עבטה יעדמל הטלוקפה הקיזיפל הקלחמה 1 b a · ה ק י זי פ : ס ר ו...

הפקולטה למדעי הטבע המחלקה לפיזיקה

1פיזיקה : קורס

1

).גודל וכיון. (C -ו A ,Bמכיל כל הנתונים המגדירים את הווקטורים התרשים .1 y

x

600

300

C

A

B

.A חשב את הרכיבים של הוקטור .א

CBAD :על ידי הנוסחה מוגדרה D חשב את הרכיבים של הוקטור .ב .שרטט אותו.

2/32: מוגדר על ידי הנוסחהה Eחשב את הרכיבים של הוקטור .ג CBAE .שרטט אותו.

.א1.0/6)sin(2.0A

1.732050/6)cos(2

y

xA

1.0A

1.732050

y

xA

.ב/3)sin(4- 0+/6)sin(2.0

/3)cos(4- 4+/6)cos(2.0

y

x

D

D

y

x

600

300

C

A

B

D

rad0.58355α 033.44α

-2.46410D

3.7320

y

xD

.ג/3)]/2sin(4- [+ 03- /6)sin(22E

/3)]/2cos(4- [+ 43-/6)cos(22

y

xE

y

x

600

300

C

A

B

E rad0.028α 01.61α

0.267949

9.5359

y

E

Ex



2

).גודל וכיון. (C -ו A ,Bמכיל כל הנתונים המגדירים את הווקטורים התרשים .2 y

x

600

300

C

A

B

CBAD :על ידי הנוסחה מוגדרה Dחשב את הרכיבים של הוקטור .א .שרטט אותו.

2/32: מוגדר על ידי הנוסחאותה Eחשב את הרכיבים של הווקטור .ב CBAE ,5E . שרטט .אותו

||2/32: מוגדר על ידי הנוסחאותה Eחשב את הרכיבים של הווקטור .ג CBAE ,5E . שרטט

.אותו

sin(3/6(5.1 .א

2.5980)6/cos(3

y

x

A

A.

.ב

0.6

3.46410

0.2

z

xyyx

yy

xx

BABAD

CD

CD

0.5234radα 030α

y

x

600

300

C

A B

E

.ג

0

36)(3

3538.62)(3

z

xzy

yzx

E

CBAE

CBAE

6)6/sin(43)(

0)(

0)(

)(32/)32(

z

y

x

BA

BA

BA

CBACBAE



3

00הנמצאות ברגע , על קו ישר, B-ו Aהגרף מתאר תנועת שני מכוניות .3 t 00(באותו מקום x.(

עבור כל פרק זמן) תאוצה או אחרת-שוות, קצובה(תנועתה של כל אחת משתי המכוניות תאר את .א

40המתאימות לפרק זמן Aזמן עבור מכונית -רשום את משוואות המקום .ב t 204ולפרק זמן t. ?מתי שתי המכוניות נפגשות .ג

A :40 .א t תאוצה-שוות ,t4 קצובהB: t0 תאוצה-שוות.

40המתאימה לפרק זמן Aזמן עבור מכונית -משוואת המקום .ב t היא :2

2

4/20tx

ולפרק

4020היא t4זמן tx .

stרואים שהגופים לא נפגשים ליפני רגע . שווה להעתק t-וציר ה tv)(של הגרף בין העקומה שטח .ג 4 .

st אחרי רגעעבור פגישה אפשרית 4 , הקואורדינאטמשווים את x עבור שתי המכוניות .

B

A

xt

xt

2

20

30

2

1

)4(204202

1

st: המכוניות נפגשות ברגעים 3

70440 . רק הפתרוןst

3

70440 הפתרון השני . מתאים כתשובה

4: לא מתאים מפני ש3

70440

.

-40

-30

-20

-10

00 4 8 12 16 20 24

v(m/s)

t(s)

A

-40

-30

-20

-10

00 4 8 12 16 20 24

v(m/s)

t(s)

A



4

של חלקיק לבין זמן ניתנת על ידי הביטו הקואורדינאטתלות בין .4

3222 )א ttx

3222 )ב ttx

3222 )ג ttx

.והדרך שעוברת הנקודה בשתי שניות הראשונות s2t - התאוצה ב, מצא את המהירות

)()(262: המהירות )א ttvdt

dxtv xx והתאוצה :ta

dt

dva x

xx 12

)2(26)2(24: מקבלים 2tברגע tatv xx .

-הדרך שווה ל. לכן המכונית לא חוזרת, )חיובית כל הזמן( המהירות לא משנה את סימן שלה

20|)0()2(| txtxd.

: המהירות )ב262 tvx והתאוצה :ta

x12 . 2ברגעt 2422: למכונית יש

xxav .

0ברגע 0

t 2המכונית נמצאת במקום0

x . ברגע3

11 t זאת אומר המכונית , המהירות מתאפסת

מרגע . נעצרת ומשנה את כיוון הנסיה1t 2עד לרגע

2t המכונית שומרת על (המהירות שומרת על הסימן

3: הדרך שווה ל; )העיכיוון הנס9

812|)()(||)(| 1201 txtxxtxd

2422: מקבלים 2tרגע )ג xx av .

ברגע 3

11 t בסוף החישוב מקבלים. 'חישוב הדרך הוא דומה למקרה ב. המהירות מתאפסת :

39

812 d

: של חלקיק לבין הזמן ניתנת על ידי הביטוי הקואורדינאטתלות בין .5 t2sin2x )א

t2sin2 )ב 2x

t2sin(2(2 )ג x

. s2t - מצא את המהירות והתאוצה ב

tv: המהירות )אdt

dxv xx 2cos4

ta: התאוצה dt

dva x

xx 2sin8 . ברגעst 2 2: מקבלים

6,6.2s

ma

s

mv xx

2 )ב328.2,96.3

s

ma

s

mv xx

2 )ג235.2,84.3

s

ma

s

mv xx



5

ytxtr: חלקיק נע לפי החוק הבא .6 ˆ)sin(3ˆ2 2 .את גודל הוקטור מיקום של החלקיק ברגע מצא :

s2t.

||22ההגדרה : בהתשו yxrr נותנת)(sin94 24 ttr . עבור רגעst 2 8: מקבליםr .

ytxtrחלקיק נע לפי החוק .7 ˆ)5(cos3ˆ)5sin(2 2 .וקטור התאוצה ומשוואת , מצא את וקטור המהירות

.שרטט אותו ?מהי צורת המסלול.המסלול של החלקיק

y: וקטור המהירות מוגדר לפי: תשובהdt

dyx

dt

dx

dt

rdv ˆˆ .

ytxtv: לכן ˆ)10sin(15ˆ)5cos(10 .

y: וקטור התאוצה מוגדר לפיdt

dvx

dt

dv

dt

vda yx ˆˆ

ytxta: לכן ˆ)10cos(150ˆ)5sin(50 . של המסלול היא) פרמטרית(משוואה :

)5(cos3

)5sin(22 ty

txכאשר .

t קואורדינטותx ו -y בתחום מוגבלמשתנים :301)5(cos0

2||1|)5sin(|2

yt

xt .

(: אזי מקבלים משוואת המסלול בצורה הבאה tאם מחלצים את הפרמטר 4

11(3 2xy . גרף המסלול הוא

. 0yהחלק המתאים הוא . מעקומה מתאים למסלול החלקיק רק חלק .פרבולה

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-2 -1 0 1 2

y(x)



6

0z: י"נועה של החלקיק ניתן עחוק הת .8 , 24 tty , tx 39 . מצא את התלות ביןr ל- t . כתוב

וקטור התאוצה והזווית בין , מצא את וקטור המהירות. שניות הראשונות של התנועה 5את משוואת המסלול עבור

s2: וקטורים אלו ברגעים1t,s4

2t.

zzyyxxr: וקטור מיקום מוגדר לפי: תשובה ˆˆˆ .לכן: zyttxtr ˆ0ˆ)4(ˆ)39( 2 .

: של המסלול היא הפרמטריתהמשוואה

.50,

0

4

392

t

z

tty

tx

אזי מקבלים tאם מחלצים את הפרמטר . 0zהתנועה מתקיימת במשור .

,69: משוואת המסלולביטוי אחר של

0

)3

9(

3

94 2

x

z

xxy

.

zytxv: הוא tוקטור המהירות ברגע ˆ0ˆ)24(ˆ3 , ווקטור התאוצה ברגעt הוא :zyxa ˆ0ˆ2ˆ0 .

מסוים(ברגע (st 21 וקטור המהירות שווה ל- zyxv ˆ0ˆ0ˆ31 .הווקטור הזה מקביל לציר ה-x .

zyxa-באותו רגע וקטור התאוצה שווה ל ˆ0ˆ2ˆ01 .הווקטור הזה מקביל לציר ה-y . הזווית בין

-שווה ל 1a-ו 1vהווקטורים 0

1 90.

מסוים(ברגע (st 42 וקטור המהירות שווה ל- zyxv ˆ0ˆ4ˆ32 .באותו רגע וקטור התאוצה שווה ל-

zyxa ˆ0ˆ2ˆ02 .הווקטור הזה מקביל לציר ה-y . 2הזווית בין הווקטוריםv 2- וa שווה פתרון01800 של המשוואה :

zzyyxx vavavavava 22222222222 cos לכן :0

22 87.368cos*5*2

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-9 -6 -3 0 3 6

y(x)



7

: י"חוק תנועה של החלקיק ניתן ע .9327 ttx ,

2832 tty ,0z . 6כתוב את משוואת המסלול עבור

ורדיוס עקמומיות של המסלול תהנורמאליהתאוצה , משיקיתהמצא את התאוצה . ראשונות של התנועההשניות ה

stברגע 2

,60: של המסלול היא הפרמטריתהמשוואה : תשובה

0

832

272

3

t

z

tty

ttx

.

)0,96,54(ומסתיים בנקודה 0tכמקום ברגע )0,0,0(המסלול מתחיל מהנקודה כמקום סופי ברגע

6t . 0התנועה מתקיימת במשורz . מאחד מהמשוואות tביטוי אחר של משוואת המסלול נתקבל יכולים לקבל לאחר שמצליחים לחלץ את הפרמטר

: בשתי דרכים שונותבמקרה הנתון ננסה לעסות את זה . תר המשוואות הפרמטריות של המסלולולהציב אותו בא

:מהמשוואה השניה tמחלצים את . א-932

122y

t ,ומציבים במשוואה הראשונה:

0

32122

3212227

3

z

yyx

.

),(במשור (כדאי לנסות לסרטט את העקומות yx ( ולראות איזה חלק מהגרף מתאים לפרק הזמן הנתון!

מחלקים את ). yמשוואה של( 2ופולינום מסדר ) xמשוואה של( 3רואים שבצד השני יש פולינום מסדר . ב-9

:מקבלים. המשוואות זו לזוt

t

y

x

832

27 2

.מותו לכתוב משוואה (בונים מערכת חדשה . 2לינום מסדר זה פו

) :החדשה במקום אחד מהמשוואות שהשתמשנו בחילוק

0

832

827322

2

z

tty

ytxtyx

עושים אוד פעם פעולות ! 3במקום הפולינום מסדר 2עכשיו יש לנו פולינום מסדר .

:דומות כדי להוריד את סדר הפולינום ומקבלים

0

832

273282732482

2

z

tty

yyxtxyyx

. 2במקום הפולינום מסדר 1עכשיו יש לנו פולינום מסדר .

לאחר מכן מקבלים את התשובה הסופית . מהמשוואה הראשונה ולהציב בשניה tסוף יכולים לחלץ את , סוף :שמכילה רק שני משוואות



8

.

! כדאי לסרטט אותו לפי משוואות הפרמטריות . המסלול במשור הזה מסורטט מטה

קו , וקטור מהירות משיק למסלול: בסרטוט מופיעים

Tתאוצה משיקית . מבלי לדעת באופן מדויק את הרכיבים שלהםa ותאוצה

). !הם לא וקטורים , הם מספרים

לכן הרכיב המשיקי נתן לחשב על ידי ההגדרה

: -וקטור המהירות שווה ל

2 )327( tv

הפקולטה למדעי הטבעהמחלקה לפיזיקה

קורס

0

01900822528512

7684322

23

z

yxx

xyyy

כדאי לסרטט אותו לפי משוואות הפרמטריות . שה לסרטט את המסלול לפי הביטוי הזההמסלול במשור הזה מסורטט מטה. 0zהתנועה מתקיימת במשור

בסרטוט מופיעים

מבלי לדעת באופן מדויק את הרכיבים שלהםמאונך למהירות ווקטור תאוצה

הם מספרים(מטה " מסורטטים"הם רכיבים של הווקטור תאוצה

-לכיוון המהירות שווה לv

vלכן הרכיב המשיקי נתן לחשב על ידי ההגדרה ,

: או על ידי הנוסחהdt

dvaT

.וקטור המהירות שווה ל. בוחרים את ההגדרה

v 27( .22: - הגודל שלו שווה ל )1632() t

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

-60 -40 -20

-120

-100

-80

-60

-40

-20

20

40

-60 -40 -20

שה לסרטט את המסלול לפי הביטוי הזהקהתנועה מתקיימת במשור , כאמור

מאונך למהירות ווקטור תאוצה ) נורמל(

Nנורמלית a הם רכיבים של הווקטור תאוצה

לכיוון המהירות שווה ל) ורסור(חידה הווקטור הי

v

vaa

T או על ידי הנוסחה

zytxt ˆ0ˆ)1632(ˆ)3 2

0 20 40 60

y

120

100

80

60

40

20

0

20

40

0 20 40 60

y



9

zyxta: - וקטור התאוצה שווה ל ˆ0ˆ16ˆ6 .

st) נתון( מסויםברגע 21

המהירות שווה ל-zyxv ˆ0ˆ0ˆ151 ,

15- הגודל שלה שווה ל

התאוצה שווה ל -zyxa ˆ0ˆ16ˆ121 .

ן הווקטור המכפלה הסקלרית ביa לווקטורv

v12: נותנת את התשובה

1

Ta . הסימן השלילי אומר

. מואט הגוףשברגע הנבחר .צה יכולים לחשב את הרכיב הנורמליאולאחר שחישבנו את הרכיב המשיקי של הת

: אם כותבים את השוויון2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1 NTzyx aaaaaa אזי הרכיב הנורמלי ניתן לחשב לפי ההגדרה :

2

1

2

11 TN aaa .16: החישוב נותן את התשובה סופית1

Na.

:על ידי הנוסחה מוגדר Rרדיוס עקמומיות N

Na

vR

R

va

22

.16: החישוב המתמטי נותן

225R .

ytxtv: מהירות החלקיק משתנה לפי החוק .10 ˆ)3

2sin(ˆ)12( 3

. מצא את וקטור התאוצה ואת

00: כלומר, החלקיק היה בראשית הצירים 0tאם ב , וקטור המיקום r.

0: אחרי חישוב מבוסס על הנוסחה הבאה: תשובה

0

)()( rtvdttrt

בלים את התשובהמק:

ytxttr ˆ13

2cos

2

3ˆ)

2

1( 4

yxta: התלות בין תאוצתו של החלקיק לזמן היא .11 ˆ3ˆ3 2 . מצא באיזה מרחק מראשית הצירים יהיה

stהחלקיק לאחר 1 ,0 -אם מהירותו ההתחלתית שווה לאפס ובt החלקיק היה בראשית הצירים.

: וקטור המהירות הוא: תשובה t

tvtadttv0

ytxttv: לאחר החישוב מקבלים. )()()0( ˆ3ˆ)( 3 .

0: ניתן לחשב את וקטור המיקום על ידי הנוסחה הבאה

0

)()( rtvdttrt

.לאחר החישוב :

ytxttr ˆ2

3ˆ

4

1)( 24 . ברגעst 1 4 :קהחלקיק נמצא במרח

37)

2

3()

4

1(|)1(| 22 tr.



10

רכבת נעה בקו ישר מהירות .12h

kmv 1800 .ברגע מסוים הנהג מבחין בסכנה ומפעיל את מערכת הבלמים .

: מאותו הרגע מהירות הרכבת משתנה לפי החוק2

0 8.0 tvv . מהו מרחק העצירה ולאחר כמה זמן מתחילת

?הבלימה הרכבת תיעצר

זה קורה ברגע . הרכבת תיעצר כאשר מהירותה תתאפס: התשוב8.00

1

vt . כדי לדעת את המרחק עד

0: לכן מחשבים. חייבים לבנות את משוואת התנועה, לעצירה

0

)()( xtvdttx x

t

.

0:לאחר החישוב מקבלים 3

03

8.0)( xttvtx .

m: העצירה הוא מרחקvv

xtxd2

5

3

500

8.03

2|)(| 00

01

mhאבן נזרקת מגובה .13 1.2 בזווית45 ונופלת על הקרקע במרחק , יחסית לאופקmx 42 ) יחסי

yaבהנחה שתאוצתו של האבן . ממקום הזריקה) לאנך ˆ10 ,מצא:

מהירותו ההתחלתית של האבן. זמן התנועה. מקסימלי של העלייהגובה. רדיוס עקמומיות בשיא הגובה. רדיוס עקמומיות בנקודת הפגיעה בקרקע.

),(בוחרים מערכת צירים : תשובה yx וקטור התאוצה הוא. עם הראשית בנקודת הזריקה :yxta ˆ10ˆ0)(

ytvxvtv: וקטור המהירות יהיה.yx

ˆ)10(ˆ)(00

. וקטור המיקום יהיה)()(0

0tvdtrtr

t

00עם r .

yttvxtvtr: לאחר החישוב מקבליםyx

ˆ)5(ˆ)( 2

00 .המשוואה הפרמטרית של המסלול היא :

0,5 2

0

t

ttvy

tvx

y

ox: למקבלים צורה אחרת של משוואת המסלו tלאחר שמחלצים את הפרמטר .

2

0

2

5xv

xtgxy . 1.2,42(המסלול חייב לעבור דרך הנקודה( .לכן מקבלים את המשוואה:



11

2

22

02

0

2

21

42*5042*5421.2 x

x

vv

רכיב x

v0

ראה את המשוואה הפרמטרית (חייב להיות חיובי

: לכן!). הראשונהs

mv

x210

0 .ב נתן לחשב את רכי

yv

0: על ידי הנוסחה

s

mvv

v

vtg xy

x

y 21000

0

0 .

:עכשיו יכולים לענות לכל שאלה

2100)ˆˆ(: מהירותו ההתחלתית של האבן היא yxv .

זמן התנועה :stt 21.221042 11 .

גובה מקסימלי של העלייה נתקבל ברגע שרכיבtvvyy

100

כלומר ברגע , מתאפסst 22

. הגובה

mytty- המקסימלי שווה ל 105*210 2

2

222

רדיוס עקמומיות בשיא הגובה)av (תקבל מהנוסחהי :2

2

2

2

2

2

2 ||R

v

R

vaa x

Ny . מזה נובע

mRa

vR

y

x 20||

2

2

2

22

רדיוס עקמומיות בנקודת הפגיעה בקרקע קשור לרגעst 21.21 .ברגע זה רכיב משיקי של התאוצה שווה ל-

dt

tdv

v

vaa T

)( 1

1

111 .לאחר החישוב מקבלים:

21

210

2

0

10

1s

m

221

110

)10(

10)10(

T

yx

y

T atvv

tva

: רכיב הנורמלי של התאוצה הואה21

2

1

2

11221

100

s

maaaa NTN . עכשיו יכולים לחשב את רדיוס

mmR: עקמומיותa

vR

N

56.6522142.41

1

2

11 .



12

mrחיל את תנועתו במעגל שרדיוסו חלקיק מת .14 1.0 . התאוצה המשיקית של החלקיק היא קבועה ושווה23 /104 sma .אם בתחילת התנועה וקטור המקום אנכי כלפי מעלה והתנועה מתרחשת לפי כיוון השעון ,

:מצא

ות שווה ל לאחר כמה זמן הזווית בין ווקטור התאוצה ולבין ווקטור המהיר )א60 ?

?מהו המרחק אותו יעבור החלקיק בזמן זה )ב ?מהי זווית הסיבוב של רדיוס וקטור בזמן זה )ג

,0: כדי לתאר את תנועת הגוף במעגל בעזרת המשוואות הפרמטריות : תשובה)(sin)(

)(cos)(

t

trty

trtx

לפי .

תנאי התחלתיומקיימת פונקציה יורדתת חייבת להיו t)(הנתונים פונקציה 2

)0(

.וקטור מהירות שווה ל-

)cosˆsinˆ()(

yxdt

drtv .גודלו של הווקטור המהירות שווה ל-

dt

drtv

)( . נגזרת של הפונקציה

)(tv נותנת את התאוצה המשיקיתa .פונקציה , פני שערכה של תאוצה המשיקית הוא קבועמ)(tv חייבת

- להיות שווה ל0

)( vtatv .0-יודעים ש, מהמשפט הראשון של טקסט הבעיה0

v . לכן גודל הווקטור

tatv: -מהירות שווה ל )(.

t :ta)(עבור פונקציה משוואה דיפרנציאליתעכשיו יכולים לבנות dt

dr

.הפתרון הכללי הוא :

0

2

2)(

t

r

at . מהתנאי ההתחלתי

2)0(

מקבלים :

20

. חוק התנועה עבור עכשיו יודעים את

: הזווית22

)(2t

r

at

, ועבור וקטור מיקום:

]02.0cosˆ02.0sinˆ[)(

]2

cosˆ2

sinˆ[)(

)]22

sin(ˆ)22

cos(ˆ[)(

22

22

22

tytxrtr

r

tay

r

taxrtr

r

tay

r

taxrtr

. יכולים לענות לכל שאלה ועכשיו

cos: בין ווקטור התאוצה ולבין ווקטור המהירות על ידי הנוסחה תן לחשב את הזווית ינ )א vava .

a:צההמכפלה הסקלרית נכנסת בהגדרה של הרכיב המשיקי של התאוdt

dv

v

vaaT

הרכיב הנורמלי שווה



13

- לr

vaN

2

.גודל התאוצה שווה ל -22

NT aaa . מכל המידע הזאות

: יבים את הנוסחהכמרr

a

dt

d

dt

dra

a 3

2

1

)(

cos422

.

מתאימה רק לרגע 1t 1: לית עבור זוויתכאשר יכולים להשתמש גם במשוואה הדיפרנציאta

dt

dr

. מכן

s58.6: מקבלים סופית2.0

3311 st

a

rt

-המרחק אותו יעבור החלקיק בזמן זה שווה ל )בr

tartrd

2|)(|

2

101

m0866.0m320

1d

)3(rad:זווית הסיבוב של רדיוס וקטור ברגע זה שווה )ג2

102.0

21

2

11

t

מטר מעל 25מטר לשניה והיא נעה בגובה 20מהירותה האופקית . רך הארובהחסידה מחלקת ילדים ד .15 ?מטר 6באיזה מרחק אופקי מן הארובה עליה לשמוט את התינוק על מנת שייכנס לארובה שגבהה . הקרקע



14

0מותר לבחור רגע של הזריקה כרגע התחלתית : תשובה0

t ; שית הצירים של הזריקה כרא) התחלתי(מקום

)0,0(0 r ;ציר ה -x אופקי וציר ה-y התנועה היא תנועה דו. הבחירה הזאת לא משפיע על התשובה! למטה-

- וקטור מהירות התחלתית הוא שווה ל. מימדיתs

mv )0,20(0 . לוקטור התאוצה הוא קבוע ושווה-

2)10,0(s

ma . שים עקומת המסלול חייב לעבור דרך הנקודה + ! לסימןmx )19,(

1הערך של .

1x הוא

מחשבים את האינטגרל שלו , )שהוא נתון עבור כל רגע(כדי לקבל אותו מתחילים מווקטור התאוצה . התשובהכותבים את ; מחשבים את האינטגרל של המהירות ומקבלים את וקטור המיקום; ותומקבלים את וקטור המהיר

),19(משוואת המסלול ודורשים שיעבור דרך הנקודה 1x ; 1פותרים את המשוואה עבור

x .

)0()( 0

0

0 tavvadtvtvt

tt

tavdtrtrvdtrtr0

00

0

0 )()()(

20

2

1)( tatvtr

2

2

2 205

5

20 xy

ty

tx

m39m5

1920

20519 12

2

1 xx

kgmגוף קטן שמסתו .16 10 מחובר למוט באורךmr 2 . בתאוצה אופקיהגוף מתחיל להסתובב במעגל

מצא את , כמו כן). רשיםראה ת( Bמצא את הזמן בו הגוף מגיע לנקודה . הזמן נמדד בשניות. t3.0זוויתית

. Bהתאוצה הנורמלית בנקודה . התאוצה המשיקית, המהירות הקווית, המהירות הזוויתית

B



15

. tנגד רגע במקרה שלנו היא תלות הזווית ; מטרת הקינמטיקה היא חוק התנועה: תשובה) 0tברגע 0 - מהירות זוויתית שווה ל( ושימוש בתנאי התחלתישל התאוצה הזוויתית ינטגרציהלאחר א

2:המהירות הזוויתיתמקבלים את

0

02

3.0)()()( tttdtt

t

.

חוק מקבלים את ) 0tברגע 0 - זווית שווה ל( ושימוש בתנאי התחלתישל המהירות הזוויתית לאחר אינטגרציה :התנועה

3

0

06

3.0)()()( tttdtt

t

.

.עכשיו יכולים לענות לכל שאלה

rad1: -הזווית שווה ל Bעבור נקודה .מחוק התנועה נובע :s97.32031 t.

s

rad37.2)(

2

3.0)( 1

2

11 ttt .

):!חוק התנועהגם כן (קום גודל של המהירות הקווית מקבלים לאחר שגוזרים את וקטור המי

yxrtv

ytxtrtr

ˆsinˆcos)(

ˆ)(cosˆ)(sin)(

.

: - גודל המהירות שווה ל rrtv )( . 1ברגעt המהירות הקווית שווה ל-:

.74.4)20(3.0)()( 3/211

s

m

s

mtrtv .

הווקטור המהירות ושימוש בנוסחה את התאוצה המשיקית והנורמלית מקבלים לאחר חישוב של נגזרת של

:הבאהr

ra

v

vaa NT

.בסוף מקבלים :r

r

var

va NT

22

,

. 1ברגע מסויםt מקבלים :

22 s

m24.11,

s

m38.2 NT aa



16

מעלות 37בועט כדור ממרכז השער שלו בזוית של , הידוע בבעיטות הטיל שלו, שוערה של מכבי אריאל .17 2.5וגובה השער ) בין מרכזי השערים(מטר 90אם אורך המגרש . לכיוון שער הקבוצה היריבה) פני המגרשמ(

מהי המהירות ההתחלתית המינימלית והמקסימלית בה צריך הכדור להיבעט על מנת , מטר 6ורוחבו , מטר ?שיכנס לשער בלי ליפול קודם על הדשא

בוחרים ציר !!). נכתבת בצורה וקטורית (אים גם עבור הבעיה הזאת מת חוק התנועה מהבעיה קודמת: תשובה

לכן וקטור התאוצה היא , מעלהלכיוון y- ה2

)10,0(s

ma .וקטור המהירות התחלתית שווה ל -

)37sin,37cos( 0

0

0

00 vvv . כדי לחשב את0v , מחלצים ; של המסלול טריותפרמכותבים משוואות

נקודת הפינה דורשים שעקומת המסלול יעבור דרך ; כדי לקבל משוואת המסלול בצורה אחרת tומציבים את

פותרים את המשוואה עבור ; של השער0v ומקבלים את המהירות המקסימלית.

2)(

2

00

tatvrtr

20

0

00

537sin

37cos

ttvy

tvx

022

0

20

37cos537tanv

xxy

5.2,390(: הפינה(),( 2211 yx

022

0

2

1011

37cos537tanv

xxy

1

01

0

10

37tan37cos

5

yx

xv

s

m197.310 v

0-הסימן השלילי לא מתאים מפני שv הוא ערך מוחלט של המהירות.

יתבדרך דומה מקבלים את המהירות המנימל:

022

0

20

37cos

90537tan*900v

s

m599.30

s

m

74sin

3000 v



17

m/s60קבועה מהירותמתגלגל כך שמרכזו נע ב Rגלגל ברדיוס .18 v לאורך צירx . נקודה הנמצאת על שפתו

:ענה לשאלות הבאותמשורטט למטה עבור כל מקרה ) שלושה מקרים אפשריים. (עוברת מסלול כמתואר בציור

?בה מסתובב הגלגל מהי המהירות הזוויתית )א

.וקטור המקום של הנקודה, tr)(מצא את )ב

.ta)(ואת tv)(חשב את )ג

? מהו הערך המוחלט המקסימלי והמינימלי של המהירות )ד- לא זזה בכיוון הרואים שהנקודה הנמצאת על שפתו : מקרה ראשון. נניח שהגלגל זז משמאל לימין: ובהתשx יחסית למרכז , לכן מהירות הקווית שלה. )הגלגל לא מחליק( בכל רגע שהיא נמצאת במגע עם הקרקע

. קרקעיחסית לחייבת להיות שווה למהירות של המרכז המעגל , המעגל

tv0

sinr

0בוחרים רגע התחלתי

0t בוחרים את הכיוון מנוגד לציר ה. )0,0(כאשר הנקודה נמצאת בראשית הצירים-

y )זמן לאחר ). ראה סרטוט. (כראשית הזווית נמדדת בכיוון השעון) קו אנקי מטהt מרכז הגלגל עובר מרחק

tv0 , לאורך ציר ה". עולה קצת"והנקודה מעל הגלגל-x היא עוברת מרחק שווה ל- :sin0 rtvx

cosrry: היא עולה מרחק, y-ולאורך ציר ה .מצאנו את משוואות הפרמטריות של המסלול .

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40

0

1

2

3

4

-2 0 2 4 6 8 10 12 14



18

)(cos

)(sin0

trry

trtvx

.

.m2-מהסרטוט השני רואים שרדיוס הגלגל שווה ל

v-הנקודה מעל המעגל מסתובבת במהירות כווית שווה ל, יחסית למרכז המעגל )א0

v ).לא לשכוח ש-v

:-לכן מהירות הזוויתית שווה ל!). נתון קבוע הוא מספר

rad/s30 constr

v

לאחר שימוש בנוסחה )ב

ttdttt

)()(0

. יש תלות לינארי בזמן רואים שלזווית :וקטור המיקום

)]cos([ˆ)]sin([ˆ 000 t

r

vrryt

r

vrtvxr

)]3cos(22[ˆ)]3sin(26[ˆ tyttxr

:וקטורים מהירות ותאוצה )ג

})cos(ˆ)sin(ˆ{)(

})sin(ˆ)]cos(1[ˆ{)(

00

2

0

000

tr

vyt

r

vx

r

vta

tr

vyt

r

vxvtv

})3cos(ˆ)3sin(ˆ{18)(

})3sin(ˆ)]3cos(1[ˆ{6)(

tytxta

tytxtv

:-ערך המוחלת של המהירות שווה ל )ד

)cos1(2

sin]cos1[

0

220

22

vv

vv

vvv yx

0- שערך המקסימלי של גודל המהירות שווה לרואים 2v 0-והערך המינימלי שווה ל.

: גודל התאוצה שווה ל

constr

vaaa yx

2

022



19

יש לה מהירות בכיוון מנוגד לכיוון , ם בגרף שברגע שבה הנקודה נמצאת במגע עם הקרקערואי: מקרה שני

, יחסית למרכז, הגלגל מסתובבלכן ) הגלגל מחליק בנקודות המגע לכביש. (התנועה של מרכז שגלגל

- נסמן ב. יחסית לקרקעבמהירות קווית יותר גדולה מאשר מהירות המרכז 1v המגע תהמהירות נקוד את

:יחסית למרכז01vv .מהירות הזוויתית שווה ל: החישוב המתמטי הוא דומה -:const

r

v 1

1 . הגלגל

! מסתובב עכשיו יותר מהיר מאשר המקרה הראשון10m28.62-מרחק בין שתי נקודות עוקבות מגע עם קרקע שווה ל Tv .לכן:

rad/s62

1

11

Tconst

r

v

m/s1211: לכן rv

:מהירות ותאוצה הם , וקטורים מיקום

)]cos([ˆ)]sin([ˆ 110 t

r

vrryt

r

vrtvxr

})cos(ˆ)sin(ˆ{)(

})sin(ˆ)]cos([ˆ{)(

11

2

1

11

110

tr

vyt

r

vx

r

vta

tr

vvyt

r

vvvxtv

)]6cos(22[ˆ)]6sin(26[ˆ tyttxr

})6cos(ˆ)6sin(ˆ{72)(

})6sin(12ˆ)]6cos(126[ˆ{)(

tytxta

tytxtv

:גודל המהירות מחושב עכשיו על ידי2

110

2

0 cos2 vvvvv

)(|| 0101 vvvvv

.'רואים עכשיו את התשובה לשאלה דרמז ( .לא.... עם לא . אזי יודע מה לענות עבור מקרה הזה' ב-ו' עם הבנת את המקרה א: מקרה שלישי

10m85.186- מרחק בין שתי נקודות עוקבות מגע עם קרקע שווה ל: קטן Tv(.



20

י שוטר תנועה הטוען כי מדד את מהירות נסיעתך ש ונתפסת על יד"קמ 80מכונית נוסעת במהירות .19יש להניח שתנועתן של המכונית ושל המשטרה מתקיימות . ש"קמ 120וכי נסעת במהירות רדאר הבעזרת מכשיר

?כלומר מהי מהירות המשטרה, רדארההיכן פגעה קרן .קו ישרעל אותו

A- נסמן ב. יחסית למכונית המשטרהאת המהירות של המכונית מודדשל המשטרה רדאר המכשיר :תשובה :יכולים לכתוב טרנספורמציה של גלילילפי . את המשטרה P-ב, את הכביש E -ב, את המכונית

APxAExPExPEAPAE vvvvvv

: טקסט יודעיםהלפי h

km80

h

km80 AExAE vv ,

h

km120

h

km120 APxAP vv .

: לכן. יחסית לכביש Aככיוון של המהירות של המכונית x- בוחרים את כיוונו של ציר ה

h

km80

h

km80 AExAE vv יש להתייחס לשני מקרים :

h

km40

h

km)12080(

h

km120,

h

km80

PEx

APxAEx

v

vv

hלמכונית במהירות שווה בכיוון מנוגדהמשטרה נוסעת

km40 .

VPE=?

VAP=120 VAE=80

h

km200

h

km)12080(

h

km120,

h

km80

PEx

APxAEx

v

vv

hמהירות נוסעת בהמשטרה ;לאותו כיווןנוסעות Aוהמכונית Pהמשטרה

km200 :

VPE=?

VAP=120 VAE=80

עבטה יעדמל הטלוקפה הקיזיפל הקלחמה 1 b a · ה ק י זי פ : ס ר ו...

Documents