ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Расчет …e.lib.vlsu.ru ›...
TRANSCRIPT
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Владимирский государственный университет Кафедра сопротивления материалов
ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Введение. Расчет стержневых систем
Конспект лекций
Составитель Л.Е. КОНДРАТЬЕВА
Владимир 2007
2
УДК 624.04/519.61 ББК 38.112/22.192 О-75
Рецензент Доктор технических наук, профессор
Владимирского государственного университета А.В. Белевич
Печатается по решению редакционно-издательского совета Владимирского государственного университета
Основы метода конечных элементов : Введение. Расчет стерж-невых систем : конспект лекций / Владим. гос. ун-т ; сост. Л.Е. Кондратьева. – Владимир : Изд-во Владим. гос. ун-та, 2007. – 36 с.
Предназначен для использования при освоении теоретической части курсов
«Машинные методы расчета строительных конструкций», «Машиноинформационные программы в строительстве», «Численные методы в строительстве» и др., где изучается метод конечных элементов (МКЭ). Рассмотрены принципы и приемы дискретизации исследуемых областей различных видов, приведения внешних нагрузок к узловым, матрицы жесткости различных одномерных элементов в местной и глобальной систе-мах координат, основные соотношения для отдельного одномерного элемента и для стержневой системы.
Написан для студентов специальностей 270102 «Промышленное и гражданское строительство», 270105 «Городское строительство и хозяйство», 270115 «Экспертиза и управление недвижимостью». Может быть использован студентами других специаль-ностей при изучении МКЭ.
Ил. 31. Библиогр.: 6 назв. УДК 624.04/519.61 ББК38.112/22.192
О-75
3
ВВЕДЕНИЕ
История развития и области применения метода конечных элементов
Метод конечных элементов (МКЭ) – численный метод решения дифференциальных уравнений, широко используемый в различных облас-тях техники (ракето- и самолетостроение, кораблестроение, строительство и др.). Основоположником теории МКЭ считается Р. Курант (1943 г.). М. Тернер, Х. Мартин и др. внедрили МКЭ в строительную механику и механику сплошных сред (конец пятидесятых – начало шестидесятых го-дов двадцатого века).
Существенно расширили область применения МКЭ Б. Сабо, О. Зенке-вич и др. (конец шестидесятых – начало семидесятых годов), показав, что его можно использовать для решения любых дифференциальных уравнений.
Большой вклад в развитие МКЭ внесли отечественные ученые Л. Ро-зин, В. Корнеев, В. Постнов и др.
Развитие МКЭ неразрывно связано с совершенствованием вычисли-тельной техники, ускоряющей сложные численные расчеты. Соответст-венно совершенствовались вычислительные программы, реализующие этот метод. Наиболее распространенными программами расчета конструкций на основе МКЭ являются в настоящее время COSMOS, ЛИРА, STARK (строительные конструкции).
Основная концепция метода конечных элементов
Основная идея МКЭ состоит в том, что любую непрерывную в неко-торой области величину (например, внутреннее усилие в фундаментной балке, перемещение в плите перекрытия и т.п.) можно аппроксимировать дискретной моделью, которая создается из множества кусочно-непре-рывных функций, определенных в конечном числе подобластей (элемен-тов). Обычно такими функциями являются полиномы – линейные, квадра-тичные, кубичные и т.д. Кусочно-непрерывные функции строятся с помощью значений непрерывной величины в точках соединения элементов (в узлах).
Таким образом, чтобы определить неизвестную непрерывную вели-чину, нужно определить ее значения в узлах.
4
Основные этапы создания дискретной модели неизвестной величины следующие:
1. В исследуемой области задается конечное число точек (узлов). 2. Значения непрерывной величины в каждом узле считаются неиз-
вестными, они должны быть определены. 3. Исследуемая область разбивается на конечное число подобластей
(элементов), имеющих общие точки (узлы). 4. Непрерывная величина в каждом элементе аппроксимируется по-
линомом, который определяется с помощью узловых значений этой вели-чины: для каждого элемента определяется свой полином, но его коэффи-циенты подбираются так, чтобы сохранялась непрерывность величины на каждой границе элемента.
Основную идею МКЭ иллюстрирует следующий пример. Рассматриваются прогибы v в
стержне (рис. 1). Непрерывная величина – функ-
ция прогиба )(xv . Ее область опреде-ления (исследуемая область) – стер-жень длиной l.
Задается пять точек (узлов). Фик-сируются прогибы в каждом узле:
521 ,...,, vvv (рис. 2). Аппроксимирующая функция –
линейный по х полином, так как на ка-ждый элемент приходится по два узла. Окончательная аппроксимация )(xv – четыре кусочно-линейные функции, каждая из которых определена на от-дельном элементе (рис. 3).
Неизвестные узловые значения )(xv должны быть отрегулированы та-
ким образом, чтобы приближение к ис-тинной функции )(xv было наилуч-
шим. Это осуществляется минимизацией некоторой величины, связанной с физической сущностью задачи. Процесс минимизации сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений относительно узловых значе-ний )(xv .
х q
v(x)
l
Рис. 1
1 2 3 4 5
v1 v2
v3 v4 v5
Рис. 2
1 2 3 4 5
v1 v2
v3 v4
v5
v
x
Рис. 3
5
Если неизвестная непрерывная величина ϕ определена в двух- или трехмерной области, аппроксимирующими являются функции от х и у или от х, у и z соответственно. Двумерная область разбивается обычно на эле-менты в форме треугольника или четырехугольника, трехмерная область – на элементы в форме тетраэдра или параллелепипеда. Аппроксимирующие функции изображаются в таком случае плоскими (рис. 4, а) или криволи-нейными (рис. 4, б) поверхностями (двумерная область).
Рис. 4
Из сказанного выше следует, что основными преимуществами МКЭ являются следующие:
1. Возможность исследовать тела (конструкции), составленные из нескольких материалов (так как свойства материалов соседних элементов могут быть разными).
2. Возможность исследовать области (конструкции) любой формы (так как криволинейная область аппроксимируется прямолинейными эле-ментами или точно описывается криволинейными элементами).
3. Возможность учета различных граничных условий: с разрывной нагрузкой, смешанных.
4. Возможность составления общих методик и программ для реше-ния различных по физике задач одного определенного вида (например, программа осесимметричной задачи о распространении тепла может быть использована для решения любой задачи данного типа: о распределении напряжений в осесимметричной конструкции и т.п.).
а) б)
х у
ϕ
х у
ϕ
6
Дискретизация области
Разбиение области на подобласти – первый этап в решении задачи МКЭ. Эта операция требует инженерных навыков и опыта. Неудачное раз-биение приведет к ошибочным результатам решения задачи.
При разбиении области необходимо уже иметь некоторые общие представления о результатах решения задачи, чтоб уменьшить размеры элементов в тех частях области, где ожидаемый результат может резко ме-няться, и увеличить размеры в тех частях, где ожидаемый результат близок к постоянному. Вообще, при разбиении области всегда идет поиск золотой середины: с одной стороны, элементы должны быть достаточно малыми, чтоб получить результаты необходимой точности; с другой стороны, чем крупнее элементы, тем меньше вычислительной работы.
Одномерные элементы Одномерный элемент – это стержневой элемент. Он используется
при расчете стержневых конструкций (фермы, балки, рамы и т.п.). Одномерные элементы могут быть с двумя узлами (рис. 5, а), тремя
(квадратичные) (рис. 5, б), четырьмя (кубические) (рис. 5, в).
Рис. 5 Двумерные элементы Основные виды двумерных элементов – треугольные и четырех-
угольные (рис. 6).
а) б) в)
Рис. 6
7
Толщина элементов может быть постоянна или может являться функцией координат. Такие элементы используются при расчете различ-ных пластин (плиты перекрытий, стеновые панели и т.п.).
Трехмерные элементы Наиболее часто используются трехмерные элементы в виде тетраэд-
ра или параллелепипеда (рис. 7).
При рассмотрении конструкций специфической формы (например,
осесимметричных) используются специальные элементы (рис. 8).
Рис. 8
Разбиение области на элементы Разбиение одномерной конструкции на элементы не представляет
трудностей. При разбиении двумерной области чаще используются треугольные
элементы. Сначала область делится на треугольные и четырехугольные подоб-
ласти (зоны): границы между зонами определяются изменением геометрии области, изменением нагрузки, свойств материалов.
Затем зоны разбиваются на элементы. Наиболее легко разбить тре-угольную зону, выбрав определенное количество узлов вдоль каждой сто-
Рис. 7
z
θ r
8
роны зоны и соединив соответствующие узлы линиями (рис. 9). Если на каждой стороне такой зоны выбрано по п узлов, число полученных тре-угольных элементов равно ( )21−п .
Рис. 9 Четырехугольные зоны обычно разбиваются соединением узлов на
противоположных сторонах (рис. 10). Если число узлов на двух противо-положных сторонах такой зоны одинаково и равно п и т для двух пар про-тивоположных сторон, число прямоугольных элементов этой зоны будет ( )( )112 −− mn .
Рис. 10
Четырехугольные элементы в дальнейшем можно разбивать на тре-угольные проведением более короткой диагонали в четырехугольнике. Разбиение более короткой диагональю дает элементы, наиболее близкие к равностороннему треугольнику, что ведет к более точным результатам.
Равномерное разбиение, когда все элементы имеют одинаковые раз-меры, используется редко. Обычно из-за ожидаемой концентрации напря-
жений размеры элементов варьи-руются, и эта возможность является важным достоинством метода ко-нечных элементов. Наиболее про-стой способ изменения размеров элементов – применение черырех-угольных зон с различным числом узлов на противоположных сторо-нах (рис. 11).
Желательное разбиение
Нежелательное разбиение
Рис. 11
9
Нумерация узлов Порядок нумерации узлов влияет на эффективность вычислений ме-
тода конечных элементов. Реализация МКЭ приводит к решению системы алгебраических уравнений, большое число коэффициентов которой нуле-вые. В матрице коэффициентов этой системы все ненулевые коэффициен-ты заключены между линиями, параллельными главной диагонали матри-цы (рис. 12).
Расстояние между главной диагональю и одной из этих линий называется шириной поло-сы матрицы (см. рис. 12) и является показателем эффективности вычислений: чем ширина полосы уже, тем меньше размер требуемой машинной памяти и время вычислений. Ширина полосы определяется порядком нумерации узлов:
( )QRB 1+= ,
где В – ширина полосы; R – наибольшая для ис-следуемой области разница между номерами уз-лов в элементе; Q – число неизвестных в каждом узле.
Таким образом, при нумерации узлов необходимо стремиться к тому, чтобы разница между номерами узлов в элементах области была как мож-но меньше. Для простой прямоугольной области это проиллюстрировано на рис. 13. Вариант а менее эффективен: наибольшая разница между номе-рами узлов в элементе 8. Вариант б более эффективен: соответствующая разница – 4.
Рис. 13
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
aaaaaaaa
aaaaaaa
aaaaaa
0000000000000
000000000000000
Рис. 12
Ширина полосы
7 11 15 19 23 27 31
8 12 16 20 24 28 32
6 10 14 18 22 26 30
5 9 13 17 21 25 29 1
4
3
2
1 2 3 4 5 6 7 8
26 27 28 29 30 31 32 25
17
9 10 11 12 13 14 15 16
18 19 20 21 22 23 24
а) б)
10
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Общая постановка задачи
Рассматривается пространственная стержневая система. Предполагается, что материал стержней идеально упругий. Система является линейно-деформируемой. Стержневая система разбивается на конечное число элементов, со-
единенных с соседними в узлах. Соединение в узле может быть жестким (рис. 14, а – для плоской стержневой системы) или шарнирным (рис. 14, б – также для плоской стержневой системы).
Рис. 14 Жесткий узел обеспечивает равенство всех перемещений концевых
сечений элементов, примыкающих к узлу (и линейных перемещений, и уг-лов поворота). Шарнирный узел обеспечивает равенство только линейных перемещений концов элементов.
За неизвестные принимаются перемещения узлов стержневой системы.
Матрица жесткости ферменного элемента
Рассмотрим отдельный ко-нечный элемент с шарнирными узлами i, j (рис. 15). Такие эле-менты называются ферменными. Свяжем с ним систему координат ху (см. рис. 15). Эта система ко-ординат, привязанная к конкрет-ному конечному элементу, назы-вается местной.
а) б)
Рис. 15
i i´
j
j´
v j v i x
y
l
ui uj
11
Под действием внешних нагрузок стержневая система деформирует-ся, в том числе деформируется рассматриваемый элемент. Его узлы пере-местятся в новые положения ji ′′, (см. рис. 15). Матрицы-векторы пере-мещений узлов i и j соответственно
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
i
ii v
uq ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
j
jj v
uq ,
а вектор узловых перемещений элемента
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
j
j
i
i
j
i
v
uvu
q .
Теперь рассмотрим усилия, приложенные к элементу, – внутренние усилия, заменяющие действие остальной части стержневой системы на наш элемент (рис. 16).
Рис. 16 Матрицы-векторы внутренних усилий для узлов i и j
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
iy
ixi R
RR , ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
jy
jxj R
RR ,
вектор усилий всего элемента
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
jy
jx
iy
ix
j
i
RRRR
RR
R .
Если нагрузка на такой прямолинейный элемент приложена только в узлах, 0== jyiy RR . Действительно, из условия равновесия элемента
∑ = 0iM → 0=lR jy → 0=jyR ,
i j x
y
Rjx
Rjy
Rix
Riy
12
из условия равновесия
∑ = 0y → 0=+ jyiy RR → 0iуR = .
Кроме этого из условия равновесия элемента
∑ = 0x → 0iх jxR R+ = → jx ix xR R R= − = .
Это означает, что продольные усилия одинаковы по величине и противо-направлены. На рис. 17 представлена соответствующая картина с растяги-вающими усилиями.
Рис. 17
Удлинение элемента ij uul −=Δ , тогда
( )ijx uul
EAllEAR −=
Δ= ,
где Е – модуль Юнга материала; А – площадь поперечного сечения эле-мента.
В матричной форме
1 0 1 00 0 0 01 0 1 00 0 0 0
EAR ql
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
или
1 0 1 00 0 0 01 0 1 00 0 0 0
ix i
iy i
jx j
jy j
R u
R vEAR ul
R v
⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
. (1)
i j x
y
Rx Rx
13
Обозначим
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
0000010100000101
lEAKM . (2)
Такая матрица называется матрицей жесткости стержневого элемента в местной системе координат.
Окончательно MR K q= . (3)
Матрица жесткости балочного элемента
Теперь рассмотрим отдельный конечный элемент с жесткими узлами i, j (рис. 18).
Рис. 18
Такие элементы называются балочными. В результате деформации
стержневой системы под действием внешних нагрузок узлы рассматривае-мого элемента переместятся в новые положения ji ′′ , , кроме этого конце-вые сечения повернутся (см. рис. 18). Векторы перемещений узлов
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Θ=
i
i
i
i vu
q , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Θ=
j
j
j
j vu
q ,
ii´
j
j´
v j
v i x
y
lui uj
Θj
Θi
z
14
а вектор узловых перемещений элемента
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Θ
Θ=
j
j
j
i
i
i
vu
vu
q .
Усилия, действующие на элемент, показаны на рис. 19.
Рис. 19
Векторы внутренних усилий для узлов i, j
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
iz
iy
ix
iMRR
R , jx
j jy
jz
R
R R
M
⎡ ⎤⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
,
а вектор для всего элемента
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
jz
jy
jx
iz
iy
ix
MRRMRR
R .
Матрицу жесткости КM балочного элемента получим следующим об-разом. Будем отдельно рассматривать перемещения узлов по оси х, по оси y, повороты узловых сечений относительно оси z для каждого узла (рис. 20).
Узловые усилия можно определить, воспользовавшись табличными результатами для расчета рам методом перемещений [1] (рис. 21).
i j x
y
Rjx
Rjy Riy
Mjz Miz Rix
z
15
Рис. 20
6
AiM
l= − ;
liM B
6= ;
212l
iRR BA == ;
iM A 4= ; iM B 2= ;
liRR BA
6== ,
где l
EJi =
Рис. 21
RA
RB
MA
l
i A B
MB Δ =
1
A
RA RB
MA
l
i B
MBϕA = 1
ϕA = 1
i′ z
y
xj i
ui
j′
z
y
xj i
uj
z
y
xj i
i′
v i v j
z
y
xj i
z
y
xj i
Θi
z
y
xj i
Θj
j′
16
Учитывая направления перемещений узлов, а также то, что смеще-ния узлов нашего балочного элемента не единичные, а jiji vv ΘΘ , , , (см. рис. 20), получим усилия, соответствующие отдельным смещениям узлов, показанные на рис. 22.
Рис. 22
ivlEJ3
12
ivlEJ2
6
ivlEJ3
12 iv
lEJ2
6
y
x
z
v i
i j
i′
i
jvlEJ2
6
y
x
z
jvlEJ3
12
jvlEJ2
6
j
v j jv
lEJ3
12
j′
ilEJ
Θ4
ilEJ
Θ26
ilEJ
Θ2
y
x
z
i j
ilEJ
Θ26
Θi
jlEJ
Θ4
jlEJ
Θ26
jlEJ
Θ2
i j
y
x
z
Θj
jlEJ
Θ26
17
Тогда узловые усилия
jjjiiiiy lEJv
lEJu
lEJv
lEJuR Θ+−⋅+Θ++⋅= 2323
61206120 ,
jjjiiijy lEJv
lEJu
lEJv
lEJuR Θ−+⋅+Θ−−⋅= 2323
61206120 ,
jjjiiiiz lEJv
lEJu
lEJv
lEJuM Θ+−⋅+Θ++⋅=
260460 22 ,
jjjiiijz lEJv
lEJu
lEJv
lEJuM Θ+−⋅+Θ++⋅=
460260 22 .
Выражения для узловых усилий ixR и jxR получаются с использова-нием формулы (1):
jjjiiiix vul
EAvul
EAR Θ⋅+⋅+−Θ⋅+⋅+= 0000 ,
jjjiiijx vul
EAvul
EAR Θ⋅+⋅++Θ⋅+⋅+−= 0000 .
В матричной форме
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
6 4 6 20 0
0 0 0 0
12 6 12 60 0
6 2 6 40 0
ix i
iy i
iiz
jjx
jy
jz
EA EAl l
EJ EJ EJ EJR u
l l l lR vEJ EJ EJ EJM l ll l
uR EA EAvl lR
EJ EJ EJ EJMl l l lEJ EJ EJ EJ
l ll l
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ Θ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
j
j
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥Θ⎣ ⎦
18
или
2 2
2 2
0 0 0 012 6 12 60 0
6 60 4 0 2
0 0 0 012 6 12 60 0
6 60 2 0 4
ix i
iy i
iiz
jjx
jjy
jjz
A AJ J J J
R ul ll lR vJ JJ JM E l l
uR A AlvR J J J J
l ll lMJ JJ Jl l
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥Θ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Θ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
.
В общем виде это уравнение выглядит так же, как для ферменного
элемента (3): qKR M= ,
где MK – матрица жесткости балочного элемента:
2 2
2 2
0 0 0 012 6 12 60 0
6 60 4 0 2
0 0 0 012 6 12 60 0
6 60 2 0 4
M
A AJ J J J
l ll lJ JJ J
E l lKA Al
J J J Jl ll l
J JJ Jl l
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
. (4)
Приведение внешних нагрузок к узловым усилиям
В предыдущих разделах рассматривались стержневые элементы, на которые действует только узловая нагрузка (см. рис. 16, 19). В действи-тельности внешняя нагрузка на стержневые конструкции может быть и распределенной (рис. 23, а).
19
В таких случаях перед решением задачи МКЭ проводится так назы-ваемое приведение внешних нагрузок к узловым усилиям.
Так как рассматриваются линейно-деформируемые упругие стержне-вые системы, можно использовать принцип суперпозиции (принцип неза-висимости действия сил). В соответствии с этим принципом результат дей-ствия группы сил равен сумме результатов, полученных от действия каж-дой силы в отдельности.
Рис. 23
Представим решение нашей задачи в виде суммы решений для той же стержневой системы от нескольких внешних воздействий, равных в сумме исходному воздействию.
Закрепим все узлы системы от всех возможных смещений (рис. 23, б): в данном случае это означает введение жесткой заделки в узел i и шарнир-но-неподвижной опоры в узел j. В результате 0=iq , 0=jq . Получившаяся
при этом система – это не связанные друг с другом стержневые элементы (рис. 23, в).
l
h/2
h
q q
F
i j
q
F
a) б)
в) г)
2F
Fh125,0
2F
Fh125,0 ql
83
ql85
8
2ql
F
20
Определить усилия в такой системе можно относительно просто: ка-ждый отдельный стержень – дважды или трижды статически неопредели-мая система, которая может быть рассчитана методом сил. В случае про-стейших внешних нагрузок можно воспользоваться готовыми решениями [1] (рис. 23, г – эпюра изгибающих моментов изгM в отдельных стержнях).
Теперь рассмотрим заданную систему (см. рис. 23, а) под действи-ем узловых усилий, равных тем, ко-торые приходились в отдельных стержнях на их опоры (рис. 24).
По принципу суперпозиции решение исходной задачи (см. рис. 23, а) можно представить в виде суммы решений двух задач (рис. 23, б и 24).
Таким образом, расчет стерж-невой системы на действие произ-
вольной внешней нагрузки состоит из расчета отдельных ее элементов на действие внешней нагрузки, относящейся к ним, и расчета всей стержне-вой системы в целом на действие только узловых усилий. Первый расчет, как было сказано выше, относительно прост. Поэтому задача сводится в основном к расчету стержневой системы на узловые нагрузки. Описанная операция и называется приведением внешних нагрузок к узловым усили-ям.
Преобразование матрицы жесткости ферменного элемента при переходе к глобальной системе координат
Рассмотрим ферменный элемент в некоторой системе координат ху, единой для всей стержневой сис-темы, состоящей из ферменных элементов (рис. 25). Такая систе-ма координат называется гло-бальной. rr yx – местная система координат данного элемента.
Рис. 24
ql85
2F
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− Fhql 125,0
8
2
ql83
Fh125,0
2F
x
l EA ϕ
y
yr
xr
Rcosϕ
Rsinϕ R
Rsinϕ
Rcosϕ
R
i
j
Рис. 25
21
В результате деформации узлы элемента переместятся (рис. 26).
Рис. 26
Вектор узловых перемещений элемента в глобальной системе коор-динат
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
j
j
i
i
vuvu
q .
Вектор узловых усилий
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ϕϕϕ−ϕ−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
sincossincos
RRRR
RRRR
R
jy
jx
iy
ix
.
Удлинение элемента ( ) ( ) ϕ−+ϕ−=Δ sincos ijij vvuul . Тогда
( ) ( )[ ]ϕ−+ϕ−=Δ= sincos ijij vvuul
EAll
EAR .
Вектор узловых усилий
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ϕ−+ϕϕ−ϕϕ−+ϕ−ϕ−−ϕϕ−−ϕϕ−−ϕ−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
2
2
2
2
sinsincoscossincos
sinsincoscossincos
ijij
ijij
ijij
ijij
jy
jx
iy
ix
vvuuvvuu
vvuuvvuu
lEA
RRRR
R
j
x
y
i
yr
xr
i′
j′
ui
v i uj
v j
22
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ϕ+ϕϕ+ϕ−ϕϕ−ϕϕ+ϕ+ϕϕ−ϕ−ϕ−ϕϕ−ϕ+ϕϕϕϕ−ϕ−ϕϕ+ϕ
=
22
22
22
22
sincossinsincossincossincoscossincos
sincossinsincossincossincoscossincos
jjii
jjii
jjii
jjii
vuvuvuvu
vuvuvuvu
lEA
2 2
2 2
2 2
2 2
cos sin cos cos sin cos
sin cos sin sin cos sin
cos sin cos cos sin cos
sin cos sin sin cos sin
i
i
j
j
uvEA
ulv
⎡ ⎤ϕ ϕ ϕ − ϕ − ϕ ϕ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ϕ ϕ ϕ − ϕ ϕ − ϕ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ϕ − ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦− ϕ ϕ − ϕ ϕ ϕ ϕ⎣ ⎦
.
Матрицу
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ϕϕϕϕ−ϕϕ−ϕϕϕϕϕ−ϕ−ϕ−ϕϕ−ϕϕϕϕϕ−ϕ−ϕϕϕ
=
22
22
22
22
sincossinsincossincossincoscossincos
sincossinsincossincossincoscossincos
lEAK
называют матрицей жесткости ферменного элемента в глобальной системе координат. Коротко
KqR = .
Нетрудно проверить, что эта матрица жесткости связана с матрицей жесткости ферменного элемента в местной системе координат MK (2) со-отношением
CKCK MΤ= , (5)
где С – так называемая матрица направляющих косинусов осей ,r rx y ме-стной системы координат относительно осей х, у глобальной системы ко-ординат:
cos sin 0 0sin cos 0 00 0 cos sin0 0 sin cos
C
ϕ ϕ⎡ ⎤⎢ ⎥− ϕ ϕ⎢ ⎥=⎢ ⎥ϕ ϕ⎢ ⎥− ϕ ϕ⎣ ⎦
.
23
Преобразование матрицы жесткости балочного элемента при переходе к глобальной системе координат
Рассмотрим балочный элемент в глобальной системе координат (рис. 27). Вектор узловых перемещений элемента в глобальной системе координат
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Θ
Θ=
j
jji
ii
vu
vu
q .
Рис. 27
Вектор узловых усилий
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
jz
jyjxiz
iyix
M
RRM
RR
R .
Подобно тому, как выше была получена матрица жесткости фермен-ного элемента в глобальной системе координат, может быть получена мат-рица жесткости балочного элемента в глобальной системе координат:
KqR = , где
i x
z
lEJ
y yr
xr
j ϕ
zr
i′
j′ uj
v j
Θj
Θi ui
v i
2 2 2 22 2 2 2
2 2 22 2 2 2
12 12 6 12 12 6cos sin sin cos sin cos sin sin cos sin
12 12 6 12 12sin cos sin cos cos sin cos sin
J J J J J JA A A Al ll l l l
J J J J JA A A All l l l
EKl
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ+ ϕ − − + ϕ ϕ − ϕ − ϕ+ ϕ − + ϕ ϕ − ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + ϕ ϕ ϕ+ ϕ ϕ − + ϕ ϕ − ϕ+⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
2
2 2 2 22 2 2 2
2 22 2
6cos cos
6 6 6 6sin sin 4 sin cos 2
12 12 6 12 12 6cos sin sin cos sin cos sin sin cos sin
12 12sin cos sin cos
Jl
J J J JJ Jl l l l
J J J J J JA A A Al ll l l l
J JA Al l
⎛ ⎞ϕ ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠
− ϕ ϕ ϕ − ϕ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ϕ+ ϕ − + ϕ ϕ ϕ ϕ+ ϕ − − + ϕ ϕ ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛− + ϕ ϕ − ϕ+ ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
2 22 2
6 12 12 6cos sin cos sin cos cos
6 6 6 6 4sin cos 2 sin cos
J J J JA Al ll l
J J J J JJl l l l l
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− ϕ − − + ϕ ϕ ϕ+ ϕ − ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥− ϕ ϕ ϕ − ϕ⎢ ⎥⎣ ⎦ .
25
Эта матрица также связана с матрицей жесткости балочного элемен-та в местной системе координат (4) соотношением (5), при этом
cos sin 0 0 0 0sin cos 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 cos sin 00 0 0 sin cos 00 0 0 0 0 1
C
ϕ ϕ⎡ ⎤⎢ ⎥− ϕ ϕ⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥ϕ ϕ⎢ ⎥⎢ ⎥− ϕ ϕ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Характеристики совокупности элементов
Выше были введены матрицы, характеризующие отдельный стерж-невой элемент, и получены соотношения между ними. Теперь получим ха-рактеристики совокупности стержневых элементов, образующих стержне-вую систему.
Первоначально будем считать элементы не связанными друг с дру-гом. Общее число элементов системы – т.
Вектор узловых перемещений системы
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
m
r
q
q
q
q
1
. (6)
Вектор узловых усилий системы
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
m
r
R
R
R
R
1
.
26
Матрица жесткости системы
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
m
r
Kилун
K
илунK
K
1
.
Далее рассмотрим элементы, связанные в единую систему, например раму (см. рис. 23, а).
Чтобы заставить m несвязанных элементов работать так же, как ра-ботает соответствующая система связанных элементов, нужно приравнять перемещения соответствующих узлов этих двух систем.
В матричной форме эти соотношения выглядят так:
qHq = , где q – вектор узловых перемещений системы несвязанных элементов (6); Н – так называемая матрица соединения (или логическая матрица); q – вектор узловых перемещений системы связанных элементов.
Матрица соединения состоит из единичных матриц Е. Для системы ферменных элементов
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1001
E .
Для системы балочных элементов
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010001
E .
Матрица жесткости системы связанных элементов
KHHK Τ= .
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Для иллюстрации вышеизложенных основных принципов МКЭ рас-
считаем ферму (рис. 28).
27
Рис. 28
Пронумеруем элементы (см. рис. 28). Запишем матрицы жесткости отдельных элементов фермы в местных
системах координат (рис. 29):
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
0000010100000101
233,1 EAKM ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
0000010100000101
35,4,2 EAKM .
Рис. 29
у1 х1 у4
х4
у3
х3
х2
у2 у5
х5
1 2 3
4 5
у
ЕА
2 кН
1
2 3
4
3 м
1
3
х
ЕА ЕА
25
3 м
4 ЕА
ЕА
12 кН
3 м
28
Вычислим матрицы жесткости отдельных элементов фермы в гло-бальной системе координат ху (см. рис. 28).
Для этого составим матрицы С направляющих косинусов элементов:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
11
11
11
11
1
,cos,cos00,cos,cos00
00,cos,cos00,cos,cos
yyyxxyxx
yyyxxyxx
С =
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
°°°°
°°°°
45cos135cos00315cos45cos000045cos135cos00315cos45cos
=
=
2 2 0 02 22 2 0 0
2 22 20 0
2 22 20 0
2 2
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
1100110000110011
22 ;
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
0100100000010010
2С ;
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
1100110000110011
223С ;
29
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
1000010000100001
54 СС .
Тогда в соответствии с (5) ( ) ==Τ 1111 CKCK M
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
1100110000110011
22
0000010100000101
231100110000110011
22 EA
1 1 1 11 1 1 11 1 1 16 21 1 1 1
EA− −⎡ ⎤
⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦
.
Аналогично получим:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
1010000010100000
32 EAK ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
−−
=
1111111111111111
263 EAK ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
==
0000010100000101
344 EAKK M ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
==
0000010100000101
355 EAKK M .
Составим матрицу жесткости системы несвязанных элементов:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
5
4
3
2
1
KилунK
KK
илунK
K .
30
Получим матрицу жесткости системы связанных элементов K . Сначала составим матрицу соединения Н. Для этого заставим систе-
му несвязанных элементов (см. рис. 29) работать так же, как заданная сис-тема (см. рис. 28): приравняем перемещения соответствующих узлов этих двух систем.
111 qq = ,
312 qq = ,
221 qq = ,
322 qq = ,
331 qq = ,
432 qq = ,
141 qq = ,
242 qq = ,
251 qq = ,
452 qq = .
В этих выражениях ( )41÷=iiq – элементы вектора узловых переме-щений q системы связанных КЭ. Нумерация узлов заданной системы – на рис. 28.
В матричном виде эти соотношения выглядят следующим образом:
11122122 131 23 324 41425152
0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0
,0 0 0
0 0 00 0 00 0 00 0 0
qEq
Eq Eq qEq qE
qEqqEq
Eq
Eq Eq
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
где ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1001
E .
31
Итак, матрица соединения имеет следующий вид: 1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1
Н
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
= ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎦
. (7)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
Теперь в соответствии с формулой (7) вычислим матрицу жесткости заданной системы K . В результате перемножения матриц получим:
1 1 1 11 1 0 0 02 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 10 0 0 02 2 2 2 2 2 2 2
1 0 2 0 0 0 1 00 0 0 1 0 1 0 0
1 1 1 1 10 0 03 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 10 1 0 12 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 10 0 1 0 12 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 10 0 0 02 2 2 2 2 2 2 2
EAK
⎡ ⎤⎛ ⎞+ − − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥
= − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞− − − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎛ ⎞− − + −⎢ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢⎢
− −⎢⎣ ⎦
.
⎥⎥⎥⎥⎥
32
В заданной ферме перемещения узлов 1, 4 ограничены опорами: в узле 1 невозможно вертикальное смещение, в узле 4 – и горизонтальное, и вертикальное. Поэтому в матрице К необходимо вычеркнуть строки и столбцы 2, 7, 8. Тогда матрица примет вид:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−
−
−−
−−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
12
101022
1
02
10022
1101000002122
122
101122
1
3EAK
или
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
−−−
=
7,101035,007,00035,01010000021
35,035,00135,1
3EAK .
Теперь можно рассчитать перемещения узлов заданной фермы. Вектор внешних узловых нагрузок и вектор узловых перемещений
заданной системы связаны соотношением qKR = , откуда
( ) RKq 1−= .
Матрица ( ) 1−K обратная матрице K :
=⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−49,01
945,0245,0945,0245,049,0245,0945,0245,0245,049,0945,0245,0435,1245,049,0245,0245,0245,049,049,049,049,049,049,098,0
3)( 1EA
K
33
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
93,15,093,15,015,093,15,05,0193,15,093,25,015,05,05,011
11112
3EA
.
Вектор внешних узловых нагрузок
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
02
1200
R .
Тогда
2 1 1 1 1 0 101 1 0,5 0,5 0,5 0 5
3 31 0,5 2,93 0,5 1,93 12 34,21 0,5 0,5 1,93 0,5 2 2,141 0,5 1,93 0,5 1,93 0 22,2
qEA EA
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
Далее определим внутренние усилия в заданной ферме. Для этого сначала запишем векторы узловых перемещений конечных
элементов (в глобальной системе координат):
1
2
1
10032,1422,2
q EA
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦
, 2
3
2
534,23
2,1422,2
q EA
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ −⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦
,
3
4
3
2,1422,2300
q EA
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ −⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
, 1
2
4
10035
34,2
q EA
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦
,
34
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
00
2,345
3
4
25EAq
qq .
Затем получим векторы узловых перемещений стержней в их мест-ных системах координат:
1 1 1
1 1 0 0 10 101 1 0 0 0 102 3 30 0 1 1 2,14 24,32 20 0 1 1 22,2 20,0
Mq C qEA EA
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
,
аналогично
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
14,22,22
52,34
32EA
qM ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
00
3,240,20
233EA
qM ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
==
2,3450
10344
EAqqM ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
==
00
2,345
355EA
qqM .
Наконец, вычислим векторы узловых усилий элементов:
1 1 1
1 0 1 0 100 0 0 0 1031 0 1 0 24,33 2 2
0 0 0 0 20,0
M M MEAR K q
EA
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
015,7
015,7
03,14
03,14
21 кН,
35
аналогично
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
012
012
2MR кН,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
00,10
00,10
3MR кН,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
0505
4MR кН,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
0505
5MR кН.
Результаты расчета этих усилий для некоторых элементов показаны на рис. 30.
Рис. 30
Проверить результаты расчета можно, например, по условиям равно-весия узлов фермы. Вырежем узел 3 и рассмотрим его равновесие под дей-ствием приложенных внешних нагрузок и внутренних усилий (рис. 31).
Рис. 31
45° 12 кН
10 кН
2 кН
7,15 кН
3
45°
х1
у1
7,15 кН
7,15 кН
1
у2
х2
2
12 кН
12 кН
36
Составим уравнения равновесия:
∑ = 0х : 045cos10245cos15,7 ≈−+ .
∑ = 0y : 045cos10245cos15,7 ≈+− . Таким образом, узлы находятся в равновесии.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной ме-ханики / Г. К. Клейн [и др.]. – М. : Высш. шк., 1980. – 384 с.
2. Розин, Л. А. Стержневые системы как системы конечных элемен-тов / Л. А. Розин. – Л. : Изд-во ЛГУ, 1976. – 232 с.
3. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегер-линд. – М. : Мир, 1979. – 393 с.
4. Кислов, В. М. Метод конечных элементов : метод. указания к практ. занятиям / В. М. Кислов ; Владим. политехн. ин-т. – Владимир : ВПИ, 1982. – 44 с.
5. Кислов, В. М. Определение физических и геометрических парамет-ров конструкций на основе метода конечных элементов : учеб. пособие / В. М. Кислов ; Владим. гос. техн. ун-т. – Владимир : ВлГТУ, 1994. – 88 с.
6. Формалев, В. Ф. Численные методы / В. Ф. Формалев, Д. Д. Ревиз-ников. – М. : Физматлит, 2004. – 400 с. – ISBN 5-9221-0479-9.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .............................................................................................................. 3
Расчет стержневых систем .............................................................................. 10
Пример решения задачи методом конечных элементов ............................... 26
Список использованной литературы .............................................................. 36
37
ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Введение. Расчет стержневых систем
Конспект лекций
Составитель КОНДРАТЬЕВА Людмила Евгеньевна
Ответственный за выпуск – зав. кафедрой доцент А.Ф. Ковалев
Подписано в печать 07.02.07.
Формат 60х84/16. Усл. печ. л. 2,09. Тираж 200 экз. Заказ
Издательство Владимирского государственного университета.
600000, Владимир, ул. Горького, 87.