⇔ BA ⇔

.ללא הוכחה

בעזרת עיקרון הדואליות ניתן למצוא לפי השקילויות הידועות את השקילויות החדשות. AAAלדוגמא, מהנוסחא AAAמיד מקבלים את הנוסחא ∧⇔ ⇔∨.

קודם פגשנו את הנוסחאות הדואליות הבאות :

FF ⇔∧A TT ⇔∨A

AA ⇔∧ T AA ⇔∨ F

BABA ¬∨¬⇔∧¬ )( BABA ¬∧¬⇔∨¬ )(

)( BABA ¬∨¬¬⇔∧ )( BABA ¬∧¬¬⇔∨

ABBA ∧⇔∧ ABBA ∨⇔∨

)()( CBACBA ∧∧⇔∧∧ )()( CBACBA ∨∨⇔∨∨

)()()( CBCACBA ∧∨∧⇔∧∨ )()()( CBCACBA ∨∧∨⇔∨∧

) שלמות הקשרים 6

נשים לב על השקילויות הבאות:

)( BABA (המבטא קוניונקציה דרך דיסיונקציה ושלילה) ∧⇔¬¬∨¬

BABA (המבטא אימפליקציה דרך דיסיונקציה ושלילה) →⇔¬∨

))()(( ABBABA (המבטא שקילות דרך דיסיונקציה ושלילה) ↔⇔¬¬¬∨∨¬¬∨

)( BABA (המבטא דיסיונקציה דרך קוניונקציה ושלילה) ∨⇔¬¬∧¬

)( BABA (המבטא אימפליקציה דרך קוניונקציה ושלילה) →⇔¬∧¬



43

)()( ABBABA ושלילה) (המבטא שקילות דרך קוניונקציה ↔⇔¬∧¬∧¬∧¬

)( BABA (המבטא קוניונקציה דרך אימפליקציה ושלילה) ∧⇔¬→¬

BABA (המבטא דיסיונקציה דרך אימפליקציה ושלילה) ∨⇔¬→

))()(( ABBABA שקילות דרך אימפליקציה ושלילה) (המבטא ↔⇔¬→→¬→

מהנוסחאות האלה נראה ככל הקשרים ניתן לבטא דרך דיסיונקציה ושלילה או דרך קוניונקציה ) → - ו ¬או Λ -ו ¬(או V -ו ¬ושלילה או דרך אימפליקציה ושלילה. לכן אומרים שקשרים

הלוגיים. של הקשרים מערכת שלמהמהווים

. ¬ניתן להראות כאי אפשר לבטא כל הפסוקים דרך מערכת הפעולות לא כוללת שלילה אז ערך האמת שלה בהשמה ¬לא כוללת שלילה n,...p2,p1A(p(ברור שאם נוסחא

= Tn =...= p2 = p1 p תמיד שווה ל- T רית (למשל . לכן אי אפשר לבטא נוסחא שקp¬Λp ( דרך הקשרים ללא שלילה.

) נכונות שיקולים 7

BAAAפסוקים. פסוק Bn,...,A2, A1A ,יהיו n →∧∧∧ )...( . שיקולנקרא 21

.מסקנההוא Bוהפסוק הנחותהיינם n,...,A2, A1Aהפסוקים

BAAA. שיקול הגדרה n →∧∧∧ )...( BAAAאם פסוק כון ננקרא 21 n →∧∧∧ )...( 21

הוא טאוטולוגיה.

BAAAבמילים אחרות שיקול n →∧∧∧ )...( גוררת לוגית n,..,A2,A1A={S{נכון כאשר 21

BAAA. כלומר Bאת n ⇒∧∧∧ )...( 21 .

inברור שהשיקולים AAAAni →∧∧∧= )...(),...,1( ם אך השיקולים תמיד נכוני 21

in AAAAni ¬→∧∧∧= )...(),...,1( תמיד לא נכונים. 21

באמת ⇔∨∧∧∧¬⇔→∧∧∧ inin AAAAAAAA )...()...( 2121

⇔∨¬∨∨¬∨¬⇔∨¬∨∨¬∨¬⇔ inin AAAAAAAA ...)...( 2121

⇔¬∨∨¬∨∨¬∨¬∨∨¬∨¬⇔ +− niiii AAAAAAA ...... 1121

T...T... 1121 ⇔¬∨∨¬∨∨¬∨∨¬∨¬⇔ +− nii AAAAA

הפסוק באופן דומה nin AAAAAAA ¬∨∨¬∨¬⇔¬→∧∧∧ ...)...( 2121

אמיתיים. iAאינו טאוטולוגיה כי הוא שקרי כאשר כל הפסוקים

לא מהווה תנאי הכרחי או מספיק של נכונות הניסוח Bצריך להעיר כאמיתיות של המסקנה BAAA n →∧∧∧ )...( 21 .

הוא ראשוני " , a= " מספר A. יהיו פסוקים: a∋}5,4,3{...,. יהי 1דוגמא B מספר " =a . " אי זוגי

סוק:היא הפ →BAאז אימפליקציה ראשוני אז הוא אי זוגי " . a" אם מספר



44

נתבונן בשיקול:

ABBA →∧→ אי זוגי. aראשוני אז הוא אי זוגי. מספר a= " אם מספר ))(( הוא ראשוני." aלכן מספר

נבדוק אם השיקול נכון או לא נכון. בשביל זה נבנה טבלת האמת.

((A→B)ΛB)→A (A→B)ΛB A→B B A T T T T T

T F F F T F T T T F T F T F F

ABBAמהטבלה ברור כי הנוסחא →∧→ אינה טאוטולוגיה . אז השיקול ))(( אמיתית. Aלא נכון. באותו זמן המסקנה

הוא ראשוני " , a= " מספר A. כמו בדוגמא הקודמת יהיו : 2דוגמא B מספר " =a . " אי זוגי

ראשוני אז הוא אי זוגי " . a= " אם מספר →BAאימפליקציה

נתבונן בשיקול: BABA →∧→ ראשוני. aראשוני אז הוא אי זוגי. מספר a= " אם מספר ))(( אי זוגי." aלכן מספר

טבלת האמת היא

((A→B)ΛA)→B (A→B)ΛA A→B B A T T T T T

T F F F T T F T T F T F T F F

BABAקיבלנו טאוטולוגיה . לכן השיקול →∧→ נכון. ))((

= " יורם הוא ספורטאי " , A. יהיו : 3דוגמא B . " .יורם תמיד בריא " =

= " אם יורם ספורטאי אז הוא תמיד בריא " . →BAאימפליקציה

נתבונן בשיקול: ABBA ¬→¬∧→ = " אם יורם ספורטאי אז הוא תמיד בריא. יורם ))((

לא תמיד בריא. לכן הוא לא ספורטאי." טבלת האמת היא

((A→B)Λ¬B)→ ¬A (A→B)Λ¬B A→B B A T F T T T

T F F F T T F T T F T T T F F

ABBAשוב קיבלנו טאוטולוגיה . לכן גם השיקול ¬→¬∧→ נכון. ))((



45

טים) דיקָ (פרֶ . תחשיב היחסים : 2חלק

ר לתאר תחשיב הפסוקים היינו עיון לוגי המוגבל מאוד. יש הרבה שיקולים לוגיים שאי אפש אותם במסגרת תחשיב הפסוקים.

: דוגמאות . כל חברו של דוד היינו חבר של שאול. שלומה אינו חבר של שאול. לכן שלומה אינו1

חבר של דוד. היינו זוגי. לכן קיימים מספרים ראשוניים זוגיים. 2. מספר ראשוני 2

של השיקולים האלה מבוססת במבנה הפנימי של המשפטים ובמשמעות של המילים "כל" נכונות "קיימים" . -ו

מקומיים . כמתים. –n). יחסים (פרדיקטים) 1

הוא פשוט איזהו x -מספר זוגי " הנחנו כ – xקודם, בתחשיב הפסוקים , כאשר כתבנו לדוגמא " במשפטים התלויים בפרמטרים ז''א נניח כאותיות טי לא ידוע לנו. עכשיו נתבונןמספר קונקר

מציגים משתנים. במילים אחרות במקום האותיות ניתן להציב ערכים שלהן. לדוגמא נבין אותו ישר " נמצאות ב C -ו A ,B" , " נקודות y -קטן מ xמספר זוגי " , " – xכבמשפטים "

בדוגמא הראשונה לקחת איזהו מספר שלם xהן משתנים . אם במקום x ,y ,A ,B ,Cאותיות – xאז פסוק " x=2קונקרטי אז אנו נקבל פסוק ואפשר להגיד אם הוא אמיתי או שקרי. אם

הוא שקרי. x=3מספר זוגי " אמיתי , אם

כאת המשפטים התלויים בפרמטרים ניתן להבין כיחסים . נראה

. עכשיו ×AAקבוצה של מכפלה קרטזית -כתת Aבתורת הקבוצות הגדרנו יחס על הקבוצה נכליל את המושג .

4434421היינו תת קבוצה של Aעל קבוצה מקומי-nיחס הגדרה.nפעמים

AAA−

××× ....

עצמה , Aבמילים אחרות, יחס חד מקומי הוא תת קבוצה של קבוצה , A - יחס דו מקומי הוא קבוצת זוגות סדירים של איברים מ וכ''ו ., A - יחס תלת מקומי הוא קבוצת שלשית סדירים של איברים מ

את היחסים מסמנים כרגיל באותיות לועזיות גדולות (או בסימונים מיוחדים כמו + , =, > ).

)(}|Z :}2מקומי על -מספר זוגי " הוא יחס חד – xאז " xבמתחלקZxxE −∈= ,

"x קטן מ- y מקומי על -" היינו יחס דוR :}|,{),( xמקטןyRRyxyx −×>∈<=< : 2Rמקומי על -נמצאות באותו ישר " הוא יחס תלת C - ו A ,B" נקודות

})(|,,{),,( 2 ABRCBACBALלישרשייכתCנקודה >∈<=

Rxxxאז ניתן לרשום Rמקומי מסומן לדוגמא באות -nאם יחס n >∈< ,...,, במקום 21

)n,...,x2,x1R(x ובדה כשלוש נקודות . למשל את העA ,B ו- C נמצאות באותו ישר ניתן LCBAלרשום >∈< ,,

>≥<≤=ליחסים המוכרים כמו x = yוכו' משתמשים בסימונים רגילים , ז''א כותבים ,,,, וכו' , (x,y)>במקום x < y, (x,y)=במקום

4434421 -פונקציה מ . הגדרהnפעמים

AAA−

××× . Aעל קבוצה מקומית-nפעולה נקראת A - ל ...



46

: דוגמאות1. |x| - מקומית על -פעולה חדR , 2. R+ - מקומית על -פעולה דוR ,

43421לאיבר שרירותי Aעל הקבוצה Rכשנתון יחס nפעמים

n AAxxx ××>∈< ...,...,, תענה 21

">< nxxx ,...,, Rxxx" היינה אמיתית כאשר Rשייך ליחס 21 n >∈< ,...,, ושקרית 21

Rxxxבמקרה n >∉< ,...,, . לכן את כל יחס ניתן להבין כפונקציה לוגית 21

},{...: FTAARnפעמים

→×× Rxxx - כש ” Tהמקבלת ערך אמיתי " 43421 n >∈< ,...,, י וערך אמית 21

"F כש "- Rxxx n >∉< ,...,, . מקומי-nפרדיקט מקומי גם -n. במשמעות הזו קוראים ליחס 21

xכאשר במקום “ Tהמקבל ערך " Zמקומי על -מספר זוגי " הוא פרדיקט חד – xכך " זוגי . -אימציבים מספר x" כאשר במקום Fמציבים מספר זוגי וערך "

. מקומיים-0כפרדיקטום הוא מספר זוגי " מבינים (לפי הגדרה) 2את הפסוקים הרגילים (כמו "

∧∨¬→↔על הפרדיקטים ניתן לבצע פעולות לוגיות : . כתוצאה נקבל פרדיקטים ,,,, חדשים.

)("2": יהיו דוגמא xבמתחלקxE −= , "3")( xבמתחלקxT −= .

)()("23"אז xבגםבגםמתחלקxTxE −−=∧

"23")()( xTxEבמתחלקxאובמתחלקxאו −−=∨

"23")()( xTxEבמתחלקxאזבמתחלקxאם −−=→ .

.כמתיםעכשיו נגדיר מושגים מיוחדים לתחשיב היחסים:

. Aשל הקבוצה x" לכל איבר F" או ערך " Tרך " פרדיקט המקבל ע xP)(יהיה

)()(את הביטוי xPx∀ נבין כפסוק האמיתי כש- )(xP אמיתי לכלAx∈ ושקרי אם Ax∉ את הביטוי .)()( xPx∀ אים " לכל קורx )(xP לסימון .")( x∀ קוראים

) .כמת כלילות(או כמת הכל

)()(את הביטוי xPx∃ נבין כפסוק האמיתי כשקייםAx∈ כך ש-)(xP אמיתי ושקרי )()(הנגדי. את הביטוי במקרה xPx∃ קוראים " קייםx כך ש-)(xP לסימון .")( x∃ קוראים ) .כמת קיימות(או כמת קיים

)(לעתים קרובות רושמים Aאיברים מתוך קבוצה בוחרים שאנו להדגיש כדי Ax∈∀ במקום )( x∀ ו-)( Ax∈∃ במקום)( x∃

דוגמאות:

. נרשום דרך סמנים לוגיים את המשפט: " לכל מספר רציונלי ריבוע שלו הוא מספר 1 רציונלי " . רדיקטים: את הפ Rמגדירים על קבוצת

(x)1Q - “ מספרx רציונלי“ ,(x)2Q - “ 2מספרx רציונלי“ ))()()((ומקבלים : 21 xQxQx →∀

)Q")(,"Q")"אם אנו נשתמש בסימונים רגילים , ז.א. נרשום 221 ∈=∈= xxQxxQ

נה כי צורה אז ניתן לרשום את הנוסחא האחרו ( ) ( ) ( )( )QQ 2 ∈→∈∀ xxx או( ) ( ) ( )( )QQR 2 ∈→∈∈∀ xxx



47

". 3- וגם ב 2- . נרשום דרך סמנים לוגיים את המשפט: " קיים מספר שלם המתחלק גם ב2 את הפרדיקטים: Rמגדירים על קבוצת

(x)1Q - “ מספר x שלם“ ,(x)2Q - “ מספרx 2- מתחלק ב “ , (x)3Q - “ מספרx 3-מתחלק ב “

)R)()())()(((ומקבלים : 321 xQxQxQx ∧∧∈∃

)או בסימונים ספציפיים )( ))3()2()Z()R( ÷∧÷∧∈∈∃ xxxx

הגדול או שווה לאפס קיים " לכל מספר ממשי - . תרשמו דרך סמנים לוגיים את המשפט: 3 שורש ריבועי שלו " . את הפרדיקטים: Rמגדירים על קבוצת

(x)1Q - “ מספרx גדול או שווה לאפס“ ,(x,y)2Q - “ מספרy הינו שורש ריבועי של xyם את השוויון מקיי yמספר “ - 2Q(x,y)(או xמספר " ) ומקבלים:2=

( ))(R)()()R( 21 x,yQyxQx ∈∃→∈∀

)או ))(R)()0()R( 2 xyyxx =∈∃→≥∈∀

). שפת תחשיב הפרדיקטים. נוסחאות . מבנים .2

-ורכב מבית של שפת תחשיב הפרדיקטים מ-אלף . סוגריים ( ) ,1 ∧∨¬→↔. הקשרים 2 ,,,, , , ,∀∃. הכמתים 3 ) , ... x ,y ,z ,u. אותיות שתקראנה משתנים ( 4 ,... ) , Ø ,1 ,π ,e, 0. אותיות שיסמנו קבועים ( למשל 5 את סימן השוויון: = , . אות שתייצג6 ,... P ,R. אותיות שמסמנים יחסים (פרדיקטים) : > , < , 7

מקומיים וכו' ,-מקומיים, דו-תהיה הפרדה ברורה בין אותיות שמייצגות יחסים חד . אותיות שמסמנים פעולות . ( + , : ,...) . 8

בספת תחשיב הפרדיקטים. מילהבית נקרא - . של אלף8-.1ם ביטוי המורכב מהסימוני

צריך לתאן שאנו מבינים מילה באופן פורמלי, לא שמים לב על משמעות קונקרטית של משתנים, פרדיקטים ופעולות.

(בכמת) . קשוראומרים שהמשתנה היינו ∃או ∀אומד כמת xאם לפני איזהו משתנה חופשיבמקרה נגדי אומרים שמשתנה

) אם נוסחאלוגית (או פשוט נוסחא: מילה נקראת הגדרה

משתנים , הוא נוסחא . n,...,x2,x1xסימן של פרדיקט , Pכאשר n,...,x2,x1P(x( . ביטוי 1 ). אתומית(נוסחא כזו נקראת נוסחא

גם נוסחא . A¬נוסחא אז A. אם 2

נוסחאות ואין משתנים החופשיים בנוסחא אחת ובזמית קשורים B - ו A. יהיו 3 )(בנוסחא אחרת. אז BA∨ ,)( BA∧ ,)( BA→ ,)( BA גם נוסחאות . בכן ↔ נשארים חופשיים ומשתנים הקשורים בנוסחאות B-ו Aמשתנים החופשיים בנוסחאות A ו-B . נשארים קשורים

גם ∃)(Ax -ו ∀)(Ax. אז ביטויים xנוסחא הכוללת משתנה חופשי – Aיהי .4 נשארים חופשיים A - בן הוא קשור. משתנים החופשיים ב xנוסחאות . משתנה ∀)(Ax - נשארים קשורים גם ב A -. משתנים הקשורים ב∃)(Ax-וב ∀)(Ax-גם ב . ∃)(Ax- וב



48

)(של כמת תחוםנקראת Aנוסחא ∀)(Ax. בנוסחא הגדרה x∀ בנוסחא .Ax)(∃ נוסחאA )(של כמת תחוםנקראת x∃ .

),,(. 1: דוגמאות zyxP - . נוסחא אתומיתP – סימון של פרדיקט תלת מקומי . כל המשתנים x, y, z .חופשיים

2 .),()(),,())(( uxQxzyxPyx משתנים קשורים , y - ו xנוסחא . - ∀∃→∀ z ו- u . משתנים חופשיים

))((),(),(. ביטוי 3 yxQzxPyx הוא קשור xאינו נוסחא כי משתנה - ∃∀∧))((),( -ב zxPyx ),(- אך הוא חופשי ב ∃∀ yxQ .

))()(),(),((. ביטוי 4 yxQzxPyx משתנים קשורים , y -ו xהוא נוסחא. - ∃∀∧ z משתנה חופשי . הביטוי)),(),(( yxQzxP מקומי.-מציג פרדיקט תלת ∧

משתנים mשאם אנו ניתן משמעות קונקרטית לכל הסימונים בנוסחא הכוללת צריך לשים לב מקומי . בפרט אם בנוסחא הנתונה אין משתנים חופשיים אז נקבל- mחופשיים אז נקבל פרדיקט

מערכת של הוא Aשל הנוסחא < M = < M, f. מבנה מבנהפסוק. כך אנו מגיעים למושג היא שיטה להענקת משמעות קונקרטית לסימונים f. ההתאמה fוהתאמה Mקבוצה לא ריקה

בנוסחא .

))()(),(),((יהי נוסחא דוגמא. yxQyxPyx משמעויות Q(x,y) -ול P(x,y) -. ניתן לתת ל ∀∃∧ שונות. למשל ) f( = y "Q(x,y) -קטן או שווה ל y " P(x,y) = " ,x -גדול או שווה ל x" )א

Zyxכאשר ∈, ) .f > ,ZM = < ( )Z)(Z))(()((קיבלנו פסוק: yxyxyx ≤∧≥∈∃∈∀ ) f( = Q(x,y)" 2 -קטן מ P(x,y) = " ,x+ y" 10 -גדול מ xy" )ב

,Nכאשר ∈yx ) ., f >NM = < ( )N)(N))(2()10((קיבלנו פסוק: >∧<+∈∃∈∀ xyyxyx

גדול x -כך ש yקיים מספר שלם xבמקרה א) קבלנו פסוק אמיתי " לכל מספר שלם " , במקרה ב) קבלנו פסוק שקרי " לכל מספר y -או שווה לקטן x -ו y -או שווה ל " . 2 - קטן מ x+ y -ו 10 - גדול מ xy -כך ש yקיים מספר טבעי xטבעי

מהדוגמא נראה כבדרך כלל אמיתיות של הנוסחא תלויה במבנה.

או שהנוסחא הזאת Aאת הנוסחא מספק = A, f >M >. אומרים שהמבנה הנתון הגדרה אם הנוסחא אמיתית במבנה . Mבמבנה מסתפקת

))()(),(),((בדוגמא הקודמת הנוסחא yxQyxPyx מסתפקת במבנה א) אך היא לא ∀∃∧ מסתפקת במבנה ב).

תלויה במבנה . שקיימות נוסחאות שאמיתיות שלהן לא ןיש לטעו

נקראת Aאם היא אמיתית בכל מבנה. נוסחא אמיתית לוגיתנקראת A. נוסחא הגדרה אם היא שקרית בכל מבנה . שקרית לוגית

))()(),(),((לדוגמא הנוסחא yxPyxPyx היינה אמיתית לוגית והנוסחה ∀∀∨¬)),(),()()(( yxPyxPyx א שקרית לוגית הי ∀∀∧¬

מושגים של נוסחא אמיתית לוגית ונוסחא שקרית לוגית הינם הכללות של טאוטולוגיה וסתירה בתחשיב הפסוקים .



49

). שקילות של נוסחאות . פעולות על נוסחאות עם כמתים . 3

בוצה ריקה) .נוסחאות שיש בן אותם משתנים חופשיים (עולי ק G - ו Fיהיו

אם לכל הערכים < M = < M, fבמבנה הנתון שקולותנקראות G - ו F. נוסחאות 1הגדרה של משתנים חופשיים הן מקבלות אותם ערכי האמת.

אם הן שקולות בכל מבנה Mבקבוצה שקולותנקראות G - ו F. נוסחאות 2הגדרה M = < M, f > על הקבוצהM.

. Mאם הן שקולות בכל קבוצה שקולות לוגיתנקראות G - ו F. נוסחאות 3הגדרה

GFהשקולות לוגית נסמן G -ו Fאת נוסחאות ⇔

. דוגמאות

)()()()(. נוסחאות 1 xQxxPx ))()()(( - ו ∀∨∀ xQxPx < M = < M, fשקולות במבנה ∀∨

-ו M = Nכאשר

≥=

≥=

"1")(

"1")(: 2xxQ

xxPf .(שתיים נכונות)

אבל הנוסחאות האלה לא שקולות במבנה

M = < M, f > כאשרM = N ו -

≤=

≥=

"4")(

"4")(:

xxQ

xxPf

)()()()(כי במקרה הזה נוסחא xQxxPx ))()()((שקרית אך נוסחא ∀∨∀ xQxPx ∨∀ אמיתית.

)()(. נוסחאות 2 xPx∀ ו - )()( xPx∃ שקולות בכל מבנהM = < M, f > כאשר בקבוצהM )()()(| אז |M= 1יש בדיוק איבר אחד כי אם xPxPx )()()(וגם ∀⇔ xPxPx ⇔∃.

))())()(((. נוסחאות 3 xQxPx ))()()(( - ו ∀¬∧ xQxPx שקולות בכל מבנה ∀¬∨¬ M = < M, f > ז''א הן שקולות לוגית , כי ,))()(()()( xQxPxQxP ∧¬⇔¬∨¬

עכשיו נעבור לפעולות על נוסחאות עם כמתים .

מקומיים. -של פרדיקטים חדנתחיל ממקרה

-אז נכון ש na,..., 2a, 1a= { A {מוגדר על קבוצה סופית U(x)אם פרדיקט

)(...)()()()( 21 naUaUaUxUx ∧∧∧⇔∀

)(...)()()()( 21 naUaUaUxUx ∨∨∨⇔∃

היינו הכללה של דיסיונקציה . ∃היינו הכללה של קוניונקציה וכמת ∀זאת אומרת כמת

נרשום כמה שקילויות חשובות הנותנות לבצע פעולות על נוסחאות עם כמתים.

. מתקיים: 1משפט )1 ())()(())()(( xUxxUx ¬∃⇔∀¬ , )2 ())()(())()(( xUxxUx ¬∀⇔∃¬ .

. נוכיח את השקילות הראשונה. הוכחהTxUxיהיה =∀¬ FxUx. אז ))()(( =∀ נתקבל x, ז''א לא לכל ערך של )()(

U(x) קיים אמיתי . לכןMa∈ כך ש - FaU TaU. אז )(= =¬ TxUx. לכן )( ⇔¬∃ ))()(( . TxUxלהפך יהיה ⇔¬∃ TaU - כך ש ∋Ma. אז קיים ))()(( =¬ ז''א )(



50

FaU FxUx. לכן )(= =∀ TxUx - ו )()( =∀¬ ))()(( . באופן דומה מוכיחים את השקילות השניה.

מתקיים: .2משפט )3 ()()()()())()()(( xQxxPxxQxPx ∀∧∀⇔∧∀ ,

)4 ()()()()())()()(( xQxxPxxQxPx ∃∨∃⇔∨∃ . ללא הוכחה.

-ש לא נכון. בדרך כלל הערה

)5 ()()()()())()()(( xQxxPxxQxPx ∀∨∀⇔∨∀ , )6 ()()()()())()()(( xQxxPxxQxPx ∃∧∃⇔∧∃ .

- נכון רק ש )7 ())()()(()()()()( xQxPxxQxxPx ∨∀⇒∀∨∀ ,

)8 ()()()()())()()(( xQxxPxxQxPx ∃∧∃⇒∧∃ .

) גם נכונות ז.א.6(-)5אז ( x -לא תלוי ב Q -ו Pאם אחד מהפרדיקטים

)9 ())()(()()( QxPxQxPx ∨∀⇔∨∀ , )10 (QxPxQxPx ∧∃⇔∧∃ )()())()(( .

: דוגמאות

פרדיקטים בקבוצה = Q(x) " 2 -מתחלק ב " P(x) = ,x " 3 -מתחלק ב " x . יהיה 1 A = { 2, 3, 4, 6, 8, 9, ... } . הנוסחא)()()()( xQxxPx שקרית אך הנוסחא ∀∨∀ ))()()(( xQxPx אז גם הנוסחא השניה תהיה Nאנו נקח Aאמיתית. אם במקום קבוצה ∀∨ שקרית.

פרדיקטים בקבוצה = Q(x) " 2 -מתחלק ב " P(x) = ,x " 3 -מתחלק ב " x . יהיה 2 B = { 2, 3 } הנוסחא .)()()()( xQxxPx ))()()((אמיתית אך הנוסחא ∃∧∃ xQxPx ∧∃ אז גם הנוסחא השניה תהיה אמיתית. Nאנו נקח Bאם במקום קבוצה שקרית.

טים בקבוצה פרדיק = Q " 2 -מתחלק ב " P(x) = ,6 " 3 -מתחלק ב " x . יהיה 3 A = { 2, 3, 4, 6, 8, 9, ... } הנוסחאות .QxPx ∨∀ )()( ))()(( QxPx שקולות . ∀∨

מקומיים. -נעבור לפרדיקטים דו

yתכום של משתנה M -ו xתכום של משתנה Lמקומי כאשר - פרדיקט דו U(x,y)יהיה ) . בעזרת כמתים ניתן לבנות ארבעה Mאומרים שהפרדיקט מוגדר בקבוצה L=M(במקרה

מקומיים - פרדיקטים חד ),()()(1 yxUyxP ∀= ,

),()()(2 yxUyxP ∃= ,

),()()(1 yxUxyQ ∀= ,

),()()(2 yxUxyQ ∃=

ושמונה נוסחאות הבאות:

),())(( yxUyx ∀∀ ,),())(( yxUyx ∃∀ ,

),())(( yxUxy ∀∀ ,),())(( yxUxy ∃∀

),())(( yxUyx ∀∃ ,),())(( yxUyx ∃∃ ,

),())(( yxUxy ∀∃ ,),())(( yxUxy ∃∃



51

מקומיים. לדוגמא -ניתן להכליל למקרה של פרדיקטים דו 2 - 1את המשפטים

),()()),()(( yxUxyxUx ¬∃⇔∀¬ ,

),()()),()(( yxUyyxUy ¬∀⇔∃¬ ,

),())(()),())((( yxUyxyxUyx ¬∃∀⇔∀∃¬ ,

),())(()),())((( yxUxyyxUxy ¬∀∃⇔∃∀¬ .

כדי למצוא שלילה של הנוסחא המתחילה בכמתים צריך להחליף כל כמת בכמת דואלי : במילים . דרך הכמתים ¬ולהפך ) ולהעביר ∃ -ב ∀( ז''א להחליף

. דוגמאות

))()(),(),((. למצוא שלילה של הנוסחא 1 yxQyxPyx ∨∀∃ .

¬∃∀∨⇔∀∃¬∨⇔: פתרון )),(),(())(())),(),()()((( yxQyxPyxyxQyxPyx )),(),()()(( yxQyxPyx ¬∧¬∃∀⇔

)))((),()(),((. למצוא שלילה של הנוסחא 2 yxQyyxPyx ∀→∃∀ .

: פתרון ⇔∀→∃¬∃⇔∀→∃∀¬ )),()(),()(()())),()(),())(((( yxQyyxPyxyxQyyxPyx ⇔∀¬∧∃∃⇔∀∨∃¬¬∃⇔ )),()(),())((()),()(),()(()( yxQyyxPyxyxQyyxPyx

)),()(),())((()),()(),())((( yxQyyxPyxyxQyyxPyx ¬∃∧∃∃⇔∀¬∧∃∃⇔

))((),())((),( - אפשר להראות ש yxUxyyxUyx ∀∀⇔∀∀ , ),())((),())(( yxUxyyxUyx ∃∃⇔∃∃ ,

- ש לא נכוןאבל ),())((),())(( yxUxyyxUyx ∀∃⇔∃∀ , ),())((),())(( yxUyxyxUxy ∀∃⇔∃∀ .

- נכון רק ש ),())((),())(( yxUyxyxUxy ∃∀⇒∀∃ , ),())((),())(( yxUxyyxUyx ∃∀⇒∀∃ .

: דוגמא

))((),(. הנוסחא Z -מקומי המוגדר ב-דו פרדיקט " U(x,y) = " x ≥ yיהיה yxUyx ∃∀ ))((),(אמיתית אך הנוסחא yxUxy ))((),(שקרית . הנוסחא ∃∀ yxUxy אמיתית אך ∀∃

))((),(הנוסחא yxUyx שקרית . ∃∀

מקומיים.-nל פרדיקטים נטען כי נוסחאות של הסעיף ניתן להכליל גם למקרה ש

ובה כל כמטים עומדים לפני A- זאת הנוסחה ששקולה לAשל נוסחה G הצורה הפרנקסית נורמלית או שלילותיהם.משתתפים רק סימני פרדיקטים (פעולות) Aהנוסחה ובחלק הפנימי של

.צורה פרנקסית נורמליתניתן להראות כי לכל נוסחא קיימת

אובמ הקיטמתמל תיטרקסיד - bgu mathlipyansk/discrete/discrete...

Documents